Каждый школьник младших классов знает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, это утверждение верно и для множителей и произведения. То есть, согласно переместительному закону,
a + b = b + a и
a · b = b · a.
Сочетательный закон утверждает:
(a + b) + c = a + (b + c) и
(ab)c = a(bc).
А распределительный закон констатирует:
a(b + c) = ab + ac.
Мы вспомнили самые элементарные примеры применения данных математических законов, но все они распространяются на весьма широкие числовые области.
При любом значении переменной х значение выражений 10(х + 7) и 10х + 70 равны, так как для любых чисел выполняется распределительный закон умножения. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны на множестве всех чисел.
Значения выражения 5х 2 /4а и 5х/4 в силу основного свойства дроби равны при любом значении х, кроме 0. Такие выражения называют тождественно равными на множестве всех чисел. Кроме 0.
Два выражения с одной переменной называются тождественно равными на множестве, если при любом значении переменной, принадлежащем этому множеству, их значения равны.
Аналогично определяют тождественное равенство выражений с двумя, трёмя и т.д. переменными на некотором множестве пар, троек и т.д. чисел.
Например, выражение 13аb и (13а)b тождественно равны на множестве всех пар чисел.
Выражение 7b 2 c/b и 7bc тождественно равны на множестве всех пар значений переменных b и c, в которых значение b не равно 0.
Равенства, в которых левая и правая части – выражения, тождественно равные на некотором множестве, называются тождествами на этом множестве.
Очевидно, что тождество на множестве обращается в истинное числовое равенство при всех значениях переменной (при всех парах, тройках и т.д. значений переменных), принадлежащих этому множеству.
Итак, тождество – это равенство с переменными, верное при любых значениях входящих в него переменных.
Например, равенство 10(х + 7) = 10х + 70 является тождеством на множестве всех чисел, оно обращается в истинное числовое равенство при любом значении х.
Истинные числовые равенства также называют тождествами. Например, равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 – тождество.
В курсе математики приходится выполнять различные преобразования. Например, сумму 13х + 12х мы можем заменить выражением 25х. Произведение дробей 6а 2 /5 · 1/a заменим дробью 6а/5. Получается, что выражения 13х + 12х и 25х тождественно равны на множестве всех чисел, а выражения 6а 2 /5 · 1/a и 6а/5 тождественно равны на множестве всех чисел, кроме 0. Замену выражения другим выражением, тождественно равным ему на некотором множестве, называют тождественным преобразованием выражения на этом множестве.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
- это уравнение , которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Тождество - это предикат , изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у », «х то же самое, что и y »), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Тождество - это отношение , основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли.Логические и философские аспекты Тождество дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Тождество , второй - основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Тождество связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.
Различение логических и философских аспектов Тождество восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Тождество как понятие - это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Тождество исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, - путём предположений (гипотез ) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Тождество предметов в точности совпадает с Тождество в логическом смысле.
Важность понятия Тождество обусловила потребность в специальных теориях Тождество Самый распространённый способ построения этих теорий - аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):
1. х = х ,
2. х = у É у = х ,
3. x = y & y = z É x = z ,
4. А (х ) É (х = у É А (у )),
где А (х ) - произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у , а А (х ) и А (у ) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y .
Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Тождество В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Тождество , к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Тождество , основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой - и ни с каким др. предметом.
Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Тождество Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат - в данном случае равновесие - один и тот же для обоих.
Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Тождество как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте - от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Тождество , удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.
Аксиома 3 постулирует транзитивность Тождество Она утверждает, что суперпозиция Тождество также есть Тождество и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Тождество - это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Тождество : неразличимость гарантирует только Тождество в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Тождество как эквивалентности .
Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Тождество предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» - по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым - основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ - конгруентных ей «содержательных» аксиом Тождество Например, в аксиоматической теории множеств Цермело - Френкеля - аксиомами:
4.1 z Î x É (x = y É z Î y ),
4.2 x Î z É (x = y É y Î z ),
определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1-3, определяющих Тождество как эквивалентность.
Перечисленные выше аксиомы 1-4 относятся к так называемым законам Тождество Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Тождество не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Тождество Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Тождество необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.
Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, ., 1973.
М. М. Новосёлов.
Статья про слово "Тождество " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 8307 раз
Тождество - отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг от друга по каким-то характеристикам. Это не исключает того обстоятельства, что у них есть и общие характеристики. В процессе познания мы отождествляем отдельные вещи в их общих характеристиках, объединяем их в множества по этим характеристикам, образуем понятия о них на основе абстракции отождествления (см.: Абстракция). Предметы, объединяемые в множества по некоторым общим для них свойствам, перестают различаться между собой, поскольку в процессе такого объединения мы отвлекаемся от их различий. Иными словами, они становятся неразличимыми, тождественными в этих свойствах. Если бы все характеристики двух объектов а и b оказались тождественными, объекты превратились бы в один и тот же предмет. Но этого не происходит, т. к. в процессе познания мы отождествляем отличные друг от друга предметы не по всем характеристикам, а лишь по некоторым. Без установления тождеств и различий между предметами невозможно никакое познание окружающего нас мира, никакая ориентировка в окружающей нас среде. Впервые в самой общей и идеализированной формулировке понятие Т. двух предметов дал Г. В. Лейбниц. Закон Лейбница можно сформулировать так: «х = у, если и только если х обладает каждым свойством, которым обладает у, а у обладает каждым свойством, которым обладает х». Другими словами, предмет х может быть отождествлен с предметом у, когда абсолютно все их свойства являются одними и теми же. Понятие Т. широко используется в различных науках: в математике, логике и естествознании. Однако во всех случаях его применения тождество изучаемых предметов определяют не по абсолютно всем общим характеристикам, а лишь по некоторым, что связано с целями их изучения, с тем контекстом научной теории, в пределах которой изучаются эти предметы.
Определения, значения слова в других словарях:
Отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг от друга по каким-то...
Эта статья дает начальное представление о тождествах . Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.
Навигация по странице.
Что такое тождество?
Логично начать изложение материала с определения тождества . В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:
Определение.
Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.
При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ . Определение становится таким:
Определение.
Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.
Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.
Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.
Знак тождества
Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства .
Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.
Примеры тождеств
Пришло время привести примеры тождеств . В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.
Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .
Тождествами являются и числовые равенства вида 2+3=5 и 7−1=2·3 , так как эти равенства являются верными. То есть, 2+3≡5 и 7−1≡2·3 .
Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.
Рассмотрим равенство 3·(x+1)=3·x+3 . При любом значении переменной x записанное равенство является верным в силу распределительного свойства умножения относительно сложения, поэтому, исходное равенство является примером тождества. Вот еще один пример тождества: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y , здесь область допустимых значений переменных x и y составляют все пары (x, y) , где x и y - любые числа, кроме нуля.
А вот равенства x+1=x−1 и a+2·b=b+2·a не являются тождествами, так как существуют значения переменных, при которых эти равенства будут неверны. Например, при x=2 равенство x+1=x−1 обращается в неверное равенство 2+1=2−1 . Более того, равенство x+1=x−1 вообще не достигается ни при каких значениях переменной x . А равенство a+2·b=b+2·a обратится в неверное равенство, если взять любые различные значения переменных a и b . К примеру, при a=0 и b=1 мы придем к неверному равенству 0+2·1=1+2·0 . Равенство |x|=x , где |x| - переменной x , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x .
Примерами наиболее известных тождеств являются вида sin 2 α+cos 2 α=1 и a log a b =b .
В заключение этой статьи хочется отметить, что при изучении математики мы постоянно сталкиваемся с тождествами. Записи свойств действий с числами являются тождествами, например, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 и a+(−a)=0 . Также тождествами являются
Этимологический Словарь Русского Языка
Тождество
Греческое – «тот же, такой же».
Старославянское – тъжде (такой, так).
Слово образовано от церковнославянского местоимения по принципу русского словообразования и имеет значение «одинаковый, идентичный».
Производное: тождественный.
Начала Современного Естествознания. Тезаурус
Тождество
равенство (числовое, алгебраическое, аналитическое), справедливое во всех точках области или при всех допустимых значениях переменных (ср. Идентичность).
Риторика: Словарь-справочник
Тождество
Тождество в риторике : один из топов определения, отношение термов которого указывает на их полную или частичную равнозначность: «Деньги есть деньги»; установленная топом идентичность позволяет разводить его различные значения: «Деньги есть деньги, но здесь рубли, а там валюта
Словарь лингвистических терминов
Тождество
Соответствие звуков, морфем, слов и словосочетаний, имеющих общее происхождение. Генетическое тождество часто не представляет собой материального и семантического совпадения. Так, генетическое тождество звуков не означает их акустического и артикуляционного совпадения. В современных языках генетически тождественные звуки могут отличаться по своей акустической и артикуляционной природе. Например, [г] и [ж] генетически родственные звуки, хотя [г] – заднеязычный смычной, [ж] – переднеязычный щелевой. Названные звуки регулярно соответствуют друг другу в одних и тех же морфемах, различающихся тем, что после [г] шел гласный непереднего ряда, а после [ж] – гласный переднего ряда: железо (рус.), gelezis (лит), gelsu (прусск.);
желтый (рус.), geltas (лит.), gelb (нем). Тождество в риторике : один из топов определения, отношение термов которого указывает на их полную или частичную равнозначность: "Деньги есть деньги";
установленная топом идентичность позволяет разводить его различные значения: "Деньги есть деньги, но здесь рубли, а там валюта".
Криминалистическая энциклопедия
Тождество
(идентичность)
предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. В теории криминалистической идентификации термин Т. обозначает наличие у объекта неповторимой совокупности устойчивых признаков, отличающей его от всех иных, в т. ч. ему подобных, объектов, индивидуализирующей объект и дающей возможность распознать его в разные моменты времени и в различных состояниях.
Философский словарь (Конт-Спонвиль)
Тождество
Тождество
♦ Identité
Совпадение, свойство быть таким же. Таким же, как что? Таким же, как такое же, иначе это будет уже не тождество. Таким образом, тождество есть в первую очередь отношение себя к себе (мое тождество это и есть я сам) либо, если речь идет не о субъектах, отношение между двумя объектами, являющими собой один и тот же объект. «В строгом смысле слова этот термин чрезвычайно точен, – отмечает Кин, – вещь тождественна самой себе и ничему другому, даже дубликату-близнецу» («Сущности», статья «Тождество»). Два монозиготных близнеца, даже если предположить, что они совершенно схожи, являются близнецами только потому, что они суть два разных индивидуума; если бы они были абсолютно тождественны (в том смысле, в каком автор «Пармской обители» тождественен автору «Люсьена Левена» (и тот и другой романы принадлежат перу Стендаля. – Прим. ред.)), они составляли бы единое существо и не были бы близнецами. Таким образом, тождество в строгом смысле слова подразумевает уникальность, свойство быть одним и тем же, а никто не может в точности повторять никого, кроме себя.
В более широком и более прочно укоренившемся в традиции значении тождественными называют два объекта, дабы подчеркнуть их сходство. Например, друзья отмечают между собой тождество точек зрения или вкусов.
Оба значения имеют право на существование, важно лишь не путать одно с другим. Поэтому, употребляя слово «тождество» в первом значении, к нему часто добавляют определение «количественное» (чтобы подчеркнуть, что речь идет об одном и том же объекте: «Мы живем в одном и том же доме»). В отличие от этого специфическое или качественное тождество указывает на полное сходство между многими различными объектами (выражение «У нас с ним одна и та же машина» подразумевает существование двух автомобилей одной марки, одной модели и одного цвета).
Тождество последнего вида никогда не бывает абсолютным (два тождественных автомобиля никогда не бывают абсолютно одинаковыми). Но бывает ли абсолютным количественное тождество? В настоящем времени – да, бывает, но только и исключительно в настоящем времени. Если рассматривать его с точки зрения времени, то оно становится таким же относительным, как качественное тождество, а быть может, и еще более иллюзорным. Стендаль начал писать «Люсьена Левена» в 1834 году и был тогда на четыре года моложе автора «Пармской обители». Какое же здесь тождество? А если он все-таки был тождественен себе более позднему, то почему написал другую книгу, а не ту же самую?
Заблуждением было бы думать, что понятие тождества, формальное по своей сути, способно дать нам какое-либо знание о реальной действительности. Утверждение, что Стендаль, Анри Бейль и автор «Жизни Анри Брюлара» являют собой единое целое, позволяет нам получить хоть какое-то знание только в том случае, если нам известно, что означает каждое из этих слов. Точнее даже, лишь потому, что это нам известно, мы и можем утверждать, что все три упомянутых лица являются одним и тем же человеком. Тождество, подобно удостоверению личности, ничего не сообщает о содержании того, на что указывает (ибо это не сущность); оно лишь говорит, что это содержание равно самому себе. А=А. Тождество не есть сущность, хотя сущность подразумевает тождество.
Вполне вероятно, во всяком случае, я придерживаюсь именно такого мнения, что во времени ничто не способно оставаться тождественным себе. Ничто не остается постоянным, как говорят буддисты, и нельзя дважды войти в одну и ту же реку. Что нисколько не мешает реальной действительности оставаться тождественной себе в настоящем времени. В этом пункте Парменид торжествует победу над Гераклитом, хотя триумф его тщетен: он побеждает и в том случае, если бы прав был Гераклит. Мы можем думать, что есть такая вещь, как тождество; однако о том, что такое тождество, мысль может узнать только благодаря бытию, а не самому тождеству. Не бывает онтологии a priori. Тождество есть необходимое, но пустое понятие. Это всего лишь имя, которое мы присваиваем чистому присутствию себя в реальности, тогда как реальность именем не является.
Тождество – одно из измерений молчания, благодаря которому возможна речь.
Риторика: Словарь-справочник
Тождество
Соответствие звуков, морфем, слов и словосочетаний, имеющих общее происхождение. Генетическое тождество часто не представляет собой материального и семантического совпадения. Так, генетическое тождество звуков не означает их акустического и артикуляционного совпадения. В современных языках генетически тождественные звуки могут отличаться по своей акустической и артикуляционной природе. Например, [г] и [ж] генетически родственные звуки, хотя [г] – заднеязычный смычной, [ж] – переднеязычный щелевой. Названные звуки регулярно соответствуют друг другу в одних и тех же морфемах, различающихся тем, что после [г] шел гласный непереднего ряда, а после [ж] – гласный переднего ряда: железо (рус.), gelezis (лит), gelsu (прусск.); желтый (рус.), geltas (лит.), gelb (нем).