Kazi ya maabara
UPATIKANAJI WA NAMBA WA MZIZI ULIOPENGWA WA USAWA WA USIO NA MTANDAO
Kutatua equations - algebraic au transcendental - ni mojawapo ya matatizo muhimu ya uchambuzi unaotumika, hitaji ambalo hutokea katika sehemu nyingi na tofauti za fizikia, mechanics, teknolojia na nyanja nyingine.
Hebu equation itolewe
f (x) = 0. (1)
Nambari yoyote X*, ikigeuza kitendakazi f(x) hadi sifuri, i.e. moja ambayo f(X*) = 0, inaitwa mzizi wa equation (1) au sufuri ya chaguo la kukokotoa f(x).
Tatizo la kupata nambari za mizizi halisi ya equation (1) kawaida huwa na takriban kupata mizizi, i.e. kutafuta vitongoji vidogo vya kutosha vya kanda inayozingatiwa, ambayo ina thamani moja ya mizizi na, zaidi, kuhesabu mizizi kwa kiwango fulani cha usahihi.
- Kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a, b] pamoja na viasili vyake vya mpangilio wa 1 na wa 2;
- Maadili f(x) katika miisho ya sehemu kuna ishara tofauti ( f(a) * f(b) < 0).
3. Derivatives ya kwanza na ya pili f"(x) Na f ""(x) kubakiza ishara fulani katika sehemu nzima.
Masharti 1) na 2) yanahakikisha kwamba kwa muda [ a, b] kuna angalau mzizi mmoja, na kutoka 3) inafuata hiyo f(x) ni monotonic kwa muda huu na kwa hivyo mzizi utakuwa wa kipekee.
Tatizo la kupata mzizi wa equation f(x) = 0 kwa njia ya kurudia ina hatua mbili:
1. mgawanyiko wa mizizi- kutafuta thamani ya takriban ya mzizi au sehemu iliyo nayo;
2. uboreshaji wa mizizi takriban- kuwaleta kwa kiwango fulani cha usahihi.
Mchakato wa kujitenga kwa mizizi huanza na kuanzisha ishara za kazi f(x) katika mpaka x=a Na x=b pointi katika eneo la kuwepo kwake.
Mfano 1 . Tenganisha mizizi ya equation:
x 3 – 6x + 2 = 0 (2)
Wacha tufanye mchoro wa takriban:
| X | - ∞ | - 3 | - 1 | + ∞ | |||
| f(x) | – | – | + | + | – | + | + |
Kwa hivyo, equation (2) ina mizizi mitatu halisi iliyo katika vipindi [-3, -1], na .
Thamani takriban za mizizi ( makadirio ya awali) pia inaweza kujulikana kutokana na maana ya kimwili ya tatizo, kutokana na kutatua tatizo sawa na data tofauti ya awali, au inaweza kupatikana kwa michoro.
Kawaida katika mazoezi ya uhandisi njia ya mchoro uamuzi wa mizizi takriban.
Kwa kuzingatia kwamba mizizi halisi ya equation (1) ni sehemu za makutano ya grafu ya chaguo la kukokotoa. f(x) na mhimili wa x, inatosha kupanga kazi f(x) na uweke alama kwenye sehemu za makutano f(x) na ekseli Oh, au alama kwenye mhimili Oh sehemu zenye mzizi mmoja.
Acha mzizi wa equation (1) utengwe kwa muda [ a, b]. Mchakato wa kurudia wa kuboresha ukadiriaji wa awali X 0 kwa suluhu kamili inajumuisha kupata kwa mpangilio ukadiriaji unaofuata kutoka kwa (za awali). Kila hatua kama hiyo inaitwa kurudia. Matumizi ya njia fulani inategemea makadirio ya awali yaliyopo X 0 kwenye mzizi, kuwepo na ulaini wa viambajengo vya chaguo za kukokotoa f(x) Kama matokeo ya marudio, mlolongo wa takriban maadili ya mizizi hupatikana X 1 , X 2 , ..., x n. Ikiwa maadili haya na idadi inayoongezeka ya marudio n kukaribia thamani ya kweli ya mzizi, basi tunasema kwamba mchakato iterative huungana.
Katika mbinu za kurudia, ni muhimu kuchagua kigezo cha mwisho wa kuhesabu. Ikiwa kazi f(x) katika kanda inayozingatiwa hubadilika polepole, i.e. derivative katika thamani kamili ni chini ya umoja, basi mchakato wa kurudia unapaswa kukamilishwa wakati hali inatimizwa.
| x k +1 – x k |< ε ,
Wapi x k, x k+1 - njia zinazofuatana za mzizi, ε > 0 - usahihi uliobainishwa wa mwisho wa mchakato wa kurudia. Ikiwa kazi inabadilika haraka, i.e.
| f'(x) | ≥ 1, basi mchakato wa kurudia unapaswa kukamilishwa wakati hali hiyo inafikiwa
| f(x k) | < ε .
Njia ya mgawanyiko wa nusu
Njia hii ni moja wapo ya njia rahisi zaidi za kuhesabu mzizi halisi wa equation (1) kwa muda [ α , β ]. Inatumika wakati f(x) inaendelea kwenye [ α , β ] na mwisho wa sehemu hii inachukua maadili ya ishara tofauti, i.e.
f(α )f(β ) < 0.
Mpango wa hesabu wa njia. Sehemu ya mstari [ α
, β
] imegawanywa katika nusu na ikiwa f≠ 0, kisha uchague nusu hiyo 
, 
, katika miisho ambayo chaguo la kukokotoa f(x) inachukua maadili ya ishara tofauti (mizizi iko ndani yake). Sehemu inayotokana imegawanywa tena kwa nusu na hatua zilizoelezwa zinarudiwa hadi mzizi unapatikana kwa usahihi maalum wa mchakato wa kurudia. Mchakato unaisha wakati hali hiyo inafikiwa
| x k +1 – x k |< ε .
Idadi ya marudio k katika njia ya mgawanyiko wa nusu imedhamiriwa na formula
k≈ 
.
Mfano 1. Tumia njia ya mgawanyiko wa nusu kukokotoa mzizi wa mlinganyo
X 3 + 3X 2 – 1 = 0 (2)
kwa usahihi wa 0.01 kwenye sehemu.
Tunaangalia hali ya utumiaji wa njia. Kazi f(x) ni polynomial ya shahada ya tatu (kuendelea) na f(0)f(1) < 0.
Tunahesabu kwa mpangilio makadirio ya mzizi na kuyaangalia kwa usahihi:
| x 0 = 0 | f(0)= – 1 | [ –, + ] | |
| x 1 = 1 | |0 – 1| > 0,01 | f(1)=3 | |
| x 2 = 0,5 | |1 – 0,5|> 0,01 | f(0,5)= – 0,125 | |
| x 3 = 0,75 | |0,5 – 0,75|> 0,01 | f(0,75)≈1,109 | |
| x 4 = 0,625 | |0,5 – 0,625|> 0,01 | f(0,625)≈0,416 | |
| x 5 = 0,5625 | |0,5 – 0,5625|> 0,01 | f(0,5625)≈0,127 | |
| x 6 = 0,53125 | |0,5 – 0,53125|> 0,01 | f(0,53125)≈ – 0,0034 | |
| x 7 = 0,546875 | |0,53125 – 0,546875|> 0,01 | f(0, 546875)≈0,0608 | |
| x 8 = 0,5390625 | |0,53125 – 0,5390625|≤ 0,01 | f(0, 5390625)≈0,0284 |
Wacha tuchukue kama thamani iliyosafishwa ya mzizi thamani
Kuna nadharia iliyo wazi kabisa: "Ikiwa kazi inayoendelea katika miisho ya muda fulani ina maadili ya ishara tofauti, basi ndani ya muda huu ina mzizi (angalau moja, lakini ikiwezekana kadhaa)". Kulingana na nadharia hii, uamuzi wa nambari wa thamani ya takriban ya mzizi wa chaguo za kukokotoa hujengwa. Kwa ujumla njia hii inaitwa dichotomia, i.e. kugawanya sehemu katika sehemu mbili. Algorithm ya jumla inaonekana kama hii:
Mpaka usahihi unaohitajika unapatikana.
Lahaja za njia ya dichotomy hutofautiana katika uchaguzi wa sehemu ya mgawanyiko. Hebu fikiria chaguzi za dichotomy: njia ya mgawanyiko wa nusu Na njia ya chord.
Njia ya mgawanyiko wa nusu
Njia ya mgawanyiko wa nusu pia inajulikana kama njia ya mgawanyiko. Kwa njia hii, muda umegawanywa hasa katika nusu.
Njia hii inahakikisha muunganisho wa uhakika wa njia bila kujali ugumu wa kazi - na hii ni mali muhimu sana. Hasara ya njia ni sawa - njia haitawahi kuunganishwa kwa kasi, i.e. Muunganiko wa njia daima ni sawa na muunganiko mbaya zaidi.
Njia ya mgawanyiko wa nusu:
- Moja ya njia rahisi zaidi za kutafuta mizizi ya utendaji wa hoja moja.
- Inatumika kupata thamani za chaguo za kukokotoa zenye thamani halisi, iliyoamuliwa na kigezo fulani (hii inaweza kuwa ulinganisho kwenye kiwango cha chini, upeo au nambari maalum).
Njia ya mgawanyiko wa nusu kama njia ya kupata mizizi ya chaguo la kukokotoa
Taarifa ya mbinu
Kabla ya kutumia njia ya kupata mizizi ya kazi, ni muhimu kutenganisha mizizi kwa kutumia mojawapo ya njia zinazojulikana, kwa mfano, njia ya graphical. Mgawanyiko wa mizizi ni muhimu ikiwa haijulikani ni sehemu gani mzizi unapaswa kutafutwa.
Tutachukulia kuwa mzizi wa chaguo za kukokotoa umetenganishwa kwenye sehemu. Kazi ni kutafuta na kuboresha mzizi huu kwa kutumia njia ya kukata nusu. Kwa maneno mengine, unahitaji kupata thamani ya takriban ya mzizi kwa usahihi uliopewa.
Wacha kazi iendelee kwenye sehemu,
na ndio mzizi pekee wa mlinganyo.(Hatuzingatii kesi wakati kuna mizizi kadhaa kwenye sehemu, ambayo ni zaidi ya moja. Tunaweza pia kuchukua nambari nyingine ndogo ya kutosha, kwa mfano, .)
Wacha tugawanye sehemu hiyo kwa nusu. Tunapata uhakika na sehemu mbili.
Tunagawanya sehemu mpya kwa nusu. Tunapata katikati ya sehemu hii na kadhalika.Ili kupata takriban thamani ya mzizi kwa usahihi wa 0" alt=" \eps >0">, необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге , на котором и вычислить . Тогда можно взять .!}
Utekelezaji wa njia katika C ++ na mfano wa nambari
Wacha tusuluhishe equation kwa kutumia njia ya mgawanyiko wa nusu. Kutumia njia ya picha, tunapata sehemu ambayo mzizi unaotaka ni wa. Kwa kuwa, basi tunakubali.
Chini ni mfano wa programu ya C++ ambayo hutatua tatizo.
Mpango 1. Mzizi wa equation
#pamoja na
Mzizi unaotafuta. Mahesabu yalifanywa kwa usahihi.
Mahesabu ya kati yanawasilishwa kwenye jedwali hapa chini.
| n | n | b n | c n | b n -c n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0.5 | 0.5 |
| 2 | 0.5 | 1 | 0.75 | 0.25 |
| 3 | 0.75 | 1 | 0.875 | 0.125 |
| 4 | 0.875 | 1 | 0.9375 | 0.0625 |
| 5 | 0.875 | 0.9375 | 0.90625 | 0.03125 |
| 6 | 0.875 | 0.90625 | 0.890625 | 0.015625 |
| 7 | 0.875 | 0.890625 | 0.8828125 | 0.0078125 |
Njia ya mgawanyiko wa nusu kama njia ya utoshelezaji
Uboreshaji wa kigezo kimoja (kutafuta utendakazi uliokithiri wa kigezo kimoja) ni kazi huru na inayokabiliwa mara kwa mara. Kwa kuongezea, shida ngumu zaidi hupunguzwa kwake - kutafuta upeo wa kazi ya anuwai nyingi.
Wacha tuzingatie njia ya kugawanya kama njia rahisi ya utoshelezaji isiyo na masharti ya parameta moja. Mbinu hii ni njia ya kutafuta moja kwa moja. Ndani yake, wakati wa kutafuta upeo wa kazi ya lengo, tu maadili yaliyohesabiwa ya kazi ya lengo hutumiwa.
Kazi imetolewa. Inahitajika kupata , ambayo hutoa kiwango cha chini (au cha juu) cha kazi kwenye muda kwa usahihi uliopewa, i.e. tafuta
.Wacha tuandike algorithm ya maneno ya njia.
Mchoro wa algorithm ya njia umewasilishwa kwenye Mchoro 2.
- mara kwa mara,Wakati wa kutoa - uratibu wa hatua ambayo kazi ina kiwango cha chini (au kiwango cha juu), - thamani ya kazi katika hatua hii.
Mbinu ya chord
Hasara ya kugawanya sehemu madhubuti kwa nusu inatokana na ukweli kwamba hutumia ishara tu ya kazi, kupuuza kupotoka (thamani kamili). Lakini ni dhahiri kwamba ndogo (kwa thamani kamili) thamani ya kazi, sisi ni karibu na mzizi. Mbinu ya chord inapendekeza kugawanya sehemu katika sehemu inayopatikana kutoka kingo za sehemu kwa uwiano wa thamani kamili ya chaguo za kukokotoa kwenye kingo. (Jina "njia ya chord" linatokana na ukweli kwamba sehemu ya mgawanyiko ni makutano ya sehemu - chord - na mhimili wa abscissa.)
Taarifa ya mbinu
Njia hiyo inategemea kuchukua nafasi ya kazi katika kila hatua ya utaftaji na chord, makutano ambayo kwa mhimili hutoa makadirio ya mzizi.
Katika kesi hii, wakati wa mchakato wa utaftaji, familia ya chords inaweza kujengwa:
Kama matokeo, mchakato wa kurudia wa muunganisho kwenye mzizi unatekelezwa na fomula ya kawaida:
- kwa kesi a):
- kwa kesi b):
Mchakato wa utafutaji unaendelea hadi hali itakapotimizwa.
Mbinu hutoa muunganisho wa haraka ikiwa %200" alt="f(z)\cdot f""(z) > 0">, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала , где знаки функции и ее кривизны совпадают.!}
Mchoro wa algorithm ya kusafisha mzizi kwa kutumia njia ya chord inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 4.
Mchanganyiko wa njia ya chord na njia ya mgawanyiko
Njia ya chord inaweza kutumika kama "mguso wa kumaliza" baada ya njia ya kugawanyika kuhakikisha usahihi unaohitajika - hii haitaboresha sana usahihi uliohakikishwa, lakini itaongeza usahihi wa suluhisho kwa maagizo kadhaa ya ukubwa.
ambapo chaguo za kukokotoa f(x) zimefafanuliwa na kuendelea kwa muda usio na kikomo x. Hasa, mifano ya hisabati ya kuchambua mali ya tuli ya vitu vya kubuni au mambo yao yanawasilishwa kwa namna ya equations zisizo za mstari. Ikiwa fomula f(x) ni polynomial ya shahada ya nth ya fomu a0 + a1 x + a2 x2 + ... + anxn, basi equation (1) inaitwa algebraic. Wakati x iko chini ya ishara ya chaguo za kukokotoa zinazopita maumbile (kielezo, logarithmic, trigonometric, n.k.), mlinganyo huo huitwa transcendental. Thamani ya hoja x ambapo chaguo za kukokotoa f(x) inakuwa sifuri, i.e. f(x*) = 0 inaitwa mzizi wa mlinganyo.
Kwa ujumla, kwa chaguo za kukokotoa f(x) hakuna fomula za uchanganuzi za kutafuta mizizi. Aidha, hesabu yao halisi sio lazima kila wakati. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba hesabu zinazopatikana katika mazoezi ya uhandisi mara nyingi huwa na coefficients ambazo maadili yake yana maadili ya takriban. Katika hali kama hizi, shida ya kuamua mizizi inatatuliwa kwa kiwango fulani cha usahihi kilichopangwa.
Katika kile kinachofuata, tunadhani kwamba equation (1) ina mizizi pekee, i.e. kwa kila mmoja wao kuna kitongoji fulani ambacho hakina mizizi mingine ya equation hii. Mchakato wa kupata mizizi halisi ya pekee ya equation isiyo ya mstari inajumuisha hatua mbili:
- 1) kujitenga kwa mizizi, i.e. kutafuta vipindi vyenye mzizi mmoja na mmoja tu wa equation;
- 2) uboreshaji wa takriban maadili ya mizizi ya mtu binafsi kwa kiwango fulani cha usahihi.
Hatua ya kutenganisha mizizi inaweza kufanywa kwa njia mbalimbali. Kwanza, thamani ya takriban ya mzizi wakati mwingine hujulikana kutokana na maana ya kimwili ya tatizo. Pili, njia ya kielelezo inaweza kutumika kutenganisha mizizi, kwa msingi wa kuunda grafu ya kazi.
nonlinear equation nusu mgawanyiko
ambapo maadili ya takriban ya mizizi halisi ya equation f(x) = 0 yanahusiana na abscissa ya pointi za makutano au tangency ya grafu na mhimili 0x (y = 0). Njia inayotumiwa sana ya kutenganisha mizizi inategemea pendekezo lifuatalo: ikiwa mwisho wa muda fulani maadili ya kazi inayoendelea f(x) yana ishara tofauti, i.e. f(a)f(b) , basi kwenye equation hii ya muda (1) ina angalau mzizi mmoja. Katika kesi hii, mzizi ni wa kipekee ikiwa derivative ya chaguo za kukokotoa f"(x) ipo na hudumisha ishara isiyobadilika ndani ya muda. Hebu tuchunguze kanuni rahisi zaidi ya kutenganisha mizizi ya milinganyo isiyo ya mstari, inayoelekezwa kwa matumizi ya kompyuta. Muda wa awali [, ], ambapo kitendakazi f(x) kimefafanuliwa na kuendelea ), kimegawanywa katika sehemu n za urefu sawa.
(x0, x1), (x1, x2), ..., (xn -1, xn), ambapo x0 x1 ...xn na x0 = , xn =
Kisha maadili ya kazi f(xj) yanahesabiwa kwa pointi xj (j =) na sehemu (xi, xi+1) imechaguliwa, katika miisho ambayo kazi ina ishara tofauti, i.e. f(xi)f(xi+1) 0. Ikiwa urefu wa sehemu hii ni ndogo vya kutosha (tunaweza kudhani upekee wa mzizi), basi inazingatiwa kuwa mzizi umetenganishwa kwa muda ambapo a = xi, b = xi+1. Vinginevyo, mipaka ya muda wa awali hubadilishwa, i.e. = xi, = xi + 1, na utaratibu unarudiwa.
Ikumbukwe kwamba urefu wa muda wa awali ambao kazi ya f(x) imefafanuliwa inaweza kutofautiana ndani ya mipaka pana. Kwa hiyo, idadi ya makundi n, pamoja na urefu wa muda unaohitajika, ni kiasi cha kutofautiana ambacho kinapaswa kutajwa katika kila kesi maalum, kwa kuzingatia maana ya kimwili ya tatizo linalotatuliwa.
Katika hatua ya pili ya kutatua hesabu zisizo za mstari, maadili ya takriban ya mizizi husafishwa kwa njia tofauti za kurudia kwa kosa fulani.
Njia ya mgawanyiko wa nusu. Kwa njia hii, ni muhimu kwamba chaguo la kukokotoa f(x) liwe endelevu na pungufu katika kipindi fulani ambacho mzizi unapatikana. Pia inachukuliwa kuwa maadili ya kazi katika ncha za muda f(a) na f(b) yana ishara tofauti, i.e. sharti f(a)f(b) limeridhika.
Wacha tuonyeshe muda wa asili kama . Ili kupata mzizi wa equation f (x) = 0, sehemu imegawanywa kwa nusu, i.e. makadirio ya awali x0 = (a0 + b0)/2 imehesabiwa. Ikiwa f(x0) = 0, basi thamani x0 = x* ndio mzizi wa mlinganyo. Vinginevyo, chagua moja ya makundi au , mwishoni mwa ambayo kazi f(x) ina ishara tofauti, kwani mzizi upo katika nusu hii. Ifuatayo, sehemu iliyochaguliwa inaonyeshwa kama , tena imegawanywa kwa nusu na hatua x1 = (a1 + b1)/2, nk. Kwa hivyo, kwa marudio fulani tunapata mzizi halisi x* wa equation f(x) = 0, au mlolongo usio na kikomo wa sehemu zilizowekwa kiota , , ..., , ..., kiasi kwamba f(ai)f( bi) (i =1, 2, ...), kuungana kwa mzizi x*.
Ikiwa ni muhimu kuamua mzizi x* na kosa, basi mgawanyiko wa muda wa awali unaendelea hadi urefu wa sehemu inakuwa chini ya 2, ambayo imeandikwa kwa namna ya hali bi - ai 2.
Katika kesi hii, katikati ya muda wa mwisho hutoa thamani ya takriban ya mzizi na kiwango kinachohitajika cha usahihi.
x* (ai + bi) / 2.
Njia ya mgawanyiko wa nusu inatekelezwa kwa urahisi kwenye kompyuta na ni ya ulimwengu wote kati ya njia za kurudia za kusafisha mizizi. Utumaji wake unahakikisha kupata suluhu kwa utendakazi wowote unaoendelea f(x), ikiwa muda utapatikana ambapo inabadilisha ishara. Katika kesi ambapo mizizi haijatenganishwa, moja ya mizizi ya equation itapatikana. Njia hiyo inabadilika kila wakati, lakini kasi ya muunganisho ni ya chini, kwani usahihi takriban mara mbili katika iteration moja. Kwa hiyo, katika mazoezi, njia ya nusu hutumiwa kwa takriban kupata mizizi ya equation, kwa kuwa kiasi cha mahesabu huongezeka kwa kiasi kikubwa na kuongeza usahihi unaohitajika.
Hebu f(x) - utendakazi unaoendelea kwenye [ a; b], .
Njia ya Newton (njia ya tangent)
Hebu f(x)
ni kazi inayoweza kutofautishwa mara mbili kwa muda [ a;
b],
,
Na 
usibadilishe ishara kuwa [ a;
b].
Wacha tuonyeshe kwa 
mwisho huo wa sehemu ambapo ishara 
Na 
mechi up. Makadirio yanayofuatana kwa mzizi halisi c pata kwa formula
Kwa 
.
Kisha 
ndio mzizi halisi wa mlinganyo (1).
Mchakato wa kompyuta kawaida husimamishwa wakati 
inageuka kuwa chini ya usahihi maalum ε
. Hata hivyo, hali hii haiwezi kuthibitisha madhubuti kwamba usahihi maalum unapatikana. Kwa uhakikisho kamili, unaweza kufanya ukaguzi wa usahihi kama ilivyoelezwa mwanzoni mwa sehemu hii. Ikiwa usahihi haujapatikana, basi unahitaji kurudia marudio mara kadhaa zaidi.
Mbinu ya Secant
Acha kuwe na makadirio ya awali 
. Tunapata nukta moja zaidi kwa kutumia fomula 
, Wapi h- idadi ndogo. Tutafikiri kwamba tumekamilisha hatua kadhaa za njia, na kwa hatua hii tuna makadirio mawili mfululizo 
Na 
kwa mzizi halisi (katika hatua ya awali hii ni 
Na 
) Kisha tunapata makadirio yanayofuata kwa kutumia fomula
,
Mchakato huacha kulingana na kigezo sawa na katika njia ya Newton.
Mbinu ya kurudia
Katika mbinu ya kurudia, mlinganyo wa awali (1) unabadilishwa kuwa mlinganyo sawa 
. Ukadiriaji wa awali umechaguliwa 
. Kila ukadiriaji unaofuata unapatikana kwa fomula 
,
Mchakato huacha kulingana na kigezo sawa na katika njia ya Newton. Njia itaunganishwa, i.e. kikomo 
sawa na thamani halisi ya mzizi ikiwa usawa unashikilia katika kitongoji cha mzizi 
na makadirio ya awali ni karibu kabisa na mzizi.
Faida na hasara za mbinu
Njia ya kugawanya sehemu mbili inahitaji mzizi kutengwa, na kazi lazima itathminiwe mara nyingi ili kufikia usahihi wa juu. Kufikia usahihi maalum katika njia hii ni uhakika.
Njia ya Newton ina muunganisho wa haraka sana (muunganisho wa quadratic), i.e.
,
Wapi c- thamani halisi ya mizizi; M- baadhi ya mara kwa mara kulingana na kazi. Kwa kusema, kuanzia marudio fulani, idadi ya maeneo sahihi ya desimali itaongezeka maradufu kwa kila marudio.
Ili kuhakikisha muunganisho wa mbinu ya Newton, masharti machache lazima yatimizwe. Kwa ujumla, unaweza kuanza mahesabu kwa kutumia njia ya Newton bila kuangalia hali hizi, lakini basi muunganisho hauwezi kuzingatiwa.
Mbinu ya sekanti hutoa kwa vitendakazi laini kiwango cha muunganiko karibu na kiwango cha muunganiko wa mbinu ya Newton. Haihitaji kuhesabu derivative ya chaguo za kukokotoa. Ikiwa hatua ya kuanzia imechukuliwa mbali na mzizi, basi kunaweza kuwa hakuna muunganisho.
Mbinu ya kurudia inatoa kiwango cha muunganiko chini sana kuliko mbinu ya Newton. Ikiwa kuna muunganisho, makadirio yanatumika 
, Wapi 
- nambari, 
,
;c- thamani halisi ya mzizi. Kiasi M,
q hutegemea kazi na haitegemei nambari ya kurudia. Kama 
ni karibu na 1, basi q pia iko karibu na 1 na muunganisho wa njia utakuwa polepole. Hesabu kwa kutumia mbinu ya kurudia inaweza kuanza bila kuangalia masharti 
Na 
. Katika kesi hii, mchakato unaweza kuwa tofauti, na kisha jibu halitapokelewa.
Kuna njia nyingi za kutafuta mizizi ya equation isiyo ya mstari isipokuwa hizo zilizoorodheshwa. Katika MATHCAD, kitendakazi cha mizizi kiko katika umbizo 
hutumia njia ya secant, na ikiwa haiongoi matokeo yaliyohitajika, basi njia ya Muller. Katika mwisho, tofauti na njia ya secant, katika kila hatua pointi mbili za ziada huchukuliwa, grafu ya kazi inabadilishwa na parabola inayopita kupitia pointi tatu, na hatua ya makutano ya parabola na mhimili inachukuliwa kama ukadiriaji unaofuata Ng'ombe. Katika kazi ya mzizi katika mzizi wa umbizo ( f(x),
x,
a,
b) Njia za Ridder na Brent zinatumika. Ili kupata mizizi ya polynomial katika MATHCAD, mbinu ya Laguerre inatumiwa.
Njia ya mgawanyiko wa nusu
Tunaamini kwamba kutenganisha mizizi ya equation f(x) = 0 pia inafanywa kwa muda [ a, b] kuna mzizi mmoja unaohitaji kusafishwa kwa kosa la ε. Tunachukua katikati ya sehemu hii kama makadirio ya awali ya mzizi: c 0= (a+ b) / 2 (Kielelezo 4):
Mchele. 4. Njia ya mgawanyiko wa nusu.
Kisha tunachunguza thamani ya kazi f(x) mwisho wa sehemu [ a, c 0] Na [ c 0, b] . Hiyo ni moja ya sehemu za mwisho wake f(x) inachukua maana ya ishara tofauti, ina mizizi inayotaka; kwa hivyo tunaikubali kama sehemu mpya [ a 1, b 1] (katika Mchoro 4 hii ni sehemu [ a, c 0]). Nusu ya pili ya sehemu [ a, b], ambayo f(x) haibadilishi ishara, tupa. Kama makadirio yanayofuata ya mzizi tunachukua katikati ya sehemu mpya
c 1= (a 1+ b 1) / 2 nk. Hivyo, k-kadirio huhesabiwa kama
Baada ya kila iteration, sehemu ambayo mizizi iko ni nusu, na baada k marudio katika 2 k mara moja:
Mchakato wa kurudia unapaswa kusimamishwa wakati usahihi maalum unapatikana, i.e. sharti linapofikiwa |x 0 - c k |< ε
Tangu mizizi x 0 ni ya sehemu [ a k, b k], A c k ni katikati ya sehemu hii, kisha thamani |x 0 - c k | daima itakuwa chini ya nusu ya urefu kutoka kwa kukata [ a k, b k] (ona Mtini. 4):
Kwa hiyo, hali |x 0 - c k |< ε itatekelezwa ikiwa
| b k – a k |< 2ε
Kwa hivyo, mchakato wa kurudia lazima uendelee hadi hali hiyo ifikiwe | b k – a k |< 2ε .
Tofauti na njia zingine nyingi za uboreshaji, njia ya kugawanya kila mara huungana, i.e. ina muunganiko usio na masharti. Kwa kuongeza, ni rahisi sana, kwani inahitaji tu kuhesabu maadili ya kazi f(x) na, kwa hivyo, inaweza kutumika kutatua milinganyo yoyote.
Walakini, njia ya kupunguza nusu ni polepole sana. Kwa kila hatua, kosa la thamani ya takriban hupungua kwa nusu, i.e.
Kwa hivyo, njia hii ni njia iliyo na muunganisho wa mstari.
Kumbuka. Njia ya mgawanyiko wa nusu haihitaji ujuzi wa maelezo ya ziada kuhusu utendaji kwa muda wote [ a, b]. Kwa mfano, kazi haihitajiki kutofautishwa. Hata kwa vitendaji visivyoendelea, njia inayozingatiwa imehakikisha muunganisho. Ikiwa kuna mizizi kadhaa ya equation kwenye muda huu, moja ya mizizi hakika itapatikana.
Mbinu ya chord
Njia inayozingatiwa, kama njia ya nusu, imekusudiwa kufafanua mzizi kwenye muda [ a, b f(x) inachukua maadili ya ishara tofauti. Tofauti na njia ya nusu, tunachukua makadirio yanayofuata sio katikati ya sehemu, lakini kwa uhakika. x, ambapo mstari wa moja kwa moja (chord) unaotolewa kupitia pointi huingiliana na mhimili wa x A Na KATIKA(Mchoro 5).
Mchele. 5. Njia ya chord.
Hebu tuandike equation ya mstari unaopita kupitia pointi A Na KATIKA:
Kwa hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na mhimili wa abscissa ( x= x 0, y= 0) tunapata equation
Kama muda mpya wa kuendelea na mchakato wa kurudia, tunachagua moja kati ya hizo mbili [ a, x 0] Na [ x 0, b], kwenye miisho ambayo chaguo la kukokotoa f(x) inachukua maadili ya ishara tofauti. Kwa kesi inayozingatiwa (Mchoro 5), tunachagua sehemu [ a, x 0], kwa sababu
f(a) × f(x 0)< 0 .
marudio yanayofuata ni kufafanua ukadiriaji mpya x 1 kama sehemu za makutano ya chord AB 1 na mhimili wa x, nk.
Tunamaliza mchakato wa kusafisha mzizi wakati umbali kati ya makadirio mfululizo inakuwa chini ya usahihi maalum, i.e.
x k +1 – x k< ε
Kumbuka. Njia ya chord na njia ya mgawanyiko wa nusu ni sawa sana. Kwa kuongezea, ya pili kati yao katika hali zingine inatoa muunganisho wa haraka wa mchakato wa kurudia. Njia zote mbili hazihitaji maarifa ya habari ya ziada juu ya kitendakazi kwa muda wote [ a, b]. Kwa mfano, kazi haihitajiki kutofautishwa. Hata kwa utendakazi usioendelea, mbinu zinazozingatiwa zimehakikisha muunganisho.
Njia ya Newton (njia ya tangent)
Njia ya Newton pia inakusudiwa kuboresha mzizi kwenye muda [ a, b], kwenye miisho ambayo chaguo la kukokotoa f(x) inachukua maadili ya ishara tofauti. Lakini njia hii hutumia maelezo ya ziada kuhusu kazi f(x) Kama matokeo, ina muunganisho wa haraka, lakini wakati huo huo, inatumika kwa darasa nyembamba la kazi, na muunganisho wake hauhakikishiwa kila wakati.
Wakati wa kutenganisha mizizi ya kazi, inapaswa kuzingatiwa kuwa utumiaji wa njia ya Newton inahitaji kazi hiyo iwe ya monotonic na kutofautishwa mara mbili, na derivative ya pili. f''(x) haipaswi kubadilisha ishara kwenye muda huu.
Muunganiko wa mlolongo wa kurudia uliopatikana katika mbinu ya Newton inategemea uchaguzi wa makadirio ya awali. x 0. Kwa ujumla, ikiwa muda [ a, b] iliyo na mzizi, na inajulikana kuwa kazi hiyo f(x) ni monotonic kwa muda huu, basi kama makadirio ya awali x 0 unaweza kuchagua mpaka huo wa sehemu [ a, b], ambapo ishara za chaguo za kukokotoa zinapatana f(x) na derivative ya pili f''(x). Chaguo hili la makadirio ya awali huhakikisha muunganisho wa mbinu ya Newton, mradi tu chaguo la kukokotoa ni la kipekee kwenye sehemu ya mizizi ya ujanibishaji.
Hebu tujue makadirio ya awali ya mizizi x 0. Wacha tuchore tangent kwa curve katika hatua hii y= f(x) (Mchoro 6). Tangenti hii itakatiza mhimili wa x katika hatua ambayo tutazingatia kama makadirio yanayofuata.