Kutatua milinganyo katika nambari kamili ni mojawapo ya matatizo ya zamani zaidi ya kihisabati. Tayari mwanzoni mwa milenia ya 2 KK. e. Wababeli walijua jinsi ya kusuluhisha mifumo ya milinganyo kama hiyo kwa viambishi viwili. Eneo hili la hisabati lilifikia kustawi zaidi katika Ugiriki ya Kale. Chanzo chetu kikuu ni Hesabu ya Diophantus, ambayo ina aina mbalimbali za milinganyo. Ndani yake, Diophantus (baada ya jina lake jina la equations ni Diophantine equations) anatarajia njia kadhaa za kusoma hesabu za digrii 2 na 3, ambazo zilikua tu katika karne ya 19.

Milinganyo rahisi zaidi ya Diophantine ni shoka + y = 1 (mlinganyo wenye viambatisho viwili, shahada ya kwanza) x2 + y2 = z2 (mlinganyo wenye vigeu vitatu, shahada ya pili)

Milinganyo ya aljebra imesomwa kikamilifu zaidi; suluhisho lao lilikuwa mojawapo ya matatizo muhimu zaidi katika aljebra katika karne ya 16 na 17.

Mwanzoni mwa karne ya 19, kazi za P. Fermat, L. Euler, K. Gauss zilichunguza usawa wa Diophantine wa fomu: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, ambapo a, b, c , d, e, f ni nambari; x, y vigeu visivyojulikana.

Huu ni mlinganyo wa shahada ya 2 na mambo mawili yasiyojulikana.

K. Gauss alianzisha nadharia ya jumla ya maumbo ya quadratic, ambayo ni msingi wa kutatua aina fulani za milinganyo yenye viambajengo viwili (Diophantine equations). Kuna idadi kubwa ya hesabu maalum za Diophantine ambazo zinaweza kutatuliwa kwa kutumia njia za kimsingi. /p>

Nyenzo za kinadharia.

Katika sehemu hii ya kazi, dhana za msingi za hisabati zitaelezewa, maneno yatafafanuliwa, na theorem ya upanuzi itaundwa kwa kutumia njia ya coefficients isiyojulikana, ambayo ilisomwa na kuzingatiwa wakati wa kutatua equations na vigezo viwili.

Ufafanuzi 1: Mlinganyo wa fomu ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, ambapo a, b, c, d, e, f ni nambari; x, y vigeu visivyojulikana huitwa mlingano wa shahada ya pili na viambatisho viwili.

Katika kozi ya hisabati ya shule, equation ya quadratic ax2 + bx + c = 0 inasomwa, ambapo a, b, c ya nambari x ni kutofautiana, na kutofautiana moja. Kuna njia nyingi za kutatua equation hii:

1. Kupata mizizi kwa kutumia kibaguzi;

2. Kutafuta mizizi kwa mgawo hata katika (kulingana na D1 =);

3. Kupata mizizi kwa kutumia nadharia ya Vieta;

4. Kutafuta mizizi kwa kutenganisha mraba kamili wa binomial.

Kutatua mlinganyo kunamaanisha kutafuta mizizi yake yote au kuthibitisha kwamba haipo.

Ufafanuzi wa 2: Mzizi wa mlinganyo ni nambari ambayo, ikibadilishwa kuwa mlingano, huunda usawa wa kweli.

Ufafanuzi wa 3: Suluhisho la mlinganyo wenye viambatisho viwili huitwa jozi ya nambari (x, y) inapobadilishwa kuwa mlinganyo, inageuka kuwa usawa wa kweli.

Mchakato wa kutafuta masuluhisho ya mlinganyo mara nyingi huwa ni kuchukua nafasi ya mlinganyo na mlinganyo sawa, lakini ambao ni rahisi kutatua. Equations vile huitwa sawa.

Ufafanuzi wa 4: Milinganyo miwili inasemekana kuwa sawa ikiwa kila suluhu la mlinganyo mmoja ni suluhu la mlinganyo mwingine, na kinyume chake, na milinganyo yote miwili inazingatiwa katika kikoa kimoja.

Ili kutatua equations na vigezo viwili, tumia theorem juu ya mtengano wa equation katika jumla ya mraba kamili (kwa njia ya coefficients isiyojulikana).

Kwa mpangilio wa pili wa equation ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), upanuzi a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) hufanyika.

Hebu tutengeneze masharti ambayo upanuzi (2) unafanyika kwa equation (1) ya vigezo viwili.

Nadharia: Ikiwa viambatanisho a, b, c vya mlingano (1) vinatimiza masharti a0 na 4ab - c20, basi upanuzi (2) hubainishwa kwa njia ya kipekee.

Kwa maneno mengine, equation (1) yenye vigezo viwili inaweza kupunguzwa kwa fomu (2) kwa kutumia njia ya coefficients isiyojulikana ikiwa masharti ya theorem yametimizwa.

Hebu tuangalie mfano wa jinsi njia ya coefficients isiyojulikana inatekelezwa.

NJIA namba 1. Tatua mlinganyo kwa kutumia njia ya mgawo ambao haujabainishwa

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Hebu tuangalie utimilifu wa masharti ya nadharia, a=2, b=1, c=2, ambayo ina maana a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22=40.

2. Masharti ya nadharia yametimizwa, yanaweza kupanuliwa kulingana na fomula (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, kulingana na masharti ya nadharia, sehemu zote mbili za utambulisho ni sawa. Wacha turahisishe upande wa kulia wa utambulisho.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Tunalinganisha coefficients kwa vigezo vinavyofanana na digrii zao.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Wacha tupate mfumo wa hesabu, tutatue na tupate maadili ya mgawo.

7. Badili mgawo katika (2), kisha mlinganyo utachukua fomu

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

Kwa hivyo, mlinganyo wa asili ni sawa na mlinganyo

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), mlingano huu ni sawa na mfumo wa milinganyo miwili ya mstari.

Jibu: (-1; 1).

Ikiwa utazingatia aina ya upanuzi (3), utaona kwamba inafanana katika fomu ya kutenga mraba kamili kutoka kwa equation ya quadratic na variable moja: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Wacha tutumie mbinu hii wakati wa kusuluhisha equation na anuwai mbili. Hebu tutatue, kwa kutumia uteuzi wa mraba kamili, equation ya quadratic na vigezo viwili ambavyo tayari vimetatuliwa kwa kutumia theorem.

NJIA YA 2: Tatua mlingano 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Suluhisho: 1. Hebu tufikirie 2x2 kama jumla ya maneno mawili x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Wacha tupange maneno kwa njia ambayo tunaweza kukunja kwa kutumia fomula ya mraba kamili.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Chagua miraba kamili kutoka kwa maneno kwenye mabano.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Mlinganyo huu ni sawa na mfumo wa milinganyo ya mstari.

Jibu: (-1;1).

Ikiwa unalinganisha matokeo, unaweza kuona kwamba equation kutatuliwa kwa njia ya 1 kwa kutumia theorem na njia ya coefficients isiyojulikana na equation kutatuliwa kwa njia No 2 kwa kutumia uchimbaji wa mraba kamili ina mizizi sawa.

Hitimisho: Mlinganyo wa quadratic wenye vigeu viwili unaweza kupanuliwa kuwa jumla ya miraba kwa njia mbili:

➢ Mbinu ya kwanza ni mbinu ya misimbo isiyojulikana, ambayo inategemea nadharia na upanuzi (2).

➢ Njia ya pili ni kutumia mabadiliko ya utambulisho ambayo hukuruhusu kuchagua miraba kamili kwa kufuatana.

Bila shaka, wakati wa kutatua matatizo, njia ya pili ni bora, kwani hauhitaji kukariri upanuzi (2) na masharti.

Njia hii pia inaweza kutumika kwa milinganyo ya quadratic na vigezo vitatu. Kutenga mraba kamili katika milinganyo kama hii ni kazi kubwa zaidi. Nitafanya aina hii ya mabadiliko mwaka ujao.

Inafurahisha kutambua kwamba chaguo la kukokotoa ambalo lina fomu: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f inaitwa kazi ya quadratic ya vigezo viwili. Kazi za Quadratic zina jukumu muhimu katika matawi anuwai ya hisabati:

Katika programu ya hisabati (programu ya quadratic)

Katika algebra ya mstari na jiometri (aina za quadratic)

Katika nadharia ya milinganyo tofauti (kupunguza equation ya mstari wa mpangilio wa pili hadi fomu ya kisheria).

Wakati wa kutatua shida hizi anuwai, kimsingi mtu lazima atumie utaratibu wa kutenga mraba kamili kutoka kwa hesabu ya quadratic (vigezo moja, mbili au zaidi).

Mistari ambayo milinganyo yake inaelezewa na mlinganyo wa quadratic wa vigezo viwili huitwa curves za mpangilio wa pili.

Huu ni mduara, duaradufu, hyperbola.

Wakati wa kujenga grafu za curves hizi, njia ya kutenganisha mraba kamili pia hutumiwa.

Wacha tuangalie jinsi njia ya kuchagua mraba kamili inavyofanya kazi kwa kutumia mifano maalum.

Sehemu ya vitendo.

Tatua milinganyo kwa kutumia njia ya kutenganisha mraba kamili.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Jibu:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Jibu: (0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3 (x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Jibu:(-1;1).

Tatua milinganyo:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 =0

(punguza kwa fomu: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Jibu: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(punguza kwa fomu: -3(x+y)2 + (y -1)2= 0)

Jibu: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(punguza kwa fomu: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Jibu: (7; -7)

Hitimisho.

Katika kazi hii ya kisayansi, equations zilizo na vigezo viwili vya shahada ya pili zilisomwa na mbinu za kuzitatua zilizingatiwa. Kazi imekamilika, njia fupi ya suluhisho imeundwa na kuelezewa, kwa msingi wa kutenga mraba kamili na kuchukua nafasi ya equation na mfumo sawa wa equations, kwa sababu hiyo utaratibu wa kutafuta mizizi ya equation na vigezo viwili ina. imerahisishwa.

Jambo muhimu la kazi ni kwamba mbinu inayozingatiwa hutumiwa wakati wa kutatua matatizo mbalimbali ya hisabati kuhusiana na kazi ya quadratic, kujenga curves za utaratibu wa pili, na kutafuta thamani kubwa zaidi (ndogo) ya maneno.

Kwa hivyo, mbinu ya kutenganisha equation ya mpangilio wa pili na vigezo viwili katika jumla ya mraba ina matumizi mengi zaidi katika hisabati.

Mada:Utendakazi wa mstari

Somo:Mlinganyo wa mstari katika vigezo viwili na grafu yake

Tulifahamu dhana za mhimili wa kuratibu na ndege ya kuratibu. Tunajua kwamba kila nukta kwenye ndege inafafanua kipekee jozi ya nambari (x; y), na nambari ya kwanza ikiwa abscissa ya nukta, na ya pili ikiwa ya kuratibu.

Mara nyingi tutakutana na equation ya mstari katika vigezo viwili, suluhisho ambalo ni jozi ya nambari ambazo zinaweza kuwakilishwa kwenye ndege ya kuratibu.

Mlinganyo wa fomu:

Ambapo a, b, c ni nambari, na

Inaitwa mlingano wa mstari na vigeu viwili x na y. Suluhisho la mlingano kama huo litakuwa jozi yoyote kama hiyo ya nambari x na y, ikibadilisha ambayo katika mlinganyo tutapata usawa sahihi wa nambari.

Jozi ya nambari itaonyeshwa kwenye ndege ya kuratibu kama hatua.

Kwa hesabu kama hizo tutaona suluhisho nyingi, ambayo ni, jozi nyingi za nambari, na alama zote zinazolingana zitalala kwenye mstari sawa.

Hebu tuangalie mfano:

Ili kupata suluhisho la equation hii unahitaji kuchagua jozi zinazolingana za nambari x na y:

Let , basi equation ya asili inageuka kuwa equation na moja isiyojulikana:

,

Hiyo ni, jozi ya kwanza ya nambari ambayo ni suluhisho la equation fulani (0; 3). Tuna pointi A (0; 3)

Hebu . Tunapata equation ya asili na tofauti moja: , kutoka hapa, tulipata uhakika B(3; 0)

Wacha tuweke jozi za nambari kwenye meza:

Wacha tupange vidokezo kwenye grafu na tuchore mstari wa moja kwa moja:

Kumbuka kwamba hatua yoyote kwenye mstari uliopewa itakuwa suluhisho kwa equation iliyotolewa. Wacha tuangalie - chukua hatua na kuratibu na utumie grafu kupata uratibu wake wa pili. Ni dhahiri kwamba katika hatua hii. Wacha tubadilishe jozi hii ya nambari kwenye mlinganyo. Tunapata 0=0 - usawa sahihi wa nambari, ambayo inamaanisha kuwa nukta iliyo kwenye mstari ni suluhisho.

Kwa sasa, hatuwezi kuthibitisha kwamba hatua yoyote iliyo kwenye mstari uliojengwa ni suluhu la mlinganyo, kwa hivyo tunakubali hili kama kweli na tutalithibitisha baadaye.

Mfano 2 - piga mlinganyo:

Wacha tutengeneze jedwali; tunahitaji vidokezo viwili tu ili kuunda laini iliyonyooka, lakini tutachukua ya tatu kudhibiti:

Katika safu ya kwanza tulichukua inayofaa, tutaipata kutoka:

, ,

Kwenye safu ya pili tulichukua inayofaa, wacha tupate x:

, , ,

Wacha tuangalie na tupate:

, ,

Wacha tutengeneze grafu:

Wacha tuzidishe equation iliyotolewa na mbili:

Kutoka kwa mabadiliko hayo, seti ya ufumbuzi haitabadilika na grafu itabaki sawa.

Hitimisho: tulijifunza kutatua equations na vigezo viwili na kujenga grafu zao, tulijifunza kwamba grafu ya equation kama hiyo ni mstari wa moja kwa moja na kwamba hatua yoyote kwenye mstari huu ni suluhisho la equation.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. na wengine Aljebra 7. Toleo la 6. M.: Kuelimika. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. na wengine Aljebra 7.M.: Mwangaza. 2006

2. Tovuti ya kutazama kwa familia ().

Kazi ya 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nambari 960, Sanaa ya 210;

Kazi ya 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, No. 961, Sanaa ya 210;

Kazi ya 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nambari 962, Sanaa ya 210;

Katika kozi ya hisabati ya darasa la 7, tunakutana kwa mara ya kwanza milinganyo yenye vigezo viwili, lakini zinasomwa tu katika muktadha wa mifumo ya milinganyo yenye vitu viwili visivyojulikana. Ndiyo maana mfululizo mzima wa matatizo ambayo hali fulani huletwa kwenye coefficients ya equation ambayo huwazuia huanguka nje ya macho. Kwa kuongeza, mbinu za kutatua matatizo kama vile "Suluhisha mlinganyo katika nambari asilia au nambari kamili" pia hazizingatiwi, ingawa matatizo ya aina hii hupatikana mara nyingi zaidi katika nyenzo za Mitihani ya Nchi Iliyounganishwa na katika mitihani ya kuingia.

Ni mlinganyo upi utakaoitwa mlinganyo wenye viambishi viwili?

Kwa hivyo, kwa mfano, milinganyo 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, au xy = 12 ni milinganyo katika vigezo viwili.

Fikiria equation 2x - y = 1. Inakuwa kweli wakati x = 2 na y = 3, hivyo jozi hii ya maadili ya kutofautiana ni suluhisho kwa equation inayohusika.

Kwa hivyo, suluhisho la equation yoyote iliyo na vigezo viwili ni seti ya jozi zilizoamriwa (x; y), maadili ya vigezo vinavyogeuza equation hii kuwa usawa wa kweli wa nambari.

Mlinganyo wenye vitu viwili visivyojulikana unaweza:

A) kuwa na suluhisho moja. Kwa mfano, equation x 2 + 5y 2 = 0 ina ufumbuzi wa kipekee (0; 0);

b) kuwa na suluhisho nyingi. Kwa mfano, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ina masuluhisho 4: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) hazina masuluhisho. Kwa mfano, equation x 2 + y 2 + 1 = 0 haina ufumbuzi;

G) kuwa na suluhisho nyingi sana. Kwa mfano, x + y = 3. Masuluhisho ya mlingano huu yatakuwa nambari ambazo jumla yake ni sawa na 3. Seti ya masuluhisho ya mlingano huu inaweza kuandikwa kwa namna (k; 3 – k), ambapo k ni halisi. nambari.

Mbinu kuu za kusuluhisha milinganyo na viambajengo viwili ni mbinu kulingana na misemo ya kubainisha, kutenga mraba kamili, kwa kutumia sifa za mlinganyo wa quadratic, usemi mdogo, na mbinu za kukadiria. Equation kawaida hubadilishwa kuwa fomu ambayo mfumo wa kutafuta haijulikani unaweza kupatikana.

Factorization

Mfano 1.

Tatua mlingano: xy - 2 = 2x - y.

Suluhisho.

Tunaweka masharti kwa madhumuni ya uainishaji:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Kutoka kwa kila mabano tunachukua sababu ya kawaida:

y(x + 1) - 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Tuna:

y = 2, x - nambari yoyote halisi au x = -1, y - nambari yoyote halisi.

Hivyo, jibu ni jozi zote za fomu (x; 2), x € R na (-1; y), y € R.

Usawa wa nambari zisizo hasi hadi sifuri

Mfano 2.

Tatua mlingano: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Suluhisho.

Kuweka katika vikundi:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sasa kila mabano yanaweza kukunjwa kwa kutumia fomula ya tofauti ya mraba.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Jumla ya misemo miwili isiyo hasi ni sifuri ikiwa 3x - 2 = 0 na 2y - 3 = 0.

Hii ina maana x = 2/3 na y = 3/2.

Jibu: (2/3; 3/2).

Mbinu ya kukadiria

Mfano 3.

Tatua mlingano: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Suluhisho.

Katika kila mabano tunachagua mraba kamili:

((x + 1) 2 + 1)((y - 2) 2 + 2) = 2. Hebu tukadirie maana ya misemo katika mabano.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 na (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, basi upande wa kushoto wa equation daima ni angalau 2. Usawa unawezekana ikiwa:

(x + 1) 2 + 1 = 1 na (y – 2) 2 + 2 = 2, ambayo ina maana x = -1, y = 2.

Jibu: (-1; 2).

Wacha tufahamiane na njia nyingine ya kusuluhisha hesabu na anuwai mbili za digrii ya pili. Njia hii inajumuisha kutibu equation kama mraba kwa heshima na mabadiliko fulani.

Mfano 4.

Tatua mlingano: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Suluhisho.

Wacha tusuluhishe mlinganyo kama mlinganyo wa quadratic wa x. Wacha tupate ubaguzi:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2. Mlinganyo utakuwa na suluhu tu wakati D = 0, yaani, ikiwa y = 4. Tunabadilisha thamani ya y kwenye mlinganyo wa asili na kupata kwamba x = 3.

Jibu: (3; 4).

Mara nyingi katika equations na mbili haijulikani zinaonyesha vikwazo juu ya vigezo.

Mfano 5.

Tatua mlingano kwa nambari nzima: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Suluhisho.

Hebu tuandike upya equation katika fomu x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Upande wa kulia wa equation inayosababisha wakati umegawanywa na 5 hutoa salio ya 2. Kwa hiyo, x 2 haigawanyiki na 5. Lakini mraba wa a nambari isiyogawanywa na 5 inatoa salio ya 1 au 4. Kwa hivyo, usawa hauwezekani na hakuna suluhisho.

Jibu: hakuna mizizi.

Mfano 6.

Tatua mlingano: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Suluhisho.

Wacha tuangazie miraba kamili katika kila mabano:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Upande wa kushoto wa mlinganyo daima ni mkubwa kuliko au sawa na 3. Usawa unawezekana ikitolewa |x| – 2 = 0 na y + 3 = 0. Hivyo, x = ± 2, y = -3.

Jibu: (2; -3) na (-2; -3).

Mfano 7.

Kwa kila jozi ya nambari hasi (x;y) zinazotosheleza mlinganyo
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hesabu jumla (x + y). Tafadhali onyesha kiasi kidogo zaidi katika jibu lako.

Suluhisho.

Wacha tuchague miraba kamili:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kwa kuwa x na y ni nambari kamili, miraba yao pia ni nambari kamili. Tunapata jumla ya miraba ya nambari mbili kamili sawa na 37 ikiwa tunaongeza 1 + 36. Kwa hivyo:

(x – y) 2 = 36 na (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 na (y + 2) 2 = 36.

Kutatua mifumo hii na kwa kuzingatia kwamba x na y ni hasi, tunapata ufumbuzi: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Jibu: -17.

Usikate tamaa ikiwa una ugumu wa kusuluhisha milinganyo na vitu viwili visivyojulikana. Kwa mazoezi kidogo, unaweza kushughulikia equation yoyote.

Bado una maswali? Sijui jinsi ya kutatua equations katika vigezo viwili?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu -.
Somo la kwanza ni bure!

blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.

Milinganyo isiyo ya mstari na mbili zisizojulikana

Ufafanuzi 1. Acha A iwe fulani seti ya jozi za nambari (x; y). Wanasema kwamba seti A imetolewa utendakazi wa nambari z kutoka kwa vigezo viwili x na y , ikiwa sheria imeelezwa kwa msaada ambao kila jozi ya nambari kutoka kwa kuweka A inahusishwa na nambari fulani.

Kubainisha kitendakazi cha nambari z cha vigeu viwili x na y mara nyingi kuashiria Kwa hivyo:

Wapi f (x , y) - kitendaji chochote isipokuwa kitendakazi

f (x , y) = shoka+kwa+c ,

ambapo a, b, c hupewa nambari.

Ufafanuzi 3. Kutatua equation (2) piga jozi ya nambari ( x; y) , ambayo fomula (2) ni usawa wa kweli.

Mfano 1. Tatua mlinganyo

Kwa kuwa mraba wa nambari yoyote si hasi, inafuata kutoka kwa fomula (4) kwamba zisizojulikana x na y zinakidhi mfumo wa milinganyo.

suluhisho ambalo ni jozi ya nambari (6; 3).

Jibu: (6; 3)

Mfano 2. Tatua mlinganyo

Kwa hivyo, suluhisho la equation (6) ni idadi isiyo na kikomo ya jozi za nambari aina

(1 + y ; y) ,

ambapo y ni nambari yoyote.

mstari

Ufafanuzi 4. Kutatua mfumo wa milinganyo

piga jozi ya nambari ( x; y), wakati wa kuzibadilisha katika kila hesabu za mfumo huu, usawa sahihi hupatikana.

Mifumo ya equations mbili, moja ambayo ni ya mstari, ina fomu

g(x , y)

Mfano 4. Tatua mfumo wa milinganyo

Suluhisho . Wacha tuelezee isiyojulikana y kutoka kwa mlingano wa kwanza wa mfumo (7) kupitia x isiyojulikana na tubadilishe usemi unaotokana na mlingano wa pili wa mfumo:

Kutatua equation

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Kwa hivyo,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Mifumo ya equations mbili, moja ambayo ni homogeneous

Mifumo ya equations mbili, moja ambayo ni homogeneous, ina fomu

ambapo a, b, c hupewa nambari, na g(x , y) - utendakazi wa viambajengo viwili x na y.

Mfano 6. Tatua mfumo wa milinganyo

Suluhisho . Wacha tusuluhishe equation ya homogeneous

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

kuchukulia kama mlinganyo wa quadratic kwa heshima na x isiyojulikana:

.

Iwapo x = - 5y, kutoka kwa equation ya pili ya mfumo (11) tunapata equation

5y 2 = - 20 ,

ambayo haina mizizi.

Iwapo

kutoka kwa equation ya pili ya mfumo (11) tunapata equation

,

ambao mizizi yake ni nambari y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Kupata kwa kila moja ya maadili haya y thamani inayolingana x, tunapata suluhisho mbili kwa mfumo: (- 2; 3), (2; - 3).

Jibu: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Mifano ya kutatua mifumo ya equations ya aina nyingine

Mfano 8. Tatua mfumo wa milinganyo (MIPT)

Suluhisho . Wacha tuanzishe mambo mapya yasiyojulikana u na v, ambayo yanaonyeshwa kupitia x na y kulingana na fomula:

Ili kuandika upya mfumo (12) kulingana na mambo mapya yasiyojulikana, kwanza tunaeleza yasiyojulikana x na y kulingana na u na v. Kutoka kwa mfumo (13) inafuata hiyo

Wacha tusuluhishe mfumo wa mstari (14) kwa kuondoa utofautishaji wa x kutoka kwa mlinganyo wa pili wa mfumo huu. Kwa kusudi hili, tunafanya mabadiliko yafuatayo kwenye mfumo (14):

• Tutaacha equation ya kwanza ya mfumo bila kubadilika;
• kutoka kwa equation ya pili tunaondoa equation ya kwanza na kuchukua nafasi ya equation ya pili ya mfumo na tofauti inayosababisha.

Kama matokeo, mfumo (14) unabadilishwa kuwa mfumo sawa

ambayo tunapata

Kwa kutumia fomula (13) na (15), tunaandika upya mfumo asilia (12) katika fomu.

Mlinganyo wa kwanza wa mfumo (16) ni wa mstari, kwa hivyo tunaweza kuelezea kutoka kwayo u haijulikani kupitia v isiyojulikana na kubadilisha usemi huu kwenye mlingano wa pili wa mfumo.

Maagizo

Ubadilishaji MethodExpress kigezo kimoja na ukibadilishe katika mlinganyo mwingine. Unaweza kueleza tofauti yoyote kwa hiari yako. Kwa mfano, eleza y kutoka kwa mlinganyo wa pili:
x-y=2 => y=x-2Kisha ubadilishe kila kitu kwenye mlinganyo wa kwanza:
2x+(x-2)=10 Hamisha kila kitu bila “x” hadi upande wa kulia na uhesabu:
2x+x=10+2
3x=12 Ifuatayo, ili kupata x, gawanya pande zote mbili za equation na 3:
x=4. Kwa hivyo, umepata “x. Tafuta "y. Ili kufanya hivyo, badilisha "x" kwenye mlinganyo ambao ulionyesha "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Fanya ukaguzi. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yanayotokana na hesabu:
2*4+2=10
4-2=2
Wasiojulikana wamepatikana kwa usahihi!

Njia ya kuongeza au kupunguza milinganyo Ondoa tofauti yoyote mara moja. Kwa upande wetu, hii ni rahisi kufanya na "y.
Kwa kuwa katika "y" kuna ishara "+", na katika pili "-", basi unaweza kufanya operesheni ya kuongeza, i.e. kunja upande wa kushoto na wa kushoto, na wa kulia na wa kulia:
2x+y+(x-y)=10+2Geuza:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Badilisha “x” kwenye mlinganyo wowote na utafute “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Kwa mbinu ya 1 unaweza kuona kwamba zilipatikana kwa usahihi.

Ikiwa hakuna vigezo vilivyoelezwa wazi, basi ni muhimu kubadilisha kidogo equations.
Katika equation ya kwanza tunayo "2x", na ya pili tunayo "x". Ili x ipunguzwe wakati wa kuongeza, zidisha equation ya pili na 2:
x-y=2
2x-2y=4Kisha toa ya pili kutoka kwa mlinganyo wa kwanza:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Kumbuka kwamba ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi baada ya kufungua, ibadilishe kwa kinyume:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
pata y=2x kwa kueleza kutoka kwa mlinganyo wowote, i.e.
x=4

Video kwenye mada

Kidokezo cha 2: Jinsi ya kutatua equation ya mstari katika vigezo viwili

Mlinganyo, iliyoandikwa kwa umbo la jumla ax+bу+c=0, inaitwa mlingano wa mstari na mbili vigezo. Equation kama hiyo yenyewe ina idadi isiyo na kipimo ya suluhisho, kwa hivyo katika shida huongezewa kila wakati na kitu - equation nyingine au masharti ya kupunguza. Kulingana na masharti yaliyotolewa na shida, suluhisha equation ya mstari na mbili vigezo hufuata kwa njia tofauti.

Utahitaji

• - usawa wa mstari na vigezo viwili;
• - equation ya pili au masharti ya ziada.

Maagizo

Kwa kuzingatia mfumo wa milinganyo miwili ya mstari, isuluhishe kama ifuatavyo. Chagua mojawapo ya milinganyo ambayo migawo iko vigezo ndogo na kueleza moja ya vigezo, kwa mfano, x. Kisha ubadilishe thamani hii iliyo na y kwenye mlinganyo wa pili. Katika equation inayosababisha kutakuwa na tofauti moja tu y, songa sehemu zote na y upande wa kushoto, na za bure kwa kulia. Tafuta y na ubadilishe katika milinganyo yoyote ya asili ili kupata x.

Kuna njia nyingine ya kutatua mfumo wa equations mbili. Zidisha moja ya milinganyo kwa nambari ili mgawo wa mojawapo ya vigeuzo, kama vile x, iwe sawa katika milinganyo yote miwili. Kisha toa moja ya milinganyo kutoka kwa nyingine (ikiwa upande wa kulia sio sawa na 0, kumbuka kutoa pande za kulia kwa njia ile ile). Utaona kwamba utofauti wa x umetoweka na ni moja tu ya y iliyobaki. Tatua mlingano unaotokana, na ubadilishe thamani iliyopatikana ya y kwa usawa wowote asili. Tafuta x.

Njia ya tatu ya kutatua mfumo wa milinganyo miwili ya mstari ni ya kielelezo. Chora mfumo wa kuratibu na uchore mistari miwili iliyonyooka ambayo milinganyo yake imetolewa katika mfumo wako. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yoyote mawili ya x kwenye equation na upate y inayolingana - hizi zitakuwa kuratibu za alama za mstari. Njia rahisi zaidi ya kupata makutano na shoka za kuratibu ni kubadilisha tu maadili x=0 na y=0. Kuratibu za hatua ya makutano ya mistari hii miwili itakuwa kazi.

Ikiwa kuna equation moja tu ya mstari katika hali ya shida, basi umepewa masharti ya ziada ambayo unaweza kupata suluhisho. Soma tatizo kwa uangalifu ili kupata hali hizi. Kama vigezo x na y zinaonyesha umbali, kasi, uzito - jisikie huru kuweka kikomo x≥0 na y≥0. Inawezekana kabisa kwamba x au y huficha idadi ya apples, nk. - basi maadili yanaweza tu kuwa . Ikiwa x ni umri wa mtoto, ni wazi kuwa hawezi kuwa mzee kuliko baba yake, kwa hivyo onyesha hii katika hali ya shida.

Vyanzo:

• jinsi ya kutatua equation na variable moja

Pekee yake mlinganyo na watatu haijulikani ina masuluhisho mengi, kwa hivyo mara nyingi huongezewa na milinganyo au masharti mawili zaidi. Kulingana na data ya awali ni nini, mwendo wa uamuzi utategemea sana.

Utahitaji

• - mfumo wa equations tatu na haijulikani tatu.

Maagizo

Ikiwa mifumo miwili kati ya mitatu ina mbili tu kati ya tatu zisizojulikana, jaribu kuelezea vigeu kadhaa kulingana na vingine na ubadilishe katika mlinganyo na watatu haijulikani. Lengo lako katika kesi hii ni kuibadilisha kuwa ya kawaida mlinganyo na mtu asiyejulikana. Ikiwa hii ni , suluhu zaidi ni rahisi sana - badilisha thamani iliyopatikana katika milinganyo mingine na upate zisizojulikana zingine zote.

Baadhi ya mifumo ya milinganyo inaweza kupunguzwa kutoka kwa mlinganyo mmoja hadi mwingine. Angalia ikiwa inawezekana kuzidisha moja au kigezo ili mambo mawili yasiyojulikana yaghairiwe mara moja. Ikiwa kuna fursa kama hiyo, tumia fursa hiyo; uwezekano mkubwa, suluhisho linalofuata halitakuwa ngumu. Kumbuka kwamba wakati wa kuzidisha kwa nambari, lazima uzidishe upande wa kushoto na wa kulia. Vivyo hivyo, wakati wa kutoa milinganyo, lazima ukumbuke kuwa upande wa kulia lazima pia utolewe.

Ikiwa njia za awali hazikusaidia, tumia njia ya jumla ya kutatua equations yoyote na tatu haijulikani. Ili kufanya hivyo, andika upya milinganyo katika fomu a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sasa unda matrix ya coefficients ya x (A), matrix ya haijulikani (X) na matrix ya zisizolipishwa (B). Tafadhali kumbuka kuwa kwa kuzidisha matrix ya coefficients kwa matrix ya haijulikani, utapata matrix ya maneno ya bure, yaani, A*X=B.

Pata matrix A kwa nguvu (-1) kwa kutafuta kwanza, kumbuka kuwa haipaswi kuwa sawa na sifuri. Baada ya hayo, zidisha matrix inayosababishwa na matrix B, kama matokeo utapokea matrix inayotaka X, ikionyesha maadili yote.

Unaweza pia kupata suluhisho kwa mfumo wa milinganyo mitatu kwa kutumia njia ya Cramer. Ili kufanya hivyo, pata kibainishi cha mpangilio wa tatu ∆ sambamba na matrix ya mfumo. Kisha mtawalia pata viambajengo vingine vitatu ∆1, ∆2 na ∆3, ukibadilisha maadili ya istilahi zisizolipishwa badala ya maadili ya safuwima zinazolingana. Sasa tafuta x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Vyanzo:

• suluhisho kwa milinganyo na tatu zisizojulikana

Kutatua mfumo wa milinganyo ni changamoto na kusisimua. Mfumo mgumu zaidi, ndivyo unavyovutia zaidi kutatua. Mara nyingi katika hisabati ya shule ya sekondari kuna mifumo ya equations na mbili haijulikani, lakini katika hisabati ya juu kunaweza kuwa na vigezo zaidi. Mifumo inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia kadhaa.

Maagizo

Njia ya kawaida ya kutatua mfumo wa equations ni uingizwaji. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuelezea tofauti moja kwa suala la mwingine na kuibadilisha kwa pili mlinganyo mifumo, hivyo kuongoza mlinganyo kwa kutofautiana moja. Kwa mfano, kutokana na milinganyo ifuatayo: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Kutoka kwa usemi wa pili ni rahisi kuelezea moja ya vigezo, kusonga kila kitu kwa upande wa kulia wa usemi, bila kusahau kubadilisha ishara ya mgawo: x = 3-y.

Fungua mabano: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Tunabadilisha thamani inayotokana na y kwenye usemi: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Katika usemi wa kwanza, maneno yote ni 2, unaweza kuchukua 2 nje ya mabano hadi mali ya usambazaji ya kuzidisha: 2*(2x-y-3)=0. Sasa sehemu zote mbili za usemi zinaweza kupunguzwa kwa nambari hii, na kisha kuonyeshwa kama y, kwani mgawo wa moduli ni sawa na moja: -y = 3-2x au y = 2x-3.

Kama ilivyo katika kesi ya kwanza, tunabadilisha usemi huu hadi wa pili mlinganyo na tunapata: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Badilisha thamani inayotokana na usemi: y=2x -3;y=4-3=1.

Tunaona kwamba mgawo wa y ni sawa kwa thamani, lakini tofauti katika ishara, kwa hivyo, ikiwa tutaongeza milinganyo hii, tutaondoa kabisa y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0;x=2. Badilisha thamani ya x katika milinganyo yoyote kati ya mbili za mfumo na upate y=1.

Video kwenye mada

Biquadratic mlinganyo inawakilisha mlinganyo shahada ya nne, fomu ya jumla ambayo inawakilishwa na kujieleza ax^4 + bx^2 + c = 0. Suluhisho lake linategemea matumizi ya njia ya uingizwaji wa haijulikani. Katika kesi hii, x ^ 2 inabadilishwa na tofauti nyingine. Kwa hivyo, matokeo ni mraba wa kawaida mlinganyo, ambayo inahitaji kutatuliwa.

Maagizo

Tatua quadratic mlinganyo, kutokana na uingizwaji. Ili kufanya hivyo, kwanza uhesabu thamani kwa mujibu wa formula: D = b^2? 4ac. Katika kesi hii, vigezo a, b, c ni coefficients ya equation yetu.

Pata mizizi ya equation ya biquadratic. Kwa kufanya hivyo, chukua mizizi ya mraba ya ufumbuzi uliopatikana. Ikiwa kulikuwa na suluhisho moja, basi kutakuwa na mbili - thamani nzuri na hasi ya mizizi ya mraba. Ikiwa kulikuwa na suluhisho mbili, equation ya biquadratic itakuwa na mizizi minne.

Video kwenye mada

Mojawapo ya njia za kitamaduni za kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ni njia ya Gauss. Inajumuisha uondoaji wa mlolongo wa vigezo, wakati mfumo wa equations kwa kutumia mabadiliko rahisi hubadilishwa kuwa mfumo wa hatua, ambayo vigezo vyote hupatikana kwa mfululizo, kuanzia na mwisho.

Maagizo

Kwanza, kuleta mfumo wa equations katika fomu ambapo haijulikani wote ni katika utaratibu madhubuti defined. Kwa mfano, X zote zisizojulikana zitaonekana kwanza kwenye kila mstari, zote za Y zitakuja baada ya X, Z zote zitakuja baada ya Y, na kadhalika. Haipaswi kuwa na haijulikani kwenye upande wa kulia wa kila mlinganyo. Akili kuamua coefficients mbele ya kila haijulikani, pamoja na coefficients upande wa kulia wa kila equation.