У цьому відеоматеріалі піде мовапро розв'язання нерівностей, що мають змінну. Вони так і називаються – нерівностями з однією змінною. Що ж рішення таких нерівностей? Це такі значення змінної, у яких розв'язувана нами нерівність стає вірним числовим нерівністю. А вирішити нерівність зі змінною – значить знайти всі її рішення чи довести, що їх немає. Для знаходження цих рішень ми використовуємо властивості числових нерівностей, що розглядалися раніше.

Розглянутий у відео уроці простий приклад показує, наскільки важливо мати чіткий алгоритм розв'язання, інакше кажучи, знати правила розв'язання нерівностей.

Ось пропонується проста нерівність 2х + 5< 7. Представим себе, что алгоритма решения у нас нет. Значит, мы будем перебирать все числа и смотреть, какие из них нам подходят, то есть при каких значениях переменной х данное неравенство станет верным числовым неравенством. Просматривая видео, замечаем, что подстановка одних чисел дает нам верное числова нерівністьа підстановка інших цього не дає. Наведений приклад показує неефективність даного способурішення.

Звернемося до властивостей числових нерівностей. Ми знаємо, що до обох частин нерівності можна додати те саме число. Від цього нерівність не зміниться. Також ми знаємо, що обидві частини нерівності можна ділити або множити на одне й те саме додатне число. У відео уроці показано, як, використовуючи ці властивості, можна знайти розв'язання заданої нерівності. Вийшло, що х< 1. Это значит, что все числа х, меньше единицы, являются решением неравенства. Они образуют открытый промежуток от минус бесконечности до единицы (числовий промінь). Іншими словами, ми маємо безліч рішень заданої нерівності. Остаточне рішеннянерівності можна записати, використовуючи такі форми.

Перша форма запису: х< 1 (х меньше единицы).

Друга форма запису: х Є (-∞; 1) (х належить проміжку від мінус нескінченності до одиниці).

З розглянутих раніше властивостей числових нерівностей, можна сформулювати правила, з допомогою яких вирішуються нерівності з однієї змінної. Ці правила сформульовані у цьому відео уроці.

Нерівності з однією змінної видуах + b > 0 або ах + b< 0 называются линейными неравенствами. Неравенства могут также быть нестрогими, то есть содержать знак ≥ или ≤.

Зх – 5 ≥ 7х – 15.

Для вирішення нерівності застосовуються вже відомі нам правила. Спочатку члени, що містять змінну, збираємо у лівій частині. При перенесенні з правої частини ліву частину, доданок 7х, змінює знак. Числові членинерівності збираємо у правій частині, знову ж таки не забуваючи міняти знаки.

Далі доведеться розділити обидві частини нерівності на від'ємне число-4. Внаслідок такого поділу виходить нерівність протилежного сенсу. Зверніть увагу, що під час вирішення ми постійно користуємося правилами розв'язання нерівностей. Остаточно виходить, що х ≤ 2,5. Рішення можна записати, використовуючи будь-яку з форм:

1. х ≤ 2,5 (х менше або дорівнює 2,5);

2. х Є (-∞; 2,5] (х належить проміжку від мінус нескінченності до 2,5).

Під час вивчення рівнянь було розглянуто поняття про їхню рівносильність. Для нерівностей також існує це поняття. Дві нерівності з однією змінною будуть рівносильними, якщо розв'язання цих нерівностей збігаються. Якщо нерівності немає рішень, всі вони також є рівносильними.

Існування рівносильних нерівностей дозволяє набагато спростити розв'язання. Адже тоді нерівність можна замінити рівносильною йому, але більш простою нерівністю.

За допомогою таких рівносильних змін вирішується приклад 2 цього відео уроку.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Тип уроку: урок застосування знань, умінь, навичок у новій ситуації

Цілі уроку:

• навчальна: в результаті уроку учні узагальнюють та систематизують знання на тему «Нерівності», знайомляться з новим способом вирішення деяких логарифмічних нерівностей.
• розвиваюча: в результаті уроку учні вчаться аналізувати, виділяти головне, доводити та спростовувати логічні висновки;
• виховна: у результаті уроку учні розвивають комунікативні навички, відповідальне ставлення до досягнення мети.

Устаткуваннякомп'ютер, мультимедійний проектор.

Хід уроку

I. Актуалізація опорних знань

"Рішення нерівностей" - тема дуже актуальна в математиці. З нерівностями ми зустрічалися під час уроків алгебри, починаючи з 8 класу. Ми розглядали різні види та різні способи вирішення нерівностей. Сьогодні ми згадаємо основні види нерівностей, назвемо способи їх вирішення і познайомимося з деякими прийомами, які спрощують їх вирішення. Слайд 1

Щоб вирішувати складні нерівності, треба добре знати розв'язання найпростіших нерівностей.

Повідомлення учня

1. Види нерівностей та їх вирішення.

Вид нерівності	Рішення
Лінійні
Ті, що містять парний ступінь
Що містять непарний ступінь
Ірраціональні
Ірраціональні
Показові
Логарифмічні
Тригонометричні	При рішенні використовують тригонометричне колоабо графік відповідної функції

Питанняучням: Які перетворення використовують під час вирішення нерівностей?

Учні називають: зведення на парний або непарний ступінь, логарифмування, потенціювання, застосування формул, що дозволяють привести нерівність до більш простого вигляду.

Запитання:Що може статися з безліччю розв'язків нерівності у процесі перетворень?

Учні відзначають,що безліч рішень або змінюється, або розширюється (можна отримати сторонні рішення), або звужується (можна втратити рішення).

Тому важливо знати які перетворення нерівностей є рівносильними і за яких умов.

Повідомлення учня

2. Рівносильність нерівностей.

Перерахуємо деякі перетворення нерівностей, що приводять цю нерівність до нерівності, рівносильної йому на багатьох дійсних чисел.

Назвемо перетворення нерівностей, що призводять вихідну нерівність до нерівності рівносильної йому на деякій кількості чисел

1. Зведення нерівності на парний ступінь; (на множині де обидві функції невід'ємні)
2. Потенціювання нерівності; (на множині де обидві функції позитивні)
3. множення обох частин нерівності на функцію; (на множині де функція позитивна)
4. Застосування деяких формул (логарифмічних, тригонометричних та ін.) (На множині де одночасно визначені обидві частини застосовуваної формули)

Фронтальна робота

Питанняучням: Чи рівні нерівності? Чому?

ІІ. Вивчення нового матеріалу

Вчитель:Залежно від інтерпретації нерівності розрізняють

• алгебраїчний
• функціональний
• графічний
• геометричний

підходи у вирішенні нерівностей. При підході алгебри виконують рівносильні загальні або часткові перетворення нерівностей. При функціональному підході використовують властивості функцій (монотонність, обмеженість тощо). Основою геометричного підходу є інтерпретація нерівностей та їх розв'язків на координатній прямій, координатної площиниабо у просторі. У деяких випадках алгебраїчний та функціональний підходивзаємно замінювані.

Серед алгебраїчних методіврішення нерівностей виділяють:

• Зведення нерівності до рівносильної системиабо сукупності систем
• Метод заміни
• Розбиття області визначення нерівності на підмножини

Кажуть, що краще вирішити одну нерівність, але різними способами, ніж кілька нерівностей одним і тим самим способом. Пошуки різних способіврішення, розгляд усіх можливих випадків, критична оцінкаїх з метою виділення найбільш раціонального, красивого, є важливим факторомрозвитку математичного мислення, відводять від шаблону. Тому сьогодні ми спробуємо шукати найраціональніші способи розв'язання нерівностей.

Логарифмічну нерівність можна звести до рівносильної сукупності систем нерівностей

Розв'яжіть нерівність: (учні працюють у групах)

Відповідь:

Вчитель:Виявляється, що цю нерівність можна вирішити інакше.

Знаючи властивості логарифму про те, що log а b< 0, если a и b по різні сторонивід 1, log a b > 0, якщо a і b по одну сторону від 1, можна отримати дуже цікавий та несподіваний спосіб вирішення нерівності. Про цей спосіб написано у статті "Деякі корисні логарифмічні співвідношення" в журналі "Квант" № 10 за 1990 рік.

04.03.2015 1800 529 Гудова Людмила Володимирівна

Тип уроку:інтегрований урок узагальнення та систематизації знань, умінь та навичок.

Цілі уроку:

• Систематизація знань, умінь та навичок при вирішенні систем лінійних нерівностейз однією змінною.
• Удосконалення обчислювальних навичок усного та письмового рахунку, розвиток умінь застосовувати знання на практиці в нових умовах та вміння коментувати свої дії.
• Прищеплення інтересу до предмета та вибору професії, самостійності та вміння працювати в заданому темпі.
• Розвиток математичної мовиучнів.

Завдання:

― систематизувати знання та вміння з цієї теми;

― використовуючи знання та вміння учнів, спрямовувати їхню діяльність на здійснення вибору ефективних способів вирішення завдань;

― на формування комунікативних умінь розвивати навички роботи у малих групах (парах);

― на формування організаційних умінь здійснювати навички саморегуляції, самоконтролю;

― розвивати логічне мислення, математичну мову;

― виховувати пізнавальний інтерес, спрямовувати учнів здійснювати розширений пошук інформації з використанням ресурсів з Інтернету;

― формувати стійкі позитивні мотиви.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

План уроку

1. Організаційний момент.

2. Усна робота.

3. Самостійна робота у парах (взаємооцінка)

4. Фізмінутка.

5. Виконання вправ у групах

6. Домашнє завдання.

7. Підсумок уроку.

IОрганізаційний момент.

Взаємне вітання, фіксація відсутніх. Перш ніж перейти до теми нашого уроку, давайте проведемо тренінг. "Валіза" - кожному на спину кріпиться лист, у всіх в руках ручки, всі підходять один до одного і пишуть людині його гарні якості, які йому найбільше сподобалися.

Тема нашого урокуРозв'язання нерівностей та систем нерівностей.

Запитання: Як ви вважаєте, яка мета нашого уроку?

Відповідь: підвищити якість знань, ліквідувати прогалини у знаннях, підготуватися до іспитів.

Вчитель . Молодці хлопці. Мета нашого уроку: застосування знань та вмінь під час узагальнення теми «Розв'язання нерівностей та систем нерівностей », під час підготовки до іспитів.

Спробуйте сформулювати завдання, за допомогою яких ми досягнемо цієї мети.

Сьогодні у нас із вами незвичайний урок. А щоб дізнатися, про що йтиметься на нашому уроці, ми з вами виконаємо завдання усної роботи.

ІІ. Усна робота.

1. Обчисліть. Зашифроване слово – рід діяльності людини. (Презентація1, Слайд 2)

Ф. 12 * 5 = 60	Р. (56 + 16): 2 = 36	Е. 48: 6 + 35: 5 = 15
С. 36: 4 = 9	П. 15 * 4 - 38 = 22	С. 850: (350: 7) = 17
О. 8 * 9 = 72	І. 40 * (31 - 28) = 120	Я. 64: 2 - 16 = 16

Про що йтиметься на нашому уроці? Правильно про професії. А що таке професія? (Презентація1, Слайд 3)

Ви цього року закінчуєте школу, а яку професію ви хочете обрати? А чи потрібна математика у вашій професії? Тоді давайте продовжимо наш урок.

2. Прочитайте: (Презентація1, Слайд 4)

3 Гра «Розв'яжи нерівності» (Нерівності заздалегідь записані стороні дошки).

Міні-підсумок.

Молодці! Але для гарного оволодінняпрофесією необхідні міцні навички обчислень. Давайте перевіримо, як добре ви вважаєте.

ІІІ. Самостійна робота (Робота в парах, утворених за назвами фруктів та овочів).

Відкрийте зошити. Запишіть число, класна робота, тема уроку "Рішення нерівностей та систем нерівностей".

Отже, ми знайомимося з професіями. Для цього треба розв'язати системи нерівностей.

Відкриваємо підручник на сторінці 181 № 532 (а,б перший учень; в, г-другий учень, потім обмінюються зошитами та оцінюють один одного)

Молодці! Ми познайомимося із професією (економіста). (Презентація1, Слайд 14).

Які професії ви хочете вибрати? Чому? Що це за професія?

IV. Фізмінутка.

Перш ніж ви приступите до роботи, потрібно виконати фізхвилинку. (Вправи зі зняттям напруги з очей).

Фізкультхвилинка. «Щеплення гарного настрою».

• 
  Поверніть обличчя один одному:
• 
  Паць (показують на ніс)
• 
  Посмішка (розводять руки убік)
• 
  Ковпачок (з'єднують руки над головою)
• 
  Щеплення (лоскочуть один одного).

Наступну професію ми дізнаємось, вирішивши іншу систему нерівностей. А для цього нам треба об'єднатися у групи. (групи утворюються за кольором стікера)

Вам у групі потрібно вирішити визначити при яких значеннях х має сенс вираз.

Підсумки уроку. Рефлексія.

Домашнє завдання.

Завантажити матеріал

Повний текст матеріалу дивіться в файлі, що скачується.
На сторінці наведено лише фрагмент матеріалу.

Цей урок проводиться в 11 класі за програмою базового рівня. Мета уроку: узагальнити знання на тему «Розв'язання нерівностей з однією змінною». Розглядаються нерівності різного виду. Повторюються методи розв'язання нерівностей.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Конспект відкритого уроку

«Розв'язання нерівностей з однією змінною»

Клас: 11б

Рівень:

Мета уроку: узагальнити знання на тему «Рішення нерівностей з однією змінною».

Завдання уроку:

навчальні:

• узагальнити та систематизувати знання, отримані щодо теми «Рішення нерівностей з однією змінною»;
• розглянути розв'язання нерівностей з однією змінною різного виду;
• розглянути загальні способирозв'язання нерівностей з однією змінною (метод послідовних спрощень, метод інтервалів, метод заміни змінної, функціонально- графічний метод);
• закріпити вміння застосовувати основні теореми рівносильності при розв'язанні нерівностей з однією змінною;
• сприяти розширенню знань з теми, що вивчається;

розвиваючі:

• розвиток логічного мислення, пам'яті, уміння міркувати, шукати раціональний спосіброзв'язання поставленого завдання;
• формування умінь порівнювати, узагальнювати, аналізувати факти, що вивчаються;
• розвиток у учнів самостійності у мисленні та навчальній діяльності;
• розвиток математичної мови;

які виховують:

• виховання самоконтролю, відповідальності, наполегливості у досягненні поставленої мети;
• підвищувати рівень навчальної мотиваціїіз використанням комп'ютерних технологій;
• виховання колективізму, взаємодопомоги та відповідальності за спільну роботу;
• виховання акуратності під час виконання практичних завдань;
• виховувати уважність, активність, впевненість у собі.

Тип уроку: урок повторення та узагальнення

Обладнання: дві дошки, інтерактивна дошка, проектор, комп'ютер.

Програмне забезпечення: Microsoft Word, Microsoft PowerPoint, Математичний конструктор 4.0, презентація до уроку.

Підручник: Алгебра та початки математичного аналізу. 11 клас. О 2 год. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий рівень)/[А. Г. Мордкович та ін.]; за ред. А. Г. Мордковича. - 4-те вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2013.

План уроку:

1) організаційний момент

2) повторення теоретичних відомостейпо темі, що вивчається

3) перевірка домашнього завдання, робота за картками

4) застосування теоретичних знаньна практиці (вирішення завдань усно і письмово по темі, що вивчається)

5) самостійна робота

6) рефлексія

7) підбиття підсумків уроку

8) запис домашнього завдання

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

Привітання учнів, перевірка готовності до уроку, Вступне слововчителі, назва теми, цілей уроку, запис у зошитах числа та теми уроку (слайд 1)

Хлопці на дошці відображено безліч різних нерівностей. Які нерівності ви бачите? (Тригонометричні, ірраціональні, статечні, лінійні, квадратні, логарифмічні, показові, дробово-раціональні.)

Що спільного у цих нерівностей? (Всі нерівності містять одну змінну.)

Починаючи з восьмого класу ви вивчаєте розв'язання таких нерівностей. Сьогодні на уроці ми поговоримо про рівносильність нерівностей, застосування теорем рівносильності при їх вирішенні, а також згадаємо основні методи розв'язання нерівностей з однією змінною. До кінця уроку нехай кожен із вас відповість на запитання: «Наскільки добре я володію тим чи іншим методом вирішення нерівностей з однією змінною?»

Запишіть у зошит число та тему уроку «Розв'язання нерівностей з однією змінною».

1. Повторення теоретичних відомостей з теми, що вивчається.

Вчитель видає картки з індивідуальними завданнями різного рівняскладності.

Розв'яжіть нерівність (1 рівень)	Розв'яжіть нерівність (2 рівень)
№ 57.16а (домашнє завдання)	№ 57.24а (домашнє завдання)

Дайте відповідь на запитання: «Що називають рішенням нерівності?» (Рішенням нерівності f(x) > g(x) називають будь-яке значення змінної х, яке звертає нерівність у правильну числову нерівність.) Розгляньте приклад. Назвіть інші окремі рішення цієї нерівності та числа, які не є розв'язком. Знайдіть загальне рішенняданої нерівності. Що є загальним рішенням нерівності з однією змінною? (слайд 2)

Наступне питання: «Які нерівності називаються рівносильними?» (Нерівності f(x) > g(x) і p(x) > h(x) рівносильні, якщо їх рішення збігаються.) Чи рівні нерівності: x 2 ≥ 0 та |x| ≥ 0; ? (Всі нерівності розв'язання яких безліч дійсних чисел – рівносильні. Усі нерівності розв'язання яких порожня безліч– рівносильні.) (слайд 3) Використовується інструмент «шторка».

Здобути нерівність рівносильну цьому допомагають теореми рівносильності. Повторимо їх і використовуємо у розв'язанні нерівностей усно. (Слайд 5-10)

Використовується інструмент "шторка".

Нам відомі і раніше неодноразово під час вирішення нерівностей застосовувалися чотири методи. Назвіть їх. (Метод послідовних спрощень, метод інтервалів, метод заміни змінної, функціонально-графічний метод.)

На екрані ви бачите чотири нерівності. Співвіднесіть кожну нерівність із відповідним методом розв'язання. (слайд 11)

1. Перевірка домашнього завдання. Учні пояснюють своє рішення.

№ 57.16а (домашня робота) Вирішуємо показова нерівністьметодом заміни змінної. Нехай . Вирішуємо методом інтервалів. t≥3, Відповідь:
Відповідь:	х=1,5 х ∈ (0;1) ∪ (1; ∞ ) х = 1 Відповідь: х ∈ (1; 1,5) ∪ (2; ∞ )
№ 57.23б Виконання даного номерапередбачено на додатковій дошці. Вирішуємо нерівність графічним способом. Побудуємо графік показової функції y=. Побудуємо графік функції y=. Спостерігаючи за поведінкою графіків, з'ясовуємо, що розв'язанням нерівності є проміжок )