Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.
Навигация по странице.
Что значит привести одночлен к стандартному виду?
С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.
Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.
Как привести одночлен к стандартному виду?
Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.
Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?
Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:
- Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
- Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .
В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.
Примеры, решения
Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.
Пример.
Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.
Решение.
Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .
Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .
Ответ:
3·x·2·x 2 =6·x 3 .
Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.
Для закрепления материала решим еще один пример.
Пример.
Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.
Решение.
Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1
, перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a
, отдельно – с переменно b
, а переменную m
группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем 
. После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1
. Минус единицу можно заменить знаком минус: .
В математике существует множество различных математических выражений, и кекоторые из них имеют свое закрепившиеся названия. С одним из таких понятий нам и предстоит познакомиться – это одночлен.
Одночлен - это математическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных, каждая из которых может входить в произведение в некоторой степени. Для того, чтобы лучше разобраться с новым понятием, необходимо ознакомиться с несколькими примерами.
Примеры одночленов
Выражения 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 являются одночленами. Как видите, одно только число или переменная (в степени или без) тоже является одночленом. А вот, например, выражения 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 уже не являются одночленам , так как они не подходят под определения. В первом выражении используется «сумма», а это недопустимо, во втором – «деление», в третьем – разность.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Например, выражение 2*a^3*b/3 тоже является одночленом, хотя там и присутствует деление. Но в данном случае деление происходит на число, и поэтому соответствующее выражение можно переписать следующим образом: 2/3*a^3*b. Еще один пример: какое из выражений 2/х и х/2 является одночленом, а какое нет? правильно ответить, что первое выражение не одночлен, а второе одночлен.
Стандартный вид одночлена
Посмотрите на следующие два выражения-одночлена: ¾*a^2*b^3 и 3*a*1/4*b^3*a. На самом деле это два одинаковых одночлена. Не правда ли, что первое выражение выглядит более удобным, чем второе?
Причиной этого является то, что первое выражение записано в стандартном виде. Стандартный вид многочлена - это произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных. Числовой множитель называется коэффициентом одночлена.
Для того, чтобы привести одночлен к его стандартному виду, достаточно перемножить все числовые множители, присутствующие в одночлене, и поставить получившееся число на первое место. Затем перемножить все степени, у которых одинаковые буквенные основания.
Приведение одночлена к его стандартному виду
Если в нашем примере во втором выражении перемножить все числовые множители 3*1/4 и потом умножить a*a, то получится первый одночлен. Это действие называется приведение одночлена к его стандартному виду.
Если два одночлена различаются только числовым коэффициентом или равны между собой, то такие одночлены называются в математике подобными.
В этом уроке мы дадим строгое определение одночлена, рассмотрим различные примеры из учебника. Вспомним правила умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дадим определение стандартного вида одночлена, коэффициента одночлена и его буквенной части. Рассмотрим два основных типовых действия над одночленами, а именно приведение к стандартному виду и вычисление конкретного численного значения одночлена при заданных значениях входящих в него буквенных переменных. Сформулируем правило приведения одночлена к стандартному виду. Научимся решать типовые задачи с любыми одночленами.
Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
Рассмотри некоторые примеры:
3. 
;
Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена : одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.
Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:
Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.
Приведем еще несколько примеров:
Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.
Теперь выясним действия над одночленами .
1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ;и пример №2 /
Во втором примере мы видим только один коэффициент - , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а » представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.
В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента - и , переменную «» мы видим дважды - как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами - приведение одночлена к стандартному виду . Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.
Итак, рассмотри пример:
Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:
;
Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена .
Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х » согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:
теперь перемножим степени «у »:
;
Итак, приведем упрощенное выражение:
;
Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду :
Перемножить все числовые множители;
Поставить полученный коэффициент на первое место;
Перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;
То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.
Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду . Рассмотри примеры из учебника:
Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.
Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.
1. 
;
3. 
;
Комментарии к первому примеру : Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:
- мы нашли коэффициент заданного одночлена;
; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;
запишем ответ: ;
Комментарии ко второму примеру : Следуя правилу выполняем:
1) перемножить числовые множители:
2) перемножить степени:
Переменные и представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень перемножается:
запишем ответ:
;
В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .
Комментарии к третьему примеру: а налогично предыдущим примерам выполняем действия:
1) перемножить численные множители:
;
2) перемножить степени:
;
выпишем ответ: ;
В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть 
.
Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами . Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения .
Рассмотрим пример. Задан одночлен:
данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть
Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена.
Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .
Степень одночлена
Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.
Определение.
Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.
Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как a это есть a 1 . Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a , x и y равна 2+1+3+2=8 .
Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y . Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x 8 ·y 4 , его степень равна 8+4=12 . Таким образом, степень исходного одночлена равна 12 .
Коэффициент одночлена
Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом . Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.
Определение.
Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.
Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a 3 по определению, аналогично одночлен (−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3 .
Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1 . Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a , x·z 3 , a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1 , так как a можно рассматривать как 1·a , x·z 3 – как 1·x·z 3 и т.п.
Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x , −x 3 ·y·z 3 и т.п. имеют коэффициент −1 , так как −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3 и т.п.
К слову, понятие коэффициента одночлена зачастую относят и к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов-чисел считают эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 7 считают равным 7 .
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
В этом уроке мы дадим строгое определение одночлена, рассмотрим различные примеры из учебника. Вспомним правила умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дадим определение стандартного вида одночлена, коэффициента одночлена и его буквенной части. Рассмотрим два основных типовых действия над одночленами, а именно приведение к стандартному виду и вычисление конкретного численного значения одночлена при заданных значениях входящих в него буквенных переменных. Сформулируем правило приведения одночлена к стандартному виду. Научимся решать типовые задачи с любыми одночленами.
Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
Рассмотри некоторые примеры:
3. ;
Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена : одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.
Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:
Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.
Приведем еще несколько примеров:
Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.
Теперь выясним действия над одночленами .
1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ;и пример №2 /
Во втором примере мы видим только один коэффициент - , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а » представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.
В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента - и , переменную «» мы видим дважды - как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами - приведение одночлена к стандартному виду . Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.
Итак, рассмотри пример:
Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:
;
Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена .
Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х » согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:
теперь перемножим степени «у »:
;
Итак, приведем упрощенное выражение:
;
Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду :
Перемножить все числовые множители;
Поставить полученный коэффициент на первое место;
Перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;
То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.
Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду . Рассмотри примеры из учебника:
Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.
Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.
1. ;
3. ;
Комментарии к первому примеру : Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:
- мы нашли коэффициент заданного одночлена;
; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;
запишем ответ: ;
Комментарии ко второму примеру : Следуя правилу выполняем:
1) перемножить числовые множители:
2) перемножить степени:
Переменные и представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень перемножается:
запишем ответ:
;
В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .
Комментарии к третьему примеру: а налогично предыдущим примерам выполняем действия:
1) перемножить численные множители:
;
2) перемножить степени:
;
выпишем ответ: ;
В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть .
Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами . Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения .
Рассмотрим пример. Задан одночлен:
данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть
Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена.
Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .