Mifano ya mifumo yenye haijulikani tatu. Kutatua milinganyo na tatu zisizojulikana katika hisabati

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni seti ya milinganyo kadhaa inayozingatiwa pamoja.

Mfumo unaweza kuwa na idadi yoyote ya milinganyo yenye idadi yoyote ya zisizojulikana.

Suluhisho la mfumo wa equations ni seti ya maadili ya haijulikani ambayo inakidhi hesabu zote za mfumo, yaani, kuzigeuza kuwa vitambulisho.

Mfumo ambao una suluhisho huitwa thabiti; vinginevyo, unaitwa kutoendana.

Mbinu mbalimbali hutumiwa kutatua mfumo.

Hebu
(idadi ya milinganyo ni sawa na idadi isiyojulikana).

Mbinu ya Cramer

Fikiria kusuluhisha mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na tatu zisizojulikana:

(7)

Ili kupata haijulikani
Wacha tutumie formula ya Cramer:

(8)

Wapi - kiashiria cha mfumo, mambo ambayo ni coefficients ya haijulikani:

iliyopatikana kwa kubadilisha safu wima ya kwanza ya kiambishi safu ya wanachama huru:

Vile vile:

;
.

Mfano 1. Tatua mfumo kwa kutumia formula ya Cramer:

Suluhisho: Wacha tutumie fomula (8):

;

Jibu:
.

Kwa mfumo wowote milinganyo ya mstari na haijulikani inaweza kusemwa:

Suluhisho la Matrix

Hebu tuzingatie mfumo wa kusuluhisha (7) wa milinganyo mitatu ya mstari na tatu zisizojulikana kwa kutumia mbinu ya matrix.

Kwa kutumia sheria za kuzidisha matrix, mfumo huu wa equations unaweza kuandikwa kama:
, Wapi

Wacha tumbo yasiyo ya kuharibika, i.e.
. Kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo wa matriki upande wa kushoto kwa matriki
, kinyume cha matrix , tunapata:
.

Kwa kuzingatia hilo
, tuna

(9)

Mfano 2. Tatua mfumo kwa kutumia njia ya matrix:

Suluhisho: Wacha tuanzishe matrices:

- kutoka kwa coefficients ya haijulikani;

- safu ya wanachama bure.

Kisha mfumo unaweza kuandikwa kama equation ya matrix:
.

Wacha tutumie fomula (9). Wacha tupate matrix ya kinyume
kulingana na fomula (6):

;

Kwa hivyo,

Nimepata:

Jibu:
.

Njia ya uondoaji wa mfululizo wa haijulikani (Njia ya Gauss)

Wazo kuu la njia inayotumiwa ni kuondoa mlolongo usiojulikana. Wacha tueleze maana ya njia hii kwa kutumia mfumo wa milinganyo tatu na tatu zisizojulikana:

Hebu tuchukulie hivyo
(Kama
, kisha tunabadilisha mpangilio wa milinganyo, tukichagua kama mlinganyo wa kwanza ule ambao mgawo sio sawa na sifuri).

Hatua ya kwanza: a) gawanya equation
juu
; b) zidisha mlinganyo unaotokana na
na uondoe kutoka
; c) kisha zidisha matokeo kwa
na uondoe kutoka
. Kama matokeo ya hatua ya kwanza tutakuwa na mfumo:

Hatua ya pili: tunashughulika na equation
Na
sawa kabisa na milinganyo
.

Kama matokeo, mfumo wa asili unabadilishwa kuwa kinachojulikana kama fomu ya hatua kwa hatua:

Kutoka kwa mfumo uliobadilishwa, vitu vyote visivyojulikana vinatambuliwa kwa mlolongo bila shida.

Maoni. Kwa mazoezi, ni rahisi zaidi kupunguza kwa fomu ya hatua sio mfumo wa equations yenyewe, lakini matrix ya coefficients, haijulikani, na masharti ya bure.

Mfano 3. Tatua mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian:

Tutaandika mpito kutoka matrix moja hadi nyingine kwa kutumia ishara ya usawa ~.

~
~
~
~

~
.

Kutumia matrix inayosababisha, tunaandika mfumo uliobadilishwa:

Jibu:
.

Kumbuka: Ikiwa mfumo una ufumbuzi wa pekee, basi mfumo wa hatua umepunguzwa kwa moja ya triangular, yaani, kwa moja ambayo equation ya mwisho itakuwa na haijulikani. Katika kesi ya mfumo usio na uhakika, ambayo ni, moja ambayo idadi ya haijulikani ni kubwa kuliko idadi ya milinganyo huru ya mstari, hakutakuwa na mfumo wa pembetatu, kwani equation ya mwisho itakuwa na zaidi ya moja isiyojulikana (mfumo una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho). Wakati mfumo haufanani, basi, baada ya kuipunguza kwa fomu ya hatua, itakuwa na angalau moja thamani ya fomu
, yaani, mlinganyo ambapo vitu vyote visivyojulikana vina mgawo sifuri na upande wa kulia ni nonzero (mfumo hauna suluhu). Njia ya Gauss inatumika kwa mfumo wa kiholela wa milinganyo ya mstari (kwa yoyote
Na ).

Nadharia ya kuwepo kwa suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari

Wakati wa kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gaussian, jibu la swali ikiwa mfumo huu unaendana au hauendani linaweza kutolewa tu mwishoni mwa hesabu. Hata hivyo, mara nyingi ni muhimu kutatua swali la utangamano au kutokubaliana kwa mfumo wa equations bila kutafuta ufumbuzi wenyewe. Jibu la swali hili linatolewa na nadharia ifuatayo ya Kronecker-Capelli.

Wacha mfumo upewe
milinganyo ya mstari na haijulikani:

(10)

Ili mfumo (10) uwe thabiti, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix ya mfumo.

ilikuwa sawa na kiwango cha matrix yake iliyopanuliwa

Aidha, kama
, basi mfumo (10) una suluhisho la kipekee; kama
, basi mfumo una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

Fikiria mfumo wa homogeneous (maneno yote ya bure ni sawa na sifuri) ya milinganyo ya mstari:

Mfumo huu daima ni thabiti kwa kuwa una suluhisho la sifuri.

Nadharia ifuatayo inatoa masharti ambayo mfumo pia una suluhisho isipokuwa sifuri.

Terema. Ili mfumo wa usawa wa equations za mstari uwe na suluhisho la sifuri, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiashiria chake. ilikuwa sawa na sifuri:

Kwa hivyo, ikiwa
, basi suluhisho ni moja tu. Kama
, basi kuna idadi isiyo na kikomo ya suluhisho zingine zisizo za sifuri. Wacha tuonyeshe moja ya njia za kupata suluhisho kwa mfumo wa usawa wa hesabu tatu za mstari na tatu zisizojulikana katika kesi hiyo.
.

Inaweza kuthibitishwa kuwa ikiwa
, na milinganyo ya kwanza na ya pili haina uwiano (inajitegemea kimstari), kisha mlinganyo wa tatu ni tokeo la mbili za kwanza. Suluhisho la mfumo wa homogeneous wa equations tatu na haijulikani tatu hupunguzwa kwa ufumbuzi wa equations mbili na haijulikani tatu. Kinachojulikana kama bure haijulikani inaonekana, ambayo maadili ya kiholela yanaweza kupewa.

Mfano 4. Pata suluhisho zote za mfumo:

Suluhisho. Uamuzi wa mfumo huu

Kwa hiyo, mfumo una ufumbuzi wa sifuri. Unaweza kugundua kuwa hesabu mbili za kwanza, kwa mfano, sio sawia, kwa hivyo, zinajitegemea kwa mstari. Ya tatu ni matokeo ya mbili za kwanza (inageuka ikiwa unaongeza mara mbili ya pili kwa equation ya kwanza). Kuikataa, tunapata mfumo wa milinganyo miwili na tatu zisizojulikana:

Kwa kudhani, kwa mfano,
, tunapata

Kutatua mfumo wa milinganyo miwili ya mstari, tunaelezea Na kupitia :
. Kwa hivyo, suluhisho la mfumo linaweza kuandikwa kama:
, Wapi - nambari ya kiholela.

Mfano 5. Pata suluhisho zote za mfumo:

Suluhisho. Ni rahisi kuona kwamba katika mfumo huu kuna equation moja tu ya kujitegemea (nyingine mbili ni sawia na hilo). Mfumo wa milinganyo mitatu yenye vitu vitatu visivyojulikana umepunguzwa hadi mlinganyo mmoja na tatu zisizojulikana. Mbili za bure zisizojulikana zinaonekana. Kutafuta, kwa mfano, kutoka kwa equation ya kwanza
kwa kiholela Na , tunapata ufumbuzi wa mfumo huu. Fomu ya jumla ya suluhisho inaweza kuandikwa, wapi Na - nambari za kiholela.

Maswali ya kujipima

Tengeneza sheria ya Cramer ya kutatua mfumo milinganyo ya mstari na haijulikani.

Ni nini kiini cha njia ya matrix ya mifumo ya kutatua?

Ni njia gani ya Gauss ya kutatua mfumo wa hesabu za mstari?

Eleza nadharia ya Kronecker-Capelli.

Tengeneza hali ya lazima na ya kutosha kwa uwepo wa suluhisho zisizo za kawaida kwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari.

Mifano kwa ajili ya ufumbuzi binafsi

Pata suluhisho zote za mifumo:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Amua kwa maadili gani Na mfumo wa equations

a) ina suluhisho la kipekee;

b) haina suluhisho;

c) ina masuluhisho mengi sana.

16.
; 17.
;

Pata suluhisho zote za mifumo ifuatayo ya homogeneous:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Majibu ya mifano

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- nambari ya kiholela.

6.
, Wapi - nambari ya kiholela.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Wapi - nambari ya kiholela.

12., wapi Na - nambari za kiholela.

13.
; 14.
Wapi Na - nambari za kiholela.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; V)
.

17. a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., wapi - nambari ya kiholela.

21., wapi - nambari ya kiholela.

22., wapi - nambari ya kiholela.

23., wapi Na - nambari za kiholela.

Maudhui ya somo

Milinganyo ya mstari katika vigezo viwili

Mtoto wa shule ana rubles 200 kula chakula cha mchana shuleni. Keki inagharimu rubles 25, na kikombe cha kahawa kinagharimu rubles 10. Ni mikate ngapi na vikombe vya kahawa unaweza kununua kwa rubles 200?

Wacha tuonyeshe idadi ya mikate kwa x, na idadi ya vikombe vya kahawa kupitia y. Kisha gharama ya keki itaonyeshwa na usemi 25 x, na gharama ya vikombe vya kahawa katika 10 y .

25x- bei x mikate
10y - bei y vikombe vya kahawa

Kiasi cha jumla kinapaswa kuwa rubles 200. Kisha tunapata equation na vigezo viwili x Na y

25x+ 10y= 200

Je, mlingano huu una mizizi mingapi?

Yote inategemea hamu ya mwanafunzi. Ikiwa atanunua keki 6 na vikombe 5 vya kahawa, basi mizizi ya equation itakuwa nambari 6 na 5.

Jozi ya maadili 6 na 5 inasemekana kuwa mizizi ya equation 25 x+ 10y= 200 . Imeandikwa kama (6; 5), na nambari ya kwanza ikiwa ni thamani ya kutofautisha x, na pili - thamani ya kutofautiana y .

6 na 5 sio mizizi pekee inayogeuza equation 25 x+ 10y= 200 kwa utambulisho. Ikiwa inataka, kwa rubles 200 sawa mwanafunzi anaweza kununua keki 4 na vikombe 10 vya kahawa:

Katika kesi hii, mizizi ya equation 25 x+ 10y= 200 ni jozi ya maadili (4; 10).

Kwa kuongezea, mtoto wa shule anaweza asinunue kahawa hata kidogo, lakini anunue keki kwa rubles 200 nzima. Kisha mizizi ya equation 25 x+ 10y= 200 itakuwa maadili 8 na 0

Au kinyume chake, usinunue keki, lakini nunua kahawa kwa rubles 200 nzima. Kisha mizizi ya equation 25 x+ 10y= 200 maadili yatakuwa 0 na 20

Wacha tujaribu kuorodhesha mizizi yote inayowezekana ya equation 25 x+ 10y= 200 . Tukubaliane kwamba maadili x Na y ni ya seti ya nambari kamili. Na acha maadili haya yawe makubwa kuliko au sawa na sifuri:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Hii itakuwa rahisi kwa mwanafunzi mwenyewe. Ni rahisi zaidi kununua keki nzima kuliko, kwa mfano, keki kadhaa nzima na keki ya nusu. Pia ni rahisi zaidi kuchukua kahawa katika vikombe nzima kuliko, kwa mfano, vikombe kadhaa nzima na kikombe nusu.

Kumbuka kwamba kwa isiyo ya kawaida x haiwezekani kufikia usawa kwa hali yoyote y. Kisha maadili x nambari zifuatazo zitakuwa 0, 2, 4, 6, 8. Na kujua x inaweza kuamua kwa urahisi y

Kwa hivyo, tulipokea jozi zifuatazo za maadili (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Jozi hizi ni suluhu au mizizi ya Equation 25 x+ 10y= 200. Wanageuza mlingano huu kuwa utambulisho.

Mlinganyo wa fomu shoka + kwa = c kuitwa mlingano wa mstari na vigeu viwili. Suluhisho au mizizi ya equation hii ni jozi ya maadili ( x; y), ambayo huigeuza kuwa utambulisho.

Kumbuka pia kwamba ikiwa equation ya mstari na vigezo viwili imeandikwa katika fomu shoka + b y = c , halafu wanasema imeandikwa ndani kisheria(kawaida) fomu.

Baadhi ya milinganyo ya mstari katika vigeu viwili inaweza kupunguzwa hadi umbo la kisheria.

Kwa mfano, equation 2(16x+ 3y - 4) = 2(12 + 8x − y) inaweza kuletwa akilini shoka + kwa = c. Wacha tufungue mabano pande zote mbili za mlinganyo huu na tupate 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tunaweka masharti yaliyo na yasiyojulikana upande wa kushoto wa equation, na masharti yasiyojulikana - upande wa kulia. Kisha tunapata 32x- 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Tunawasilisha maneno sawa katika pande zote mbili, tunapata equation 16 x+ 8y= 32. Equation hii imepunguzwa kwa fomu shoka + kwa = c na ni ya kisheria.

Equation 25 iliyojadiliwa hapo awali x+ 10y= 200 pia ni mlingano wa mstari na vigeu viwili katika umbo la kisheria. Katika equation hii vigezo a , b Na c ni sawa na maadili 25, 10 na 200, mtawaliwa.

Kwa kweli equation shoka + kwa = c ina masuluhisho mengi. Kutatua equation 25x+ 10y= 200, tulitafuta mizizi yake kwenye seti ya nambari kamili. Kwa hivyo, tulipata jozi kadhaa za maadili ambazo ziligeuza mlinganyo huu kuwa kitambulisho. Lakini kwa seti ya nambari za busara, equation 25 x+ 10y= 200 itakuwa na suluhisho nyingi sana.

Ili kupata jozi mpya za maadili, unahitaji kuchukua thamani ya kiholela x, kisha eleza y. Kwa mfano, hebu tuchukue kwa kutofautiana x thamani 7. Kisha tunapata equation na variable moja 25×7 + 10y= 200 ambamo mtu anaweza kujieleza y

Hebu x= 15. Kisha equation 25x+ 10y= 200 inakuwa 25 × 15 + 10y= 200. Kuanzia hapa tunapata hiyo y = −17,5

Hebu x= -3 . Kisha equation 25x+ 10y= 200 inakuwa 25 × (−3) + 10y= 200. Kuanzia hapa tunapata hiyo y = −27,5

Mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na vigeu viwili

Kwa equation shoka + kwa = c unaweza kuchukua maadili kiholela kwa mara nyingi kama unavyopenda x na kupata maadili kwa y. Ikichukuliwa kando, equation kama hiyo itakuwa na suluhisho nyingi.

Lakini pia hutokea kwamba vigezo x Na y kuunganishwa si kwa moja, lakini kwa equations mbili. Katika kesi hii wanaunda kinachojulikana mfumo wa milinganyo ya mstari katika vigezo viwili. Mfumo kama huo wa equations unaweza kuwa na jozi moja ya maadili (au kwa maneno mengine: "suluhisho moja").

Inaweza pia kutokea kwamba mfumo hauna suluhisho hata kidogo. Mfumo wa milinganyo ya mstari unaweza kuwa na suluhu nyingi katika matukio adimu na ya kipekee.

Milinganyo miwili ya mstari huunda mfumo wakati maadili x Na y ingia katika kila milinganyo hii.

Wacha turudi kwenye mlingano wa kwanza kabisa wa 25 x+ 10y= 200 . Moja ya jozi ya maadili ya equation hii ilikuwa jozi (6; 5). Hii ni kesi wakati kwa rubles 200 unaweza kununua keki 6 na vikombe 5 vya kahawa.

Wacha tutengeneze shida ili jozi (6; 5) iwe suluhisho la pekee la equation 25. x+ 10y= 200 . Ili kufanya hivyo, hebu tuunde equation nyingine ambayo ingeunganisha sawa x keki na y vikombe vya kahawa.

Wacha tuseme maandishi ya shida kama ifuatavyo:

"Mwanafunzi alinunua keki kadhaa na vikombe kadhaa vya kahawa kwa rubles 200. Keki inagharimu rubles 25, na kikombe cha kahawa kinagharimu rubles 10. Je, mwanafunzi alinunua keki na vikombe vingapi vya kahawa ikiwa inajulikana kuwa idadi ya mikate ni uniti moja zaidi ya vikombe vya kahawa?

Tayari tunayo mlingano wa kwanza. Hii ni equation 25 x+ 10y= 200 . Sasa hebu tutengeneze equation kwa hali hiyo "idadi ya mikate ni uniti moja kubwa kuliko idadi ya vikombe vya kahawa" .

Idadi ya mikate ni x, na idadi ya vikombe vya kahawa ni y. Unaweza kuandika kifungu hiki kwa kutumia equation x−y= 1. Mlinganyo huu utamaanisha kuwa tofauti kati ya keki na kahawa ni 1.

x = y+ 1 . Equation hii ina maana kwamba idadi ya mikate ni moja zaidi ya idadi ya vikombe vya kahawa. Kwa hiyo, ili kupata usawa, mtu huongezwa kwa idadi ya vikombe vya kahawa. Hii inaweza kueleweka kwa urahisi ikiwa tutatumia mfano wa mizani ambayo tulizingatia wakati wa kusoma shida rahisi zaidi:

Tulipata milinganyo miwili: 25 x+ 10y= 200 na x = y+ 1. Tangu maadili x Na y, yaani 6 na 5 zimejumuishwa katika kila milinganyo hii, kisha kwa pamoja huunda mfumo. Hebu tuandike mfumo huu. Ikiwa equations huunda mfumo, basi zimewekwa na ishara ya mfumo. Alama ya mfumo ni brace ya curly:

Wacha tusuluhishe mfumo huu. Hii itaturuhusu kuona jinsi tunavyofikia maadili 6 na 5. Kuna njia nyingi za kutatua mifumo kama hii. Wacha tuangalie maarufu zaidi kati yao.

Mbinu ya uingizwaji

Jina la njia hii linajieleza yenyewe. Kiini chake ni kubadilisha mlinganyo mmoja hadi mwingine, baada ya kuonyesha moja ya vigeu hapo awali.

Katika mfumo wetu, hakuna kitu kinachohitaji kuonyeshwa. Katika equation ya pili x = y+ 1 tofauti x tayari imeonyeshwa. Tofauti hii ni sawa na usemi y+ 1 . Basi unaweza kubadilisha usemi huu katika equation ya kwanza badala ya kutofautisha x

Baada ya kubadilisha usemi y+ 1 kwenye mlinganyo wa kwanza badala yake x, tunapata equation 25(y+ 1) + 10y= 200 . Huu ni mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja. Equation hii ni rahisi sana kutatua:

Tulipata thamani ya kutofautiana y. Sasa hebu tubadilishe thamani hii katika mojawapo ya milinganyo na tupate thamani x. Kwa hili ni rahisi kutumia equation ya pili x = y+ 1 . Hebu tubadilishe thamani ndani yake y

Hii ina maana kwamba jozi (6; 5) ni suluhisho la mfumo wa milinganyo, kama tulivyokusudia. Tunaangalia na kuhakikisha kuwa jozi (6; 5) inakidhi mfumo:

Mfano 2

Wacha tubadilishe mlingano wa kwanza x= 2 + y katika equation ya pili 3 x- 2y= 9. Katika equation ya kwanza kutofautiana x sawa na usemi 2 + y. Wacha tubadilishe usemi huu kwenye mlinganyo wa pili badala ya x

Sasa hebu tupate thamani x. Ili kufanya hivyo, hebu tubadilishe thamani y kwenye equation ya kwanza x= 2 + y

Hii inamaanisha kuwa suluhisho la mfumo ni thamani ya jozi (5; 3)

Mfano 3. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia mbadala:

Hapa, tofauti na mifano ya awali, moja ya vigezo haijaonyeshwa kwa uwazi.

Ili kubadilisha mlinganyo mmoja hadi mwingine, kwanza unahitaji .

Inashauriwa kuelezea kutofautiana ambayo ina mgawo wa moja. Tofauti ina mgawo wa moja x, ambayo iko katika mlingano wa kwanza x+ 2y= 11. Hebu kueleza kutofautiana hii.

Baada ya kujieleza kutofautiana x, mfumo wetu utachukua fomu ifuatayo:

Sasa hebu tubadilishe equation ya kwanza hadi ya pili na tupate thamani y

Hebu tubadilishe y x

Hii inamaanisha kuwa suluhisho la mfumo ni jozi ya maadili (3; 4)

Bila shaka, unaweza pia kueleza kutofautiana y. Hii haitabadilisha mizizi. Lakini ikiwa unajieleza y, Matokeo sio equation rahisi sana, ambayo itachukua muda zaidi kutatua. Itakuwa kama hii:

Tunaona kwamba katika mfano huu tunaeleza x rahisi zaidi kuliko kujieleza y .

Mfano 4. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia mbadala:

Wacha tuelezee katika equation ya kwanza x. Kisha mfumo utachukua fomu:

Hebu tubadilishe y kwenye equation ya kwanza na upate x. Unaweza kutumia mlingano asilia 7 x+ 9y= 8, au tumia mlinganyo ambamo kigezo kinaonyeshwa x. Tutatumia mlinganyo huu kwa sababu ni rahisi:

Hii inamaanisha kuwa suluhisho la mfumo ni jozi ya maadili (5; -3)

Mbinu ya kuongeza

Mbinu ya kuongeza inajumuisha kuongeza milinganyo iliyojumuishwa katika mfumo muda baada ya muda. Nyongeza hii husababisha mlingano mpya na kigezo kimoja. Na kutatua equation kama hiyo ni rahisi sana.

Wacha tusuluhishe mfumo ufuatao wa hesabu:

Hebu tuongeze upande wa kushoto wa equation ya kwanza na upande wa kushoto wa equation ya pili. Na upande wa kulia wa mlingano wa kwanza na upande wa kulia wa mlinganyo wa pili. Tunapata usawa ufuatao:

Wacha tuangalie maneno sawa:

Kama matokeo, tulipata equation rahisi zaidi ya 3 x= 27 ambaye mzizi wake ni 9. Kujua thamani x unaweza kupata thamani y. Hebu tubadilishe thamani x kwenye equation ya pili x−y= 3 . Tunapata 9 - y= 3 . Kutoka hapa y= 6 .

Hii inamaanisha kuwa suluhisho la mfumo ni jozi ya maadili (9; 6)

Mfano 2

Hebu tuongeze upande wa kushoto wa equation ya kwanza na upande wa kushoto wa equation ya pili. Na upande wa kulia wa mlingano wa kwanza na upande wa kulia wa mlinganyo wa pili. Katika usawa unaotokana tunawasilisha maneno sawa:

Kama matokeo, tulipata equation rahisi zaidi ya 5 x= 20, ambayo mzizi wake ni 4. Kujua thamani x unaweza kupata thamani y. Hebu tubadilishe thamani x katika equation ya kwanza 2 x+y= 11. Wacha tupate 8+ y= 11. Kutoka hapa y= 3 .

Hii inamaanisha kuwa suluhisho la mfumo ni jozi ya maadili (4;3)

Mchakato wa kuongeza haujaelezewa kwa undani. Ni lazima ifanyike kiakili. Wakati wa kuongeza, milinganyo yote miwili lazima ipunguzwe hadi fomu ya kisheria. Hiyo ni, kwa njia ac + kwa = c .

Kutoka kwa mifano iliyozingatiwa, ni wazi kwamba lengo kuu la kuongeza equations ni kuondokana na mojawapo ya vigezo. Lakini si mara zote inawezekana kutatua mara moja mfumo wa equations kwa kutumia njia ya kuongeza. Mara nyingi, mfumo huletwa kwanza kwa fomu ambayo hesabu zilizojumuishwa katika mfumo huu zinaweza kuongezwa.

Kwa mfano, mfumo inaweza kutatuliwa mara moja kwa kuongeza. Wakati wa kuongeza equations zote mbili, masharti y Na −y zitatoweka kwa sababu jumla yao ni sifuri. Kama matokeo, equation rahisi zaidi ya 11 huundwa x= 22, ambayo mzizi wake ni 2. Kisha itawezekana kuamua y sawa na 5.

Na mfumo wa equations Njia ya kuongeza haiwezi kutatuliwa mara moja, kwa kuwa hii haitasababisha kutoweka kwa moja ya vigezo. Nyongeza itasababisha mlingano wa 8 x+ y= 28, ambayo ina idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa, sio sawa na sifuri, unapata mlinganyo sawa na uliyopewa. Sheria hii pia ni kweli kwa mfumo wa milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili. Moja ya milinganyo (au milinganyo yote miwili) inaweza kuzidishwa kwa nambari yoyote. Matokeo yake yatakuwa mfumo sawa, mizizi ambayo itafanana na uliopita.

Wacha turudi kwenye mfumo wa kwanza, ambao ulielezea ni mikate ngapi na vikombe vya kahawa ambavyo mtoto wa shule alinunua. Suluhisho la mfumo huu lilikuwa jozi ya maadili (6; 5).

Hebu tuzidishe milinganyo yote miwili iliyojumuishwa katika mfumo huu kwa baadhi ya nambari. Wacha tuseme tunazidisha equation ya kwanza na 2, na ya pili kwa 3

Kama matokeo, tulipata mfumo
Suluhisho la mfumo huu bado ni jozi ya maadili (6; 5)

Hii ina maana kwamba milinganyo iliyojumuishwa kwenye mfumo inaweza kupunguzwa hadi fomu inayofaa kutumia mbinu ya kuongeza.

Wacha turudi kwenye mfumo , ambayo hatukuweza kutatua kwa kutumia njia ya kuongeza.

Zidisha mlingano wa kwanza kwa 6, na wa pili kwa -2

Kisha tunapata mfumo ufuatao:

Wacha tujumuishe milinganyo iliyojumuishwa katika mfumo huu. Kuongeza vipengele 12 x na -12 x itasababisha 0, nyongeza 18 y na 4 y itatoa 22 y, na kuongeza 108 na −20 inatoa 88. Kisha tunapata equation 22. y= 88, kutoka hapa y = 4 .

Ikiwa mwanzoni ni ngumu kuongeza equation katika kichwa chako, basi unaweza kuandika jinsi upande wa kushoto wa equation ya kwanza unavyojumuisha na upande wa kushoto wa equation ya pili, na upande wa kulia wa equation ya kwanza na upande wa kulia wa equation. equation ya pili:

Kujua kwamba thamani ya kutofautiana y sawa na 4, unaweza kupata thamani x. Hebu tubadilishe y katika mojawapo ya milinganyo, kwa mfano katika mlingano wa kwanza 2 x+ 3y= 18. Kisha tunapata equation na kigezo kimoja 2 x+ 12 = 18. Wacha tusogee 12 kwa upande wa kulia, tukibadilisha ishara, tunapata 2 x= 6, kutoka hapa x = 3 .

Mfano 4. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:

Hebu tuzidishe mlinganyo wa pili kwa -1. Kisha mfumo utachukua fomu ifuatayo:

Wacha tuongeze milinganyo yote miwili. Kuongeza vipengele x Na −x itasababisha 0, nyongeza 5 y na 3 y itatoa 8 y, na kuongeza 7 na 1 inatoa 8. Matokeo yake ni mlinganyo 8 y= 8 ambaye mzizi wake ni 1. Kujua kwamba thamani y sawa na 1, unaweza kupata thamani x .

Hebu tubadilishe y katika equation ya kwanza, tunapata x+ 5 = 7, kwa hiyo x= 2

Mfano 5. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:

Inastahili kuwa maneno yaliyo na vigezo sawa yawepo chini ya nyingine. Kwa hivyo, katika equation ya pili maneno 5 y na -2 x Hebu tubadilishane maeneo. Kama matokeo, mfumo utachukua fomu:

Wacha tuzidishe equation ya pili kwa 3. Kisha mfumo utachukua fomu:

Sasa hebu tuongeze milinganyo yote miwili. Kama matokeo ya kuongeza tunapata equation 8 y= 16, ambayo mzizi wake ni 2.

Hebu tubadilishe y katika equation ya kwanza, tunapata 6 x− 14 = 40. Hebu tusogeze neno −14 kwa upande wa kulia, tukibadilisha ishara, na tupate 6 x= 54 . Kutoka hapa x= 9.

Mfano 6. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:

Wacha tuachane na sehemu. Zidisha mlingano wa kwanza kwa 36, na wa pili kwa 12

Katika mfumo wa matokeo equation ya kwanza inaweza kuzidishwa na -5, na ya pili kwa 8

Wacha tujumuishe hesabu katika mfumo unaosababisha. Kisha tunapata mlinganyo rahisi zaidi -13 y= -156 . Kutoka hapa y= 12. Hebu tubadilishe y kwenye equation ya kwanza na upate x

Mfano 7. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:

Wacha tulete equations zote mbili kwa fomu ya kawaida. Hapa ni rahisi kutumia kanuni ya uwiano katika equations zote mbili. Ikiwa katika equation ya kwanza upande wa kulia unawakilishwa kama , na upande wa kulia wa equation ya pili kama , basi mfumo utachukua fomu:

Tuna uwiano. Wacha tuzidishe masharti yake yaliyokithiri na ya kati. Kisha mfumo utachukua fomu:

Wacha tuzidishe equation ya kwanza kwa -3, na tufungue mabano ya pili:

Sasa hebu tuongeze milinganyo yote miwili. Kama matokeo ya kuongeza hesabu hizi, tunapata usawa na sifuri pande zote mbili:

Inatokea kwamba mfumo una ufumbuzi isitoshe.

Lakini hatuwezi kuchukua tu maadili ya kiholela kutoka angani x Na y. Tunaweza kutaja moja ya maadili, na nyingine itajulikana kulingana na thamani tunayotaja. Kwa mfano, basi x= 2 . Wacha tubadilishe dhamana hii kwenye mfumo:

Kama matokeo ya kutatua moja ya milinganyo, thamani ya y, ambayo itakidhi hesabu zote mbili:

Jozi zinazotokana za maadili (2; -2) zitatosheleza mfumo:

Hebu tutafute jozi nyingine ya maadili. Hebu x= 4. Hebu tubadilishe thamani hii kwenye mfumo:

Unaweza kusema kwa jicho kwamba thamani y sawa na sifuri. Kisha tunapata jozi ya maadili (4; 0) ambayo inakidhi mfumo wetu:

Mfano 8. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:

Zidisha mlingano wa kwanza kwa 6, na wa pili kwa 12

Wacha tuandike tena kile kilichobaki:

Hebu tuzidishe mlinganyo wa kwanza kwa -1. Kisha mfumo utachukua fomu:

Sasa hebu tuongeze milinganyo yote miwili. Kama matokeo ya kuongeza, equation 6 huundwa b= 48, ambayo mzizi wake ni 8. Mbadala b kwenye equation ya kwanza na upate a

Mfumo wa milinganyo ya mstari na vigeu vitatu

Mlinganyo wa mstari wenye vigeu vitatu ni pamoja na viambajengo vitatu vilivyo na mgawo, pamoja na neno la kukatiza. Katika fomu ya kisheria inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

shoka + kwa + cz = d

Mlinganyo huu una masuluhisho mengi. Kwa kutoa vigezo viwili thamani tofauti, thamani ya tatu inaweza kupatikana. Suluhisho katika kesi hii ni mara tatu ya maadili ( x; y; z) ambayo hugeuza mlinganyo kuwa kitambulisho.

Ikiwa vigezo x, y, z zimeunganishwa na milinganyo mitatu, kisha mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na vigezo vitatu huundwa. Ili kutatua mfumo kama huo, unaweza kutumia njia zile zile zinazotumika kwa milinganyo ya mstari na vigezo viwili: njia ya uingizwaji na njia ya kuongeza.

Mfano 1. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia mbadala:

Wacha tuelezee katika equation ya tatu x. Kisha mfumo utachukua fomu:

Sasa wacha tufanye badala. Inaweza kubadilika x ni sawa na usemi 3 − 2y − 2z . Wacha tubadilishe usemi huu katika milinganyo ya kwanza na ya pili:

Wacha tufungue mabano katika hesabu zote mbili na tuwasilishe maneno sawa:

Tumefika katika mfumo wa milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili. Katika kesi hii, ni rahisi kutumia njia ya kuongeza. Matokeo yake, kutofautiana y itatoweka na tunaweza kupata thamani ya kutofautisha z

Sasa hebu tupate thamani y. Ili kufanya hivyo, ni rahisi kutumia equation - y+ z= 4. Weka thamani ndani yake z

Sasa hebu tupate thamani x. Ili kufanya hivyo, ni rahisi kutumia equation x= 3 − 2y − 2z . Wacha tubadilishe maadili ndani yake y Na z

Kwa hivyo, mara tatu ya maadili (3; -2; 2) ni suluhisho kwa mfumo wetu. Kwa kuangalia tunahakikisha kuwa maadili haya yanakidhi mfumo:

Mfano 2. Tatua mfumo kwa kutumia njia ya kuongeza

Wacha tuongeze equation ya kwanza na ya pili, iliyozidishwa na -2.

Ikiwa mlinganyo wa pili umezidishwa na -2, inachukua fomu −6x+ 6y - 4z = −4 . Sasa wacha tuiongeze kwenye equation ya kwanza:

Tunaona kuwa kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, thamani ya kutofautisha iliamuliwa x. Ni sawa na moja.

Wacha turudi kwenye mfumo mkuu. Wacha tuongeze mlingano wa pili na wa tatu, uliozidishwa na -1. Ikiwa mlinganyo wa tatu umezidishwa na -1, inachukua fomu −4x + 5y − 2z = −1 . Sasa wacha tuiongeze kwenye equation ya pili:

Tulipata equation x- 2y= -1 . Hebu tubadilishe thamani ndani yake x ambayo tumepata hapo awali. Kisha tunaweza kuamua thamani y

Sasa tunajua maana x Na y. Hii inakuwezesha kuamua thamani z. Wacha tutumie moja ya milinganyo iliyojumuishwa kwenye mfumo:

Kwa hivyo, mara tatu ya maadili (1; 1; 1) ndio suluhisho la mfumo wetu. Kwa kuangalia tunahakikisha kuwa maadili haya yanakidhi mfumo:

Matatizo katika utungaji wa mifumo ya milinganyo ya mstari

Kazi ya kutunga mifumo ya equations hutatuliwa kwa kuingiza vigezo kadhaa. Ifuatayo, hesabu zinaundwa kulingana na hali ya shida. Kutoka kwa hesabu zilizokusanywa huunda mfumo na kuutatua. Baada ya kusuluhisha mfumo, inahitajika kuangalia ikiwa suluhisho lake linakidhi hali ya shida.

Tatizo 1. Gari la Volga lilitoka nje ya jiji hadi kwenye shamba la pamoja. Alirudi nyuma kwenye barabara nyingine, ambayo ilikuwa fupi kwa kilomita 5 kuliko ya kwanza. Kwa jumla, gari lilisafiri kilomita 35 kwenda na kurudi. Urefu wa kila barabara ni kilomita ngapi?

Suluhisho

Hebu x- urefu wa barabara ya kwanza, y- urefu wa pili. Ikiwa gari lilisafiri kilomita 35 kwenda na kurudi, basi equation ya kwanza inaweza kuandikwa kama x+ y= 35. Mlinganyo huu unaelezea jumla ya urefu wa barabara zote mbili.

Inasemekana gari hilo lilirudi kando ya barabara iliyokuwa fupi kwa kilomita 5 kuliko ile ya kwanza. Kisha equation ya pili inaweza kuandikwa kama x− y= 5. Equation hii inaonyesha kwamba tofauti kati ya urefu wa barabara ni 5 km.

Au equation ya pili inaweza kuandikwa kama x= y+ 5. Tutatumia equation hii.

Kwa sababu vigezo x Na y katika hesabu zote mbili zinaashiria nambari sawa, basi tunaweza kuunda mfumo kutoka kwao:

Wacha tusuluhishe mfumo huu kwa kutumia njia zingine zilizosomwa hapo awali. Katika kesi hii, ni rahisi kutumia njia ya uingizwaji, kwani katika equation ya pili kutofautisha x tayari imeonyeshwa.

Badili mlinganyo wa pili kuwa wa kwanza na utafute y

Wacha tubadilishe dhamana iliyopatikana y katika mlinganyo wa pili x= y+ 5 na tutapata x

Urefu wa barabara ya kwanza uliteuliwa kupitia kigeugeu x. Sasa tumepata maana yake. Inaweza kubadilika x ni sawa na 20. Hii ina maana kwamba urefu wa barabara ya kwanza ni 20 km.

Na urefu wa barabara ya pili ulionyeshwa na y. Thamani ya kutofautiana hii ni 15. Hii ina maana urefu wa barabara ya pili ni 15 km.

Hebu tuangalie. Kwanza, hebu tuhakikishe kuwa mfumo unatatuliwa kwa usahihi:

Sasa hebu tuangalie ikiwa suluhisho (20; 15) linakidhi masharti ya tatizo.

Ilisemekana kuwa gari hilo lilisafiri jumla ya kilomita 35 kwenda na kurudi. Tunaongeza urefu wa barabara zote mbili na kuhakikisha kuwa suluhisho (20; 15) linakidhi hali hii: 20 km + 15 km = 35 km

Hali ifuatayo: gari lilirudi nyuma kando ya barabara nyingine, ambayo ilikuwa fupi kwa kilomita 5 kuliko ya kwanza . Tunaona kwamba suluhisho (20; 15) pia linakidhi hali hii, kwani kilomita 15 ni fupi kuliko kilomita 20 kwa kilomita 5: 20 km - 15 km = 5 km

Wakati wa kuunda mfumo, ni muhimu kwamba vigezo viwakilishi nambari sawa katika milinganyo yote iliyojumuishwa katika mfumo huu.

Kwa hivyo mfumo wetu una milinganyo miwili. Equations hizi kwa upande wake zina vigeuzo x Na y, ambayo inawakilisha nambari sawa katika milinganyo yote miwili, yaani urefu wa barabara wa kilomita 20 na kilomita 15.

Tatizo 2. Vilala vya mwaloni na misonobari vilipakiwa kwenye jukwaa, vilala 300 kwa jumla. Inajulikana kuwa walalaji wote wa mwaloni walikuwa na uzito wa tani 1 chini ya walalaji wote wa pine. Amua ni wangapi walala wa mwaloni na pine walikuwa tofauti, ikiwa kila mtunzi wa mwaloni alikuwa na uzito wa kilo 46, na kila mtu anayelala pine 28 kg.

Suluhisho

Hebu x mwaloni na y pine sleepers zilipakiwa kwenye jukwaa. Ikiwa kulikuwa na walalaji 300 kwa jumla, basi equation ya kwanza inaweza kuandikwa kama x+y = 300 .

Walalaji wote wa mwaloni walikuwa na uzito wa 46 x kilo, na misonobari ilikuwa na uzito wa 28 y kilo. Kwa kuwa walalaji wa mwaloni walikuwa na uzito wa tani 1 chini ya walalaji wa misonobari, mlinganyo wa pili unaweza kuandikwa kama 28y - 46x= 1000 . Equation hii inaonyesha kuwa tofauti ya wingi kati ya mwaloni na pine sleepers ni 1000 kg.

Tani zilibadilishwa kuwa kilo kwa kuwa wingi wa usingizi wa mwaloni na pine ulipimwa kwa kilo.

Kama matokeo, tunapata milinganyo miwili inayounda mfumo

Wacha tusuluhishe mfumo huu. Wacha tuelezee katika equation ya kwanza x. Kisha mfumo utachukua fomu:

Badili mlinganyo wa kwanza hadi wa pili na utafute y

Hebu tubadilishe y kwenye equation x= 300 − y na kujua ni nini x

Hii inamaanisha kuwa vilala 100 vya mwaloni na 200 vya misonobari vilipakiwa kwenye jukwaa.

Wacha tuangalie ikiwa suluhisho (100; 200) linakidhi masharti ya shida. Kwanza, hebu tuhakikishe kuwa mfumo unatatuliwa kwa usahihi:

Ilisemekana kwamba kulikuwa na walalaji 300 kwa jumla. Tunaongeza idadi ya walalaji wa mwaloni na pine na hakikisha kuwa suluhisho (100; 200) inakidhi hali hii: 100 + 200 = 300.

Hali ifuatayo: walalaji wote wa mwaloni walikuwa na uzito wa tani 1 chini ya walalaji wote wa misonobari . Tunaona kwamba suluhisho (100; 200) pia inakidhi hali hii, kwani 46 × 100 kg ya usingizi wa mwaloni ni nyepesi kuliko 28 × 200 kg ya usingizi wa pine: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.

Tatizo 3. Tulichukua vipande vitatu vya aloi ya shaba-nickel kwa uwiano wa 2: 1, 3: 1 na 5: 1 kwa uzito. Kipande chenye uzito wa kilo 12 kiliunganishwa kutoka kwao na uwiano wa shaba na maudhui ya nikeli ya 4: 1. Pata wingi wa kila kipande cha asili ikiwa wingi wa kwanza ni mara mbili ya pili.

Matumizi ya milinganyo yameenea katika maisha yetu. Zinatumika katika mahesabu mengi, ujenzi wa miundo na hata michezo. Mwanadamu alitumia equations katika nyakati za kale, na tangu wakati huo matumizi yao yameongezeka tu. Mfumo wa milinganyo mitatu yenye vitu vitatu visivyojulikana hauna suluhu katika visa vyote, licha ya idadi kubwa ya milinganyo. Kama sheria, aina hii ya mfumo hutatuliwa kwa kutumia njia ya kubadilisha au kutumia njia ya Cramer. Njia ya pili inafanya uwezekano wa kuamua katika hatua za kwanza ikiwa mfumo una suluhisho.

Wacha tuseme tumepewa mfumo ufuatao wa hesabu tatu na tatu zisizojulikana:

\[\kushoto\(\anza(matrix) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \mwisho(matrix)\kulia.\]

Unaweza kutatua mfumo huu usio na usawa wa milinganyo ya aljebra ya mstari Ax = B kwa kutumia njia ya Cramer:

\[\Delta _A\anza(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Kiamuzi cha mfumo \ si sawa na sifuri. Wacha tupate viambishi vya msaidizi \ ikiwa sio sawa na sifuri, basi hakuna suluhisho, ikiwa ni sawa, basi kuna idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

\[\Delta _1\anza(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\anza(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\anza(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

Mfumo wa milinganyo 3 ya mstari na 3 zisizojulikana, kibainishi chake ambacho ni nonzero, ni thabiti kila wakati na ina suluhisho la kipekee, linalokokotolewa na fomula:

Jibu: nimepata suluhu

\[\kushoto\(\anza(matrix) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \mwisho(tumbo)\kulia.\]

Je, ninaweza kutatua wapi mfumo wa milinganyo na watu watatu wasiojulikana mtandaoni?

Unaweza kutatua equation kwenye tovuti yetu https://site. Kitatuzi cha bure mtandaoni kitakuruhusu kutatua milinganyo ya mtandaoni ya utata wowote katika suala la sekunde. Unachohitaji kufanya ni kuingiza data yako kwenye kisuluhishi. Unaweza pia kutazama maagizo ya video na kujifunza jinsi ya kutatua equation kwenye tovuti yetu. Na ikiwa bado una maswali, unaweza kuwauliza katika kikundi chetu cha VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Jiunge na kikundi chetu, tunafurahi kukusaidia kila wakati.

Mifumo ya milinganyo mitatu ya mstari katika tatu zisizojulikana

Milinganyo ya mstari (milinganyo ya shahada ya kwanza) yenye mambo mawili yasiyojulikana

Ufafanuzi 1. Mlingano wa mstari (mlingano wa shahada ya kwanza) wenye mambo mawili yasiyojulikana x na y hutaja mlingano wa fomu

Suluhisho . Wacha tuonyeshe kutoka kwa usawa (2) kutofautisha y kupitia kutofautisha x:

Kutoka kwa fomula (3) inafuata kwamba suluhu za equation (2) zote ni jozi za nambari za fomu.

ambapo x ni nambari yoyote.

Kumbuka. Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa suluhisho la Mfano 1, equation (2) ina suluhisho nyingi sana. Hata hivyo, ni muhimu kutambua hilo sio jozi yoyote ya nambari (x; y) ni suluhisho la mlinganyo huu. Ili kupata suluhu lolote la mlingano (2), nambari x inaweza kuchukuliwa kama yoyote, na nambari y kisha inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula (3).

Mifumo ya milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana

Ufafanuzi 3. Mfumo wa milinganyo miwili yenye mistari miwili isiyojulikana x na y huita mfumo wa milinganyo ya fomu

Wapi a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 - nambari zilizopewa.

Ufafanuzi 4. Katika mfumo wa milinganyo (4) nambari a 1 , b 1 , a 2 , b 2 inayoitwa, na nambari c 1 , c 2 – wanachama huru.

Ufafanuzi wa 5. Kwa kutatua mfumo wa milinganyo (4) piga jozi ya nambari ( x; y) , ambayo ni suluhisho kwa equation moja na nyingine ya mfumo (4).

Ufafanuzi 6. Mifumo miwili ya equations inaitwa sawa (sawa), ikiwa ufumbuzi wote wa mfumo wa kwanza wa equations ni ufumbuzi wa mfumo wa pili, na ufumbuzi wote wa mfumo wa pili ni ufumbuzi wa mfumo wa kwanza.

Usawa wa mifumo ya milinganyo unaonyeshwa kwa kutumia ishara ""

Mifumo ya milinganyo ya mstari hutatuliwa kwa kutumia , ambayo tutaonyesha kwa mifano.

Mfano 2. Tatua mfumo wa milinganyo

Suluhisho . Ili kutatua mfumo (5) ondoa haijulikani kutoka kwa equation ya pili ya mfumo X .

Ili kufikia mwisho huu, kwanza tunabadilisha mfumo (5) kuwa fomu ambayo coefficients ya x haijulikani katika milinganyo ya kwanza na ya pili ya mfumo inakuwa sawa.

Ikiwa mlinganyo wa kwanza wa mfumo (5) unazidishwa na mgawo kwa x katika mlingano wa pili (nambari 7), na mlinganyo wa pili unazidishwa na mgawo wa x katika mlingano wa kwanza (nambari 2), kisha mfumo (5) atachukua fomu

Sasa wacha tufanye mabadiliko yafuatayo kwenye mfumo (6):

kutoka kwa equation ya pili tunaondoa equation ya kwanza na kuchukua nafasi ya equation ya pili ya mfumo na tofauti inayosababisha.

Kama matokeo, mfumo (6) unabadilishwa kuwa mfumo sawa

Kutoka kwa equation ya pili tunapata y= 3, na kubadilisha thamani hii katika equation ya kwanza, tunapata

Jibu. (-2; 3).

Mfano 3. Pata maadili yote ya parameta p ambayo mfumo wa equations

A) ina suluhisho la kipekee;

b) ina masuluhisho mengi sana;

V) haina suluhu.

Suluhisho . Kuonyesha x hadi y kutoka mlinganyo wa pili wa mfumo (7) na kubadilisha usemi unaotokana badala ya x katika mlinganyo wa kwanza wa mfumo (7), tunapata

Wacha tusome suluhisho la mfumo (8) kulingana na maadili ya paramu p. Ili kufanya hivyo, kwanza fikiria equation ya kwanza ya mfumo (8):

y (2 - uk) (2 + uk) = 2 + uk

(9)

Kama , kisha equation (9) ina suluhu la kipekee

Kwa hivyo, katika kesi wakati mfumo (7) ina suluhisho la kipekee

Kama uk= - 2, kisha equation (9) inachukua fomu

na suluhisho lake ni nambari yoyote . Kwa hiyo, suluhisho la mfumo (7) ni seti isiyo na mwisho kila mtu jozi za nambari

ambapo y ni nambari yoyote.

Kama uk= 2, kisha equation (9) inachukua fomu

na haina masuluhisho, ambayo inamaanisha mfumo huo (7) haina suluhu.

Mifumo ya milinganyo mitatu ya mstari katika tatu zisizojulikana

Ufafanuzi 7. Mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari yenye vitu vitatu visivyojulikana x, y na z huita mfumo wa milinganyo yenye fomu

Wapi a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 - nambari zilizopewa.

Ufafanuzi 8. Katika mfumo wa equations (10) nambari a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 kuitwa coefficients kwa haijulikani, na nambari d 1 , d 2 , d 3 – wanachama huru.

Ufafanuzi 9. Kwa kutatua mfumo wa equations (10) taja nambari tatu (x; y ; z) , wakati wa kuzibadilisha katika kila milinganyo mitatu ya mfumo (10), usawa sahihi hupatikana.

Mfano 4. Tatua mfumo wa milinganyo

Suluhisho . Tutasuluhisha mfumo (11) kwa kutumia njia ya kuondoa mlolongo wa haijulikani.

Kufanya hivi kwanza tunaondoa haijulikani kutoka kwa usawa wa pili na wa tatu wa mfumo y kwa kufanya mabadiliko yafuatayo kwenye mfumo (11):

Tutaacha equation ya kwanza ya mfumo bila kubadilika;
kwa equation ya pili tunaongeza equation ya kwanza na kuchukua nafasi ya equation ya pili ya mfumo na jumla inayosababisha;
kutoka kwa equation ya tatu tunaondoa equation ya kwanza na kuchukua nafasi ya equation ya tatu ya mfumo na tofauti inayosababisha.

Kama matokeo, mfumo (11) unabadilishwa kuwa mfumo sawa

Sasa ondoa haijulikani kutoka kwa equation ya tatu ya mfumo x kwa kufanya mabadiliko yafuatayo kwenye mfumo (12):

Tutaacha equations ya kwanza na ya pili ya mfumo bila kubadilika;
kutoka kwa equation ya tatu tunaondoa equation ya pili na kuchukua nafasi ya equation ya tatu ya mfumo na tofauti inayosababisha.

Kama matokeo, mfumo (12) unabadilishwa kuwa mfumo sawa

Kutoka kwa mfumo (13) tunapata mara kwa mara

z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .

Jibu. (1; 2; -2).

Mfano 5. Tatua mfumo wa milinganyo

Suluhisho . Kumbuka kwamba kutoka kwa mfumo huu mtu anaweza kupata urahisi matokeo, na kuongeza hesabu zote tatu za mfumo:

Tunaunda kiashiria kuu cha mfumo

na kuihesabu.

Kisha tunaunda viashiria vya ziada

na kuzihesabu.

Kulingana na sheria ya Cramer, suluhisho la mfumo linapatikana kwa kutumia fomula

;
;
,Kama

Wacha tuhesabu:

Kutumia fomula za Cramer tunapata:

Jibu: (1; 2; 3)

Wacha tuhesabu:

Tangu kiashiria kikuu
, na angalau moja ya ziada si sawa na sifuri (kwa upande wetu
), basi mfumo hauna suluhisho.

Wacha tuhesabu:

Kwa kuwa viashiria vyote ni sawa na sifuri, mfumo una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho, ambayo inaweza kupatikana kama ifuatavyo:

Tatua mifumo mwenyewe:

A)
b)

Jibu: a) (1; 2; 5) b) ;;

Somo la vitendo nambari 3 juu ya mada:

Bidhaa ya dot ya vekta mbili na matumizi yake

1. Ikitolewa
Na
, basi tunapata bidhaa ya scalar kwa kutumia formula:

∙

2.Kama, basi bidhaa ya scalar ya vectors hizi mbili hupatikana kwa formula

1. Kutokana na vectors mbili
Na

Tunapata bidhaa zao za scalar kama ifuatavyo:

2. Vekta mbili zimetolewa:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Bidhaa ya scalar hupatikana kama hii:

3.
,

3.1 Kutafuta kazi ya nguvu ya mara kwa mara kwenye sehemu ya moja kwa moja ya njia

1) Chini ya ushawishi wa nguvu ya 15 N, mwili ulihamia kwenye mstari wa moja kwa moja wa mita 2. Pembe kati ya nguvu na mwelekeo wa harakati =60 0. Kuhesabu kazi iliyofanywa na nguvu ya kusonga mwili.

Imetolewa:

Suluhisho:

2) Imetolewa:

Suluhisho:

3) Mwili ulisogezwa kutoka kwa uhakika M(1; 2; 3) hadi N(5; 4; 6) chini ya ushawishi wa nguvu ya 60 N. Pembe kati ya mwelekeo wa nguvu na vekta ya kuhamisha =45 0. Kuhesabu kazi iliyofanywa na nguvu hii.

Suluhisho: pata vekta ya uhamishaji

Kupata moduli ya vekta ya uhamishaji:

Kulingana na formula
tafuta kazi:

3.2 Kuamua usawa wa vekta mbili

Vekta mbili ni za orthogonal ikiwa
, hiyo ni

kwa sababu

- sio ya orthogonal

-orthogonal

3) Amua ni nini  vekta
Na
pande zote za orthogonal.

Kwa sababu
, Hiyo
, Maana

Amua mwenyewe:

. Tafuta bidhaa zao za scalar.

b) Piga hesabu ni kazi ngapi ambayo nguvu hutoa
, ikiwa hatua ya matumizi yake, ikisonga kwa mstatili, imehama kutoka hatua M (5; -6; 1) hadi N (1; -2; 3)

c) Amua ikiwa vekta ni za orthogonal
Na

Majibu: a) 1 b) 16 c) ndiyo

3.3 Kutafuta angle kati ya vectors

. Tafuta .

Tunapata

badala ya formula:

1). Imetolewa ni vipeo vya pembetatu A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Tafuta pembe kwenye kipeo A.

Wacha tuiweke kwenye formula:

Amua mwenyewe:

Zinazotolewa ni vipeo vya pembetatu A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Amua pembe ya mambo ya ndani kwenye kipeo A.

Jibu: 90 o

Somo la vitendo nambari 4 juu ya mada:

BIDHAA YA VECTOR YA VETA MBILI NA MATUMIZI YAKE.

Mfumo wa kupata bidhaa ya msalaba wa vekta mbili:

inaonekana kama

1) Tafuta moduli ya bidhaa ya vekta:

Wacha tutengeneze kibainishi na tukihesabu (kwa kutumia sheria ya Sarrus au nadharia juu ya upanuzi wa kiambishi katika vitu vya safu ya kwanza).

Njia ya 1: kulingana na sheria ya Sarrus

Njia ya 2: panua kibainishi katika vipengele vya safu ya kwanza.

2) Tafuta moduli ya bidhaa ya vekta:

4.1. UHESABU WA ENEO LA PARALLELOGRAM ILIYOJENGWA KWA VEKTA MBILI.

1) Kuhesabu eneo la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta

2). Pata bidhaa ya vekta na moduli yake

4.2. KUHESABU ENEO LA TEMBE TEMBE

Mfano: zilizotolewa ni vipeo vya pembetatu A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Kuhesabu eneo la pembetatu.

Kwanza, hebu tupate kuratibu za vekta mbili zinazotoka kwenye vertex moja.

Wacha tupate bidhaa zao za vekta

4.3. UAMUZI WA USHIRIKIANO WA VETA MBILI

Ikiwa vector
Na
ni collinear, basi

, yaani kuratibu za vekta lazima ziwe sawia.

a) Vekta zinazotolewa ::
,
.

Wao ni collinear kwa sababu
Na

baada ya kupunguza kila sehemu tunapata uwiano

b) Vekta zinazotolewa:

.

Wao si collinear kwa sababu
au

Amua mwenyewe:

a) Ni kwa maadili gani ya m na n ni vekta
collinear?

Jibu:
;

b) Tafuta bidhaa ya vekta na moduli yake
,
.

Jibu:
,
.

Somo la vitendo nambari 5 kuhusu mada:

MSTARI NYUMA KWENYE NDEGE

Tatizo namba 1. Tafuta mlingano wa mstari unaopita kwenye nukta A(-2; 3) sambamba na mstari.

1. Pata mteremko wa mstari
.

ni equation ya mstari wa moja kwa moja na mgawo wa angular na uratibu wa awali (
) Ndiyo maana
.

2. Kwa kuwa mistari ya MN na AC ni sawa, coefficients yao ya angular ni sawa, i.e.
.

3. Ili kupata mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja wa AC, tunatumia mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu yenye mgawo wa angular:

. Katika fomula hii badala yake Na badilisha viwianishi vya nukta A(-2; 3), badala yake Wacha tubadilishe - 3. Kama matokeo ya uingizwaji tunapata:

Jibu:

Kazi nambari 2. Tafuta mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta K(1; -2) sambamba na mstari.

1. Hebu tupate mteremko wa mstari.

Hii ni equation ya jumla ya mstari, ambayo kwa ujumla inatolewa na formula. Kulinganisha milinganyo, tunaona kwamba A = 2, B = -3. Mteremko wa mstari wa moja kwa moja unaotolewa na equation hupatikana kwa formula
. Kubadilisha A = 2 na B = -3 kwenye formula hii, tunapata mteremko wa mstari wa moja kwa moja MN. Kwa hiyo,
.

2. Kwa kuwa mistari MN na KS ni sambamba, mgawo wao wa angular ni sawa:
.

3. Ili kupata mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja wa KS, tunatumia fomula ya equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu yenye mgawo wa angular.
. Katika fomula hii badala yake Na wacha tubadilishe viwianishi vya nukta K(–2; 3), badala ya

Tatizo namba 3. Pata usawa wa mstari unaopita kwenye hatua K (-1; -3) perpendicular kwa mstari.

1. ni equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja, ambayo kwa fomu ya jumla hutolewa na fomula.

na tunaona kuwa A = 3, B = 4.

Mteremko wa mstari wa moja kwa moja uliotolewa na equation hupatikana na formula:
. Kubadilisha A = 3 na B = 4 kwenye fomula hii, tunapata mteremko wa mstari wa moja kwa moja MN:
.

2. Kwa kuwa mistari ya MN na KD ni ya pembeni, viambajengo vyake vya angular vina uwiano kinyume na kinyume katika ishara:

3. Ili kupata equation ya mstari wa moja kwa moja wa KD, tunatumia formula ya equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye uhakika na mgawo wa angular.

. Katika fomula hii badala yake Na badilisha viwianishi vya nukta K(–1;–3), badala yake tubadilishe Kama matokeo ya uingizwaji, tunapata:

Amua mwenyewe:

1. Tafuta mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta K(-4; 1) sambamba na mstari.
.

Jibu:
.

2. Tafuta mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta K(5; -2) sambamba na mstari.
.

3. Tafuta mlinganyo wa mstari unaopita kwa uhakika K(-2, -6) kwa mstari.
.

4. Tafuta mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta K(7; -2) kwa mstari.
.

Jibu:
.

5. Tafuta equation ya perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika K (-6; 7) hadi mstari wa moja kwa moja.
.