Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.
Определение 1
Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .
Пример 1
Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .
Решение
Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .
Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14 .
Вычислим НОК: НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .
Ответ: НОК (126 , 70) = 630 .
Пример 2
Найдите нок чисел 68 и 34 .
Решение
НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .
Ответ: НОК (68 , 34) = 68 .
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.
Определение 2
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
- составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
- исключаем их полученных произведений все простые множители;
- полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.
Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.
Пример 3
У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .
Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .
Пример 4
Найдите НОК чисел 441 и 700 , разложив оба числа на простые множители.
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100 .
Ответ: НОК (441 , 700) = 44 100 .
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Определение 3
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
- разложим оба числа на простые множители:
- добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
- получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.
Пример 5
Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . К произведению множителей 3 , 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Это и есть НОК чисел 75 и 210 .
Пример 6
Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .
Решение
Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7
и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3
. Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7
числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
3
числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .
Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Ответ: НОК (84 , 648) = 4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Теорема 1
Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k . НОК m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Пример 7
Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение
Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .
Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .
Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .
Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .
НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .
Ответ: НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Определение 4
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
- раскладываем все числа на простые множители;
- к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
- к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
- полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.
Пример 8
Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Решение
Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.
Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.
Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.
Ответ: НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
Пример 9
НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .
Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a
и − a
– противоположные числа,
то множество кратных числа a
совпадает со множеством кратных числа − a
.
Пример 10
Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145 и − 45 .
Решение
Произведем замену чисел − 145 и − 45 на противоположные им числа 145 и 45 . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.
Получим, что НОК чисел − 145 и − 45 равно 1 305 .
Ответ: НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.
Алгоритм нахождения НОД делением
- Большее число делим на меньшее.
- Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
- Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
- Переходим к пункту 1.
Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 / 18 = 1 (остаток 12)
18 / 12 = 1 (остаток 6)
12 / 6 = 2 (остаток 0)
Конец: НОД – это делитель 6.
НОД (30, 18) = 6
a = 50 b = 130 while a != 0 and b != 0 : if a > b: a = a % b else : b = b % a print (a + b)
В цикле в переменную a или b записывается остаток от деления. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это значит, что другая содержит НОД. Однако какая именно, мы не знаем. Поэтому для НОД находим сумму этих переменных. Поскольку в одной из переменных ноль, он не оказывает влияние на результат.
Алгоритм нахождения НОД вычитанием
- Из большего числа вычитаем меньшее.
- Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).
- Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.
- Переходим к пункту 1.
Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое.
НОД (30, 18) = 6
a = 50 b = 130 while a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)
Делитель - это целое число, на которое другое целое число делится без остатка. Для нескольких чисел можно найти общие делители, среди которых будет наибольший. Именно наибольший общий делитель обладает рядом полезных свойств.
Наибольший общий делитель
Делитель целого числа A – это целое число B, на которое A делится без остатка. К примеру, делители числа 24 - 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Каждое число делится на себя и на единицу, поэтому эти делители мы можем не учитывать. Числа, которые делятся только на себя и единицу, считаются простыми и обладают рядом уникальных свойств. Однако к большинству чисел мы можем подобрать делители, некоторые из которых будут общими. К примеру, для числа 36 такими делителями будут 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18. Большинство из них совпадает с делителями числа 24, приведенными выше, но наибольшим из них является 12. Это и есть НОД пары 24 и 36. Понятие наименьшего общего делителя не имеет смысла, так как это всегда единица.
Нахождение НОД
Для вычисления НОД используется три способа. Первый, самый простой для понимания, но при этом наиболее трудоемкий - это простой перебор всех делителей пары и выбор из них наибольшего. Например, для 12 и 16 НОД находится следующим образом:
- выписываем делители для 12 - 2, 3, 4 и 6;
- выписываем делители для 16 - 2, 4 и 8;
- определяем общие делители чисел - 2, 4;
- выбираем наибольший из них - 4.
Второй способ сложнее для понимания, но более эффективен в плане вычислений. В этом случае НОД находится путем разложения чисел на простые множители. Для разложения на простые множители необходимо последовательно делить число без остатка на числа из ряда простых 2, 3, 5, 7, 11, 13…
Для тех же чисел НОД вычисляется по такой схеме:
- раскладываем 12 на простые множители и получаем 2 × 2 × 3;
- раскладываем 16 - 2 × 2 × 2× 2;
- отсеиваем несовпадающие множители и получаем 2 × 2;
- перемножаем множители и определяем НОД = 4.
Третий способ лучше всего подходит для определения НОД пар любых, сколь угодно больших чисел. Алгоритм Евклида - это метод поиска наибольшего общего делителя для пары целых чисел A и B, при условии A>B.
Согласно алгоритму мы должны разделить A на B, в результате которого получится:
где A1 – целое число, C – остаток от деления.
После этого разделим B на остаток C и обозначим результат как B1. Теперь у нас есть новая пара чисел A1 и B1.
Повторим действия. Разделим A1 на B1, получим в результате A2 и C1. После этого разделим B1 на C1 и получим B2. Алгоритм повторяется до тех пор, пока остаток Cn не будет равен нулю.
Рассмотрим его подробно на числах 1729 и 1001. Порядок действий следующий. У нас есть пара (1001, 1729). Для использования алгоритма Евклида первое число в паре должно быть больше. Выполним преобразование для корректной работы алгоритма - меньшее число оставим на месте, а большее заменим на их разницу, так как если оба числа делятся на НОД, то их разность также делится. Получим (1001, 728). Выполним расчеты:
- (1001, 728) = (728, 273) = (273, 182) - вместо того, чтобы много раз искать разность, можно написать остаток от деления 728 на 273.
- (273, 182) = (91, 182) = (91, 0) = 91.
Таким образом, НОД пары 1001 и 1729 равен 91.
Использование НОД
На практике наибольший общий делитель применяется при решении диофантовых уравнений вида ax + by = d. Если НОД (a, b) не делит d без остатка, то уравнение не разрешимо в целых числах. Таким образом, диофантово уравнение имеет целые корни только в случае, если отношение d / НОД (a, b) есть целое число.
Наш онлайн-калькулятор позволяет быстро отыскать наибольший общий делитель как для пары, так и для любого произвольного количества чисел.
Примеры из реальной жизни
Школьная задача
В задаче по арифметике требуется найти НОД четырех чисел: 21, 49, 56, 343. Для решения при помощи калькулятора нам потребуется только указать количество чисел и ввести их в соответствующие ячейки. После этого мы получим ответ, что НОД (21, 49, 56, 343) = 7.
Диофантово уравнение
Пусть у нас есть диофантово уравнение вида 1001 х + 1729 у = 104650. Нам необходимо проверить его на разрешимость в целых чисел. Мы уже считали НОД для этой пары при помощи алгоритма Евклида. Давайте проверим правильность выкладок и пересчитаем НОД на калькуляторе. Действительно, НОД (1001, 1729) = 91. Проверяем возможность целочисленного решения по условию d / НОД (a, b) = 104650/91 = 1150. Следовательно, данное уравнение имеет целые корни.
Заключение
Наибольший общий делитель мы проходим еще в школе, но не всегда понимаем, для чего он нужен в будущем. Однако НОД - важный термин в теории чисел и применяется во многих областях математики. Используйте наш калькулятор для поиска НОД любого количества чисел.
Запомните!
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.
Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Например:
- число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
- число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.
Запомните!
Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число «a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .
Общий делитель двух данных чисел «a » и «b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа «a » и «b ».
Запомните!
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a » и «b » — это наибольшее число, на которое оба числа «a » и «b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел «a » и «b » записывают так :
НОД (a; b) .
Пример: НОД (12; 36) = 12 .
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Д (7) = {1, 7}
Д (9) = {1, 9}
НОД (7; 9) = 1
Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .
Запомните!
Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
- разложить делители чисел на простые множители;
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .
- Подчёркиваем одинаковые
простые множители в обоих числах.
28 = 2 · 2 · 764 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
- Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Общим делителем нескольких чисел называют такое число, на которое делится каждое из данных чисел. Например, дано два числа: 6 и 9. Число 6 имеет делители 1, 2, 3, 6. Число 9 имеет делители 1, 3, 9. Мы видим, что числа 6 и 9 имеют общие делители 1 и 3.
Наибольшим общим делителем (сокращённо НОД) нескольких чисел, называют самый большой из общих делителей, на который каждое из данных чисел делится без остатка.
Таким образом, из всех общих делителей чисел 6 и 9, наибольшим общим делителем является число 3.
Обычно наибольший общий делитель записывают так: НОД (a , b , ...) = x .
Согласно этому, запишем наибольший общий делитель чисел 6 и 9:
НОД (6, 9) = 3.
Числа, НОД которых равен единице, называют взаимно простыми числами . Например, числа 14 и 15 являются взаимно простыми: НОД (14, 15) = 1.
Калькулятор НОД
Данный калькулятор поможет вам найти наибольший общий делитель чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОД.