สมการที่มีตัวแปรแยกจากกัน สมการที่แยกออกจากกัน

บ่อยครั้งที่การกล่าวถึงสมการเชิงอนุพันธ์ทำให้นักเรียนรู้สึกไม่เป็นที่พอใจ ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? บ่อยที่สุดเนื่องจากเมื่อศึกษาพื้นฐานของวัสดุจะมีช่องว่างความรู้เกิดขึ้นเนื่องจากการที่การศึกษาตัวกระจายต่อไปกลายเป็นเพียงการทรมาน ยังไม่แน่ชัดว่าจะทำอย่างไร ตัดสินใจอย่างไร จะเริ่มตรงไหน?

อย่างไรก็ตาม เราจะพยายามแสดงให้คุณเห็นว่าตัวกระจายกลิ่นนั้นไม่ยากอย่างที่คิด

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์

จากโรงเรียนเรารู้สมการที่ง่ายที่สุดซึ่งเราต้องค้นหา x ที่ไม่รู้จัก ในความเป็นจริง สมการเชิงอนุพันธ์แตกต่างเพียงเล็กน้อยจากพวกเขา - แทนที่จะเป็นตัวแปร เอ็กซ์ คุณต้องค้นหาฟังก์ชันในนั้น ใช่(x) ซึ่งจะทำให้สมการกลายเป็นอัตลักษณ์

สมการเชิงอนุพันธ์มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่ง นี่ไม่ใช่คณิตศาสตร์เชิงนามธรรมที่ไม่เกี่ยวข้องกับโลกรอบตัวเรา กระบวนการทางธรรมชาติที่แท้จริงหลายอย่างอธิบายไว้โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น การสั่นของสาย การเคลื่อนที่ของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในปัญหากลศาสตร์ ค้นหาความเร็วและความเร่งของร่างกาย อีกด้วย ธอมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านชีววิทยา เคมี เศรษฐศาสตร์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย

สมการเชิงอนุพันธ์ (ธอ) คือสมการที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y(x) ตัวฟังก์ชันเอง ตัวแปรอิสระ และพารามิเตอร์อื่นๆ ในชุดค่าผสมต่างๆ

สมการเชิงอนุพันธ์มีหลายประเภท: สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์แบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและสูงกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย และอื่นๆ

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชันที่เปลี่ยนสมการให้มีเอกลักษณ์ มีวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไปและเฉพาะสำหรับรีโมทคอนโทรล

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือชุดคำตอบทั่วไปที่แปลงสมการให้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ผลเฉลยบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์คือผลเฉลยที่ตรงตามเงื่อนไขเพิ่มเติมที่ระบุไว้ในตอนแรก

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยลำดับสูงสุดของอนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเป็นสมการที่มีตัวแปรอิสระตัวเดียว

ลองพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ง่ายที่สุดของลำดับแรก ดูเหมือนว่า:

สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยการรวมทางด้านขวามือเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างของสมการดังกล่าว:

สมการที่แยกออกจากกัน

โดยทั่วไป สมการประเภทนี้จะมีลักษณะดังนี้:

นี่คือตัวอย่าง:

เมื่อแก้สมการดังกล่าว คุณจะต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออกให้อยู่ในรูปแบบ:

หลังจากนี้ยังคงรวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกันและรับวิธีแก้ไข

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก

สมการดังกล่าวมีลักษณะดังนี้:

โดยที่ p(x) และ q(x) คือฟังก์ชันบางส่วนของตัวแปรอิสระ และ y=y(x) คือฟังก์ชันที่ต้องการ นี่คือตัวอย่างของสมการดังกล่าว:

เมื่อแก้สมการดังกล่าว ส่วนใหญ่มักจะใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงค่าคงที่ตามอำเภอใจหรือแสดงฟังก์ชันที่ต้องการเป็นผลคูณของฟังก์ชันอื่นอีกสองฟังก์ชัน y(x)=u(x)v(x)

ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องมีการเตรียมการบางอย่าง และจะค่อนข้างยากในการ "สรุป"

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกไม่ออก

ดังนั้นเราจึงดูประเภทรีโมตคอนโทรลที่ง่ายที่สุด ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของหนึ่งในนั้นกัน ให้นี่เป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกกันไม่ออก

ก่อนอื่น มาเขียนอนุพันธ์ใหม่ในรูปแบบที่คุ้นเคยกว่านี้:

จากนั้นเราแบ่งตัวแปรนั่นคือในส่วนหนึ่งของสมการที่เรารวบรวม "ฉัน" ทั้งหมดและอีกส่วนหนึ่ง - "X":

ตอนนี้ยังคงรวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

เรารวมและรับคำตอบทั่วไปสำหรับสมการนี้:

แน่นอนว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ถือเป็นศิลปะอย่างหนึ่ง คุณต้องสามารถเข้าใจว่ามันเป็นสมการประเภทใด และเรียนรู้ที่จะเห็นว่าการเปลี่ยนแปลงใดที่ต้องทำด้วยสมการเพื่อที่จะนำไปสู่รูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ไม่ต้องพูดถึงเพียงความสามารถในการแยกความแตกต่างและบูรณาการ และเพื่อที่จะประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหา DE คุณต้องฝึกฝน (เช่นเดียวกับในทุกสิ่ง) และหากคุณไม่มีเวลาทำความเข้าใจว่าสมการเชิงอนุพันธ์ได้รับการแก้ไขอย่างไร หรือปัญหาคอชี่ติดอยู่เหมือนกระดูกในลำคอ หรือคุณไม่รู้วิธีเตรียมการนำเสนออย่างเหมาะสม โปรดติดต่อผู้เขียนของเรา ในระยะเวลาอันสั้น เราจะจัดเตรียมโซลูชันสำเร็จรูปและรายละเอียดให้กับคุณ โดยรายละเอียดที่คุณสามารถเข้าใจได้ตลอดเวลาที่สะดวกสำหรับคุณ ในระหว่างนี้ เราขอแนะนำให้ดูวิดีโอในหัวข้อ “วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์”:

พิจารณาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถลดขนาดเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันได้ ให้ตัวอย่างของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยละเอียดที่ลดเหลือสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันได้

เนื้อหา

การกำหนดปัญหา

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์
(ฉัน) ,
โดยที่ f คือฟังก์ชัน, a, b, c เป็นค่าคงที่, b ≠ 0 .
สมการนี้ลดเหลือสมการที่มีตัวแปรที่แยกกันได้

วิธีการแก้ปัญหา

มาทำการทดแทนกัน:
u = ขวาน + โดย + c
โดยที่ y คือฟังก์ชันของตัวแปร x ดังนั้น u จึงเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x ด้วย
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x
คุณ' = (ขวาน + โดย + c)′ = a + โดย′
มาทดแทนกันเถอะ (ฉัน)
u′ = a + by′ = a +b f(ขวาน + โดย + c) =ก + ข ฉ (ยู)
หรือ:
(สอง)
มาแยกตัวแปรกัน คูณด้วย dx แล้วหารด้วย a + b f (ยู). ถ้า a + b f (ยู) ≠ 0, ที่

เมื่ออินทิเกรต เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิม (ฉัน)ในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส:
(สาม) .

สรุปให้พิจารณาเป็นกรณีไป
(สี่)ก + ข ฉ (ยู) = 0.
สมมติว่าสมการนี้มี n ราก u = r i , a + b f (ริ) = 0ฉัน = 1, 2, ... น. เนื่องจากฟังก์ชัน u = r i เป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของมันเทียบกับ x จึงเท่ากับศูนย์ ดังนั้น u = r i จึงเป็นคำตอบของสมการ (สอง).
อย่างไรก็ตามสมการ (สอง)ไม่ตรงกับสมการเดิม (ฉัน)และบางทีอาจไม่ใช่คำตอบทั้งหมด u = r i ที่แสดงออกในรูปของตัวแปร x และ y ที่เป็นไปตามสมการดั้งเดิม (ฉัน).

ดังนั้นการแก้สมการดั้งเดิมจึงเป็นอินทิกรัลทั่วไป (สาม)และรากของสมการบางส่วน (สี่).

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ลดเหลือสมการที่มีตัวแปรที่แยกกันไม่ได้

แก้สมการ
(1)

มาทำการทดแทนกัน:
คุณ = x - y
เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ x และทำการแปลง:
;

คูณด้วย dx แล้วหารด้วย u 2 .

ถ้าคุณ ≠ 0แล้วเราจะได้:

มาบูรณาการกัน:

เราใช้สูตรจากตารางปริพันธ์:

คำนวณอินทิกรัล

แล้ว
;
, หรือ

การตัดสินใจร่วมกัน:
.

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีนี้ u = 0 หรือ u = x - y = 0 , หรือ
ย = x
เนื่องจาก y′ = (x)' = 1แล้ว y = x คือคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) .

;
.

อ้างอิง:
น.เอ็ม. กันเตอร์, อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.

สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรแยกกันเขียนเป็น: (1). ในสมการนี้ เทอมหนึ่งขึ้นอยู่กับ x เท่านั้น และอีกเทอมหนึ่งขึ้นอยู่กับ y เท่านั้น เมื่อรวมสมการนี้ทีละเทอม เราจะได้:
คืออินทิกรัลทั่วไปของมัน

ตัวอย่าง: ค้นหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการ:
.

วิธีแก้: สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกออกจากกัน นั่นเป็นเหตุผล
หรือ
มาแสดงกันเถอะ
. แล้ว
– อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

สมการที่แยกได้มีรูปแบบ (2). สมการ (2) สามารถลดลงเป็นสมการ (1) ได้อย่างง่ายดายโดยการหารทีละเทอม
. เราได้รับ:

– อินทิกรัลทั่วไป

ตัวอย่าง:แก้สมการ .

วิธีแก้ไข: แปลงด้านซ้ายของสมการ: . หารทั้งสองข้างของสมการด้วย


วิธีแก้ไขคือนิพจน์:
เหล่านั้น.

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ สมการของเบอร์นูลลี สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก

สมการของรูปแบบเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน, ถ้า
และ
– ฟังก์ชันเอกพันธ์ในลำดับเดียวกัน (มิติ) การทำงาน
เรียกว่าฟังก์ชันเอกพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง (การวัด) หากเมื่ออาร์กิวเมนต์แต่ละข้อถูกคูณด้วยปัจจัยที่กำหนดเอง ฟังก์ชันทั้งหมดจะถูกคูณด้วย , เช่น.
=
.

สมการเอกพันธ์สามารถลดลงเป็นรูปแบบได้
. การใช้การทดแทน
(
) สมการเอกพันธ์จะลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกส่วนได้ซึ่งสัมพันธ์กับฟังก์ชันใหม่ .

สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งเรียกว่า เชิงเส้นถ้าเขียนได้ในรูป
.

วิธีเบอร์นูลลี

การแก้สมการ
ถูกค้นหาเป็นผลคูณของฟังก์ชันอื่นอีกสองฟังก์ชัน กล่าวคือ โดยใช้การทดแทน
(
).

ตัวอย่าง:รวมสมการ
.

พวกเราเชื่อว่า
. แล้วนั่นคือ . ก่อนอื่นเราแก้สมการ
=0:


.

ตอนนี้เราแก้สมการแล้ว
เหล่านั้น.


. ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ
เหล่านั้น.

สมการของเจ. เบอร์นูลลี

สมการของแบบฟอร์ม โดยที่
เรียกว่า สมการของเบอร์นูลลี สมการนี้แก้ได้โดยวิธีเบอร์นูลลี

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมสัมประสิทธิ์คงที่

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ของลำดับที่สองคือสมการของรูปแบบ (1) , ที่ไหน และ ถาวร.

เราจะหาคำตอบบางส่วนของสมการ (1) ในรูปแบบ
, ที่ไหน ถึง– จำนวนที่แน่นอน สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชันนี้สองครั้งและแทนที่นิพจน์ด้วย
เข้าไปในสมการ (1) เราได้นั่นคือหรือ
(2) (
).

สมการที่ 2 เรียกว่าสมการคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์

เมื่อแก้สมการคุณลักษณะ (2) จะเป็นไปได้สามกรณี

กรณีที่ 1ราก และ สมการ (2) เป็นจริงและแตกต่าง:

และ

.

กรณีที่ 2ราก และ สมการ (2) เป็นจริงและเท่ากัน:
. ในกรณีนี้ ผลเฉลยบางส่วนของสมการ (1) คือฟังก์ชัน
และ
. ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (1) จึงมีรูปแบบ
.

กรณีที่ 3ราก และ สมการ (2) มีความซับซ้อน:
,
. ในกรณีนี้ ผลเฉลยบางส่วนของสมการ (1) คือฟังก์ชัน
และ
. ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (1) จึงมีรูปแบบ

ตัวอย่าง.แก้สมการ
.

สารละลาย:มาสร้างสมการลักษณะเฉพาะกัน:
. แล้ว
. คำตอบทั่วไปของสมการนี้
.

สุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว สุดขั้วแบบมีเงื่อนไข

สุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

คำนิยาม.จุด M (x โอ ,ย โอ ) ถูกเรียกจุดสูงสุด (ขั้นต่ำ) ฟังก์ชั่นz= ฉ(x, y) หากมีย่านใกล้เคียงของจุด M ดังนั้นทุกจุด (x, y) จากย่านนี้จะมีความไม่เท่าเทียมกัน
(
)

ในรูป 1 คะแนน ก
- มีจุดต่ำสุดและมีจุด ใน
- จุดสูงสุด

จำเป็นสภาวะสุดขั้วเป็นอะนาล็อกหลายมิติของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์

ทฤษฎีบท.ปล่อยให้ประเด็น
– คือจุดปลายสุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์z= ฉ(x, ย) แล้วอนุพันธ์ย่อย
และ
วีณ จุดนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

จุดที่ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน z= ฉ(x, ย)เหล่านั้น. อนุพันธ์บางส่วน z" x และ z" ย มีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า วิกฤตหรือ เครื่องเขียน.

ความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์บางส่วนต่อศูนย์เป็นเพียงเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ยังไม่เพียงพอสำหรับฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรหลายตัว

ในรูป สิ่งที่เรียกว่า จุดอาน M (x โอ ,ย โอ ). อนุพันธ์บางส่วน
และ
เท่ากับศูนย์ แต่ชัดเจนว่าไม่มีจุดสุดขั้วที่จุดนั้น ม(x โอ ,ย โอ ) เลขที่

จุดอานดังกล่าวเป็นแบบอะนาล็อกสองมิติของจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว ความท้าทายคือการแยกพวกเขาออกจากจุดสุดขั้ว กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณต้องรู้ เพียงพอสภาพสุดขีด

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขเพียงพอสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว)ให้ฟังก์ชันz= ฉ(x, ย):ก) ที่กำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดวิกฤติ (x โอ ,ย โอ ) โดยที่
=0 และ
=0 ;

ข) มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องของลำดับที่สอง ณ จุดนี้
;

;
จากนั้น ถ้า ∆=AC-B 2 >0, จากนั้นถึงจุด (x โอ ,ย โอ ) การทำงานz= ฉ(x, y) มีปลายสุด และถ้าก<0 - สูงสุดถ้าเอ>0 - ขั้นต่ำ ในกรณี ∆=AC-B 2 <0, функция z= ฉ(x, y) ไม่มีจุดสิ้นสุด ถ้า ∆=AC-B 2 =0 ดังนั้นคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของจุดสุดขั้วยังคงเปิดอยู่

ศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่ปลายสุดขอแนะนำให้ดำเนินการดังต่อไปนี้ แผนภาพ:

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน z" x และ z" ย .

แก้ระบบสมการ z" x =0, z" ย =0 และหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน

ค้นหาอนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง คำนวณค่า ณ จุดวิกฤติแต่ละจุด และใช้เงื่อนไขที่เพียงพอ สรุปเกี่ยวกับการมีอยู่ของสุดขั้ว

ค้นหาค่าสุดขีด (ค่าสุดขีด) ของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

สารละลาย. 1. ค้นหาอนุพันธ์บางส่วน

2. เราค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันจากระบบสมการ:

มีสี่คำตอบ (1; 1), (1; -1), (-1; 1) และ (-1; -1)

3. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง:

;
;
เราคำนวณค่าของมันในแต่ละจุดวิกฤติและตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขสุดขั้วที่เพียงพอ

เช่น ณ จุด (1; 1) ก= z"(1; 1)= -1; ข=0; ค= -1. เพราะ ∆ =เอซี-บี 2 = (-1) 2 -0=1 >0 และ A=-1<0, แล้วจุด (1; 1) คือจุดสูงสุด

ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดว่า (-1; -1) คือจุดต่ำสุด และที่จุด (1; -1) และ (-1; 1) ซึ่ง ∆ =เอซี-บี 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. จงหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

สุดขั้วแบบมีเงื่อนไข วิธีตัวคูณลากรองจ์

ให้เราพิจารณาปัญหาเฉพาะของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว เมื่อหาค่าสุดโต่งของตัวแปรนั้นไม่ครอบคลุมขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด แต่ค้นหาเซตที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ

ให้เราพิจารณาฟังก์ชัน z = ฉ(x, ย), ข้อโต้แย้ง เอ็กซ์และ ที่ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข ก(x,y)= กับ,เรียกว่า สมการการเชื่อมต่อ

คำนิยาม.จุด
เรียกว่าจุดเงื่อนไขสูงสุด (ขั้นต่ำ) ถ้ามีย่านใกล้เคียงของจุดนี้จนทุกจุด (x,y) จากย่านนี้ตรงตามเงื่อนไขก (x, ย) = C ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่

(
).

ในรูป จุดสูงสุดแบบมีเงื่อนไขจะปรากฏขึ้น
. แน่นอนว่านี่ไม่ใช่จุดสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน z = ฉ(x, ย) (ในรูปนี้คือจุด
).

วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาค่าสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวคือการลดปัญหาให้เหลือเพียงการหาค่าปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ให้เราสมมติสมการการเชื่อมต่อ ก (x, ย) = กับจัดการเพื่อแก้ไขด้วยความเคารพต่อตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง เช่น เพื่อแสดง ที่ผ่าน เอ็กซ์:
. เมื่อแทนนิพจน์ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เราจะได้ z = ฉ(x, ย) =
, เหล่านั้น. ฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ปลายสุดของมันจะเป็นปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน z = ฉ(x, ย).

ตัวอย่าง. เอ็กซ์ 2 + ย 2 ระบุว่า 3x +2y = 11.

สารละลาย. จากสมการ 3x + 2y = 11 เราแสดงตัวแปร y ผ่านตัวแปร x และแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้
เพื่อทำหน้าที่ z เราได้รับ z= x 2 +2
หรือ z =
. ฟังก์ชันนี้มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ = 3. ค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน
ดังนั้น (3; 1) จึงเป็นจุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข (ขั้นต่ำ)

ในตัวอย่างที่พิจารณาคือสมการการมีเพศสัมพันธ์ ก(x, y) = คกลายเป็นเชิงเส้น ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยคำนึงถึงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้ไม่สามารถทำได้

หากต้องการค้นหาภาวะสุดโต่งแบบมีเงื่อนไขในกรณีทั่วไป เราใช้ วิธีตัวคูณลากรองจ์

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์ก - ตัวคูณลากรองจ์ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท.ถ้าตรงประเด็น
คือจุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันz = ฉ(x, ย) ให้สิ่งนั้นก (x, ย) = C แล้วมีค่า จุดนั้น
คือจุดปลายสุดของฟังก์ชันล{ x, ย, ).

ดังนั้น เพื่อหาค่าปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน z = ฉ(x,y)ระบุว่า ก(x, ย) = คต้องหาทางแก้ไขให้กับระบบ

ในรูป แสดงความหมายทางเรขาคณิตของเงื่อนไขของลากรองจ์ เส้น ก(x,y)= C เส้นประ เส้นระดับ ก(x, ย) = ถาม ฟังก์ชัน z = ฉ(x, ย) แข็ง.

จากรูป ตามนั้น ที่จุดสุดขั้วตามเงื่อนไขที่เส้นระดับฟังก์ชันซี = ฉ(x, ย) สัมผัสเส้นก(x, ย) = ส.

ตัวอย่าง.ค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน z = เอ็กซ์ 2 + ย 2 ระบุว่า 3x +2y = 11 โดยใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์

สารละลาย. การคอมไพล์ฟังก์ชันลากรองจ์ ล= x 2 +2у 2 +

เมื่อเทียบอนุพันธ์ย่อยให้เป็นศูนย์ เราจะได้ระบบสมการ

ทางออกเดียวเท่านั้น (x=3, y=1, =-2). ดังนั้น จุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขสามารถเป็นจุดได้เท่านั้น (3;1) มันง่ายที่จะตรวจสอบว่า ณ จุดนี้ฟังก์ชั่น z= ฉ(x, ย) มีเงื่อนไขขั้นต่ำ

ภาษาอังกฤษ: Wikipedia กำลังทำให้ไซต์มีความปลอดภัยมากขึ้น คุณกำลังใช้เว็บเบราว์เซอร์รุ่นเก่าซึ่งจะไม่สามารถเชื่อมต่อกับวิกิพีเดียได้ในอนาคต โปรดอัปเดตอุปกรณ์ของคุณหรือติดต่อผู้ดูแลระบบไอทีของคุณ

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，请更新IT ）。

สเปน: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay unaactualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ฝรั่งเศส: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un exploreur web ancien, qui ne pourra plus se เชื่อมต่อ à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. ข้อมูลเสริมพร้อมทั้งเทคนิคและภาษาอังกฤษอื่นๆ

日本語: ??? ??? IT情報HA以下に英語で提供しています。

เยอรมัน:วิกิพีเดีย erhöht die Sicherheit der Webseite Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte Aktualisiere เป็นผู้รับผิดชอบด้าน IT-Administrator และ Ausführlichere (และ technisch detailliertere) Hinweise พบ Du unten ในภาษาอังกฤษ Sprache

อิตาเลียโน่:วิกิพีเดีย sta rendendo il sito più sicuro ใช้เบราว์เซอร์เว็บ che non sarà ใน grado di connettersi และ Wikipedia ในอนาคต ตามที่ต้องการ aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico Più ในบาสโซ è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico ในภาษาอิงเกิล

แมกยาร์: Biztonságosabb lesz ในวิกิพีเดีย A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (อันโกลุล).

สเวนสกา:วิกิพีเดีย gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia และ framtiden. อัปเดตข้อมูลติดต่อโดยผู้ดูแลระบบไอที ฟินน์ en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

เรากำลังลบการสนับสนุนสำหรับเวอร์ชันโปรโตคอล TLS ที่ไม่ปลอดภัย โดยเฉพาะ TLSv1.0 และ TLSv1.1 ซึ่งซอฟต์แวร์เบราว์เซอร์ของคุณใช้เชื่อมต่อกับไซต์ของเรา ซึ่งมักเกิดจากเบราว์เซอร์ที่ล้าสมัยหรือสมาร์ทโฟน Android รุ่นเก่า หรืออาจเป็นสัญญาณรบกวนจากซอฟต์แวร์ "ความปลอดภัยทางเว็บ" ขององค์กรหรือส่วนบุคคล ซึ่งจะทำให้ความปลอดภัยในการเชื่อมต่อลดลง

คุณต้องอัปเกรดเว็บเบราว์เซอร์ของคุณหรือแก้ไขปัญหานี้เพื่อเข้าถึงเว็บไซต์ของเรา ข้อความนี้จะยังคงอยู่จนถึงวันที่ 1 มกราคม 2020 หลังจากวันดังกล่าว เบราว์เซอร์ของคุณจะไม่สามารถสร้างการเชื่อมต่อกับเซิร์ฟเวอร์ของเราได้

คำนิยาม 7สมการของรูปแบบเรียกว่าสมการด้วย ตัวแปรที่แยกได้.

สมการนี้สามารถลดลงเป็นรูปแบบได้โดยการหารเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยผลคูณ

เช่น แก้สมการ

สารละลาย. อนุพันธ์มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายถึง

เมื่อแยกตัวแปรเราจะได้:

.

ตอนนี้เรามารวมเข้าด้วยกัน:

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. นี่คือสมการลำดับที่หนึ่งที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันได้ เพื่อแยกตัวแปรของสมการนี้ให้อยู่ในรูป และแบ่งเป็นระยะๆ ออกเป็นผลิตภัณฑ์ เป็นผลให้เราได้รับ หรือ

เมื่อรวมสมการทั้งสองข้างของสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน เราจะได้คำตอบทั่วไป

อาร์คซิน y = อาร์คซิน x + C

ตอนนี้ให้เราหาคำตอบเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น เราได้การแทนที่เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

; โดยที่ C=0

ดังนั้น คำตอบเฉพาะจึงมีรูปแบบ arc sin y=arc sin x แต่ไซน์ของส่วนโค้งเท่ากันจะเท่ากัน

บาป(อาร์คซิน y) = บาป(อาร์คซิน x)

ซึ่งตามคำจำกัดความของอาร์คไซน์ จะได้ว่า y = x

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์

คำจำกัดความ 8สมการอนุพันธ์ของรูปแบบที่สามารถลดรูปลงได้เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นเนื้อเดียวกัน.

เพื่อรวมสมการดังกล่าว สมมติว่ามีการเปลี่ยนแปลงตัวแปร . การทดแทนนี้ส่งผลให้เกิดสมการเชิงอนุพันธ์ของ x และ t ซึ่งตัวแปรต่างๆ จะถูกแยกออกจากกัน หลังจากนั้นจึงสามารถรวมสมการเข้าด้วยกันได้ เพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย ตัวแปร t ต้องถูกแทนที่ด้วย

ตัวอย่างเช่น,แก้สมการ

สารละลาย. ลองเขียนสมการใหม่ดังนี้:

เราได้รับ:

หลังจากยกเลิก x 2 เรามี:

แทนที่ t ด้วย:

ทบทวนคำถาม

1 สมการใดเรียกว่าอนุพันธ์

2 ตั้งชื่อประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์

3 อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการที่มีชื่อทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:เราเขียนอนุพันธ์ใหม่ในรูปแบบที่เราต้องการ:

เราประเมินว่าสามารถแยกตัวแปรได้หรือไม่? สามารถ. เราย้ายเทอมที่สองไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

และเราโอนตัวคูณตามกฎสัดส่วน:

ตัวแปรถูกแยกออกจากกัน มารวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

ฉันต้องเตือนคุณว่าวันพิพากษาใกล้เข้ามาแล้ว ถ้าเรียนไม่เก่ง อินทิกรัลไม่ จำกัดแก้ไขตัวอย่างแล้วไม่มีที่ไป - คุณจะต้องเชี่ยวชาญมันตอนนี้

อินทิกรัลของด้านซ้ายหาได้ง่าย เราจัดการกับอินทิกรัลของโคแทนเจนต์โดยใช้เทคนิคมาตรฐานที่เราดูในบทเรียน การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติปีที่แล้ว:

ทางด้านขวา เรามีลอการิทึม ตามคำแนะนำทางเทคนิคแรกของฉัน ในกรณีนี้ ค่าคงที่ควรเขียนไว้ใต้ลอการิทึมด้วย

ทีนี้เราพยายามจัดรูปอินทิกรัลทั่วไปให้ง่ายขึ้น เนื่องจากเรามีเพียงลอการิทึม จึงค่อนข้างเป็นไปได้ (และจำเป็น) ที่จะกำจัดพวกมันออกไป เรา "แพ็ค" ลอการิทึมให้มากที่สุด บรรจุภัณฑ์ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติสามประการ:

โปรดคัดลอกสูตรทั้งสามนี้ลงในสมุดงานของคุณ ซึ่งใช้บ่อยมากเมื่อแก้ไขการแพร่กระจาย

ฉันจะอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด:

การบรรจุเสร็จสมบูรณ์ ลบลอการิทึมออก:

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดง "เกม"? สามารถ. จำเป็นต้องยกกำลังทั้งสองส่วน แต่คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้

เคล็ดลับทางเทคนิคประการที่สาม:หากจะได้วิธีแก้ไขทั่วไปก็จำเป็นต้องยกกำลังหรือหยั่งรากแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่คุณควรละเว้นการกระทำเหล่านี้และปล่อยให้คำตอบอยู่ในรูปอินทิกรัลทั่วไป ความจริงก็คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะดูอวดรู้และแย่มาก - มีรากและสัญญาณขนาดใหญ่

ดังนั้นเราจึงเขียนคำตอบในรูปของอินทิกรัลทั่วไป ถือเป็นแนวปฏิบัติที่ดีที่จะนำเสนออินทิกรัลทั่วไปในรูปแบบ ซึ่งหากเป็นไปได้ ให้ปล่อยไว้ทางด้านขวาเท่านั้น ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่การเอาใจอาจารย์จะเป็นประโยชน์เสมอ ;-)

คำตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

บันทึก: อินทิกรัลทั่วไปของสมการใดๆ สามารถเขียนได้มากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น หากผลลัพธ์ของคุณไม่ตรงกับคำตอบที่ทราบก่อนหน้านี้ ไม่ได้หมายความว่าคุณแก้สมการไม่ถูกต้อง

อินทิกรัลทั่วไปนั้นค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบ สิ่งสำคัญคือต้องค้นหาได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย. มาแยกคำตอบกันดีกว่า:

เราคูณทั้งสองพจน์ด้วย:

และหารด้วย:

ได้สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมมาทุกประการ ซึ่งหมายความว่าหาอินทิกรัลทั่วไปได้ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้น ดำเนินการตรวจสอบ

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ฉันขอเตือนคุณว่าปัญหา Cauchy ประกอบด้วยสองขั้นตอน:
1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
2) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

การตรวจสอบยังดำเนินการในสองขั้นตอน (ดูตัวอย่างที่ 2) คุณต้อง:
1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่พบนั้นตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นจริงๆ
2) ตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหาเฉพาะโดยทั่วไปเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์

เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ตัวอย่างที่ 5

หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น ดำเนินการตรวจสอบ

สารละลาย:ก่อนอื่น เรามาหาวิธีแก้ทั่วไปกันก่อน สมการนี้ มีดิฟเฟอเรนเชียลสำเร็จรูปอยู่แล้ว ดังนั้น วิธีแก้จึงถูกทำให้ง่ายขึ้น เราแยกตัวแปร:

มารวมสมการกัน:

อินทิกรัลทางด้านซ้ายเป็นตาราง อินทิกรัลทางด้านขวาจะถูกนำไปใช้ วิธีการรวมฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล:

ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้สำเร็จ สามารถ. เราแขวนลอการิทึม:

(หวังว่าทุกคนจะเข้าใจการเปลี่ยนแปลง เรื่องแบบนี้ก็น่าจะรู้อยู่แล้ว)

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

ลองหาคำตอบเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "X" เราจะแทนที่ศูนย์ และแทนที่จะเป็น "Y" เราแทนที่ลอการิทึมของสอง:

การออกแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น:

เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่ลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

คำตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

ตรวจสอบ: ขั้นแรก ให้ตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่:
- ทุกอย่างเป็นสิ่งที่ดี.

ทีนี้ ลองตรวจสอบว่าคำตอบเฉพาะที่พบเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์หรือไม่ ค้นหาอนุพันธ์:

ลองดูสมการดั้งเดิม: – มันถูกนำเสนอในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล มีสองวิธีในการตรวจสอบ สามารถแสดงส่วนต่างจากอนุพันธ์ที่พบได้:

ให้เราแทนที่วิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่พบและผลต่างผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิม :

เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

วิธีที่สองของการตรวจสอบเป็นแบบมิเรอร์และคุ้นเคยมากขึ้น: จากสมการ ลองแสดงอนุพันธ์โดยหารชิ้นส่วนทั้งหมดด้วย:

และใน DE ที่ถูกแปลงเราจะแทนที่สารละลายบางส่วนที่ได้รับและอนุพันธ์ที่พบ ผลจากการลดความซับซ้อนควรได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องด้วย

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ นำเสนอคำตอบในรูปของอินทิกรัลทั่วไป

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้โจทย์ด้วยตัวเอง กรอกคำตอบและตอบในตอนท้ายของบทเรียน

มีปัญหาอะไรรออยู่เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกกันไม่ได้?

1) ไม่ชัดเจนเสมอไป (โดยเฉพาะกับกาน้ำชา) ที่สามารถแยกตัวแปรได้ ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีเงื่อนไข: . ที่นี่คุณต้องนำปัจจัยออกจากวงเล็บ: และแยกราก: . ชัดเจนว่าจะต้องทำอะไรต่อไป

2) ความยากลำบากในการบูรณาการนั่นเอง อินทิกรัลมักไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด และหากมีข้อบกพร่องในทักษะการค้นหา อินทิกรัลไม่ จำกัดแล้วจะเป็นเรื่องยากกับตัวกระจายสัญญาณหลายตัว นอกจากนี้ ตรรกะ “เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์นั้นง่าย แล้วปล่อยให้อินทิกรัลมีความซับซ้อนมากขึ้น” เป็นที่นิยมในหมู่ผู้รวบรวมคอลเลกชันและคู่มือการฝึกอบรม

3) การเปลี่ยนแปลงที่มีค่าคงที่ อย่างที่ทุกคนสังเกตเห็น คุณสามารถทำอะไรได้เกือบทุกอย่างโดยมีค่าคงที่ในสมการเชิงอนุพันธ์ และการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่สามารถเข้าใจได้สำหรับผู้เริ่มต้นเสมอไป ลองดูตัวอย่างเงื่อนไขอื่น: . ขอแนะนำให้คูณเงื่อนไขทั้งหมดด้วย 2: . ค่าคงที่ผลลัพธ์ก็เป็นค่าคงที่บางประเภทเช่นกัน ซึ่งสามารถแสดงได้โดย: . ใช่ และเนื่องจากมีลอการิทึมอยู่ทางด้านขวา จึงแนะนำให้เขียนค่าคงที่ใหม่ในรูปแบบของค่าคงที่อื่น: .

ปัญหาคือพวกเขามักจะไม่สนใจดัชนีและใช้ตัวอักษรตัวเดียวกัน และด้วยเหตุนี้ เรกคอร์ดโซลูชันจึงอยู่ในแบบฟอร์มต่อไปนี้:

นี่มันบ้าอะไรเนี่ย? นอกจากนี้ยังมีข้อผิดพลาด อย่างเป็นทางการใช่ แต่อย่างไม่เป็นทางการ - ไม่มีข้อผิดพลาด เป็นที่เข้าใจกันว่าเมื่อแปลงค่าคงที่จะยังคงได้รับค่าคงที่อื่น ๆ

หรือตัวอย่างนี้ สมมติว่าในระหว่างการแก้สมการ จะได้อินทิกรัลทั่วไป คำตอบนี้ดูน่าเกลียด ดังนั้นจึงแนะนำให้เปลี่ยนสัญญาณของปัจจัยทั้งหมด: . ตามบันทึกอย่างเป็นทางการ มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นอีกครั้ง ควรเขียนบันทึกไว้ แต่เข้าใจอย่างไม่เป็นทางการว่ามันยังคงเป็นค่าคงที่อื่น ๆ (ยิ่งกว่านั้นสามารถรับค่าใดก็ได้) ดังนั้นการเปลี่ยนเครื่องหมายของค่าคงที่จึงไม่สมเหตุสมผลและคุณสามารถใช้ตัวอักษรตัวเดียวกันได้

ฉันจะพยายามหลีกเลี่ยงแนวทางที่ไม่ระมัดระวัง และยังคงกำหนดดัชนีที่แตกต่างกันให้กับค่าคงที่เมื่อแปลงค่าเหล่านั้น

ตัวอย่างที่ 7

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ ดำเนินการตรวจสอบ

สารละลาย:สมการนี้ช่วยให้สามารถแยกตัวแปรได้ เราแยกตัวแปร:

มาบูรณาการกัน:

ไม่จำเป็นต้องกำหนดค่าคงที่ตรงนี้เป็นลอการิทึม เนื่องจากจะไม่มีประโยชน์อะไรจากสิ่งนี้

คำตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

ตรวจสอบ: แยกความแตกต่างคำตอบ (ฟังก์ชันโดยนัย):

เรากำจัดเศษส่วนโดยการคูณทั้งสองพจน์ด้วย:

ได้รับสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมแล้ว ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ DE
,

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ความคิดเห็นเดียวก็คือว่า คุณจะได้อินทิกรัลทั่วไป และถ้าพูดให้ถูกต้องกว่านั้น คุณต้องคิดค้นเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง แต่ อินทิกรัลบางส่วน. เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ดังที่กล่าวไปแล้ว ในการกระจัดกระจายกับตัวแปรที่แบ่งแยกได้ ไม่ใช่อินทิกรัลที่ง่ายที่สุดมักจะเกิดขึ้น และนี่คือตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง ฉันแนะนำให้ทุกคนแก้ตัวอย่างที่ 9-10 โดยไม่คำนึงถึงระดับการเตรียมตัว ซึ่งจะช่วยให้พวกเขาปรับปรุงทักษะในการค้นหาอินทิกรัลหรือเติมช่องว่างในความรู้

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 10

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

โปรดจำไว้ว่ามีวิธีเขียนอินทิกรัลทั่วไปได้มากกว่าหนึ่งวิธี และลักษณะของคำตอบอาจแตกต่างไปจากลักษณะของคำตอบของฉัน คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

โปรโมชั่นสุดคุ้ม!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4:สารละลาย: เรามาหาวิธีแก้ไขทั่วไปกัน เราแยกตัวแปร:


มาบูรณาการกัน:



ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เรากำลังพยายามทำให้มันง่ายขึ้น มารวมลอการิทึมและกำจัดมัน:

เราแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจนโดยใช้ .
การตัดสินใจร่วมกัน:

ลองหาคำตอบเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นกัน .
วิธีที่หนึ่ง แทนที่จะเป็น "X" เราแทนที่ 1 แทนที่จะเป็น "Y" เราแทนที่ "e":
.
วิธีที่สอง:

แทนค่าที่พบของค่าคงที่ ให้เป็นโซลูชั่นทั่วไป
คำตอบ: โซลูชันส่วนตัว:

ตรวจสอบ: เราตรวจสอบว่าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นไปตามจริงหรือไม่:
ใช่ สภาพเริ่มต้น เสร็จแล้ว.
เราตรวจสอบว่าโซลูชันเฉพาะนั้นน่าพอใจหรือไม่ สมการเชิงอนุพันธ์. ก่อนอื่นเราจะหาอนุพันธ์:

ให้เราแทนที่ผลลัพธ์เฉพาะที่ได้ และอนุพันธ์ที่พบ เข้าสู่สมการเดิม :

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 6:สารละลาย: สมการนี้ช่วยให้สามารถแยกตัวแปรได้ เราแยกตัวแปรและรวม:




คำตอบ: อินทิกรัลทั่วไป:

หมายเหตุ: ที่นี่ คุณจะได้รับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

แต่ตามเคล็ดลับทางเทคนิคข้อที่สามของฉัน ไม่แนะนำให้ทำเช่นนี้เพราะมันดูเป็นคำตอบที่ค่อนข้างห่วย

ตัวอย่างที่ 8:สารละลาย: รีโมทคอนโทรลนี้ช่วยให้สามารถแยกตัวแปรได้ เราแยกตัวแปร:



มาบูรณาการกัน:


อินทิกรัลทั่วไป:
ให้เราค้นหาคำตอบเฉพาะ (อินทิกรัลบางส่วน) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด . แทนลงในสารละลายทั่วไป และ :

คำตอบ: อินทิกรัลบางส่วน:
โดยหลักการแล้ว คุณสามารถรวมคำตอบเข้าด้วยกันและคุณจะได้คำตอบที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น .