Раніше ми по заданої функціїкеруючись різними формуламита правилами, знаходили її похідну. Похідна має численні застосування: це швидкість руху (або узагальнюючи швидкість протікання будь-якого процесу); кутовий коефіцієнтщо стосується графіку функції; за допомогою похідної можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми; вона допомагає вирішувати завдання оптимізацію.
Але поряд із завданням про знаходження швидкості за відомим законом руху зустрічається і зворотне завдання – завдання про відновлення закону руху за відомою швидкістю. Розглянемо одне з таких завдань.
приклад 1.По прямій рухається матеріальна точка, Швидкість її руху в момент часу t задається формулою v = gt. Знайти закон руху.
Рішення. Нехай s = s(t) – шуканий закон руху. Відомо, що s"(t) = v(t). Значить, для вирішення задачі потрібно підібрати функцію s = s(t), похідна якої дорівнює gt. Неважко здогадатися, що \(s(t) = \frac(gt^) 2) (2) \).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt \)
Відповідь: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Відразу зауважимо, що приклад вирішено правильно, але неповно. Ми отримали \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Насправді завдання має безліч рішень: будь-яка функція виду \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), де C - довільна константа, може служити законом руху, оскільки \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Щоб завдання стало більш визначеним, нам треба було зафіксувати вихідну ситуацію: вказати координату точки, що рухається в якийсь момент часу, наприклад при t = 0. Якщо, скажімо, s(0) = s 0 , то з рівності s(t) = (gt 2)/2 + C отримуємо: s (0) = 0 + С, тобто C = s 0. Тепер закон руху визначено однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .
У математиці взаємно зворотним операціям надають різні назви, вигадують спеціальні позначення, наприклад: зведення в квадрат (х 2) та витяг квадратного кореня(\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) і арксинус (arcsin x) і т. д. Процес знаходження похідної за заданою функцією називають диференціюванням, А зворотну операцію, тобто процес знаходження функції за заданою похідною, - інтегруванням.
Сам термін «похідна» можна обґрунтувати «життєво»: функція у = f(x) «виробляє на світ» нову функціюу "= f"(x). Функція у = f(x) виступає хіба що як «батька», але математики, природно, не називають її «батьком» чи «виробником», вони кажуть, що це стосовно функції у" = f"(x) , первинний образ, або первісна.
Визначення.Функцію y = F(x) називають первісною для функції y = f(x) на проміжку X, якщо для (x \ in X \) виконується рівність F"(x) = f(x)
Насправді проміжок X зазвичай не вказують, але мають на увазі (як природної області визначення функції).
Наведемо приклади.
1) Функція у = х 2 є первісною для функції у = 2х, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 2) "= 2х
2) Функція у = х 3 є первісною для функції у = 3х 2, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 3) "= 3х 2
3) Функція у = sin(x) є первісною для функції y = cos(x), оскільки для будь-якого x справедлива рівність (sin(x))" = cos(x)
При знаходженні первісних, як і похідних, використовуються як формули, а й деякі правила. Вони безпосередньо пов'язані з відповідними правилами обчислення похідних.
Ми знаємо, що похідна сума дорівнює сумі похідних. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.
Правило 1.Первісна сума дорівнює сумі первісних.
Ми знаємо, що множник можна винести за знак похідної. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.
Правило 2Якщо F(x) - первісна для f(x), то kF(x) - первісна для kf(x).
Теорема 1.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x), то першорядною для функції у = f(kx + m) служить функція \(y=\frac(1)(k)F(kx+m) \)
Теорема 2.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x) на проміжку X, то у функції у = f(x) нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд y = F(x) + C.
Методи інтегрування
Метод заміни змінної (метод підстановки)
Метод інтегрування підстановкою полягає у введенні нової змінної інтегрування(тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або зводиться до нього. Загальних методівпідбору підстановок немає. Вміння правильно визначити підстановку набуває практики.
Нехай потрібно обчислити інтеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Зробимо підстановку \(x= \varphi(t) \) де \(\varphi(t) \) - функція, що має безперервну похідну.
Тоді \(dx = \varphi "(t) \cdot dt \) і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)
Інтегрування виразів виду \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Якщо m непарне, m > 0, то зручніше зробити підстановку sin x = t.
Якщо n непарне, n > 0, зручніше зробити підстановку cos x = t.
Якщо n і m парні, зручніше зробити підстановку tg x = t.
Інтегрування частинами
Інтегрування частинами - застосування наступної формулидля інтегрування:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
або:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$Ми переконалися, що похідна має численні застосування: похідна - це швидкість руху (чи, узагальнюючи, швидкість протікання будь-якого процесу); похідна - це кутовий коефіцієнт, що стосується графіку функції; за допомогою похідної можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми; похідна допомагає вирішувати завдання оптимізацію.
Але в реального життядоводиться вирішувати та обернені завдання: наприклад, поряд із завданням про відшукання швидкості за відомим законом руху зустрічається і завдання про відновлення закону руху по відомій швидкості. Розглянемо одне з таких завдань.
приклад 1.По прямій рухається матеріальна точка, швидкість її руху на момент часу t задається формулою u = tg. Знайти закон руху.
Рішення.Нехай s = s(t) - шуканий закон руху. Відомо, що s"(t) = u"(t). Отже, для розв'язання задачі потрібно підібрати функцію s = s(t), похідна якої дорівнює tg. Неважко здогадатися, що
Відразу зауважимо, що приклад вирішено правильно, але неповно. Ми отримали, що насправді завдання має нескінченно багато рішень: будь-яка функція виду 
довільна константа, може бути законом руху, оскільки
Щоб завдання стало більш визначеним, нам треба було зафіксувати вихідну ситуацію: вказати координату точки, що рухається в якийсь момент часу, наприклад, при t=0. Якщо, скажімо, s(0) = s 0 то з рівності отримуємо s(0) = 0+С, тобто S 0 = С. Тепер закон руху визначено однозначно:
У математиці взаємно зворотним операціям надають різні назви, вигадують спеціальні позначення: наприклад, зведення в квадрат (х 2) і вилучення квадратного кореня синус (sinх) і арксинус(аrcsin х) і т.д. Процес відшукання похідної за заданою функцією називають диференціюванням, а зворотну операцію, тобто. процес відшукання функції за заданою похідною – інтегруванням.
Сам термін «похідна» можна обґрунтувати «по-житейськи»: функція у - f(х) «виробляє на світ» нову функцію у "= f"(x) Функція у = f(х) виступає як би як «батька» , але математики, природно, не називають її «батьком» або «виробником», вони кажуть, що це, по відношенню до функції у "=f"(х), первинний образ, або, коротше, первісна.
Визначення 1.Функцію у = F(х) називають первісною для функції у = f(х) на заданому проміжку X, якщо для всіх х із X виконується рівність F"(х)=f(х).
Насправді проміжок X зазвичай не вказують, але мають на увазі (як природної області визначення функції).
Наведемо приклади:
1) Функція у = х 2 є первісною для функції у = 2х, оскільки для всіх х справедлива рівність (х 2) "= 2х.
2) функція у - х 3 є первісною для функції у-Зх 2, оскільки для всіх х справедлива рівність (х 3) "= Зх 2 .
3) Функція у-sinх є первісною для функції у=соsх, оскільки для всіх х справедлива рівність (sinх)" = соsх.
4) Функція є первісною для функції на проміжку оскільки для всіх х > 0 справедлива рівність
Взагалі, знаючи формули для відшукання похідних, нескладно скласти таблицю формул для відшукання первинних.
Сподіваємося, ви зрозуміли, як складено цю таблицю: похідна функції, яка записана у другому стовпці, дорівнює тій функції, яка записана у відповідному рядку першого стовпця (перевірте, не полінуйтеся, це дуже корисно). Наприклад, для функції у = х 5 первісної, як ви встановите, є функція (див. четвертий рядок таблиці).
Зауваження: 1. Нижче ми доведемо теорему у тому, що й у = F(х) - первообразная для функції у = f(х), то функції у = f(х)нескінченно багато первообразных і вони мають вигляд у = F(х) ) + З. Тому правильніше було б у другому стовпці таблиці всюди додати доданок З, де З - довільне дійсне число.
2. Заради стислості іноді замість фрази «функція у = F(х) є первісною для функції y = f(x)», кажуть F(х) – першорядна для f(x)».
2. Правила відшукання первісних
При знайденні первісних, як і при знайденні похідних, використовуються не тільки формули (вони вказані в таблиці на с. 196), а й деякі правила. Вони безпосередньо пов'язані з відповідними правилами обчислення похідних.
Ми знаємо, що похідна сума дорівнює сумі похідних. Це породжує відповідне правило відшукання первісних.
Правило 1.Первісна сума дорівнює сумі первісних.
Звертаємо вашу увагу на деяку «легковину» цього формулювання. Насправді слід би сформулювати теорему: якщо функції у = f(х) і у=g(х) мають на проміжку X першоподібні, відповідно у-F(х) і у-G(х), то й сума функцій у = f(х)+g(х) має на проміжку X первісну, причому цією первісною є функція у = F(х)+G(х). Але зазвичай, формулюючи правила (а не теореми), залишають лише ключові слова- так зручніше застосування правила на практиці
приклад 2.Знайти первісну для функції у = 2х + сх.
Рішення.Первоподібною для 2х служить х"; первісною для созх служить sin х. Отже, першорядною для функції у = 2х + соз х буде служити функція у = х 2 + sin х (і взагалі будь-яка функція виду У = х 1 + sinх + С) .
Ми знаємо, що множник можна винести за знак похідної. Це породжує відповідне правило відшукання первісних.
Правило 2 Постійний множникможна винести за знак первісної.
приклад 3.
Рішення.а) Первоподібною для sin х служить -соз х; отже, для функції у = 5 sin x першорядною буде функція у = -5с х.
б) Первоподібною для соз x служить sin x; отже, для функції первісної буде функція
в) Первоподібною для х 3 служить первісною для х служить первісною для функції у = 1 служить функція у = х. Використовуючи перше і друге правила відшукання первісних, отримаємо, що першорядною для функції у = 12х3 + 8х-1 служить функція
Зауваження.Як відомо, похідна твори не дорівнює твору похідних (правило диференціювання твору складніше) і похідна приватного не дорівнює частці від похідних. Тому немає правил для відшукання первісної від твору чи первісної від частки двох функцій. Будьте уважні!
Отримаємо ще одне правило пошуку первісних. Ми знаємо, що похідна функції у = f(кх+m) обчислюється за такою формулою
Це породжує відповідне правило відшукання первісних.
Правило 3Якщо у = F(х) - первісна для функції у = f(х), то першорядною для функції у = f(кх+m) служить функція
Справді,
Це означає, що є першоподібної функції у = f(кх+m).
Сенс третього правила ось у чому. Якщо ви знаєте, що первісною для функції у = f(х) є функція у = F(х),а.вам потрібно знайти первісну функції у = f(кх+m), то дійте так: беріть ту саму функцію F, але замість аргументу х підставте вираз кх+m; крім того, не забудьте перед знаком функції записати «поправний множник»
приклад 4.Знайти первинні для заданих функцій:
Рішення, а) Первоподібною для sin х служить -соз х; отже, для функції у = sin2х первісної буде функція
б) Первоподібною для соз х служить sin х; отже, для функції первісної буде функція
в) Первоподібною для х 7 служить отже, для функції у = (4-5х) 7 первісної буде функція
3. Невизначений інтеграл
Вище ми вже зазначали, що завдання відшукання первісної для заданої функції у = f(х) має не одне рішення. Обговоримо це питання детальніше.
Доказ. 1. Нехай у = F(х) - первісна для функції у = f(х) на проміжку X. Це означає, що для всіх х із X виконується рівність x"(х) = f(х). Знайдемо похідну будь-якої функції виду у = F(х)+С:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Отже, (F(х)+З) = f(х). Це означає, що у = F(х) + є першорядною для функції у = f(х).
Таким чином, ми довели, що якщо у функції у = f(х) є первісна у=F(х), то у функції (f = f(x) нескінченно багато первісних, наприклад, будь-яка функція виду у = F(х) +С є первісною.
2. Доведемо тепер, що зазначеним видомфункцій вичерпується безліч первісних.
Нехай у = F 1 (х) і у = F (х) - дві первісні для функції У = f (x) на проміжку X. Це означає, що для всіх х із проміжку X виконуються співвідношення: F ^ (х) = f (х); F"(х) = f(х).
Розглянемо функцію у = F 1 (х) -. f(х) = 0.
Відомо, що якщо похідна функції на проміжку X тотожно дорівнює нулю, функція постійна на проміжку X (див. теорему 3 з § 35). Отже, F1(х)-F(х) =З, тобто. Fх) = F(х)+С.
Теорему доведено.
Приклад 5.Встановлено закон зміни швидкості від часу v = -5sin2t. Знайти закон руху s = s (t), якщо відомо, що в момент часу t = 0 координата точки дорівнювала числу 1,5 (тобто s (t) = 1,5).
Рішення.Оскільки швидкість - похідна координати як функції від часу, то перш за все потрібно знайти первісну від швидкості, тобто. первісну для функції v = -5sin2t. Однією з таких первісних є функція , а множина всіх первісних має вигляд:
Щоб знайти конкретне значенняпостійної С, скористаємося початковими умовами, згідно з якими, s(0) = 1,5. Підставивши формулу (1) значення t=0, S = 1,5, отримаємо:
Підставивши знайдене значення С у формулу (1), отримаємо закон руху, що цікавить нас:
Визначення 2.Якщо функція у = f(х) має на проміжку X первісну у = F(х), то множина всіх первісних, тобто. безліч функцій виду у = F(х) + С називають невизначеним інтегралом від функції у = f(x) і позначають:
(читають: « невизначений інтегралеф від ікс де ікс»).
У наступному параграфі ми з'ясуємо, у чому полягає прихований сенсзазначеного позначення.
Спираючись на таблицю первісних, що є в цьому параграфі, складемо таблицю основних невизначених інтегралів:
Спираючись на наведені вище три правила відшукання первісних, ми можемо сформулювати відповідні правила інтегрування.
Правило 1.Інтеграл від суми функцій дорівнює суміінтегралів цих функцій:
Правило 2Постійний множник можна винести за знак інтегралу:
Правило 3Якщо
Приклад 6.Знайти невизначені інтеграли:
Рішення, а) Скориставшись першим та другим правилами інтегрування, отримаємо:
Тепер скористаємося 3-ою та 4-ою формулами інтегрування:
У результаті отримуємо:
б) Скориставшись третім правилом інтегрування та формулою 8, отримаємо:
в) Для безпосереднього знаходженнязаданого інтеграла ми не маємо ні відповідної формули, ні відповідного правила. У подібних випадках іноді допомагають попередньо виконані тотожні перетвореннявирази, що міститься під знаком інтегралу.
Скористаємося тригонометричною формулоюзниження ступеня:
Тоді послідовно знаходимо:
А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас
Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі
Первісна
Визначення первісної функції
- функцію у = F (x)називають первісною для функції у = f (x)на заданому проміжку Х,якщо для всіх х ∈Хвиконується рівність: F′(x) = f(x)
Можна прочитати двома способами:
- f похідна функції F
- F первісна для функції f
Властивість первісних
- Якщо F(x)- Первісна для функції f(x)на заданому проміжку, то функція f(x) має нескінченно багато первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + Сде С - довільна постійна.
Геометрична інтерпретація
- Графіки всіх первісних цієї функції f(x)виходять з графіка будь-якої однієї первісної паралельними переносамивздовж осі О у.
Правила обчислення первісних
- Первісна сума дорівнює сумі первісних. Якщо F(x)- первісна для f(x), а G(x) - первісна для g(x), то F(x) + G(x)- первісна для f(x) + g(x).
- Постійний множник можна виносити за знак похідної. Якщо F(x)- первісна для f(x), і k- Постійна, то k·F(x)- первісна для k·f(x).
- Якщо F(x)- первісна для f(x), і k, b- постійні, причому k ≠ 0, то 1/k · F(kx + b)- первісна для f(kx + b).
Запам'ятай!
Будь-яка функція F(x) = х 2 + С , де С - довільна постійна, і тільки така функція є первісною для функції f(x) = 2х.
- Наприклад:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х,т.к. F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х,т.к. F"(x) = (х 2 -3)" = 2x = f(x);
Зв'язок між графіками функції та її первісної:
- Якщо графік функції f(x)>0 F(x)зростає у цьому проміжку.
- Якщо графік функції f(x)<0 на проміжку, то графік її первісної F(x)зменшується у цьому проміжку.
- Якщо f(x)=0, то графік її первісної F(x)у цій точці змінюється з зростаючого на спадний (або навпаки).
Для позначення первісної використовують знак невизначеного інтеграла, тобто інтеграла без зазначення меж інтегрування.
Невизначений інтеграл
Визначення:
- Невизначеним інтегралом від функції f(x) називається вираз F(x) + С, тобто сукупність всіх первісних цієї функції f(x). Позначається невизначений інтеграл так: f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- називають підінтегральною функцією;
- f(x) dx- називають підінтегральним виразом;
- x- називають змінною інтегрування;
- F(x)- Одна з первісних функцій f(x);
- З- Довільна постійна.
Властивості невизначеного інтегралу
- Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції: (\int f (x) dx) \ prime = f (x) .
- Постійний множник підінтегрального виразу можна виносити за знак інтегралу: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Якщо k, b- постійні, причому k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Таблиця первісних та невизначених інтегралів
| Функція f(x) | Первісна F(x) + C | Невизначені інтеграли \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) = sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin(^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin(^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos(^2) x) | F(x) = tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac(x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac(x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac(x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx = - l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x) = l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac(dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac(dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Формула Ньютона-Лейбніца
Нехай f(х)дана функція, Fїї довільна первісна.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
де F(x)- первісна для f(x)
Тобто, інтеграл функції f(x)на інтервалі дорівнює різниці первісних у точках bі a.
Площа криволінійної трапеції
Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком невід'ємної та безперервної на відрізку функції f, віссю Ox та прямими x = aі x = b.
Площа криволінійної трапеції знаходять за формулою Ньютона-Лейбніца:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
Процес вирішення інтегралів у науці під назвою "математика" називається інтегруванням. За допомогою інтегрування можна знаходити деякі фізичні величини: площу, об'єм, масу тіл та багато іншого.
Інтеграли бувають невизначеними та певними. Розглянемо вигляд певного інтегралу та спробуємо зрозуміти його фізичний зміст. Видається він у такому вигляді: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Відмінна риса написання певного інтеграла від невизначеного у цьому, що є межі інтегрування a і b. Зараз дізнаємося для чого вони потрібні, і що ж означає певний інтеграл. У геометричному сенсі такий інтеграл дорівнює площі фігури, обмеженої кривою f(x), лініями a та b, і віссю Ох.
З рис.1 видно, що певний інтеграл - це і є та площа, що зафарбована сірим кольором. Давайте перевіримо це на найпростішому прикладі. Знайдемо площу фігури на зображенні, представленому нижче за допомогою інтегрування, а потім обчислимо її звичайним способом множення довжини на ширину.
З рис.2 видно, що $ y = f (x) = 3 $, $ a = 1, b = 2 $. Тепер підставимо їх у визначення інтеграла, отримуємо, що $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(од)^2 $$ Зробимо перевірку звичайним способом. У нашому випадку довжина = 3, ширина фігури = 1. $$ S = \text(довжина) \cdot \text(ширина) = 3 \cdot 1 = 3 \text(од)^2 $$ Як бачимо, все відмінно збіглося .
Постає питання: як вирішувати інтеграли невизначені і який у них сенс? Рішення таких інтегралів – це знаходження первісних функцій. Цей процес протилежний до знаходження похідної. Для того, щоб знайти первісну можна використовувати нашу допомогу у вирішенні задач з математики або необхідно самостійно безпомилково визубрувати властивості інтегралів та таблицю інтегрування найпростіших елементарних функцій. Знаходження виглядає так $$ \ int f (x) dx = F (x) + C \ text (де) F (x) $ - первісна $ f (x), C = const $.
Для вирішення інтеграла необхідно інтегрувати функцію $f(x)$ за змінною. Якщо функція таблична, записується відповідь у відповідному вигляді. Якщо ж ні, процес зводиться до отримання табличної функції з функції $ f(x) $ шляхом хитрих математичних перетворень. Для цього є різні методи та властивості, які розглянемо далі.
Отже, тепер складемо алгоритм, як вирішувати інтеграли для чайників?
Алгоритм обчислення інтегралів
- Дізнаємось певний інтеграл чи ні.
- Якщо невизначений, то потрібно знайти первісну функцію $F(x)$ від підінтегральної $f(x)$ за допомогою математичних перетворень, що призводять до табличного виду, функцію $f(x)$.
- Якщо певний, потрібно виконати крок 2, а потім підставити межі $ а $ і $ b $ в первісну функцію $ F (x) $. За якою формулою це зробити дізнаєтесь у статті "Формула Ньютона Лейбніца".
Приклади рішень
Отже, ви дізналися, як вирішувати інтеграли для чайників, приклади рішення інтегралів розібрали по поличках. Дізналися фізичний та геометричний їхній зміст. Про методи рішення буде викладено у інших статтях.