น. นิกิตินเรขาคณิต. การตั้งค่าการบ้าน

ส่วนตามสัดส่วน

เพื่อแนะนำแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกัน เราต้องนึกถึงแนวคิดนี้ก่อน ส่วนตามสัดส่วน- ให้เราจำคำจำกัดความของอัตราส่วนของสองส่วนด้วย

คำจำกัดความ 1

อัตราส่วนของสองส่วนคืออัตราส่วนของความยาว

แนวคิดเรื่องสัดส่วนของเซ็กเมนต์ยังนำไปใช้ด้วย มากกว่าเซ็กเมนต์ ตัวอย่างเช่น ให้ $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$ แล้ว

นั่นคือ เซ็กเมนต์ $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ จะเป็นสัดส่วนกับเซ็กเมนต์ $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$

สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ก่อนอื่นให้เราจำไว้ว่าแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันโดยทั่วไปหมายถึงอะไร

คำจำกัดความ 3

ตัวเลขจะเรียกว่าคล้ายกันหากมี รูปร่างเดียวกันแต่มีขนาดต่างกัน

ตอนนี้เรามาทำความเข้าใจแนวคิดกัน สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน- พิจารณารูปที่ 1

รูปที่ 1 สามเหลี่ยมสองรูป

ให้สามเหลี่ยมเหล่านี้มี $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$ ให้เราแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้:

คำจำกัดความที่ 4

ด้านของรูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกันหากด้านตรงข้ามกันมีมุมเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้

ในรูปที่ 1 ด้าน $AB$ และ $A_1B_1$, $BC$ และ $B_1C_1$, $AC$ และ $A_1C_1$ มีความคล้ายคลึงกัน ตอนนี้เรามาดูคำจำกัดความของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันกันดีกว่า

คำจำกัดความที่ 5

สามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกันถ้ามุมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับมุมของอีกสามเหลี่ยมหนึ่งและสามเหลี่ยมตามลำดับ และด้านที่คล้ายกันทั้งหมดของสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นสัดส่วน นั่นคือ

\[\angle A=\มุม A_1,\ \angle B=\มุม B_1,\ \angle C=\มุม C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

รูปที่ 1 แสดงรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ชื่อ: $ABC\sim A_1B_1C_1$

สำหรับแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกัน ยังมีแนวคิดเรื่องสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันด้วย

คำนิยาม 6

จำนวน $k$ เท่ากับอัตราส่วนของด้านที่คล้ายกัน ตัวเลขที่คล้ายกันเรียกว่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงของตัวเลขเหล่านี้

พื้นที่ของสามเหลี่ยมคล้าย

ตอนนี้ให้เราพิจารณาทฤษฎีบทเกี่ยวกับอัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ทฤษฎีบท 1

อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันจะเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน กล่าวคือ

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

การพิสูจน์.

ลองพิจารณาสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันและแสดงพื้นที่ของพวกมันเป็น $S$ และ $S_1$ ตามลำดับ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ให้จำทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 2

ถ้ามุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับมุมของสามเหลี่ยมที่สอง พื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นจะสัมพันธ์กันเป็นผลคูณของด้านที่อยู่ติดกับมุมนี้

เนื่องจากสามเหลี่ยม $ABC$ และ $A_1B_1C_1$ มีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้น ตามคำจำกัดความแล้ว $\angle A=\angle A_1$ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 2 เราก็จะได้สิ่งนั้น

เนื่องจาก $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$ เราจะได้

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ปัญหาเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อพิจารณาสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน $ABC$ และ $A_1B_1C_1.$ ด้านของสามเหลี่ยมแรกคือ $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$ ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้คือ $k=2$ ค้นหาด้านของสามเหลี่ยมที่สอง

สารละลาย.

ปัญหานี้มีสองวิธีที่เป็นไปได้

ให้ $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$

จากนั้น $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$

ดังนั้น $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

ให้ $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

จากนั้น $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$

ดังนั้น $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2.5,\ \ A_1C_1=3$

ตัวอย่างที่ 2

เมื่อพิจารณาสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน $ABC$ และ $A_1B_1C_1.$ ด้านของสามเหลี่ยมแรกคือ $AB=2$ ด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่สองคือ $A_1B_1=6$ ความสูงของสามเหลี่ยมแรกคือ $CH=4$ ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สอง

สารละลาย.

เนื่องจากสามเหลี่ยม $ABC$ และ $A_1B_1C_1$ มีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้น $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$

ลองหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมแรกกัน

ตามทฤษฎีบท 1 เรามี:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \

บทที่ 8

สัดส่วนของขนาด ความคล้ายคลึงกันของตัวเลข

§ 92. อัตราส่วนของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกัน

1. อัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยม

พิจารณาอัตราส่วนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูป ถ้าเราแทนด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งด้านด้วย ตและอีกด้านหนึ่ง - ผ่าน ปแล้วพื้นที่จะเท่ากันตามลำดับ
ต 2 และ ป 2 (รูปวาด 379)

แสดงถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรกด้วย S และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สองด้วย S" เราได้รับ: S / S" = ม 2 / n 2 เช่น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสัมพันธ์กับสี่เหลี่ยมด้านข้าง

สูตรผลลัพธ์สามารถแปลงได้ดังนี้: S / S" = ( ม / n) 2 .

ซึ่งหมายความว่าเราสามารถพูดได้ว่าอัตราส่วนของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปเท่ากับกำลังสองของอัตราส่วนของด้านทั้งสอง

ในการวาด 379 อัตราส่วนของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 3 อัตราส่วนของพื้นที่คือ
3 2 = 9.

2. อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน

อนุญาต /\ เอบีซี /\ A"B"C" (รูปวาด 380) จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นไปตามนั้น
/ ก= / เอ" / บี= / วงดนตรี / ค = / C" นอกจากนี้ AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C"

ในรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ จากจุดยอด B และ B" เราวาดระดับความสูงและแสดงแทนด้วย ชม.และ ชม." พื้นที่ของสามเหลี่ยมแรกจะเท่ากับ AC ชม./ 2 และพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สองคือ A"C" ชม" / 2 .

แสดงถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยมแรกด้วย S และพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สองด้วย S" เราได้: S / S" = AC ชม./เอ"ซี" ชม"หรือ S/S" = เอซี/เอ"ซี" ชม. / ชม"

จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ABO และ A"B"O" (จะคล้ายกันเพราะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและนอกจากนั้นจะมีค่าเท่ากัน มุมที่คมชัดกล่าวคือ / ก= / ก") ดังนี้:
ชม. / ชม"= เอบี / เอ"บี" . แต่ AB / A"B" = AC / A"C" เพราะฉะนั้น, ชม. / ชม"= เอซี/เอซี" . การแทนที่ในสูตร S / S" = AC / A"C" ชม. / ชม"ทัศนคติ ชม. / ชม"เท่ากับอัตราส่วน AC / A"C" เราได้รับ:
S / S" = เอซี / เอ"ซี" เอซี / เอ"ซี" หรือ .

ดังนั้น, พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของด้านที่คล้ายกัน .

สูตรผลลัพธ์สามารถแปลงได้ดังนี้: S / S" = (AC / A"C") 2.

ซึ่งหมายความว่าเราสามารถพูดได้ว่าอัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันจะเท่ากับกำลังสองของอัตราส่วนของด้านที่คล้ายกัน

3. อัตราส่วนพื้นที่ รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน.

ให้ ABCDE และ A"B"C"D"E" เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน (รูปที่ 381)

เป็นที่ทราบกันว่า /\ เอบีซี /\ เอ"บี"ซี"; /\ เอซีดี /\ เอ ซี ดี และ /\ อดี /\ เอ"ดี"อี" (§90)
นอกจาก,

;

เนื่องจากอัตราส่วนที่สองของสัดส่วนเหล่านี้เท่ากัน ซึ่งตามมาจากความคล้ายคลึงกันของรูปหลายเหลี่ยม

การใช้คุณสมบัติซีรีส์ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเราได้รับ:

หรือ

โดยที่ S และ S" คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันเหล่านี้

เพราะฉะนั้น, พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของด้านที่คล้ายกัน

สูตรผลลัพธ์สามารถแปลงเป็นรูปแบบนี้ได้: S / S" = (AB / A"B") 2

การออกกำลังกาย.

1. ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ด้านมากขึ้นกำลังสองคูณ 2 ครั้ง (5 ครั้ง) พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแรกมีกี่ครั้ง พื้นที่มากขึ้นจัตุรัสที่สอง?

2. ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรกคือ 1/3 (0.1) ของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอง เศษส่วนของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรกคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอง?

3. ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันในรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันคือ 4 (1 / 5; 0.4; 2.5) อัตราส่วนของพื้นที่ของพวกเขาคืออะไร?

4. อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันคือ 36 (100; 0.09) อัตราส่วนของด้านที่คล้ายกันของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เป็นเท่าใด?

ตัวเลขสองตัว F F และ F ` F ` ถูกเรียกว่าคล้ายกันหากพวกมันถูกแปลงเป็นกันโดยการแปลงความคล้ายคลึงกันนั่นคือการเปลี่ยนแปลงที่ระยะทางระหว่างจุดสองจุดเปลี่ยนไป (เพิ่มขึ้นหรือลดลง) ด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน หากตัวเลข F F และ F ` F ` คล้ายกัน เราจะเขียนว่า F ~ F ` F\sim F` จำได้ว่า ในสัญลักษณ์สำหรับความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ∆ A B C ~ ∆ A 1 B 1 C 1 \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1 ให้สันนิษฐานว่าจุดยอดที่รวมกันโดยการแปลงความคล้ายคลึงนั้นอยู่ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันเช่น A A เข้าไปใน A 1 A_1, B B - เข้าไปใน B 1 B_1, C C - เข้าไปใน C 1 C_1 จากคุณสมบัติของการแปลงความคล้ายคลึงจึงเป็นไปตามนั้น สำหรับตัวเลขที่คล้ายกัน มุมที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน และส่วนที่สอดคล้องกันจะเป็นสัดส่วนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า ∆ A B C ~ ∆ A 1 B 1 C 1 \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1

∠ A = ∠ A 1 , ∠ B = ∠ B 1 , ∠ C = ∠ C 1 , A B A 1 B 1 = B C B 1 C 1 = A C A 1 C 1 \angle A=\มุม A_1,\;\angle B=\ มุม B_1,\;\มุม C=\มุม C_1,\;\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)(B_1C_1)=\frac(AC)(A_1C_1)

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมสองรูปมีความคล้ายคลึงกัน:

• 1) ถ้าสองมุมของมุมหนึ่งเท่ากันกับสองมุมของอีกมุมตามลำดับ
• 2) ถ้าด้านสองด้านของด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับสองด้านของอีกด้านหนึ่งและมุมที่เกิดจากด้านเหล่านี้เท่ากัน
• 3) ถ้าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านทั้งสามของอีกด้านหนึ่ง

คุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันประกอบด้วยข้อความที่สะดวกต่อการใช้งานในการแก้ปัญหา:

1°เส้นตรงที่ขนานกับด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้วตัดกันอีกสองด้านใน จุดต่างๆ, ตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันนี้ออก

ข้าว. 5

2° เส้นตรงที่ขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและตัดกันอีกสองด้านจะตัดส่วนที่เป็นสัดส่วนกับด้านเหล่านี้ เช่น ถ้า M N | - A C MN||AC (รูปที่ 5) แล้ว

m n = p q = m + p n + q \frac mn=\frac pq=\frac(m+p)(n+q)

3°หากเส้นตรงตัดกันสองด้านของสามเหลี่ยมและตัดส่วนที่เป็นสัดส่วนออกไป มันจะขนานกับด้านที่สามนั่นคือ ถ้า (ดูรูปที่ 5)

m n = m + p n + q \frac mn=\frac(m+p)(n+q) หรือ m n = p q \frac mn=\frac pq ,

จากนั้น M N MN ขนานกับ A C AC (หลักฐานได้รับมอบหมายในงานเกรด 9)

ข้าว. 6

เส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานตัดกัน ด้านข้างสี่เหลี่ยมคางหมูที่จุด M M และ N N . หาความยาวของส่วนถ้าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ a และ b b

Δ ให้ O O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู (รูปที่ 6) เรามาแสดงว่า:

AD = a, B C = b, M O = x, B O = p, O D = q AD=a,\;BC=b,\;MO=x,\;BO=p,\;OD=q.

1. B C ~ A D △ B O C ~ △ D O A (ใต้หัว) ⇒ b a = p q 1.\;\left\(\begin(array)(l)BC\sim AD\\\bigtriangleup BOC \sim\bigtriangleup DOA\;( โดย\;สอง\;มุม)\end(อาร์เรย์)\right.\ลูกศรขวา\frac ba=\frac pq

2. M O ~ A D △ M B O ~ △ A B D ⇒ x a = p p + q 2.\;\left\(\begin(array)(l)MO\sim AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end(array)\ right.\ลูกศรขวา\frac xa=\frac p(p+q)

จาก (1) และ (2) ตามหลัง x = a p p + q = q p / q p / q + 1 = a b a + b ⇒ M O = a b a + b x=a\frac p(p+q)=q\frac(p/q)(p/q+1)=\frac(ab)(a+b)\ลูกศรขวา MO=\frac(ab)(a+ b ).

ในทำนองเดียวกัน เราพิสูจน์ได้ว่า N O = a b a + b ⇒ M N = 2 a b a + b NO=\frac(ab)(a+b)\Rightarrow MN=\frac(2ab)(a+b)

ควรจดจำผลลัพธ์ของปัญหานี้ตามที่เป็นจริงสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู

จากคำจำกัดความของความคล้ายคลึงกันของตัวเลข ตามมาว่าในตัวเลขที่คล้ายกัน องค์ประกอบเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องทั้งหมดจะเป็นสัดส่วน ดังนั้น, อัตราส่วนของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะเท่ากับอัตราส่วนความยาวของด้านที่ตรงกันหรือตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน อัตราส่วนของรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ (รวมถึงวงกลมที่เขียนไว้ด้วย) จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านที่สอดคล้องกัน ข้อสังเกตนี้จะช่วยให้เราแก้ไขปัญหาต่อไปได้

ข้าว. 7

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C ABC จากจุดยอด C C มุมฉากความสูง C D CD ถูกวาดขึ้น (รูปที่ 7) รัศมีของวงกลมที่เขียนเป็นรูปสามเหลี่ยม A C D ACD และ B C D BCD เท่ากับ r 1 r_1 และ r 2 r_2 ตามลำดับ จงหารัศมีของวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม A B C ABC

Δ ให้เราแทนรัศมีที่ต้องการ r r, กำหนดให้ A B = c AB=c, A C = b AC=b, B C = a BC=a จากความเหมือน สามเหลี่ยมมุมฉาก A C D ACD และ A B C ABC (มี มุมเท่ากันที่จุดยอด A A) เรามี r r 1 = c b \frac r(r_1)=\frac cb โดยที่ b = r 1 r c b=\frac(r_1)rc สามเหลี่ยมมุมฉาก B C D BCD และ B A C BAC ก็คล้ายกัน ดังนั้น r r 2 = c a \frac r(r_2)=\frac ca , - โดยที่ a = r 2 r c a=\frac(r_2)rc เนื่องจาก a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 เมื่อยกกำลังสองนิพจน์ของ a และ b b แล้วบวกเข้าด้วยกัน เราจะได้ r 1 r 2 c 2 + r 2 r 2 c 2 = c 2 ⇒ r 1 2 + r 2 2 r 2 = 1 \left(\frac(r_1)r\right)^2c^2+\left(\frac(r_2)r\right)^2c^2=c^ 2 \;\ลูกศรขวา\frac(r_1^2+r_2^2)(r^2)=1 . ค้นหา r = r 1 2 + r 2 2 r=\sqrt(r_1^2+r_2^2)▲

ให้เรานึกถึงสิ่งนั้น พื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันมีความสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองขององค์ประกอบเชิงเส้นที่สอดคล้องกันสำหรับรูปสามเหลี่ยม ข้อความนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของด้านที่ตรงกันลองพิจารณาปัญหาทั่วไปในหัวข้อนี้

ข้าว. 8

ผ่านจุด M M ที่อยู่ในสามเหลี่ยม A B C ABC เส้นสามเส้นจะถูกลากขนานกับด้านข้าง ในกรณีนี้มีการสร้างสามเหลี่ยมสามอัน (รูปที่ 8) ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ S 1 S_1, S 2 S_2 และ S 3 S_3 หาพื้นที่สามเหลี่ยม A B C ABC

จะสังเกตได้ง่ายว่ารูปสามเหลี่ยม E K M EKM, M Q F MQF และ P M N PMN คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม A B C ABC

ให้ S S เป็นพื้นที่สามเหลี่ยม A B C ABC แล้ว

ส 1 ส = อีเอ็มเอซี 2 ; ส 2 ส = ม ฟ เอ ค 2 ; ส 3 ส = พี เอ็น เอ ซี 2 . \frac(S_1)S=\left(\frac(EM)(AC)\right)^2;\;\frac(S_2)S=\left(\frac(MF)(AC)\right)^2; \;\frac(S_3)S=\left(\frac(PN)(AC)\right)^2.

เราหาได้จากที่ไหน?

E M = S 1 S A C , M F = S 2 S A C , P N = S 3 S A C . EM=\sqrt(\frac(S_1)S)AC,\;MF=\sqrt(\frac(S_2)S)AC,\;PN=\sqrt(\frac(S_3)S)AC.

และเนื่องจาก E M = A P , M F = N C ⇒ E M + P N + M F = A P + P N + N C = AC EM=AP,\;MF=NC\ลูกศรขวา EM+PN+MF=AP+PN+NC=AC

ดังนั้น A C = AC * S 1 S + S 2 S + S 3 S ⇒ S = S 1 + S 2 + S 3 2 AC=AC\ast\left(\sqrt(\frac(S_1)S)+\ sqrt (\frac(S_2)S)+\sqrt(\frac(S_3)S)\right)\ลูกศรขวา S=\left(\sqrt(S_1)+\sqrt(S_2)+\sqrt(S_3)\right) ^ 2.

คุณสมบัติของค่ามัธยฐาน ความสูง เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม

ในงานมอบหมายเกรด 9 และ 10 ของเราที่นี่ ทฤษฎีบทและข้อความที่ทำซ้ำได้ได้รับการพิสูจน์แล้ว สำหรับบางคน เรานึกถึงเส้นทางของหลักฐาน พิสูจน์ประเด็นของพวกเขา และให้ภาพวาดอธิบาย

เกี่ยวกับค่ามัธยฐาน

ข้าว. 9

ทฤษฎีบท 1ค่ามัธยฐานสามอันของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง และจุดตัดจะแบ่งค่ามัธยฐานแต่ละค่าตามอัตราส่วน 2: 1 นับจากด้านบน

ทฤษฎีบท 2 ค่ามัธยฐานสามค่าตัดกัน แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยม 6 รูป โดยมีจุดยอดร่วมซึ่งมีพื้นที่เท่ากัน

(ในรูปที่ 9 พื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้ง 6 รูปที่มีจุดยอดและฐาน เท่ากับครึ่งหนึ่งด้านเท่ากับ 1 2 S A B C \frac12S_(ABC) จุดตัดของค่ามัธยฐานเรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม.

ทฤษฎีบท 3 ให้ B D BD เป็นค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

A B C (B C = a , A C = b , A B = c , B D = m a) ABC\;(BC=a,\;AC=b,\;AB=c,\;BD=m_a) ,แล้ว

ม ค 2 = a 2 + b 2 2 - ค 2 4 m_c^2=\frac(a^2+b^2)2-\frac(c^2)4 .(หลักฐานได้รับเพิ่มเติมในมาตรา 4 ของการมอบหมาย)

ข้าว. 10

ค่ามัธยฐาน A A 1 AA_1 ของสามเหลี่ยม A B C ABC ตัดกันที่จุด O O , A A 1 = 12 AA_1=12 และ C C 1 = 6 CC_1=6 และด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมคือ 12 (รูปที่ 10) หาพื้นที่สามเหลี่ยม A B C ABC

Δ 1 ตามทฤษฎีบท 1 เรามี A O = 2 3 A A 1 = 8 , C O = 2 3 C C 1 = 4 AO=\frac23AA_1=8,\;CO=\frac23CC_1=4

ให้เราจัดเรียงความยาวของส่วนมัธยฐานในรูปที่ 10 ตามเงื่อนไข ด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับ 12 ด้าน A C AC ไม่สามารถเท่ากับ 12 ไม่เช่นนั้น A C = A O + O C AC=AO+OC - ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมถูกละเมิด นอกจากนี้ ด้าน A B AB ไม่สามารถเท่ากับ 12 ได้ ดังนั้นในกรณีนี้ A C 1 = 6 AC_1=6 และสามเหลี่ยม A O C 1 AOC_1 ที่มีด้าน 8, 2, 6 ไม่มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่า B C ​​= 12 BC=12 และ A C 1 = 6 AC_1=6

2. หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรของนกกระสา:

p = 7 , S A 1 O C = 7 * 1 * 3 * 3 = 3 7 p=7,\;S_(A_1OC)=\sqrt(7\ast1\ast3\ast3)=3\sqrt7 .

ตามทฤษฎีบทที่ 2 พื้นที่ของสามเหลี่ยม A B C ABC มากกว่า 6 เท่า เราจะพบว่า S A B C = 18 7 S_(ABC)=18\sqrt7 .▲

เกี่ยวกับความสูง

ทฤษฎีบท 4 ระดับความสูงสามเส้นของรูปสามเหลี่ยมหรือเส้นตรงสามเส้นที่ระดับความสูงนั้นตัดกันที่จุดหนึ่ง (จุดนี้เรียกว่าจุดออร์โธเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยม) ใน สามเหลี่ยมเฉียบพลันจุดตัดของความสูงอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม

มีการพิสูจน์บทแทรกสองบทเกี่ยวกับความสูงด้วย

บทแทรกที่ 1

ถ้า A A 1 AA_1 และ B B 1 BB_1 เป็นความสูงของสามเหลี่ยม A B C ABC แล้วสามเหลี่ยม A 1 B 1 C A_1B_1C จะคล้ายกับสามเหลี่ยม A B C ABC ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึง k = A 1 B 1 A B = cos C k=\frac(A_1B_1) (AB)= \left|\cos C\right| - คำสั่งนี้สามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้: หากคุณเชื่อมต่อฐานของความสูงสองอัน A A 1 AA_1 และ B B 1 BB_1 ของสามเหลี่ยม A B C ABC ดังนั้นสามเหลี่ยมจะถูกสร้างขึ้นคล้ายกับอันนี้: ∆ A 1 B 1 C ~ ∆ A B C \triangle A_1B_1C \ซิม\สามเหลี่ยม ABC

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก A C A 1 ACA_1 ตามหลัง A 1 C = A C * c o s C A_1C=AC*cosC หรือ A 1 C = A C * c o s (180 ° - C) = A C cos C A_1C=AC\ast cos(180^\circ- C)=AC\ซ้าย|\cos C\ขวา| (รูปที่ 11a, b) และจากสามเหลี่ยมมุมฉาก B C B 1 BCB_1 ตามหลัง B 1 C = B C * c o s C B_1C = BC * cosC หรือ B 1 C = B C * c o s (180 ° - C) = B C cos C B_1C = BC \ast cos(180^\circ-C)=BC\left|\cos C\right| - เหตุผลต่อไปนี้ชัดเจน

ข้าว. 13

ความสูง A A 1 AA_1 และ B B 1 BB_1 ตัดกันที่จุด H H (รูปที่ 13) ในขณะที่ A H = 3 H A 1 AH=3HA_1 และ B H = H B 1 BH=HB_1 ค้นหาโคไซน์ของมุม A C B ACB และพื้นที่ของสามเหลี่ยม A B C ABC ถ้า A C = a AC=a

Δ ให้เราแสดงว่า H A 1 = x , H B 1 = y HA_1=x,\;HB_1=y ,

1. จุด H H - ความสูงปานกลาง (รูปที่ 13) หากส่วน M H MH ผ่านจุด H H และขนานกับฐาน ดังนั้น MN - เส้นกลาง- MN = ก / 2 MN=ก/2 .

2. ∆ H A 1 N ~ ∆ A A 1 C ⇒ H N A C = x 4 x , H N = 1 4 ก . \สามเหลี่ยม HA_1N\sim\สามเหลี่ยม AA_1C\ลูกศรขวา\frac(HN)(AC)=\frac x(4x),\;HN=\frac14a.\; ดังนั้น M H = H N = a 4 MH=HN=\frac a4 และ A B 1 = B 1 C = a 2 AB_1=B_1C=\frac a2 สามเหลี่ยม A B C หน้าจั่ว ABC, ก = บี ค AB=BC .

3. ∠ B 1 B C = 90 ° - ∠ C ⇒ ∠ B H A 1 = ∠ A H B 1 = ∠ C \angle B_1BC=90^\circ-\angle C\ลูกศรขวา\มุม BHA_1=\angle AHB_1=\angle C ,และโดยบทแทรกที่สองเกี่ยวกับความสูง A H * H A 1 = B H * H B 1 AH*HA_1=BH*HB_1 เช่น 3 x 2 = y 2 , y = x 3 3x^2=y^2,\;y=x \sqrt3 .

4. △ A H B 1: A B 1 2 = (3 x) 2 - y 2, a 2 4 = 6 x 2, x = a 2 6, y = a 2 2 ⇒ ⇒ S A B C = 1 2 A C * B B 1 = a y = a 2 2 4 \begin(array)(l)\bigtriangleup AHB_1:\;AB_1^2=(3x)^2-y^2,\;\frac(a^2)4=6x^2,\; x=\frac a(2\sqrt6),\;y=\frac a(2\sqrt2)\Rightarrow\\\Rightarrow S_(ABC)=\frac12AC\ast BB_1=ay=\frac(a^2\sqrt2 )4\end(อาร์เรย์)

เกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

ข้าว. 14

ทฤษฎีบท 5เส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมจะหารกัน ฝั่งตรงข้ามออกเป็นสัดส่วนตามสัดส่วนด้านที่อยู่ติดกันเช่น ถ้า A D AD เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม A B C ABC (รูปที่ 14) จากนั้น

B D D C = A B A C x y = c b \frac(BD)(DC)=\frac(AB)(AC)\;\left(\frac xy=\frac cb\right)

คุณสามารถพิสูจน์ตัวเองได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทไซน์กับสามเหลี่ยม A D B ADB และ A D C ADC

ทฤษฎีบท 6 ให้ A D AD เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม A B C ABC (รูปที่ 14) จากนั้น A D = A B * A C - D B * D C AD=\sqrt(AB\ast AC-DB\ast DC) (ในรูปสัญลักษณ์ของรูป 14a) AD = b c - xy AD=\sqrt(bc-xy)

ข้าว. 14ก

□ เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ให้เราอธิบายวงกลมรอบสามเหลี่ยม A B C ABC และแสดงจุดตัดของเส้นตรง A D AD และวงกลมเป็น K K (รูปที่ 14a)

ให้เราแสดงว่า A D = z, D K = m △ A B D ~ ∆ A K C (∠ A B D = ∠ A K C และ ∠ 1 = ∠ 2) จากสิ่งที่ชอบ: A B A K = A D A C ⇒ c z + m = z b ⇒ ⇒ z 2 + z m = b c, z 2 = b c - z m \begin(array)(l)AD=z,\;DK=m.\\\bigtriangleup ABD\sim\triangle AKC\;(\angle ABD=\angle AKC\;and\;\\\angle1=\angle2 ).\\From\;ความคล้ายคลึงกัน:\;\\\frac(AB)(AK)=\frac(AD)(AC)\Rightarrow\frac c(z+m)=\frac zb\Rightarrow\\\Rightarrow z^2+zm=bc,\;z^2=bc-zm.\end(array) โดยคุณสมบัติของคอร์ดที่ตัดกัน:

A D * D K = B D * C D เช่น z * m = x * y ⇒ z 2 = b c - x y , z = b c - x y AD\ast DK=BD\ast CD,\;i.e.\; \ast y\ลูกศรขวา z^2=bc-xy,\;z=\sqrt(bc-xy)

ในรูปสามเหลี่ยม A B C ABC โดยมีด้าน A B = 5 AB=5, A C = 3 AC=3 เส้นแบ่งครึ่ง A D = 15 8 AD=\frac(15)8 ค้นหาด้าน B C BC และรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้

Δ ตามทฤษฎีบทที่ 5 (ดูรูปที่ 14) เรามี x y = 5 3 \frac xy=\frac53 ให้เราแสดงว่า x = 5 z x=5z แล้ว y = 3 z y=3z ตามทฤษฎีบทที่ 6 ความเท่าเทียมกัน 15 8 2 = 5 * 3 - 5 z * 3 z เป็นที่น่าพอใจ \left(\frac(15)8\right)^2=5\ast3-5z\ast3z. เราหาได้ง่าย z = 7 8 z=\frac78 หมายถึง B C = 7 พ.ศ.=7. เราค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้โดยใช้สูตร S = p r S=pr (S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม, p คือกึ่งปริมณฑล) เรามี p = 15 2 p=\frac(15)2 ตามสูตรของนกกระสา S = 15 2 * 1 2 * 10 2 * 9 2 = 15 3 2 , S=\sqrt(\frac(15)2\ast \frac12 \ast\frac(10)2\ast\frac92)=\frac(15\sqrt3)2 ดังนั้น r = S p = 3 2 r=\frac Sp=\frac(\sqrt3)2. ▲

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• พัฒนาความสามารถในการใช้สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมเมื่อแก้ไขปัญหา
• พิจารณา งานสำคัญตามอัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีความสูงร่วม (ฐาน) แนะนำนักเรียนถึงวิธีการแก้ไขปัญหาในหัวข้อ

อุปกรณ์การเรียน:

• คอมพิวเตอร์.
• โปรเจคเตอร์มัลติมีเดีย
• หน้าจอ.

เอกสารประกอบคำบรรยาย

• การ์ดที่มีคำถามสำหรับการสำรวจการบ้าน
• การนำเสนอสำหรับบทเรียน (ภาคผนวก 1);
• บัตรสำหรับทำงานอิสระ

ขั้นตอนบทเรียน

1. เวลาจัดงาน.
2. การตรวจสอบ การบ้าน(การเรียนรู้เนื้อหาจากบทเรียนก่อนหน้า)
3. เสริมเนื้อหาที่เรียนรู้ก่อนหน้านี้
4. ทำงานอิสระการศึกษาในธรรมชาติ
5. การตั้งค่าการบ้าน
6. สรุปบทเรียน.

ในระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

เราแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับหัวข้อของบทเรียน เราอธิบายความสำคัญของเนื้อหาที่กล่าวถึงในบทเรียนเราบอกว่าเป็นข้อมูล บทเรียนสุดท้ายตามพื้นที่มีการใช้กันอย่างแพร่หลาย วันนี้ในบทเรียนเราจะใช้เพื่อแก้ปัญหา

เพื่อให้งานของเรามีประสิทธิภาพมากขึ้น ก่อนอื่นเราจะตรวจสอบการบ้านของคุณและทบทวนเนื้อหาทางทฤษฎีที่คุณได้ศึกษา

2. ตรวจการบ้าน

ถามนักเรียนบนกระดานดำ:

• การพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นที่?.
• พิสูจน์ถึงผลที่ตามมา
• แก้เลขการบ้าน

ในเวลานี้ เราทำงานร่วมกับชั้นเรียนด้วยวาจา โดยใช้สไลด์การนำเสนอที่เตรียมไว้ล่วงหน้า

3) ถ้า AM=MC ให้เปรียบเทียบพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้

เขียนบทสรุปลงในสมุดบันทึกของคุณ:

ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดเท่ากัน (พื้นที่เท่ากัน) โดยพื้นที่ของแต่ละรูปจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด

VM – ค่ามัธยฐาน ABC

VC – ค่ามัธยฐาน AVM

ค้นหาอัตราส่วนพื้นที่

5) เป็นที่ทราบกันว่า S ABC = 20 ซม. 2 (ตามเงื่อนไขของงานก่อนหน้า)

ค้นหา S ABM; เอสเอ็มบีซี; เอส เอบีซี; เอสเคบีซี - ?

อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยม 2 รูปที่มีฐานร่วมเป็นเท่าใด

เราเขียนข้อสรุปลงในสมุดบันทึก:

S ABC: S ADC = BM: DN

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีฐานร่วมกันสัมพันธ์กับระดับความสูงที่ลากไปยังฐาน

3. การรวมเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้

1. เราทำงานหมายเลข 40 หน้า 18-19 ของสมุดงานเกี่ยวกับเรขาคณิตสำหรับเกรด 8 เสร็จแล้ว

ในรูป จุด M หารด้าน AC ABC ในอัตราส่วน AM: MC = 2: 3

พื้นที่ ABC เท่ากับ 180 ซม. 2 หาพื้นที่สามเหลี่ยม ABM

2. แก้โจทย์ข้อ 475 ของตำราเรียน

วาดเอบีซี ลากเส้นตรงสองเส้นผ่านจุดยอด A เพื่อแบ่งสามเหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมสามอันโดยมีพื้นที่เท่ากัน

อภิปรายการวิธีแก้ปัญหาโดยใช้สไลด์การนำเสนอ

4. ไม่มี (หากมีเวลา)

แบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันด้วยเส้นตรงที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน BB 2 แบ่ง DBC ออกเป็นสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันสัมพันธ์กันเป็นฐาน DB 2: B 2 C = 1: 2 => อัลกอริธึมการก่อสร้าง: แบ่งแต่ละด้าน AD และ DC ของสี่เหลี่ยมด้านขนานในอัตราส่วน ของ 2: 1 โดยนับจากจุดยอด A และ S

4. งานการศึกษาอิสระ

ตัวเลือกที่ 1

1) MC – ค่ามัธยฐาน ABC

S SCR = 32 ซม. 2 . ค้นหา เอส เอบีซี

2) S KDM = 40 ซม. 2

ทางด้าน KM จุด A ถูกทำเครื่องหมายไว้ ดังนั้น KA: AM = 2:3

ค้นหา: S KDA

ตัวเลือก - 2

1) AM คือค่ามัธยฐานของ ABC ซึ่งมีพื้นที่ 48 cm2

ค้นหาพื้นที่ของ AMS

2) S DРК = 60 ซม. 2

ที่ด้าน DK จุด A ถูกทำเครื่องหมายไว้เพื่อให้ DA: AK = 3:1

ค้นหา: S APK -?

5. ตั้งเวลาทำการบ้าน

ดี.ซี. ตามตำราเรียนหน้า 124-125 หมายเลข 473; 506; 511(ก)

6. สรุปบทเรียน

วรรณกรรม

1. เรขาคณิต 7-9 / แอล.เอส. Atanasyan, V.F. Butuzov และคนอื่นๆ/ “การตรัสรู้”, OJSC “หนังสือเรียนมอสโก”, M., 2008;

2. สมุดงานสำหรับเกรด 8 เกี่ยวกับ/เกี่ยวกับสถาบัน เรขาคณิต. / อตานาสยาน แอล.เอส. และอื่น ๆ / “การตรัสรู้”, M, 2005;

2. Polonsky V.B. , Rabinovich E.M. , Yakir M.S. / เรขาคณิต : หนังสือปัญหาสำหรับ หลักสูตรของโรงเรียนอ.: AST-PRESS: Master-S, 1998.