Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В данной статье разберем, в чем заключается основное свойство дроби, сформулируем его, приведем доказательство и наглядный пример. Затем рассмотрим, как применять основное свойство дроби при совершении действий сокращения дробей и приведения дробей к новому знаменателю.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы и называем основным свойством дроби, и звучит оно следующим образом:

Определение 1

Если числитель и знаменатель одной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то в итоге получится дробь, равная заданной.

Представим основное свойство дроби в виде равенства. Для натуральных чисел a , b и m будут справедливыми равенства:

a · m b · m = a b и a: m b: m = a b

Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. Опираясь на свойства умножения натуральных чисел и свойства деления натуральных чисел, запишем равенства: (a · m) · b = (b · m) · a и (a: m) · b = (b: m) · a . Таким образом, дроби a · m b · m и a b , а также a: m b: m и a b являются равными по определению равенства дробей.

Разберем пример, который графически проиллюстрирует основное свойство дроби.

Пример 1

Допустим, у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» частей-квадратов. Каждый «большой» квадрат разделен на 4 меньших по размеру. Возможно сказать, что заданный квадрат поделен на 4 · 9 = 36 «маленьких» квадратов. Выделим цветом 5 «больших» квадратов. При этом окрашенными будут 4 · 5 = 20 «маленьких» квадратов. Покажем рисунок, демонстрирующий наши действия:

Окрашенная часть – это 5 9 исходной фигуры или 20 36 , что является тем же самым. Таким образом, дроби 5 9 и 20 36 являются равными: 5 9 = 20 36 или 20 36 = 5 9 .

Эти равенства, а также равенства 20 = 4 · 5 , 36 = 4 · 9 , 20: 4 = 5 и 36: 4 = 9 дают возможность сделать вывод, что 5 9 = 5 · 4 9 · 4 и 20 36 = 20 · 4 36 · 4 .

Чтобы закрепить теорию, разберем решение примера.

Пример 2

Задано, что числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 47 , после чего эти числитель и знаменатель разделили на 3 . Равна ли полученная в итоге этих действий дробь заданной?

Решение

Опираясь на основное свойство дроби, можно говорить о том, что умножение числителя и знаменателя заданной дроби на натуральное число 47 даст в результате дробь, равную исходной. То же самое мы можем утверждать, производя дальнейшее деление на 3 . В конечном счете мы получим дробь, равную заданной.

Ответ: да, полученная в итоге дробь будет равна исходной.

Применение основного свойства дроби

Основное свойство применяется, когда нужно привести дроби к новому знаменателю и при сокращении дробей.

Приведение дроби к новому знаменателю – это действие замены заданной дроби равной ей дробью, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на необходимое натуральное число. Действия с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приводить дроби к новому знаменателю.

Определение 2

Сокращение дроби – действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же необходимое натуральное число, которое будет называться общим делителем .

Возможны случаи, когда подобного общего делителя нет, тогда говорят о том, что исходная дробь несократима или не подлежит сокращению. В частности, сокращение дроби при помощи наибольшего общего делителя приведет дробь к несократимому виду.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .

Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

Скрыть Показать

Основное свойство дроби

Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .

Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .

Арифметические действия над обыкновенными дробями

Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .

Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,

то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .

Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .

Взаимно обратные числа

Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .

Арифметические действия над десятичными дробями

Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .

В математике дробь - это число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. По форме записи дроби делятся на обыкновенные (пример \frac{5}{8}) и десятичные (например 123,45).

Определение. Обыкновенная дробь (или простая дробь)

Обыкновенной (простой) дробью называется число вида \pm\frac{m}{n} где m и n – натуральные числа. Число m называется числителем этой дроби, а число n – её знаменателем .

Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, то есть \frac{m}{n}={}^m/n=m:n

Обыкновенные дроби делятся на два вида: правильные и неправильные.

Определение. Правильная и неправильная дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Например, \frac{9}{11} , ведь 9

Неправильной называется дробь, у которой модуль числителя больше или равен модулю знаменателя. Такая дробь представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице. Примером будут дроби \frac{11}{2} , \frac{2}{1} , -\frac{7}{5} , \frac{1}{1}

Наряду с неправильной дробью существует иная запись числа, которая называется смешанной дробью (смешанным числом). Такая дробь не является обыкновенной.

Определение. Смешанная дробь (смешанное число)

Смешанной дробью называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби. Например, 2\frac{5}{7}

(запись в виде смешанного числа) 2\frac{5}{7}=2+\frac{5}{7}=\frac{14}{7}+\frac{5}{7}=\frac{19}{7} (запись в виде неправильной дроби)

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные. Сформируем признак равенства двух обыкновенных дробей.

Определение. Признак равенства дробей

Две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} являются равными , если a\cdot d=b\cdot c . Например, \frac{2}{3}=\frac{8}{12} так как 2\cdot12=3\cdot8

Из указанного признака следует основное свойство дроби.

Свойство. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной.

\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A:K}{B:K};\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например, \frac{12}{16}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например, \frac{3}{4} – несократимая дробь.

Правила для положительных дробей:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, \frac{3}{15}

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, \frac{4}{11}>\frac{4}{13} .

Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными .

Дробь называют смешанной , если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Действия с дробями

Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

1. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

1. Привести дроби к общему знаменателю
2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй: