Графики кусочно – заданных функций
Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область
Цель:
- освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
- научиться применять его в простых ситуациях.
Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.
Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.
В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.
1 . Введение
2. Определение линейного сплайна
3. Определение модуля
4. Построение графиков
Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.
Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное ( непрерывное ) и скачкообразное.
При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения , а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно , становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).
Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы .
a - формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок; если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной. " width="640"
- Один из способов введения таких разрывов следующий:
Пусть функция y = f(x)
при x определена формулой y = g(x),
а при xa - формулой y = h(x), причем будем считать , что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.
Тогда , если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;
если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.
Графики непрерывных функций
Построить график функции:
У = |X-1| + 1
Х=1 –точка смены формул
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».
Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках ) от начала координат до точки А (а) .
Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.
Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а , если а
0 или х=0 у = -3х -2 при х " width="640"
Построить график функции у = 3|х|-2.
По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0
-3х -2 при х
x n) " width="640"
. Пусть заданы х 1 х 2 х n – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.
Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале
и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.
Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном . Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x n ) и правым ( отвечающим значениям x x n )
Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами
График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).
У=|x| - |x – 1|
Точки смены формул: х=0 и х=1.
У(0)=-1, у(1)=1.
График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.
Кроме построения n вершин следует построить также две точки : одну левее вершины A 1 ( x 1; y ( x 1)), другую – правее вершины An ( xn ; y ( xn )).
Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов .
Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.
Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном
1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2 ; Х=0
2.Составим таблицу:
У(0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;
у(2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;
у (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;
у(3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .
Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.
1 .Точки смены формул:
х+1=0, х=-1 ;
х=0 ; х-2=0, х=2.
2 . Составим таблицу:
y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
y(0)=1+0-2=-1;
y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.
|x – 1| = |x + 3|
Решите уравнение:
Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3|
Построим график функции /методом линейного сплайна/
- Точки смены формул:
х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3.
2. Составим таблицу:
y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;
y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;
y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;
y(-1) = 0.
y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.
Ответ: -1.
1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:
у = |x – 3| + |x|;
1). Точки смены формул:
2). Составим таблицу:
2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика »
А) у = |2x – 4| + |x +1|
1) Точки смены формул:
2) y() =
Б) Постройте графики функций, установите закономерность :
a) у = |х – 4| б) y = |x| +1
y = |x + 3| y = |x| - 3
y = |x – 3| y = |x| - 5
y = |x + 4| y = |x| + 4
Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.
1. Меню «Графики».
2. Вкладка «Построить график».
.3. В окне «Калькулятор» задать формулу.
Постройте график функции:
1) У = 2х + 4
1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.
2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011
3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011
4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline
Кусочные функции - это функции, заданные разными формулами на разных числовых промежутках. Например,
Такая запись обозначает, что значение функции вычисляется по формуле √x, когда x больше или равен нулю. Когда же x меньше нуля, то значение функции определяется по формуле –x 2 . Например, если x = 4, то f(x) = 2, т. к. в данном случае используется формула извлечения корня. Если же x = –4, то f(x) = –16, т. к. в этом случае используется формула –x 2 (сначала возводим в квадрат, потом учитываем минус).
Чтобы построить график такой кусочной функции, сначала строятся графики двух разных функций не зависимо от значения x (т. е. на всей числовой прямой аргумента). После этого от полученных графиков берутся только те части, которые принадлежат соответствующим диапазонам x. Эти части графиков объединяются в один. Понятно, что в простых случаях чертить можно сразу части графиков, опустив предварительную прорисовку их «полных» вариантов.
Для приведенного выше примера для формулы y = √x получим такой график:
Здесь x в принципе не может принимать отрицательных значений (т. е. подкоренное выражение в данном случае не может быть отрицательным). Поэтому в график кусочной функции уйдет весь график уравнения y = √x.
Построим график функции f(x) = –x 2 . Получим перевернутую параболу:
В данном случае в кусочную функции мы возьмем только ту часть параболы, для которой x принадлежит промежутку (–∞; 0). В результате получится такой график кусочной функции:
Рассмотрим другой пример:
Графиком функции f(x) = (0.6x – 0.5) 2 – 1.7 будет видоизмененная парабола. Графиком f(x) = 0.5x + 1 является прямая:
В кусочной функции x может принимать значения в ограниченных промежутках: от 1 до 5 и от –5 до 0. Ее график будет состоять из двух отдельных частей. Одну часть берем на промежутке от параболы, другую - на промежутке [–5; 0] от прямой:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №13
«Кусочные функции»
Сапогова Валентина и
Донская Александра
Руководитель-консультант:
г. Бердск
1. Определение основных целей и задач.
2. Анкетирование.
2.1. Определение актуальности работы
2.2. Практическая значимость.
3. История функций.
4. Общая характеристика.
5. Способы задания функций.
6. Алгоритм построения.
8. Используемая литература.
1. Определение основных целей и задач.
Цель:
Выяснить способ решения кусочных функций и, исходя из этого, составить алгоритм их построения.
Задачи:
Познакомиться с общим понятием о кусочных функциях;
Узнать историю термина «функция»;
Провести анкетирование;
Выявить способы задания кусочных функций;
Составить алгоритм их построения;
2. Анкетирование.
Среди старшеклассников было проведено анкетирование на умение строить кусочные функции. Общее количество опрошенных составило 54 человека. Среди них 6% - работу выполнили полностью. 28% работу смогли выполнить, но с определёнными ошибками. 62% - работу не смогли выполнить, хоть и предпринимали какие-либо попытки, а оставшиеся 4% вообще не приступали к работе.
Из этого анкетирования можно сделать вывод, что ученики нашей школы, которые проходят программу имеют не достаточную базу знаний, ведь этот автор не уделяет особого внимания на задания подобного рода. Именно из этого вытекает актуальность и практическая значимость нашей работы.
2.1. Определение актуальности работы.
Актуальность:
Кусочные функции встречаются, как в ГИА, так и в ЕГЭ, задания, которые содержат функции подобного рода, оцениваются в 2 и более баллов. И, следовательно, от их решения может зависеть ваша оценка.
2.2. Практическая значимость.
Результатом нашей работы будет являться алгоритм решения кусочных функций, который поможет разобраться в их построении. И добавит шансы на получения желаемой вами оценки на экзамене.
3. История функций.
«Алгебра 9 класс» и др.;
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Учебник: Алгебра 8 класс под редакцией А. Г. Мордковича.
Тип урока: Открытие нового знания.
Цели:
для учителя цели зафиксированы в каждом этапе урока;
для ученика:
Личностные цели:
- Научиться ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи;
- Научиться применять подученные знания и навыки к решению новых проблем;
- Научиться контролировать процесс и результат своей деятельности;
Метапредметные цели:
В познавательной деятельности:
- Развитие логического мышления и речи, умения логически обосновывать свои суждения, проводить несложные систематизации;
- Научиться выдвигать гипотезы при решении задач, понимать необходимость их проверки;
- Применять знания в стандартной ситуации, научиться самостоятельно выполнять задания;
- Осуществлять перенос знаний в изменённую ситуацию, видеть задачу в контексте проблемной ситуации;
В информационно-коммуникативной деятельности:
- Научиться вести диалог, признавать право на иное мнение;
В рефлексивной деятельности:
- Научиться предвидеть возможные последствия своих действий;
- Научиться устранять причины возникновения трудностей.
Предметные цели:
- Узнать, что такое кусочно-заданной функция;
- Научиться задавать кусочно-заданную функцию аналитически по ее графику;
Ход урока
1. Самоопределение к учебной деятельности
Цель этапа:
- включить учащихся в учебную деятельность;
- определить содержательные рамки урока: продолжаем повторять тему числовые функции.
Организация учебного процесса на этапе 1:
У: Чем мы занимались на предыдущих уроках?
Д: Повторяли тему числовые функции.
У: Сегодня мы продолжим повторять тему предыдущих уроков, а также мы должны сегодня выяснить, что нового в этой теме мы можем узнать.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности
Цель этапа:
- актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: вспомнить формулы числовых функций, их свойства и способы построения;
- актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
- зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: задание кусочно-заданной функции аналитически, а так же построения ее графика.
Организация учебного процесса на этапе 2:
У: На слайде изображено пять числовых функций. Определите их вид.
1) дробно-рациональная;
2) квадратичная;
3) иррациональная;
4) функция с модулем;
5) степенная.
У: Назовите формулы соответствующие им.
3) 
;
4) 
;
У: Давайте обсудим, какую роль выполняет каждый коэффициент в данных формулах?
Д: Переменные “l” и “m” отвечают за сдвиг графиков данных функций влево - вправо и вверх - вниз соответственно, коэффициент “к” в первой функции определяет положение веток гиперболы: к>0 - ветви находятся в I и III четвертях, к < 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - ветви направлены вверх, а < 0 - вниз).
2. Слайд 2
У: Задайте аналитически функции, графики которых изображены на рисунках. (учитывая, что двигают y=х 2). Учитель выписывает ответы на доске.
Д: 1) 
);
2)
;
3. Слайд 3
У: Задайте аналитически функции, графики которых изображены на рисунках. (учитывая, что двигают ). Учитель выписывает ответы на доске.
4. Слайд 4
У: Используя предыдущие результаты, задайте аналитически функции, графики которых изображены на рисунках.
3. Выявление причин затруднений и постановка цели деятельности
Цель этапа:
- организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;
- согласовать цель и тему урока.
Организация учебного процесса на этапе 3:
У: Что вызывает у вас затруднения?
Д: На экране предоставлены кусочки графиков.
У: Какова же цель нашего урока?
Д: Научиться задавать аналитически кусочки функций.
У: Сформулируйте тему урока. (Дети пытаются самостоятельно сформулировать тему. Учитель ее уточняет. Тема: Кусочно-заданная функция.)
4. Построение проекта выхода из затруднения
Цель этапа:
- организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
- зафиксировать новый способ действия.
Организация учебного процесса на этапе 4:
У: Давайте еще раз внимательно прочитаем задание. Какие результаты в качестве помощи просят использовать?
Д: Предыдущие, т.е. те, которые записаны на доске.
У: Может эти формулы уже являются ответом на данное задание?
Д: Нет, т.к. этими формулами задается квадратичная и рациональная функции, а на слайде изображены их кусочки.
У: Давайте обсудим, каким промежуткам оси абсцисс соответствуют кусочки первой функций?
У: Тогда аналитический способ задания первой функции выглядит как: , если
У: Что нужно сделать, чтобы выполнить аналогичное задание?
Д: Записать формулу и определить, каким промежуткам оси абсцисс соответствуют кусочки данной функций.
5. Первичное закрепление во внешней речи
Цель этапа:
- зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5:
7. Включение в систему знаний и повторение
Цель этапа:
- тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным.
Организация учебного процесса на этапе 7:
У: Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке.
8. Рефлексия деятельности на уроке
Цель этапа:
- зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
- оценить собственную деятельность на уроке;
- поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
- зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;
- обсудить и записать домашнее задание.
Организация учебного процесса на этапе 8:
У: С чем мы сегодня познакомились на уроке?
Д: С кусочно-заданной функцией.
У: Какую работу мы учились сегодня выполнять?
Д: Задавать данный вид функции аналитически.
У: Поднимите руку, кто понял тему сегодняшнего урока? (С остальными детьми обсудить возникшие проблемы).
Домашнее задание
- №21.12(а, в);
- №21.13(a, в);
- №22.41;
- №22.44.
Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.
Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:
y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x < -3.
Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.
Упражнения.
Построить графики кусочных функций:
1)
{-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0 < x ≤ 5.
График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.
Ответ: рисунок 1.
2)
{3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 < x ≤ 4,
{3 – (x – 4) 2 , если x > 4.
Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.
Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.
График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.
График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.
Ответ: рисунок 2.
3)
{8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
{3, если x ≥ 5.
Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.
Ответ: рисунок 3.
4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .
Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:
1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .
2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .
Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:
y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x < 0.
Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.
Ответ: рисунок 4.
5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .
Решение.
Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:
1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .
2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .
Перепишем.
y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x < 0.
Графики этих функций – параболы.
Ответ: рисунок 5.
6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?
Решение.
Да, существует.
Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.