Mraba wa uchawi wa Durer. Viwanja vya uchawi vya Khajuraho, Durer na uwiano wa dhahabu

Mraba wa uchawi wa Albrecht Durer. Mraba wa ajabu wa 4x4 ulioonyeshwa katika mchongo wa Albrecht Durer "Melancholy I" unachukuliwa kuwa wa mwanzo zaidi katika sanaa ya Uropa. Nambari mbili za kati katika safu ya chini zinaonyesha tarehe ya kuundwa kwa uchoraji (1514). Jumla ya nambari kwenye usawa wowote, wima na diagonal ni 34. Jumla hii pia inapatikana katika mraba wote wa kona 2?2, katika mraba wa kati (10+11+6+7), katika mraba wa seli za kona (16). +13+4+1 ), katika miraba iliyojengwa na “hatua ya knight” (2+8+9+15 na 3+5+12+14), katika mistatili inayoundwa na jozi za seli za kati kwa pande tofauti (3+2) +15+14 na 5+8 +9+12).

Slaidi ya 13 kutoka kwa uwasilishaji "Mraba katika maisha". Saizi ya kumbukumbu iliyo na wasilisho ni 388 KB.

Jiometri daraja la 8

muhtasari wa mawasilisho mengine

"Uamuzi wa poligoni za kawaida" - Utatuzi wa shida. Poligoni yoyote ya kawaida ni mbonyeo. Kazi ya mdomo. Kielelezo kilichoundwa. Parquets zilizofanywa kwa polygons za kawaida. Mfumo wa kukokotoa pembe ya n-gon ya kawaida. Je, ni jumla gani ya pembe za nje za n-gon ya kawaida? Ni nini thamani ya kila pembe ya poligoni ya kawaida? Kazi ya ubunifu. Polygons za aina tofauti. Poligoni mbonyeo. Malengo ya somo. Ndege isiyo na mapungufu inaweza kufunikwa na pembetatu za kawaida.

"Aina za mistatili" - Diagonal. Perpendiculars. Mstatili. Mraba ni paralelogramu. Pata pembe zote zisizojulikana za mraba. Mazoezi. Mazoezi ya planimetry kwenye michoro iliyokamilishwa. Mazoezi ya planimetry. Kauli iliyo kinyume. Ishara. Parallelogram. Upande wa rhombus. Alama ya almasi. Mali maalum ya mstatili. Sambamba na ABCD. Upande mdogo zaidi wa mstatili. Urefu. Mali ya rhombus. Thibitisha. Tafuta eneo la mraba.

"Kuunda tanjiti kwa duara" - Mduara na mstari ulionyooka huwa na nukta moja ya kawaida. Pointi za kawaida. Chord. Tanji kwa mduara. Kurudia. Mzunguko na mstari. Kipenyo. Nadharia juu ya sehemu za tangent. Msimamo wa jamaa wa mstari wa moja kwa moja na mduara. Suluhisho. Mduara.

"Kukokotoa eneo la poligoni" - poligoni imeundwa na poligoni kadhaa. Mtihani. Eneo la poligoni. Fanya kazi kwenye daftari. Sambamba na ABCD. Mali ya maeneo. Utatuzi wa shida ya mdomo. Kama unavyoelewa. Je! ni sifa gani za kimsingi za maeneo unayojua? Eneo la mraba ni sawa na mraba wa upande wake. Sehemu za kati za pande za rhombus. Katika mstatili, diagonals ni sawa. Malengo ya somo. Vitengo vya kipimo cha eneo. Fanya kazi kulingana na michoro iliyotengenezwa tayari.

"Kazi juu ya ishara za kufanana kwa pembetatu" - Kuamua urefu wa kitu kwenye dimbwi. Kadi ya mtu binafsi. Kutatua matatizo kwa kutumia michoro zilizopangwa tayari. Kupima urefu wa vitu vikubwa. Kufanana kwa pembetatu. Kivuli kutoka kwa fimbo. Kuamua urefu wa kitu kwa kutumia kioo. Kutatua matatizo ya vitendo. Mbinu ya Thales. Taja pembetatu zinazofanana. Kuamua urefu wa piramidi. Kazi ya kujitegemea. Kuamua urefu wa kitu. Gymnastics kwa macho. Kauli mbiu ya somo.

"Wazo la vekta" - Urefu wa vekta. Vekta. Mwelekeo wa vectors. Usawa wa vekta. Vekta za Collinear. Weka alama kwenye mchoro. Isosceles trapezoid. Rejea ya kihistoria. Vekta mbili zisizo za sifuri. Kazi. Vekta mbili zisizo za sifuri ni collinear. Vekta ya sifuri. Dhana ya vector ya kijiometri. Vector ni nini. Kuchelewesha vekta kutoka kwa sehemu fulani. Parallelogram.

UWANJA WA UCHAWI

Uchina inachukuliwa kuwa mahali pa kuzaliwa kwa viwanja vya uchawi. Huko Uchina, kuna mafundisho ya Feng Shui, ambayo inasema kwamba rangi, sura na uwekaji wa mwili wa kila kitu kwenye nafasi huathiri mtiririko wa Qi, ama kupunguza kasi, kuielekeza au kuharakisha, ambayo huathiri moja kwa moja viwango vya nishati. ya wakazi. Ili kujifunza siri za ulimwengu, miungu ilituma Mfalme Yu ishara ya kale zaidi, mraba wa Lo Shu (Lo - mto).

UWANJA WA UCHAWI LO SHU

Hadithi zinasema kwamba karibu miaka elfu nne iliyopita, kobe mkubwa, Shu, alitoka kwenye maji yenye dhoruba ya Mto Luo. Watu waliokuwa wakitoa dhabihu kwa mto huo walimwona kasa na mara moja wakamtambua kuwa mungu. Mawazo ya wahenga wa kale yalionekana kuwa yenye usawaziko kwa Maliki Yu hivi kwamba aliamuru sanamu ya kasa isitishwe kwenye karatasi na kuitia muhuri kwa muhuri wake wa kifalme. Vinginevyo, tungejuaje kuhusu tukio hili?

Kasa huyu alikuwa maalum kwa sababu alikuwa na muundo wa ajabu wa nukta kwenye ganda lake. Dots ziliwekwa alama kwa utaratibu, ambayo ilisababisha wanafalsafa wa zamani kwa wazo kwamba mraba ulio na nambari kwenye ganda la kasa hutumika kama mfano wa nafasi - ramani ya ulimwengu iliyoundwa na mwanzilishi wa hadithi ya ustaarabu wa Uchina, Huang Di. Kwa kweli, jumla ya nambari katika safu, safu, na diagonal zote mbili za mraba ni sawa na M = 15 na ni sawa na idadi ya siku katika kila mizunguko 24 ya mwaka wa jua wa China.

Nambari zenye usawa na zisizo za kawaida hubadilishana: Nambari 4 sawa (zilizoandikwa kutoka chini hadi juu kwa mpangilio wa kushuka) ziko kwenye pembe nne, na nambari 5 zisizo za kawaida (zilizoandikwa kutoka chini hadi juu kwa mpangilio wa kupanda) huunda msalaba katikati ya mraba. Vipengele vitano vya msalaba vinaonyesha ardhi, moto, chuma, maji na msitu. Jumla ya nambari zozote mbili zilizotenganishwa na kituo ni sawa na nambari ya Ho Ti, i.e. kumi.

Hata nambari (alama za Dunia) za Lo Shu ziliwekwa alama kwenye mwili wa turtle kwa namna ya dots nyeusi, au alama za Yin, na nambari zisizo za kawaida (alama za Mbinguni) - kwa namna ya dots nyeupe, au alama za Yang. Dunia 1 (au maji) iko chini, moto 9 (au anga) iko juu. Inawezekana kwamba picha ya kisasa ya nambari 5, iliyowekwa katikati ya utungaji, ni kutokana na ishara ya Kichina ya duality ya Yang na Yin.

UWANJA WA UCHAWI KUTOKA KHAJURAHO

Chumba cha Mashariki

Uchawi wa Joseph Rudyard Kipling, ambaye aliunda picha za Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan na, kwa kweli, Tabaka, alianza usiku wa kuamkia karne ya ishirini. Nusu karne mapema, katika Februari 1838, ofisa kijana Mwingereza wa Bengal Engineers, T.S. Bert, aliyependezwa na mazungumzo ya watumishi waliokuwa wamebeba palanquin yake, alikengeuka kutoka kwenye njia na kujikwaa kwenye mahekalu ya kale katika misitu ya India.

Kwenye ngazi za hekalu la Vishvanatha, afisa huyo alipata maandishi yanayoshuhudia ukale wa miundo hiyo. Baada ya muda mfupi, Meja Jenerali A. Cunningham alichora mipango ya kina kwa ajili ya Khajuraho. Uchimbaji ulianza, na kumalizika kwa ugunduzi wa kuvutia wa mahekalu 22. Mahekalu yalijengwa na Maharaja wa nasaba yao ya Chandel. Baada ya kuporomoka kwa ufalme wao, msitu umemeza majengo kwa miaka elfu moja. Mraba wa utaratibu wa nne, uliopatikana kati ya picha za miungu ya uchi na miungu ya kike, ilikuwa ya kushangaza.

Sio tu kwamba hesabu za mraba huu pamoja na safu, nguzo na diagonals zinapatana na sawa na 34. Pia zilipatana pamoja na diagonals zilizovunjika zilizoundwa wakati mraba unakunjwa kwenye torus, na kwa pande zote mbili. Kwa uchawi kama huo wa nambari, mraba kama huo huitwa "shetani" (au "pandiagonal", au "nasik").

Bila shaka, hii ilishuhudia uwezo usio wa kawaida wa hisabati wa waumbaji wao, ambao walikuwa bora kuliko wakoloni. Kile watu waliovalia helmeti nyeupe walihisi bila shaka.

UWANJA WA UCHAWI WA DURER

Msanii maarufu wa Ujerumani wa mapema karne ya 16, Albrecht Durer, aliunda mraba wa kwanza wa uchawi wa 4x4 katika sanaa ya Uropa. Jumla ya nambari katika safu yoyote, safu, diagonal, na pia, kwa kushangaza, katika kila robo (hata katika mraba wa kati) na hata jumla ya nambari za kona ni 34. Nambari mbili za kati kwenye safu ya chini zinaonyesha tarehe. uundaji wa uchoraji (1514). Marekebisho yamefanywa katika viwanja vya kati vya safu ya kwanza - nambari zimeharibika.

Katika picha na occult winged panya Zohali, mraba uchawi linajumuisha winged akili Jupiter, ambayo kupinga kila mmoja. Mraba ni ulinganifu, kwa kuwa jumla ya nambari mbili zilizojumuishwa ndani yake, ziko sawa na kituo chake, ni sawa na 17. Ikiwa unaongeza nambari nne zilizopatikana kwa hoja ya knight ya chess, utapata 34. Kweli. , mraba huu, pamoja na mpangilio wake usiofaa, unaonyesha hali ya huzuni ambayo imemshika msanii.

Ndoto ya asubuhi.

Wazungu walianzishwa kwa viwanja vya nambari vya kushangaza na mwandishi wa Byzantine na mwanaisimu Moschopoulos. Kazi yake ilikuwa insha maalum juu ya mada hii na ilikuwa na mifano ya viwanja vya uchawi vya mwandishi.

MFUMO WA VIWANJA VYA UCHAWI

Katikati ya karne ya 16. Huko Uropa, kazi zilionekana ambapo miraba ya uchawi ilionekana kama vitu vya utafiti wa hisabati. Hii ilifuatiwa na kazi zingine nyingi, haswa na wanahisabati maarufu, waanzilishi wa sayansi ya kisasa, kama vile Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss.

Kichawi, au mraba wa kichawi, ni jedwali la mraba lililojazwa na nambari za n 2 kwa njia ambayo jumla ya nambari katika kila safu, kila safu na kwenye diagonal zote mbili ni sawa. Ufafanuzi huo ni wa masharti, kwani watu wa kale pia waliunganisha maana, kwa mfano, kwa rangi.

Kawaida inayoitwa mraba wa kichawi uliojaa nambari kamili kutoka 1 hadi n2. Viwanja vya kawaida vya uchawi vipo kwa maagizo yote isipokuwa n = 2, ingawa kesi n = 1 ni ndogo - mraba una nambari moja.

Jumla ya nambari katika kila safu, safu na diagonal inaitwa uchawi mara kwa mara M. Mzunguko wa uchawi wa mraba wa kawaida wa uchawi unategemea tu n na hutolewa na formula

M = n (n 2 + 1) /2

Maadili ya kwanza ya viboreshaji vya uchawi hupewa kwenye jedwali

Ikiwa jumla ya nambari katika mraba ni sawa tu katika safu na safu, basi inaitwa nusu ya kichawi. Mraba wa uchawi unaitwa ushirika au ulinganifu, ikiwa jumla ya nambari zozote mbili zinazopatikana kwa ulinganifu katikati ya mraba ni sawa na n 2 + 1.

Kuna mraba mmoja tu wa kawaida wa mpangilio wa tatu. Watu wengi walimfahamu. Mpangilio wa nambari katika mraba wa Lo Shu ni sawa na majina ya ishara ya roho huko Kabbalah na ishara za unajimu wa Kihindi.

Pia inajulikana kama mraba wa Saturn. Baadhi ya jumuiya za siri katika Zama za Kati ziliiona kama "Kabbalah ya Vyumba Tisa." Bila shaka, kivuli cha uchawi uliokatazwa kilimaanisha mengi kwa ajili ya kuhifadhi picha zake.

Ilikuwa muhimu katika hesabu ya zama za kati, ambayo mara nyingi ilitumiwa kama hirizi au usaidizi wa uaguzi. Kila seli inalingana na herufi ya fumbo au ishara nyingine. Soma pamoja kwenye mstari hususa, ishara hizi zilitoa ujumbe wa uchawi. Nambari zinazounda tarehe ya kuzaliwa ziliwekwa kwenye seli za mraba na kisha kutofautishwa kulingana na maana na eneo la nambari.

Kati ya pandigonal, kama vile pia huitwa, viwanja vya kichawi vya kishetani, zile zenye ulinganifu zinajulikana - bora. Mraba wa kishetani unabaki kuwa wa kishetani ikiwa unaizungusha, kutafakari, kupanga upya safu kutoka juu hadi chini na kinyume chake, kuvuka safu upande wa kulia au wa kushoto na ugawanye kwa upande mwingine. Kuna mabadiliko tano kwa jumla, mchoro wa mwisho unaonyeshwa kwenye takwimu

Kuna miraba 48 4x4 ya kishetani yenye usahihi wa mzunguko na uakisi. Ikiwa pia tutazingatia ulinganifu kuhusiana na tafsiri sambamba za toric, basi ni miraba mitatu tu tofauti ya kishetani 4x4 iliyobaki:

Claude F. Bragdon, mbunifu maarufu wa Marekani, aligundua kwamba kwa kuunganisha seli moja kwa moja na idadi tu hata au tu isiyo ya kawaida ya mraba wa uchawi kwenye mstari uliovunjika, tutapata muundo wa kifahari katika hali nyingi. Ubunifu aliobuni wa grille ya uingizaji hewa kwenye dari ya Chumba cha Biashara huko Rochester, New York, alikoishi, ulijengwa kutoka kwa laini iliyovunjika ya kichawi ya talisman ya Lo-Shu. Bragdon alitumia "mistari ya uchawi" kama miundo ya vitambaa, vifuniko vya vitabu, mapambo ya usanifu na vichwa vya mapambo.

Ikiwa utaweka mosaic ya miraba inayofanana ya kishetani (kila mraba lazima iwe karibu na majirani zake), utapata kitu kama parquet, ambayo nambari katika kundi lolote la seli 4x4 zitaunda mraba wa kishetani. Nambari katika seli nne, kufuata moja baada ya nyingine, bila kujali jinsi ziko - wima, usawa au diagonally - daima huongeza hadi mara kwa mara ya mraba. Wanahisabati wa kisasa huita mraba kama huo "kamili".

UWANJA WA LATIN

Mraba wa Kilatini ni aina ya mraba ya hisabati isiyo ya kawaida iliyojazwa na alama n tofauti kwa njia ambayo alama zote za n huonekana katika kila safu na kila safu (kila mara moja).

Viwanja vya Kilatini vipo kwa n yoyote. Mraba wowote wa Kilatini ni jedwali la kuzidisha (Jedwali la Cayley) la quasigroup. Jina "mraba wa Kilatini" linatokana na Leonhard Euler, ambaye alitumia herufi za Kilatini badala ya nambari kwenye jedwali.

Viwanja viwili vya Kilatini vinaitwa ya orthogonal, ikiwa jozi zote za alama zilizopangwa (a,b) ni tofauti, ambapo a ni ishara katika seli fulani ya mraba wa kwanza wa Kilatini, na b ni ishara katika seli moja ya mraba wa pili wa Kilatini.

Miraba ya Kilatini ya Orthogonal ipo kwa mpangilio wowote isipokuwa 2 na 6. Kwa n kuwa nguvu ya nambari kuu, kuna seti ya n-1 ya miraba ya Kilatini yenye pande mbili. Ikiwa katika kila diagonal ya mraba wa Kilatini vipengele vyote ni tofauti, mraba huo wa Kilatini unaitwa diagonal. Jozi za miraba ya Kilatini yenye ulalo wa othogonal zipo kwa maagizo yote isipokuwa 2, 3, na 6. Mraba wa Kilatini mara nyingi hupatikana katika matatizo ya kuratibu kwa sababu nambari hazirudiwi katika safu mlalo na safu wima.

Mraba inayoundwa na jozi ya vipengele vya miraba miwili ya Kilatini ya orthogonal inaitwa Mraba wa Kigiriki-Kilatini. Viwanja vile mara nyingi hutumiwa kujenga mraba wa uchawi na katika matatizo magumu ya ratiba.

Wakati wa kusoma mraba wa Greco-Kilatini, Euler alithibitisha kuwa mraba wa mpangilio wa pili haupo, lakini mraba wa maagizo 3, 4, na 5 ulipatikana. Hakupata mraba hata mmoja wa mpangilio 6. Alidhani kwamba hakuna miraba ya mpangilio hata ambayo haiwezi kugawanywa na 4 (yaani, 6, 10, 14, nk). Mnamo 1901, Gaston Terry alithibitisha nadharia ya agizo la 6 kwa nguvu ya kikatili. Lakini mnamo 1959, nadharia hiyo ilikanushwa na E. T. Parker, R. C. Bowes na S. S. Shrickherd, ambao waligundua mraba wa Graeco-Kilatini wa agizo 10.

POLYMINO ARTHUR CLARKE

Polyominoes - kwa suala la utata, hakika ni ya jamii ya mraba ngumu zaidi ya hisabati. Hivi ndivyo mwandishi wa hadithi za kisayansi A. Clark anaandika juu yake - hapa chini ni sehemu ya kitabu "Earthly Empire". Ni dhahiri kwamba Clark, akiishi kwenye kisiwa chake, aliishi Ceylon - na falsafa yake ya kujitenga na jamii inavutia yenyewe, alipendezwa na burudani ambayo bibi ya mvulana anafundisha, na akaipitisha kwetu. Wacha tupende maelezo haya hai kwa mifumo iliyopo, ambayo huwasilisha, labda, kiini, lakini sio roho ya mchezo.

"Wewe ni mvulana mkubwa wa kutosha sasa, Duncan, na utaweza kuelewa mchezo huu ... hata hivyo, ni zaidi ya mchezo." Kinyume na maneno ya bibi yake, Duncan hakufurahishwa na mchezo huo. Naam, unaweza kufanya nini kutoka kwa mraba tano nyeupe za plastiki?

"Kwanza kabisa," aliendelea bibi, "unahitaji kuangalia ni mifumo ngapi tofauti unaweza kuweka pamoja kutoka kwa miraba."

- Je, wanapaswa kulala kwenye meza? - aliuliza Duncan.

- Ndio, wanapaswa kusema uwongo wakigusa. Huwezi kuingiliana mraba mmoja na mwingine.

Duncan alianza kuweka viwanja.

“Sawa, ninaweza kuziweka zote katika mstari ulionyooka,” alianza.” “Kama hivi... Na kisha ninaweza kupanga upya vipande viwili na kupata herufi L... Na nikinyakua makali mengine, nitapata herufi. U...”

Mvulana haraka alitengeneza mchanganyiko wa nusu dazeni, kisha zaidi na ghafla akagundua kuwa walikuwa wakirudia zile zilizopo.

- Labda mimi ni mjinga, lakini ndivyo tu.

Duncan alikosa takwimu rahisi zaidi - msalaba, ili kuunda ambayo ilikuwa ya kutosha kuweka miraba minne kwenye pande za ya tano, ya kati.

"Watu wengi huanza na msalaba," bibi alitabasamu. "Kwa maoni yangu, ulikuwa na haraka sana kujitangaza kuwa mjinga." Afadhali fikiria: kunaweza kuwa na takwimu zingine?

Akiwa anasonga miraba kwa umakini, Duncan alipata takwimu zingine tatu, kisha akaacha kutafuta.

"Hakika imekwisha sasa," alisema kwa ujasiri.

- Unaweza kusema nini juu ya takwimu kama hiyo?

Baada ya kusogeza miraba kidogo, bibi aliikunja kuwa umbo la herufi yenye nundu F.

- Na hapa kuna mwingine.

Duncan alihisi kama mjinga kabisa, na maneno ya bibi yake yalikuwa kama dawa kwenye nafsi yake iliyoaibika:

- Wewe ni mzuri tu. Hebu fikiria, nimekosa vipande viwili tu. Na jumla ya idadi ya takwimu ni kumi na mbili. Hakuna zaidi na si chini. Sasa unawajua wote. Ukitafuta umilele, hutapata mwingine.

Bibi alifagia miraba mitano nyeupe kwenye kona na kuweka vipande kadhaa vya plastiki vyenye kung'aa na vya rangi nyingi kwenye meza. Hizi zilikuwa takwimu kumi na mbili sawa, lakini katika fomu ya kumaliza, na kila moja ilikuwa na mraba tano. Duncan alikuwa tayari kukubaliana kwamba hakuna takwimu nyingine kweli kuwepo.

Lakini kwa kuwa bibi aliweka mistari hii ya rangi nyingi, inamaanisha mchezo unaendelea, na mshangao mwingine ulimngojea Duncan.

- Sasa, Duncan, sikiliza kwa makini. Takwimu hizi zinaitwa "pentaminoes". Jina linatokana na neno la Kigiriki "penta", ambalo linamaanisha "tano". Takwimu zote ni sawa katika eneo, kwani kila moja ina miraba mitano inayofanana. Kuna takwimu kumi na mbili, mraba tano, kwa hiyo, eneo la jumla litakuwa sawa na mraba sitini. Haki?

- Hmm ndio.

- Sikiliza zaidi. Sitini ni nambari ya duru ya ajabu ambayo inaweza kutungwa kwa njia kadhaa. Rahisi zaidi ni kuzidisha kumi kwa sita. Sanduku hili lina eneo kama hilo: linaweza kushikilia mraba kumi kwa usawa, na sita kwa wima. Kwa hiyo, takwimu zote kumi na mbili zinapaswa kuingia ndani yake. Rahisi, kama kitendawili cha picha cha mchanganyiko.

Duncan alitarajia kupata samaki. Bibi alipenda vitendawili vya maneno na hesabu, na si vyote vilivyoeleweka kwa mwathiriwa wake wa miaka kumi. Lakini wakati huu hapakuwa na vitendawili. Chini ya sanduku ilikuwa imefungwa na mraba sitini, ambayo ina maana ... Acha! Eneo ni eneo, lakini takwimu zina maumbo tofauti. Jaribu kuwaingiza kwenye sanduku!

“Nitakuachia jukumu hili ulitatue peke yako,” akatangaza nyanya, akiona jinsi alivyosogeza pentomino chini ya sanduku kwa huzuni.” “Niamini, zinaweza kukusanywa.”

Punde Duncan alianza kutilia shaka sana maneno ya bibi yake. Aliweza kwa urahisi kutoshea takwimu kumi kwenye sanduku, na mara moja aliweza kufinya katika kumi na moja. Lakini muhtasari wa nafasi isiyojazwa haukuendana na muhtasari wa takwimu ya kumi na mbili, ambayo mvulana alikuwa akiigeuza mikononi mwake. Kulikuwa na msalaba, na takwimu iliyobaki inafanana na herufi Z...

Baada ya nusu saa nyingine, Duncan tayari alikuwa kwenye hatihati ya kukata tamaa. Bibi alizama katika mazungumzo na kompyuta yake, lakini mara kwa mara aliitazama kwa kupendezwa, kana kwamba anasema: "Hii si rahisi kama ulivyofikiria."

Katika umri wa miaka kumi, Duncan alikuwa mkaidi sana. Wengi wa wenzake wangeacha kujaribu muda mrefu uliopita. (Miaka kadhaa tu baadaye ndipo alipogundua kwamba nyanya yake alikuwa amemfanyia mtihani wa kisaikolojia kwa uzuri.) Duncan alidumu kwa takriban dakika arobaini bila msaada...

Kisha bibi akainuka kutoka kwenye kompyuta na akainama juu ya fumbo. Vidole vyake vilisogeza maumbo U, X na L...

Sehemu ya chini ya sanduku ilikuwa imejaa kabisa! Vipande vyote vya fumbo vilikuwa katika maeneo sahihi.

- Bila shaka, ulijua jibu mapema! - Duncan alikasirika.

- Jibu? - aliuliza nyanya, "Unafikiri pentomino inaweza kuwekwa kwa njia ngapi kwenye sanduku hili?"

Hapa ni, mtego. Duncan alicheza kwa karibu saa nzima bila kupata suluhu, ingawa wakati huu alijaribu angalau chaguzi mia moja. Alifikiri kuna njia moja tu. Je, kunaweza kuwa na... kumi na wawili kati yao? Au zaidi?

- Kwa hivyo unadhani kunaweza kuwa na njia ngapi? - Bibi aliuliza tena.

"Ishirini," Duncan alifoka, akifikiri kwamba sasa bibi hatajali.

- Jaribu tena.

Duncan alihisi hatari. Furaha hiyo iligeuka kuwa ya ujanja zaidi kuliko vile alivyofikiria, na mvulana kwa busara aliamua kutohatarisha.

"Kwa kweli, sijui," alisema, akitikisa kichwa.

"Na wewe ni mvulana msikivu," bibi akatabasamu tena. "Intuition ni mwongozo hatari, lakini wakati mwingine hatuna mwingine." Ninaweza kukufurahisha: haiwezekani kukisia jibu sahihi hapa. Kuna zaidi ya njia elfu mbili tofauti za kutosheleza pentomino kwenye kisanduku hiki. Kwa usahihi zaidi, elfu mbili mia tatu thelathini na tisa. Na unasemaje kwa hili?

Haiwezekani kwamba bibi yake alikuwa akimdanganya. Lakini Duncan alikasirishwa sana na kutoweza kwake kupata suluhisho hivi kwamba alishindwa kujizuia kusema:

- Siamini!

Helen mara chache alionyesha kuwashwa. Duncan alipomkosea kwa njia fulani, alihisi baridi na mbali. Hata hivyo, sasa bibi alicheka tu na kugonga kitu kwenye kibodi cha kompyuta.

“Angalia hapa,” alipendekeza.

Seti ya pentomino kumi na mbili za rangi nyingi zilionekana kwenye skrini, zikijaza mstatili kumi kwa sita. Sekunde chache baadaye ilibadilishwa na picha nyingine, ambapo takwimu zilikuwa ziko tofauti (Duncan hakuweza kusema kwa uhakika, kwani hakukumbuka mchanganyiko wa kwanza). Hivi karibuni picha ilibadilika tena, kisha tena na tena ... Hii iliendelea mpaka bibi akasimamisha programu.

"Hata kwa mwendo wa kasi, kompyuta itahitaji saa tano ili kupitia mbinu zote," alieleza bibi huyo. "Unaweza kuchukua neno langu kwa hilo: zote ni tofauti." Ikiwa haikuwa kwa kompyuta, nina shaka kuwa watu wangepata njia zote kupitia hesabu ya kawaida ya chaguzi.

Duncan alitazama takwimu kumi na mbili rahisi za udanganyifu kwa muda mrefu. Taratibu akayatafakari maneno ya bibi yake. Huu ulikuwa ufunuo wa kwanza wa hisabati katika maisha yake. Kile alichofikiria kwa haraka kama mchezo wa mtoto wa kawaida ghafla kilianza kujitokeza mbele yake njia na upeo usio na mwisho, ingawa hata mtoto mwenye kipawa zaidi wa miaka kumi hangeweza kuhisi kutokuwa na mipaka kwa ulimwengu huu.

Lakini basi furaha na mshangao wa Duncan haukuwa wa kawaida. Mlipuko wa kweli wa furaha ya kiakili ulitokea baadaye, wakati kwa kujitegemea alipata njia yake ya kwanza ya kuweka pentominoes. Kwa wiki kadhaa, Duncan alibeba sanduku la plastiki naye kila mahali. Alitumia wakati wake wote wa bure kwenye pentominoes tu. Takwimu zitageuka kuwa marafiki wa kibinafsi wa Duncan. Aliwaita kwa herufi ambazo walifanana, ingawa katika hali zingine kufanana kulikuwa zaidi ya mbali. Takwimu tano - F, I, L, P, N - haziendani, lakini saba zilizobaki zilirudia mlolongo wa alfabeti ya Kilatini: T, U, V, W, X, Y, Z.

Siku moja, katika hali ya aidha ya mwonekano wa kijiometri au msisimko wa kijiometri, ambayo haikurudiwa kamwe, Duncan alipata chaguo tano za uundaji chini ya saa moja. Labda hata Newton, Einstein au Chen Tzu, katika nyakati zao za ukweli, hawakuhisi uhusiano wa karibu zaidi na miungu ya hisabati kuliko Duncan Mackenzie.

Muda si muda alitambua, peke yake, bila kushawishiwa na bibi yake, kwamba pentomino inaweza kuwekwa kwenye mstatili wenye ukubwa tofauti wa kando. Kwa urahisi kabisa, Duncan alipata machaguo kadhaa ya mistatili 5 kwa 12 na 4 kwa 15. Kisha aliteseka kwa wiki nzima akijaribu kutoshea takwimu kumi na mbili kwenye mstatili mrefu na mwembamba wa 3 kwa 20. Tena na tena alianza kujaza nafasi hiyo ya usaliti na ... pata mashimo kwenye mstatili na takwimu "za ziada".

Akiwa amehuzunika, Duncan alimtembelea nyanya yake, ambapo mshangao mpya ulimngoja.

"Nimefurahi kwa majaribio yako," Helen alisema. "Uligundua uwezekano wote, ukijaribu kupata muundo wa jumla." Hivi ndivyo wanahisabati hufanya kila wakati. Lakini umekosea: suluhu za mstatili wa tatu-kwa-ishirini zipo. Kuna mbili tu kati yao, na ukipata moja, utaweza kupata ya pili.

Akichochewa na sifa za nyanya yake, Duncan aliendelea na "kuwinda pentomino" kwa nguvu mpya. Baada ya wiki nyingine, alianza kuelewa ni mzigo gani usiobebeka ambao alikuwa ameweka mabegani mwake. Idadi ya njia ambazo takwimu kumi na mbili zingeweza kupangwa ilimshangaza sana Duncan. Aidha, kila takwimu ilikuwa na nafasi nne!

Na tena akaja kwa bibi yake, akimwambia shida zake zote. Ikiwa kungekuwa na chaguo mbili pekee kwa mstatili 3 kwa 20, itachukua muda gani kuzipata?

"Ikiwa tafadhali, nitakujibu," bibi alisema, "Ikiwa ungefanya kama kompyuta isiyo na akili, ukifanya utafutaji rahisi wa mchanganyiko na kutumia sekunde moja kwa kila moja, utahitaji ..." Hapa alisimama kwa makusudi. “Ungehitaji zaidi ya milioni sita ... ndiyo, zaidi ya miaka milioni sita.

Duniani au titanic? Swali hili lilionekana mara moja katika akili ya Duncan. Lakini kuna tofauti gani?

"Lakini wewe ni tofauti na kompyuta isiyo na akili," bibi aliendelea, "mara moja unaona michanganyiko isiyofaa, na kwa hivyo sio lazima upoteze wakati kuiangalia." Jaribu tena.

Duncan alitii, tayari bila shauku na imani katika mafanikio. Na kisha wazo zuri likamjia akilini.

Karl alipendezwa mara moja na pentomino na akakubali changamoto hiyo. Alichukua sanduku na takwimu kutoka kwa Duncan na kutoweka kwa saa kadhaa.

Karl alipompigia simu, rafiki yake alionekana kukasirika.

- Je, una uhakika kwamba tatizo hili kweli lina suluhu? - aliuliza.

- Hakika kabisa. Kuna wawili kati yao. Je, kweli hujapata angalau moja? Nilidhani ulikuwa mzuri katika hesabu.

"Fikiria, naweza kufahamu, ndiyo maana najua ni kiasi gani kazi yako inahitaji." Tunahitaji kuangalia ... mchanganyiko unaowezekana wa bilioni.

- Ulijuaje kuwa kuna wengi wao? - Duncan aliuliza, akifurahi kwamba angalau aliweza kumfanya rafiki yake akuna kichwa kwa kuchanganyikiwa.

Karl alitazama kando kipande cha karatasi kilichojaa michoro na nambari.

- Ikiwa hutajumuisha mchanganyiko usiokubalika na kuzingatia ulinganifu na uwezekano wa mzunguko ... unapata factorial ... jumla ya idadi ya vibali ... bado hutaelewa. Ni bora nikuonyeshe nambari yenyewe.

Alileta karatasi nyingine kwenye kamera, ambayo safu ya kuvutia ya nambari ilionyeshwa kwa undani zaidi:

1 004 539 160 000 000.

Duncan hakujua chochote kuhusu viwanda, lakini hakuwa na shaka juu ya usahihi wa hesabu za Karl. Alipenda sana namba ndefu.

"Kwa hiyo utaacha kazi hii?" - Duncan aliuliza kwa uangalifu.

- Nini zaidi! Nilitaka tu kukuonyesha jinsi ilivyo ngumu.

Uso wa Karl ulionyesha azimio la kuhuzunisha. Baada ya kusema maneno hayo, alizimia.

Siku iliyofuata, Duncan alipata mshtuko mkubwa zaidi wa maisha yake ya ujana. Uso wa Karl wenye hasira, wenye macho ya damu, ulimtazama kutoka kwenye skrini. Ilihisiwa kuwa alikuwa amelala bila usingizi.

"Naam, hivyo tu," alitangaza kwa sauti ya uchovu lakini ya ushindi.

Duncan hakuamini macho yake. Ilionekana kwake kuwa nafasi za kufaulu zilikuwa kidogo. Hata alijiaminisha kwa hili. Na ghafla ... Mbele yake kuweka mstatili tatu kwa ishirini, kujazwa na takwimu zote kumi na mbili za pentomino.

Kisha Karl akabadilishana na kugeuza vipande kwenye ncha, na kuacha sehemu ya kati bila kuguswa. Vidole vyake vilitetemeka kidogo kutokana na uchovu.

"Hili ni suluhisho la pili," alielezea. "Na sasa ninaenda kulala." Kwa hivyo usiku mwema au asubuhi njema - chochote unachopenda.

Duncan aliyefedheheshwa alitazama skrini yenye giza kwa muda mrefu. Hakujua ni njia gani Karl alisogea, akipapasa kutafuta suluhisho la fumbo. Lakini alijua kwamba rafiki yake alikuwa ameibuka mshindi. Dhidi ya tabia mbaya zote.

Hakuonea wivu ushindi wa rafiki yake. Duncan alimpenda Karl kupita kiasi na kila wakati alifurahiya mafanikio yake, ingawa yeye mwenyewe mara nyingi alijikuta kwenye upande wa kushindwa. Lakini kulikuwa na kitu tofauti kuhusu ushindi wa rafiki yangu leo, kitu karibu cha kichawi.

Duncan aliona kwa mara ya kwanza nguvu ya angavu. Alikumbana na uwezo wa ajabu wa akili kuvunja zaidi ya ukweli na kutupa kando mantiki inayoingilia. Baada ya saa chache, Karl alimaliza kazi kubwa zaidi ya kompyuta yenye kasi zaidi.

Baadaye, Duncan alijifunza kuwa watu wote wana uwezo kama huo, lakini huzitumia mara chache sana - labda mara moja katika maisha yao. Katika Karl, zawadi hii ilipata maendeleo ya kipekee ... Kuanzia wakati huo, Duncan alianza kuchukua mawazo ya rafiki yake kwa uzito, hata ya ujinga zaidi na ya hasira kutoka kwa mtazamo wa akili ya kawaida.

Hii ilikuwa miaka ishirini iliyopita. Duncan hakukumbuka vipande vya pentomino vya plastiki vilienda wapi. Labda walibaki na Karl.

Zawadi ya Bibi ikawa mwili wao mpya, sasa kwa namna ya vipande vya mawe ya rangi nyingi. Granite ya kushangaza, laini ya pinki ilitoka kwenye vilima vya Galileo, obsidian ilitoka kwenye Plateau ya Huygens, na marumaru bandia ilitoka kwenye ridge ya Herschel. Na miongoni mwao... mwanzoni Duncan alifikiri amekosea. Hapana, ndivyo ilivyo: ilikuwa madini adimu na ya kushangaza zaidi ya Titan. Bibi yangu alitengeneza jiwe la pentomino msalaba kutoka kwa titanite. Madini haya ya bluu-nyeusi yenye inclusions ya dhahabu haiwezi kuchanganyikiwa na chochote. Duncan hakuwahi kuona vipande vikubwa hivyo hapo awali na aliweza tu kukisia gharama yake ilikuwa nini.

"Sijui niseme nini," alinong'ona, "Uzuri gani." Hii ni mara ya kwanza kuona hii.

Alikumbatia mabega nyembamba ya bibi yake na ghafla akahisi kwamba walikuwa wakitetemeka na hakuweza kuacha kutetemeka. Duncan alimshika kwa upole mikononi mwake hadi mabega yake yakaacha kutikisika. Kwa wakati kama huo, maneno hayahitajiki. Kwa uwazi zaidi kuliko hapo awali, Duncan alielewa: alikuwa mpenzi wa mwisho katika maisha ya Helen Mackenzie. Na sasa anaruka, akimuacha peke yake na kumbukumbu zake.

UWANJA MKUBWA WA UCHAWI

Mwanahisabati Mchina wa karne ya 13 Yang Hui alifahamu pembetatu ya Pascal (pembetatu ya hesabu). Aliacha maelezo ya njia za kutatua hesabu za digrii 4 na za juu; kuna sheria za kutatua equation kamili ya quadratic, muhtasari wa maendeleo, na njia za kuunda miraba ya kichawi. Aliweza kujenga mraba wa kichawi wa mpangilio wa sita, na mwisho huo uligeuka kuwa karibu na ushirika (ndani yake ni jozi mbili tu za nambari zinazopingana za serikali hazitoi jumla ya 37).

Benjamin Franklin aliunda mraba 16x16, ambayo, pamoja na kuwa na jumla ya mara kwa mara ya 2056 katika safu zote, nguzo na diagonals, ilikuwa na mali moja zaidi ya ziada. Ikiwa tutakata mraba 4x4 kutoka kwa karatasi na kuweka karatasi hii kwenye mraba mkubwa ili seli 16 za mraba mkubwa zianguke kwenye slot hii, basi jumla ya nambari zinazoonekana kwenye slot hii, bila kujali tunaiweka wapi. , itakuwa sawa - 2056.

Jambo la thamani zaidi kuhusu mraba huu ni kwamba ni rahisi kabisa kuubadilisha kuwa mraba mzuri kabisa wa uchawi, wakati kujenga miraba kamili ya uchawi sio kazi rahisi. Franklin aliita mraba huu "uchawi unaovutia zaidi kati ya viwanja vyote vya uchawi vilivyowahi kuundwa na wachawi."

Durer Albrecht (1471-1528), mchoraji wa Ujerumani, mchoraji, mchongaji, mtaalam wa sanaa.

alisoma na baba yake.
Baba, mtengenezaji wa vito, alitaka kuhusisha mtoto wake katika kufanya kazi katika semina ya vito vya mapambo, lakini Albrecht hakuonyesha tamaa yoyote. Alipenda na alivutiwa na uchoraji.

Kutoka kwa msanii wa Nuremberg Wolgemut Dürer hakujua uchoraji tu, bali pia kuchonga juu ya kuni.
Alihamasishwa na kazi za msanii Martin Schongauer, ambaye hajawahi kukutana naye, Albrecht alisafiri sana na kusoma, alisoma, alisoma kila mahali ...

Lakini wakati ulifika ambapo Albrecht alihitaji kuolewa. Na kisha akachagua Agnes Frey, binti ya rafiki wa baba yake, kutoka kwa familia ya zamani na inayoheshimiwa ya Nuremberg. Ndoa na Agnessa haikuwa na mtoto, na wenzi wa ndoa walikuwa tofauti, jambo ambalo lilifanya familia hiyo kutokuwa na furaha sana.

Lakini hata hivyo, alifungua biashara yake mwenyewe na kuunda sehemu kubwa ya michoro yake kwenye semina yake.
Uvumi ulienea huko Venice kuhusu mapenzi yake kwa jinsia zote...Labda Dürer alizoea mapenzi ya jinsia moja na rafiki yake mpendwa, mtaalamu wa fasihi ya kale, Pirkheimer.

Nywele ndefu, zenye moto, masomo ya kucheza, hofu ya kuambukizwa kaswende huko Venice na kununua dawa dhidi ya ugonjwa huu nchini Uholanzi, nguo za kifahari, ubatili mdogo katika kila kitu kinachohusiana na uzuri na sura yake, huzuni, narcissism na maonyesho, tata ya Kristo, ndoa isiyo na watoto, utii kwa mke wake, urafiki mpole na Libertine Pirkheimer, ambaye yeye mwenyewe, katika barua ya Oktoba ya 1506, alipendekeza kwa utani kuhasiwa -

Haya yote yameunganishwa huko Dürer na utunzaji mwororo kwa mama yake na kaka zake, na miaka mingi ya kazi ngumu, malalamiko ya mara kwa mara juu ya umaskini, magonjwa, na misiba ambayo inadaiwa ilimsumbua.

Uwe mwaminifu kwa Mungu!
Pata afya
Na uzima wa milele mbinguni
Kama Bikira Maria aliye safi zaidi.
Albrecht Durer anakuambia -
Tubu dhambi zako
Hadi siku ya mwisho ya Kwaresima,
Na kufunga kinywa cha shetani,
Utamshinda yule mwovu.
Bwana Yesu Kristo akusaidie
Jithibitishe kwa wema!
Fikiria juu ya kifo mara nyingi zaidi
Kuhusu mazishi ya miili yenu.
Inatisha nafsi
Huvuruga kutoka kwa uovu
Na ulimwengu wa dhambi,
Kutoka kwa ukandamizaji wa mwili
Na uchochezi wa shetani...

Wakati Koberger ilichapishwa mnamo 1498"Apocalypse",

Dürer aliunda mbao 15, ambazo zilimletea umaarufu wa Uropa. Kujuana na shule ya Venetian kulikuwa na ushawishi mkubwa juu ya mtindo wa uchoraji wa msanii.
Huko Venice, msanii aliamuru wafanyabiashara wa Ujerumani "Sikukuu ya Maua ya Rose" na kisha mapendekezo mengine yakaja, picha za kuchora ambazo ziliacha hisia isiyoweza kufutika na uchangamano wa rangi na masomo.

Mfalme mwenyewe Maximilian I

alistaajabishwa na sanaa ya Albrecht Durer.
Dürer alishikamana na maoni ya “wapiganaji wa iconoclast,” hata hivyo, katika vitabu vya baadaye vya A. Dürer, watafiti fulani walipata huruma kwa Uprotestanti.

Mwisho wa maisha yake, Dürer alifanya kazi nyingi kama mchoraji; katika kipindi hiki aliunda kazi za kina zaidi, ambazo zinaonyesha ujuzi wake na sanaa ya Uholanzi.

Moja ya uchoraji muhimu zaidi wa miaka ya hivi karibuni - diptych "Mitume Wanne", ambayo msanii aliwasilisha kwa baraza la jiji mnamo 1526.

Huko Uholanzi, Dürer alipatwa na ugonjwa usiojulikana (labda wa malaria), ambao aliteseka maisha yake yote.

Albrekh alitunga kinachojulikana kama mraba wa uchawi, iliyoonyeshwa katika moja ya michoro yake bora zaidi -"Melancholia" Ubora wa Durer iko katika ukweli kwamba aliweza kutoshea nambari kutoka 1 hadi 16 kwenye mraba uliochorwa kwa njia ambayo jumla ya 34 ilipatikana sio tu kwa kuongeza nambari kwa wima, usawa na diagonally, lakini pia katika robo zote nne, katika quadrilateral ya kati na hata wakati wa kuongeza seli za pembe nne. Dürer pia aliweza kujumuisha kwenye jedwali mwaka ambao mchoro uliundwa ""(1514).

Kuna michoro tatu maarufu za mbao katika kazi za Albrecht Dürer, zinazoonyesha ramani za ulimwengu wa kusini na kaskazini wa anga ya nyota na ulimwengu wa mashariki wa Dunia, ambayo ikawa ya kwanza katika historia kuchapishwa kwa njia ya uchapaji.

Mnamo 1494, kitabu cha Sebastian Brant kilichapishwa chini ya jina la mfano"Meli ya wajinga" (Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Wakati wa safari za lazima kando ya Rhine kwa mwanafunzi wa shirika, Dürer alikamilisha michoro kadhaa za easel kwa roho ya marehemu Gothic, vielelezo vya "Ship of Fools" na S. Brant,

ambayo meli huvuka bahari. Kuna wajinga wengi karibu. Hapa wanawacheka mabaharia wapumbavu na meli za Dola.

Inaaminika kuwa pamoja na A. Dürer, wachongaji na wachongaji kadhaa walifanya kazi kwa wakati mmoja... Uchoraji "Meli ya Wajinga"- aliandika msanii maarufuHieronymus Bosch.

Mchoro wa Durer "Meli ya Wajinga"

Hapo juu kulia kuna wapumbavu kwenye mkokoteni, chini ya meli iliyozungukwa na boti inasafiri baharini, na kwenye meli na kwenye boti kuna wapumbavu wote.
Vielelezo vingi vya "Meli ya Wapumbavu," kama wachambuzi wanavyoona, vina UHUSIANO MDOGO NA YALIYOMO KATIKA KITABU CHENYEWE.
Kama inavyotokea, kitabu cha Brant chenyewe kilichaguliwa kama sababu, kisingizio, cha kuchapishwa kwa maandishi mengi (mia moja na kumi na sita) kwenye mada ya "Meli ya Wajinga."

Kuwa na Albrecht Durer na uchoraji kama vile "Sikukuu ya Watakatifu Wote" (Landauer Altar) 1511. Makumbusho ya Kunsthistorisches, Vienna. Uchoraji huu pia ulileta umaarufu mkubwa kwa msanii.

Inaonekana kwangu kuwa hatutafika mbali,
Nadhani tumefungwa.
Kila mtu ana jiji lake na nyumba yake,
Na tumenaswa kwenye wavu huu.

BG, "Mgeni"

Ulipoingia
Katika ulimwengu huu wa fomu,
Wanaiweka mbele yako
Ngazi ya kutoroka.

Mnanishangaza - ninyi mnaohofia kuwa ninawaelemea kwa kusoma masomo yasiyofaa. Shaka hii sio tu kwa akili za wastani - watu wote wana shida kuelewa kwamba kwa kusoma vitu hivi, kama kwa msaada wa zana, tunatakasa. jicho la nafsi, tunawasha moto mpya katika chombo ambacho kilikuwa kimefichwa na, kana kwamba, kimefungwa na vivuli vya sayansi zingine. Hili ni jicho ambalo hifadhi yake ni muhimu kuliko macho elfu kumi. kwa sababu ni kwao, na kwao tu tunaifahamu kweli.

Plato, "Jamhuri"

Kinachowasilishwa katika Sehemu hii ya tatu ni heshima kwa miaka yangu mingi ya kuvutiwa na vitu vya kale vya Maarifa, ambavyo huitwa viwanja vya uchawi.

Nitaanza, kama kawaida, na historia ya suala hilo.

Mwanasayansi mkuu wa Kisufi na mwanaalkemia Jabir Ibn Hayyan alitumia mraba wa kichawi wa seli 3 x 3 katika kazi yake. Hasa, alitumia mraba kama mchoro kuleta vipengele tofauti na kemikali katika usawa. Katika mraba wa Jabir, hata hivyo, kwa mujibu wa mfumo wa abjad wa Kiarabu, kulikuwa na herufi badala ya nambari.

Jabir's Magic Square

(Dervish talismans, ambayo inaweza kupatikana mara nyingi katika Asia, pia ni mraba wa uchawi wa aina mbalimbali, ambazo barua za Kiarabu hutumiwa badala ya nambari. Ikiwa unakutana nao mahali fulani katika magofu ya mashariki, kumbuka Jabir :).

Ibn Hayyan, hata hivyo, alikuwa mbali na wa kwanza kutumia mraba wa uchawi - kama inavyojulikana, ujuzi juu yake ulikuwepo miaka elfu kadhaa BC katika Uchina wa Kale. Wachina waliita mraba wa uchawi Lo-Shu, kwa sababu, kulingana na hadithi, babu wa kwanza wa Fu-Xi aliona muundo huu kwenye shell ya turtle ya fumbo ambayo ilitoka kwenye Mto Lo.

Lo-Shu

Mraba wa uchawi ulijumuishwa katika mchoro wake maarufu na Mjesuiti na mtaalam wa Athanasius Kircher wa Mashariki, ambaye niliandika juu yake. Katika mchongo ambao ulikuja kuwa jalada la kitabu cha Kircher Arithmology (Sayansi ya Hesabu na Uwiano), malaika aliye juu mbinguni ana mraba wa kichawi wa 3 x 3 wenye maandishi. Nambari, ambalo ni Kilatini linalomaanisha “nambari” au “kuhesabu.”

Katika kitabu chake "Sufis" Idris Shah anatoa mraba wa uchawi katika fomu hii:

Pia ina maelezo ya mali ya hisabati ya mchoro huu wa ulimwengu wote. Zinajulikana kwa kila mtu - jumla ya tarakimu za mraba pamoja na diagonal zote, pamoja na safu za usawa na wima, ni 15.

Kiini cha ajabu cha mraba wa kichawi ni rahisi kuelewa ikiwa utaiandika kwa fomu ifuatayo, ukichukua nambari ya tano kama sifuri, mahali pa kumbukumbu:

-1 +4 -3

+3 -4 +1

Uwakilishi kama huo unatoa wazo la mfumo, vitu vyote ambavyo, ingawa vinatofautiana katika mali, walakini, kwa ujumla, viko katika hali ya nguvu. usawa(homeostasis). Muhimu zaidi, ishara hii inatoa wazo Umoja - au vile Sufi Jabir angesema , tawhid- kwa sababu ina kituo kimoja - uhakika 0. (Chini kidogo tutaona kwamba hii inaweza kuwa tofauti kabisa).

Mraba wa uchawi wa 3 x 3 uliotumiwa na watu wa kale ni mwanzo tu, mbegu ya familia kubwa ya viwanja vya uchawi. Viwanja ngumu zaidi vya uchawi vinaweza kupatikana kutoka kwa mbegu ya asili kwa kuongeza safu za nje - kama hii:

Agizo la ajabu la mraba 5 x 5

-7 +12 -8 -6 +9

-5 -1 +4 -3 +5

+10 -2 0 +2 -10

+11 +3 -4 +1 -11

-9 -12 +8 +6 +7

Agizo la mraba la uchawi 7 x 7

+17 +14 +16 +18 -22 -24 -19

-23 -7 +12 -8 -6 +9 +23

-21 -5 -1 +4 -3 +5 +21

-20 +10 -2 0 +2 -10 +20

+15 +11 +3 -4 +1 -11 -15

+13 -9 -12 +8 +6 +7 -13

+19 -14 -16 -18 +22 +24 -17

Na kadhalika - utaratibu wa mraba unaweza kuongezeka kwa muda usiojulikana. (Ikiwa mtu yeyote anataka kuendelea kuunda miraba ya uchawi, unaweza kutumia programu hii rahisi - nenda hadi mwisho wa ukurasa kwenye sehemu. FanyaViwanja na kufuata maagizo).

Lakini hebu turudi kwenye swali kuu la mada: kwa nini watu wa Maarifa walizingatia mraba wa uchawi kama ishara muhimu? Labda waliona ndani yake kanuni ya utaratibu wa dunia, pamoja na kanuni ya muundo wa mfumo wowote imara (ikiwa ni pamoja na wanadamu), iliyoonyeshwa kupitia mahusiano ya nambari.

Nambari katika mraba wa kichawi zinaonekana kuwakilisha sehemu tofauti za Ulimwengu. Kila kitu katika nafasi kina nambari yake ya kipekee. Unaweza kuchukua Kituo cha Galactic kama nukta sifuri, asili ya kuratibu. Sehemu nyingine zote, zilizoonyeshwa kwa nambari, zitaunganishwa kihisabati kwa kituo kimoja - hatua 0, ambayo hesabu huanza, na uwiano wa jamaa na kituo hiki. Kwa maneno mengine, ikiwa mahali fulani katika Ulimwengu kuna kitu ambacho mali zake zinaweza kuelezewa na nambari pamoja na 888888, basi hakika - kwa usawa - kitu kilicho na nambari ya minus 888888 lazima kiwepo mahali fulani.Ikiwa kuna nyota ambazo hutoa nishati kikamilifu. basi nyeusi lazima pia kuwepo mashimo ambayo pia kikamilifu kunyonya yake.

Au kama inavyosema katika kitabu cha Hermetic Kybalion:

"Kila kitu ni sehemu ya pande mbili, na kila kitu kina polarity. Kila kitu kina jozi kinyume. Wapinzani ni sawa kwa asili, lakini wana ishara tofauti. Mambo yaliyokithiri huvutiana, kwa hiyo kila ukweli ni upande mmoja tu wa ukweli, na vitendawili vyote vina suluhu inayovipatanisha.”

Suluhisho la upatanisho kwa kila mtu idadi kinyume ya mraba uchawi - uhakika sifuri. Yeye ni katikati ya ajabu ya kitendawili - kamwe haionekani, yuko kila wakati.

Kipengele cha kushangaza cha miraba yote ya maagizo isiyo ya kawaida itakuwa mali ya kufanana (fractality): ndogo inaweza kupachikwa katika kubwa, kama dolls za nesting, bila kubadilisha mali zao - ambayo ni nini tunaona katika mifano hapo juu.

Jumla ya nambari katika kila miraba iliyowekwa ndani ya nyingine, kama wanasesere wa kuota, itakuwa sawa na sifuri. Hii ina maana (katika lugha ya nambari) yafuatayo: kila moja ya miraba iko katika mizani inayobadilika na inawakilisha uadilifu unaojitosheleza, ambao hauuzuii kuwa sehemu ya upatanifu ya kitu Kikubwa zaidi na sawa kabisa na hii Kubwa zaidi. Jumla ya nambari kando ya diagonal, wima na usawa wa mraba wowote pia itakuwa sawa na sifuri, ambayo inaruhusu sisi kuzingatia kanuni ya Umoja na kanuni ya usawa wa nguvu.

Kwa hiyo, kipengele kikuu cha mraba hapo juu, umuhimu ambao ni vigumu kuzidisha, ni mali ya umoja.

Kuna, hata hivyo, familia nyingine ya viwanja vya uchawi ambayo mali ya umoja haipo.

Karne kadhaa kabla ya Athanasius Kircher huko Uropa, angalau waanzilishi wawili walihusika katika viwanja vya uchawi - Cornelius Agrippa na Albrecht Durer. Mchongo wa ajabu wa Durer "Melancholy I" aliachwa naye kama ufunguo wa uzito na vipimo vya Kimungu. Dürer alikuwa mmoja wa wa kwanza katika Ulaya ya zama za kati kusoma uwiano wa uwiano wa dhahabu, na pia alikuwa na ujuzi wa hatua nyingine takatifu, kama inavyothibitishwa na polihedron ya ajabu, isiyo ya kawaida iliyoonyeshwa katika Melancholy. Miongoni mwa vitu vingine, alionyesha mraba wa uchawi. Iliundwa kwa njia ambayo mstari wa chini hata ulionyesha mwaka ambao uchoraji uliundwa - 1514.

"Melancholia" ilinivutia sana na kunishangaza wakati wa kutembelea Jumba la Makumbusho la Durer House huko Nuremberg. Mraba wa uchawi, kitu cha kati cha "Melacholia" na, labda, tunda kuu la utafiti wa msanii, kimsingi lilikuwa tofauti na mraba wa Jabir Ibn Hayyan na Cornelius Agrippa (na Lo-Shu). Tutaona kwa nini ijayo.

Mraba wa uchawi wa Dürer, ulioonyeshwa katika Melancholia, ulikuwa 4 x 4, na ulionekana kama hii:

Jumla ya nambari za mraba kwenye usawa wowote, wima na diagonal ni 34. Jumla hii pia hutokea katika mraba wote wa kona 2x2, katika mraba wa kati, katika mraba wa seli za kona, katika mraba uliojengwa na "hoja ya knight", na kadhalika. Kwa maana ya kuwasilisha wazo la usawa wa nguvu na usawa, mraba huu sio tu sio duni, lakini ni bora kuliko mraba wa Lo Shu. Kwa hivyo kuna tofauti gani?

Tofauti ni kwamba mraba huu hakuna kituo kimoja. Aina hii ya mraba inaitwa hata: haina nambari ambayo inaweza kuchukuliwa kama asili na jamaa ambayo sehemu zingine zote za mraba zinaweza kusawazishwa! Inaonyesha wazo katika lugha ya nambari kutokuwepo Umoja, wazo la kujitenga, wingi. Sehemu zote nne za mraba wa Dürer zimesawazishwa ndani yake na zimefungwa ndani zenyewe; hazionekani "zinahitaji" kituo kimoja. Ikiwa tunaunganisha mraba mbili kwa kila mmoja, tunapata mchoro unaofanana sana kwa kanuni na utendaji wa ubongo wa binadamu, ambapo hemispheres mbili - kimsingi ubongo mbili huru - zimeunganishwa kwa kila mmoja kwa njia ya mpatanishi - corpus callosum.

16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1

Kuangalia ulimwengu, kiumbe aliye na muundo kama huo wa fahamu ataiona kama inayojumuisha vitu tofauti, visivyohusiana. Haitaweza kutambua Umoja, kwa kuwa ufahamu wake hauna uhusiano na kituo, hatua ya sifuri. Neno Mayan, ikimaanisha "ulimwengu wa udanganyifu", awali katika Kisanskrit ilimaanisha "nguvu ya mgawanyiko", "akili iliyogawanyika".

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

Haijalishi ni mwelekeo gani kando ya gridi hii tunasonga, tungepata sehemu zile zile zilizojitenga na jumla ya nambari 34. Miraba iliyotengwa, hata hivyo, inaweza kuelewana, "kuwasiliana" katika lugha ya ulimwengu wote ya Mtandao, "lugha 34; ” kupitia "wapatanishi" " - miraba sawa na jumla ya nambari 34, iliyoundwa kwenye makutano ya zile mbili zilizo karibu (zimeangaziwa kwa kusisitiza). Hata hivyo waamuzi sio sawa na nguvu ya kusawazisha (suluhisho la upatanisho kwa kitendawili) nini sufuri katikati ya viwanja vya uchawi vya maagizo yasiyo ya kawaida.

Mtandao kama huo wa fahamu zilizogawanyika na zilizotengwa haziwezi kuunda kwa kutumia viwanja vya uchawi, ambavyo vina kituo kimoja, kama msingi.

Ikiwa mchawi fulani mbaya alitaka kuunda mtandao wa fahamu ambao ungeunda udanganyifu wa ulimwengu wa kweli - udanganyifu unaoaminika sana kwamba itakuwa ngumu kutofautisha na ukweli, lakini ambayo bado ingebaki isiyo ya kweli - angeweza kutumia wazo kama hilo vizuri. . Kwa kweli, nambari za mtandao wake - Matrix - zingekuwa maagizo ya ukubwa ngumu zaidi, lakini kanuni ya msingi ingebaki sawa: uwezekano wa mawasiliano kati ya sehemu za Matrix, lakini ukosefu wa kituo kimoja.

Je, inaweza kuwa kwamba kwa kuweka glasi ya saa karibu na mraba wake wa uchawi, Dürer aliacha kidokezo cha uhusiano wake na ulimwengu wa mpito na wa uwongo ambamo tunajikuta? Mara nyingi kioo cha saa kilipatikana katika michoro ya Durer kama ishara ya udhaifu wa maisha. Labda alikuwa akifikiria kuhusu sisi sote tuliopatikana kwenye wavu wa ulimwengu usio wa kweli, kuhusu watu "ambao kengele inawalipia" juu ya mraba?

Tofauti na Durer, ambaye aliweka mraba wa Matrix chini ya kengele na karibu na hourglass, Athanasius Kircher alitoa mraba wake wa uchawi 3 x 3 mikononi mwa malaika katika urefu wa mbinguni, na kuifanya wazi kabisa juu ya uhusiano gani wa nambari duniani. mwingine, Ukweli wa kweli unatokana... .

Kazi za Dürer zinaonyesha kuhusika kwake katika Maarifa matakatifu. Kwenye michoro kadhaa, katika sehemu zisizotarajiwa, msanii aliweka picha ya mbigili, ambayo wakosoaji wa sanaa wanaelezea kwa sababu za kipuuzi zaidi, wakati sababu ya kweli inaweza kuwa ishara ya kuwa mwandishi ni wa moja ya undugu wa Mila. Udugu wa Mbigili ulikuwa mojawapo ya jamii za siri za enzi za kati ambazo mizizi yake inatoka kwa Matempla ya Uskoti. Baadaye, wanachama wa utaratibu walivaa nguo za kijani na ishara kwa namna ya nyota ya octagonal.

...Nimesimama kwenye kizingiti cha nyumba ya zamani ya Albrecht Dürer na nikitazama pembeni mwa jengo hilo kwa mshazari, ambapo Malaika Mkuu aliyechongwa sanamu Mikaeli anakanyaga kwa miguu na kumpiga Nyoka mwenye mabawa kwa mkuki. Ninapokaribia kuondoka, ninatazama nakala iliyopanuliwa ya picha ya kibinafsi ya mwenye nyumba inayoning'inia kwenye lango na kuganda. Wewe ni nani, Bw. Melancholic? Mtazamo wa uangalifu, mzito, uso ambao kwa sababu fulani ni ngumu kufikiria tabasamu. "Melancholy" pia ni picha ya kibinafsi, quintessence ya ujuzi wa msanii. Je! ni siri gani ulitaka kutupa sisi wazao wetu kwa kuacha alama yako ya uchawi?

“Utajua baadaye. Lakini hilo si jambo la muhimu.”

"Ni nini muhimu?"

“Ngazi yenye ngazi saba. Inaongoza zaidi ya mtandao wa uchawi wa mraba, kwa uhuru kutoka kwa ulimwengu wa melancholy » .

"Jinsi ya kupata ngazi hii, Bwana Melancholic? »

“Hautaipata ngazi kwa kuishi na akili, kwa sababu imeumbwa kuwa na uwili. Rung ya kwanza ya ngazi huanza moyoni. Ni muhimu kutafakari kwa nini mtu ana akili mbili lakini moyo mmoja.”

Ingawa ufahamu wetu wa kawaida unakamatwa na Mtandao wa ulimwengu wa udanganyifu, ambapo uadui unatawala, kwa sababu kila kitu kinaonekana kugawanywa, kutengwa kutoka kwa kila mmoja, kulingana na Walimu wa Mila, bado kuna kitu ndani yetu - chombo kinachoitwa na Plato " jicho”, ambalo limetakaswa na moto wa Maarifa, tunapata ufahamu katika ulimwengu wa Ukweli. Labda Plato alikuwa anafikiria jicho lile lile linalotajwa katika Injili ya Mathayo (6:22): “ Taa ya mwili ni jicho. Jicho lako likiwa safi, mwili wako wote utakuwa na mwanga."?

Kila mmoja wetu ameunganishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa na ulimwengu wa Ukweli kupitia chombo ambacho Mapokeo huita moyo (ikimaanisha si moyo wa kimwili, lakini lengo la Umoja ndani yetu - msingi kiumbe hai). Mioyo yetu ni sehemu ya mtandao mkubwa wa Uumbaji, ambamo kila kitu - kutoka kwa chembe ya mchanga hadi galaksi - imeunganishwa na kila kitu kupitia kituo Kimoja, nukta sifuri.

Iliendelea katika Na

Durer Albrecht (1471-1528), mchoraji wa Ujerumani, mchoraji, mchongaji, mtaalam wa sanaa.

Uwe mwaminifu kwa Mungu!
Pata afya
Na uzima wa milele mbinguni
Kama Bikira Maria aliye safi zaidi.
Albrecht Durer anakuambia -
Tubu dhambi zako
Hadi siku ya mwisho ya Kwaresima,
Na kufunga kinywa cha shetani,
Utamshinda yule mwovu.
Bwana Yesu Kristo akusaidie
Jithibitishe kwa wema!
Fikiria juu ya kifo mara nyingi zaidi
Kuhusu mazishi ya miili yenu.
Inatisha nafsi
Huvuruga kutoka kwa uovu
Na ulimwengu wa dhambi,
Kutoka kwa ukandamizaji wa mwili
Na uchochezi wa shetani...

Wakati Koberger ilichapishwa mnamo 1498"Apocalypse",

Mfalme mwenyewe Maximilian I

Mwisho wa maisha yake, Dürer alifanya kazi nyingi kama mchoraji; katika kipindi hiki aliunda kazi za kina zaidi, ambazo zinaonyesha ujuzi wake na sanaa ya Uholanzi.

Moja ya uchoraji muhimu zaidi wa miaka ya hivi karibuni - diptych "Mitume Wanne", ambayo msanii aliwasilisha kwa baraza la jiji mnamo 1526.

Huko Uholanzi, Dürer alipatwa na ugonjwa usiojulikana (labda wa malaria), ambao aliteseka maisha yake yote.

ambayo meli huvuka bahari. Kuna wajinga wengi karibu. Hapa wanawacheka mabaharia wapumbavu na meli za Dola.

Inaaminika kuwa pamoja na A. Dürer, wachongaji na wachongaji kadhaa walifanya kazi kwa wakati mmoja... Uchoraji "Meli ya Wajinga"- aliandika msanii maarufuHieronymus Bosch.

Mchoro wa Durer "Meli ya Wajinga"

Kuwa na Albrecht Durer na uchoraji kama vile "Sikukuu ya Watakatifu Wote" (Landauer Altar) 1511. Makumbusho ya Kunsthistorisches, Vienna. Uchoraji huu pia ulileta umaarufu mkubwa kwa msanii.

Muujiza wa Bahari, 1498 Metropolitan Museum of Art, New York