Знакомьтесь: Сомс и Ватсап
О единицах измерения
Числовая диковинка
Железнодорожные маршруты
Сомс знакомится с Ватсапом
Геомагические квадраты
О форме апельсиновой кожуры
Как выиграть в лотерею?
Последовательные кубы
Adonis Asteroid Mousterian
О вреде чистых рук
Дело о картонных коробках. Из мемуаров доктора Ватсапа
RATS-последовательность
Дни рождения полезны
Математические даты
Собака Баскетболлов. Из мемуаров доктора Ватсапа
Цифровые кубы
Самовлюбленные числа
Пифилология, пиэмы и пиллиш
Без улик. Из мемуаров доктора Ватсапа
Краткая история судоку
Гексакосиойгексеконтагексафобия
Раз, два, три
Как сберечь удачу
Дело о четырех тузах. Из мемуаров доктора Ватсапа
Растерянные родители
Парадокс зигзага
Дверца страха. Из мемуаров доктора Ватсапа
Блинные числа
Фокус с суповой тарелкой
Математические хайку
Дело о таинственном колесе. Из мемуаров доктора Ватсапа
Дважды два
Загадка гусиного клина
Мнемоника для e
Поразительные квадраты
Загадка тридцати семи. Из мемуаров доктора Ватсапа
Средняя скорость
Четыре псевдоку без указаний
Суммы кубов
Загадка похищенных бумаг. Из мемуаров доктора Ватсапа
Хозяин всего, что за оградой
Задача о непрозрачном квадрате
Непрозрачные многоугольники и круги
πr²?
Знак одного. Из мемуаров доктора Ватсапа
Проблема Гольдбаха для нечетных
Загадки простого числа
Оптимальная пирамида
Знак одного: часть вторая. Из мемуаров доктора Ватсапа
Путаница с инициалами
Евклидовы каракули
Евклидова эффективность
123456789 раз по X
Знак одного. Часть третья. Из мемуаров доктора Ватсапа
Номера такси
Волна перемещения
Загадка песков
π для эскимосов
Знак одного. Часть четвертая – завершение. Из мемуаров доктора Ватсапа
Серьезный беспорядок
Покер по почте
Исключение невозможного. Из мемуаров доктора Ватсапа
Сила мидий
Цена славы
Загадка золотого ромба. Из мемуаров доктора Ватсапа
Арифметическая последовательность степеней
Гармонический ряд со случайными знаками
Собаки, дерущиеся в парке. Из мемуаров доктора Ватсапа
Какой высоты это дерево?
Статистика. Разве это не чудесно?
Приключение шестерых гостей. Из мемуаров доктора Ватсапа
Как записывать очень большие числа
Число Грэма
В моей голове это не укладывается
Дело водителя с уровнем выше среднего. Из мемуаров доктора Ватсапа
Куб «Мышеловка»
Числа Серпинского
Джеймс Джозеф кто?
Ограбление в Баффлхэме. Из мемуаров доктора Ватсапа
Квадриллион знаков числа π
Нормально ли число π?
Математик, статистик и инженер…
Озера Вады
Последний лимерик Ферма
Ошибка Малфатти. Из мемуаров доктора Ватсапа
Квадратные остатки
Бросание монетки по телефону
Тайна универсальной плитки. Из мемуаров доктора Ватсапа
Гипотеза о трекле
Сделка с дьяволом
Непериодическая мостовая
Теорема о двух красках. Из мемуаров доктора Ватсапа
Комическое исчисление
Задача Эрдёша о расходимости
Грек-интегратор. Из мемуаров доктора Ватсапа
Сумма четырех кубов
Откуда у леопарда пятна
Многоугольники навсегда
Совершенно секретно
Приключения гребцов. Из мемуаров доктора Ватсапа
«Пятнашки»
Хитрая шестиугольная головоломка
Сложно, как азбука
Задача о квадратном колышке
Невозможный маршрут. Из мемуаров доктора Ватсапа
Последняя задача. Из мемуаров доктора Ватсапа
Возвращение. Из мемуаров доктора Ватсапа
Окончательное решение
Загадки разгаданные
Скандал с украденным совереном
Числовая диковинка
Железнодорожный маршрут
Сомс встречается с Ватсапом
Геомагические квадраты
Какую форму имеет апельсиновая кожура?
Как выиграть в лотерею?
КражаСлучай с зелеными носками
Последовательные кубы
Adonis Asteroid Mousterian
Два коротких вопроса на квадраты
Дело о картонных коробках
RATS-последовательность
Математические даты
Собака Баскетболлов
Цифровые кубы
Самовлюбленные числа
Без улик!
Краткая история судоку
Раз, два, три
Дело о четырех тузах
Парадокс с зигзагом
Дверца страха
Блинные числа
Дело о таинственном колесе
Загадка гусиного клина
Поразительные квадраты
Загадка тридцати семи
Средняя скорость
Четыре псевдоку без указаний
Загадка похищенных бумаг
Еще одна любопытная числовая закономерность
Промежутки между простыми числами
Знак одного. Часть вторая
Евклидовы каракули
123456789 раз по X
Знак одного. Часть третья
Бросание монетки – несправедливый жребий
Исключение невозможного
Сила мидий
Доказательство шарообразности Земли
123456789 раз по X. Продолжение
Загадка золотого ромба
Почему пузырьки в пиве идут сверху вниз?
Собаки, дерущиеся в парке
Почему у моих друзей больше друзей, чем у меня?
Приключение шестерых гостей
Число Грэма
Дело водителя с уровнем выше среднего
Ограбление в Баффлхэме
Ошибка Малфатти
Как устранить нежелательное эхо
Тайна универсальной плитки
Гипотеза о трекле
Непериодическая мостовая
Теорема о двух красках
Теорема о четырех красках в пространстве
Грек-интегратор
Откуда у леопарда пятна
Многоугольники навсегда
Приключения гребцов
Кольца из правильных многогранников
Невозможный маршрут
Ссылки на источники
Иэн Стюарт
Математические головоломки профессора Стюарта
Знакомьтесь: Сомс и Ватсап
Книга «Кабинет математических диковинок профессора Стюарта» вышла в 2008 г., перед самым Рождеством. Похоже, читателям понравился содержавшийся в ней случайный набор забавных математических фокусов, игр, необычных биографий, разрозненных обрывков информации, решенных и нерешенных задач, странных фактов и попадавшихся иногда среди всего этого более длинных и серьезных глав, посвященных таким темам, как фракталы, топология и Великая теорема Ферма. Поэтому в 2009 г. появилась следующая книга – «Копилка математических сокровищ профессора Стюарта», в которой примерно такая же смесь перемежалась с пиратской темой.
Говорят, что 3 – отличное число для трилогии. Правда, покойный Дуглас Адамс, прославившийся «Путеводителем по Галактике», в конце концов пришел к выводу, что 4 лучше 3, а 5 – еще лучше, но 3 тем не менее представляется неплохим вариантом для начала. Так что теперь, с промежутком в пять лет, перед вами третья книга – «Математические головоломки профессора Стюарта». На этот раз, однако, я попробовал иной подход. В книге по-прежнему присутствуют короткие загадочные истории о таких вещах, как гексакосиойгексеконтагексафобия, гипотеза о трекле, форма апельсиновой кожуры, RATS-последовательность, евклидовы каракули. Есть и более существенные разделы о решенных и нерешенных задачах: блинные числа, проблема Гольдбаха, гипотеза Эрдёша о расходимости, гипотеза о квадратном колышке и гипотеза ABC. Также имеются шутки, стихи и анекдоты, не говоря уже о необычных приложениях математики к летящим гусям, движению мидий, пятнистым леопардам и пузырькам в кружке с пивом. Но при этом всякая всячина здесь перемежается с серией небольших рассказов о приключениях детектива Викторианской эпохи и его друга-врача…
Я знаю, о чем вы подумали. Однако я придумал этот сюжетный ход примерно за год до появления любимых героев Конан Дойля в исполнении Бенедикта Камбербэтча и Мартина Фримена на телеэкранах в новой современной постановке, сразу же завоевавшей огромную популярность. (Поверьте мне.) Кроме того – и это самое главное, – это не та пара . И даже не та, что фигурирует в оригинальных рассказах сэра Артура. Да, мои герои живут в тот же период времени, но через дорогу, в доме номер 222b. Оттуда они бросают завистливые взгляды на вереницу богатых клиентов, посещающих обиталище более знаменитого дуэта. А время от времени попадается случай, который их знаменитые соседи не взялись или не сумели решить: речь о таких загадочных историях, как дело о знаке одного, дело о собаках, которые дрались в парке, дело о дверце страха и дело о греке-интеграторе. Вот тогда-то Хемлок Сомс и доктор Джон Ватсап включают свои мозги, демонстрируют свои подлинные возможности и силу характера – и добиваются успеха, несмотря на превратности судьбы и недостаток рекламы.
Заметьте, что речь идет о математических загадках. Их решение требует интереса к математике и способности ясно мыслить – качеств, которыми не обижены Сомс и Ватсап. Эти истории отмечены в тексте значком. По пути мы узнаем об армейской карьере Ватсапа в Ал-Гебраистане и о борьбе Сомса с его заклятым врагом профессором Могиарти, которая с неизбежностью привела к последнему фатальному противостоянию у Штикельбахского водопада. А потом…
К счастью, доктор Ватсап описал многие их совместные расследования в своих мемуарах и неопубликованных записках. Я благодарен его потомкам Ундервуду и Верити Ватсапам за предоставление мне свободного доступа к семейным документам и великодушное разрешение включить в свою книгу выдержки из них.
Ковентри, март 2014 г.
О единицах измерения
Во времена Сомса и Ватсапа в Британии пользовались имперскими единицами измерения, а не метрическими, которыми по большей части пользуются сегодня, и денежные единицы тоже строились не по десятичной системе. У американских читателей проблем с имперскими единицами не возникнет; правда, галлоны по разные стороны Атлантики всегда были разные, но эти единицы измерения в книге все равно не используются. Чтобы избежать разночтений, я пользовался единицами Викторианской эпохи даже в тех вопросах, которые не входят в канон Сомса/Ватсапа, – за исключением тех случаев, когда логика рассказа требует именно метрической системы.
Здесь же я приведу краткий справочник по интересующим нас единицам измерения с их метрическими/десятичными эквивалентами.
Бо́льшую часть времени конкретные единицы измерения вообще не имеют значения: можно было бы просто, не меняя чисел, перечеркнуть слова «дюймов» или «ярдов» и заменить их неопределенным обозначением «единиц». Или выбрать любой другой вариант, который покажется вам удобным (к примеру, можно свободно заменить ярды на метры).
Единицы длины
1 фут = 12 дюймов = 304,8 мм
1 ярд = 3 фута = 0,9144 м
1 миля = 1760 ярдов = 5280 футов = 1,609 км
1 лига = 3 мили = 4,827 км
Единицы веса
1 фунт = 16 унций = 453,6 г
1 стоун = 14 фунтов = 6,35 кг
1 хандридвейт = 8 стоунов = 112 фунтов = 0,8 кг
1 тонна = 20 хандридвейтов = 2240 фунтов = 1,016 т
Денежные единицы
1 шиллинг = 12 пенсов (в ед. ч.: пенни) = 5 новых пенсов
1 фунт = 20 шиллингов = 240 пенсов
1 соверен = 1 фунт (монета)
1 гинея = 21 шиллинг = 1,05 фунта
1 крона = 5 шиллингов = 25 новых пенсов
Скандал с украденным совереном
Частный детектив достал из кармана кошелек, убедился, что тот по-прежнему пуст, и вздохнул. Стоя у окна своей квартиры в доме 222b, он застывшим взглядом смотрел через улицу. Оттуда, едва различимые на фоне цоканья копыт и клацанья проезжающих экипажей, доносились звуки какой-то ирландской мелодии, мастерски исполняемой на скрипке Страдивари. В самом деле, этот человек невыносим! Сомс взирал на ручеек людей, один за другим входящих в дверь его знаменитого конкурента. Большинство из них с очевидностью были богаты и принадлежали к высшим классам общества. Те, кто не выглядели богатыми членами высших классов, за редким исключением были представителями богатых членов высших классов.
Преступники просто не совершали преступлений, которые затрагивали бы людей того сорта, что прибегли бы при необходимости к услугам Хемлока Сомса.
Последние две недели Сомс с завистью наблюдал, как клиентов одного за другим проводили к человеку, которого они считали величайшим детективом на свете. Или, по крайней мере, в Лондоне, который для викторианской Англии означал, по существу, то же самое. Тем временем его собственный дверной звонок упрямо молчал, счета накапливались, и миссис Сопсудс уже угрожала выселением.
В производстве у Сомса числилось всего одно дело. Лорд Хампшоу-Смэттеринг, владелец гостиницы «Глиц», считал, что один из его официантов стащил золотой соверен – ценность стоимостью в один фунт стерлингов. Откровенно говоря, соверен в настоящий момент пригодился бы и самому Сомсу. Однако вряд ли подобное происшествие способно было привлечь жадную до сенсаций желтую прессу, от которой, как ни прискорбно, зависело его будущее.
Сомс еще раз просмотрел свои записи по делу. Три приятеля – Армстронг, Беннет и Каннингем – обедали в ресторане отеля, после чего им был вручен счет на 30 фунтов. Каждый из троих дал официанту Мануэлю 10 золотых соверенов. Но затем метрдотель заметил, что в счет вкралась ошибка и на самом деле с приятелей следовало получить не 30, а 25 фунтов. Он дал официанту пять соверенов, которые следовало вернуть гостям. Поскольку пять монет невозможно было разделить на троих, Мануэль решил, что лучше всего будет, если он оставит два соверена себе в качестве чаевых и раздаст посетителям по соверену; при этом он намекнул, что им вообще повезло, что удалось вернуть хоть какую-то часть переплаты.
Посетители согласились на такой вариант, и все было хорошо, пока метрдотель не обратил внимания на арифметическую неточность. Получалось, что посетители заплатили за обед по 9 фунтов, в сумме 27 фунтов. Два фунта получил Мануэль, то есть в сумме получилось 29 фунтов.
Одного фунта не хватало.
Хампшоу-Смэттеринг был убежден, что Мануэль просто украл недостающий соверен. Доказательства, конечно, были косвенные, но Сомс понимал, что от разрешения этой загадки зависит благополучие официанта. Если бы Мануэля уволили с плохой характеристикой, он не смог бы найти подобную работу.
Куда же делся недостающий соверен?
Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».
Числовая диковинка
Гексакосиойгексеконтагексафобия
Этим страшным словом обозначается боязнь числа 666. В 1989 году президент США Рональд Рейган и его жена Нэнси при переезде поменяли прежний адрес своего нового дома, 666 по Сен-Клу-роуд, на 668 по той же улице. Однако вряд ли этот случай можно приводить в качестве примера гексакосиойгексеконтагексафобии, поскольку вполне возможно, что Рейганы не боялись этого числа как такового, а просто хотели подстраховаться и избежать в будущем очевидных обвинений и возможных неловкостей.
С другой стороны… Когда Дональд Риган, шеф президентской администрации при Рейгане, опубликовал в 1988 году свои мемуары «Под запись. От Уолл-стрит до Вашингтона», он написал, что Нэнси Рейган регулярно советовалась с астрологами, сначала с Джейн Диксон, а позже с Джоан Куигли. «Практически любое серьезное действие или решение Рейганов во время моего пребывания на посту главы администрации Белого дома заранее согласовывалось с какой-то женщиной в Сан-Франциско, которая рисовала гороскопы, чтобы убедиться в благоприятном расположении планет». Число 666 обладает оккультным смыслом, потому что именно оно объявлено числом зверя в Откровении Иоанна Богослова (13:17-18): «И что никому нельзя будет ни покупать, ни продавать, кроме того, кто имеет это начертание, или имя зверя, или число имени его. Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть». Считается, что это число отсылает нас к нумерологической системе, которая на иврите называется «гематрия», а по-гречески - «изопсефия» и в которой числа обозначаются буквами алфавита. При этом возможно несколько вариантов обозначения: буквы алфавита можно пронумеровать последовательно, а можно сначала обозначить цифры 1–9, затем десятки 10–90, затем сотни 100–900 и т.д., сколько нужно (именно так записывали числа древние греки). Тогда сумма чисел, обозначаемых буквами имени человека, и будет численным значением этого имени. За прошедшие века предпринимались бесчисленные попытки вычислить, кто такой зверь, упоминаемый в Откровении. Среди предположений фигурируют и Антихрист (написанный в подобных обвинениях на латыни как Antichristum), и Римско-католическая церковь (обозначенная одним из вариантов титулования римского папы - Vicarius Filii Dei), и Эллен Гулд Уайт (Ellen Gould White), одна из организаторов Церкви адвентистов седьмого дня. С чего бы вдруг? Ну, если считать только римские цифры в ее имени, то получится:
Расшифровка нумерологии
что в сумме дает 666. Если вы считаете, что зверем был Адольф Гитлер, вы можете «доказать» это, начав нумерацию с
В сущности, процесс «доказывания» сводится к следующему: выбираете ненавистную фигуру на основании собственных политических или религиозных взглядов, а затем подгоняете нумерацию и, если необходимо, имя, чтобы получить нужный результат. Однако не исключено, что все эти глубокомысленные рассуждения и далеко идущие выводы основаны на простом недопонимании, не говоря уже о сомнительности веры в то, что подобные вещи в принципе могут что-то значить. Сегодня уже очевидно, что число 666, возможно, возникло в результате ошибки. Около 200 года н.э. священник Ириней знал, что в нескольких ранних рукописях называется другое число, но приписывал это ошибкам писцов и утверждал, что именно 666 можно найти «во всех самых достоверных и древних списках». Но в 2005 году ученые Оксфордского университета применили компьютерные технологии обработки изображений и попытались прочесть с их помощью нечитаемые прежде части самого раннего известного списка «Откровения» - экспоната №115 из числа папирусов, обнаруженных при раскопках древнего Оксиринха. Этот документ, датируемый примерно 300 годом н.э., считается самой достоверной и определяющей версией канонического текста. Числом зверя в нем названо 616.
Оптимальная пирамида
Стоит подумать о Древнем Египте, и в голову сразу же приходят пирамиды, в первую очередь Великая пирамида Хеопса в Гизе, самая большая из всех, и стоящая рядом с ней пирамида Хефрена, чуть поменьше, и относительно небольшая пирамида Микерина. Известны остатки более чем 36 крупных и сотен более мелких египетских пирамид - от громадных и почти полностью сохранившихся до простых отверстий в земле, содержащих лишь несколько обломков камня от погребальной камеры, а иногда и того меньше. О форме, размерах и ориентации пирамид написаны огромные тома. Большая часть их содержимого умозрительна; на основе различных численных соотношений выстраиваются весьма амбициозные цепочки рассуждений. Особенно любят исследователи Великую пирамиду: с чем только ее ни связывали - и с золотым сечением, и с числом π, и даже со скоростью света. К подобным рассуждениям возникает столько вопросов, что трудно воспринимать их серьезно: в любом случае данные, на которых они основаны, часто неточны; к тому же с таким количеством измерений и параметров всегда можно подобрать нужную комбинацию.
Слева: пирамиды Гизы. С заднего плана к зрителю: Великая пирамида Хеопса, пирамиды Хефрена, Микерина и три пирамиды цариц. Из-за перспективы те, что позади, кажутся меньше, чем на самом деле. Справа: Ломаная пирамида
Стюарт И. Математические головоломки профессора Стюарта. - М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
Один из лучших источников по пирамидам - книга The Complete Pyramids Марка Ленера. Помимо прочего, в ней можно найти данные о наклоне граней пирамид: углы между плоскостями, проходящими через треугольные грани, и квадратным основанием пирамиды. Вот несколько примеров:
Углы наклона пирамид
Стюарт И. Математические головоломки профессора Стюарта. - М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
Более обширные данные вы можете найти на сайте Википедия. На ум приходят два наблюдения. Первое состоит в том, что приводить некоторые из этих углов с точностью до угловой секунды (а остальные до минуты) неразумно. Сторона основания Черной пирамиды Аменемхета III в Дашуре составляет 105 м, а высота - 75 м. Изменение угла наклона грани пирамиды на одну угловую секунду соответствует изменению высоты пирамиды на один миллиметр. Правда, следы ребер основания сохранились, как и некоторые фрагменты камней облицовки, но, учитывая общую степень сохранности пирамиды, вам трудно было бы оценить первоначальный наклон ее граней в пределах хотя бы 5° от истинной величины.
Все, что осталось от Черной пирамиды Аменемхета III
Стюарт И. Математические головоломки профессора Стюарта. - М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
Второе, на что невольно обращаешь внимание, - это тот факт, что, хотя наклон граней пирамид немного варьируется (иногда даже в пределах одной пирамиды, как, к примеру, у Ломаной), у всех этих древних сооружений он близок к 54°. Почему? В 1979 г. Р. Макмиллан начал с того надежно установленного факта, что строители пирамид использовали для отделки своих сооружений с внешней стороны дорогостоящий облицовочный камень, к примеру белый турский известняк или гранит. Внутри они использовали более дешевые материалы: низкокачественный мокаттамский известняк, саманный кирпич и щебенку. Поэтому для них имело смысл всячески снижать количество каменной облицовки. Какой формы должна быть пирамида, если фараон желает, чтобы при заданной стоимости облицовочного камня монумент получился как можно больше? То есть какой угол наклона граней пирамиды к основанию позволяет получить максимальный объем при фиксированной суммарной площади четырех треугольных граней?
Слева: разрез пирамиды. Справа: максимизация площади равнобедренного треугольника или, что эквивалентно, ромба с заданной длиной стороны
Стюарт И. Математические головоломки профессора Стюарта. - М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
Вообще-то это прекрасное упражнение из области дифференциального исчисления, но эту задачу можно решить и проще, геометрически, если применить хитрый прием. Разрежем пирамиду пополам вертикальной плоскостью, проходящей через диагональ основания (серый треугольник). Получаем равнобедренный треугольник. Объем получившейся полупирамиды пропорционален площади этого треугольника, а площади наклонных граней полупирамиды пропорциональны длинам его соответствующих сторон. Поэтому задача эквивалентна поиску равнобедренного треугольника максимальной площади при фиксированной длине двух равных его сторон.
Зеркально отобразив треугольник относительно основания, получим, что наша задача эквивалентна поиску ромба максимальной площади при заданной длине стороны. Решением является квадрат, ориентированный диагональю по вертикали. Следовательно, углы при вершине каждой треугольной секции такого рода составляют 90°, а углы при основании - 45°. Базовая тригонометрия подсказывает, что угол наклона грани пирамиды при этом равен
Стюарт И. Математические головоломки профессора Стюарта. - М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
что близко к средней величине наклона грани у настоящих пирамид.
Задача 14 из Московского математического папируса: нахождение объема усеченной пирамиды
Стюарт И. Математические головоломки профессора Стюарта. - М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
Макмиллан ничего не утверждает в отношении того, что говорят приведенные им расчеты о строительстве пирамид; его основная мысль заключается в том, что эта задача - показательный пример практического владения геометрией. Однако в Московском математическом папирусе приводится правило нахождения объема усеченной пирамиды (то есть пирамиды со срезанной верхушкой) и задача, из которой явствует, что египтяне понимали подобие. В нем объясняется также, как найти высоту пирамиды по ее основанию и наклону. Более того, и в этом папирусе, и в математическом папирусе Ринда объясняется, как найти площадь треугольника. Так что древнеегипетские математики вполне могли решить задачу Макмиллана. Поскольку папируса, в котором содержался бы именно этот расчет, в нашем распоряжении нет, то нет и убедительных причин полагать, что эта задача действительно была решена в Древнем Египте. У нас нет никаких свидетельств того, что египтяне были заинтересованы в оптимизации формы своих пирамид. И даже если были, они вполне могли определить оптимальную форму экспериментально, при помощи глиняных моделей. Или просто произвести эмпирическую оценку. А может быть, форма постепенно эволюционировала в направлении наименьшей стоимости: строители и фараоны, они такие. В альтернативном варианте угол наклона грани мог определяться инженерными соображениями: считается, скажем, что необычная форма Ломаной пирамиды объясняется тем, что на середине строительства она начала разваливаться и строителям пришлось уменьшить крутизну граней. Тем не менее можно с уверенностью заявить, что этот небольшой математический пример имеет более непосредственное отношение к пирамидам, чем, скажем, скорость света.
Волна перемещения
Математические исследования верхом? Почему бы нет? Вдохновение может осенить где угодно. Выбирать не приходится.
Джон Скотт Рассел
Стюарт И. Математические головоломки профессора Стюарта. - М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
В 1834 году шотландский инженер-кораблестроитель Джон Скотт Рассел, ехавший на лошади вдоль канала, обратил внимание на поразительное явление: «Я наблюдал за движением лодки, которую стремительно тянула по узкому каналу пара лошадей, как вдруг лодка остановилась - лодка, но не та масса воды в канале, которую она увлекала и приводила в движение; эта вода собралась вокруг носа судна в состоянии неистового возбуждения, затем внезапно оторвалась от него и покатилась вперед с огромной скоростью, принимая форму большого одиночного возвышения, округлой, гладкой и четко очерченной водяной массы, которая продолжила движение вдоль канала без всякого видимого изменения формы или снижения скорости. Я последовал за ней верхом и догнал; она катилась дальше со скоростью примерно 13 или 15 км/ч, сохраняя первоначальную форму, размером около 9 м в длину и 30–45 см в высоту. Ее высота постепенно снижалась, и после преследования на протяжении 1,5–3 км я потерял ее среди извивов канала. Вот такой в августе 1834 года была моя первая случайная встреча с этим исключительным и красивым явлением, которое я назвал волной перемещения».
Рассела заинтриговало это явление, поскольку обычно одиночные волны расходятся в стороны по мере движения или рассыпаются, как прибой на пляже. Он соорудил дома волновой бассейн и провел серию экспериментов. В ходе испытаний выяснилось, что такая волна очень устойчива и может пройти большое расстояние, не меняя формы. Волны разных размеров движутся с разными скоростями. Если одна такая волна догоняет другую, она выходит вперед после сложного взаимодействия. А большая волна на мелководье разделяется на две - среднюю и маленькую.
Эти открытия поставили физиков того времени в тупик, потому что совершенно не поддавались объяснению с позиции тогдашних взглядов на поведение жидкостей. Более того, видный астроном Джордж Эйри и ведущий специалист по динамике жидкостей Джордж Стокс долго не верили, что такая волна существует. Сегодня мы знаем, что Рассел был прав. В некоторых обстоятельствах нелинейные эффекты, неизвестные математикам того времени, компенсируют тенденцию всякой волны к расхождению, потому что скорость движения волны зависит от частоты колебаний. В этих эффектах первыми разобрались лорд Рэлей и Жозеф Буссинеск примерно в 1870 году.
В 1895 году Дидерик Кортевег и Густав де Врис предложили уравнение Кортевега - де Вриса, в которое вошли подобные эффекты, и показали, что у него есть обособленные (солитарные) волновые решения. Аналогичные результаты были получены для других уравнений математической физики, и феномен получил новое название: солитон. Серия крупных открытий позволила Питеру Лаксу сформулировать очень общие условия, при которых уравнения имеют обособленные решения, и объяснить эффект туннелирования. Математически этот процесс сильно отличается от того, как взаимодействуют мелководные волны, например на пруду, когда их формы складываются; все это - прямое следствие математической формы волнового уравнения. Солитоноподобные явления наблюдаются во многих областях науки - от ДНК до волоконной оптики. Именно этим объясняется существование широкого спектра явлений со странными названиями вроде «бризер», «кинк» и «осциллон».
Есть также весьма соблазнительная идея, которую пока никому не удалось заставить работать. Элементарные частицы в квантовой механике соединяют в себе каким-то образом две разные, несовместимые на первый взгляд характеристики. Как и большинство объектов квантового уровня, они представляют собой волны, но при этом умеют соединяться в частицеподобные блоки. Физики давно пытаются отыскать уравнения, которые согласовывались бы со структурой квантовой механики, но допускали существование солитонов. Лучшее, чего им на сегодняшний день удалось достичь, - это уравнение, описывающее инстантон, который можно интерпретировать как частицу с очень коротким временем жизни, которая возникает из ниоткуда и немедленно после этого исчезает.
Книга: «Математические головоломки профессора Стюарта»
Перевод: Наталия Лисова
Вышла: 2017 год
Издательство: «Альпина нон-фикшн»
Об авторе
Иэн Стюарт — известный математик, член Лондонского королевского общества и профессор Математического института Уорикского университета. В своих исследованиях Стюарт специализируется на проблемах нелинейной динамики, а параллельно с серьёзной научной работой пишет замечательные научно-популярные книги для детей и взрослых — в общем, для всех, кто любит задачи и головоломки. Наиболее известна у нас выпущенная «Альпиной Нон-Фикшн» в 2016 году книга « Невероятные числа профессора Стюарта ».
О книге
Человеческий мозг, что знают не все, — тренируемый орган. И лучший тренажер — занятие математикой. Именно этим объясняется такое широкое распространение детских математических кружков — своеобразных спортивных секций для развития мозга. Ну, а роль физкультуры для мозга во времена моей молодости выполняли книги Якова Перельмана с главным хитом «Занимательная математика», расходившиеся в СССР миллионными тиражами.
На этом же поле играют «Математические головоломки профессора Стюарта» Почетного профессора Математического института Уорикского университета Иэна Стюарта, хорошо известного на западе популяризатора математики. Причем помимо увлекательных математических головоломок, для решения которых достаточно школьной программы, в книге присутствует и литературный сюжет.
Иэн Стюарт утверждает, что опередил создателей популярного сериала Sherlock с Бенедиктом Камбербэтчем, введя параллельное Конан Дойлю повествование. Сыщик Хемлок Сомс и доктор Джон Ватсап живут в одно и то же время с Шерлоком Холмсом, причем в непосредственной близости, буквально через дорогу, в доме по адресу Baker Street 222b (легендарный сыщик жил в доме 221b). Герои Стюарта живут в тени своего великого коллеги, и им достаются дела, за которые настоящий Шерлок Холмс не берется. Причем речь идет о классических математических загадках. И если при прочтении оригинального произведения Артура Конан Дойля вы вряд ли можете конкурировать с великим сыщиком, пытаясь разгадать криминальную загадку до него, то в «Математических головоломках профессора Стюарта» вы просто обязаны это делать. Огромное количество дел Сомса и Ватсапа от скандала с украденным совереном до случая с зелеными носками, от собаки Баскетболлов до пивных пузырьков не оставят вас равнодушными. И все это в романтической упаковке викторианской эпохи. Прекрасное развлечение с карандашом и стопкой бумаги для людей, ценящих интеллект.
Об издании
Классическое издание в традиционном стиле «Альпины нон-фикшн» — качественная бумага, аккуратная вёрстка, удобные шрифты, хорошие, очень наглядные схемы и иллюстрации.
Переводчик Наталья Лисова
Научный редактор Андрей Родин, канд. филос. наук
Редактор Антон Никольский
Руководитель проекта И. Серёгина
Корректоры С. Чупахина, М. Миловидова
Компьютерная верстка A. Фоминов
Дизайн обложки Ю. Буга
© Joat Enterprises 2014, 2015
© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2016
Стюарт И.
Математические головоломки профессора Стюарта / Иэн Стюарт; Пер. с англ. – М.: Альпина нон-фикшн, 2017.
ISBN 978-5-9614-4502-2
Все права защищены. Произведение предназначено исключительно для частного использования. Никакая часть электронного экземпляра данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для публичного или коллективного использования без письменного разрешения владельца авторских прав. За нарушение авторских прав законодательством предусмотрена выплата компенсации правообладателя в размере до 5 млн. рублей (ст. 49 ЗОАП), а также уголовная ответственность в виде лишения свободы на срок до 6 лет (ст. 146 УК РФ).
Знакомьтесь: Сомс и Ватсап
Книга «Кабинет математических диковинок профессора Стюарта» вышла в 2008 г., перед самым Рождеством. Похоже, читателям понравился содержавшийся в ней случайный набор забавных математических фокусов, игр, необычных биографий, разрозненных обрывков информации, решенных и нерешенных задач, странных фактов и попадавшихся иногда среди всего этого более длинных и серьезных глав, посвященных таким темам, как фракталы, топология и Великая теорема Ферма. Поэтому в 2009 г. появилась следующая книга – «Копилка математических сокровищ профессора Стюарта», в которой примерно такая же смесь перемежалась с пиратской темой.
Говорят, что 3 – отличное число для трилогии. Правда, покойный Дуглас Адамс, прославившийся «Путеводителем по Галактике», в конце концов пришел к выводу, что 4 лучше 3, а 5 – еще лучше, но 3 тем не менее представляется неплохим вариантом для начала. Так что теперь, с промежутком в пять лет, перед вами третья книга – «Математические головоломки профессора Стюарта». На этот раз, однако, я попробовал иной подход. В книге по-прежнему присутствуют короткие загадочные истории о таких вещах, как гексакосиойгексеконтагексафобия, гипотеза о трекле, форма апельсиновой кожуры, RATS-последовательность, евклидовы каракули. Есть и более существенные разделы о решенных и нерешенных задачах: блинные числа, проблема Гольдбаха, гипотеза Эрдёша о расходимости, гипотеза о квадратном колышке и гипотеза ABC. Также имеются шутки, стихи и анекдоты, не говоря уже о необычных приложениях математики к летящим гусям, движению мидий, пятнистым леопардам и пузырькам в кружке с пивом. Но при этом всякая всячина здесь перемежается с серией небольших рассказов о приключениях детектива Викторианской эпохи и его друга-врача…
Я знаю, о чем вы подумали. Однако я придумал этот сюжетный ход примерно за год до появления любимых героев Конан Дойля в исполнении Бенедикта Камбербэтча и Мартина Фримена на телеэкранах в новой современной постановке, сразу же завоевавшей огромную популярность. (Поверьте мне.) Кроме того – и это самое главное, – это не та пара . И даже не та, что фигурирует в оригинальных рассказах сэра Артура. Да, мои герои живут в тот же период времени, но через дорогу, в доме номер 222b. Оттуда они бросают завистливые взгляды на вереницу богатых клиентов, посещающих обиталище более знаменитого дуэта. А время от времени попадается случай, который их знаменитые соседи не взялись или не сумели решить: речь о таких загадочных историях, как дело о знаке одного, дело о собаках, которые дрались в парке, дело о дверце страха и дело о греке-интеграторе. Вот тогда-то Хемлок Сомс и доктор Джон Ватсап включают свои мозги, демонстрируют свои подлинные возможности и силу характера – и добиваются успеха, несмотря на превратности судьбы и недостаток рекламы.
Заметьте, что речь идет о математических загадках. Их решение требует интереса к математике и способности ясно мыслить – качеств, которыми не обижены Сомс и Ватсап. Эти истории отмечены в тексте значком
По пути мы узнаем об армейской карьере Ватсапа в Ал-Гебраистане и о борьбе Сомса с его заклятым врагом профессором Могиарти, которая с неизбежностью привела к последнему фатальному противостоянию у Штикельбахского водопада. А потом…
К счастью, доктор Ватсап описал многие их совместные расследования в своих мемуарах и неопубликованных записках. Я благодарен его потомкам Ундервуду и Верити Ватсапам за предоставление мне свободного доступа к семейным документам и великодушное разрешение включить в свою книгу выдержки из них.
Ковентри, март 2014 г.
О единицах измерения
Во времена Сомса и Ватсапа в Британии пользовались имперскими единицами измерения, а не метрическими, которыми по большей части пользуются сегодня, и денежные единицы тоже строились не по десятичной системе. У американских читателей проблем с имперскими единицами не возникнет; правда, галлоны по разные стороны Атлантики всегда были разные, но эти единицы измерения в книге все равно не используются. Чтобы избежать разночтений, я пользовался единицами Викторианской эпохи даже в тех вопросах, которые не входят в канон Сомса/Ватсапа, – за исключением тех случаев, когда логика рассказа требует именно метрической системы.
Здесь же я приведу краткий справочник по интересующим нас единицам измерения с их метрическими/десятичными эквивалентами.
Бо́льшую часть времени конкретные единицы измерения вообще не имеют значения: можно было бы просто, не меняя чисел, перечеркнуть слова «дюймов» или «ярдов» и заменить их неопределенным обозначением «единиц». Или выбрать любой другой вариант, который покажется вам удобным (к примеру, можно свободно заменить ярды на метры).
Единицы длины
1 фут = 12 дюймов = 304,8 мм
1 ярд = 3 фута = 0,9144 м
1 миля = 1760 ярдов = 5280 футов = 1,609 км
1 лига = 3 мили = 4,827 км
Единицы веса
1 фунт = 16 унций = 453,6 г
1 стоун = 14 фунтов = 6,35 кг
1 хандридвейт = 8 стоунов = 112 фунтов = 0,8 кг
1 тонна = 20 хандридвейтов = 2240 фунтов = 1,016 т
Денежные единицы
1 шиллинг = 12 пенсов (в ед. ч.: пенни) = 5 новых пенсов
1 фунт = 20 шиллингов = 240 пенсов
1 соверен = 1 фунт (монета)
1 гинея = 21 шиллинг = 1,05 фунта
1 крона = 5 шиллингов = 25 новых пенсов
Скандал с украденным совереном
Частный детектив достал из кармана кошелек, убедился, что тот по-прежнему пуст, и вздохнул. Стоя у окна своей квартиры в доме 222b, он застывшим взглядом смотрел через улицу. Оттуда, едва различимые на фоне цоканья копыт и клацанья проезжающих экипажей, доносились звуки какой-то ирландской мелодии, мастерски исполняемой на скрипке Страдивари. В самом деле, этот человек невыносим! Сомс взирал на ручеек людей, один за другим входящих в дверь его знаменитого конкурента. Большинство из них с очевидностью были богаты и принадлежали к высшим классам общества. Те, кто не выглядели богатыми членами высших классов, за редким исключением были представителями богатых членов высших классов.