จะแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร? จะแก้สมการเชิงเส้นในตัวแปรตัวเดียวได้อย่างไร? สมการเชิงเส้นที่มีคำจำกัดความตัวแปรเดียว

สมการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้สมการทั้งหมดเริ่มต้นด้วยการแปลงเหล่านี้ เมื่อแก้สมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) จะขึ้นอยู่กับการแปลงเอกลักษณ์และจบลงด้วยคำตอบสุดท้าย

กรณีของสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ขวาน+b=0, ≠ 0

เราย้ายพจน์ที่มี X ไปด้านหนึ่ง และย้ายตัวเลขไปอีกด้านหนึ่ง อย่าลืมว่าเมื่อย้ายเทอมไปที่ด้านตรงข้ามของสมการ คุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ขวาน:(ก)=-ข:(ก)

มาย่อให้สั้นลง กที่ เอ็กซ์และเราได้รับ:

x=-ข:(ก)

นี่คือคำตอบ หากจำเป็นต้องตรวจสอบว่าเป็นตัวเลขหรือไม่ -b:(ก)รากของสมการของเรา เราก็จะต้องแทนที่สมการเริ่มต้นแทน เอ็กซ์นี่คือหมายเลข:

ก(-b:(ก))+b=0 (เหล่านั้น. 0=0)

เพราะ ความเท่าเทียมนี้ก็ถูกต้องแล้ว -b:(ก)และความจริงคือรากของสมการ

คำตอบ: x=-b:(ก), ก ≠ 0

ตัวอย่างแรก:

5x+2=7x-6

เราย้ายสมาชิกไปด้านหนึ่ง เอ็กซ์และอีกด้านหนึ่งเป็นตัวเลข:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

หากไม่ทราบ ค่าสัมประสิทธิ์จะลดลง และเราได้คำตอบ:

นี่คือคำตอบ หากคุณต้องการตรวจสอบว่าหมายเลข 4 เป็นรากของสมการของเราจริงๆ หรือไม่ เราจะแทนที่ตัวเลขนี้แทน X ในสมการดั้งเดิม:

5*4+2=7*4-6 (เหล่านั้น. 22=22)

เพราะ ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง จากนั้น 4 คือรากของสมการ

ตัวอย่างที่สอง:

แก้สมการ:

5x+14=x-49

ด้วยการเคลื่อนย้ายสิ่งที่ไม่รู้จักและตัวเลขไปในทิศทางที่ต่างกัน เราได้:

แบ่งส่วนของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ที่ x(คูณ 4) และเราได้รับ:

ตัวอย่างที่สาม:

แก้สมการ:

ขั้นแรก เรากำจัดความไร้เหตุผลของสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบโดยการคูณเงื่อนไขทั้งหมดด้วย:

แบบฟอร์มนี้ถือว่าเรียบง่ายเพราะว่า ตัวเลขนั้นมีรากของตัวเลขในตัวส่วน เราต้องจัดคำตอบให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน เราได้ดังนี้:

กรณีไม่มีทางแก้ไข

แก้สมการ:

2x+3=2x+7

ต่อหน้าทุกคน. xสมการของเราจะไม่กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง นั่นคือสมการของเราไม่มีราก

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

กรณีพิเศษคือคำตอบจำนวนอนันต์

แก้สมการ:

2x+3=2x+3

เมื่อย้าย x และตัวเลขไปในทิศทางที่ต่างกันแล้วบวกพจน์ที่คล้ายกัน เราจะได้สมการ:

ตรงนี้ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะหารทั้งสองส่วนด้วย 0 เพราะ มันเป็นสิ่งต้องห้าม อย่างไรก็ตามการวางตำแหน่ง เอ็กซ์จำนวนใดๆ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง นั่นคือทุกจำนวนเป็นคำตอบของสมการดังกล่าว จึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

คำตอบ: คำตอบจำนวนอนันต์

กรณีความเท่าเทียมกันของสองรูปแบบที่สมบูรณ์

ขวาน+b=cx+d

ขวาน-cx=d-b

(ก-ค)x=d-ข

x=(db):(a-c)

คำตอบ: x=(db):(a-c), ถ้า d≠b และ a≠cไม่อย่างนั้นก็มีวิธีแก้มากมายนับไม่ถ้วน แต่ถ้า ก=ค, ก ดี≠ขก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

สมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นไม่ใช่หัวข้อที่ยากที่สุดในคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่มีเทคนิคบางอย่างที่สามารถไขปริศนาได้แม้แต่นักเรียนที่ผ่านการฝึกอบรมแล้ว ลองคิดดูสิ?)

โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นถูกกำหนดให้เป็นสมการของรูปแบบ:

ขวาน + ข = 0 ที่ไหน ก และ ข– ตัวเลขใดก็ได้

2x + 7 = 0 ตรงนี้ ก=2, ข=7

0.1x - 2.3 = 0 ที่นี่ ก=0.1, ข=-2.3

12x + 1/2 = 0 ที่นี่ ก=12, ข=1/2

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สังเกตเห็นคำว่า: "โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ"... และถ้าคุณสังเกตและคิดอย่างไม่ระมัดระวังล่ะ?) ถ้าอย่างนั้น ก=0, ข=0(ตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้?) จากนั้นเราจะได้สำนวนตลก:

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ถ้าพูดว่า ก=0,ก ข=5,นี่กลายเป็นสิ่งที่ไร้สาระอย่างยิ่ง:

ซึ่งน่ารำคาญและบั่นทอนความมั่นใจในวิชาคณิตศาสตร์ ใช่แล้ว...) โดยเฉพาะช่วงสอบ แต่จากสำนวนแปลกๆ เหล่านี้ คุณต้องหา X ด้วย! ซึ่งไม่มีอยู่เลย และที่น่าประหลาดใจคือ X นี้หาง่ายมาก เราจะเรียนรู้การทำเช่นนี้ ในบทเรียนนี้

จะจดจำสมการเชิงเส้นตามรูปลักษณ์ได้อย่างไร? ขึ้นอยู่กับรูปลักษณ์ภายนอกด้วย) เคล็ดลับก็คือ สมการเชิงเส้นไม่ใช่แค่สมการของแบบฟอร์มเท่านั้น ขวาน + ข = 0 แต่ยังรวมถึงสมการใดๆ ที่สามารถลดทอนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้ด้วยการแปลงและทำให้ง่ายขึ้น แล้วใครจะรู้ว่าจะลงหรือเปล่า?)

ในบางกรณีสามารถจดจำสมการเชิงเส้นได้อย่างชัดเจน สมมติว่าถ้าเรามีสมการที่มีแต่ค่าที่ไม่รู้จักในระดับแรกและตัวเลขเท่านั้น และในสมการก็ไม่มี เศษส่วนหารด้วย ไม่ทราบ , มันเป็นสิ่งสำคัญ! และหารด้วย ตัวเลข,หรือเศษส่วนตัวเลข ยินดีด้วย! ตัวอย่างเช่น:

นี่คือสมการเชิงเส้น มีเศษส่วนตรงนี้ แต่ไม่มี x อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ ฯลฯ และไม่มี x ในตัวส่วน เช่น เลขที่ หารด้วย x- และนี่คือสมการ

ไม่สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้ ตรงนี้ X ล้วนอยู่ในระดับแรก แต่ก็มีอยู่ การหารด้วยนิพจน์ด้วย x- หลังจากลดความซับซ้อนและการแปลงแล้ว คุณจะได้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง หรืออะไรก็ได้ที่คุณต้องการ

ปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะจดจำสมการเชิงเส้นในตัวอย่างที่ซับซ้อนบางอย่างจนกว่าคุณจะเกือบจะแก้มันได้ นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ในงานมอบหมายตามกฎแล้วเขาไม่ถามถึงรูปแบบของสมการใช่ไหม? งานมอบหมายจะถามหาสมการ ตัดสินใจ.สิ่งนี้ทำให้ฉันมีความสุข)

การแก้สมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.

ผลเฉลยของสมการเชิงเส้นทั้งหมดประกอบด้วยการแปลงสมการที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ (สองรายการ!) เป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแก้ปัญหา ใดๆสมการเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ในกรณีของสมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) จะขึ้นอยู่กับการแปลงเหล่านี้และจบลงด้วยคำตอบแบบเต็ม ตามลิงค์ไปก็เข้าท่าใช่ไหม?) ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นอยู่ที่นั่นด้วย

ก่อนอื่น เรามาดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกันก่อน โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการนี้

x - 3 = 2 - 4x

นี่คือสมการเชิงเส้น X ทั้งหมดอยู่ในยกกำลังแรก ไม่มีการหารด้วย X แต่จริงๆ แล้ว มันไม่สำคัญสำหรับเราว่าสมการจะเป็นแบบไหน เราจำเป็นต้องแก้ไขมัน โครงการที่นี่เรียบง่าย รวบรวมทุกอย่างที่มีเครื่องหมาย X ทางด้านซ้ายของสมการ ทุกสิ่งที่ไม่มีเครื่องหมาย X (ตัวเลข) ทางด้านขวา

ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำการโอน - 4x ไปทางซ้าย พร้อมเปลี่ยนป้ายแน่นอน และ - 3 - ไปทางขวา. โดยวิธีการนี้คือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งแรกน่าประหลาดใจ? ซึ่งหมายความว่าคุณไม่ได้ติดตามลิงก์ แต่ไร้ประโยชน์...) เราได้รับ:

x + 4x = 2 + 3

นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน เราพิจารณา:

เราต้องการอะไรเพื่อความสุขที่สมบูรณ์? ใช่ เพื่อให้มี X บริสุทธิ์ทางด้านซ้าย! ห้าขวางทางอยู่ กำจัดทั้งห้าด้วยความช่วยเหลือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งที่สองกล่าวคือเราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 5 เราได้คำตอบพร้อมแล้ว:

แน่นอนว่าเป็นตัวอย่างเบื้องต้น นี่เป็นการวอร์มอัพ) ยังไม่ชัดเจนนักว่าทำไมฉันถึงจำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันได้ที่นี่ ตกลง. เอาวัวข้างเขากันเถอะ) มาตัดสินใจอะไรที่มั่นคงกว่านี้กันดีกว่า

ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ:

เราจะเริ่มต้นที่ไหน? ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา? อาจจะเป็นเช่นนั้น ก้าวเล็ก ๆ ไปตามถนนยาว หรือคุณสามารถทำได้ทันทีด้วยวิธีที่เป็นสากลและทรงพลัง แน่นอนว่าหากคุณมีการแปลงสมการที่เหมือนกันในคลังแสงของคุณ

ฉันถามคำถามสำคัญกับคุณ: คุณไม่ชอบอะไรมากที่สุดเกี่ยวกับสมการนี้

95 จาก 100 คนจะตอบว่า: เศษส่วน - คำตอบนั้นถูกต้อง เรามากำจัดพวกมันกันเถอะ ดังนั้นเราจึงเริ่มทันทีด้วย การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง- คุณต้องคูณเศษส่วนทางซ้ายด้วยอะไรจึงจะลดตัวส่วนลงได้หมด? ถูกต้องตอนตี 3 และทางขวา? คูณ 4 แต่คณิตศาสตร์ยอมให้เราคูณทั้งสองข้างได้ หมายเลขเดียวกัน- เราจะออกไปได้อย่างไร? ลองคูณทั้งสองข้างด้วย 12 กัน! เหล่านั้น. ถึงตัวส่วนร่วม จากนั้นทั้งสามและสี่ก็จะลดลง อย่าลืมว่าคุณต้องคูณแต่ละส่วน โดยสิ้นเชิง- ขั้นตอนแรกจะมีลักษณะดังนี้:

การขยายวงเล็บ:

บันทึก! เศษ (x+2)ฉันใส่มันไว้ในวงเล็บแล้ว! เพราะเวลาคูณเศษส่วน ตัวเศษก็ต้องคูณด้วย! ตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนได้:

ขยายวงเล็บที่เหลือ:

ไม่ใช่ตัวอย่าง แต่เป็นความสุขอย่างแท้จริง!) ตอนนี้เรามาจำคาถาจากโรงเรียนประถมกันดีกว่า: มี X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา!และใช้การแปลงนี้:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

และหารทั้งสองส่วนด้วย 25 นั่นคือ ใช้การแปลงครั้งที่สองอีกครั้ง:

นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบ: เอ็กซ์=0,16

โปรดทราบ: เพื่อนำสมการสับสนดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบที่ดี เราใช้สอง (เพียงสอง!) การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์– การแปลซ้าย-ขวาด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายและการคูณหารของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน นี่เป็นวิธีสากล! เราจะทำงานในลักษณะนี้ด้วย ใดๆ สมการ! ใครก็ได้อย่างแน่นอน นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันซ้ำซากซ้ำซากเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้ตลอดเวลา)

อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก เราใช้สมการและทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้การแปลงที่เหมือนกันจนกว่าเราจะได้คำตอบ ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณ ไม่ใช่หลักการของการแก้ปัญหา

แต่... มีเรื่องน่าประหลาดใจในกระบวนการแก้สมการเชิงเส้นระดับพื้นฐานที่สุดจนทำให้คุณมึนงงได้...) โชคดีที่มีเรื่องน่าประหลาดใจได้เพียงสองเรื่องเท่านั้น เรามาเรียกพวกเขาว่ากรณีพิเศษกันดีกว่า

กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น

ความประหลาดใจครั้งแรก

สมมติว่าคุณเจอสมการพื้นฐานบางอย่าง เช่น:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

เบื่อเล็กน้อย เราย้ายมันโดยให้ X ไปทางซ้าย โดยไม่มี X - ไปทางขวา... เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมาย ทุกอย่างสมบูรณ์แบบ... เราได้รับ:

2x-5x+3x=5-2-3

เรานับแล้ว...อุ๊ย!!! เราได้รับ:

ความเท่าเทียมกันในตัวเองนี้เป็นสิ่งที่น่ารังเกียจไม่ได้ ศูนย์ก็คือศูนย์จริงๆ แต่ X หายไป! และเราต้องเขียนลงในคำตอบว่า x เท่ากับอะไร?ไม่เช่นนั้นจะไม่นับวิธีแก้ปัญหาใช่ไหม...) การหยุดชะงัก?

เงียบสงบ! ในกรณีที่น่าสงสัย กฎทั่วไปส่วนใหญ่จะช่วยคุณได้ จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่า หาค่าทั้งหมดของ x ซึ่งเมื่อแทนค่าลงในสมการดั้งเดิมแล้วจะทำให้เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

แต่เรามีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง เรียบร้อยแล้วเกิดขึ้น! 0=0 แม่นกว่าขนาดไหน! ยังต้องดูว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นกับ x อะไร ค่า X ใดที่สามารถทดแทนได้ ต้นฉบับสมการถ้า x พวกนี้ พวกเขาจะยังคงลดลงเหลือศูนย์หรือไม่?มาเร็ว?)

ใช่!!! X ก็ใช้แทนกันได้ ใดๆ!คุณต้องการอันไหน? อย่างน้อย 5 อย่างน้อย 0.05 อย่างน้อย -220 พวกเขาจะยังคงหดตัว ไม่เชื่อก็ตรวจสอบได้) แทนค่า X ใดๆ ลงไป ต้นฉบับสมการและคำนวณ คุณจะได้รับความจริงอันบริสุทธิ์ตลอดเวลา: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 และอื่นๆ

นี่คือคำตอบของคุณ: x - ตัวเลขใด ๆ

คำตอบสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันได้ สาระสำคัญไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสมบูรณ์

ความประหลาดใจครั้งที่สอง

ลองใช้สมการเชิงเส้นเบื้องต้นแบบเดียวกันแล้วเปลี่ยนตัวเลขเพียงตัวเดียวในนั้น นี่คือสิ่งที่เราจะตัดสินใจ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

หลังจากการแปลงที่เหมือนกัน เราก็ได้สิ่งที่น่าสนใจ:

แบบนี้. เราแก้สมการเชิงเส้นแล้วได้ความเท่าเทียมกันแปลกๆ ในแง่คณิตศาสตร์เราได้ ความเท่าเทียมกันที่ผิดพลาดแต่พูดง่ายๆ นี่ไม่เป็นความจริง เรฟ. แต่ถึงกระนั้น เรื่องไร้สาระนี้ก็เป็นสาเหตุที่ดีมากสำหรับการแก้สมการที่ถูกต้อง)

เราคิดตามกฎทั่วไปอีกครั้ง เมื่อแทนค่า x ในสมการเดิม เราจะได้อะไร จริงความเท่าเทียมกัน? ใช่ไม่มี! ไม่มีค่า X ดังกล่าว ใส่อะไรลงไปทุกอย่างก็ลดลงเหลือแต่เรื่องไร้สาระ)

นี่คือคำตอบของคุณ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

นี่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์เช่นกัน ในทางคณิตศาสตร์มักพบคำตอบเช่นนี้

แบบนี้. ตอนนี้ ฉันหวังว่าการหายไปของ X ในกระบวนการแก้สมการใดๆ (ไม่ใช่แค่เชิงเส้น) จะไม่ทำให้คุณสับสนเลย นี่เป็นเรื่องคุ้นเคยอยู่แล้ว)

ตอนนี้เราได้จัดการกับหลุมพรางทั้งหมดในสมการเชิงเส้นแล้ว ก็สมเหตุสมผลที่จะแก้มัน

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร

มีคำจำกัดความง่ายๆ สมการเชิงเส้นซึ่งให้ไว้ในโรงเรียนปกติว่า “สมการที่ตัวแปรเกิดขึ้นเฉพาะยกกำลังแรกเท่านั้น” แต่มันไม่ถูกต้องทั้งหมด สมการไม่เป็นเชิงเส้น ไม่ได้ลดขนาดลงด้วยซ้ำ ลดเป็นกำลังสองด้วยซ้ำ

คำจำกัดความที่ชัดเจนยิ่งขึ้นคือ: สมการเชิงเส้นเป็นสมการที่ใช้ การแปลงที่เท่ากันสามารถลดเป็นรูปแบบได้ โดยที่ title="a,b ใน bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

ในความเป็นจริง เพื่อที่จะเข้าใจว่าสมการนั้นเป็นเส้นตรงหรือไม่ จะต้องทำให้สมการง่ายขึ้นก่อน นั่นคือ นำมาสู่รูปแบบที่การจำแนกประเภทของสมการจะไม่คลุมเครือ จำไว้ว่า คุณสามารถทำอะไรก็ได้ที่คุณต้องการด้วยสมการ ตราบใดที่สมการไม่เปลี่ยนรากของมัน นั่นคือสิ่งที่มันเป็น การแปลงที่เทียบเท่า- การแปลงที่เทียบเท่าที่ง่ายที่สุด ได้แก่ :

1. วงเล็บเปิด
2. นำสิ่งที่คล้ายกัน
3. การคูณและ/หรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
4. การบวกและ/หรือการลบทั้งสองข้างของจำนวนหรือนิพจน์เดียวกัน*

คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้อย่างง่ายดาย โดยไม่ต้องคำนึงว่าคุณจะ “ทำให้สมการเสียหายหรือไม่”
*การตีความการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดโดยเฉพาะคือการ "ถ่ายโอน" คำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย

ตัวอย่างที่ 1:
(มาเปิดวงเล็บกันเถอะ)
(บวกทั้งสองส่วนแล้วลบ/โอนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตัวเลขทางซ้ายและตัวแปรทางขวา)
(ให้สิ่งที่คล้ายกัน)
(หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3)

เราก็ได้สมการที่มีรากเดียวกันกับสมการดั้งเดิม ให้เราเตือนผู้อ่านว่า "แก้สมการ"- หมายถึงการค้นหารากเหง้าทั้งหมดและพิสูจน์ว่าไม่มีผู้อื่นและ "รากของสมการ"- นี่คือตัวเลขที่เมื่อแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก จะทำให้สมการมีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง ในสมการสุดท้าย การค้นหาตัวเลขที่เปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงนั้นง่ายมาก - นี่คือตัวเลข ไม่มีหมายเลขอื่นใดที่จะสร้างเอกลักษณ์จากสมการนี้ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:
(คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย หลังจากแน่ใจว่าเราไม่ได้คูณด้วย : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(มาเปิดวงเล็บกันเถอะ)
(ขอย้ายเงื่อนไขครับ)
(ให้สิ่งที่คล้ายกัน)
(เราหารทั้งสองส่วนด้วย )

นี่คือวิธีการแก้สมการเชิงเส้นทั้งหมดโดยคร่าวๆ สำหรับผู้อ่านอายุน้อย เป็นไปได้มากว่าคำอธิบายนี้ดูซับซ้อน ดังนั้นเราจึงเสนอเวอร์ชันหนึ่ง "สมการเชิงเส้นชั้นประถมศึกษาปีที่ 5"

สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียวจะมีรูปแบบทั่วไป
ขวาน + ข = 0
โดยที่ x คือตัวแปร a และ b คือสัมประสิทธิ์ อีกนัยหนึ่ง a เรียกว่า "สัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ" b คือ "คำอิสระ"

ค่าสัมประสิทธิ์คือตัวเลขบางประเภท และการแก้สมการหมายถึงการค้นหาค่า x โดยที่นิพจน์ ax + b = 0 เป็นจริง ตัวอย่างเช่น เรามีสมการเชิงเส้น 3x – 6 = 0 การแก้สมการนี้หมายถึงการค้นหาว่า x ต้องเท่ากับเท่าใดเพื่อให้ 3x – 6 เท่ากับ 0 เมื่อทำการแปลง เราจะได้:
3x = 6
x = 2

ดังนั้น นิพจน์ 3x – 6 = 0 จึงเป็นจริงที่ x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 คือ รากของสมการนี้- เมื่อคุณแก้สมการ คุณจะพบรากของมัน

ค่าสัมประสิทธิ์ a และ b สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ แต่มีค่าดังกล่าวเมื่อรากของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรหนึ่งตัวมีมากกว่าหนึ่งตัว

ถ้า a = 0 ดังนั้น ax + b = 0 จะกลายเป็น b = 0 โดยที่ x จะ "ถูกทำลาย" นิพจน์ b = 0 จะสามารถเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อความรู้ของ b เท่ากับ 0 กล่าวคือ สมการ 0*x + 3 = 0 เป็นเท็จ เนื่องจาก 3 = 0 เป็นข้อความเท็จ อย่างไรก็ตาม 0*x + 0 = 0 เป็นนิพจน์ที่ถูกต้อง จากนี้ เราสรุปได้ว่าถ้า a = 0 และ b ≠ 0 สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวหนึ่งไม่มีรากเลย แต่ถ้า a = 0 และ b = 0 สมการดังกล่าวจะมีจำนวนรากไม่สิ้นสุด

ถ้า b = 0 และ a ≠ 0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax = 0 ชัดเจนว่าถ้า a ≠ 0 แต่ผลลัพธ์ของการคูณคือ 0 แล้ว x = 0 นั่นคือรากของสิ่งนี้ สมการคือ 0

หากไม่มี a และ b เท่ากับศูนย์ สมการ ax + b = 0 จะถูกแปลงเป็นรูปแบบ
x = –b/ก.
ค่าของ x ในกรณีนี้จะขึ้นอยู่กับค่าของ a และ b ยิ่งไปกว่านั้นก็จะเป็นเพียงคนเดียวเท่านั้น นั่นคือเป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับค่า x ที่แตกต่างกันตั้งแต่สองค่าขึ้นไปโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น,
–8.5x – 17 = 0
x = 17 / –8.5
x = –2
ไม่สามารถหาจำนวนอื่นนอกจาก –2 ได้โดยการหาร 17 ด้วย –8.5

มีสมการที่เมื่อมองแวบแรกไม่เหมือนกับรูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว แต่สามารถแปลงเป็นสมการนั้นได้ง่าย ตัวอย่างเช่น,
–4.8 + 1.3x = 1.5x + 12

หากคุณย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย 0 จะยังคงอยู่ทางด้านขวา:
–4.8 + 1.3x – 1.5x – 12 = 0

ตอนนี้สมการลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานและสามารถแก้ไขได้:
x = 16.8 / 0.2
x = 84

สมการที่ไม่ทราบค่าซึ่งหลังจากเปิดวงเล็บและนำคำที่คล้ายกันมาใช้ก็จะเกิดเป็นสมการ

ขวาน + ข = 0โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ เรียกว่า สมการเชิงเส้น กับคนหนึ่งที่ไม่รู้จัก วันนี้เราจะมาดูวิธีแก้สมการเชิงเส้นเหล่านี้กัน

ตัวอย่างเช่น สมการทั้งหมด:

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - เชิงเส้น

เรียกว่าค่าของสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งเปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง การตัดสินใจ หรือ รากของสมการ .

ตัวอย่างเช่นหากในสมการ 3x + 7 = 13 แทนที่จะเป็น x ที่ไม่รู้จักเราแทนที่ตัวเลข 2 เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 3 2 +7 = 13 ซึ่งหมายความว่าค่า x = 2 คือคำตอบหรือรูท ของสมการ

และค่า x = 3 ไม่ได้เปลี่ยนสมการ 3x + 7 = 13 ให้เป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เนื่องจาก 3 2 +7 ≠ 13 ซึ่งหมายความว่าค่า x = 3 ไม่ใช่คำตอบหรือรากของสมการ

การแก้สมการเชิงเส้นใดๆ จะช่วยลดการแก้สมการของแบบฟอร์มได้

ขวาน + ข = 0

ลองย้ายพจน์อิสระจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมายหน้า b ไปตรงกันข้าม เราจะได้

ถ้า a ≠ 0 แล้ว x = ‒ b/a .

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ 3x + 2 =11

ลองย้าย 2 จากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมายหน้า 2 ไปทางตรงข้าม เราจะได้
3x = 11 – 2

งั้นเรามาลบกัน
3x = 9.

ในการหา x คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบที่ทราบ ซึ่งก็คือ
x = 9:3.

ซึ่งหมายความว่าค่า x = 3 คือคำตอบหรือรากของสมการ

คำตอบ: x = 3.

ถ้า a = 0 และ b = 0จากนั้นเราจะได้สมการ 0x = 0 สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน เนื่องจากเมื่อเราคูณตัวเลขใดๆ ด้วย 0 เราจะได้ 0 แต่ b ก็เท่ากับ 0 เช่นกัน วิธีแก้ของสมการนี้คือตัวเลขใดๆ ก็ได้

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1

มาขยายวงเล็บ:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
0x = 0

คำตอบ: x - ตัวเลขใดก็ได้.

ถ้า a = 0 และ b ≠ 0จากนั้นเราจะได้สมการ 0х = - b สมการนี้ไม่มีคำตอบ เนื่องจากเมื่อเราคูณตัวเลขใดๆ ด้วย 0 เราจะได้ 0 แต่ b ≠ 0

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ x + 8 = x + 5

มาจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักทางด้านซ้าย และคำศัพท์อิสระทางด้านขวา:
x – x = 5 – 8

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
0х = ‒ 3.

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

บน รูปที่ 1 แสดงแผนภาพสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น

มาวาดโครงร่างทั่วไปสำหรับการแก้สมการด้วยตัวแปรตัวเดียว ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 4 สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการ

1) คูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วน ซึ่งเท่ากับ 12

2) หลังจากการลดลงที่เราได้รับ
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) หากต้องการแยกคำศัพท์ที่มีคำศัพท์ที่ไม่รู้จักและคำศัพท์อิสระ ให้เปิดวงเล็บ:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86

4) ให้เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักเป็นส่วนหนึ่ง และอีกส่วนหนึ่ง - เงื่อนไขอิสระ:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12

5) ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:
- 22x = - 154.

6) หารด้วย – 22 เราได้
x = 7.

อย่างที่คุณเห็น รากของสมการคือเจ็ด

โดยทั่วไปดังกล่าว สมการสามารถแก้ไขได้โดยใช้โครงร่างต่อไปนี้:

ก) นำสมการมาสู่รูปแบบจำนวนเต็ม

b) เปิดวงเล็บ;

c) จัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้อยู่ในส่วนหนึ่งของสมการ และคำศัพท์อิสระในอีกส่วนหนึ่ง

d) นำสมาชิกที่คล้ายกัน;

e) แก้สมการของรูปแบบ aх = b ซึ่งได้มาจากการนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมา

อย่างไรก็ตาม โครงการนี้ไม่จำเป็นสำหรับทุกสมการ เมื่อแก้สมการที่ง่ายกว่าหลายสมการ คุณต้องไม่เริ่มจากสมการแรก แต่เริ่มจากสมการที่สอง ( ตัวอย่าง. 2), ที่สาม ( ตัวอย่าง. 13) และแม้กระทั่งจากระยะที่ห้าดังตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ 2x = 1/4

ค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

มาดูการแก้สมการเชิงเส้นที่พบในการสอบสถานะหลักกัน

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ 2 (x + 3) = 5 – 6x

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

คำตอบ: - 0.125

ตัวอย่างที่ 7แก้สมการ – 6 (5 – 3x) = 8x – 7

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

คำตอบ: 2.3

ตัวอย่างที่ 8 แก้สมการ

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

ตัวอย่างที่ 9หา f(6) ถ้า f (x + 2) = 3 7's

สารละลาย

เนื่องจากเราต้องค้นหา f(6) และเรารู้ f (x + 2)
จากนั้น x + 2 = 6

เราแก้สมการเชิงเส้น x + 2 = 6
เราได้ x = 6 – 2, x = 4

ถ้า x = 4 แล้ว
ฉ(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

คำตอบ: 27.

หากคุณยังคงมีคำถามหรือต้องการทำความเข้าใจการแก้สมการอย่างละเอียดมากขึ้น โปรดลงทะเบียนบทเรียนของฉันใน SCHEDULE ฉันยินดีที่จะช่วยคุณ!

TutorOnline ขอแนะนำให้ชมวิดีโอบทเรียนใหม่จากครูสอนพิเศษของเรา Olga Alexandrovna ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจทั้งสมการเชิงเส้นและอื่น ๆ

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา