Makalede ele alacağız eşitsizlikleri çözmek. Size açıkça anlatacağız eşitsizliklere çözüm nasıl oluşturulur, net örneklerle!
Örnekler kullanarak eşitsizlikleri çözmeye bakmadan önce temel kavramları anlayalım.
Eşitsizlikler hakkında genel bilgi
Eşitsizlik fonksiyonların >, ilişki işaretleriyle bağlandığı bir ifadedir. Eşitsizlikler hem sayısal hem de gerçek olabilir.
Oranın iki işareti olan eşitsizliklere çift, üç - üçlü vb. Eşitsizlikler denir. Örneğin:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > veya veya - işaretini içeren eşitsizlikler kesin değildir.
Eşitsizliği çözmek bu eşitsizliğin doğru olacağı değişkenin herhangi bir değeridir.
"Eşitsizliği çözün", tüm çözümlerin kümesini bulmamız gerektiği anlamına gelir. Farklı çözümler var eşitsizlikleri çözme yöntemleri. İçin eşitsizlik çözümleri Sonsuz olan sayı doğrusu kullanılır. Örneğin, eşitsizliğin çözümü x > 3, 3'ten +'ya kadar olan aralıktır ve 3 sayısı bu aralığa dahil değildir, dolayısıyla doğru üzerindeki nokta boş bir daire ile gösterilir, çünkü eşitsizlik katıdır. 
+
Cevap şu olacaktır: x (3; +).
X=3 değeri çözüm kümesine dahil edilmediğinden parantez yuvarlaktır. Sonsuzluk işareti her zaman parantezle vurgulanır. İşaret "ait olma" anlamına gelir.
İşaretli başka bir örnek kullanarak eşitsizlikleri nasıl çözeceğimize bakalım:
x 2
-
+
X=2 değeri çözüm kümesine dahil edilmiştir, dolayısıyla braket karedir ve çizgi üzerindeki nokta içi dolu bir daire ile gösterilir.
Cevap şu olacaktır: x. -
Slayt 19
Eşitsizlikleri grafiksel olarak çözün:
1).x²-3x 0; 3).x²+2x≥0; 4). -2x²+x+1≤0; (0;3) (-∞;0)U(4;+∞) (-∞;-2]UU.
Öğrendiklerimizi özetleyelim.
Diyelim ki eşitsizlik sistemini çözmek gerekiyor: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
O halde ($x_1; x_2$) aralığı birinci eşitsizliğin çözümüdür.
Aralık ($y_1; y_2$) ikinci eşitsizliğin çözümüdür.
Bir eşitsizlik sisteminin çözümü, her bir eşitsizliğin çözümlerinin kesişimidir. 
Eşitsizlik sistemleri yalnızca birinci dereceden eşitsizliklerden değil aynı zamanda diğer eşitsizlik türlerinden de oluşabilir.
Eşitsizlik sistemlerinin çözümü için önemli kurallar.
Sistemdeki eşitsizliklerden birinin çözümü yoksa tüm sistemin çözümü de yoktur.
Değişkenin herhangi bir değeri için eşitsizliklerden biri sağlanırsa sistemin çözümü diğer eşitsizliğin çözümü olacaktır.
Örnekler.
Eşitsizlik sistemini çözün:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Çözüm.
Her eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
İkinci eşitsizliği çözelim.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.
Eşitsizliğin çözümü aralıktır. 
Her iki aralığı da aynı doğru üzerine çizip kesişim noktasını bulalım. 
Aralıkların kesişimi segmenttir (4; 6).
Cevap: (4;6).
Eşitsizlik sistemini çözün.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.
Çözüm.
a) Birinci eşitsizliğin çözümü x>1'dir.
İkinci eşitsizliğin diskriminantını bulalım.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Kuralı hatırlayalım: Eşitsizliklerden birinin çözümü yoksa, tüm sistemin çözümü de yoktur.
Cevap: Çözüm yok.
B) Birinci eşitsizliğin çözümü x>1'dir.
İkinci eşitsizlik tüm x'ler için sıfırdan büyüktür. O zaman sistemin çözümü birinci eşitsizliğin çözümüyle örtüşür.
Cevap:x>1.
Bağımsız çözüm için eşitsizlik sistemlerine ilişkin problemler
Eşitsizlik sistemlerini çözün:a) $\begin(case)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(case)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(case)x^2-25 d) $\begin(case)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(case)$
e) $\begin(case)x^2+36
Eşitsizlik simgeleri hakkında bilmeniz gerekenler? Simgeli eşitsizlikler Daha (> ), veya az (< ) denir sıkı. Simgelerle büyük veya eşit (≥ ), küçük veya eşit (≤ ) denir katı değil. Simge eşit değil (≠ ) ayrı duruyor, ancak aynı zamanda her zaman bu simgeye sahip örnekleri de çözmeniz gerekiyor. Ve biz karar vereceğiz.)
Simgenin kendisinin çözüm süreci üzerinde pek bir etkisi yoktur. Ancak kararın sonunda, son cevabı seçerken simgenin anlamı ekranda belirir. tam güç! Aşağıda örneklerde göreceğimiz şey budur. Orada bazı şakalar var...
Eşitlikler gibi eşitsizlikler de mevcuttur sadık ve sadakatsiz. Burada her şey basit, hile yok. 5 diyelim > 2 - gerçek eşitsizlik. 5 < 2 - yanlış.
Bu hazırlık eşitsizlikler için işe yarıyor her türlü ve dehşet derecesinde basit.) Sadece iki (sadece iki!) temel eylemi doğru bir şekilde gerçekleştirmeniz gerekiyor. Bu eylemler herkese tanıdık geliyor. Ama karakteristik olarak bu eylemlerdeki hatalar eşitsizliklerin çözümündeki temel hatadır, evet... Dolayısıyla bu eylemlerin tekrarlanması gerekiyor. Bu eylemler şu şekilde adlandırılır:
Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri.
Kimlik dönüşümleri eşitsizlikler denklemlerin özdeş dönüşümlerine çok benzer. Aslında asıl sorun da bu. Farklılıklar başınızı aşar ve... işte buradasınız.) Bu nedenle, bu farklılıkları özellikle vurgulayacağım. Yani eşitsizliklerin ilk özdeş dönüşümü:
1. Eşitsizliğin her iki tarafına da aynı sayı veya ifade eklenebilir (çıkarılabilir). Herhangi. Bu eşitsizlik işaretini değiştirmeyecektir.
Uygulamada bu kural, terimlerin işaret değişikliği ile eşitsizliğin sol tarafından sağa (ve tam tersi) aktarılması olarak kullanılır. Eşitsizliğin değil, terimin işaretinin değişmesiyle! Bire-bir kuralı denklem kuralıyla aynıdır. Ancak eşitsizliklerdeki aşağıdaki özdeş dönüşümler denklemlerdekilerden önemli ölçüde farklıdır. Bu yüzden onları kırmızıyla vurguluyorum:
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir)pozitifsayı. Herhangi biri içinpozitif değişmeyecek.
3. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir)negatif sayı. Herhangi biri içinnegatifsayı. Buradan eşitsizlik işaretitam tersi yönde değişecektir.
Denklemin herhangi bir şeyle çarpılabileceğini/bölünebileceğini hatırlıyorsunuzdur (umarım...). Ve herhangi bir sayı için ve X'li bir ifade için. Keşke sıfır olmasaydı. Bu da onu ne sıcak ne de soğuk yapar.) Değişmez. Ancak eşitsizlikler çarpma/bölmeye daha duyarlıdır.
İyi bir örnek uzun bir anı için. Şüphe uyandırmayacak bir eşitsizlik yazalım:
5 > 2
Her iki tarafı da çarpın +3, şunu elde ederiz:
15 > 6
Herhangi bir itirazınız var mı? Hiçbir itirazımız yok.) Ve orijinal eşitsizliğin her iki tarafını da şu şekilde çarparsak: -3, şunu elde ederiz:
15 > -6
Ve bu düpedüz bir yalan.) Tamamen yalan! Halkı aldatma! Ancak eşitsizlik işaretini tersiyle değiştirdiğiniz anda her şey yerine oturur:
15 < -6
Sadece yalan ve aldatma hakkında küfür etmiyorum.) "Eşittir işaretini değiştirmeyi unuttum..."- Bu Ev Eşitsizliklerin çözümünde hata. Bu önemsiz ve basit kural pek çok insana zarar verdi! Ki unuttular...) Yani yemin ediyorum. Belki hatırlarım...)
Özellikle dikkatli insanlar eşitsizliğin X'li bir ifadeyle çarpılamayacağını fark edeceklerdir. Dikkatli olanlara saygıyla!) Neden olmasın? Cevap basit. X'li bu ifadenin işaretini bilmiyoruz. Pozitif de olabilir, negatif de... Dolayısıyla çarpmadan sonra hangi eşitsizlik işaretini koyacağımızı bilmiyoruz. Değiştirmeli miyim değiştirmemeli miyim? Bilinmiyor. Elbette bu kısıtlama (bir eşitsizliğin x'li bir ifadeyle çarpılması/bölülmesi yasağı) aşılabilir. Eğer gerçekten ihtiyacın varsa. Ancak bu diğer derslerin konusu.
Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri bunlar. için çalıştıklarını bir kez daha hatırlatayım. herhangi eşitsizlikler Artık belirli türlere geçebilirsiniz.
Doğrusal eşitsizlikler. Çözüm, örnekler.
Doğrusal eşitsizlikler, x'in birinci kuvvette olduğu ve x'e bölümün olmadığı eşitsizliklerdir. Tip:
x+3 > 5x-5
Bu tür eşitsizlikler nasıl çözülür? Bunları çözmek çok kolaydır! Yani: yardımıyla en kafa karıştırıcı doğrusal eşitsizliği azaltıyoruz doğrudan cevaba geçiyoruz.Çözüm bu. Kararın ana noktalarını vurgulayacağım. Aptalca hatalardan kaçınmak için.)
Bu eşitsizliği çözelim:
x+3 > 5x-5
Bunu tam olarak doğrusal denklemle aynı şekilde çözüyoruz. Tek farkla:
Yakından takip ediyoruz eşitsizlik işareti!
İlk adım en yaygın olanıdır. X'li - sola, X'siz - sağa... Bu ilk özdeş dönüşümdür, basit ve sorunsuz.) Aktarılan terimlerin işaretlerini değiştirmeyi unutmayın.
Eşitsizlik işareti kalır:
x-5x > -5-3
İşte benzerleri.
Eşitsizlik işareti kalır:
4x > -8
Geriye son özdeş dönüşümü uygulamak kalıyor: her iki tarafı da -4'e bölün.
Şuna göre böl: negatif sayı.
Eşitsizlik işareti tersine değişecektir:
X < 2
Cevap bu.
Tüm doğrusal eşitsizlikler bu şekilde çözülür.
Dikkat! 2. nokta beyaz olarak çizilmiştir, yani. boyasız. İçerisi boş. Bu, onun cevaba dahil olmadığı anlamına gelir! Onu bilerek bu kadar sağlıklı çizdim. Matematikte böyle bir noktaya (boş, sağlıklı değil!) delinmiş nokta.
Eksen üzerinde kalan sayılar işaretlenebilir ancak gerekli değildir. Eşitsizliğimizle ilgisi olmayan yabancı sayılar kafa karıştırıcı olabilir evet... Sadece sayıların ok yönünde arttığını unutmamanız gerekiyor, yani. sayılar 3, 4, 5 vb. öyle Sağa ikişerdir ve sayılar 1, 0, -1 vb.'dir. - Sola.
Eşitsizlik x < 2 - sıkı. X kesinlikle ikiden küçüktür. Şüpheniz varsa kontrol etmek basittir. Şüpheli sayıyı eşitsizliğin yerine koyuyoruz ve şöyle düşünüyoruz: "İki ikiden küçük mü? Hayır, elbette!" Bu doğru. Eşitsizlik 2 < 2 yanlış. Karşılığında iki uygun değil.
Biri iyi mi? Kesinlikle. Daha az... Ve sıfır iyidir ve -17 ve 0,34... Evet, ikiden küçük olan tüm sayılar iyidir! Ve hatta 1,9999... En azından biraz, ama daha az!
O halde tüm bu sayıları sayı ekseninde işaretleyelim. Nasıl? Burada seçenekler var. Birinci seçenek gölgelendirmedir. Fareyi resmin üzerine getiriyoruz (veya tabletteki resme dokunuyoruz) ve x koşulunu karşılayan tüm x'lerin alanının gölgeli olduğunu görüyoruz < 2 . İşte bu.
İkinci örneği kullanarak ikinci seçeneğe bakalım:
X ≥ -0,5
Bir eksen çizin ve -0,5 sayısını işaretleyin. Bunun gibi:
Farkı fark ettiniz mi?) Evet, fark etmemek zor... Bu nokta siyah! Üzeri boyalı. Bu -0,5 anlamına gelir cevabın içinde yer alıyor. Bu arada, doğrulama birinin kafasını karıştırabilir. yerine koyalım:
-0,5 ≥ -0,5
Nasıl yani? -0,5, -0,5'ten fazla değil! Ve daha fazla simge var...
Önemli değil. Zayıf bir eşitsizlikte simgeye uyan her şey uygundur. VE eşittir iyi ve Daha iyi. Bu nedenle cevaba -0,5 dahil edilmiştir.
Böylece eksende -0,5'i işaretledik; geriye -0,5'ten büyük tüm sayıları işaretlemek kalıyor. Bu sefer alanı işaretliyorum uygun değerler X yay(kelimeden yay), gölgelendirmek yerine. İmleci çizimin üzerine getiriyoruz ve bu yayı görüyoruz.
Gölgeleme ve kollar arasında özel bir fark yoktur. Öğretmenin söylediğini yapın. Öğretmen yoksa kemerler çizin. Daha fazla zor görevler gölgeleme daha az belirgindir. Kafanız karışabilir.
Doğrusal eşitsizlikler bir eksen üzerinde bu şekilde çizilir. Hadi devam edelim takip etme özelliği eşitsizlikler
Eşitsizliklerin cevabını yazıyorum.
Denklemler iyiydi.) X'i bulduk ve cevabı yazdık, örneğin: x=3. Eşitsizliklerde cevap yazmanın iki şekli vardır. Biri son eşitsizlik formundadır. için iyi basit vakalar. Örneğin:
X< 2.
Bu tam bir cevaptır.
Bazen aynı şeyi farklı bir biçimde yazmanız gerekir. sayısal aralıklar. Daha sonra kayıt oldukça bilimsel görünmeye başlıyor):
x ∈ (-∞; 2)
Simgenin altında ∈ kelime gizli "ait"
Giriş şu şekilde: x eksi sonsuzdan ikiye kadar olan aralığa aittir dahil değil. Oldukça mantıklı. X, eksi sonsuzdan ikiye kadar olası tüm sayılar arasından herhangi bir sayı olabilir. Kelimenin bize söylediği çift X olamaz "dahil değil".
Ve cevabın neresinde açıkça görülüyor ki "dahil değil"? Bu gerçek cevapta belirtilmiştir yuvarlak ikisinden hemen sonra parantez. İkisi dahil olsaydı, braket şu şekilde olurdu: kare.İşte burada:]. Aşağıdaki örnekte böyle bir parantez kullanılmaktadır.
Cevabı yazalım: x ≥ -0,5 aralıklarla:
x ∈ [-0,5; +∞)
Okunur: x eksi 0,5 aralığına aittir, içermek, artı sonsuza kadar.
Infinity asla açılamaz. Bu bir sayı değil, bir sembol. Dolayısıyla bu tür gösterimlerde sonsuzluk her zaman parantez yanında yer alır.
Bu kayıt biçimi, birkaç boşluktan oluşan karmaşık yanıtlar için uygundur. Ama - sadece son cevaplar için. Daha ileri bir çözümün beklendiği ara sonuçlarda, formdaki olağan formu kullanmak daha iyidir. basit eşitsizlik. Bunu ilgili konularda ele alacağız.
Eşitsizliklerle ilgili popüler görevler.
Doğrusal eşitsizliklerin kendisi basittir. Bu nedenle görevler çoğu zaman daha da zorlaşır. Bu yüzden düşünmek gerekiyordu. Bu, eğer alışkın değilseniz, pek hoş değildir.) Ama faydalıdır. Bu tür görevlerin örneklerini göstereceğim. Bunları öğrenmeniz doğru değil, gereksiz. Ve tanışırken korkmamak için benzer örnekler. Biraz düşünün - ve çok basit!)
1. 3x - 3 eşitsizliğinin herhangi iki çözümünü bulun< 0
Ne yapacağınız çok açık değilse matematiğin ana kuralını hatırlayın:
Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!)
X < 1
Peki ne? Özel bir şey yok. Bize ne soruyorlar? Bir eşitsizliğin çözümü olan iki spesifik sayıyı bulmamız isteniyor. Onlar. cevaba uyuyor. İki herhangi sayılar. Aslında bu kafa karıştırıcı.) Birkaç 0 ve 0,5 uygundur. Bir çift -3 ve -8. Evet bu çiftler sonsuz küme! Hangi cevap doğrudur?
Cevap veriyorum: her şey! Her biri birden küçük olan herhangi bir sayı çifti, doğru cevap olacaktır. Hangisini istediğinizi yazın. Devam edelim.
2. Eşitsizliği çözün:
4x - 3 ≠ 0
Bu formdaki görevler nadirdir. Ancak yardımcı eşitsizlikler olarak, örneğin ODZ bulunurken veya bir fonksiyonun tanım tanım kümesi bulunurken bunlar her zaman ortaya çıkar. Böyle bir doğrusal eşitsizlik sıradan bir doğrusal denklem olarak çözülebilir. Yalnızca "=" işareti dışında her yerde ( eşittir) bir işaret koy " ≠ " (eşit değil). Eşitsizlik işaretiyle cevaba şu şekilde yaklaşırsınız:
X ≠ 0,75
Daha fazla karmaşık örnekler, işleri farklı yapmak daha iyidir. Eşitlikten eşitsizliği çıkarın. Bunun gibi:
4x - 3 = 0
Bunu öğretildiği gibi sakince çözün ve cevabı alın:
x = 0,75
Önemli olan, en sonunda, son cevabı yazarken x'i bulduğumuzu unutmayın. eşitlik. Ve ihtiyacımız var - eşitsizlik. Dolayısıyla bu X'e aslında ihtiyacımız yok.) Ve onu doğru sembolle yazmamız gerekiyor:
X ≠ 0,75
Bu yaklaşımla ortaya çıkıyor daha az hata. Denklemleri otomatik olarak çözenler. Ve denklemleri çözemeyenler için eşitsizliklerin aslında hiçbir faydası yok...) Popüler bir göreve bir başka örnek:
3. Eşitsizliğin en küçük tamsayı çözümünü bulun:
3(x - 1) < 5x + 9
Öncelikle eşitsizliği çözüyoruz. Parantezleri açıyoruz, hareket ettiriyoruz, benzerlerini getiriyoruz... Elde ediyoruz:
X > - 6
Bu şekilde yürümedi mi? İşaretleri takip ettin mi? Ve üye işaretlerinin arkasında, eşitsizlik işaretinin arkasında...
Tekrar düşünelim. bulmamız lazım belirli sayı, hem cevaba hem de koşula uygun "en küçük tamsayı". Eğer hemen aklınıza gelmezse, herhangi bir sayıyı alıp çözebilirsiniz. İki bölü eksi altı mı? Kesinlikle! Uygun daha küçük bir sayı var mı? Elbette. Örneğin sıfır -6'dan büyüktür. Ve hatta daha az mı? Mümkün olan en küçük şeye ihtiyacımız var! Eksi üç eksi altıdan fazladır! Zaten modeli yakalayabilir ve aptalca sayıların üzerinden geçmeyi bırakabilirsiniz, değil mi?)
-6'ya yakın bir sayı alalım. Örneğin -5. Cevap yerine getirildi, -5 > - 6. -5'ten küçük, -6'dan büyük başka bir sayı bulmak mümkün müdür? Mesela -5.5... Dur! bize söylendi tümçözüm! -5.5 atmıyor! Peki ya eksi altı? Uh-uh! Eşitsizlik kesindir, eksi 6 hiçbir şekilde eksi 6'dan küçük değildir!
Bu nedenle doğru cevap -5'tir.
Umarım bir dizi değerle genel çözüm her şey açık. Başka bir örnek:
4. Eşitsizliği çözün:
7 < 3x+1 < 13
Vay! Bu ifade denir üçlü eşitsizlik Aslına bakılırsa bu, eşitsizlikler sisteminin kısaltılmış bir şeklidir. Ancak bu tür üçlü eşitsizliklerin hala bazı görevlerde çözülmesi gerekiyor... Herhangi bir sistem olmadan çözülebilir. Aynı özdeş dönüşümlere göre.
Bu eşitsizliği basitleştirmemiz, saf X'e getirmemiz gerekiyor. Ama... Ne nereye taşınmalı?! Burası sola ve sağa hareket etmenin önemli olduğunu hatırlamanın zamanı geldi kısa biçimİlk kimlik dönüşümü.
A tam formşöyle geliyor: Denklemin her iki tarafına da herhangi bir sayı veya ifade eklenebilir/çıkarılabilir (eşitsizlik).
Burada üç bölüm var. Yani her üç parçaya da aynı dönüşümleri uygulayacağız!
O halde eşitsizliğin orta kısmındaki birimden kurtulalım. Orta kısmın tamamından bir çıkaralım. Eşitsizliğin değişmemesi için kalan iki kısımdan bir çıkarıyoruz. Bunun gibi:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Bu daha iyi, değil mi?) Geriye kalan tek şey üç parçayı da üçe bölmek:
2 < X < 4
İşte bu. Cevap bu. X, ikiden (dahil değil) dörde (dahil değil) kadar herhangi bir sayı olabilir. Bu cevap da aralıklarla yazılır; bu tür girişler ikinci dereceden eşitsizliklerde olacaktır. İşte bunlar en yaygın olanlardır.
Dersin sonunda en önemli şeyi tekrarlayacağım. Çözümde başarı doğrusal eşitsizlikler doğrusal denklemleri dönüştürme ve basitleştirme yeteneğine bağlıdır. Eğer aynı zamanda eşitsizlik işaretine dikkat edin, herhangi bir sorun olmayacak. Senin için dilediğim şey bu. Sorun yok.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.