Завдання на характеристики і графіки квадратичної функції викликають, як показує практика, серйозні труднощі. Це досить дивно, бо квадратичну функцію проходять у 8 класі, а потім усю першу чверть 9-го класу "вимучують" властивості параболи та будують її графіки для різних параметрів.
Це з тим, що змушуючи учнів будувати параболи, мало приділяють часу на " читання " графіків, тобто практикують осмислення інформації, отриманої з картинки. Очевидно, передбачається, що, побудувавши зо два десятки графіків, кмітливий школяр сам виявить і сформулює зв'язок коефіцієнтів у формулі і зовнішній виглядграфіка. На практиці так не виходить. Для такого узагальнення необхідний серйозний досвід математичних міні досліджень, яким більшість дев'ятикласників, звичайно, не має. А тим часом, у ДПА пропонують саме за графіком визначити знаки коефіцієнтів.
Не вимагатимемо від школярів неможливого і просто запропонуємо один із алгоритмів вирішення подібних завдань.
Отже, функція виду y = ax 2 + bx + cназивається квадратичною, графіком її є парабола. Як випливає з назви, головним доданком є ax 2. Тобто ане повинно дорівнювати нулю, інші коефіцієнти ( bі з) нулю дорівнювати можуть.
Подивимося, як впливають зовнішній вигляд параболи знаки її коефіцієнтів.
Сама проста залежністьдля коефіцієнта а. Більшість школярів впевнено відповідає: а> 0, то гілки параболи спрямовані вгору, і якщо а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
У даному випадку а = 0,5
А тепер для а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В даному випадку а = - 0,5
Вплив коефіцієнта зтеж досить легко простежити. Уявімо, що ми хочемо знайти значення функції у точці х= 0. Підставимо нуль у формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Виходить, що у = с. Тобто з- це ордината точки перетину параболи з віссю. Як правило, цю точку легко знайти на графіку. І визначити вище за нуль вона лежить або нижче. Тобто з> 0 або з < 0.
з > 0:
y = x 2 + 4x + 3
з < 0
y = x 2 + 4x - 3
Відповідно, якщо з= 0, то парабола обов'язково проходитиме через початок координат:
y = x 2 + 4x
Складніше з параметром b. Точка, за якою ми його знаходитимемо, залежить не тільки від bале і від а. Це вершина параболи. Її абсцисса (координата з осі х) знаходиться за формулою х в = - b/(2а). Таким чином, b = - 2ах. Тобто діємо в такий спосіб: на графіці знаходимо вершину параболи, визначаємо знак її абсциси, тобто дивимося правіше за нуль ( х в> 0) або лівіше ( х в < 0) она лежит.
Однак, це не все. Потрібно ще звернути увагу на знак коефіцієнта а. Тобто подивитися, куди спрямовані гілки параболи. І лише після цього за формулою b = - 2ахвизначити знак b.
Розглянемо приклад:
Гілки спрямовані вгору, отже а> 0, парабола перетинає вісь унижче за нуль, значить з < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в> 0. Значить b = - 2ах = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, з < 0.
На уроках математики в школі Ви вже познайомилися з найпростішими властивостями та графіком функції y = x 2. Давайте розширимо знання з квадратичної функції.
Завдання 1.
Побудувати графік функції y = x 2. Масштаб: 1 = 2 см. Позначте на осі Oy точку F(0; 1/4). Циркулем або смужкою паперу виміряйте відстань від точки Fдо якоїсь точки Mпараболи. Потім приколіть смужку в точці M і поверніть її навколо цієї точки так, щоб вона стала вертикальною. Кінець смужки опуститься трохи нижче за осю абсцис (Рис. 1). Позначте на смужці, як вона вийде за вісь абсцис. Візьміть іншу точку на параболі і повторіть вимір ще раз. Наскільки тепер опустився край смужки за вісь абсцис?
Результат:яку б точку на параболі y = x 2 ви не взяли, відстань від цієї точки до точки F(0; 1/4) буде більше відстанівід тієї ж точки до осі абсцис завжди на те саме число – на 1/4.
Можна сказати інакше: відстань від будь-якої точки параболи до точки (0; 1/4) дорівнює відстані від тієї точки параболи до прямої y = -1/4. Ця чудова точка F(0; 1/4) називається фокусомпараболи y = x 2 , а пряма y = -1/4 - директрисоюцієї параболи. Директриса та фокус є у кожної параболи.
Цікаві властивості параболи:
1. Будь-яка точка параболи рівновіддалена від деякої точки, яка називається фокусом параболи, і деякою прямою, званою її директрисою.
2. Якщо обертати параболу навколо осі симетрії (наприклад, параболу y = x 2 навколо осі Oy), то вийде дуже цікава поверхняяка називається параболоїдом обертання.
Поверхня рідини в судині, що обертається, має форму параболоїда обертання. Ви можете побачити цю поверхню, якщо сильно завадите ложечкою в неповній склянці чаю, а потім вийміть ложечку.
3. Якщо в порожнечі кинути камінь під деяким кутом до горизонту, він полетить по параболі (Рис. 2).
4. Якщо перетнути поверхню конуса площиною, паралельною до будь-якої однієї його утворюючої, то в перерізі вийде парабола (Рис. 3).
5. У парках розваг іноді влаштовують кумедний атракціон «Параболоїд чудес». Кожному, з параболоїда, що стоїть всередині обертається, здається, що він стоїть на підлозі, а решта людей якимось дивом триматися на стінках.
6. У дзеркальних телескопах також застосовують параболічні дзеркала: світло далекої зірки, що йде паралельним пучком, впавши на дзеркало телескопа, збирається у фокус.
7. У прожекторів дзеркало зазвичай робиться у формі параболоїда. Якщо помістити джерело світла у фокусі параболоїда, то промені, відбившись від параболічного дзеркала, утворюють паралельний пучок.
Побудова графіка квадратичної функції
На уроках математики ви вивчали отримання графіка функції y = x 2 графіків функцій виду:
1) y = ax 2- Розтягнення графіка y = x 2 вздовж осі Oy в | a | разів (при |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, рис. 4).
2) y = x 2 + n– зсув графіка на n одиниць уздовж осі Oy, причому, якщо n > 0, то зрушення вгору, і якщо n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– зсув графіка на m одиниць уздовж осі Ox: якщо m< 0, то вправо, а если m >0, то вліво, (рис. 5).
4) y = -x 2- Симетричне відображення щодо осі Ox графіка y = x 2 .
Докладніше зупинимося на побудові графіка функції y = a(x – m) 2 + n.
Квадратичну функцію виду y = ax 2 + bx + c завжди можна привести до вигляду
y = a (x - m) 2 + n, де m = -b / (2a), n = - (b 2 - 4ac) / (4a).
Доведемо це.
Справді,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Введемо нові позначення.
Нехай m = -b/(2a), а n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
тоді отримаємо y = a (x - m) 2 + n або y - n = a (x - m) 2 .
Зробимо ще заміни: нехай y - n = Y, x - m = X (*).
Тоді отримаємо функцію Y = aX 2 графіком якої є парабола.
Вершина параболи знаходиться на початку координат. X = 0; Y = 0.
Підставивши координати вершини (*), отримуємо координати вершини графіка y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Таким чином, для того, щоб побудувати графік квадратичної функції, представленої у вигляді
y = a(x – m) 2 + n
шляхом перетворень, можна діяти так:
a)побудувати графік функції y = x 2;
б)шляхом паралельного перенесеннявздовж осі Ox на m одиниць та вздовж осі Oy на n одиниць – вершину параболи з початку координат перевести в точку з координатами (m; n) (Рис. 6).
Запис перетворень:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a (x – m) 2 → y = a (x – m) 2 + n.
приклад.
За допомогою перетворень побудувати в декартовій системікоординат графік функції y = 2 (x - 3) 2 – 2.
Рішення.
Ланцюжок перетворень:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Побудова графіка зображена на рис. 7.
Ви можете практикуватися у побудові графіків квадратичної функції самостійно. Наприклад, побудуйте в одній системі координат за допомогою перетворень графік функції y = 2(x + 3) 2 + 2. Якщо у вас виникнуть питання або ви захочете отримати консультацію вчителя, то у вас є можливість провести безкоштовне 25-хвилинне заняття з онлайн репетитором
після реєстрації. Для подальшої роботиз викладачем ви зможете обрати відповідний тарифний план.
Залишились питання? Чи не знаєте, як побудувати графік квадратичної функції?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.