В учебно-исследовательском проекте «Спираль Архимеда» рассматриваются теоретические и практические особенности архимедовой спирали. В работе особое внимание уделяется анализу построения спирали Архимеда, связи числового ряда Фибоначчи со спиралью Архимеда и применение архимедовой спирали в природе и технике.
Просмотр содержимого документа
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина »
Тема: «Спираль Архимеда»
Выполнил:
Учащийся 10 класса «А»
Задонский Ярослав
Научный руководитель:
Сухненко Ирина Александровна
учитель математик и
Актуальность темы исследования
Человек различает окружающие его предметы по форме
Интерес к форме предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы
Форма, в сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии
Уильям Чарлтон
«Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать её».
- спираль Архимеда
- спираль Архимеда
- особенности построения архимедовой спирали
- характеристика особенностей спирали Архимеда в природе и способов применения ее в технике
Объект исследования
Предмет исследования
Цель проекта
Понятие спирали
сложный символ -использовался со времен палеолита
плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от неё
Спираль – это «кривая жизни»
Понятие спирали по Архимеду
- «Спираль – это траектория равномерного движения точки по равномерно вращающемуся вокруг своего начала лучу».
Связь спирали Архимеда с последовательностью чисел Фибоначчи
- Числа Фибоначчи – это элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Числовой ряд Фибоначчи выглядит следующим образом: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т. д. А отношение каждого последующего числа к предыдущему в этом ряду чисел равно 1,618... Это число называют числом Ф.
Золотое сечение
- «Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением» Иоганн Кеплер
- золотое сечение (золотая пропорция) - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей.
Золотой прямоугольник
- Золотой прямоугольник - это прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции.
- Такой прямоугольник можно использовать для построения золотой спирали.
Золотой прямоугольник
- Отсечём от этого прямоугольника квадрат со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Оставшийся прямоугольник так же будет золотым.
- Теоретически этот процесс можно продолжать до бесконечности (получаются прямоугольники A, B, C, D, E, F, G и т.д.)
- Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и обозначают теоретический центр спирали.
- В любой точке развития золотой спирали отношение длины дуги к ее диаметру равно 1,618.
- Соединив кривой угловые точки этих квадратов, получим спираль Архимеда.
- Лука Пачиоли назвал «золотую пропорцию» Божественной пропорцией
Сосновые шишки и колючки кактусов также имеют спирали, направленные по часовой, или против часовой стрелки. Причём число этих спиралей всегда будут равно соседним числам ряда Фибоначчи. Например, у сосновой шишки спиралей 5 и 8, у ананаса 8 и 13.
В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек.
Вывод
Спираль – это образ жизни
Спираль связывается с образом бесконечности и воплощает идеи развития, непрерывности, космических ритмов
Спираль представляет собой схематический образ эволюции вселенной
Спасибо за внимание !
Спираль, несмотря на простоту изображения, - это сложный и емкий по значению символ. Еще древние люди использовали ее как декоративный символ, узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе симметрию и при зрительном восприятии она вызывает ощущение гармонии и красоты. Спираль, связанная с символикой центра, издавна является началом начал, откуда стартует эволюция, развитие, движение жизни. В свое время на ее форму обратил внимание Архимед. Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил форму спирально закрученной раковины и вывел уравнение спирали. Вычерченный им по этому уравнению виток назван его именем - спираль Архимеда.
Виток Архимеда
Кривая, которую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью вдоль луча, вращающегося с неизменной вокруг своего начала, называется так: "спираль Архимеда". Построение ее проводят следующим образом: задают ее шаг - а, проводят из центра О окружность радиусом, равным шагу спирали, шаг и окружность делят на несколько равных частей, нумеруя точки деления.
Архимед в своем трактате «О спирали» исследовал свойства данной формы, используя полярные координаты, он записал характеристическое свойство ее точек, дал построение касательной к спирали и определил ее площадь. Отображает спираль Архимеда формула r = a*theta. Ученый знал, что увеличение шага спирали всегда равномерно.
Символичность
Поражает необычайное разнообразие значений символа спирали. Он воспринимается как ход и бег времени (циклические ритмы, смена солнечных и ход истории, человеческой жизни). Спираль считается знаком развития, жизненной силы, данной нам природой. Это стремление к новым уровням, к своему центру, мудрости. Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь, мудрость предков. Ведь известно, что змеи очень любят сворачиваться кольцами и внешне походят на спирали.
В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота).Спиральные формы представлены от эволюционных глубин до законов диалектики.
Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе. Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений. Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же принципы.
и последовательность Фибоначчи
Спираль Архимеда имеет тесную связь с Данный закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и сосновых шишек, человека и целых галактик.
Спиральная симметри я
Фактор времени, сочетающийся с вращением и направленным движением, формирует форму спирали. Спирали, присутствующие в структуре произведений искусства, имеют отношение ко времени, не к пространству. Они присутствуют в основном в узорах, реже - в архитектуре.
Это шпили соборов и
Применение в технике
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. стал прообразом шнека («улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм используется в швейных машинках для равномерного наматывания ниток.
Ныне спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.
Архимед (287 г. до н. э. -- 212г. до н. э.) -- древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз (остров Сицилия). Он сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.
Архимедова спираль была открыта Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.
Архимедову спираль использовали в древности, как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга.
В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность - винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции.
Определение спирали Архимеда
Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.
Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.
Построение спирали Архимеда
Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, отметим на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда.
Построим из центра спирали окружность, радиус которой равен шагу спирали. Шаг спирали Архимеда равен расстоянию, которое проходит точка по поверхности круга за один его полный оборот.
Разделим окружность на несколько равных частей с помощью прямых линий. На первой линии откладываем одно деление, на второй-два деления, на третьей-три деления и т. д. Затем чертим соответствующее число дуг из центра окружности, проходящих через первое деление,2-ое и т. д.
Расстояния витков правой спирали, считая по лучу, равны,а расстояния соседних витков, равны.
Уравнение Архимедовой спирали имеет вид:
где - радиус-вектор,- угол вращения,- шаг спирали.
Полярный угол мы отсчитываем от полярной оси, считая его положительным против часовой стрелки.
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) при вращении -- по часовой стрелке -- левая спираль (красная линия).
Полярный радиус-вектор мы будем брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом, а во втором в противоположном направлении.
I.Вычислим площадь, описываемую полярным радиусом спирали при одном его обороте, если началу движения соответствует,
Если мы найдем площадь круга радиуса,то получим
Инструкция
Отметьте на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда . Обозначьте центр буквой O.
Полярные координаты ρ=ρ(φ) следует вводить, используя фокус, как центр. Тогда можно положить ρ=r2 и после незначительных преобразований получите для правых участков эллипса и параболы полярные уравнения (см. рис. 3). При этом а – большая полуось эллипса (мнимая для гиперболы), с – абсцисса фокуса, про параметр b – на рисунке.
Приведенная на формулах рисунка 2 величина ε называется эксцентриситетом. Из формул рисунка 3 следует, что все прочие величины с ней как-либо связаны. И действительно, поскольку ε связана со всеми главными кривыми второго порядка, то на ее основе и можно принимать основные решения. А именно, если ε1 – гипербола. ε=1 – . Это имеет и более глубокий смысл. В куда как крайне сложном курсе «Уравнения математической » дифференциальных уравнений с частными производными производится на этой же основе.
Источники:
- Psi coma. Автор Как Просто. Как привести к каноническому виду уравнение.
- Psi coma. Автор Как Просто. Как привести уравнение к каноническому виду.
Жизнь современной представительницы прекрасного пола не ограничивается лишь семьей и детьми. Большую часть времени занимает работа. Чтобы успеть справиться со всеми своими многочисленными обязанностями, женщине нужно строго планировать свое время, свои нагрузки и, в том числе, количество детей и время их появления. Решить эти задачи помогают современные средства контрацепции.
Вы сможете спокойно кормить грудью, не думая о составе таблеток, которые с молоком могут попасть в его организм. В сравнении со презервативом, который относится к так называемому «барьерному методу», спираль неожиданно не порвется, сделав вас обладательницей еще одного малыша.
Когда же можно после родов? Чаще - через шесть-восемь недель после рождения ребенка, когда врач убедится, что ваш организм в необходимой степени восстановился и каких-либо противопоказаний нет. После сечения спираль ставится только через 6 месяцев.
Как действует спираль
Действие внутриматочной спирали основано на том, что она не позволяет яйцеклетке закрепиться в . Спирали бывают разные по форме - кольцевидные, т-образные и т.д. Их форма должна препятствовать выпадению этого устройства из полости матки. Необходимый противозачаточный эффект спирали достигается за счет ионов меди или другого вещества, которое находится на ее стержне.
На некоторых спиралях вместо меди используется серебро, прополис или золото. Это более дорогие средства защиты, но у них есть дополнительный противовоспалительный эффект. Существуют и гормоносодержащие спирали. Они предотвращают обильные болезненные менструации, которые могут быть после установки этого устройства.
Гормоносодержащие спирали придется менять через 1 год, когда в них истощается запас прогестерона, а спирали с медью - через 2-3 года.
Через несколько лет спираль заменяют на новую. Устанавливается она в последние дни менструации. В первый месяц после установки желательно ограничивать физические нагрузки.
Решать, ставить спираль после родов или нет, может только врач-гинеколог, причем очень опытный. Доверяться непрофессиональному врачу нельзя.
Продолжительность действия спирали указана на упаковке, она зависит от используемого активного вещества на стержне и иногда достигает 8 лет.
При отсутствии должного опыта у врача в лучшем случае вы столкнетесь с болями после , выделениями, в худшем - с выпадением этого устройства, развитием воспалительных явлений или даже опухолями.
В каждом конкретном случае вопрос об установке спирали после родов решается индивидуально с учетом пожеланий женщины и заключения врача о целесообразности использования этого средства контрацепции. В любой момент устройство можно извлечь, чтобы сделать возможным рождение еще одного желанного ребенка.