3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе
1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);
2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;
3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
Параметры параболы:
Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.
 |
Величина 
где M
(x
, y
) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом
, прямая D
: x
= –p
/2 – директрисой
(она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина 
называется эксцентриситетом параболы.
Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).
Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:
 |
Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:
где t – произвольное действительное число.
Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:
Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).
 |
2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).
Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:
x 2 + 8x – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;
(x + 4) 2 – 16(y + 3).
В результате получим
(x + 4) 2 = 16(y + 3).
Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).
Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).
Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение
(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Определите параметры параболы и построить ее:
1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;
3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .
1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:
1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;
2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).
3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.
1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.
II уровень
2.1. Определить тип и параметры кривой.
Кривые второго порядка. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:
Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):
Гипербола,
px - парабола.
Эллипс - геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:
Эллипс, заданный каноническим уравнением: симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки, называются его вершинами. Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.
называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его "сплюснутости" (при эллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною). Если а Гипербола
- геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c: симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY. Параметр а
называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Число называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые называются асимптотами гиперболы. Гипербола, заданная каноническим уравнением: называется сопряжённой (имеет те же асимптоты). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a - мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле: Парабола
- множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: . Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ. Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси ОY. Парабола имеет фокус и директрису Парабола имеет фокус и директрису Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 - в отрицательную сторону. Примеры решения задач. 1
.Написать каноническое уравнение гиперболы, зная что: а
) расстояние между фокусами 2c=30, а между вершинами 2a=20;б
) вещественная полуось равна 5, эксцентриситет.Решение: а
) по условию; ; ; ; из соотношений. Ответ: . б
) по условию; , . 2
. Написать уравнение параболы, зная, что: а
) парабола проходит через точки (0,0); (3,6) и симметрична относительно оси ОХ, б
) парабола проходит через точки (0,0); (4,2) и симметрична относительно оси ОY. Решение: а
) Точка (3,6) лежит на параболе, поэтому, - уравнение директрисы. - уравнение параболы б
) Точка (4,2) лежит на параболе, поэтому - уравнение директрисы, Уравнение параболы. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка
Рассмотрим в декартовой прямоугольной системе координат Oxy уравнение второго порядка общего вида: Аx 2 + 2Вxy + Сy 2 + 2Dx + 2Еy + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю. Оно задаёт кривую второго порядка. Наша цель: поменять систему координат так, чтобы максимально упростить данное уравнение. Для этого сначала (если B0) повернём искодный базис (координатные оси Ox и Oy) на угол б против часовой стрелки таким образом, чтобы новые оси Ox" и Oy" стали параллельны осям кривой, при этом исчезнет слагаемое 2Вxy: Матрица линейного преобразования: поворот на угол б против часовой стрелки. Или, наоборот, A(x"cosб - y"sinб) 2 + 2B(x"cosб - y"sinб)(x"sinб + y"cosб)+C(x"sinб + y"cosб) 2 + 2D(x"cosб - y"sinб) + 2E(x"sinб + y"cosб) + F = 0 Выберем угол б так, чтобы коэффициент при произведении x"y" обратился в ноль, т.е. чтобы выполнялось равенство: 2Acosбsinб + 2B(cos 2 б - sin 2 б) + 2Csinбcosб = 0 В новой системе координат Ox"y" (после поворота на угол б), учитывая, что уравнение будет иметь вид А"x" 2 + С"y" 2 + 2D"x" + 2Е"y" + F" = 0, где коэффициенты А" и С" не равны одновременно нулю. Следующий этап упрощения заключается в параллельном переносе осей Ox" и Oy" до совпадения их с осями кривой, при этом начало координат совпадёт с центром (или вершиной, в случае параболы) кривой. Техника преобразований на данном этапе заключается в выделении полного квадрата. Таким образом, мы получим канонические уравнения кривых второго порядка. Всего возможны 9 качественно различных случаев (включая случаи вырождения и распадения): 1. (эллипс), Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами).
Если в общем уравнении кривой 2-го порядка в частности, В = 0, то есть отсутствует член с произведением переменных, то это означает, что оси кривой параллельны координатным. Рассмотрим уравнение: В каждом из случаев 1), 2), 3) могут встретиться вырожденные кривые, которыми мы заниматься не будем. Для того, чтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можно преобразовать способом выделения полных квадратов. После этого уравнение примет вид одного из невырожденных уравнений кривой 2-го порядка со смещенным центром: эти уравнения определяют гиперболы с центром и осями, параллельными координатным; это параболы с вершиной и осью, параллельной одной из координатных. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.
Теорема. Сечением любого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь эллипсом, гиперболой или параболой. При этом, если плоскость пересекает только одну полость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если секущая плоскость пересекает только одну полость конуса и по незамкнутой кривой, то эта кривая - парабола; если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении образуется гипербола. Справедливость этой теоремы можно установить, исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия второго порядка. Из рисунка видно, что, поворачивая секущую плоскость вокруг прямой PQ, мы меняем кривую сечения. Будучи, например, первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая плоскость параллельна касательной плоскости конуса. Таким образом, эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями
. Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна . Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках , (см. рис. 1). Рис. 1
Видно из рисунка, что могут быть случаи и title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с у нас получается: Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём: где . Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где: Область значения для первой четверти . При у нас есть одна из вершин гиперболы . Вторая вершина . Если , тогда из (1) – действительных корней нет. Говорят, что и – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением получается, что при достаточно больших значениях есть место ближайшего равенства title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при . Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы. Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку в первой четверти, то есть . В этом случае , , тогда асимптота имеет вид: , где Значит, прямая – это асимптота функции . Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые . За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией: Рис. 2
В случае, когда , то есть гипербола описывается уравнением . В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов . Пример 1
Задача
Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты. Решение
Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду: Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим , , . Вершины , фокусы и . Ексцентриситет ; асмптоты ; Строим параболу. (см. рис. 3) Написать уравнение гиперболы: Решение
Записав уравнение асимптоты в виде находим отношение полуосей гиперболы . По условию задачи следует, что . Поэтому Задачу свели к решению системы уравнений: Подставляя во второе уравнение системы, у нас получится: откуда . Теперь находим . Следовательно, у гиперболы получается такое уравнение: Ответ
Гипербола и её каноническое уравнение
обновлено: Июнь 17, 2017
автором: Научные Статьи.Ру
Дать
определения гиперболы, параболы. Напишите
канонические уравнения гиперболы и
параболы, объясните смысл величин,
входящих в эти уравнения. Напишите
уравнения директрис, асимптот гиперболы,
покажите на чертеже их расположение
относительно гиперболы. Чему
равен эксцентриситет параболы? Покажите
на чертеже расположение директрисы
относительно параболы. Составить уравнение
гиперболы, фокусы которой расположены
на оси абсцисс, симметричны относительно
начала координат, зная, кроме этого,
что: а) расстояние между фокусами 2 с = 6 и
эксцентриситет
; б) ось 2 а =
16
и эксцентриситет в) уравнение асимптот
г) расстояние между директрисами равно
фокусами 2 с =
26. 5.
Определить точки гиперболы 6.
Установить, что каждое из следующих
уравнений определяет гиперболу, и
найти координаты её центраС
, полуоси,
эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис: 7.
Составить
уравнение параболы, вершина которой
находится в начале координат, зная что: а) парабола расположена в правой
полуплоскости симметрично относительно
оси Ох
, и её параметрр =
3; б) парабола расположена в левой
полуплоскости симметрично относительно
оси Ох,
и её параметрр =
0,5; в) парабола расположена в верхней
полуплоскости симметрично относительно
оси Оу
, и её параметрр =
; г) парабола расположена в нижней
полуплоскости симметрично относительно
оси Оу
, и её параметрр =
3. 8.
Найти фокусF
и уравнение директрисы параболы 9.
На параболе 10.
Составить уравнение параболы,
если даны её фокусF
(7; 2)
и директриса 11.
Определить точки пересечения
прямой 12.
В следующих
случаях определить, как расположена
данная прямая относительно данной
параболы – пересекается ли, касается
или проходит вне её: а)
б)
в)
1.
а) 2.
директрис:
7.
а) Что такое параллельный
перенос системы координат? Приведите
формулы связи «старых» и «новых»
координат. Приведите формулы
связи «старых» и «новых» координат при
повороте системы координат без изменения
её начала. Объясните методику
приведения общего уравнения кривой
второго порядка к каноническому виду,
используя последовательно поворот
системы координат и параллельный
перенос системы координат. Какой
результат достигается на каждом из
этих этапов преобразования системы
координат? Задачи
1.
Выяснить
геометрический смысл уравнений: а)
г)
,
д) 2.
Поворотом осей координат
преобразовать уравнения к каноническому
виду и построить кривые: а)
б)
3.
Преобразовать
уравнения к каноническому виду и сделать
чертеж: Ответы
1.
а) две прямые г) точка (3; 4), д) две
прямые х
= 0, 2.
а) б)
ЗАНЯТИЕ 3.8. ПОЛЯРНАЯ
СИСТЕМА КООРДИНАТ Контрольные вопросы Что такое полярные
координаты точек? Укажите их связь с
декартовыми координатами этой точки. Как от декартовых
координат точки перейти к полярным
координатам и наоборот? Как написать
уравнение линии в полярных координатах,
если известно её уравнение в декартовых
координатах и наоборот? Задачи
1.
В полярной системе координат 2.
Построить линию 3.
Построить линии: а)
б)
4.
Построить линии:
а) 5.
Написать в
полярных координатах уравнение прямой,
отсекающей от полярной оси отрезок
« а
» и перпендикулярной к ней. Написать в полярных
координатах уравнение окружности с
центром в точке С
(0; а) и
радиусом, равным «а »
. б)
е)
Преобразовать к
декартовым координатам уравнения линий
и построить эти линии: а)
9.
Написать
канонические уравнения кривых второго
порядка: а)
Ответы
5.
г)
Здесь а -
действительная полуось гиперболы, b
-мнимая полуось гиперболы. Если 2с - расстояние между фокусами гиперболы, то между а, b
и с
существует соотношение a 2 + b 2 = с 2
При b
= а гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид x 2 - y 2 = a 2
фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями
Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю. 4.
Парабола
.
Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой. Простейшее уравнение параболы
y 2 =
2px
Входящая в это уравнение величина р
называется параметром
параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса. Координаты фокуса F
параболы F( ,
0). Уравнение директрисы параболы .
Эксцентриситет параболы е=
1. Пример.
Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30. Решение:
Вершины гиперболы лежат на ее действительной оси. По условию 2а = 20; 2с == 30. Значит, а
= 10; с = 15 а 2 = 100; с 2 = 225. Величины а, и и с у гиперболы связаны соотношением а 2 +b 2 = с 2 ;
отсюда b 2 = с 2 -а 2
= 225 - 100 Þ b
2 = 125. Значит, уравнением гиперболы будет Пример. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет е= 1,4. Найти уравнение гиперболы. По условию а =
5, значит а 2 = 25. По формуле е
=
=1,4, отсюда с
= 1,4·а = 1,4 · 5 = 7; с
2 = 49; b
2 = с
2 - а 2 = 49 - 25 = 24, b
2 =24 Искомым уравнением будет Пример. Найти уравнение асимптот гиперболы 2x 2 -
3y 2 =
6. У гиперболы две асимптоты, определяемые уравнениями
Следует найти a
и b.
Приведем уравнение гиперболы к простейшему виду, разделив обе его части на 6. Получим Отсюда заключаем, чт а 2 =
.3, а =
; b
2 = 2, b
== .
Подставляя эти значения а
и b
в уравнения асимптот получаем: ; IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Функция одной переменной
Если каждому значению переменной х (аргументу) из некоторого множества Х ставится в соответствие одно значение у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция f (x)со множеством значений Y, где Х – область определения функции, Y – область значения функции, или у является функцией от х и записывают у = f(x). Если функция задана аналитически, то областью существования функции (иначе, областью значения функции) называется совокупность тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение определяющее функцию, принимает только действительные значения. Графиком функции у = f(x) называется множество точек (х, f(x)). Графиком пользуются для геометрического изображения функций. Графики многих функций строят с помощью параллельного переноса, растяжения или сжатия основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратных тригонометрических. Функция у = f(x) называется четной, если выполняется равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция у = f(x) называется нечетной, если выполняется равенство Пример: Найти область значения функции: Предел функции.
Число А называется пределом функции при х , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при . Это записывают так: . Аналогично определяется предел при х . Функция называется бесконечно большой при х , если и бесконечно малой при х , если . Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые при х . При вычислении пределов необходимо знать такие теоремы: Если и существуют, то Для всех основных элементарных функций в произвольной точке их области определения справедливо равенство Бесконечно малые и называются эквивалентными при х , если . Это записывают так: Если при , то выполняются эквивалентности: 1. 2. 5. 3. Предел отношений двух бесконечно малых не изменится, если заменить их эквивалентными величинами. При вычислении пределов часто используют: Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Вычисление предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Если при этом получаем неопределенности типа Пример. Найти предел: 1. 2. , здесь раскрыта неопределенность типа , поделив числитель и знаменатель на (х-2). = 4. = В этом примере неопределенность раскрыли, используя первый замечательный предел и формулы эквивалентности. Если , то разрыв в точке называется устранимым. Здесь полагая Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то разрыв называется разрывом II рода. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке. Алгебраическая сумма, произведение и суперпозиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Отношение двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель не равен нулю. Отсюда следует, что всякая элементарная функция непрерывна в точках, в которых она определена. Пример.
Исследовать на непрерывность: 1. 2. Функция f(x) = не определена в точке х = -1, потому в этой точке она имеет разрыв. Поскольку 
Форма и характеристики гиперболы
Асимптоты гиперболы
Примеры задач на построение гиперболы
;
и расстояние между фокусами2 с =
20;
и расстояние между
,
расстояние которых до правого фокуса
равно 4,5.
.
найти точки, фокальный радиус которых
равен 13.
.
и параболы
.
,
;
,
;
,
.
,
б)
,
в)
,
г)
;
,х –
10 =
0;3.
;4.
10;
и
,
уравнения асимптот:
;
б)С
(- 5; 1),а
= 8,
b
= 6,
,
уравнения директрис:
и
,
уравнения асимптот:
,
б)
,
в)
,
г)
;8.
F
(6; 0),
;9.
(9; 12), (9; - 12);10.
;11.
(- 4; 6) – прямая касается параболы;12.
а) касается параболы, б)
пересекает параболу в двух точках, в)
проходит вне параболы.Занятие 3.7. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду Контрольные вопросы
,
б)
,
в)
,
,
е)
.
,
.
,
б) точка (0; 0), в) мнимая окружность,
,
е) две прямые
;
,
б)
;3.
а)
,
,
в)
,
г) две прямые
.
построить точки
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(построение провести с помощью таблицы
значенийr
для
).
(спираль Архимеда),
(кардиоида).
,
б)
,
в)
.
,
в)у =
3, г)у = х
, д)
,
.
,
б)
,
в)
.
,
б)
,
в)
.
;6.
;7.
а)
,
б)
,
в)
,
,
д)
,
е)
;8.
а)х = а,
б)
,
в)
;9.
а)
,
б)
,
в)
.
. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
.
- Const.
;
Const.
4. 
6. 
или 
, то вычисление этого предела в этом случае называется раскрытием неопределенности.
, здесь раскрываем неопределенность типа , поделив числитель и знаменатель на , где n = 5 (наивысшая степень х).
,здесь, раскрывая неопределенность , избавились от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженный множитель .
.
получают функцию непрерывную в точке х0.
имеет в точке х=2 разрыв I рода, поскольку . Скачек функции в точке х=2 равен
и 
, то в точке х = -1 функция имеется разрыв II рода.
