Многочленом называется сумма одночленов, то есть произведений цифр и переменных. Работать с ним удобнее, так как чаще всего преобразование выражения в многочлен позволяет значительно упростить его.
Инструкция
Раскройте все скобки выражения. Для этого воспользуйтесь формулами, например, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Если вы не знаете формул, или их трудно применить к данному выражению, раскрывайте скобки последовательно. Для этого умножайте первый член первого выражения на каждый член второго выражения, затем второй член первого выражения на каждый член второго и т.д. В результате все элементы обоих скобок будут перемножены между собой.
Если перед вами три выражения в скобках, сначала перемножьте первые две, оставляя третье выражение не тронутым. Упростив результат, получившийся в результате преобразования первых скобок, перемножьте его с третьим выражением.
Внимательно следите за соблюдением знаков перед множителями-одночленами. Если вы перемножаете два члена с одним знаком (например, оба положительны или оба отрицательны), одночлен будет со знаком «+». Если же один член имеет перед собой «-», не забудьте перенести его на произведение.
Приведите все одночлены к стандартному виду. То есть переставьте местами множители внутри и упростите. Например, выражение 2х*(3,5х) будет равно (2*3,5)*х*х=7х^2.
Когда все одночлены будут стандартизированы, попробуйте упростить многочлен. Для этого сгруппируйте члены, у которых одинакова часть с переменными, например, (2х+5х-6х)+(1-2). Упростив выражение, вы получите х-1.
Обратите внимание на наличие параметров в выражении. Иногда упрощение многочлена необходимо производить так, будто параметр является числом.
Чтобы преобразовать в многочлен выражение, содержащее корень, выведите под ним такое выражение, которое будет возведено в квадрат. Например, воспользуйтесь формулой a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, затем уберите знак корня вместе с четной степенью. Если избавиться от знака корня невозможно, преобразовать выражение в многочлен стандартного вида не удастся.
«Совершенствование вычислительных навыков» - Состав числа. Повторение действий. Умножение. Сложение. Правила раскрытия скобок. Cложение отрицательных чисел. Вычитание. Сложение обыкновенных дробей. Сложение чисел с разными знаками. Совершенствование вычислительных навыков. Вычитание однозначного числа. Опорная схема. Действие в столбик. Умножение одночлена на многочлен.
«Разность квадратов чисел» - Возведите в квадрат. Формула сокращенного умножения. Разность квадратов двух выражений. Работа с таблицей. Разность квадратов. Геометрический смысл формулы. Как можно прочитать формулу. Выполните умножение. Влияет ли порядок записи скобок на результат. Формула (а+b)(a-b)=a2-b2. Произведение разности двух выражений и их суммы.
«Умножение многочлена на многочлен» - Правило умножения многочлена на многочлен. Игра «Открой картинку». Открой картинку. Каждый член первого многочлена поочерёдно умножать на каждый член второго многочлена. Рассмотрим произведение самых простых многочленов, а именно двучленов. У одного многочлена m членов, а у другого n членов. План урока.
«Разложение многочлена на множители» - Предварительное преобразование. Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Применение формул сокращенного умножения. Метод выделения полного квадрата. Тестор. Ответы: Схема урока: Конфуций. Формулы сокращенного умножения. Способ группировки.
«Преобразование целого выражения в многочлен» - Какие из выражений являются целыми: Примерами целых выражений служат такие выражения: Цели урока: Упражнять учащихся в приведении подобных слагаемых. Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Развивать вычислительные навыки учащихся. Ввести понятие целого выражения. Преобразование целых выражений.
«Урок Формулы сокращённого умножения» - Цель урока: Повторить и обобщить практические навыки и умения по теме «Формулы сокращённого умножения». Тема урока: ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ. Подготовиться к предстоящей контрольной работе. Задача: Стороны первого квадрата на 1 см больше сторон второго квадрата, а площадь первого квадрата на 9см2 больше площади второго квадрата.
Всего в теме 24 презентации
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
Многочленом именуется сумма одночленов, то есть произведений цифр и переменных. Трудиться с ним комфортнее, потому что почаще каждого реформирование выражения в многочлен дозволяет гораздо упростить его.
Инструкция
1. Раскройте все скобки выражения. Для этого воспользуйтесь формулами, скажем, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Если вы не знаете формул, либо их сложно применить к данному выражению, раскрывайте скобки ступенчато. Для этого умножайте 1-й член первого выражения на весь член второго выражения, после этого 2-й член первого выражения на весь член второго и т.д. В итоге все элементы обоих скобок будут перемножены между собой.
2. Если перед вами три выражения в скобках, вначале перемножьте первые две, оставляя третье выражение не тронутым. Упростив итог, получившийся в итоге реформирования первых скобок, перемножьте его с третьим выражением.
3. Наблюдательно следите за соблюдением знаков перед множителями-одночленами. Если вы перемножаете два члена с одним знаком (скажем, оба правильны либо оба негативны), одночлен будет со знаком «+». Если же один член имеет перед собой «-», не позабудьте перенести его на произведение.
4. Приведите все одночлены к стандартному виду. То есть переставьте местами множители внутри и упростите. Скажем, выражение 2х*(3,5х) будет равно (2*3,5)*х*х=7х^2.
5. Когда все одночлены будут стандартизированы, испробуйте упростить многочлен. Для этого сгруппируйте члены, у которых идентична часть с переменными, скажем, (2х+5х-6х)+(1-2). Упростив выражение, вы получите х-1.
6. Обратите внимание на присутствие параметров в выражении. Изредка облегчение многочлена нужно изготавливать так, словно параметр является числом.
7. Дабы преобразовать в многочлен выражение, содержащее корень, выведите под ним такое выражение, которое будет возведено в квадрат. Скажем, воспользуйтесь формулой a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, после этого уберите знак корня совместно с четной степенью. Если избавиться от знака корня нереально, преобразовать выражение в многочлен стандартного вида не удастся.
Краткость, как говорится, – сестра дара. Всякому хочется блеснуть даром, но вот его сестра – штука трудная. Феноменальные мысли отчего-то сами собой облекаются в сложноподчинённые предложения со большинством деепричастных циклов. Впрочем в ваших силах упростить свои предложения и сделать их внятными и доступными каждым.
Инструкция
1. Дабы облегчить адресату (будь то слушатель либо читатель) жизнь, постарайтесь заменять причастные и деепричастные циклы короткими придаточными предложениями, исключительно если вышеуказанных циклов слишком много в одном предложении. “Пришедший домой кот, только что съевший мышь, громко мурлыча, ласкался к владельцу, пытаясь заглянуть ему в глаза, веря выпросить рыбу, принесённую из магазина” – такое не пойдёт. Разбейте сходственную конструкцию на несколько частей, не спешите и не пытайтесь сказать всё одним предложением, и будет вам блаженство.
2. Если вы замыслили талантливое высказывание, но в нём оказалось слишком много придаточных предложений (тем больше с одним союзом), то отменнее разбить высказывание на несколько отдельных предложений либо опустить какой-то элемент. “Мы решили, что он расскажет Марине Васильевне, что Катя скажет Вите, что…” – дозволено продолжать беспредельно. Своевременно остановитесь и припомните о том человеке, кто будет это читать либо выслушивать.
3. Впрочем подводные камни кроются не только в структуре предложения. Обратите внимание на лексику. Иноязычные слова, длинные термины, слова, почерпнутые из художественной литературы 19 столетия – всё это только осложнит воспринятие. Нужно уточнить для себя, для какой аудитории вы составляете текст: технари, финально, осознают и трудные термины, и специфические слова; но если вы те же слова предложите учительнице литературы, вряд ли она вас поймёт.
4. Дар – великая вещь. Если вы гениальны (а людей без способностей не бывает), перед вами открывается уйма дорог. Но дар состоит не в трудности, а простоте, как ни необычно. Будьте проще, и ваши дары будут внятны и доступны каждом.
Видео по теме
Даже самое трудное уравнение перестает выглядеть пугающим, если привести его к виду, с которым вы теснее сталкивались. Особенно простым методом, тот, что спасает в всякий обстановки, является приведение многочленов к стандартному виду. Это начальная точка, из которой вы можете двигаться дальше к решению.
Вам понадобится
- лист бумаги
- цветные ручки
Инструкция
1. Запомните стандартную форму многочлена, дабы знать, что вы обязаны получить в итоге. Важность имеет даже порядок записи: первыми обязаны стоять члены с большей степенью. Помимо того, принято сперва записывать незнакомые, обозначенные буквами, стоящими в начале алфавита.
2. Запишите начальный многочлен и приступайте к поиску сходственных слагаемых. Это члены данного вам уравнения, имеющие идентичную буквенную часть либо (и) цифровую. Для большей наглядности подчеркивайте обнаруженные пары. Обратите внимание, что подобие не обозначает идентичность, – основное, дабы один член пары содержал в себе 2-й. Так, сходственными будут члены ху, хy2z и хуz, – они имеют всеобщую часть в виде произведения х и у. Это же относится и к степенным выражениям.
3. Обозначайте различные сходственные члены по-различному. Для этого класснее подчеркивайте одинарными, двойными и тройными линиями, используйте цвет и другие формы линий.
4. Обнаружив все сходственные члены, приступайте к их комбинированию. Для этого в обнаруженных парах вынесите сходственные члены за скобки. Не забывайте, что в стандартной форме у многочлена нет сходственных членов.
5. Проверьте, не осталось ли у вас идентичных элементов в записи. В ряде случаев у вас могут опять возникнуть сходственные члены. Повторите операцию с их комбинированием.
6. Проследите за выполнением второго данные, требующегося для записи многочлена в стандартной форме: весь его участник должен быть изображен в виде одночлена в стандартном виде: на первом месте – числовой множитель, на втором – переменная либо переменны, следующие в теснее обозначенном порядке. При этом приоритет имеет буквенная последовательность, задаваемая алфавитом. Убывание степеней учитывается во вторую очередь. Так, стандартным видом одночлена является запись 7xy2, в то время как y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не отвечают требованиям.
Видео по теме
Математическая наука постигает разные конструкции, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым дозволено отчетливо описать приближенные к безупречным свойства реальных объектов, постигаемых в иных областях науки. Одной из таких конструкций является многочлен.
Инструкция
1. Многочлен либо полином (от греч. «поли» – много и лат. «номен» – имя) – класс элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные показатели, x – переменная.
2. Многочлены используются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, негативных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Применение полиномиальных вычислений гораздо упрощает выражение свойств различных объектов.
3. Основные определения многочлена: Каждое слагаемое полинома именуется одночленом либо мономом. Многочлен, состоящий из 2-х одночленов, называют двучленом либо биномом. Коэффициенты полинома – вещественные либо комплексные числа. Если старший показатель равен 1, то многочлен называют унитарным (приведенным). Степени переменной в всяком одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью именуется целое число, равное сумме всех степеней. Одночлен, соответствующий нулевой степени, именуется свободным членом. Многочлен, все одночлены которого имеют идентичную полную степень, именуется однородным.
4. Некоторые зачастую используемые многочлены названы по фамилии ученого, тот, что их определил, а также описал функции, которые они задают. Скажем, Бином Ньютона – это формула для разложения полинома 2-х переменных на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это знаменитые из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b).
5. Если допустить в записи многочлена негативные степени, то получится многочлен либо ряд Лорана; многочлен Чебышева применяется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.
Обратите внимание!
Бином Ньютона зачастую упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Данный термин на слуху, следственно считается самым вестимым многочленом.
Реформирование выражений почаще каждого производится с целью их облегчения. Для этого применяются особые соотношения, а также правила сокращения и приведения сходственных.
Вам понадобится
- – действия с дробями;
- – формулы сокращенного умножения;
- – калькулятор.
Инструкция
1. Простейшим реформированием является приведение сходственных. Если есть несколько слагаемых, которые представляют собой одночлены с идентичными сомножителями, показатель при них дозволено сложить, с учетом знаков, которые стоят перед этими показателями. Скажем, выражение 2 n-4n+6n-n=3 n.
2. Если же идентичные сомножители имеют различные степени, сходственным образом свести сходственные не допустимо. Группируйте только те показатели, которые имеют при себе сомножители с идентичными степенями. Скажем, упростите выражение 4 k?-6 k+5 k?-5 k?+k-2 k?=3 k?-k?-5 k.
3. Если есть такая вероятность, используйте формулы сокращенного умножения. К особенно знаменитым относятся куб и квадрат суммы либо разности 2-х чисел. Они представляют собой частный случай бинома Ньютона. К формулам сокращенного умножения также относят разность квадратов 2-х чисел. Скажем, дабы обнаружить значения выражения 625-1150+529=(25-23)?=4. Либо 1296-576=(36+24) (36-24)=720.
4. Когда необходимо преобразовать выражение , которое представляет собой естественную дробь, выделите из числителя и знаменателя всеобщий множитель и сократите на него числитель и знаменатель. Скажем, сократите дробь 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). Для этого преобразуйте ее в вид 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Сократите это выражение на 3 (a+b), получите 1/(4 (a-b)).
5. Преобразовывая тригонометрические выражения, используйте вестимые тригонометрические тождества. К ним относится основное тождество sin?(x)+cos?(x)=1, а также формулы тангенса и его соотношения с котангенсом sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x). Формулы суммы разности доводов, а также кратного довода. Скажем, преобразуйте выражение (cos?(x)-sin?(x)) cos?(x) tg(x)= cos(2x) cos?(x) sin(x)/cos(x)= cos(2x) cos(x) sin(x)= cos(2x) cos(x) sin(x) 2/2= cos(2x) sin(2x)/2=cos(2x) sin(2x) 2/4= sin(4x)/4. Такое выражение рассчитать гораздо легче.
Процедура реформирования формул используется в всякий науке, использующей формальный язык математики. Формулы состоят из особых символов, связанных между собой по определенным правилам.
Вам понадобится
- Знание правил математических тождественных реформирований, таблица математических тождеств.
Инструкция
1. Исследуйте выражение на присутствие дробей. Числитель и знаменатель дроби дозволено умножить либо поделить на одно и то же выражение, избавившись от знаменателя. В случае реформирования уравнения, проверьте, нет ли в знаменателях переменных. Если есть – добавьте условие, что выражение знаменателя не равно нулю. Из этого данные выделите недопустимые значения переменных, то есть ограничения в области определения.
2. Примените правила действий со степенями для идентичных оснований. В итоге уменьшится число слагаемых.
3. Перенесите слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения, не содержащие – в иную. К всякой части уравнения применяйте математические тождества для облегчения.
4. Сгруппируйте однородные слагаемые. Для этого вынесите всеобщую переменную за скобки, внутри которых запишите сумму показателей с учетом знаков. Степень той же самой переменной рассматривается как иная переменная.
5. Проверьте, нет ли в формуле образцов тождественных реформирований многочленов. Скажем, нет ли в правой либо левой части формулы разности квадратов, суммы кубов, квадрата разности, квадрата суммы и др. Если есть, то взамен обнаруженного образца подставьте его упрощенный аналог и опять испробуйте произвести группировку слагаемых.
6. В случае реформирования тригонометрических уравнений, неравенств либо легко выражений обнаружьте в них образцы тригонометрических тождеств и примените способ замены части выражения тождественным ему упрощенным выражением. Такое реформирование разрешает избавиться от лишних синусов либо косинусов.
7. Для реформирования углов в всеобщем виде либо в радианной форме воспользуйтесь формулами приведения. Позже реформирования вычислите значение двойного угла либо половинного угла в зависимости от числа пи.
ОТДЕЛЕНИЕ IV.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.
§ 1.Преобразование многочленов в произведение без посредства формул сокращенного умножения и деления.
Если все члены многочлена содержат общий множитель, то можно разделить весь многочлен на этот множитель и обозначить умножение того же множителя на полученное многочленное частное. От этого данное выражение не изменит своего количественного значения, но примет форму произведения. Например, двучлен аb+ас можно представить в виде а (b+с ).
Такое преобразование формы называется вынесением общего множителя за скобки. Производя это действие, следует заботиться выносить.за скобку все, что можно, так чтобы в членах частного, заключаемого в скобки, не оставалось больше никакого общего множителя.
Иногда при вынесении за скобку придают общему миожителю знак минус. В таком случае члены частного в скобках пишутся со знаками, противоположными тем, какие имели перед собой члены данного многочлена. Отрицательный знак общего множителя относится при этом ко всему произведению. Напр., двучлен -аb+ас может быть представлен в виде (-а )(b-с ), а вместо этого пишут -а (b-с ), причем минус относится уже не к одному множителю а , но ко всему произведению.
Когда члены многочлона не имeют общего множителя, то иногда удачной группировкой членов в нeсколько групп, содержащих по нeсколько члeнов в каждой грусшe, находят в этих образовавшихся группах общий и притом многочленный множитель. Нерeдко для такой группировки оказывается достаточным заключить нeсколько членов в скобки со знаком +, или со знаком -.
Напр., имeя трeхчленное выражение а (b +с )+b+с мы заключаем два послeдние члена в скобки с плюсом и находим выражение а (b +с )+(b+с ), которое можно рассматривать как двучлен и котороe преобразовывается в произведоние (а +1 )(b+с ).
Подобно этому в выражении а (b-с )-b+с заключаем два послeдние члена в скобки с минусом, отчего выражение примет вид а (b-с )-(b-с ), а затeм преобразуется в произведение (а - 1 )(b-с ).
В большинствe случаев, встрeчающихся на практикe, требуется для открытия общего многочленного множителя не только соединить члены данного многочлена в группы, но еще вынести в этих группах общий одночленный множитель, различный для каждой. группы. При удачном выборe групп и при обязатeльном условии выносить за скобку все, что можно, общий множитель всего данного многочлена легко обнаруживаeтся.
Напр., имeя многочлен а 3 +а 2 b +2аb 2 +2b 3 , соединяем первыe два члена в одну группу и послeдниe два в другую и выносим в первой группe за скобки а 2 и во второй 2b 2 ; получим а 2 (а+b )+ 2b 2 (а+b ) или (а+b )(а 2 +2b 2 ). Того жe результата можно достигнуть, вынося в пeрвом и трeтьем членах множитeль а , а во втором и четвeртом множитель b .
Подобно этому, соeдиняя в многочленe 3а 3 - 3а 2 b -аb 2 +b 3 пeрвый член с третьим и второй с четвeртым и вынося в пeрвой груапe множитeль а , а во второй множитeль- b , получии а (3а 2 -b 2 )-b (3а 2 -b 2 ) или (а-b )(3а 2 -b 2 ). Тот жо результат оказался бы при вынесении из пeрвых двух члонов за скобки 3а 2 , а из послeдних двух -b 2 .
Нужно замeтить, что подобного рода преобразования отличаются большим разнообразием, в особенности при соединeнии их с другими алгебраическими дeйствиями. Поэтому нельзя дать для этих преобразований общих и вполнe опродeленных правил; навык в них приобрeтается лишь обстоятельным и мeтодическим упражнeнием.
Иногда, преждe чeм группировать члeны мкогочлена для вынeсения в нeм многочлeнного множителя, требуeтся разложить нeкоторыe из членов в алгебраическую сумму новых членов, подобных разлагаемым. В таком случаe части разложенных членов относятся при группировкe к различным группам. Примeним способ разложения к преобразованию трехчленных выражeний.
Чтобы преобразовать трехчлен х 2 +5х +6 , разлагаем член 5 х в сумму членов 2 х и 3 х . Таким образом получим:
х 2 +5х +6 = х 2 +2х+ 3 х +6 = х (х +2 )+3 (х +2 )==(х +2 )(х +3 ).
Для преобразования трехчлена х 2 +2х -15 , разлагаем член +2х в сумму членов +5х и -3х Найдем:
х 2 +2х -15 = х 2 +5х - 3х -15 = х (х +5 )-3 (х +5 )==(х -3 )(х +5 ).
Существует общее правило, указывающее, когда возможно преобразованиe трехчленов ппдобного вида в произведение, и как производить такое преобразование. Для вывода и уяснeния этого правила нужно только разложить четыре вида трехчлена х 2 ± (а+b )х +аb и х 2 ± (а-b )х -аb , взяв каждый из них отдeльно и начав прeобразованиe с раскрытия скобок. Тогда окажется, что в произведение преобразовываются тe трехчлены, у которых пeрвый коэффициент при х 2 есть единица, второй коэффициент при х какой угодно, а третий коэффидиeнт или член, нe содержащий х есть алгебраическое произведение тeх самых количеств, на алгeбраическую сумму которых разлагается второй коэффицинт. Так, в трехчленe х 2 +5х +6 коэффициент 5 есть сумма чисел 3 и 2 , а 6 eсть произвeдениe тeх жe чисел, в трехчленe х 2 +2х -15 коэффициeнт -2 есть сумма количеств -5 и +3 , а -15 есть произведение тех жe количеств. Чтобы произвести прeобразованиe трехчлена, когда оно возиожно, нужно по знакам и числовым величинам третьего и второго коэффициента подыскать способ разложeния трeтьего коэффициeнта в произвeдeниe двух количеств, а второго в сумму тeх жe количеств. Рассмотрим примeры:
Пусть, напр., дан трехчлеч х 2 -11х +24 . Так как коэффициент 24 положитeлен, то искомые производитeли eго должны имeть одинаковыe знаки. Судя по тому, что второй коэффициент -11 отрицатeльный, видим, что эти производитeли коэффициента 24 или слагаeмыe коэффициента -11 оба отрицатeльны. Наконец, разлагая 24 на два отрицательных множителя и сравнивая сумму их с - 11 , убeдимся в том, что для преобразования трeхчлeна в произвeдение нужно разложить средний член - 11 х на члены -3 х и - 8 х.
Положим еще, что дан трехчлен х 2 - 7х -30 . Здeсь коэффициент -30 отрицательный; поэтому производители его имeют разные знаки. Коэффициснт -7 отрицательный; слeдовательно, при составлении его сложением берет перевeс отрицательное слагаемое, имeющее таким образом большую числовую величину. Поэтому член - 7х нужно разложить на члены -10х и +3х .
В произведение прeобразовываются такжe нерeдко трехчлены, у которых первый коэффициeнт нe есть единица. Для таких преобразований не будeм указывать тепeрь общего правила, вывод которого требует болee сложных рассуждений.
Развивая выше рассмотрeнный способ преобразования трехчленов в произведение, можно разлагать многочлены высших степеней в тeх случаях, когда они представляют произведения простeйпшх двучленов первой степени. Для упрощения подобных преобразований полезно выяснить слeдующее замeчание: положим, что какой-либо многочлен содержит множителем нeкоторый двучлен х + а . Так как двучлен этот, при замeнe х через -а , обращается в нуль, то многочлен, содержащий х+а множителем, должен также обращаться в нуль при этой замeнe. Подобно этому если многочлен содержит множителем двучлен х-а , обращающийся в нуль при замeнe х через а , то и сам многочлен обращается в нуль при той же замeнe. Справедливо и обратное заключение: если многочлен, содержащий разные степени х , обращается в нуль при замeнe х через -а или через а , то он навeрноe дeлится в первом случаe на х+а , а во втором на х-а , потому что обращение многочлена в нуль при одной из указанных подстановок может быть объяснено только тeм, что в состав многочлена входит соотвeтствующий двучленный множитель. Вышеуказанные замeчания дают простое средство для открытия в многочленe двучленного множителя, а затeм этот множитель может быть вынесен за скобки посредством разложения средних членов многочлена в алгебраические суммы.
Возьмем, напр., многочлен х 3 +6х 2 +11х +6 . Он обращается в нуль при замeнe х через -1 и потому дeлится на х +1. Зная этот множитель наперед, мы облегчаем себe разложение членов в суммы тeм, что опредeленно подбираем к каждому члену, начиная с высшего, часть слeдующего члена так, чтобы пара группируемых членов содержала множителем х +1 . Поэтому преобразование ведется слeдующим образом:
х
3
+6х
2 +11х
+6
= х
3
+х
2
+5х
2
+5х
+6х
+6
= х
2
(х
+1
)+ 5х
(х
+1
)+ 6
(х
+1
)= (х
+1
)(х
2
+5х
+6
) =
= (х
+1
)(х
+2
)(х
+3
)
ІІодобно этому замeчаем, что многочлен х 3 -4х 2 -11х +30 обращаeтся в нуль при замeнe х через 2 и слeдовательно дeлится на х- 2 . Поэтому выполняем преобразование так:
х
3
-4х
2 -11х
+30
= х
3
-2х
2 -2х
2
+4х
-15х
+30
= х
2
(х
-2
) -2х
(х
-2)-15
(х
-2
)=
=(х
-2
)(х
2
-2х
-15
)=(х
-2
)(х
+3
)(х
-5
).
Первоначальный подбор множителя облегчается тeм, что в многочлен требуется подставлять талько тe количества, числовая величина которых входит множителeм в послeдний член многочлена. Это обнаруживается при рассмотрeнии многочлена, выражающего общий вид произведения (х +а )(х +b )(х +c ) . Последний член этого многочлена есть abc.
