Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số. Máy tính trực tuyến

Hướng dẫn

Ta xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại điểm M.
Đường cong biểu diễn đồ thị của hàm số y = f(x) là liên tục trong một lân cận nhất định của điểm M (bao gồm cả chính điểm M).

Nếu giá trị f'(x0) không tồn tại thì hoặc không có tiếp tuyến hoặc nó chạy theo chiều dọc. Theo quan điểm này, sự có mặt của đạo hàm của hàm số tại điểm x0 là do sự tồn tại của một tiếp tuyến không thẳng đứng với đồ thị của hàm số tại điểm (x0, f(x0)). Trong trường hợp này, hệ số góc của tiếp tuyến sẽ bằng f "(x0). Như vậy, ý nghĩa hình học của đạo hàm trở nên rõ ràng - cách tính hệ số góc của tiếp tuyến.

Tìm giá trị hoành độ của điểm tiếp tuyến, được ký hiệu bằng chữ “a”. Nếu nó trùng với một điểm tiếp tuyến cho trước thì "a" sẽ là tọa độ x của nó. Xác định giá trị chức năng f(a) bằng cách thay thế vào phương trình chức năng giá trị abscissa.

Xác định đạo hàm bậc nhất của phương trình chức năng f'(x) và thay giá trị của điểm "a" vào đó.

Lấy phương trình tiếp tuyến tổng quát, được xác định là y = f(a) = f (a)(x – a) và thay các giá trị tìm được của a, f(a), f "(a) vào đó. Kết quả là nghiệm của đồ thị sẽ tìm được và tiếp tuyến.

Giải bài toán theo cách khác nếu điểm tiếp tuyến đã cho không trùng với điểm tiếp tuyến. Trong trường hợp này, cần thay chữ “a” thay cho số trong phương trình tiếp tuyến. Sau đó, thay vì các chữ cái “x” và “y”, hãy thay thế giá trị tọa độ của điểm đã cho. Giải phương trình thu được trong đó “a” là ẩn số. Thay giá trị kết quả vào phương trình tiếp tuyến.

Viết phương trình tiếp tuyến với chữ “a” nếu đề bài chỉ rõ phương trình chức năng và phương trình của một đường thẳng song song so với tiếp tuyến mong muốn. Sau này chúng ta cần đạo hàm chức năng, đến tọa độ tại điểm “a”. Thay giá trị thích hợp vào phương trình tiếp tuyến và giải hàm số.

Cho một hàm f, tại một điểm nào đó x 0 có đạo hàm hữu hạn f (x 0). Khi đó đường thẳng đi qua điểm (x 0 ; f(x 0)) có hệ số góc f’(x 0) gọi là tiếp tuyến.

Điều gì xảy ra nếu đạo hàm không tồn tại tại điểm x 0? Có hai lựa chọn:

Không có tiếp tuyến với đồ thị. Một ví dụ kinh điển là hàm y = |x | tại điểm (0; 0).
Tiếp tuyến trở thành thẳng đứng. Điều này đúng, ví dụ, với hàm y = arcsin x tại điểm (1; π /2).

phương trình tiếp tuyến

Bất kỳ đường thẳng không thẳng đứng nào đều được cho bởi phương trình có dạng y = kx + b, trong đó k là hệ số góc. Tiếp tuyến cũng không ngoại lệ, và để lập phương trình của nó tại một điểm x 0 nào đó, chỉ cần biết giá trị của hàm số và đạo hàm tại điểm này là đủ.

Vì vậy, hãy cho một hàm y = f (x) có đạo hàm y = f '(x) trên đoạn. Khi đó tại bất kỳ điểm x 0 ∈ (a ; b) có thể vẽ một tiếp tuyến của đồ thị của hàm số này, được cho bởi phương trình:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Ở đây f ’(x 0) là giá trị đạo hàm tại điểm x 0, và f (x 0) là giá trị của chính hàm số.

Nhiệm vụ. Cho hàm số y = x 3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tại điểm x 0 = 2.

Phương trình tiếp tuyến: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Điểm x 0 = 2 được cung cấp cho chúng ta, nhưng các giá trị f (x 0) và f ’(x 0) sẽ phải được tính toán.

Đầu tiên, hãy tìm giá trị của hàm. Ở đây mọi thứ đều dễ dàng: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Bây giờ chúng ta hãy tìm đạo hàm: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Chúng ta thay x 0 = 2 vào đạo hàm: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Tổng cộng ta có: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Đây là phương trình tiếp tuyến.

Nhiệm vụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = 2sin x + 5 tại điểm x 0 = π /2.

Lần này chúng tôi sẽ không mô tả chi tiết từng hành động - chúng tôi sẽ chỉ chỉ ra các bước chính. Chúng ta có:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Phương trình tiếp tuyến:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Trong trường hợp sau, đường thẳng hóa ra là đường nằm ngang, bởi vì hệ số góc của nó k = 0. Điều này không có gì sai cả - chúng ta vừa vấp phải một điểm cực trị.

Hãy xem xét hình sau:

Nó mô tả một hàm số y = f(x), có khả vi tại điểm a. Điểm M có tọa độ (a; f(a)) được đánh dấu. Một MR cát tuyến được vẽ thông qua một điểm tùy ý P(a + ∆x; f(a + ∆x)) của đồ thị.

Nếu bây giờ điểm P được dịch chuyển dọc theo đồ thị tới điểm M thì đường thẳng MR sẽ quay quanh điểm M. Trong trường hợp này, ∆x sẽ có xu hướng tiến về 0. Từ đây chúng ta có thể xây dựng định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là vị trí giới hạn của cát tuyến khi gia số của đối số có xu hướng bằng 0. Cần hiểu rằng sự tồn tại đạo hàm của hàm f tại điểm x0 nghĩa là tại điểm này của đồ thị có đường tiếp tuyến cho anh ta.

Trong trường hợp này, hệ số góc của tiếp tuyến sẽ bằng đạo hàm của hàm này tại điểm f'(x0). Đây là ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số khả vi tại điểm x0 là một đường thẳng đi qua điểm (x0;f(x0)) và có hệ số góc f'(x0).

phương trình tiếp tuyến

Hãy thử lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm f nào đó tại điểm A(x0; f(x0)). Phương trình đường thẳng có hệ số góc k có dạng:

Vì hệ số độ dốc của chúng tôi bằng đạo hàm f’(x0), thì phương trình sẽ có dạng sau: y = f’(x0)*x + b.

Bây giờ hãy tính giá trị của b. Để làm điều này, chúng ta sử dụng thực tế là hàm đi qua điểm A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, từ đây chúng ta biểu thị b và nhận được b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào phương trình tiếp tuyến:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Xét ví dụ sau: tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 tại điểm x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Thay các giá trị thu được vào công thức tiếp tuyến, ta được: y = 1 + 4*(x - 2). Mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự ta được: y = 4*x - 7.

Đáp án: y = 4*x - 7.

Sơ đồ chung để soạn phương trình tiếp tuyến vào đồ thị của hàm số y = f(x):

1. Xác định x0.

2. Tính f(x0).

3. Tính f’(x)

Chương trình toán học này tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm $f(x)$ tại điểm do người dùng chỉ định $a$.

Chương trình không chỉ hiển thị phương trình tiếp tuyến mà còn hiển thị quá trình giải bài toán.

Máy tính trực tuyến này có thể hữu ích cho học sinh trung học phổ thông khi chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, khi kiểm tra kiến thức trước Kỳ thi Thống nhất và giúp phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán và đại số. Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá tốn kém? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập về nhà toán hoặc đại số càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết.

Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của mình, đồng thời trình độ học vấn trong lĩnh vực giải quyết vấn đề tăng lên.

Nếu bạn cần tìm đạo hàm của một hàm số thì chúng ta có nhiệm vụ Tìm đạo hàm.

Nếu bạn không quen với các quy tắc nhập hàm, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.

Nhập biểu thức hàm $f(x)$ và số $a$ Tìm phương trình tiếp tuyến

Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.

JavaScript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.

Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.
Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...

nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định cái gì nhập vào các trường.

Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Độ dốc trực tiếp

Hãy nhớ lại rằng đồ thị của hàm tuyến tính $y=kx+b$ là một đường thẳng. Số $k=tg \alpha $ được gọi độ dốc của đường thẳng, và góc $\alpha $ là góc giữa đường thẳng này và trục Ox

Nếu $k>0$, thì \(0 If \(kPhương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Nếu điểm M(a; f(a)) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x) và nếu tại điểm này có thể vẽ một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số không vuông góc với trục x, thì từ ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng f "(a). Tiếp theo, chúng ta sẽ xây dựng thuật toán lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị của bất kỳ hàm số nào.

Cho hàm số y = f(x) và một điểm M(a; f(a)) trên đồ thị của hàm số này; Giả sử f"(a) tồn tại. Hãy lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị của một hàm số tại một điểm cho trước. Phương trình này, giống như phương trình của một đường thẳng không song song với trục tọa độ, có dạng y = kx + b nên nhiệm vụ là tìm giá trị của các hệ số k và b.

Mọi thứ đều rõ ràng với hệ số góc k: biết rằng k = f"(a). Để tính giá trị của b, chúng ta sử dụng tính chất là đường thẳng mong muốn đi qua điểm M(a; f(a)) . Điều này có nghĩa là nếu chúng ta thay tọa độ của điểm M vào phương trình của đường thẳng, chúng ta thu được đẳng thức đúng: $f(a)=ka+b$, tức là $b = f(a) - à$.

Vẫn còn phải thay thế các giá trị tìm được của các hệ số k và b vào phương trình của đường thẳng:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a)$$

Chúng tôi đã nhận được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số$y = f(x) $ tại điểm $x=a $.

Thuật toán tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$
1. Ký hiệu hoành độ của điểm tiếp tuyến bằng chữ $a$
2. Tính $f(a)$
3. Tìm $f"(x)$ và tính $f"(a)$
4. Thay thế các số tìm thấy $a, f(a), f"(a) $ vào công thức $y=f(a)+ f"(a)(x-a) $

Sách (sách giáo khoa) Tóm tắt Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi Thống nhất trực tuyến Trò chơi, câu đố Vẽ đồ thị chức năng Từ điển chính tả tiếng Nga Từ điển tiếng lóng của giới trẻ Danh mục các trường học ở Nga Danh mục các cơ sở giáo dục trung học của Nga Danh mục các trường đại học Nga Danh sách của bài toán Tìm GCD và LCM Rút gọn một đa thức (nhân đa thức)

Cho M, M 0 là hai điểm khác nhau của đường cong (Hình 7.2)

Cơm. 7.2. Tiếp tuyến với một đường cong

Đường thẳng (MM 0) được gọi là đường cong L.

Cho điểm M di chuyển dọc theo đường cong L, tiếp cận điểm M 0. Nếu cát tuyến có xu hướng chiếm vị trí giới hạn (M 0 T) thì đường thẳng (TM 0) được gọi là đường tiếp tuyến tới đường cong L tại điểm M 0.

Giả sử đường cong L là đồ thị của hàm liên tục y=ƒ(x) (Hình 3.3).

Trong bộ lễ phục. 7.3: nếu (M 0 M) là cát tuyến,
là hệ số góc của cát tuyến, khi đó

;
.

Cho x tiến tới x 0 thì điểm M tiến dọc theo đường cong L đến M 0. Nếu hàm ƒ(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì

Như vậy, đạo hàm của hàm số ƒ(x) tại điểm x 0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm

Phương trình đường thẳng có độ dốc
có dạng:

y = kx+b hoặc y=ƒ’(x 0)∙x+b.

Để tính toán, chúng tôi sử dụng thực tế là tiếp tuyến đi qua điểm M 0. Chúng ta thay tọa độ của điểm M 0 (x 0 ;ƒ(x 0)) vào phương trình tiếp tuyến:

ƒ(x 0) = ƒ′(x 0)∙x 0 +b,

b = ƒ(x 0)- ƒ′(x 0)∙ x 0

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y =ƒ′(x 0)∙(x- x 0)+ƒ(x 0) (3.8)

Ví dụ:

7.24 Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y=x2 tại điểm hoành độ x 0 =1.

Giải: Chúng ta có ƒ(x 0)=x² 0; ƒ(x 0)=1 tại x 0 =1; ƒ′(x 0)=2∙ x 0; ƒ′(x 0)=2 tại x 0 =1.

Phương trình tiếp tuyến: y=2∙(x-1)+1 hoặc y=2∙x-1.

Bài tập: Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=ƒ(x) tại điểm hoành độ x 0:

7,25 a) y=x3; x 0 =1;

b)
; x 0 =1;

V)
; x 0 =4

d) y=x2-2x+5; x 0 = 0,5

7.10 Ứng dụng đạo hàm để tính gần đúng

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm y =ƒ(x) tại điểm x 0 ta có:

Với ∆x đủ nhỏ ta có:

(7.9)

Chúng ta biểu diễn sự gia tăng của hàm dưới dạng

Cho công thức (7.9) hoặc

Ví dụ:

7.26 Tính xấp xỉ
.

Giải: Hãy sử dụng công thức (3.10)

Hãy xem xét chức năng
điểm x 0 =27 và mức tăng đối số ∆x=0,03

Giá trị của hàm số tại điểm x 0:

Phát sinh:

Giá trị đạo hàm tại điểm x 0 =27:

Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào (3.10) , chúng ta thu được giá trị gần đúng của hàm

Bài tập:

7.26 Tính giá trị gần đúng của hàm số:

MỘT)
;

b)
;

c) sin30˚30′;

d)
;

đ)
.

7.12 Ứng dụng đạo hàm vào nghiên cứu hàm số

Hàm số được gọi là tăng thêm (Một; b) nếu giá trị đối số lớn hơn tương ứng với giá trị hàm lớn hơn:

Hàm số này được gọi là giảm đi bởi (a;b) nếu giá trị đối số lớn hơn tương ứng với giá trị hàm nhỏ hơn:

Hàm tăng hoặc hàm giảm được gọi là đơn điệu(so sánh với đoạn 1.1)

Định lý(điều kiện cần để hàm tăng) Nếu hàm ƒ(x) khả vi trên (a;b) tăng trên khoảng (a;b), thì ƒ′(x) ≥0 với mọi xє(a;b) .

Bằng chứng. Cho x> x 0 thì ƒ(x)>ƒ(x 0). Do đó x- x 0 >0 và
.

Vì ƒ(x) khả vi trên (a;b), nên chuyển đến giới hạn của bất đẳng thức với x > x 0, ta thu được

Định lý đã được chứng minh.

Cơm. 7.4 Mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý(Điều kiện cần để hàm số giảm). Nếu hàm ƒ(x) khả vi trên (a;b) giảm trên khoảng (a;b), thì ƒ′(x) 0 với mọi xє(a;b).

Định lý(điều kiện đủ để hàm số tăng). Nếu hàm ƒ(x) có đạo hàm dương tại mỗi điểm của khoảng (a;b), thì hàm ƒ tăng thêm (a;b).

Định lý(Điều kiện đủ để hàm số giảm). Nếu hàm ƒ(x) có đạo hàm âm tại mỗi điểm của khoảng (a;b), thì hàm ƒ giảm trên khoảng (a;b).

Ví dụ:

7.27 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
.

Giải pháp. Hàm được xác định trên tập hợp tất cả các số thực. Hãy tìm đạo hàm của nó:

Chúng ta tìm dấu của ƒ′(x) bằng phương pháp khoảng:

ƒ′(x) >0 tại xє
, do đó ƒ(x) tăng
trong khoảng thời gian này;
Tại
hoặc
, do đó ƒ(x) đang giảm
tại những khoảng thời gian này. Ranh giới của các khoảng có thể được bao gồm trong các khoảng đơn điệu vì hàm số liên tục tại các điểm này. Bạn có thể viết:

;

T điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu có một lân cận như vậy của điểm x 0 , với mọi x từ vùng lân cận này bất đẳng thức sau là đúng:

ƒ(x 0) ƒ(x 0)

(x 0) (x x 0)

0 x 0 -ε x 0 +ε x 0 x 0 -ε x 0 +ε x

Cơm. 7.5 Điểm tối thiểu chức năng

điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm ƒ nếu có một lân cận như vậy của điểm x 0 , với mọi x từ vùng lân cận này bất đẳng thức sau là đúng:
.

năm năm

0 x 0 -ε x 0 x 0 +ε x 0 x 0 -ε x 0 x 0 +ε x

Cơm. 7.6 Điểm tối đa của chức năng

Điểm tối đa và tối thiểu được gọi là điểm cực trị, và các giá trị của hàm tại các điểm này được gọi là cực trị của hàm số.

Những điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại được gọi là điểm quan trọng của loại đầu tiên.

Định lý Fermat(Điều kiện cần để đạt cực trị). Nếu điểm x 0 là điểm cực trị của hàm số ƒ và tại cùng điểm đó có đạo hàm thì hàm số bằng 0: ƒ′(x 0) = 0

Định lý(Điều kiện đủ để đạt cực đại) Nếu hàm số ƒ liên tục tại điểm x 0 và ƒ′(x)>0 trên khoảng
và ƒ′(x)<0 на интервале
, thì điểm x 0 là điểm cực đại của hàm số ƒ.

Nói cách khác: Nếu hàm số ƒ liên tục tại điểm x 0 và khi đi qua điểm này từ trái sang phải, đạo hàm đổi dấu từ “+” thành “-” thì x 0 là điểm cực đại của hàm số ƒ .

Định lý(Đủ điều kiện tối thiểu). Nếu hàm số ƒ liên tục tại điểm x 0 thì ƒ′(x) trên khoảng
và ƒ′(x)>0 trên khoảng
, thì điểm x 0 là điểm cực tiểu của hàm số ƒ.

Nói cách khác: Nếu hàm số ƒ liên tục tại điểm x 0 và khi đi qua điểm này từ trái sang phải, đạo hàm đổi dấu từ “-” thành “+” thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số ƒ .

Ví dụ:

7.27 Tìm điểm cực trị của hàm số
.