Unahitaji kuhesabu eneo trapezoid iliyopinda, iliyofungwa na mistari iliyonyooka, 
,
na curve 
.
Wacha tugawanye sehemu 
dotmina 
sehemu za msingi, urefu 
sehemu ya 
. Wacha turudishe perpendiculars kutoka kwa sehemu za mgawanyiko wa sehemu hadi makutano na curve. 
, basi 
. Matokeo yake tunapata 
trapezoids ya msingi, jumla ya maeneo yao ni wazi sawa na jumla ya trapezoid ya curvilinear iliyotolewa.
Wacha tuamue maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi kwenye kila muda wa msingi; kwa muda wa kwanza hii ni 
, kwa pili 
Nakadhalika. Hebu tuhesabu kiasi
Jumla ya kwanza inawakilisha eneo la yote yaliyoelezewa, ya pili ni eneo la mistatili yote iliyoandikwa kwenye trapezoid iliyopindika.
Ni wazi kwamba jumla ya kwanza inatoa thamani ya takriban ya eneo la trapezoid "na ziada", ya pili - "na upungufu". Jumla ya kwanza inaitwa jumla ya Darboux ya juu, ya pili - ipasavyo, jumla ya chini ya Darboux. Kwa hivyo, eneo la trapezoid iliyopotoka ni 
inakidhi ukosefu wa usawa 
. Wacha tujue jinsi hesabu za Darboux zinavyofanya kadiri idadi ya alama za kizigeu cha sehemu inavyoongezeka. 
. Acha idadi ya sehemu za kizigeu ziongezeke kwa moja, na iko katikati ya muda 
. Sasa nambari ni kama
mistatili iliyoandikwa na iliyozunguka iliongezeka kwa moja. Wacha tuangalie jinsi jumla ya chini ya Darboux ilibadilika. Badala ya mraba 
mstatili ulioandikwa, sawa na 
tunapata jumla ya maeneo ya rectangles mbili 
, tangu urefu 
haiwezi kuwa kidogo 
thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa katika 
. Upande mwingine, 
, Kwa sababu ya 
hakuwezi kuwa na zaidi 
thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye muda 
. Kwa hivyo, kuongeza pointi mpya ili kugawanya sehemu huongeza thamani ya jumla ya chini ya Darboux na hupunguza jumla ya juu ya Darboux. Katika kesi hii, jumla ya chini ya Darboux, pamoja na ongezeko lolote la idadi ya sehemu za kizigeu, haiwezi kuzidi thamani ya jumla yoyote ya juu, kwani jumla ya maeneo ya mistatili iliyoelezewa huwa kila wakati. zaidi ya kiasi maeneo ya mistatili iliyoandikwa kwenye trapezoid iliyopinda.
Kwa hivyo, mlolongo wa hesabu za chini za Darboux huongezeka na idadi ya alama za sehemu ya sehemu na imefungwa kutoka juu; kulingana na nadharia inayojulikana, ina kikomo. Kikomo hiki ni eneo la trapezoid iliyowekwa.
Vile vile, mlolongo wa hesabu za juu za Darboux hupungua kwa kuongezeka kwa idadi ya pointi za kizigeu cha muda na ni mdogo kutoka chini na jumla ya chini ya Darboux, ambayo ina maana kwamba pia ina kikomo, na pia ni sawa na eneo la trapezoid ya curvilinear.
Kwa hivyo, kuhesabu eneo la trapezoid iliyopotoka, inatosha 
sehemu za muda, amua jumla ya Darboux ya chini au ya juu, na kisha uhesabu 
, au 
.
Walakini, suluhisho kama hilo kwa shida linapendekeza kwa yoyote, kiholela idadi kubwa partitions 
, kutafuta thamani kubwa au ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye kila kipindi cha msingi, ambayo ni kazi inayohitaji nguvu kazi nyingi.
Suluhisho rahisi zaidi linapatikana kwa kutumia jumla ya Riemann, ambayo ni
Wapi 
hatua fulani ya kila muda wa msingi, yaani 
. Kwa hivyo, jumla muhimu ya Riemann ni jumla ya maeneo ya mistatili yote inayowezekana, na 
. Kama inavyoonyeshwa hapo juu, mipaka ya hesabu za juu na za chini za Darboux ni sawa na sawa na eneo la trapezoid iliyopindika. Kutumia moja ya mali ya kikomo cha kazi (sheria ya polisi wawili), tunapata hiyo kwa kizigeu chochote cha sehemu. 
na kuchagua pointi 
Eneo la trapezoid iliyopotoka linaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula 
.
Mfano1 . Kuhesabu eneo la takwimu, mdogo kwa mistari: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3, na x = 2
Hebu tujenge takwimu (tazama takwimu) Tunajenga mstari wa moja kwa moja x + 2y - 4 = 0 kwa kutumia pointi mbili A (4;0) na B (0;2). Kuonyesha y kupitia x, tunapata y = -0.5x + 2. Kwa kutumia fomula (1), ambapo f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, tunapata
S = = [-0.25=11.25 sq. vitengo
Mfano 2. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 na y = 0.
Suluhisho. Wacha tujenge takwimu.
Hebu tujenge mstari wa moja kwa moja x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Hebu tujenge mstari wa moja kwa moja x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, C (5; 0), x = 0, y = 5, D (0; 5).
Wacha tupate hatua ya makutano ya mistari kwa kutatua mfumo wa equations:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Ili kuhesabu eneo linalohitajika, tunagawanya pembetatu AMC katika pembetatu mbili AMN na NMC, tangu wakati x mabadiliko kutoka A hadi N, eneo hilo ni mdogo kwa mstari wa moja kwa moja, na wakati x mabadiliko kutoka N hadi C - kwa mstari wa moja kwa moja.
Kwa pembetatu AMN tunayo:; y = 0.5x + 2, yaani f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
Kwa pembetatu NMC tuna: y = - x + 5, yaani f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Kwa kuhesabu eneo la kila pembetatu na kuongeza matokeo, tunapata:
sq. vitengo
sq. vitengo
9 + 4, 5 = 13.5 sq. vitengo Angalia: = 0.5AC = 0.5 sq. vitengo
Mfano 3. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
KATIKA kwa kesi hii unahitaji kuhesabu eneo la trapezoid iliyopotoka iliyofungwa na parabola y = x 2 , mistari iliyonyooka x = 2 na x = 3 na mhimili wa Ox (tazama takwimu) Kwa kutumia formula (1) tunapata eneo la trapezoid ya curvilinear
= = 6 sq. vitengo
Mfano 4. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = - x 2 + 4 na y = 0
Wacha tujenge takwimu. Eneo linalohitajika limefungwa kati ya parabola y = - x 2 + 4 na mhimili wa Ng’ombe.
Wacha tupate sehemu za makutano ya parabola na mhimili wa Ox. Kwa kudhani y = 0, tunapata x = Kwa kuwa takwimu hii ni ya ulinganifu juu ya mhimili wa Oy, tunahesabu eneo la takwimu iliyo upande wa kulia wa mhimili wa Oy, na mara mbili matokeo yaliyopatikana: = +4x]sq. vitengo 2 = 2 sq. vitengo
Mfano 5. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Hapa unahitaji kuhesabu eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na tawi la juu la parabola. 2 = x, mhimili wa ng'ombe na mistari iliyonyooka x = 1 na x = 4 (ona mchoro)
Kwa mujibu wa formula (1), ambapo f (x) = a = 1 na b = 4, tuna = (= sq. vitengo.
Mfano 6 . Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Eneo linalohitajika limepunguzwa na nusu ya wimbi la sinusoid na mhimili wa Ox (angalia takwimu).
Tuna - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. vitengo
Mfano 7. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = - 6x, y = 0 na x = 4.
Takwimu iko chini ya mhimili wa Ox (tazama takwimu).
Kwa hivyo, tunapata eneo lake kwa kutumia fomula (3)
= =
Mfano 8. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = na x = 2. Tengeneza y = curve kutoka kwa pointi (angalia takwimu). Kwa hivyo, tunapata eneo la takwimu kwa kutumia formula (4)
Mfano 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Hapa unahitaji kuhesabu eneo, iliyofungwa na duara X 2 + y 2 = r 2 , yaani eneo la mduara wa radius r na kituo kwenye asili. Wacha tupate sehemu ya nne ya eneo hili kwa kuchukua mipaka ya ujumuishaji kutoka 0
kabla; tuna: 1 = = [
Kwa hivyo, 1 =
Mfano 10. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = x 2 na y = 2x
takwimu hii imepunguzwa na kifananishi y=x 2 na mstari wa moja kwa moja y = 2x (tazama takwimu) Kuamua pointi za makutano ya mistari iliyotolewa, tunatatua mfumo wa equations: x 2 - 2x = 0 x = 0 na x = 2
Kwa kutumia fomula (5) kupata eneo, tunapata
= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Mfano 2. Hebu tuhesabu eneo lililopunguzwa na sinusoid y = sinXy, Ng'ombe mhimili na mstari wa moja kwa moja (Mchoro 87). Kutumia fomula (I), tunapata A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Mfano 3. Hebu tuhesabu eneo lililopunguzwa na arc ya sinusoid ^у = sin jc , iliyoambatanishwa kati ya mbili pointi za jirani makutano na mhimili wa Ox (kwa mfano, kati ya asili na uhakika wa abscissa i). Kumbuka kwamba kutokana na masuala ya kijiometri ni wazi kwamba eneo hili litakuwa mara mbili eneo zaidi mfano uliopita. Walakini, wacha tufanye mahesabu: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Hakika, dhana yetu iligeuka kuwa sahihi. Mfano 4. Kuhesabu eneo lililofungwa na sinusoid na mhimili wa Ox kwa kipindi kimoja (Mchoro 88). Hesabu za awali zinaonyesha kuwa eneo litakuwa kubwa mara nne kuliko katika Mfano 2. Hata hivyo, baada ya kufanya hesabu, tunapata “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Matokeo haya yanahitaji ufafanuzi. Ili kufafanua kiini cha jambo hilo, tunahesabu pia eneo lililopunguzwa na sinusoid sawa y = sin l: na mhimili wa Ox katika safu kutoka l hadi 2i. Kwa kutumia fomula (I), tunapata 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Kwa hivyo, tunaona kuwa eneo hili liligeuka kuwa hasi. Kuilinganisha na eneo lililohesabiwa katika zoezi la 3, tunaona kwamba wao maadili kamili ni sawa, lakini ishara ni tofauti. Ikiwa tutatumia mali V (tazama Sura ya XI, § 4), tunapata 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Kilichotokea katika mfano huu sio ajali. Kila mara eneo lililo chini ya mhimili wa Ox, mradi tu kigezo huru kinabadilika kutoka kushoto kwenda kulia, kinapatikana wakati kinakokotolewa kwa kutumia viambatanisho. Katika kozi hii tutazingatia kila wakati maeneo bila ishara. Kwa hiyo, jibu katika mfano uliojadiliwa hivi punde litakuwa: eneo linalohitajika ni 2 + |-2| = 4. Mfano 5. Wacha tuhesabu eneo la BAB lililoonyeshwa kwenye Mtini. 89. Eneo hili limepunguzwa na mhimili wa Ox, parabola y = - xr na mstari wa moja kwa moja y - = -x+\. Eneo la trapezoid ya curvilinear Eneo linalohitajika la OAB lina sehemu mbili: OAM na MAV. Kwa kuwa hatua A ni hatua ya makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja, tutapata kuratibu zake kwa kutatua mfumo wa equations 3 2 Y = mx. (tunahitaji tu kupata abscissa ya uhakika A). Kutatua mfumo, tunapata l; = ~. Kwa hiyo, eneo linapaswa kuhesabiwa kwa sehemu, mraba wa kwanza. OAM na kisha pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)