Как построить параллельные. Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки

Параллельные прямые. Определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых а и b обозначают так: а||b. На рисунке 1 изображены прямые a и b, перпендикулярные к прямой с. Такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке (рис. 2,а) отрезки АВ и СD параллельны (АВ||СО) а отрезки МN и СD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 2,б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей(рис. 2,в).

Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 3). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами.

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1=∠2 (рис. 4, а).

Покажем,что а||b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 4, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 4, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1 равный отрезку AH, как показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН1 ∠1=∠2), поэтому ∠3=∠4 и ∠15=∠16. Из равенства ∠3=∠4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5=∠6 следует, что угол 6 - прямой (так как угол 5 - прямой). Значит, прямые а и b перпендикулярны к прямой НН1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1=∠2 (рис. 5). Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то ∠2=∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1=∠3. Но углы 1 и 3 - накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1+∠4=180° (см. рис. 5). Так как углы 3 и 4 - смежные, то ∠3+∠4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Практические способы построения параллельных прямых

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертежный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ ка М оказалась на стороне угольника, и проведем прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами альфа и бета, равны.

Еще есть способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике.

Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скрепленные шарниром).

Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых ). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского , Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

Аксиома параллельных прямых

Еще древние греки придумали простой способ: как провести циркулем и линейкой через точку А, лежащую вне данной прямой l, другую прямую m, не пересекающую прямую l. Но единственно ли решение этой задачи? Или через точку А можно провести несколько разных прямых, не пересекающих исходную прямую m?

Евклид, видимо, первый среди эллинов понял, что ответ на этот вопрос нельзя получить, исходя из прочих свойств прямых и точек – тех, которые он сформулировал в виде аксиом и постулатов. Нужно ввести дополнительный постулат о единственности искомой прямой m – и назвать эту прямую параллельной!

А возможны ли иные формулировки постулата о параллельных прямых – не совместимые с постулатом Евклида? Например, можно предположить существование нескольких разных прямых, не пересекающих данную прямую l и проходящих через общую точку А. Приведет ли такое предположение к логическому противоречию или нет? Если нет, то возможны иные геометрии, кроме евклидовой!

Первую неевклидову геометрию изобрели в 1820-е годы сразу три талантливых математика: немец Карл Гаусс, русский Николай Лобачевский и венгр Янош Бойяи. Русский математик оказался самым смелым и упорным из троих открывателей. Он первый опубликовал свою книгу с предсказанием замечательных свойств неевклидовых фигур. Например, на плоскости Лобачевского сумма внутренних углов треугольника всегда меньше 180 градусов. Она принимает разные значения для разных треугольников; при этом два подобных треугольника обязательно равны!

В конце 19 века геометры Клейн и Пуанкаре изобрели довольно простые модели поверхностей, на которых воплощается геометрия Лобачевского. Еще раньше Риман заметил, что на обычной сфере воплощена третья возможная геометрия (проективная): в ней «параллельных» прямых вовсе нет, а сумма внутренних углов треугольника всегда больше, чем 180 градусов.

До начала 20 века считалось, что неевклидовы геометрии могут быть полезны только внутри математической науки. Но в 1910-е годы Эйнштейн создал Общую Теорию Относительности: она оказалась четырехмерным воплощением неевклидовой геометрии Лобачевского. С тех пор физики верят, что каждая непротиворечивая математическая конструкция воплощена где-нибудь в Природе. Возможно, что так оно и есть.

Историческая справка

В древние века, буквально 2500 лет назад, в известной школе Пифагора греческое слово «параллелос» начали употреблять, как геометрический термин, хотя определения параллельных прямых в те времена еще не знали. Но исторические факты говорят о том, что древнегреческий ученый Евклид в третьем веке до нашей эры, в своих книгах все же, раскрыл смысл такого понятия, как параллельные прямые.

Как вам уже известно, из пройденного материала в предыдущих классах, термин «параллелос» в переводе с греческого языка обозначает рядом идущий или проведенный друг возле друга.

В математике для обозначения параллельных прямых существует специальный знак. Правда, не всегда знак параллельности имел теперешний вид. Так, например, древнегреческий математик Папп в третьем веке нашей эры для обозначения параллельности пользовался знаком равно «=». И лишь в восемнадцатом веке, благодаря Уильяму Оутреду для обозначения параллельных прямых, стали использовать знак «//». Если есть, например, параллельные а и в, то на письме их следует записывать, как а//в

А вот знак «=» во всеобщее обращение ввел Рекорд и его стали использовать, как знак равенства.

Параллельные прямые в быту и повседневной жизни

С параллельными прямыми мы часто встречаемся в окружающей нас жизни, хотя, как правило, редко на этом акцентируем свое внимание. На уроках музыки, открывая нотную тетрадь, сразу же невооруженным взглядом мы видим линии нотного стана. Но параллельные линии вы можете увидеть не только в нотных тетрадях и сборниках песен, но и если внимательно присмотритесь к музыкальным инструментам. Ведь струны гитары, арфы или органа также расположены параллельно.

Подняв на улице глаза вверх, вы видите параллельно проходящие электрические провода. Оказавшись в метро или на железной дороге, также не сложно заметить, что рельсы расположены параллельно друг к другу.

Параллельные линии можно встретить повсюду. Они нам постоянно встречаются в быту, живописи. Без них не обойтись и в архитектуре, так как в строительстве зданий строго учитывается понятие параллельности.

Если вы внимательно посмотрите на изображение, то сразу же заметите в этих архитектурных сооружениях присутствие параллельных прямых. Возможно, они служат так долго и остаются красивыми благодаря тому, что архитекторы и инженеры при создании этих культовых зданий использовали параллельные прямые.

А задумывались ли вы когда-нибудь над тем, почему в линиях электропередач, провода располагаются параллельно? И представьте себе, чтобы было, если бы они не были бы параллельными и пересекались или соприкасались друг с другом. А это привело бы к нехорошим последствиям, при которых могло произойти замыкание, перебоям и отсутствию электричества. А что могло произойти с поездом, если бы рельсы не были бы параллельными? Об этом даже страшно подумать.

Вам всем хорошо известно, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Но если вы долго будете смотреть вдаль, в бесконечность, то в итоге можете увидеть, как параллельные прямые пересекаются. В этом случае мы с вами столкнулись с иллюзией зрения. Может быть, только благодаря таким иллюзиям и зрительным искажениям и появилась живопись.

Домашнее задание

1. Назовите свои примеры, где вы в повседневной жизни, в быту или в природе сталкиваетесь с моментами или фактами параллельности.
2. Какие вы знаете способы, благодаря которым можно начертить параллельные прямые? Назовите эти способы.
3. Начертите параллельные прямые в тетради, способами, которые вам известны.
4. При каких условиях прямые, можно назвать параллельными?

Вопросы:

1. Какие прямые называются параллельными?
2. Какие практические способы построения параллельных прямых существуют.?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

В основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов лежат признаки параллельности прямых.

Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим принцип построения параллельной прямой, проходящей через заданную точку , с помощью циркуля и линейки.

Пусть дана прямая и некоторая точка А, которая не принадлежит данной прямой.

Необходимо построить прямую, проходящую через заданную точку $А$ параллельно данной прямой.

На практике зачастую требуется построить две или более параллельных прямых без данной прямой и точки. В таком случае необходимо начертить прямую произвольно и отметить любую точку, которая не будет лежать на данной прямой.

Рассмотрим этапы построения параллельной прямой :

На практике также применяют метод построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.

Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки

Для построения прямой, которая будет проходить через точку М параллельно данной прямой а , необходимо:

Угольник приложить к прямой $а$ диагональю (смотрите рисунок), а к его большему катету приложить линейку.
Передвинуть угольник по линейке до тех пор, пока данная точка $М$ не окажется на диагонали угольника.
Провести через точку $М$ искомую прямую $b$.

Мы получили прямую, проходящую через заданную точку $М$, параллельную данной прямой $а$:

$a \parallel b$, т. $M \in b$.

Параллельность прямых $а$ и $b$ видна из равности соответственных углов, которые отмечены на рисунке буквами $\alpha$ и $\beta$.

Построение параллельной прямой, отстоящей на заданное расстояние от данной прямой

В случае необходимости построения прямой, параллельной заданной прямой и отстоящей от нее на заданном расстоянии можно воспользоваться линейкой и угольником.

Пусть дана прямая $MN$ и расстояние $а$.

Отметим на заданной прямой $MN$ произвольную точку и назовем ее $В$.
Через точку $В$ проведем прямую, перпендикулярную к прямой $MN$, и назовем ее $АВ$.
На прямой $АВ$ от точки $В$ отложим отрезок $ВС=а$.
С помощью угольника и линейки проведем прямую $CD$ через точку $С$, которая и будет параллельной заданной прямой $АВ$.

Если отложить на прямой $АВ$ от точки $В$ отрезок $ВС=а$ в другую сторону, то получим еще одну параллельную прямую к заданной, отстоящую от нее на заданное расстояние $а$.

Другие способы построения параллельных прямых

Еще одним способом построения параллельных прямых является построение с помощью рейсшины. Чаще всего данный способ используют в чертежной практике.

При выполнении столярных работ для разметки и построения параллельных прямых, используется специальный чертежный инструмент – малка – две деревянные планки, которые скрепляются шарниром.

Уроки по программе КОМПАС.

Урок №4. Вспомогательные прямые в Компас 3D.

Конструктора при разработке чертежей на кульмане всегда используют тонкие линии, их аналогом в Компас 3D выступают вспомогательные прямые. Они необходимы для предварительных построений и для задания проекционных связей между видами. При печати вспомогательные прямые Вспомогательная , изменить его невозможно.

Существует несколько способов построения вспомогательных прямых. В этом уроке рассмотрим некоторые из этих способов.

1. Произвольная прямая по двум точкам.

В основном меню программы последовательно нажимаем команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Вспомогательная прямая.

Или в компактной панели нажимаем кнопки Геометрия-Вспомогательная прямая.

Щелчком левой клавиши мыши указываем первую базовую точку (к примеру, начало координат). Теперь указываем вторую точку, через которую пройдет прямая. Угол наклона между прямой и осью абсцисс текущей системы координат, определится автоматически. Можно вводить угол, через панель свойств. Например введите угол 45º и нажмите клавишу Enter .

Для завершения построения необходимо нажать на значок «Прервать команду» в панели свойств. Данную команду можно осуществить, через контекстное меню, которое вызывается щелчком правой клавиши мыши.

Подобным образом через базовую точку, можно построить сколько угодно произвольных прямых под любым углом. Вы уже наверное обратили внимание что координаты точек можно вводить с клавиатуры используя панель свойств. Кроме того в панели свойств имеется группа Режимы , в которой есть два переключателя: «Не ставить точки пересечения» (активен по умолчанию) и «Ставить точки пересечения» . Если вам нужно отметить точки пересечения прямой с другими объектами активируйте переключатель «Ставить точки пересечения» , теперь система автоматически проставит точки пересечения со всеми графическими объектами в текущем виде.

Стиль точек будет- Вспомогательная . Для удаления всех вспомогательных элементов воспользуйтесь командами основного меню Редактор-Удалить-Вспомогательные кривые и точки. Как отметить точки пересечения не со всеми, а только с некоторыми объектами описано в уроке №3.

2.Горизонтальная прямая.

Для построения горизонтальной прямой вызываются команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Горизонтальная прямая.

Или через компактную панель, нажатием кнопок: Геометрия-Горизонтальная прямая. Инструментальная панель для построения вспомогательных прямых, вся на экране не видна. Чтобы её увидеть, нажмите на кнопку вспомогательных прямых, активную на момент построения, и удерживайте несколько секунд.

Теперь достаточно, щелчком левой клавиши мыши указать точку, через которую пройдет горизонтальная прямая. Одновременно можно построить сколько угодно прямых. Для завершения построения необходимо нажать кнопку «Прервать команду» на панели свойств.

Необходимо помнить, что горизонтальная прямая параллельна оси абсцисс текущей системы координат. Горизонтальные, построенные в системе координат, повернутой относительно абсолютной системы, не будут параллельны горизонтальным сторонам листа.

3. Вертикальная прямая.

Построение аналогично построению горизонтальных прямых, поэтому разберетесь самостоятельно.

Необходимо помнить, что вертикальная прямая параллельна оси ординат текущей системы координат. Вертикальные, построенные в системе координат, повернутой относительно абсолютной системы, не будут параллельны вертикальным сторонам листа.

4. Параллельная прямая.

Для построения параллельной прямой нам потребуется объект параллельно которому она пройдет. В качестве таких объектов могут выступать: вспомогательные прямые, отрезки, звенья ломаной, стороны многоугольников, размерные линии и т.п. Давайте построим параллельную прямую для горизонтальной прямой, проходящей через начало координат.

Вызываем команды Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Параллельная прямая.

Построение прямой, параллельной заданной плоскости, основано на

следующем положении, известном из геометрии: прямая параллельна плоскости,

если эта прямая параллельна любой прямой в плоскости.

Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное

множество прямых линий, параллельных заданной плоскости: Для получения

единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие.

Например, через точку (рис. 180) требуется провести прямую,

параллельную плоскости, заданной треугольником ABC, и плоскости проекций!

(дополнительное условие).

Очевидно, искомая прямая должна быть параллельна линии пересечения

обеих плоскостей, т.е. должна быть параллельна горизонтальному следу

плоскости, заданной треугольником ABC. Для определения направления этого

следа можно воспользоваться горизонталью плоскости, заданной треугольником

ABC. На рис. 180 проведена горизонталь DC и затем через точку M проведена

прямая, параллельная этой горизонтали.

Поставим обратную задачу: через заданную точку провести плоскость,

параллельную заданной прямой линии. Плоскости, проходящие через некоторую

точку А параллельно некоторой прямой ВС, образуют пучок плоскостей, осью

которого является прямая, проходящая через точку А параллельно прямой ВС.

Для получения единственного решения требуется какое-либо дополнительное

Например, надо провести плоскость, параллельную прямой CD, не через

точку, а через прямую АВ (рис. 181). Прямые АВ и CD - скрещивающиеся. Если

через одну из двух скрещивающихся прямых требуется провести плоскость,

параллель-

Рис. 180 Рис. 181

ную другой, то задача имеет единственное решение. Через точку В

проведена прямая, параллельная прямой CD; прямые АВ и BE определяют

плоскость, параллельную прямой CD.

Как установить, параллельна ли данная прямая данной плоскости?

Можно попытаться провести в этой плоскости некоторую прямую параллельно

данной прямой. Если такую прямую в плоскости не удается построить, то

заданные прямая и плоскость не параллельны между собой.

Можно попытаться найти также точку пересечения данной прямой с данной

плоскостью. Если такая точка не может быть найдена, то заданные прямая и

плоскость взаимно параллельны.

§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей

Пусть дается точка К, через которую надо провести плоскость,

параллельную некоторой плоскости, заданной пересекающимися прямыми AF и BF

Очевидно, если через точку К провести прямые СК и DK, соответственно

параллельные прямым AF и BF, то плоскость, определяемая прямыми СК и DK,

окажется параллельной заданной плоскости.

Другой пример построения дан на рис. 183 справа. Через точку A

проведена пл. параллельно пл. а. Сначала через точку А проведена прямая,

заведомо параллельная пл. . Это горизонталь с проекциями "" и "",

причем A"N"\\ h " o. Таk

Рис. 182 Рис. 183

как точка N является фронтальным следом горизонтали AN, то через эту

точку пройдет след f"o% f"o, а через Х - след h"o || h"o. Плоскости

и взаимно параллельны, так как их одноименные пересекающиеся следы взаимно

параллельны.

На рис. 184 изображены две параллельные между собой плоскости -- одна

га них задана треугольником ЛВС, другая -- параллельными прямыми DE и FG.

Чем же устанавливается параллельность этих плоскостей? Тем, что в плоскости,

заданной прямыми DE и FG, оказалось возможным провести две пересекающиеся

прямые KN и КМ, соответственно параллельные пересекающимся прямым АС и

ВС другой плоскости.

Конечно, можно было бы попытаться найти точку пересечения хотя бы

прямой DE с плоскостью треугольника ABC. Неудача подтвердила бы

параллельность плоскостей.

ВОПРОСЫ К §§ 27-28

1. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть

параллельна некоторой плоскости?

2. Как провести плоскость через прямую параллельно заданной прямой?

3. Чем определяется взаимная параллельность двух плоскостей?

4. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости?

5. Как проверить на чертеже, параллельны ли одна другой заданные