Njia ya Kihindi ya kuzidisha nambari za tarakimu nyingi. Njia za kuzidisha nambari haraka kwa maneno

Hakimiliki ya vielelezo Picha za Getty Maelezo ya picha Nisingeumwa na kichwa...

"Hisabati ni ngumu sana ..." Labda umesikia kifungu hiki zaidi ya mara moja, na labda hata ulisema mwenyewe kwa sauti kubwa.

Kwa wengi, mahesabu ya hisabati sio kazi rahisi, lakini hapa kuna njia tatu rahisi ambazo zitakusaidia kufanya angalau operesheni moja ya hesabu - kuzidisha. Hakuna kikokotoo.

Inawezekana kwamba shuleni ulifahamu njia ya kitamaduni ya kuzidisha: kwanza, ulikariri meza ya kuzidisha, na kisha tu ukaanza kuzidisha kila nambari kwenye safu, ambayo hutumiwa kuandika nambari za nambari nyingi.

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari za tarakimu nyingi, utahitaji karatasi kubwa ili kupata jibu.

Lakini ikiwa seti hii ndefu ya mistari na nambari zinazoendesha moja chini ya nyingine hufanya kichwa chako kizunguke, basi kuna njia zingine, zaidi za kuona ambazo zinaweza kukusaidia katika suala hili.

Lakini hapa ndipo baadhi ya ujuzi wa kisanii huja kwa manufaa.

Hebu tuchore!

Angalau njia tatu za kuzidisha zinahusisha kuchora mistari inayokatiza.

1. Njia ya Mayan, au mbinu ya Kijapani

Kuna matoleo kadhaa kuhusu asili ya njia hii.

Je, unatatizika kuzidisha kichwani mwako? Jaribu Mbinu ya Mayan na Kijapani

Wengine wanasema ilibuniwa na Wahindi wa Mayan, ambao waliishi maeneo ya Amerika ya Kati kabla ya washindi kufika huko katika karne ya 16. Pia inajulikana kama mbinu ya Kijapani ya kuzidisha kwa sababu walimu nchini Japani hutumia mbinu hii ya kuona wanapofundisha kuzidisha kwa wanafunzi wachanga.

Wazo ni kwamba mistari sambamba na perpendicular inawakilisha tarakimu za nambari zinazohitaji kuzidishwa.

Wacha tuzidishe 23 kwa 41.

Ili kufanya hivyo, tunahitaji kuchora mistari miwili inayofanana inayowakilisha 2, na, kurudi nyuma kidogo, mistari mitatu zaidi inayowakilisha 3.

Kisha, kwa kuzingatia mistari hii, tutachora mistari minne inayofanana inayowakilisha 4 na, tukirudi nyuma kidogo, mstari mwingine kwa 1.

Kweli, ni ngumu sana?

2. Njia ya Kihindi, au kuzidisha kwa Kiitaliano kwa "kitanda" - "gelosia"

Asili ya njia hii ya kuzidisha pia haijulikani wazi, lakini inajulikana kote Asia.

"Algorithm ya Gelosia ilipitishwa kutoka India hadi Uchina, kisha Arabia, na kutoka huko hadi Italia katika karne ya 14 na 15, ambapo iliitwa Gelosia kwa sababu ilikuwa sawa na vifunga vya kimiani vya Venetian," anaandika Mario Roberto Canales Villanueva katika kitabu chake juu ya mbinu mbalimbali za kuzidisha.

Hakimiliki ya vielelezo Picha za Getty Maelezo ya picha Mfumo wa kuzidisha wa Kihindi au Kiitaliano ni sawa na vipofu vya Venetian

Hebu tuchukue mfano wa kuzidisha 23 kwa 41 tena.

Sasa tunahitaji kuteka meza ya seli nne - seli moja kwa nambari. Wacha tusaini nambari inayolingana juu ya kila seli - 2,3,4,1.

Kisha unahitaji kugawanya kila seli kwa nusu ya diagonally ili kufanya pembetatu.

Sasa tutazidisha kwanza tarakimu za kwanza za kila nambari, yaani, 2 kwa 4, na kuandika 0 katika pembetatu ya kwanza na 8 kwa pili.

Kisha kuzidisha 3x4 na kuandika 1 katika pembetatu ya kwanza, na 2 kwa pili.

Wacha tufanye vivyo hivyo na nambari zingine mbili.

Wakati seli zote za meza yetu zimejazwa, tunaongeza nambari katika mlolongo sawa na inavyoonyeshwa kwenye video na kuandika matokeo yanayotokana.

Uchezaji wa midia hautumiki kwenye kifaa chako

Je, unatatizika kuzidisha kichwani mwako? Jaribu njia ya Kihindi

Nambari ya kwanza itakuwa 0, ya pili 9, ya tatu 4, ya nne 3. Kwa hivyo, matokeo ni: 943.

Unafikiri njia hii ni rahisi au la?

Hebu tujaribu njia nyingine ya kuzidisha kwa kutumia kuchora.

3. "Safu", au njia ya meza

Kama ilivyo katika kesi iliyopita, hii itahitaji kuchora meza.

Wacha tuchukue mfano sawa: 23 x 41.

Hapa tunahitaji kugawanya nambari zetu katika makumi na moja, kwa hivyo tutaandika 23 kama 20 kwenye safu moja, na 3 kwa nyingine.

Kwa wima, tutaandika 40 juu na 1 chini.

Kisha tutazidisha nambari kwa usawa na kwa wima.

Uchezaji wa midia hautumiki kwenye kifaa chako

Je, unatatizika kuzidisha kichwani mwako? Chora meza.

Lakini badala ya kuzidisha 20 kwa 40, tutaangusha sufuri na kuzidisha 2 x 4 ili kupata 8.

Tutafanya vivyo hivyo kwa kuzidisha 3 kwa 40. Tunaweka 0 kwenye mabano na kuzidisha 3 kwa 4 na kupata 12.

Wacha tufanye vivyo hivyo na safu ya chini.

Sasa wacha tuongeze sifuri: kwenye seli ya juu kushoto tulipata 8, lakini tulitupa zero mbili - sasa tutaziongeza na tutapata 800.

Katika seli ya juu ya kulia, tulipozidisha 3 kwa 4 (0), tulipata 12; sasa tunaongeza sifuri na kupata 120.

Wacha tufanye vivyo hivyo na sufuri zingine zote zilizobaki.

Hatimaye, tunaongeza nambari zote nne zilizopatikana kwa kuzidisha kwenye meza.

Matokeo? 943. Naam, ilisaidia?

Tofauti ni muhimu

Hakimiliki ya vielelezo Picha za Getty Maelezo ya picha Njia zote ni nzuri, jambo kuu ni kwamba jibu linakubali

Tunachoweza kusema kwa uhakika ni kwamba njia hizi zote tofauti zilitupa matokeo sawa!

Ilitubidi kuzidisha vitu vichache njiani, lakini kila hatua ilikuwa rahisi kuliko kuzidisha kwa kawaida na kuona zaidi.

Kwa hivyo kwa nini ni sehemu chache ulimwenguni zinazofundisha mbinu hizi za kuhesabu katika shule za kawaida?

Sababu moja inaweza kuwa mkazo wa kufundisha “hesabu ya akili” ili kusitawisha uwezo wa kiakili.

Hata hivyo, David Weese, mwalimu wa hesabu wa Kanada ambaye anafanya kazi katika shule za umma huko New York, anafafanua jambo hilo tofauti.

"Hivi majuzi nilisoma kwamba sababu ya njia ya jadi ya kuzidisha inatumiwa ni kuhifadhi karatasi na wino. Njia hii haikuundwa kuwa rahisi zaidi kutumia, lakini ya kiuchumi zaidi katika suala la rasilimali, kwa kuwa wino na karatasi zilikuwa chache. ", anaeleza Wiz.

Hakimiliki ya vielelezo Picha za Getty Maelezo ya picha Kwa njia zingine za hesabu, kichwa tu haitoshi; unahitaji pia kalamu za kuhisi

Licha ya hili, anaamini kwamba njia mbadala za kuzidisha zinafaa sana.

"Nadhani haisaidii kufundisha watoto wa shule kuzidisha mara moja, kwa kuwafanya wajifunze meza ya kuzidisha bila kuwaambia inatoka wapi. Kwa sababu wakisahau nambari moja wanawezaje kufanya maendeleo yoyote katika kutatua tatizo? Mbinu ya Mayan au Mbinu ya Kijapani ni muhimu kwa sababu nayo unaweza kuelewa muundo wa jumla wa kuzidisha, na huo ni mwanzo mzuri,” anasema Weese.

Kuna idadi ya njia nyingine za kuzidisha, kwa mfano, Kirusi au Misri, hazihitaji ujuzi wa ziada wa kuchora.

Kulingana na wataalamu tuliozungumza nao, njia hizi zote husaidia kuelewa vizuri mchakato wa kuzidisha.

"Ni wazi kwamba kila kitu kiko sawa. Hisabati katika ulimwengu wa sasa iko wazi ndani na nje ya darasa," anafupisha Andrea Vazquez, mwalimu wa hisabati kutoka Argentina.

Kusudi la kazi: Chunguza na onyesha njia zisizo za kawaida za kuzidisha Majukumu: Tafuta njia zisizo za kawaida za kuzidisha. Jifunze kuzitumia. Chagua mwenyewe zile zinazovutia zaidi au rahisi zaidi kuliko zile zinazotolewa shuleni, na uzitumie wakati wa kuhesabu. Wafundishe wanafunzi wenzako kutumia njia mpya ya kuzidisha

Njia: njia ya utafutaji kwa kutumia maandiko ya kisayansi na elimu, pamoja na kutafuta taarifa muhimu kwenye mtandao; njia ya vitendo ya kufanya mahesabu kwa kutumia algorithms zisizo za kawaida za kuhesabu; Uchambuzi wa data iliyopatikana wakati wa utafiti. Umuhimu wa mada hii upo katika ukweli kwamba utumiaji wa mbinu zisizo za kawaida katika malezi ya ustadi wa hesabu huongeza hamu ya wanafunzi katika hisabati na kukuza ukuzaji wa uwezo wa hisabati.

Katika masomo ya hesabu tulijifunza njia isiyo ya kawaida ya kuzidisha kwa safuwima. Tuliipenda na tukaamua kujifunza njia zingine za kuzidisha nambari za asili. Tuliwauliza wanafunzi wenzetu ikiwa wanajua njia zingine za kuhesabu? Kila mtu alizungumza tu juu ya njia hizo ambazo husomwa shuleni. Ilibadilika kuwa marafiki zetu wote hawakujua chochote kuhusu njia zingine. Katika historia ya hisabati, kuhusu mbinu 30 za kuzidisha zinajulikana, tofauti katika mpango wa nukuu au mwendo wa hesabu yenyewe. Mbinu ya kuzidisha safu ambayo tunasoma shuleni ni mojawapo ya mbinu. Lakini je, hii ndiyo njia yenye ufanisi zaidi? Hebu tuangalie! Utangulizi

Hii ni mojawapo ya njia zinazotumiwa sana, ambazo wafanyabiashara wa Kirusi wametumia kwa ufanisi kwa karne nyingi. Kanuni ya njia hii: kuzidisha nambari za tarakimu moja kutoka kwa vidole 6 hadi 9. Vidole hapa vilitumika kama kifaa cha kompyuta msaidizi. Ili kufanya hivyo, kwa upande mmoja walipanua vidole vingi kama sababu ya kwanza inazidi nambari 5, na kwa pili walifanya vivyo hivyo kwa sababu ya pili. Vidole vilivyobaki viliinama. Kisha nambari (jumla) ya vidole vilivyopanuliwa ilichukuliwa na kuzidishwa na 10, kisha nambari zilizidishwa, zinaonyesha jinsi vidole vilivyopigwa, na matokeo yaliongezwa. Kwa mfano, hebu tuzidishe 7 kwa 8. Katika mfano unaozingatiwa, vidole 2 na 3 vitapigwa. Ikiwa unaongeza idadi ya vidole vilivyoinama (2+3=5) na kuzidisha idadi ya wasiopigwa (23=6), utapata, kwa mtiririko huo, namba za makumi na vitengo vya bidhaa inayotaka 56. Kwa njia hii. unaweza kukokotoa bidhaa ya nambari zozote za tarakimu moja zaidi ya 5.

Kuzidisha kwa nambari 9 ni rahisi sana kuzaliana "kwenye vidole vyako." Kueneza vidole vyako kwa mikono yote miwili na kugeuza mikono yako na viganja vyako vikitazama mbali nawe. Kiakili toa nambari kutoka 1 hadi 10 kwa vidole vyako, kuanzia na kidole kidogo cha mkono wako wa kushoto na kuishia na kidole kidogo cha mkono wako wa kulia. Wacha tuseme tunataka kuzidisha 9 kwa 6. Tunakunja kidole kwa nambari sawa na nambari ambayo tutazidisha tisa. Katika mfano wetu, tunahitaji kupiga kidole kwa namba 6. Idadi ya vidole upande wa kushoto wa kidole kilichopigwa inatuonyesha idadi ya makumi katika jibu, idadi ya vidole kwa haki inaonyesha idadi ya vitengo. Kwa upande wa kushoto tuna vidole 5 ambavyo havikunjwa, upande wa kulia - vidole 4. Hivyo, 9 · 6=54.

Njia ya kuzidisha ya "Ngome Ndogo" Faida ya njia ya kuzidisha ya "Ngome Ndogo" ni kwamba tarakimu muhimu zaidi zimedhamiriwa tangu mwanzo, na hii ni muhimu ikiwa unahitaji kukadiria thamani haraka. Nambari za nambari ya juu, kuanzia nambari muhimu zaidi, huzidishwa kwa zamu na nambari ya chini na kuandikwa kwenye safu na nambari inayotakiwa ya zero iliyoongezwa. Kisha matokeo huongezwa.

"Wivu" au "kuzidisha kimiani" Kwanza, mstatili hutolewa, umegawanywa katika miraba, na vipimo vya pande za mstatili vinahusiana na idadi ya maeneo ya decimal ya multiplicand na ya kuzidisha. Kisha seli za mraba zinagawanywa kwa diagonally. na "... matokeo yake ni picha sawa na vifunga vya kimiani, - anaandika Pacioli. "Vifunga kama hivyo vilitundikwa kwenye madirisha ya nyumba za Venetian ..."

Kuzidisha kimiani = +1 +2

Njia ya wakulima Hii ni njia ya wakulima wakubwa wa Kirusi. Kiini chake kiko katika ukweli kwamba kuzidisha kwa nambari yoyote kunatokana na safu ya mgawanyiko wa nambari moja katika nusu, wakati huo huo nambari nyingine mara mbili……….32 74…… ………….8 296……….4 592…………………1 3732=1184

Njia ya wakulima (nambari zisizo za kawaida) 47 x =1645

Hatua ya 1. nambari ya kwanza 15: Chora nambari ya kwanza - kwa mstari mmoja. Chora nambari ya pili na mistari mitano. Hatua ya 2. nambari ya pili 23: Chora nambari ya kwanza na mistari miwili. Chora nambari ya pili na mistari mitatu. Hatua ya 3. Hesabu idadi ya pointi katika vikundi. Hatua ya 4. Matokeo - 345. Kuzidisha namba mbili za tarakimu mbili: 15 * 23

Njia ya Hindi ya kuzidisha (msalaba) 24 na X 3 2 1) 4x2 = 8 - tarakimu ya mwisho ya matokeo; 2)2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 ni tarakimu iliyotangulia ya matokeo, kumbuka kitengo; 3) 2x3 = 6 na pia nambari iliyozingatiwa, tuna 7 - hii ndiyo tarakimu ya kwanza ya matokeo. Tunapata nambari zote za bidhaa: 7,6,8. Jibu: 768.

Njia ya Kihindi ya kuzidisha = = = = 3822 Msingi wa njia hii ni wazo kwamba tarakimu sawa inawakilisha vitengo, makumi, mamia au maelfu, kulingana na wapi tarakimu inachukua. Nafasi iliyochukuliwa, kwa kukosekana kwa nambari yoyote, imedhamiriwa na zero zilizopewa nambari. Tunaanza kuzidisha kutoka kwa tarakimu ya juu zaidi, na kuandika bidhaa ambazo hazijakamilika tu juu ya multiplicand, kidogo kidogo. Katika kesi hii, tarakimu muhimu zaidi ya bidhaa kamili inaonekana mara moja na, kwa kuongeza, kukosa tarakimu yoyote huondolewa. Ishara ya kuzidisha ilikuwa bado haijajulikana, hivyo umbali mdogo uliachwa kati ya mambo

Nambari ya kumbukumbu Zidisha 18*19 20 (nambari ya kumbukumbu) * 2 1 (18-1)*20 = Jibu: 342 Nukuu fupi: 18*19 = 20*17+2 = 342

Njia mpya ya kuzidisha X = , 5+2, 5+3, 0+2, 0+3, 5

Hitimisho: Baada ya kujifunza kuhesabu kwa kutumia njia zote zilizowasilishwa, tulifikia hitimisho kwamba njia rahisi zaidi ni zile tunazosoma shuleni, au labda tumezoea tu.Kati ya njia zote zisizo za kawaida za kuhesabu zinazozingatiwa, njia ya kuzidisha picha kulionekana kuvutia zaidi. Tuliwaonyesha wanafunzi wenzetu nao waliipenda sana. Njia rahisi zaidi ilionekana kuwa "mara mbili na kugawanyika", ambayo ilitumiwa na wakulima wa Kirusi. Baada ya kufanya kazi na fasihi na nyenzo kwenye mtandao, tuligundua kwamba tumezingatia idadi ndogo sana ya njia za kuzidisha, ambayo ina maana kwamba mengi ya kuvutia. mambo yanatungoja mbeleni

Hitimisho Kwa kuelezea mbinu za kale za hesabu na mbinu za kisasa za kuhesabu haraka, tulijaribu kuonyesha kwamba, katika siku za nyuma na za baadaye, mtu hawezi kufanya bila hisabati, sayansi iliyoundwa na akili ya mwanadamu.Utafiti wa mbinu za kale za kuzidisha. ilionyesha kwamba operesheni hii ya hesabu ilikuwa ngumu na ngumu kutokana na aina mbalimbali za mbinu na utekelezaji wao mbaya.Njia ya kisasa ya kuzidisha ni rahisi na inapatikana kwa kila mtu. Lakini tunadhani kwamba njia yetu ya kuzidisha kwa safu sio kamili na tunaweza kuja na njia za haraka na za kuaminika zaidi. Inawezekana kwamba watu wengi hawataweza haraka, mara moja, kufanya mahesabu haya au mengine mara ya kwanza. Haijalishi. Mafunzo ya hesabu ya mara kwa mara yanahitajika. Itakusaidia kupata ujuzi muhimu wa hesabu ya akili!

Nyenzo zilizotumika: html Encyclopedia kwa watoto. "Hisabati". – M.: Avanta +, – 688 p. Encyclopedia "Ninachunguza ulimwengu. Hisabati". - M.: Astrel Ermak, Perelman Ya.I. Hesabu ya haraka. Mbinu thelathini rahisi za kuhesabu akili. L., uk.

njia ya pili ya kuzidisha:

KATIKA Rus, wakulima hawakutumia meza za kuzidisha, lakini walihesabu kikamilifu bidhaa za nambari za nambari nyingi.

Katika Rus ', kuanzia nyakati za kale na karibu hadi kumi na nanekarne nyingi, watu wa Kirusi katika mahesabu yao walifanya bila kuzidisha namgawanyiko. Walitumia shughuli mbili tu za hesabu - kuongeza nakutoa. Zaidi ya hayo, kinachojulikana kama "mara mbili" na "bifurcation". Lakinimahitaji ya biashara na shughuli zingine zilihitaji uzalishajikuzidisha kwa idadi kubwa, tarakimu mbili na tarakimu tatu.Kwa kusudi hili, kulikuwa na njia maalum ya kuzidisha nambari kama hizo.

Kiini cha njia ya zamani ya Kirusi ya kuzidisha ni hiyokuzidisha kwa nambari zozote mbili kulipunguzwa hadi safu ya mgawanyiko unaofuatananambari moja katika nusu (kufuatana kwa bifurcation) kwa wakati mmojakuongeza nambari nyingine mara mbili.

Kwa mfano, ikiwa katika bidhaa 24 ∙ 5 multiplicand 24 imepunguzwa kwa mbili.mara (mara mbili), na multiplicand ni mara mbili (mara mbili), i.e. kuchukuabidhaa ni 12 ∙ 10, basi bidhaa inabaki sawa na nambari 120. Hiimababu zetu wa mbali waliona ubora wa kazi na kujifunzaitumie wakati wa kuzidisha nambari katika Kirusi chako maalum cha zamaninjia ya kuzidisha.

Wacha tuzidishe kwa njia hii 32 ∙ 17..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙544 Jibu: 32 ∙ 17 = 544.

Katika mfano uliochambuliwa, mgawanyiko na mbili - "bifurcation" hufanyikabila kuwaeleza. Lakini vipi ikiwa kizidishi hakiwezi kugawanywa na mbili bila salio? NAhii ilionekana ndani ya uwezo wa vikokotoo vya kale. Katika kesi hii, tulifanya hivi:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Jibu: 357.

Kutoka kwa mfano ni wazi kwamba ikiwa multiplicand haiwezi kugawanywa na mbili, basi kutoka kwayokwanza tulitoa moja, kisha tukaongeza matokeo mara mbili” na kadhalika5 kwenda. Kisha mistari yote yenye misururu hata ilivuka (2, 4,6, nk), na sehemu zote za kulia za mistari iliyobaki ziliongezwa na kupokelewakazi inayotakiwa.

Vikokotoo vya kale vilisababu vipi, na kuhalalisha njia yao?mahesabu? Hivyo ndivyo: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Nambari 17 inakumbukwa, na bidhaa 20 ∙ 17 = 10 ∙ 34 (tunagawanya -mara mbili) na uandike. Bidhaa 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (tunagawanya mara mbili -mara mbili), na uondoe bidhaa ya ziada 10∙34. Tangu 5 * 34= 4 ∙ 68 + 68, basi nambari 68 inakumbukwa, i.e. mstari wa tatu haujavuka, lakini4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (sisi mara mbili - sisi mara mbili), na ya nnemstari ulio na, kana kwamba, bidhaa ya ziada 2 ∙ 136, imevuka, nanambari 272 inakumbukwa. Kwa hivyo inageuka kuwa kuzidisha 21 kwa 17,unahitaji kuongeza nambari 17, 68 na 272 - hizi ni sehemu sawa za mistari.yaani na multiplicands isiyo ya kawaida.
Njia ya Kirusi ya kuzidisha ni ya kifahari na ya kupindukia kwa wakati mmoja

Ninakuletea mifano mitatu katika picha za rangi (kwenye kona ya juu kulia angalia chapisho).

Mfano #1: 12 × 321 = 3852
Hebu tuchore nambari ya kwanza kutoka juu hadi chini, kutoka kushoto kwenda kulia: fimbo moja ya kijani kibichi ( 1 ); vijiti viwili vya machungwa ( 2 ). 12 alichora.
Hebu tuchore nambari ya pili kutoka chini hadi juu, kutoka kushoto kwenda kulia: vijiti vitatu vidogo vya bluu ( 3 ); nyekundu mbili ( 2 ); lilac moja ( 1 ). 321 alichora.

Sasa, kwa kutumia penseli rahisi, tutatembea kwa kuchora, tugawanye pointi za makutano ya namba za fimbo katika sehemu na kuanza kuhesabu dots. Kusonga kutoka kulia kwenda kushoto (saa): 2 , 5 , 8 , 3 . Nambari ya matokeo"tutakusanya" kutoka kushoto kwenda kulia (counterclockwise) na ... voila, tulipata 3852

Mfano #2: 24 × 34 = 816
Kuna nuances kwa mfano huu. Wakati wa kuhesabu pointi katika sehemu ya kwanza, iligeuka 16 . Tunatuma moja na kuiongeza kwa dots za sehemu ya pili ( 20 + 1 )…

Mfano #3: 215 × 741 = 159315
Hakuna maoni

Mwanzoni, ilionekana kwangu kuwa ya kujifanya, lakini wakati huo huo ya kuvutia na yenye usawa. Katika mfano wa tano, nilijipata nikifikiria kuwa kuzidisha kunaanza na kufanya kazi katika hali ya otomatiki: chora, hesabu nukta, Hatukumbuki jedwali la kuzidisha, ni kama hatujui kabisa.

Kuwa waaminifu, wakati wa kuangalia njia ya kuchora ya kuzidisha na nikigeukia kuzidisha safu, zaidi ya mara moja au mbili, kwa aibu yangu, niliona kushuka kwa kasi, kuonyesha kwamba jedwali langu la kuzidisha lilikuwa na kutu katika maeneo fulani na sipaswi kusahau. Wakati wa kufanya kazi na nambari "zito" zaidi njia ya kuchora ya kuzidisha ikawa kubwa sana, na kuzidisha kwa safu ilikuwa ni furaha.

P.S.: Utukufu na sifa kwa safu asili!
Kwa upande wa ujenzi, njia hiyo haina adabu na ngumu, haraka sana, Inafunza kumbukumbu yako na hukuzuia kusahau majedwali ya kuzidisha.

Na kwa hiyo, ninapendekeza sana kwamba wewe na wewe mwenyewe, ikiwa inawezekana, kusahau kuhusu calculators kwenye simu na kompyuta; na mara kwa mara ujishughulishe kwa kuzidisha kwa safu. Vinginevyo njama kutoka kwa filamu "Rise of the Machines" haitatokea kwenye skrini ya sinema, lakini jikoni yetu au lawn karibu na nyumba yetu ...


Mara tatu juu ya bega la kushoto ..., piga kuni ... ... na muhimu zaidi Usisahau kuhusu gymnastics ya akili!

KUJIFUNZA JEDWALI LA KUZIDISHA!!!

Ulimwengu wa hisabati ni mkubwa sana, lakini siku zote nimekuwa nikipendezwa na njia za kuzidisha. Nilipokuwa nikishughulikia mada hii, nilijifunza mambo mengi yenye kupendeza na nikajifunza kuchagua nyenzo nilizohitaji kutokana na yale niliyosoma. Nilijifunza jinsi ya kutatua shida fulani za kufurahisha, mafumbo na mifano ya kuzidisha kwa njia tofauti, na vile vile hila za hesabu na mbinu za hesabu kubwa zinategemea.

KUHUSU KUZIDISHA

Ni nini hukaa akilini mwa watu wengi kutokana na kile walichokisoma shuleni? Bila shaka, ni tofauti kwa watu tofauti, lakini kila mtu labda ana meza ya kuzidisha. Mbali na jitihada zilizofanywa ili "kuichimba", hebu tukumbuke mamia (ikiwa sio maelfu) ya matatizo tuliyotatua kwa msaada wake. Miaka mia tatu iliyopita huko Uingereza, mtu ambaye alijua meza za kuzidisha alikuwa tayari kuchukuliwa kuwa mtu aliyejifunza.

Mbinu nyingi za kuzidisha zimevumbuliwa. Mtaalamu wa hesabu wa Italia wa mwishoni mwa karne ya 15 - mapema karne ya 16, Luca Pacioli, katika nakala yake juu ya hesabu, anatoa njia 8 tofauti za kuzidisha. Katika ya kwanza, inayoitwa "ngome ndogo," tarakimu za nambari ya juu, kuanzia na ya juu zaidi, huzidishwa kwa zamu na nambari ya chini na imeandikwa kwenye safu na nambari inayotakiwa ya zero imeongezwa. Kisha matokeo huongezwa. Faida ya njia hii juu ya ile ya kawaida ni kwamba nambari za nambari muhimu zaidi zimedhamiriwa tangu mwanzo, na hii inaweza kuwa muhimu kwa hesabu mbaya.

Njia ya pili ina jina lisilo la chini la kimapenzi "wivu" (au kuzidisha kimiani). Lati huchorwa ndani ambayo matokeo ya mahesabu ya kati huingizwa, kwa usahihi, nambari kutoka kwa jedwali la kuzidisha. Gridi ya taifa ni mstatili uliogawanywa katika seli za mraba, ambazo kwa upande wake zinagawanywa kwa nusu na diagonals. Sababu ya kwanza iliandikwa kushoto (juu hadi chini), na ya pili juu. Katika makutano ya safu na safu inayolingana, bidhaa ya nambari ndani yao iliandikwa. Kisha nambari zilizosababishwa ziliongezwa kando ya diagonal zilizochorwa, na matokeo yakaandikwa mwishoni mwa safu kama hiyo. Matokeo yalisomwa kando ya chini na pande za kulia za mstatili. “Kibao kama hicho,” aandika Luca Pacioli, “kinafanana na vibao vilivyotundikwa kwenye madirisha ya Venice, vikiwazuia wapita njia kuona wanawake na watawa wameketi madirishani.”

Mbinu zote za kuzidisha zilizoelezwa katika kitabu cha Luca Pacioli zilitumia jedwali la kuzidisha. Walakini, wakulima wa Urusi walijua jinsi ya kuzidisha bila meza. Njia yao ya kuzidisha ilitumia tu kuzidisha na kugawanya kwa 2. Ili kuzidisha namba mbili, ziliandikwa kwa upande, na kisha nambari ya kushoto iligawanywa na 2, na ya kulia ilizidishwa na 2. Ikiwa mgawanyiko ulisababisha salio, basi nambari ya kushoto iligawanywa na 2. ilitupwa. Kisha mistari hiyo katika safu ya kushoto iliyo na nambari hata ilivuka. Nambari zilizobaki kwenye safu ya kulia ziliongezwa pamoja. Matokeo yake yalikuwa bidhaa ya nambari za asili. Angalia jozi kadhaa za nambari kwamba hii ndio kesi. Uthibitisho wa uhalali wa njia hii unaonyeshwa kwa kutumia mfumo wa nambari ya binary.

Njia ya kale ya Kirusi ya kuzidisha.

Kuanzia nyakati za zamani na karibu hadi karne ya kumi na nane, watu wa Urusi walifanya mahesabu yao bila kuzidisha na mgawanyiko: walitumia shughuli mbili tu za hesabu - kuongeza na kutoa, na pia kinachojulikana kama "mara mbili" na "bifurcation". Kiini cha njia ya kale ya Kirusi ya kuzidisha ni kwamba kuzidisha kwa namba mbili yoyote hupunguzwa kwa mfululizo wa mgawanyiko wa mfululizo wa nambari moja kwa nusu (mfululizo, bifurcation) wakati huo huo mara mbili ya nambari nyingine. Ikiwa katika bidhaa, kwa mfano 24 X 5, kuzidisha hupunguzwa kwa mara 2 ("mara mbili"), na kuzidisha huongezeka kwa mara 2.

("mara mbili"), basi bidhaa haitabadilika: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. Mfano:

Kugawanya kuzidisha kwa nusu kunaendelea hadi mgawo unageuka kuwa 1, huku ukiongeza kizidishi mara mbili. Nambari ya mwisho mara mbili inatoa matokeo yaliyohitajika. Kwa hivyo 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

Katika nyakati hizo za zamani, kurudia mara mbili na kugawanyika mara mbili kulichukuliwa hata kama shughuli maalum za hesabu. Ni jinsi gani wao ni maalum. Vitendo? Baada ya yote, kwa mfano, mara mbili ya nambari sio hatua maalum, lakini tu kuongeza nambari iliyopewa yenyewe.

Kumbuka kuwa nambari zinaweza kugawanywa na 2 wakati wote bila salio. Lakini vipi ikiwa misururu inaweza kugawanywa na 2 na salio? Mfano:

Ikiwa multiplicand haigawanyiki na 2, basi moja hutolewa kwanza kutoka kwayo, na kisha kugawanywa na 2. Mistari iliyo na hata kuzidisha imevuka, na sehemu za kulia za mistari na multiplicands isiyo ya kawaida huongezwa.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17+17.

Hebu tukumbuke namba 17 (mstari wa kwanza haujavuka!), Na ubadilishe bidhaa 20 X 17 na bidhaa sawa 10 X 34. Lakini bidhaa 10 X 34, kwa upande wake, inaweza kubadilishwa na bidhaa sawa 5. X 68; kwa hivyo mstari wa pili umevuka:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Hebu tukumbuke namba 68 (mstari wa tatu haujavuka!), Na ubadilishe bidhaa 4 X 68 na bidhaa sawa 2 X 136. Lakini bidhaa 2 X 136 inaweza kubadilishwa na bidhaa sawa 1 X 272; kwa hiyo mstari wa nne umevuka. Hii ina maana kwamba ili kuhesabu bidhaa 21 X 17, unahitaji kuongeza namba 17, 68, 272 - pande za kulia za mistari na multiplicands isiyo ya kawaida. Bidhaa zilizo na hata za kuzidisha zinaweza kubadilishwa kila wakati kwa kuzidisha mara mbili na kuongeza sababu hiyo kwa bidhaa sawa; kwa hiyo, mistari hiyo imetengwa na hesabu ya bidhaa ya mwisho.

Nilijaribu kujizidisha kwa njia ya kizamani. Nilichukua nambari 39 na 247, na hii ndio nilipata:

Safu zitageuka kuwa ndefu zaidi kuliko yangu ikiwa tutachukua multiplicand zaidi ya 39. Kisha niliamua, mfano huo kwa njia ya kisasa:

Inatokea kwamba njia yetu ya shule ya kuzidisha namba ni rahisi zaidi na zaidi ya kiuchumi kuliko njia ya zamani ya Kirusi!

Ni lazima tu tujue, kwanza kabisa, meza ya kuzidisha, lakini babu zetu hawakujua. Kwa kuongeza, ni lazima tujue vizuri utawala wa kuzidisha yenyewe, lakini walijua tu jinsi ya mara mbili na namba mbili. Kama unaweza kuona, unaweza kuzidisha bora zaidi na kwa kasi zaidi kuliko kihesabu maarufu zaidi katika Urusi ya zamani. Kwa njia, miaka elfu kadhaa iliyopita Wamisri walifanya kuzidisha karibu sawa na watu wa Urusi walifanya katika siku za zamani.

Ni vizuri kwamba watu kutoka nchi tofauti waliongezeka kwa njia ile ile.

Sio muda mrefu uliopita, karibu miaka mia moja iliyopita, kujifunza meza za kuzidisha ilikuwa vigumu sana kwa wanafunzi. Ili kuwashawishi wanafunzi juu ya hitaji la kujua meza kwa moyo, waandishi wa vitabu vya hesabu kwa muda mrefu wameamua. kwa mashairi.

Hapa kuna mistari michache kutoka kwa kitabu kisichojulikana kwetu: "Lakini kwa kuzidisha unahitaji kuwa na jedwali lifuatalo, iwe nayo kwa uthabiti katika kumbukumbu yako, ili kila nambari, ikiongezeka nayo, bila kukawia katika kusema, kusema au andika, pia mara 2 2 ni 4 , au mara 2 3 ni 6, na mara 3 3 ni 9 na kadhalika.

Ikiwa mtu hajarudia meza na anajivunia katika sayansi yote, hayuko huru na mateso,

Koliko hawezi kujua bila kufundisha kwa namba kwamba kuzidisha Tuna kutamkatisha tamaa

Ukweli, katika kifungu hiki na aya sio kila kitu kiko wazi: kwa namna fulani haijaandikwa kwa Kirusi, kwa sababu yote haya yaliandikwa zaidi ya miaka 250 iliyopita, mwaka wa 1703, na Leonty Filippovich Magnitsky, mwalimu wa ajabu wa Kirusi, na tangu wakati huo Kirusi. lugha imebadilika sana.

L. F. Magnitsky aliandika na kuchapisha kitabu cha kwanza cha hesabu kilichochapishwa nchini Urusi; kabla yake kulikuwa na vitabu vya hisabati vilivyoandikwa kwa mkono tu. Mwanasayansi mkuu wa Urusi M.V. Lomonosov, pamoja na wanasayansi wengine wengi mashuhuri wa Urusi wa karne ya kumi na nane, walisoma kutoka kwa "Hesabu" ya L. F. Magnitsky.

Waliongezekaje siku hizo, wakati wa Lomonosov? Hebu tuone mfano.

Kama tunavyoelewa, hatua ya kuzidisha iliandikwa kwa njia sawa na wakati wetu. Tu multiplicand iliitwa "wingi", na bidhaa hiyo iliitwa "bidhaa" na, kwa kuongeza, ishara ya kuzidisha haikuandikwa.

Walielezeaje kuzidisha basi?

Inajulikana kuwa M.V. Lomonosov alijua kwa moyo "Hesabu" nzima ya Magnitsky. Kulingana na kitabu hiki cha kiada, Misha Lomonosov mdogo angeelezea kuzidisha kwa 48 na 8 kama ifuatavyo: "mara 8 ni 64, ninaandika 4 chini ya mstari, dhidi ya 8, na kuwa na decimals 6 akilini mwangu. Na kisha 8 mara 4 ni 32, na ninaweka 3 akilini mwangu, na kwa 2 nitaongeza decimals 6, na itakuwa 8. Na nitaandika hii 8 karibu na 4, mfululizo kwa mkono wangu wa kushoto, na wakati 3 iko akilini mwangu, nitaandika kwa safu karibu na 8, kwa mkono wa kushoto. Na kutoka kwa kuzidisha 48 na 8 bidhaa itakuwa 384.

Ndio, na tunaielezea karibu kwa njia ile ile, tu tunazungumza kwa kisasa, sio ya zamani, na, kwa kuongeza, tunataja aina. Kwa mfano, 3 inapaswa kuandikwa katika nafasi ya tatu kwa sababu itakuwa mamia, na si tu "katika safu karibu na 8, kwa mkono wa kushoto."

Hadithi "Masha ni mchawi."

"Siwezi nadhani sio siku ya kuzaliwa tu, kama Pavlik alivyofanya mara ya mwisho, lakini pia mwaka wa kuzaliwa," Masha alianza.

Zidisha nambari ya mwezi ambao ulizaliwa na 100, kisha ongeza siku yako ya kuzaliwa. , kuzidisha matokeo kwa 2. , ongeza 2 kwa nambari inayosababisha; kuzidisha matokeo kwa 5, ongeza 1 kwa nambari inayosababisha, ongeza sifuri kwa matokeo. , ongeza nyingine 1 kwa nambari inayosababisha na, hatimaye, ongeza idadi ya miaka yako.

Imefanywa, nilipata 20721. - nasema.

* Sahihi,” nilithibitisha.

Na nilipata 81321, "anasema Vitya, mwanafunzi wa darasa la tatu.

"Wewe, Masha, lazima uwe umekosea," Petya alitilia shaka. - Inatokeaje: Vitya anatoka daraja la tatu, na pia alizaliwa mnamo 1949, kama Sasha.

Hapana, Masha alikisia kwa usahihi, "Vitya anathibitisha. Ni mimi tu niliugua kwa muda mrefu kwa mwaka mmoja na kwa hivyo nilienda darasa la pili mara mbili.

* Na nilipata 111521,” aripoti Pavlik.

Inawezekanaje, anauliza Vasya, Pavlik pia ana umri wa miaka 10, kama Sasha, na alizaliwa mnamo 1948. Kwa nini si mwaka 1949?

Lakini kwa sababu ni Septemba sasa, na Pavlik alizaliwa mnamo Novemba, na bado ana umri wa miaka 10 tu, ingawa alizaliwa mnamo 1948, "Masha alielezea.

Alikisia tarehe za kuzaliwa za wanafunzi wengine watatu au wanne kisha akaeleza jinsi alivyofanya. Inabadilika kuwa yeye huondoa 111 kutoka kwa nambari ya mwisho, na kisha iliyobaki inaongezwa kwa pande tatu kutoka kulia kwenda kushoto, tarakimu mbili kila moja. Nambari mbili za kati zinaonyesha siku ya kuzaliwa, mbili za kwanza au moja zinaonyesha mwezi, na nambari mbili za mwisho zinaonyesha idadi ya miaka. Kujua mtu ana umri gani, si vigumu kuamua mwaka wa kuzaliwa. Kwa mfano, nilipata nambari 20721. Ukiondoa 111 kutoka kwake, unapata 20610. Hii ina maana kwamba sasa nina umri wa miaka 10, na nilizaliwa mnamo Februari 6. Kwa kuwa sasa ni Septemba 1959, inamaanisha nilizaliwa mwaka wa 1949.

Kwa nini unahitaji kutoa 111 na sio nambari nyingine? - tuliuliza. -Na kwa nini siku ya kuzaliwa, nambari ya mwezi na idadi ya miaka inasambazwa kwa njia hii?

Lakini tazama,” Masha alieleza. - Kwa mfano, Pavlik, akitimiza mahitaji yangu, alitatua mifano ifuatayo:

1)11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Kama unavyoona, alizidisha nambari ya mwezi (11) na 100, kisha kwa 2, kisha kwa nyingine 5 na, mwishowe, na nyingine 10 (aliongeza gunia), na kwa jumla kwa 100 X 2 X 5 X 10, Hiyo ni, kwa 10,000. Hii ina maana, 11 ikawa makumi ya maelfu, yaani, wanaunda upande wa tatu, ikiwa utahesabu tarakimu mbili kutoka kulia kwenda kushoto. Hivi ndivyo wanavyojua idadi ya mwezi ambao ulizaliwa. Alizidisha siku yake ya kuzaliwa (14) kwa 2, kisha kwa 5 na, hatimaye, kwa mwingine 10, na kwa jumla kwa 2 X 5 X 10, yaani, kwa 100. Hii ina maana kwamba siku ya kuzaliwa lazima itafutwe kati ya mamia, katika uso wa pili, lakini hapa kuna mamia ya wageni. Angalia: aliongeza namba 2, ambayo alizidisha kwa 5 na 10. Hii ina maana kwamba alipata 2x5x10 = 100 - 1 ya ziada. Ninatoa hii mia 1 kutoka kwa mamia 15 katika nambari 111521, na kusababisha 14 mamia. Hivi ndivyo ninavyojua siku yangu ya kuzaliwa. Idadi ya miaka (10) haikuzidishwa na chochote. Hii inamaanisha kuwa nambari hii lazima itafutwe kati ya vitengo, kwenye uso wa kwanza, lakini kuna vitengo vya nje hapa. Angalia: aliongeza namba 1, ambayo alizidisha kwa 10, na kisha akaongeza nyingine 1. Hii ina maana kwamba alipata tu 1 x TO + 1 = vitengo 11 vya ziada. Ninatoa vitengo hivi 11 kutoka kwa vitengo 21 katika nambari 111521, inageuka 10. Hivi ndivyo ninavyopata idadi ya miaka. Na kwa jumla, kama unaweza kuona, kutoka kwa nambari 111521 nilitoa 100 + 11 = 111 Nilipotoa 111 kutoka kwa nambari 111521, basi ikawa PNU. Ina maana,

Pavlik alizaliwa mnamo Novemba 14 na ana umri wa miaka 10. Sasa mwaka ni 1959, lakini nilitoa 10 sio kutoka 1959, lakini kutoka 1958, tangu Pavlik aligeuka 10 mwaka jana, mnamo Novemba.

Kwa kweli, hutakumbuka maelezo haya mara moja, lakini nilijaribu kuelewa kwa mfano wangu mwenyewe:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2 "Obto; 1959 - 10 = 1949;

Fumbo.

Kazi ya kwanza: Saa sita mchana, stima ya abiria inaondoka Stalingrad kwenda Kuibyshev. Saa moja baadaye, meli ya bidhaa na abiria inaondoka Kuibyshev kwenda Stalingrad, ikisonga polepole kuliko meli ya kwanza. Wakati meli zinakutana, ni ipi ambayo itakuwa zaidi kutoka Stalingrad?

Hili sio shida ya kawaida ya hesabu, lakini utani! Meli za mvuke zitakuwa katika umbali sawa kutoka Stalingrad, na pia kutoka Kuibyshev.

Na hapa kuna kazi ya pili: Jumapili iliyopita, kikosi chetu na kikosi cha daraja la tano kilipanda miti kando ya Mtaa wa Bolshaya Pionerskaya. Timu zililazimika kupanda idadi sawa ya miti kila upande wa barabara. Kama unavyokumbuka, timu yetu ilikuja kufanya kazi mapema, na kabla ya wanafunzi wa darasa la tano kufika, tulifanikiwa kupanda miti 8, lakini, kama ilivyotokea, sio upande wetu wa barabara: tulifurahi na kuanza kufanya kazi vibaya. mahali. Kisha tukafanya kazi upande wetu wa barabara. Wanafunzi wa darasa la tano walimaliza kazi yao mapema. Walakini, hawakubaki na deni kwetu: walikuja kwa upande wetu na kwanza kupanda miti 8 ("walilipa deni"), na kisha miti 5 zaidi, na tukamaliza kazi.

Swali ni je, wanafunzi wa darasa la tano wamepanda miti mingapi zaidi ya sisi?

: Bila shaka, wanafunzi wa darasa la tano walipanda miti 5 tu zaidi kuliko sisi: walipopanda miti 8 kwa upande wetu, kwa hivyo walilipa deni; na walipopanda miti mingine 5, ni kana kwamba walikuwa wametupa miti 5 kwa mkopo. Kwa hiyo inageuka kuwa walipanda miti 5 tu zaidi kuliko sisi.

Hapana, hoja sio sahihi. Ni kweli wanafunzi wa darasa la tano walitufanyia upendeleo kwa kutupanda miti 5. Lakini basi, ili kupata jibu sahihi, tunahitaji kufikiria kama hii: tulitimiza kazi yetu duni kwa miti 5, wakati wa darasa la tano walizidi yao kwa miti 5. Kwa hiyo inageuka kuwa tofauti kati ya idadi ya miti iliyopandwa na wanafunzi wa darasa la tano na idadi ya miti iliyopandwa na sisi sio 5, lakini miti 10!

Na hapa kuna kazi ya mwisho ya chemsha bongo, Kucheza mpira, wanafunzi 16 waliwekwa kwenye pande za eneo la mraba ili kuwe na watu 4 kila upande. Kisha wanafunzi 2 waliondoka. Waliobaki wakasogea ili kuwe na watu 4 tena kila upande wa mraba. Hatimaye, wanafunzi 2 zaidi waliondoka, lakini wengine wakatulia hivi kwamba bado kulikuwa na watu 4 kila upande wa mraba. Hii inawezaje kutokea? Amua.

Mbinu mbili za kuzidisha haraka

Siku moja mwalimu aliwatolea wanafunzi wake mfano huu: 84 X 84. Mvulana mmoja alijibu haraka: 7056. “Ulihesabu nini?” - mwalimu aliuliza mwanafunzi. "Nilichukua 50 X 144 na kukunja 144," alijibu. Naam, hebu tueleze jinsi mwanafunzi alivyofikiri.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144, na 144 hamsini ni mia 72, hivyo 84 X 84 = 7200 - 144 =

Sasa hebu tuhesabu kwa njia sawa ni kiasi gani 56 X 56 ni.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, yaani, 64 hamsini, au mamia 32 (3200), bila 64, yaani, kuzidisha nambari na 49, unahitaji hii nambari zidisha kwa 50 (hamsini), na uondoe nambari hii kutoka kwa bidhaa inayotokana.

Hapa kuna mifano ya njia nyingine ya kuhesabu, 92 X 96, 94 X 98.

Majibu: 8832 na 9212. Mfano, 93 X 95. Jibu: 8835. Mahesabu yetu yalitoa idadi sawa.

Unaweza kuhesabu haraka sana tu wakati nambari ziko karibu na 100. Tunapata nyongeza hadi 100 kwa nambari hizi: kwa 93 kutakuwa na 7, na kwa 95 kutakuwa na 5, kutoka kwa nambari ya kwanza tunaondoa inayosaidia. pili: 93 - 5 = 88 - hii itakuwa katika mamia ya bidhaa, kuzidisha nyongeza: 7 X 5 = 3 5 - hii ni kiasi gani kitakuwa katika bidhaa za vitengo. Hii ina maana 93 X 95 = 8835. Na kwa nini hasa hii inapaswa kufanyika si vigumu kueleza.

Kwa mfano, 93 ni 100 bila 7, na 95 ni 100 bila 5. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

Ili kutoa mara 5 93, unaweza kutoa mara 5 mara 100, lakini ongeza mara 5 7. Kisha inageuka:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 seli. - mia 5. + 5 X 7 = (93 - 5) seli. + 5 x 7 = 8800 + 35= = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Kuzidisha c. domino

Kwa msaada wa dhumna ni rahisi kuonyesha baadhi ya matukio ya kuzidisha nambari za tarakimu nyingi kwa nambari ya tarakimu moja. Kwa mfano:

402 X 3 na 2663 X 4

Mshindi atakuwa yule ambaye, ndani ya muda fulani, ataweza kutumia idadi kubwa zaidi ya tawala, na kutengeneza mifano ya kuzidisha nambari za tarakimu tatu na nne kwa nambari ya tarakimu moja.

Mifano ya kuzidisha nambari za tarakimu nne kwa nambari za tarakimu moja.

2234 X 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 x 6.

Kama unaweza kuona, ni domino 20 tu zilizotumiwa. Mifano imeundwa kwa ajili ya kuzidisha nambari za tarakimu nne tu kwa nambari ya tarakimu moja, lakini pia nambari tatu, tano, na sita kwa nambari ya tarakimu moja. Kete 25 zilitumika na mifano ifuatayo iliundwa:

Walakini, kete zote 28 bado zinaweza kutumika.

Hadithi kuhusu jinsi mzee Hottabych alijua hesabu.

Hadithi "Ninapata "5" katika hesabu.

Mara tu nilipoenda kwa Misha siku iliyofuata, aliuliza mara moja: "Ni nini kilikuwa kipya au cha kufurahisha katika darasa la duara?" Nilimwonyesha Misha na marafiki zake jinsi watu wa Kirusi walivyokuwa nadhifu katika siku za zamani. Kisha nikawauliza kuhesabu kiakili ni kiasi gani 97 X 95, 42 X 42 na 98 X 93 itakuwa. Wao, bila shaka, hawakuweza kufanya hivyo bila penseli na karatasi na walishangaa sana wakati karibu mara moja nilitoa majibu sahihi kwa mifano hii. Hatimaye, sote tulitatua tatizo lililotolewa kwa ajili ya nyumba pamoja. Inageuka kuwa ni muhimu sana jinsi dots ziko kwenye karatasi. Kulingana na hili, unaweza kuchora mstari mmoja, nne, au sita moja kwa moja kupitia pointi nne, lakini hakuna zaidi.

Kisha niliwaalika watoto kuunda mifano ya kuzidisha kwa kutumia domino, kama walivyofanya kwenye kikombe. Tuliweza kutumia kete 20, 24 na hata 27, lakini kati ya zote 28 hatukuweza kuunda mifano, ingawa tulikaa kwenye kazi hii kwa muda mrefu.

Misha alikumbuka kwamba leo sinema "Old Man Hottabych" ilikuwa ikionyeshwa kwenye sinema. Tulimaliza haraka kufanya hesabu na kukimbilia kwenye sinema.

Picha iliyoje! Ingawa ni hadithi ya hadithi, bado inavutia: inatuambia kuhusu sisi wavulana, kuhusu maisha ya shule, na pia juu ya sage eccentric - Genie Hottabych. Na Hottabych alifanya makosa makubwa alipompa Volka vidokezo vya jiografia! Inavyoonekana, zamani za kale, hata wahenga wa Kihindi - jini - walijua jiografia vibaya sana, nashangaa Hottabych angetoa ushauri ikiwa Volka angefaulu mtihani wa hesabu? Hottabych labda hata hakujua hesabu vizuri.

Njia ya Kihindi ya kuzidisha.

Wacha tuseme tunahitaji kuzidisha 468 kwa 7. Tunaandika kuzidisha upande wa kushoto na kuzidisha kulia:

Wahindi hawakuwa na ishara ya kuzidisha.

Sasa ninazidisha 4 kwa 7, tunapata 28. Tunaandika nambari hii juu ya tarakimu 4.

Sasa tunazidisha 8 kwa 7, tunapata 56. Tunaongeza 5 hadi 28, tunapata 33; Wacha tufute 28, andika 33, andika 6 juu ya nambari 8:

Iligeuka kuwa ya kuvutia kabisa.

Sasa tunazidisha 6 kwa 7, tunapata 42, tunaongeza 4 hadi 36, tunapata 40; Tutafuta 36 na kuandika 40; Wacha tuandike 2 juu ya nambari 6. Kwa hivyo, zidisha 486 kwa 7, utapata 3402:

Suluhisho lilikuwa sahihi, lakini sio haraka sana na kwa urahisi! Hivi ndivyo jinsi vikokotoo maarufu vya wakati huo viliongezeka.

Kama unavyoona, mzee Hottabych alijua hesabu vizuri. Hata hivyo, alirekodi matendo yake tofauti na sisi.

Muda mrefu uliopita, zaidi ya miaka elfu moja na mia tatu iliyopita, Wahindi walikuwa mahesabu bora zaidi. Walakini, bado hawakuwa na karatasi, na mahesabu yote yalifanywa kwenye ubao mdogo mweusi, ukiandika juu yake na kalamu ya mwanzi na kwa kutumia rangi nyeupe kioevu sana, ambayo iliacha alama ambazo zilifutwa kwa urahisi.

Tunapoandika kwa chaki kwenye ubao, ni kukumbusha kidogo kwa njia ya Kihindi ya kuandika: alama nyeupe zinaonekana kwenye historia nyeusi, ambayo ni rahisi kufuta na kusahihisha.

Wahindi pia walifanya mahesabu kwenye kibao nyeupe kilichonyunyizwa na poda nyekundu, ambayo waliandika ishara kwa fimbo ndogo, ili wahusika nyeupe waonekane kwenye shamba nyekundu. Takriban picha sawa hupatikana tunapoandika kwa chaki kwenye ubao nyekundu au kahawia - linoleum.

Ishara ya kuzidisha haikuwepo wakati huo, na pengo fulani tu lilikuwa limesalia kati ya kuzidisha na kuzidisha. Njia ya Kihindi itakuwa kuzidisha kuanzia na vitengo. Hata hivyo, Wahindi wenyewe walifanya kuzidisha kuanzia tarakimu ya juu zaidi, na kuandika bidhaa ambazo hazijakamilika juu kidogo ya zile za kuzidisha, kidogo kidogo. Katika kesi hiyo, tarakimu muhimu zaidi ya bidhaa kamili ilionekana mara moja na, kwa kuongeza, upungufu wa tarakimu yoyote uliondolewa.

Mfano wa kuzidisha kwa njia ya Kihindi.

Mbinu ya Kiarabu ya kuzidisha.

Kweli, jinsi gani, katika tarehe yenyewe, unaweza kufanya kuzidisha kwa njia ya Kihindi, ikiwa utaiandika kwenye karatasi?

Njia hii ya kuzidisha kwa kuandika kwenye karatasi ilichukuliwa na Waarabu.Mwanasayansi maarufu wa kale wa Uzbeki Muhammad ibn Musa Alkhwariz-mi (Muhammad mwana wa Musa kutoka Khorezm, jiji lililoko kwenye eneo la Uzbek SSR ya kisasa) zaidi ya miaka elfu moja. iliyopita ilizidisha kwenye ngozi kama hii:

Inavyoonekana, hakufuta nambari zisizohitajika (tayari ni ngumu kufanya hivyo kwenye karatasi), lakini alizivuka; Aliandika nambari mpya juu ya zile zilizovuka, bila shaka, kidogo kidogo.

Mfano wa kuzidisha kwa njia sawa, kuandika maelezo katika daftari.

Hii ina maana 7264 X 8 = 58112. Lakini jinsi ya kuzidisha kwa nambari ya tarakimu mbili, kwa nambari ya tarakimu nyingi?

Njia ya kuzidisha inabakia sawa, lakini kurekodi inakuwa ngumu zaidi. Kwa mfano, unahitaji kuzidisha 746 na 64. Kwanza, kuzidisha kwa makumi 3, inageuka.

Kwa hivyo 746 X 34 = 25364.

Kama unavyoona, kuvuka nambari zisizo za lazima na kuzibadilisha na nambari mpya wakati wa kuzidisha hata kwa nambari ya nambari mbili husababisha kurekodi ngumu sana. Nini kitatokea ukizidisha kwa nambari ya tarakimu tatu au nne?!

Ndiyo, njia ya Kiarabu ya kuzidisha si rahisi sana.

Njia hii ya kuzidisha iliendelea Ulaya hadi karne ya kumi na nane, kwa miaka elfu kamili. Iliitwa njia ya msalaba, au chiasmus, kwa kuwa herufi ya Kigiriki X (chi) iliwekwa kati ya nambari zinazozidishwa, ambayo ilibadilishwa hatua kwa hatua na msalaba wa oblique. Sasa tunaona wazi kwamba njia yetu ya kisasa ya kuzidisha ni rahisi zaidi na rahisi zaidi, labda njia bora zaidi ya njia zote zinazowezekana za kuzidisha.

Ndiyo, mbinu yetu ya shule ya kuzidisha nambari za tarakimu nyingi yenyewe ni nzuri sana. Hata hivyo, kuzidisha kunaweza kuandikwa kwa njia nyingine. Labda njia bora itakuwa kuifanya, kwa mfano, kama hii:

Njia hii ni nzuri sana: kuzidisha huanza kutoka kwa nambari ya juu zaidi ya kuzidisha, nambari ya chini kabisa ya bidhaa ambazo hazijakamilika imeandikwa chini ya nambari inayolingana ya kizidishi, ambayo huondoa uwezekano wa makosa katika kesi wakati sifuri inatokea katika nambari yoyote. kizidishi. Hii ni takriban jinsi watoto wa shule wa Czechoslovakian wanavyoandika kuzidisha kwa nambari za nambari nyingi. Hiyo inavutia. Na tulifikiri kwamba shughuli za hesabu zinaweza tu kuandikwa kwa njia ambayo ni desturi katika nchi yetu.

Mafumbo machache zaidi.

Hili ndilo jukumu lako la kwanza na rahisi: Mtalii anaweza kutembea kilomita 5 kwa saa moja. Je, kwa saa 100 atatembea kilomita ngapi?

Jibu: kilomita 500.

Na hili ni swali lingine kubwa! Tunahitaji kujua kwa usahihi zaidi jinsi mtalii alitembea kwa masaa haya 100: bila kupumzika au kwa mapumziko. Kwa maneno mengine, unahitaji kujua: Saa 100 ni wakati mtalii anasafiri au tu wakati anaotumia barabarani. Pengine mtu hawezi kuwa kwenye harakati kwa saa 100 mfululizo: hiyo ni zaidi ya siku nne; na kasi ya harakati ingepungua kila wakati. Ni jambo lingine ikiwa mtalii alitembea na mapumziko kwa chakula cha mchana, usingizi, nk Kisha katika masaa 100 ya harakati anaweza kufunika kilomita 500 nzima; tu anapaswa kuwa barabarani sio kwa siku nne, lakini kwa takriban siku kumi na mbili (ikiwa anachukua wastani wa kilomita 40 kwa siku). Ikiwa alikuwa barabarani kwa masaa 100, basi angeweza tu kufunika takriban kilomita 160-180.

Majibu mbalimbali. Hii ina maana kwamba kitu kinahitaji kuongezwa kwa taarifa ya tatizo, vinginevyo haiwezekani kutoa jibu.

Wacha sasa tutatue shida ifuatayo: kuku 10 hula kilo 1 ya nafaka kwa siku 10. Je, kuku 100 watakula kilo ngapi za nafaka kwa siku 100?

Suluhisho: kuku 10 hula kilo 1 ya nafaka katika siku 10, ambayo ina maana kwamba kuku 1 hula mara 10 chini katika siku 10 sawa, yaani, 1000 g: 10 = 100 g.

Katika siku moja, kuku hula mwingine mara 10 chini, yaani, 100 g: 10 = g 10. Sasa tunajua kwamba kuku 1 hula 10 g ya nafaka kwa siku 1. Hii ina maana kwamba kuku 100 kwa siku hula mara 100 zaidi, yaani

10 g X 100 = 1000 g = 1 kg. Katika siku 100 watakula mwingine mara 100 zaidi, yaani, 1 kg X 100 = 100 kg = 1 kg. Hii ina maana kwamba kuku 100 hula sehemu nzima ya nafaka ndani ya siku 100.

Kuna suluhisho la haraka zaidi: kuna kuku mara 10 zaidi na wanahitaji kulishwa mara 10 zaidi, ambayo ina maana kwamba jumla ya nafaka inahitajika ni mara 100 zaidi, yaani, kilo 100. Hata hivyo, kuna upungufu mmoja katika hoja hizi zote. Wacha tufikirie na tutafute makosa katika hoja.

: -Hebu tuzingatie hoja ya mwisho: “Kuku 100 hula kilo 1 ya nafaka kwa siku moja, na kwa siku 100 watakula mara 100 zaidi. »

Baada ya yote, katika siku 100 (hiyo ni zaidi ya miezi mitatu!) Kuku watakua wazi na hawatakula tena gramu 10 za nafaka kwa siku, lakini gramu 40-50, kwani kuku wa kawaida hula kuhusu gramu 100 za nafaka kwa siku. . Hii ina maana kwamba katika siku 100, kuku 100 hawatakula quintal 1 ya nafaka, lakini mengi zaidi: quintals mbili au tatu.

Na hapa kuna kazi ya mwisho ya chemsha bongo kwako kuhusu kufunga fundo: “Kuna kipande cha kamba kilichonyoshwa kwenye mstari kwenye meza. Unahitaji kuchukua mwisho wake kwa mkono mmoja, mwisho mwingine kwa mkono mwingine na, bila kuruhusu mwisho wa kamba kutoka kwa mikono yako, funga fundo. "Ni ukweli unaojulikana kuwa shida zingine ni rahisi kuchambua, kutoka kwa data hadi swali la shida, wakati zingine, kinyume chake, zinatoka kwa swali la shida hadi data.

Kweli, kwa hivyo tulijaribu kuchambua shida hii, kutoka kwa swali hadi data. Hebu tayari kuwe na fundo kwenye kamba, na mwisho wake ni mikononi mwako na haujatolewa. Hebu jaribu kurudi kutoka kwa tatizo lililotatuliwa kwa data yake, kwa nafasi ya awali: kamba imelala juu ya meza, na mwisho wake haujatolewa kutoka kwa mikono.

Inatokea kwamba ikiwa unyoosha kamba bila kuruhusu mwisho wake kutoka kwa mikono yako, basi mkono wa kushoto, ukienda chini ya kamba iliyopigwa na juu ya mkono wa kuume, unashikilia mwisho wa kulia wa kamba; na mkono wa kulia, ukienda juu ya kamba na chini ya mkono wa kushoto, unashikilia mwisho wa kushoto wa kamba

Nadhani baada ya uchambuzi huu wa shida, ikawa wazi kwa kila mtu jinsi ya kufunga fundo kwenye kamba; unahitaji kufanya kila kitu kwa mpangilio wa nyuma.

Mbinu mbili zaidi za kuzidisha haraka.

Nitakuonyesha jinsi ya kuzidisha nambari haraka kama vile 24 na 26, 63 na 67, 84 na 86, nk. p., yaani, wakati kuna idadi sawa ya makumi katika vipengele, na wale pamoja hufanya 10 hasa. Toa mifano.

* 34 na 36, ​​53 na 57, 72 na 78,

* Unapata 1224, 3021, 5616.

Kwa mfano, unahitaji kuzidisha 53 kwa 57. Ninazidisha 5 kwa 6 (1 zaidi ya 5), ​​inageuka 30 - mamia mengi katika bidhaa; Ninazidisha 3 kwa 7, zinageuka 21 - ndivyo vitengo vingi vilivyo kwenye bidhaa. Kwa hivyo 53 X 57 = 3021.

* Jinsi ya kuelezea hili?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 mia. + mia 5. +3 X 7 = seli 30. + 3 X 7 = seli 5 X 6. + 21.

Wacha tuone jinsi unavyoweza kuzidisha nambari za nambari mbili haraka ndani ya 20. Kwa mfano, ili kuzidisha 14 kwa 17, unahitaji kuongeza vitengo 4 na 7, unapata 11 - hiyo ni makumi ngapi kutakuwa na bidhaa (hiyo ni, vitengo 10). Kisha unahitaji kuzidisha 4 kwa 7, unapata 28 - ndivyo vitengo vingi vitakuwa kwenye bidhaa. Kwa kuongeza, hasa 100 lazima iongezwe kwa nambari zinazosababisha 110 na 28. Hii ina maana kwamba 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. Kwa kweli:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 +(4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

Baada ya hayo, tulitatua mifano ifuatayo: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Kuzidisha kwenye abacus

Hapa kuna mbinu chache ambazo, kwa kuzitumia, mtu yeyote anayejua jinsi ya kuongeza haraka kwenye abacus ataweza kufanya haraka mifano ya kuzidisha iliyokutana katika mazoezi.

Kuzidisha kwa 2 na 3 kunabadilishwa na kuongeza mara mbili na tatu.

Unapozidisha kwa 4, kwanza zidisha kwa 2 na uongeze matokeo haya yenyewe.

Kuzidisha nambari kwa 5 hufanywa kwenye abacus kama hii: sogeza waya yote nambari moja juu, ambayo ni, izidishe na 10, na kisha ugawanye nambari hii ya mara 10 kwa nusu (kama kugawanya na 2 kwa kutumia abacus.

Badala ya kuzidisha kwa 6, zidisha kwa 5 na uongeze kile kinachozidishwa.

Badala ya kuzidisha kwa 7, zidisha kwa 10 na uondoe iliyozidishwa mara tatu.

Kuzidisha kwa 8 kunabadilishwa na kuzidisha kwa 10 minus mbili kuzidishwa.

Wanazidisha kwa 9 kwa njia ile ile: wanaibadilisha kwa kuzidisha kwa 10 toa moja ikizidishwa.

Wakati wa kuzidisha na 10, uhamishe, kama tulivyokwisha sema, nambari zote waya moja juu.

Msomaji labda atajifikiria jinsi ya kuendelea wakati wa kuzidisha kwa nambari zaidi ya 10, na ni aina gani ya uingizwaji itakuwa rahisi zaidi hapa. Sababu 11 lazima, bila shaka, kubadilishwa na 10 + 1. Sababu 12 lazima kubadilishwa na 10 + 2 au kivitendo 2 + 10, yaani, kwanza wao kuweka kando idadi mara mbili na kisha kuongeza moja kumi. Multiplier ya 13 inabadilishwa na 10 + 3, nk.

Wacha tuangalie kesi chache maalum kwa vizidishi mia vya kwanza:

Ni rahisi kuona, kwa njia, kwamba kwa msaada wa abacus ni rahisi sana kuzidisha kwa nambari kama vile 22, 33, 44, 55, nk; Kwa hiyo, wakati wa kugawanya mambo, lazima tujitahidi kutumia nambari zinazofanana na tarakimu sawa.

Mbinu zinazofanana pia hutumiwa wakati wa kuzidisha kwa nambari zaidi ya 100. Ikiwa mbinu hizo za bandia ni za kuchosha, basi, bila shaka, tunaweza kuzidisha kila wakati kwa kutumia abacus kulingana na kanuni ya jumla, kuzidisha kila tarakimu ya kuzidisha na kuandika bidhaa za sehemu - hii bado inapunguza muda.

Njia ya "Kirusi" ya kuzidisha

Huwezi kuzidisha nambari zenye tarakimu nyingi, hata zenye tarakimu mbili, isipokuwa ukikariri matokeo yote ya kuzidisha nambari za tarakimu moja, yaani, kile kinachoitwa jedwali la kuzidisha. Katika "Hesabu" ya zamani ya Magnitsky, ambayo tumetaja tayari, hitaji la maarifa thabiti ya meza za kuzidisha hutukuzwa katika aya zifuatazo (mgeni kwa masikio ya kisasa):

Isipokuwa mtu anarudia meza na anajivunia, hawezi kujua kwa nambari nini cha kuzidisha

Na kulingana na sayansi zote, siko huru na mateso, Koliko hafundishi Tuna na ananikandamiza.

Na haitakuwa na manufaa ikiwa atasahau.

Mwandishi wa aya hizi ni wazi hakujua au alipuuza kwamba kuna njia ya kuzidisha nambari bila kujua jedwali la kuzidisha. Njia hii, sawa na njia zetu za shule, ilitumiwa katika maisha ya kila siku ya wakulima wa Kirusi na ilirithiwa nao kutoka nyakati za kale.

Asili yake ni kwamba kuzidisha kwa nambari zozote mbili kunapunguzwa hadi safu ya mgawanyiko unaofuata wa nambari moja kwa nusu huku ikiongeza nambari nyingine mara mbili. Hapa kuna mfano:

Kugawanya katika nusu kunaendelea hadi) lami katika mgawo inageuka kuwa 1, wakati huo huo mara mbili ya nambari nyingine. Nambari ya mwisho mara mbili inatoa matokeo yaliyohitajika. Si vigumu kuelewa ni nini njia hii inategemea: bidhaa haibadilika ikiwa sababu moja ni nusu na nyingine ni mara mbili. Ni wazi, kwa hiyo, kwamba kutokana na kurudia operesheni hii mara nyingi, bidhaa inayohitajika hupatikana.

Walakini, nini cha kufanya ikiwa wakati huo huo ... Je, inawezekana kugawanya nambari isiyo ya kawaida kwa nusu?

Njia ya watu inashinda kwa urahisi ugumu huu. Ni muhimu, inasema sheria, katika kesi ya idadi isiyo ya kawaida, kutupa moja na kugawanya salio kwa nusu; lakini kisha kwa nambari moja kwenye safu ya kulia utahitaji kuongeza nambari zote kwenye safu hii ambazo ziko kinyume na nambari zisizo za kawaida kwenye safu ya kushoto - jumla itakuwa kile unachotafuta? ninafanya kazi. Kwa mazoezi, hii inafanywa kwa njia ambayo mistari yote iliyo na nambari za kushoto zimevuka; Zile tu zilizo na nambari isiyo ya kawaida upande wa kushoto zinabaki.

Hapa kuna mfano (nyota zinaonyesha kuwa mstari huu unapaswa kuvuka):

Kwa kuongeza nambari ambazo hazijavuka, tunapata matokeo sahihi kabisa: 17 + 34 + 272 = 32 Je, mbinu hii inategemea nini?

Usahihi wa mbinu itakuwa wazi ikiwa tutazingatia hilo

19X 17 = (18+ 1)X 17= 18X17+17, 9X34 = (8 + 1)X34=; 8X34 + 34, nk.

Ni wazi kwamba nambari 17, 34, nk, zilizopotea wakati wa kugawanya nambari isiyo ya kawaida kwa nusu, lazima ziongezwe kwa matokeo ya kuzidisha mwisho ili kupata bidhaa.

Mifano ya kuzidisha kwa kasi

Tulitaja hapo awali kuwa pia kuna njia rahisi za kufanya shughuli hizo za kuzidisha za kibinafsi ambazo kila moja ya mbinu zilizo hapo juu huvunjika. Baadhi yao ni rahisi sana na hutumika kwa urahisi; hufanya mahesabu kuwa rahisi sana kwamba hainaumiza kuwakumbuka hata kidogo ili kuzitumia katika mahesabu ya kawaida.

Hii ni, kwa mfano, mbinu ya kuzidisha msalaba, ambayo ni rahisi sana wakati wa kufanya kazi na nambari za tarakimu mbili. Mbinu hiyo si mpya; inarudi kwa Wagiriki na Wahindu na katika nyakati za kale iliitwa "njia ya umeme", au "kuzidisha kwa msalaba". Sasa imesahaulika, na hainaumiza kukumbusha juu yake1.

Tuseme unataka kuzidisha 24X32. Panga kiakili nambari kulingana na mpango ufuatao, moja chini ya nyingine:

Sasa tunafanya hatua zifuatazo kwa mlolongo:

1) 4X2 = 8 ni tarakimu ya mwisho ya matokeo.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - tarakimu ya penultimate ya matokeo; 1 kumbuka.

3) 2X3 = 6, na pia kitengo kilichohifadhiwa katika akili, tunayo

7 ni tarakimu ya kwanza ya matokeo.

Tunapata nambari zote za bidhaa: 7, 6, 8 -- 768.

Baada ya zoezi fupi, mbinu hii inajifunza kwa urahisi sana.

Njia nyingine, ambayo inajumuisha utumiaji wa kinachojulikana kama "nyongeza", hutumiwa kwa urahisi katika hali ambapo nambari zinazozidishwa zinakaribia 100.

Tuseme unataka kuzidisha 92X96. "Ongeza" kwa 92 hadi 100 itakuwa 8, kwa 96 - 4. Hatua hiyo inafanywa kulingana na mpango ufuatao: wazidishaji: 92 na 96 "nyongeza": 8 na 4.

Nambari mbili za kwanza za matokeo hupatikana kwa kuondoa tu "kamilisho" ya kuzidisha kutoka kwa kizidishi au kinyume chake; i.e., 4 imetolewa kutoka 92 au 8 imetolewa kutoka 96.

Katika visa vyote viwili tuna 88; bidhaa ya "nyongeza" imeongezwa kwa nambari hii: 8X4 = 32. Tunapata matokeo 8832.

Kwamba matokeo yaliyopatikana lazima yawe sahihi inaonekana wazi kutoka kwa mabadiliko yafuatayo:

92x9b = 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4X 8 + 88X4 92x96 8832+0

Mfano mwingine. Unahitaji kuzidisha 78 kwa 77: sababu: 78 na 77 "nyongeza": 22 na 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Mfano wa tatu. Zidisha 99 X 9.

vizidishi: 99 na 98 "ziada": 1 na 2.

99-2 = 97, 1X2= 2.

Katika kesi hii, lazima tukumbuke kwamba 97 hapa inamaanisha idadi ya mamia. Kwa hivyo tunaiongeza.

Taasisi ya elimu ya manispaa

Shule ya msingi ya sekondari ya Starromaximkinskaya

Mkutano wa kikanda wa kisayansi na wa vitendo juu ya hisabati

"Nenda kwenye Sayansi"

Kazi ya utafiti

"Algorithms zisizo za kawaida za kuhesabu au kuhesabu haraka bila kikokotoo"

Msimamizi:,

mwalimu wa hisabati

Na. Sanaa. Maksimkino, 2010

Utangulizi ………………………………………………………………………………..…………….3.

Sura ya 1. Historia ya akaunti

1.2. Vihesabio vya miujiza ………………………………………………………………………………

Sura ya 2. Mbinu za kale za kuzidisha

2.1. Mbinu ya wakulima wa Kirusi ya kuzidisha ………………………………………………………..Njia ya “kibao” ………………………………………………………… ………….………..13

2.3. Njia ya Kihindi ya kuzidisha……………………………………………………..15

2.4. Mbinu ya Misri ya kuzidisha …………………………………………………….16

2.5. Kuzidisha kwa vidole ……………………………………………………………..17

Sura ya 3. Hesabu ya akili - gymnastics ya akili

3.1. Kuzidisha na kugawanya kwa 4………………..…………………………………………….19

3.2. Kuzidisha na kugawanya kwa 5……………………………………………………….19

3.3. Kuzidisha kwa 25……………………………………………………………………………………19

3.4. Kuzidisha kwa 1.5……………………………………………………………………..20

3.5. Kuzidisha kwa 9……….………………………………………………………………….20

3.6. Kuzidisha kwa 11………………………………………………………………..…………….….20

3.7. Kuzidisha nambari ya tarakimu tatu kwa 101……………………………………………21

3.7. Kuweka nambari inayoishia kwa 5…………………………21

3.8. Kuweka nambari karibu na 50……………………………………………22

3.9. Michezo……………………………………………………………………………….22

Hitimisho …………………………………………………………………………………………

Orodha ya fasihi iliyotumika……………………………………………………………….25

Utangulizi

Je, inawezekana kufikiria ulimwengu usio na nambari? Bila nambari huwezi kufanya ununuzi, huwezi kujua wakati, huwezi kupiga nambari ya simu. Na vipi kuhusu vyombo vya anga, leza na mafanikio mengine yote ya kiufundi?! Hazingewezekana ikiwa sio sayansi ya nambari.

Vipengele viwili vinatawala hisabati - nambari na takwimu zilizo na anuwai nyingi za mali na uhusiano. Katika kazi yetu, upendeleo hutolewa kwa vipengele vya nambari na vitendo pamoja nao.

Sasa, katika hatua ya maendeleo ya haraka ya sayansi ya kompyuta na teknolojia ya kompyuta, watoto wa shule ya kisasa hawataki kujisumbua wenyewe na hesabu ya akili. Kwa hivyo tulizingatia Ni muhimu kuonyesha sio tu kwamba mchakato wa kufanya hatua yenyewe unaweza kuvutia, lakini pia kwamba, baada ya kufahamu vizuri mbinu za kuhesabu haraka, mtu anaweza kushindana na kompyuta.

Kitu utafiti ni kuhesabu algorithms.

Somo utafiti ni mchakato wa kuhesabu.

Lengo: soma njia zisizo za kawaida za hesabu na utambue kwa majaribio sababu ya kukataa kutumia njia hizi wakati wa kufundisha hisabati kwa watoto wa shule ya kisasa.

Kazi:

Fungua historia ya asili ya akaunti na uzushi wa "Vihesabu vya miujiza";

Eleza mbinu za kale za kuzidisha na kwa majaribio kutambua matatizo katika matumizi yao;

Fikiria baadhi ya mbinu za kuzidisha kwa mdomo na utumie mifano maalum ili kuonyesha faida za matumizi yao.

Nadharia: Hapo zamani za kale walisema: “Kuzidisha ni adhabu yangu.” Hii ina maana kwamba kuzidisha zamani ilikuwa ngumu na ngumu. Je, njia yetu ya kisasa ya kuzidisha ni rahisi?

Wakati wa kuifanyia kazi ripoti I alitumia njia zifuatazo :

Ø tafuta njia ya kutumia fasihi ya kisayansi na kielimu, na pia kutafuta habari muhimu kwenye mtandao;

Ø vitendo njia ya kufanya mahesabu kwa kutumia algorithms zisizo za kawaida za kuhesabu;

Ø uchambuzi data zilizopatikana wakati wa utafiti.

Umuhimu Mada hii ni kwamba matumizi ya mbinu zisizo za kawaida katika malezi ya ujuzi wa computational huongeza maslahi ya wanafunzi katika hisabati na kukuza maendeleo ya uwezo wa hisabati.

Nyuma ya kitendo rahisi cha kuzidisha kuna siri za historia ya hisabati. Kusikia kwa bahati maneno "kuzidisha kwa kimiani", "mbinu ya chess" kulinivutia. Nilitaka kujua hizi na njia zingine za kuzidisha na kuzilinganisha na hatua yetu ya kuzidisha leo.

Ili kujua ikiwa watoto wa kisasa wa shule wanajua njia zingine za kufanya shughuli za hesabu, pamoja na kuzidisha kwa safu na mgawanyiko kwa kona, na wangependa kujifunza njia mpya, uchunguzi wa mdomo ulifanyika. Wanafunzi 20 wa darasa la 5-7 walifanyiwa utafiti. Utafiti huu ulionyesha kuwa watoto wa kisasa wa shule hawajui njia zingine za kufanya vitendo, kwani mara chache hugeukia nyenzo nje ya mtaala wa shule.

Matokeo ya uchunguzi:

(Michoro inaonyesha asilimia ya majibu ya uthibitisho ya wanafunzi).

1) Je, watu wa kisasa wanahitaji kuwa na uwezo wa kufanya shughuli za hesabu na nambari za asili?

2) a) Je! unajua jinsi ya kuzidisha, kuongeza,

b) Je, unajua njia nyingine za kufanya shughuli za hesabu?

3) ungependa kujua?

Sura ya 1. Historia ya akaunti

1.1. Nambari zilikujaje?

Watu walijifunza kuhesabu vitu nyuma katika Enzi ya Jiwe la zamani - Paleolithic, makumi ya maelfu ya miaka iliyopita. Hii ilitokeaje? Mara ya kwanza, watu walilinganisha tu idadi tofauti ya vitu sawa kwa jicho. Wangeweza kuamua ni yupi kati ya lundo mbili lililokuwa na matunda zaidi, kundi lipi lilikuwa na kulungu zaidi, nk. Kama kabila moja lingebadilishana samaki kwa visu vya mawe vilivyotengenezwa na watu wa kabila lingine, hapakuwa na haja ya kuhesabu samaki wangapi na visu vingapi walileta. . Ilitosha kuweka kisu karibu na kila samaki kwa mabadilishano kati ya makabila yafanyike.

Ili kufanikiwa katika kilimo, ujuzi wa hesabu ulihitajika. Bila kuhesabu siku, ilikuwa vigumu kuamua wakati wa kupanda mashamba, wakati wa kuanza kumwagilia, wakati wa kutarajia watoto kutoka kwa wanyama. Ilikuwa ni lazima kujua ni kondoo wangapi waliokuwa kundini, ni magunia ngapi ya nafaka yaliwekwa ghalani.
Na zaidi ya miaka elfu nane iliyopita, wachungaji wa zamani walianza kutengeneza mugs kutoka kwa udongo - moja kwa kila kondoo. Ili kujua ikiwa angalau kondoo mmoja ametoweka wakati wa mchana, mchungaji aliweka kikombe kila mara mnyama mwingine alipoingia zizini. Na tu baada ya kuhakikisha kwamba kondoo wengi wamerudi kama duara, alienda kulala kwa utulivu. Lakini katika kundi lake hakukuwa na kondoo pekee - alichunga ng'ombe, mbuzi na punda. Kwa hiyo, nilipaswa kufanya takwimu nyingine kutoka kwa udongo. Na wakulima, kwa kutumia sanamu za udongo, waliweka rekodi za mavuno, wakiona ni mifuko ngapi ya nafaka iliyowekwa kwenye ghalani, ni mitungi ngapi ya mafuta iliyopigwa kutoka kwa mizeituni, ni vipande ngapi vya kitani vilivyosokotwa. Ikiwa kondoo alizaa, mchungaji aliongeza mpya kwenye miduara, na ikiwa baadhi ya kondoo walitumiwa kwa nyama, duru kadhaa zilipaswa kuondolewa. Kwa hivyo, bila kujua jinsi ya kuhesabu, watu wa zamani walifanya hesabu.

Kisha nambari zilionekana katika lugha ya kibinadamu, na watu waliweza kutaja idadi ya vitu, wanyama, siku. Kawaida kulikuwa na nambari chache kama hizo. Kwa mfano, watu wa Mto Murray wa Australia walikuwa na nambari kuu mbili: enea (1) na petchewal (2). Walionyesha nambari zingine na nambari za kiwanja: 3 = "petcheval-enea", 4 "petcheval-petcheval", nk Kabila lingine la Australia, Kamiloroi, lilikuwa na nambari rahisi mal (1), Bulan (2), Guliba (3). Na hapa nambari zingine zilipatikana kwa kuongeza kidogo: 4 = "bulan - bulan", 5 = "bulan - guliba", 6 = "guliba - guliba", nk.

Kwa watu wengi, jina la nambari lilitegemea vitu vilivyohesabiwa. Ikiwa wenyeji wa Visiwa vya Fiji walihesabu boti, basi nambari ya 10 iliitwa "bolo"; ikiwa walihesabu nazi, nambari 10 iliitwa "karo". Nivkhs wanaoishi Sakhalin na kingo za Amur walifanya vivyo hivyo. Hata katika karne iliyopita, waliita nambari sawa na maneno tofauti ikiwa walihesabu watu, samaki, boti, nyavu, nyota, vijiti.

Bado tunatumia nambari tofauti zisizo na kikomo na maana ya "wengi": "umati", "ng'ombe", "kundi", "lundo", "kundi" na zingine.

Pamoja na maendeleo ya uzalishaji na kubadilishana biashara, watu walianza kuelewa vizuri zaidi boti tatu na shoka tatu, mishale kumi na karanga kumi zinafanana. Makabila mara nyingi walibadilishana "kitu kwa kitu"; kwa mfano, walibadilisha mizizi 5 ya chakula kwa samaki 5. Ikawa wazi kuwa 5 ni sawa kwa mizizi na samaki; Hii ina maana kwamba unaweza kuiita kwa neno moja.

Watu wengine walitumia njia sawa za kuhesabu. Hivi ndivyo nambari kulingana na kuhesabu katika tano, kumi na ishirini zilivyoibuka.

Kufikia sasa tumezungumza juu ya kuhesabu akili. Nambari ziliandikwaje? Mwanzoni, hata kabla ya ujio wa uandishi, walitumia noti kwenye vijiti, noti kwenye mifupa, na vifungo kwenye kamba. Mfupa wa mbwa mwitu uliopatikana huko Dolní Vestonice (Czechoslovakia) ulikuwa na noti 55 zilizotengenezwa zaidi ya miaka 25,000 iliyopita.

Wakati uandishi ulionekana, nambari zilionekana kurekodi nambari. Mara ya kwanza, nambari zilifanana na noti kwenye vijiti: huko Misri na Babeli, huko Etruria na Phenice, nchini India na Uchina, nambari ndogo ziliandikwa na vijiti au mistari. Kwa mfano, nambari 5 iliandikwa na vijiti vitano. Wahindi wa Azteki na Mayan walitumia nukta badala ya vijiti. Kisha ishara maalum zilionekana kwa nambari fulani, kama vile 5 na 10.

Wakati huo, karibu hesabu zote hazikuwa za nafasi, lakini sawa na nambari za Kirumi. Nambari moja tu ya jinsia ya Babeli ilikuwa ya nafasi. Lakini kwa muda mrefu hapakuwa na sifuri ndani yake, na vile vile koma ikitenganisha sehemu nzima kutoka kwa sehemu ndogo. Kwa hiyo, nambari hiyohiyo inaweza kumaanisha 1, 60, au 3600. Maana ya nambari hiyo ilipaswa kukisiwa kulingana na maana ya tatizo.

Karne kadhaa kabla ya enzi mpya, njia mpya ya kuandika nambari ilivumbuliwa, ambayo herufi za alfabeti ya kawaida zilitumika kama nambari. Herufi 9 za kwanza ziliashiria nambari kumi 10, 20,..., 90, na herufi nyingine 9 zilizoashiria mamia. Nambari hii ya alfabeti ilitumiwa hadi karne ya 17. Ili kutofautisha herufi "halisi" kutoka kwa nambari, mstari uliwekwa juu ya herufi-nambari (katika Rus' mstari huu uliitwa "titlo").

Katika hesabu hizi zote ilikuwa ngumu sana kufanya shughuli za hesabu. Kwa hivyo, uvumbuzi katika karne ya 6. Kwa Wahindi, nambari ya nambari ya desimali inachukuliwa kuwa mojawapo ya mafanikio makubwa zaidi ya wanadamu. Nambari za Kihindi na nambari za Kihindi zilijulikana huko Uropa kutoka kwa Waarabu, na kwa kawaida huitwa Kiarabu.

Wakati wa kuandika sehemu kwa muda mrefu, sehemu nzima iliandikwa kwa nambari mpya, nambari ya desimali, na sehemu ya sehemu katika jinsia. Lakini mwanzoni mwa karne ya 15. Samarkand mtaalamu wa hisabati na mnajimu al-Kashi alianza kutumia sehemu za desimali katika hesabu.

Nambari tunazofanya kazi nazo ni nambari chanya na hasi. Lakini zinageuka kuwa hizi sio nambari zote zinazotumiwa katika hisabati na sayansi zingine. Na unaweza kujifunza juu yao bila kungoja shule ya upili, lakini mapema zaidi ikiwa utasoma historia ya kuibuka kwa nambari katika hisabati.

1.2 "Muujiza - vihesabio"

Anaelewa kila kitu kwa mtazamo na mara moja hufanya hitimisho ambalo mtu wa kawaida, labda, atakuja kupitia mawazo marefu na yenye uchungu. Anasambaza vitabu kwa kasi ya ajabu, na katika nafasi ya kwanza kwenye orodha yake fupi ya zinazouzwa zaidi ni kitabu cha kiada cha hesabu za kuburudisha. Wakati wa kutatua matatizo magumu zaidi na yasiyo ya kawaida, moto wa msukumo huwaka machoni pake. Maombi ya kwenda dukani au kuosha vyombo hayazingatiwi au yanakutana na kutoridhika sana. Tuzo bora ni safari ya kwenda kwenye ukumbi wa mihadhara, na zawadi ya thamani zaidi ni kitabu. Yeye ni wa vitendo iwezekanavyo na katika vitendo vyake ni chini ya sababu na mantiki. Yeye huwatendea watu walio karibu naye kwa upole na angependelea mchezo wa chess wenye kompyuta badala ya kuteleza kwa kuteleza. Kama mtoto, anajua mapema mapungufu yake mwenyewe na anajulikana na kuongezeka kwa utulivu wa kihemko na kubadilika kwa hali ya nje.

Picha hii haitokani na mchambuzi wa CIA.
Hivi ndivyo, kulingana na wanasaikolojia, kikokotoo cha mwanadamu kinaonekana kama mtu mwenye uwezo wa kipekee wa hesabu ambao humruhusu kufanya hesabu ngumu zaidi katika kichwa chake kwa kufumba na kufumbua.

Zaidi ya kizingiti cha fahamu ni muujiza - wahasibu, wenye uwezo wa kufanya shughuli za hesabu zisizofikiriwa bila calculator, wana sifa za kumbukumbu za kipekee zinazowatofautisha na watu wengine. Kama sheria, pamoja na safu kubwa za fomula na mahesabu, watu hawa (wanasayansi wanawaita mnemonics - kutoka kwa neno la Kiyunani mnemonika, linalomaanisha "sanaa ya kukariri") huweka vichwani mwao orodha za anwani sio za marafiki tu, bali pia. ya marafiki wa kawaida, pamoja na mashirika mengi ambapo ilibidi niwe hapo mara moja.

Katika maabara ya Taasisi ya Utafiti ya Psychotechnologies, ambapo waliamua kujifunza jambo hilo, walifanya majaribio hayo. Walialika mtu wa kipekee - mfanyakazi wa Hifadhi ya Jimbo Kuu la St Petersburg. Alipewa maneno na nambari mbalimbali za kukumbuka. Ilibidi azirudie. Katika dakika chache tu angeweza kurekebisha hadi vipengele sabini kwenye kumbukumbu yake. Maneno na nambari nyingi "zilipakuliwa" kwenye kumbukumbu ya Alexander. Wakati idadi ya vipengele ilizidi mia mbili, tuliamua kupima uwezo wake. Kwa mshangao wa washiriki wa majaribio, kumbukumbu haikushindwa hata kidogo. Akisonga midomo yake kwa sekunde, alianza kuzaliana safu nzima ya vitu kwa usahihi wa kushangaza, kana kwamba anasoma.

Kwa mfano, mwanasayansi-mtafiti mwingine alifanya majaribio na Mademoiselle Osaka. Mhusika aliulizwa mraba 97 kupata nguvu ya kumi ya nambari hiyo. Alifanya hivyo mara moja.

Aron Chikashvili anaishi katika eneo la Van magharibi mwa Georgia. Yeye haraka na kwa usahihi hufanya mahesabu magumu katika kichwa chake. Kwa namna fulani, marafiki waliamua kupima uwezo wa "counter ya miujiza". Kazi ilikuwa ngumu: mtangazaji atasema maneno na barua ngapi wakati wa kutoa maoni juu ya nusu ya pili ya mechi ya mpira wa miguu "Spartak" (Moscow) - "Dynamo" (Tbilisi). Wakati huo huo kinasa sauti kiliwashwa. Jibu lilikuja mara tu mtangazaji aliposema neno la mwisho: herufi 17427, maneno 1835. Ilichukua….saa 5 kukagua. Jibu liligeuka kuwa sahihi.

Inasemekana kwamba babake Gauss huwalipa wafanyakazi wake mwishoni mwa juma, akiongeza muda wa ziada wa mapato ya kila siku. Siku moja, baada ya Gauss baba yake kumaliza hesabu zake, mtoto mwenye umri wa miaka mitatu ambaye alikuwa akifuata upasuaji wa baba yake alisema hivi kwa mshangao: “Baba, hesabu si sahihi!” Hii inapaswa kuwa kiasi." Mahesabu yalirudiwa na tulishangaa kuona kwamba mtoto alikuwa ameonyesha kiasi sahihi.

Kwa kupendeza, “vihesabu vya miujiza” vingi havijui jinsi zinavyohesabu. "Tunahesabu, ni hivyo tu! Lakini kama tunavyofikiri, Mungu anajua.” Baadhi ya "counter" walikuwa watu wasio na elimu kabisa. Mwingereza Buxton, “kikokotoo cha virtuoso,” hakuwahi kujifunza kusoma; "Mhasibu mweusi" wa Amerika Thomas Faller alikufa bila kusoma na kuandika akiwa na umri wa miaka 80.

Mashindano yalifanyika katika Taasisi ya Cybernetics ya Chuo cha Sayansi cha Kiukreni. Mashindano hayo yalihudhuriwa na "jambo la kukabiliana" na Igor Shelushkov na kompyuta ya Mir. Mashine hiyo ilifanya shughuli nyingi changamano za hisabati kwa sekunde chache. Mshindi wa shindano hili alikuwa Igor Shelushkov.

Wengi wa watu hawa wana kumbukumbu bora na talanta. Lakini baadhi yao hawana uwezo katika hisabati. Wanajua siri! Na siri hii ni kwamba wamefahamu mbinu za kuhesabu haraka vizuri na kukariri fomula kadhaa maalum. Lakini mfanyikazi wa Ubelgiji ambaye, kwa sekunde 30, alipewa nambari ya nambari nyingi aliyopewa, iliyopatikana kwa kuzidisha nambari fulani peke yake mara 47, anaita nambari hii (huondoa mzizi wa 47).

digrii kutoka kwa nambari ya nambari nyingi), ilipata mafanikio ya kushangaza katika kuhesabu kama matokeo ya miaka mingi ya mafunzo.

Kwa hivyo, "matukio ya kuhesabu" mengi hutumia mbinu maalum za kuhesabu haraka na fomula maalum. Hii ina maana kwamba tunaweza pia kutumia baadhi ya mbinu hizi.

SuraII. Mbinu za kale za kuzidisha.

2.1. Njia ya wakulima wa Kirusi ya kuzidisha.

Katika Urusi, karne 2-3 zilizopita, njia ilikuwa ya kawaida kati ya wakulima katika baadhi ya majimbo ambayo haikuhitaji ujuzi wa meza nzima ya kuzidisha. Ilibidi tu uweze kuzidisha na kugawanya kwa 2. Njia hii iliitwa mkulima(kuna maoni kwamba inatoka Misri).

Mfano: zidisha 47 kwa 35,

Hebu tuandike nambari kwenye mstari mmoja na kuchora mstari wa wima kati yao;

Tutagawanya nambari ya kushoto na 2, kuzidisha nambari ya kulia na 2 (ikiwa salio hutokea wakati wa mgawanyiko, basi tunatupa salio);

Mgawanyiko unaisha wakati kitengo kinaonekana upande wa kushoto;

Tunavuka mistari hiyo ambayo kuna nambari hata upande wa kushoto;

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. Mbinu ya kimiani.

1). Mwanahisabati na mnajimu mashuhuri wa Kiarabu Abu Mussa al-Khorezmi aliishi na kufanya kazi huko Baghdad. "Al - Khorezmi" inamaanisha "kutoka Khorezmi", i.e. mzaliwa wa mji wa Khorezm (sasa ni sehemu ya Uzbekistan). Mwanasayansi alifanya kazi katika Nyumba ya Hekima, ambapo kulikuwa na maktaba na chumba cha uchunguzi; karibu wanasayansi wote wakuu wa Kiarabu walifanya kazi hapa.

Kuna habari ndogo sana kuhusu maisha na shughuli za Muhammad al-Khorezmi. Ni kazi zake mbili tu ambazo zimesalia - kwenye algebra na hesabu. Mwisho wa vitabu hivi hutoa sheria nne za shughuli za hesabu, karibu sawa na zile zinazotumiwa wakati wetu.

2). Kwake "Kitabu cha Uhasibu wa Kihindi" mwanasayansi alielezea njia zuliwa katika India ya Kale, na baadaye kuitwa "mbinu ya kimiani"(aka "wivu"). Njia hii ni rahisi zaidi kuliko ile inayotumiwa leo.

Wacha tuseme tunahitaji kuzidisha 25 na 63.

Wacha tuchore meza ambayo kuna seli mbili kwa urefu na mbili kwa upana, andika nambari moja kwa urefu na nyingine kwa upana. Katika seli tunaandika matokeo ya kuzidisha nambari hizi, kwenye makutano yao tunatenganisha makumi na zile zilizo na diagonal. Tunaongeza nambari zinazosababisha diagonally, na matokeo yanaweza kusomwa kando ya mshale (chini na kulia).

Tumezingatia mfano rahisi, hata hivyo, njia hii inaweza kutumika kuzidisha nambari yoyote ya tarakimu nyingi.

Wacha tuangalie mfano mwingine: zidisha 987 na 12:

Chora mstatili 3 kwa 2 (kulingana na idadi ya maeneo ya desimali kwa kila sababu);

Kisha tunagawanya seli za mraba diagonally;

Juu ya meza tunaandika nambari 987;

Upande wa kushoto wa meza ni namba 12 (tazama picha);

Sasa katika kila mraba tutaingia bidhaa ya nambari - sababu ziko kwenye mstari sawa na kwenye safu sawa na mraba huu, makumi juu ya diagonal, chini;

Baada ya kujaza pembetatu zote, nambari ndani yao huongezwa kando ya kila diagonal;

Tunaandika matokeo upande wa kulia na chini ya meza (tazama takwimu);

987 ∙ 12=11844

Algorithm hii ya kuzidisha nambari mbili za asili ilikuwa ya kawaida katika Zama za Kati huko Mashariki na Italia.

Tuligundua usumbufu wa njia hii katika ugumu wa kuandaa meza ya mstatili, ingawa mchakato wa hesabu yenyewe unavutia na kujaza meza kunafanana na mchezo.

2.3 Njia ya Kihindi ya kuzidisha

Baadhi ya walimu wenye uzoefu katika karne iliyopita waliamini kwamba njia hii inapaswa kuchukua nafasi ya njia inayokubalika kwa ujumla ya kuzidisha katika shule zetu.

Wamarekani waliipenda sana hata wakaiita "Njia ya Amerika." Walakini, ilitumiwa na wenyeji wa India nyuma katika karne ya 6. n. e., na itakuwa sahihi zaidi kuiita "njia ya Kihindi." Zidisha nambari zozote za tarakimu mbili, sema 23 kwa 12. Mara moja ninaandika kinachotokea.

Unaona: jibu lilipokelewa haraka sana. Lakini ilipatikanaje?

Hatua ya kwanza: x23 nasema: "2 x 3 = 6"

Hatua ya pili: x23 nasema: "2 x 2 + 1 x 3 = 7"

Hatua ya tatu: x23 Ninasema: "1 x 2 = 2."

12 Ninaandika 2 upande wa kushoto wa nambari 7

276 tunapata 276.

Tulifahamiana na njia hii kwa kutumia mfano rahisi sana bila kupitia kidogo. Walakini, utafiti wetu umeonyesha kuwa inaweza pia kutumika wakati wa kuzidisha nambari na mpito kupitia nambari, na vile vile wakati wa kuzidisha nambari za nambari nyingi. Hapa kuna baadhi ya mifano:

x528 x24 x15 x18 x317

123 30 13 19 12

Katika Rus ', njia hii ilijulikana kama njia ya kuzidisha na msalaba.

"Msalaba" huu ni usumbufu wa kuzidisha; ni rahisi kuchanganyikiwa, na pia ni ngumu kukumbuka bidhaa zote za kati, ambazo matokeo yake lazima ziongezwe.

2.4. Njia ya Misri ya kuzidisha

Maandishi ya nambari ambayo yalitumiwa katika nyakati za zamani yalifaa zaidi au kidogo kurekodi matokeo ya hesabu. Lakini ilikuwa vigumu sana kufanya shughuli za hesabu kwa msaada wao, hasa linapokuja suala la kuzidisha (jaribu kuzidisha: ξφß*τδ). Wamisri walipata njia ya kutoka kwa hali hii, kwa hiyo njia hiyo iliitwa Misri. Walibadilisha kuzidisha kwa nambari yoyote na kuongeza mara mbili, ambayo ni, kuongeza nambari yenyewe.

Mfano: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Kwa kuwa 5 = 4 + 1, basi ili kupata jibu ilibaki kuongeza nambari kwenye safu wima dhidi ya nambari 4 na 1, i.e. 136 + 34 = 170.

2.5. Kuzidisha kwenye vidole

Wamisri wa kale walikuwa wa kidini sana na waliamini kwamba roho ya marehemu katika maisha ya baada ya kifo ilifanyiwa mtihani wa kuhesabu vidole. Hii tayari inazungumza juu ya umuhimu ambao watu wa zamani waliambatanisha na njia hii ya kuzidisha nambari asilia (iliitwa kuhesabu vidole).

Walizidisha nambari zenye tarakimu moja kwenye vidole vyao kutoka 6 hadi 9. Ili kufanya hivyo, walinyoosha vidole vingi kwa mkono mmoja kadri jambo la kwanza lilivyozidi nambari 5, na kwa pili walifanya vivyo hivyo kwa jambo la pili. Vidole vilivyobaki viliinama. Baada ya hayo, walichukua makumi mengi kama urefu wa vidole kwenye mikono yote miwili, na kuongeza kwa nambari hii bidhaa ya vidole vilivyoinama kwenye mkono wa kwanza na wa pili.

Mfano: 8 ∙ 9 = 72

Baadaye, kuhesabu vidole kuliboreshwa - walijifunza kuonyesha nambari hadi 10,000 kwa vidole vyao.

Harakati ya vidole

Hapa kuna njia nyingine ya kusaidia kumbukumbu yako: tumia vidole vyako kukumbuka jedwali la kuzidisha kwa 9. Kuweka mikono yote miwili kando ya meza, weka vidole vya mikono yote miwili kwa utaratibu ufuatao: kidole cha kwanza upande wa kushoto kitateuliwa 1. , ya pili nyuma yake itateuliwa 2, kisha 3, 4 ... kwa kidole cha kumi, ambayo ina maana 10. Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yoyote ya kwanza tisa na 9, basi fanya hivyo, bila kusonga mikono yako. kutoka kwenye meza, unahitaji kuinua kidole ambacho nambari yake ina maana nambari ambayo tisa huongezeka; basi idadi ya vidole vilivyolala upande wa kushoto wa kidole kilichoinuliwa huamua idadi ya makumi, na idadi ya vidole vilivyolala upande wa kulia wa kidole kilichoinuliwa inaonyesha idadi ya vitengo vya bidhaa inayotokana.

Mfano. Tuseme tunahitaji kupata bidhaa 4x9.

Kwa mikono miwili juu ya meza, inua kidole cha nne, ukihesabu kutoka kushoto kwenda kulia. Kisha kuna vidole vitatu (makumi) kabla ya kidole kilichoinuliwa, na vidole 6 (vitengo) baada ya kidole kilichoinuliwa. Matokeo ya bidhaa 4 kwa 9 kwa hivyo ni sawa na 36.

Mfano mwingine:

Wacha tuseme tunahitaji kuzidisha 3 * 9.

Kutoka kushoto kwenda kulia, pata kidole cha tatu, cha kidole hicho kutakuwa na vidole 2 vilivyonyooshwa, vitamaanisha makumi 2.

Kwa upande wa kulia wa kidole kilichoinama, vidole 7 vitanyooshwa, vinamaanisha vitengo 7. Ongeza makumi 2 na vitengo 7 na utapata 27.

Vidole wenyewe vilionyesha nambari hii.

// // /////

Kwa hivyo, mbinu za kale za kuzidisha tulizochunguza zinaonyesha kwamba algorithm iliyotumiwa shuleni kwa kuzidisha nambari za asili sio pekee na haikujulikana kila wakati.

Walakini, ni haraka sana na rahisi zaidi.

Sura ya 3. Hesabu ya akili - gymnastics ya akili

3.1. Kuzidisha na kugawanya kwa 4.

Ili kuzidisha nambari kwa 4, ni mara mbili.

Kwa mfano,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Ili kugawanya nambari na 4, imegawanywa na 2 mara mbili.

Kwa mfano,

124: 4 = (124: 2) : 2 = 62: 2 = 31

2648: 4 = (2648: 2) : 2 = 1324: 2 = 662

3.2. Kuzidisha na kugawanya kwa 5.

Ili kuzidisha nambari kwa 5, unahitaji kuizidisha kwa 10/2, ambayo ni, kuzidisha kwa 10 na kugawanya na 2.

Kwa mfano,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380: 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480: 2 = 2740

Ili kugawanya nambari na 5, unahitaji kuizidisha kwa 0.2, ambayo ni, kwa nambari ya asili mara mbili, tenga nambari ya mwisho na koma.

Kwa mfano,

345: 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51: 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Zidisha kwa 25.

Ili kuzidisha nambari kwa 25, unahitaji kuizidisha kwa 100/4, ambayo ni, kuzidisha kwa 100 na kugawanya na 4.

Kwa mfano,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800: 2) : 2 = 17400: 2 = 8700

3.4. Zidisha kwa 1.5.

Ili kuzidisha nambari kwa 1.5, unahitaji kuongeza nusu yake kwa nambari ya asili.

Kwa mfano,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

3.5. Zidisha kwa 9.

Ili kuzidisha nambari kwa 9, ongeza 0 kwake na uondoe nambari asili. Kwa mfano,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.6. Zidisha kwa 11.

1 njia. Ili kuzidisha nambari kwa 11, ongeza 0 kwake na uongeze nambari asili. Kwa mfano:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

Mbinu 2. Ikiwa unataka kuzidisha nambari na 11, basi fanya hivi: andika nambari ambayo inahitaji kuzidishwa na 11, na kati ya nambari za nambari ya asili ingiza jumla ya nambari hizi. Ikiwa jumla itageuka kuwa nambari ya tarakimu mbili, basi ongeza 1 kwenye tarakimu ya kwanza ya nambari asilia. Kwa mfano:

45 * 11 = * 11 = 967

Njia hii inafaa tu kwa kuzidisha nambari za tarakimu mbili.

3.7. Kuzidisha nambari ya tarakimu tatu kwa 101.

Kwa mfano 125 * 101 = 12625

(ongeza sababu ya kwanza kwa idadi ya mamia yake na ongeza nambari mbili za mwisho za jambo la kwanza kwake kulia)

125 + 1 = 126 12625

Watoto hujifunza mbinu hii kwa urahisi wakati wa kuandika mahesabu kwenye safu.

x125 101 + 125 125 _ 12625

x348 101 +348 348 _ 35148

Mfano mwingine: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227

3.8. Kuweka nambari inayoishia kwa 5.

Ili mraba nambari inayoishia na 5 (kwa mfano, 65), zidisha nambari yake ya makumi (6) kwa idadi ya makumi iliyoongezeka na 1 (6+1 = 7), na ongeza 25 kwa nambari inayotokana.

(6 * 7 = 42 Jibu: 4225)

Kwa mfano:

3.8. Kuweka nambari karibu na 50.

Ikiwa unataka kuweka mraba nambari iliyo karibu na 50 lakini kubwa kuliko 50, basi fanya hivi:

1) toa 25 kutoka kwa nambari hii;

2) ongeza kwa matokeo katika tarakimu mbili mraba wa ziada ya nambari uliyopewa zaidi ya 50.

Maelezo: 58 - 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.

Maelezo: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 172 =289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

Ikiwa unataka kuweka mraba nambari iliyo karibu na 50 lakini chini ya 50, basi fanya hivi:

1) toa 25 kutoka kwa nambari hii;

2) ongeza kwa matokeo katika tarakimu mbili mraba wa ubaya wa nambari hii hadi 50.

Maelezo: 48 - 25 = 23, 50 - 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304.

Maelezo: 37 – 25 = 12,= 13, 132 =169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

3.9. Michezo

Kubahatisha nambari inayotokana.

1. Fikiria nambari. Ongeza 11 kwake; kuzidisha kiasi kinachosababishwa na 2; toa 20 kutoka kwa bidhaa hii; zidisha tofauti inayotokana na 5 na uondoe kutoka kwa bidhaa mpya nambari ambayo ni kubwa mara 10 kuliko nambari unayofikiria.

Nadhani: una 10. Kweli?

2. Fikiria nambari. Mara tatu. Toa 1 kutoka kwa matokeo. Zidisha matokeo kwa 5. Ongeza 20 kwa matokeo. Gawanya matokeo na 15. Ondoa thamani iliyokusudiwa kutoka kwa matokeo.

Umepata 1.

3. Fikiria nambari. Izidishe kwa 6. Ondoa 3. Izidishe kwa 2. Ongeza 26. Toa mara mbili ya thamani iliyokusudiwa. Gawanya kwa 10. Ondoa ulichokusudia.

Umepata 2.

4. Fikiria nambari. Mara tatu. Toa 2. Zidisha kwa 5. Ongeza 5. Gawanya kwa 5. Ongeza 1. Gawanya kwa kusudi. Umepata 3.

5. Fikiria namba, mara mbili. Ongeza 3. Zidisha kwa 4. Toa 12. Gawanya kwa ulichokusudia.

Umepata 8.

Kubahatisha nambari zilizokusudiwa.

Alika wenzako wafikirie nambari zozote. Acha kila mtu aongeze 5 kwa nambari anayokusudia.

Acha kiasi kinachopatikana kizidishwe na 3.

Hebu aondoe 7 kutoka kwa bidhaa.

Hebu aondoe nyingine 8 kutoka kwa matokeo yaliyopatikana.

Acha kila mtu akupe karatasi na matokeo ya mwisho. Kuangalia kipande cha karatasi, mara moja unamwambia kila mtu ni nambari gani anayo akilini.

(Ili kubashiri nambari inayokusudiwa, gawanya matokeo yaliyoandikwa kwenye karatasi au kuambiwa kwa mdomo na 3)

Hitimisho

Tumeingia katika milenia mpya! Ugunduzi mkubwa na mafanikio ya wanadamu. Tunajua mengi, tunaweza kufanya mengi. Inaonekana ni kitu kisicho cha kawaida kwamba kwa msaada wa nambari na fomula unaweza kuhesabu kukimbia kwa anga, "hali ya kiuchumi" nchini, hali ya hewa ya "kesho," na kuelezea sauti ya noti kwenye wimbo. Tunajua taarifa ya mtaalam wa hesabu na mwanafalsafa wa Uigiriki aliyeishi katika karne ya 4 KK - Pythagoras - "Kila kitu ni nambari!"

Kwa mujibu wa mtazamo wa kifalsafa wa mwanasayansi huyu na wafuasi wake, nambari hutawala sio tu kipimo na uzito, lakini pia matukio yote yanayotokea katika asili, na ni kiini cha maelewano yanayotawala duniani, nafsi ya ulimwengu.

Kwa kuelezea mbinu za kale za hesabu na mbinu za kisasa za hesabu ya haraka, tulijaribu kuonyesha kwamba wote katika siku za nyuma na katika siku zijazo, mtu hawezi kufanya bila hisabati, sayansi iliyoundwa na akili ya mwanadamu.

Utafiti wa njia za zamani za kuzidisha ulionyesha kuwa operesheni hii ya hesabu ilikuwa ngumu na ngumu kwa sababu ya anuwai ya njia na utekelezaji wao mgumu.

Njia ya kisasa ya kuzidisha ni rahisi na inapatikana kwa kila mtu.

Baada ya kukagua fasihi ya kisayansi, tuligundua njia za kuzidisha haraka na za kuaminika zaidi. Kwa hivyo, kusoma hatua ya kuzidisha ni mada ya kuahidi.

Inawezekana kwamba watu wengi hawataweza kufanya haraka na mara moja kufanya mahesabu haya au mengine mara ya kwanza. Hebu isiwezekane kutumia mbinu iliyoonyeshwa katika kazi mara ya kwanza. Hakuna shida. Mafunzo ya hesabu ya mara kwa mara yanahitajika. Kutoka somo hadi somo, mwaka hadi mwaka. Itakusaidia kupata ujuzi muhimu wa hesabu ya akili.

Orodha ya fasihi iliyotumika

1. Wangqiang: Kitabu cha kiada cha darasa la 5. - Samara: Nyumba ya uchapishaji

"Fedorov", 1999.

2., Ulimwengu wa nambari wa Ahadov: Kitabu cha wanafunzi, - M. Elimu, 1986.

3. "Kutoka kucheza hadi ujuzi", M., "Enlightenment" 1982.

4. Svechnikov, takwimu, matatizo M., Elimu, 1977.

5. http://matsievsky. *****/sys-schi/file15.htm

6. http://*****/mod/1/6506/hystory. html