Основные правила десятичных дробей с примерами. Действия с десятичными дробями

Десятичные дроби - это те же самые обыкновенные дроби, но в так называемой десятичной записи. Десятичная запись используется для дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. При этом вместо дробей 1/10; 1/100; 1/1000; ... пишут 0,1; 0,01; 0,001;... .

К примеру, 0,7 (ноль целых семь десятых ) - это дробь 7/10; 5,43 (пять целых сорок три сотых ) - это смешанная дробь 5 43/100 (или, что то же самое, неправильная дробь 543/100).

Может случиться так, что сразу после запятой стоит один или несколько нулей: 1,03 - это дробь 1 3/100; 17,0087 - это дробь 17 87/10000. Общее правило таково: в знаменателе обыкновенной дроби должно быть столько нулей, сколько цифр стоит после запятой в записи десятичной дроби .

Десятичная дробь может оканчиваться на один или несколько нулей. Оказывается, эти нули «лишние» - их можно попросту убрать: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3,000 = 3. Сообрази, почему это так?

Десятичные дроби естественным образом возникают при делении на «круглые» числа - 10, 100, 1000, ... Обязательно разберись в следующих примерах:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Замечаешь ли ты здесь некую закономерность? Попробуй ее сформулировать. А что будет, если умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000?

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно привести ее к какому-нибудь «круглому» знаменателю:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 и т. д.

Складывать десятичные дроби намного удобнее, чем дроби обыкновенные. Сложение производится так же, как и с обычными числами - по соответствующим разрядам. При сложении в столбик слагаемые нужно записывать так, чтобы их запятые находились на одной вертикали. На этой же вертикали окажется и запятая суммы. Совершенно аналогично выполняется и вычитание десятичных дробей.

Если при сложении или вычитании в одной из дробей количество цифр после запятой меньше, чем в другой, то в конце данной дроби следует дописать нужное число нулей. Можно эти нули и не дописывать, а просто представить их себе в уме.

При умножении десятичных дробей их опять-таки следует перемножить как обычные числа (при этом уже не обязательно записывать запятую под запятой). В полученном результате нужно отделить запятой количество знаков, равное суммарному числу знаков после запятой в обоих множителях.

При делении десятичных дробей можно в делимом и делителе одновременно передвинуть запятую вправо на одно и то же количество знаков: частное от этого не изменится:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Объясни, почему это так?

Нарисуй квадрат 10x10. Закрась какую-нибудь его часть, равную: а) 0,02; б) 0,7; в) 0,57; г) 0,91; д) 0,135 площади всего квадрата.
Что такое 2,43 квадрата? Изобрази на рисунке.
Раздели на 10 числа 37; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 и результат запиши в виде десятичной дроби. Эти же числа раздели на 100 и на 1000.
Умножь на 10 числа 4,6; 6,52; 23,095; 0,01999. Эти же числа умножь на 100 и на 1000.
Представь десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и сократи ее:
а) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
б) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
в) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
г) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
Представь в виде смешанной дроби: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
Представь обыкновенную дробь в виде десятичной дроби:
а) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
б) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
в) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
г) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
Найди сумму: а) 7,3+12,8; б) 65,14+49,76; в) 3,762+12,85; г) 85,4+129,756; д) 1,44+2,56.
Представь единицу в виде суммы двух десятичных дробей. Найди еще двадцать способов такого представления.
Найди разность: а) 13,4–8,7; б) 74,52–27,04; в) 49,736–43,45; г) 127,24–93,883; д) 67–52,07; е) 35,24–34,9975.
Найди произведение: а) 7,6·3,8; б) 4,8·12,5; в) 2,39·7,4; г) 3,74·9,65.

дробного числа.

Десятичная запись дробного числа представляет собой набор двух и более цифр от $0$ до $9$, между которыми находится так называемая \textit{десятичная запятая}.

Пример 1

Например, $35,02$; $100,7$; $123 \ 456,5$; $54,89$.

Крайняя левая цифра в десятичной записи числа не может быть нулем, исключением является только случай, когда десятичная запятая стоит сразу после первой цифры $0$.

Пример 2

Например, $0,357$; $0,064$.

Часто десятичную запятую заменяют десятичной точкой. Например, $35.02$; $100.7$; $123 \ 456.5$; $54.89$.

Определение десятичной дроби

Определение 1

Десятичные дроби -- это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.

Например, $121,05$; $67,9$; $345,6700$.

Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д. и смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д.

Например, обыкновенную дробь $\frac{8}{10}$ можно записать в виде десятичной дроби $0,8$, а смешанное число $405\frac{8}{100}$ -- в виде десятичной дроби $405,08$.

Чтение десятичных дробей

Десятичные дроби, которые соответствуют правильным обыкновенным дробям , читаются также как и обыкновенные дроби, только впереди добавляется фраза «ноль целых». Например, обыкновенной дроби $\frac{25}{100}$ (читается «двадцать пять сотых») отвечает десятичная дробь $0,25$ (читается «нуль целых двадцать пять сотых»).

Десятичные дроби, которые соответствуют смешанным числам, читаются также как и смешанные числа. Например, смешанному числу $43\frac{15}{1000}$ соответствует десятичная дробь $43,015$ (читается «сорок три целых пятнадцать тысячных»).

Разряды в десятичных дробях

В записи десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции. Т.е. в десятичных дробях также имеет место понятие разряда .

Разряды в десятичных дробях до десятичной запятой называются так же, как и разряды в натуральных числах. Разряды в десятичных дробях после запятой вынесены в таблицу:

Рисунок 1.

Пример 3

Например, в десятичной дроби $56,328$ цифра $5$ стоит в разряде десятков, $6$ - в разряде единиц, $3$ - в разряде десятых, $2$ - в разряде сотых, $8$ -- в разряде тысячных.

Разряды в десятичных дробях различают по старшинству. При чтении десятичной дроби движутся слева направо -- от старшего разряда к младшему .

Пример 4

Например, в десятичной дроби $56,328$ старшим (высшим) разрядом является разряд десятков, а младшим (низшим) -- разряд тысячных.

Десятичную дробь можно разложить по разрядам аналогично разложению по разрядам натурального числа.

Пример 5

Например, разложим по разрядам десятичную дробь $37,851$:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Конечные десятичные дроби

Определение 2

Конечными десятичными дробями называют десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).

Например, $0,138$; $5,34$; $56,123456$; $350 972,54$.

Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь или смешанное число.

Пример 6

Например, конечной десятичной дроби $7,39$ отвечает дробное число $7\frac{39}{100}$, а конечной десятичной дроби $0,5$ соответствует правильная обыкновенная дробь $\frac{5}{10}$ (или любая дробь, которая равна ей, например, $\frac{1}{2}$ или $\frac{10}{20}$.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями $10, 100, \dots$ в десятичные дроби

Перед переводом некоторых правильных обыкновенных дробей в десятичные их нужно предварительно «подготовить». Результатом такой подготовки должно быть одинаковое количество цифр в числителе и количество нулей в знаменателе.

Суть «предварительной подготовки» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби -- дописывание слева в числителе такого числа нулей, чтобы общее количество цифр стало равно числу нулей в знаменателе.

Пример 7

Например, подготовим обыкновенную дробь $\frac{43}{1000}$ к переводу в десятичную и получим $\frac{043}{1000}$. А обыкновенная дробь $\frac{83}{100}$ в подготовке не нуждается.

Сформулируем правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем $10$, или $100$, или $1 \ 000$, $\dots$ в десятичную дробь :

записать $0$;

после него поставить десятичную запятую;

записать число из числителя (вместе с дописанными нулями после подготовки, если она была нужна).

Пример 8

Перевести правильную обыкновенную дробь $\frac{23}{100}$ в десятичную.

Решение.

В знаменателе стоит число $100$, которое содержит $2$ два нуля. В числителе стоит число $23$, в записи которого $2$.цифры. значит, подготовку для этой дроби к переводу в десятичную проводить не нужно.

Запишем $0$, поставим десятичную запятую и запишем число $23$ из числителя. Получим десятичную дробь $0,23$.

Ответ : $0,23$.

Пример 9

Записать правильную дробь $\frac{351}{100000}$ в виде десятичной дроби.

Решение.

В числителе данной дроби $3$ цифры, а число нулей в знаменателе -- $5$, поэтому данную обыкновенную дробь нужно подготовить к переводу в десятичную. Для этого необходимо дописать $5-3=2$ нуля слева в числителе: $\frac{00351}{100000}$.

Теперь можем составить нужную десятичную дробь. Для этого запишем $0$, затем поставим запятую и запишем число из числителя. Получим десятичную дробь $0,00351$.

Ответ : $0,00351$.

Сформулируем правило перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями $10$, $100$, $\dots$ в десятичные дроби :

записать число из числителя;

отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.

Пример 10

Перевести неправильную обыкновенную дробь $\frac{12756}{100}$ в десятичную дробь.

Решение.

Запишем число из числителя $12756$, затем отделим десятичной запятой $2$ цифры справа, т.к. в знаменателе исходной дроби $2$ нуля. Получим десятичную дробь $127,56$.

дробного числа.

Пример 1

Например, $35,02$; $100,7$; $123 \ 456,5$; $54,89$.

Пример 2

Например, $0,357$; $0,064$.

Часто десятичную запятую заменяют десятичной точкой. Например, $35.02$; $100.7$; $123 \ 456.5$; $54.89$.

Определение десятичной дроби

Определение 1

Десятичные дроби -- это дробные числа, которые представлены в десятичной записи.

Например, $121,05$; $67,9$; $345,6700$.

Чтение десятичных дробей

Разряды в десятичных дробях

Рисунок 1.

Пример 3

Пример 4

Десятичную дробь можно разложить по разрядам аналогично разложению по разрядам натурального числа.

Пример 5

Например, разложим по разрядам десятичную дробь $37,851$:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Конечные десятичные дроби

Определение 2

Например, $0,138$; $5,34$; $56,123456$; $350 972,54$.

Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь или смешанное число.

Пример 6

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями $10, 100, \dots$ в десятичные дроби

Пример 7

записать $0$;

после него поставить десятичную запятую;

записать число из числителя (вместе с дописанными нулями после подготовки, если она была нужна).

Пример 8

Перевести правильную обыкновенную дробь $\frac{23}{100}$ в десятичную.

Решение.

Запишем $0$, поставим десятичную запятую и запишем число $23$ из числителя. Получим десятичную дробь $0,23$.

Ответ : $0,23$.

Пример 9

Записать правильную дробь $\frac{351}{100000}$ в виде десятичной дроби.

Решение.

Ответ : $0,00351$.

записать число из числителя;

отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.

Пример 10

Перевести неправильную обыкновенную дробь $\frac{12756}{100}$ в десятичную дробь.

Решение.

§ 102. Предварительные разъяснения.

В предыдущей части мы рассматривали дроби со всевозможными знаменателями и называли их обыкновенными дробями. Нас интересовала всякая дробь, которая возникала в процессе измерения или деления, независимо от того, какой у нас получался знаменатель.

Теперь из всего множества дробей мы выделим дроби со знаменателями: 10, 100, 1 000, 10 000 и т. д., т. е. такие дроби, знаменателями которых являются только числа, изображаемые единицей (1) с последующими нулями (одним или несколькими). Такие дроби называются десятичными.

Вот примеры десятичных дробей:

С десятичными дробями мы встречались и раньше, но не указывали никаких особых присущих им свойств. Теперь мы покажем, что они обладают некоторыми замечательными свойствами, вследствие чего упрощаются все вычисления с дробями.

§ 103. Изображение десятичной дроби без знаменателя.

Десятичные дроби обычно записывают не так, как обыкновенные, а по тем правилам, по которым записываются целые числа.

Чтобы понять, каким образом записать десятичную дробь без знаменателя, нужно припомнить, как пишется по десятичной системе любое целое число. Если, например, мы напишем трёхзначное число при помощи одной только цифры 2, т. е. число 222, то каждая из этих двоек будет иметь особое значение в зависимости от того места, какое она занимает в числе. Первая двойка с права обозначает единицы, вторая - десятки, третья - сотни. Таким образом, всякая цифра, стоящая влево от какой-либо другой цифры, обозначает единицы, в десять раз большие, чем те, которые обозначены предыдущей цифрой. Если какой-либо разряд отсутствует, то на его месте пишут нуль.

Итак, в целом числе на первом месте справа стоят единицы, на втором месте - десятки и т. д.

Теперь поставим вопрос, какого разряда единицы получатся, если мы, например, в числе 222 с правой стороны припишем ещё одну цифру. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно принять во внимание, что последняя двойка (первая справа) обозначает единицы.

Следовательно, если после двойки, обозначающей единицы, мы, немного отступя, напишем ещё какую-нибудь цифру, например 3, то она будет обозначать единицы, в десять раз меньшие предыдущих , иными словами, она будет обозначать десятые доли единицы; получится число, содержащее 222 целых единицы и 3 десятые доли единицы.

Принято между целой и дробной частью числа ставить запятую, т. е. писать так:

Если мы после тройки в этом числе припишем ещё цифру, например 4, то она будет обозначать 4 сотых доли единицы; число примет вид:

и произносится: двести двадцать две целых, тридцать четыре сотых.

Новая цифра, например 5, будучи приписана к этому числу, даёт нам тысячные доли : 222,345 (двести двадцать две целых, триста сорок пять тысячных).

Для большей ясности расположение в числе целых и дробных разрядов можно представить в виде таблицы:

Таким образом, мы разъяснили, как пишутся десятичные дроби без знаменателя. Напишем несколько таких дробей.

Чтобы написать без знаменателя дробь 5 / 10 , нужно принять во внимание, что у неё нет целых и, значит, место целых должно быть занято нулём, т. е. 5 / 10 = 0,5.

Дробь 2 9 / 100 без знаменателя напишется так: 2,09, т. е. на месте десятых нужно поставить нуль. Если бы мы пропустили этот 0, то получили бы совсем другую дробь, а именно 2,9, т. е. две целых и девять десятых.

Значит, при написании десятичных дробей нужно обозначать нулём недостающие целые и дробные разряды:

0,325 - нет целых,
0,012 - нет целых и нет десятых,
1,208 - нет сотых,
0,20406 - нет целых, нет сотых и нет десятитысячных.

Цифры, стоящие правее запятой, принято называть десятичными знаками.

Чтобы не допустить ошибки при написании десятичных дробей, нужно помнить, что после запятой в изображении десятичной дроби должно быть столько цифр, сколько будет нулей в знаменателе, если бы эту дробь мы написали со знаменателем, т. е.

0,1 = 1 / 10 (в знаменателе один нуль и после запятой одна цифра);

§ 104. Приписывание нулей к десятичной дроби.

В предыдущем параграфе было рассказано, как изображаются десятичные дроби без знаменателей. Большое значение при написании десятичных дробей имеет нуль. Всякая правильная десятичная дробь имеет нуль на месте целых для обозначения того, что целые у такой дроби отсутствуют. Мы напишем сейчас несколько различных десятичных дробей с помощью цифр: 0, 3 и 5.

0,35 - 0 целых, 35 сотых,
0,035 - 0 целых, 35 тысячных,
0,305 - 0 целых, 305 тысячных,
0,0035 - 0 целых, 35 десятитысячных.

Выясним теперь, какое значение имеют н у л и, поставленные в конце десятичной дроби, т. е. справа .

Если мы возьмём целое число, например 5, поставим после него запятую, а затем после запятой напишем нуль, то этот нуль будет обозначать нуль десятых. Следовательно, этот приписанный справа нуль на величину числа не повлияет, т. е.

Возьмём теперь число 6,1 и припишем к нему справа нуль, получим 6,10, т. е. у нас после запятой была 1 / 10 , а стало 10 / 100 , но 10 / 100 равны 1 / 10 . Значит, величина числа не изменилась, а от приписывания справа нуля изменился только вид числа и произношение (6,1 - шесть целых одна десятая; 6,10 - шесть целых десять сотых).

Подобными рассуждениями мы можем убедиться в том, что приписывание справа нулей к десятичной дроби не изменяет её величины. Следовательно, можно написать такие равенства:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 и т. д.

Если же мы припишем нули слева от десятичной дроби, то они не будут иметь никакого значения. В самом деле, если слева от числа 4,6 мы напишем нуль, то число примет вид04,6. На каком месте стоит нуль? Он стоит на месте десятков, т. е. показывает, что в этом числе нет десятков, но это ясно и без нуля.

Следует, однако, запомнить, что иногда к десятичным дробям приписываются справа нули. Например, имеется четыре дроби: 0,32; 2,5; 13,1023; 5,238. Приписываем справа нули к тем дробям, у которых меньше десятичных знаков после запятой: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380.

Для чего это сделано? Приписывая справа нули, мы получили у каждого числа после запятой четыре цифры, значит, у каждой дроби знаменатель будет 10 000, а до приписывания нулей у первой дроби знаменатель был 100, у второй 10, у третьей 10 000 и у четвёртой 1 000. Таким образом, приписыванием нулей мы уравняли число десятичных знаков наших дробей, т. е. привели их к общему знаменателю. Следовательно, приведение десятичных дробей к общему знаменателю осуществляется посредством приписывания нулей к этим дробям.

С другой стороны, если у какой-нибудь десятичной дроби имеются справа нули, то мы можем их отбросить, не изменяя её величины, например: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4,200 = 4,2.

Как нужно понимать такое отбрасывание нулей справа от десятичной дроби? Оно равносильно её сокращению, и это видно, если мы данные десятичные дроби запишем с знаменателем:

§ 105. Сравнение десятичных дробей по величине.

При употреблении десятичных дробей очень важно уметь сравнивать между собой дроби и отвечать на вопрос, какие из них равны, какие больше и какие меньше. Сравнение десятичных дробей выполняется иначе, чем сравнение целых чисел. Например, целое двузначное число всегда больше однозначного, сколько бы единиц ни было в однозначном числе; трёхзначное число больше двузначного и тем более однозначного. Но при сравнении десятичных дробей было бы ошибочно подсчитывать все знаки, при помощи которых написаны дроби.

Возьмём две дроби: 3,5 и 2,5, и сравним их по величине. Десятичные знаки у них одинаковые, но у первой дроби 3 целых, а у второй 2. Первая дробь больше второй, т. е.

Возьмём иные дроби: 0,4 и 0,38. Для сравнения этих дробей полезно приписать справа к первой дроби нуль. Тогда мы будем сравнивать дроби 0,40 и 0,38. Каждая из них имеет после запятой две цифры: значит, у этих дробей один и тот же знаменатель 100.

Нам нужно только сравнить их числители, но числитель 40 больше 38. Значит, первая дробь больше второй, т. е.

У первой дроби число десятых долей больше, чем у второй, правда, вторая дробь имеет ещё 8 сотых, но они меньше одной десятои, потому что 1 / 10 = 10 / 100 .

Сравним теперь такие дроби: 1,347 и 1,35. Припишем справа ко второй дроби нуль и будем сравнивать десятичные дроби: 1,347 и 1,350. Целые части у них одинаковы, значит, нужно сравнить только дробные части: 0,347 и 0,350. Знаменатель у этих дробей общий, но числитель второй дроби больше числителя первой, значит, вторая дробь больше первой, т. е. 1,35 > 1,347.

Сравним, наконец, ещё две дроби: 0,625 и 0,62473. Припишем к первой дроби два нуля, чтобы уравнялись разряды, и сравним полученные дроби: 0,62500 и 0,62473. Знаменатели у них одинаковы, но числитель первой дроби 62 500 больше числителя второй дроби 62 473. Следовательно, первая дробь больше второй, т. е. 0,625 > 0,62473.

На основании изложенного мы можем сделать такой вывод: из двух десятичных дробей та больше, у которой число целых больше; при равенстве целых та дробь больше, у которой число десятых больше; при равенстве целых и десятых та дробь больше, у которой число сотых больше, и т. д.

§ 106. Увеличение и уменьшение десятичной дроби в 10, в 100, в 1 000 и т. д. раз.

Мы уже знаем, что приписывание нулей к десятичной дроби не влияет на её величину. Когда же мы изучали целые числа, то видели, что всякий приписанный справа нуль увеличивал число в 10 раз. Нетрудно понять, почему это происходило. Если мы возьмём целое число, например 25, и припишем к нему справа нуль, то число увеличится в 10 раз, число 250 в 10 раз больше 25. Когда справа появился нуль, то число 5, которое раньше обозначало единицы, теперь стало обозначать десятки, а число 2, которое раньше обозначало десятки, теперь стало обозначать сотни. Значит, благодаря появлению нуля, прежние разряды заменились новыми, они укрупнились, они передвинулись на одно место влево. Когда нужно увеличить десятичную дробь, например, в 10 раз, то мы тоже должны передвинуть разряды на одно место влево, но такое передвижение не может быть достигнуто при помощи нуля. Десятичная дробь состоит из целой и дробной частей и границей между ними служит запятая. Слева от запятой стоит наинизший целый разряд, справа - наивысший дробный. Рассмотрим дробь:

Как нам передвинуть в ней разряды, хотя бы на одно место, т. е., другими словами, как нам увеличить её в 10 раз? Если мы передвинем запятую на одно место вправо, то прежде всего это отразится на судьбе пятёрки: она из области дробных чисел попадает в область целых. Число тогда примет вид: 12345,678. Изменение произошло и со всеми другими цифрами, а не только с пятёркой. Все входящие в число цифры стали играть новую роль, произошло следующее (см. таблицу):

Все разряды изменили своё наименование, и все разрядные единицы, так сказать, повысились на одно место. От этого всё число увеличилось в 10 раз. Таким образом, перенесение запятой на один знак вправо увеличивает число в 10 раз.

Рассмотрим ещё примеры:

1) Возьмём дробь 0,5 и перенесём запятую на одно место вправо; получим число 5, которое в 10 раз больше 0,5, потому что раньше пятёрка обозначала десятые доли единицы, а теперь она обозначает целые единицы.

2) Перенесём в числе 1,234 запятую на два знака вправо; число примет вид 123,4. Это число в 100 раз больше прежнего потому что в нём цифра 3 стала обозначать единицы, цифра 2 - десятки, а цифра 1 - сотни.

Таким образом, чтобы увеличить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести запятую в ней на один знак вправо; чтобы увеличить её в 100 раз, нужно перенести запятую на два знака вправо; чтобы увеличить в 1 000 раз - на три знака вправо, и т. д.

Если при этом не хватает знаков у числа, то приписывают к нему справа нули. Например, увеличим дробь 1,5 в 100 раз, перенеся запятую на два знака; получим 150. Увеличим дробь 0,6 в 1 000 раз; получим 600.

Обратно, если требуется уменьшить десятичную дробь в 10, в 100, в 1 000 и т. д. раз, то нужно перенести в ней запятую влево на один, два, три и т. д. знака. Пусть дана дробь 20,5; уменьшим её в 10 раз; для этого перенесём запятую на один знак влево, дробь примет вид 2,05. Уменьшим дробь 0,015 в 100 раз; получим 0,00015. Уменьшим число 334 в 10 раз; получим 33,4.

Уже в начальной школе учащиеся сталкиваются с дробями. И потом они появляются в каждой теме. Забывать действия с этими числами нельзя. Поэтому нужно знать всю информацию про обыкновенные и десятичные дроби. Понятия эти несложные, главное - разбираться во всем по порядку.

Зачем нужны дроби?

Окружающий нас мир состоит из целых предметов. Поэтому в долях необходимости нет. Зато повседневная жизнь постоянно наталкивает людей на работу с частями предметов и вещей.

Например, шоколад состоит из нескольких долек. Рассмотрим ситуацию, когда его плитка образована двенадцатью прямоугольниками. Если ее разделить на двоих, то получится по 6 частей. Она хорошо разделится и на троих. А вот пятерым не удастся дать по целому числу долек шоколада.

Кстати, эти дольки - уже дроби. А дальнейшее их деление приводит к появлению более сложных чисел.

Что такое «дробь»?

Это число, состоящее из частей единицы. Внешне оно выглядит как два числа, разделенные горизонтальной или наклонной чертой. Эта черта носит название дробной. Число, записанное сверху (слева), называется числителем. То, что стоит снизу (справа), является знаменателем.

По сути, дробная черта оказывается знаком деления. То есть числитель можно назвать делимым, а знаменатель — делителем.

Какие существуют дроби?

В математике их имеется всего два вида: обыкновенные и десятичные дроби. С первыми школьники знакомятся в начальных классах, называя их просто «дроби». Вторые узнают в 5 классе. Именно тогда появляются эти названия.

Обыкновенные дроби — все те, что записываются в виде двух чисел, разделенных чертой. Например, 4/7. Десятичная — это число, в котором дробная часть имеет позиционную запись и отделяется от целой при помощи запятой. К примеру, 4,7. Учащимся нужно четко уяснить, что два приведенных примера — это совершенно разные числа.

Каждую простую дробь можно записать в виде десятичной. Это утверждение почти всегда верно и в обратном направлении. Существуют правила, которые позволяют записать обыкновенной дробью десятичную дробь.

Какие подвиды имеют указанные виды дробей?

Начать лучше в хронологическом порядке, так как они изучаются. Первыми идут обыкновенные дроби. Среди них можно выделить 5 подвидов.

Правильная. Ее числитель всегда меньше знаменателя.

Неправильная. У нее числитель больше или равен знаменателю.

Сократимая/несократимая. Она может оказаться как правильной, так и неправильной. Важно другое, есть ли у числителя со знаменателем общие множители. Если имеются, то на них полагается разделить обе части дроби, то есть сократить ее.

Смешанная. К ее привычной правильной (неправильной) дробной части приписывается целое число. Причем оно всегда стоит слева.

Составная. Она образуется из двух разделенных друг на друга дробей. То есть в ней насчитывается сразу три дробные черты.

У десятичных дробей есть всего два подвида:

конечная, то есть та, у которой дробная часть ограничена (имеет конец);

бесконечная — число, у которого цифры после запятой не заканчиваются (их можно писать бесконечно).

Как переводить десятичную дробь в обыкновенную?

Если это конечное число, то применяется ассоциация, основанная на правиле — как слышу, так пишу. То есть нужно правильно прочитать ее и записать, но уже без запятой, а с дробной чертой.

В качестве подсказки о необходимом знаменателе, нужно запомнить, что он всегда единица и несколько нулей. Последних нужно написать столько, сколько цифр в дробной части рассматриваемого числа.

Как перевести десятичные дроби в обыкновенные, если их целая часть отсутствует, то есть равна нулю? Например, 0,9 или 0,05. После применения указанного правила, получается, что нужно написать ноль целых. Но оно не указывается. Остается записать только дробные части. У первого числа знаменатель будет равен 10, у второго — 100. То есть указанные примеры ответами будут иметь числа: 9/10, 5/100. Причем последнее оказывается можно сократить на 5. Поэтому результатом для нее нужно записать 1/20.

Как из десятичной дроби сделать обыкновенную, если ее целая часть отлична от нуля? Например, 5,23 или 13,00108. В обоих примерах читается целая часть и записывается ее значение. В первом случае это — 5, во втором — 13. Потом нужно переходить к дробной части. С ними полагается провести ту же операцию. У первого числа появляется 23/100, у второго — 108/100000. Второе значение снова нужно сократить. В ответе получаются такие смешанные дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную?

Если она является непериодической, то такую операцию провести не удастся. Этот факт связан с тем, что каждая десятичная дробь всегда переводится или в конечную или в периодическую.

Единственное, что допускается делать с такой дробью, — это округлять ее. Но тогда десятичная будет приблизительно равно той бесконечной. Ее уже можно превратить в обыкновенную. Но обратный процесс: перевод в десятичную — никогда не даст начального значения. То есть бесконечные непериодические дроби в обыкновенные не переводятся. Это нужно запомнить.

Как записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной?

В этих числах после запятой всегда появляются одна или несколько цифр, которые повторяются. Их называют периодом. Например, 0,3(3). Здесь «3» в периоде. Их относят к классу рациональных, так как могут быть преобразованы в обыкновенные дроби.

Тем, кто встречался с периодическими дробями, известно, что они могут быть чистыми или смешанными. В первом случае период начинается сразу от запятой. Во втором — дробная часть начинается с каких-либо цифр, а потом начинается повтор.

Правило, по которому нужно записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную, будет разным для указанных двух видов чисел. Чистые периодические дроби записать обыкновенными достаточно просто. Как с конечными, их нужно преобразовать: в числитель записать период, а знаменателем будет цифра 9, повторяющаяся столько раз, сколько цифр содержит период.

Например, 0,(5). Целой части у числа нет, поэтому сразу нужно приступать к дробной. В числитель записать 5, а в знаменатель одну 9. То есть ответом будет дробь 5/9.

Правило о том, как записать обыкновенной десятичную периодическую дробь, являющуюся смешанной.

Посмотреть на длину периода. Столько 9 будет иметь знаменатель.

Записать знаменатель: сначала девятки, потом нули.

Чтобы определить числитель, нужно записать разность двух чисел. Уменьшаемым будут все цифры после запятой, вместе с периодом. Вычитаемым — оно же без периода.

Например, 0,5(8) - запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной. В дробной части до периода стоит одна цифра. Значит ноль будет один. В периоде тоже только одна цифра — 8. То есть девятка одна. То есть в знаменателе нужно написать 90.

Для определения числителя из 58 нужно вычесть 5. Получается 53. Ответом к примеру придется записать 53/90.

Как переводятся обыкновенные дроби в десятичные?

Самым простым вариантом оказывается число, в знаменателе которого стоит число 10, 100 и прочее. Тогда знаменатель просто отбрасывается, а между дробной и целой частями ставится запятая.

Бывают ситуации, когда знаменатель легко превращается в 10, 100 и т. д. Например, числа 5, 20, 25. Их достаточно умножить на 2, 5 и 4 соответственно. Только умножать полагается не только знаменатель, но и числитель на то же число.

Для всех остальных случаев пригодится простое правило: разделить числитель на знаменатель. В этом случае может получиться два варианта ответов: конечная или периодическая десятичная дробь.

Действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание

С ними учащиеся знакомятся раньше других. Причем сначала у дробей одинаковые знаменатели, а потом разные. Общие правила можно свести к такому плану.

Найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Записать дополнительные множители ко всем обыкновенным дробям.

Умножить числители и знаменатели на определенные для них множители.

Сложить (вычесть) числители дробей, а общий знаменатель оставить без изменения.

Если числитель уменьшаемого меньше вычитаемого, то нужно выяснить, перед нами смешанное число или правильная дробь.

В первом случае у целой части нужно занять единицу. К числителю дроби прибавить знаменатель. А потом выполнять вычитание.

Во втором — необходимо применить правило вычитания из меньшего числа большее. То есть из модуля вычитаемого вычесть модуль уменьшаемого, а в ответ поставить знак «-».

Внимательно посмотреть на результат сложения (вычитания). Если получилась неправильная дробь, то полагается выделить целую часть. То есть разделить числитель на знаменатель.

Умножение и деление

Для их выполнения дроби не нужно приводить к общему знаменателю. Это упрощает выполнение действий. Но в них все равно полагается следовать правилам.

При умножении обыкновенных дробей необходимо рассмотреть числа в числителях и знаменателях. Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, то их можно сократить.

Перемножить числители.

Перемножить знаменатели.

Если получилась сократимая дробь, то ее полагается снова упростить.

При делении нужно сначала заменить деление на умножение, а делитель (вторую дробь) — на обратную дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

Потом действовать, как при умножении (начиная с пункта 1).

В заданиях, где умножить (делить) нужно на целое число, последнее полагается записать в виде неправильной дроби. То есть со знаменателем 1. Потом действовать, как было описано выше.

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание

Конечно, всегда можно превратить десятичную дробь в обыкновенную. И действовать по уже описанному плану. Но иногда удобнее действовать без этого перевода. Тогда правила для их сложения и вычитания будут совершенно одинаковыми.

Уравнять число цифр в дробной части числа, то есть после запятой. Приписать в ней недостающее количество нулей.

Записать дроби так, чтобы запятая оказалась под запятой.

Сложить (вычесть) как натуральные числа.

Снести запятую.

Умножение и деление

Важно, что здесь не нужно дописывать нули. Дроби полагается оставлять в том виде, как они даны в примере. А дальше идти по плану.

Для умножения нужно написать дроби одна под другой, не обращая внимание на запятые.

Умножить, как натуральные числа.

Поставить в ответе запятую, отсчитав от правого конца ответа столько цифр, сколько их стоит в дробных частях обоих множителей.

Для деления нужно сначала преобразовать делитель: сделать его натуральным числом. То есть умножить его на 10, 100 и т. д., в зависимости от того, сколько цифр в дробной части делителя.

На то же число умножить делимое.

Разделить десятичную дробь на натуральное число.

Поставить в ответе запятую в тот момент, когда закончится деление целой части.

Как быть, если в одном примере есть оба вида дробей?

Да в математике часто встречаются примеры, в которых нужно выполнить действия над обыкновенными и десятичными дробями. В таких заданиях возможны два пути решения. Нужно объективно взвесить числа и выбрать оптимальный.

Первый путь: представить обыкновенные десятичными

Он подходит, если при делении или переводе получаются конечные дроби. Если хотя бы одно число дает периодическую часть, то этот прием применять запрещено. Поэтому, даже если не нравится работать с обыкновенными дробями, придется считать их.

Второй путь: записать десятичные дроби обыкновенными

Этот прием оказывается удобным, если в части после запятой стоят 1-2 цифры. Если их больше, может получиться очень большая обыкновенная дробь и десятичные записи позволят сосчитать задание быстрее и проще. Поэтому всегда нужно трезво оценивать задание и выбирать самый простой метод решения.