Safu mlalo zinazopishana. ishara ya Leibniz.
Muunganiko kamili na wa masharti
Ili kuelewa mifano ya somo hili, unahitaji kuwa na uelewa mzuri wa safu chanya ya nambari: kuelewa mfululizo ni nini, kujua ishara muhimu kwa muunganisho wa safu, kuwa na uwezo wa kutumia vipimo vya kulinganisha, mtihani wa d'Alembert. , mtihani wa Cauchy. Mada inaweza kuinuliwa karibu kutoka mwanzo kwa kusoma makala mara kwa mara Safu kwa dummies Na Ishara ya D'Alembert. Ishara za Cauchy. Kimantiki, somo hili ni la tatu mfululizo, na itakuruhusu sio tu kuelewa safu zinazobadilishana, lakini pia kuunganisha nyenzo zilizofunikwa tayari! Kutakuwa na riwaya kidogo, na kusimamia safu zinazobadilishana haitakuwa ngumu. Kila kitu ni rahisi na kinapatikana.
Mfululizo mbadala ni nini? Hii ni wazi au karibu wazi kutoka kwa jina lenyewe. Mfano rahisi tu.
Wacha tuangalie safu na tueleze kwa undani zaidi:
Na sasa kutakuwa na maoni ya muuaji. Wanachama wa mfululizo unaopishana wana ishara zinazopishana: plus, minus, plus, minus, plus, minus, n.k. kwa usio na mwisho.
Alignment hutoa kizidishi: ikiwa hata, basi kutakuwa na ishara ya kuongeza, ikiwa isiyo ya kawaida, kutakuwa na ishara ya kuondoa (kama unavyokumbuka kutoka kwa somo. kuhusu mlolongo wa nambari, jambo hili linaitwa "mwanga unaowaka"). Kwa hivyo, mfululizo wa kubadilishana "unatambuliwa" kwa kuondoa moja hadi shahada "en".
Katika mifano ya vitendo, ubadilishaji wa masharti ya safu unaweza kutolewa sio tu na mzidishaji, bali pia na ndugu zake: , , , .... Kwa mfano:
Shimo ni "udanganyifu": , , nk. - multipliers vile usitoe mabadiliko ya ishara. Ni wazi kabisa kwamba kwa asili yoyote:,,,. Safu zilizo na udanganyifu huteleza sio tu kwa wanafunzi wenye vipawa, huibuka mara kwa mara "wenyewe" wakati wa suluhisho. mfululizo wa kazi.
Jinsi ya kukagua safu mbadala ya muunganisho? Tumia jaribio la Leibniz. Sitaki kusema chochote kuhusu jitu la mawazo la Ujerumani Gottfried Wilhelm Leibniz, kwani pamoja na kazi za hisabati, aliandika vitabu kadhaa vya falsafa. Hatari kwa ubongo.
Mtihani wa Leibniz: Ikiwa washiriki wa mfululizo mbadala monotonously kupungua kwa moduli, kisha mfululizo huungana.
Au katika nukta mbili:
1) Mfululizo unabadilika.
2) Masharti ya mfululizo hupungua kwa moduli: , na kupungua kwa monotonically.
Ikiwa masharti haya yametimizwa, basi safu huungana.
Taarifa fupi kuhusu moduli imetolewa katika mwongozo Fomula moto za kozi ya hisabati ya shule, lakini kwa urahisi tena:
"modulo" inamaanisha nini? Moduli, kama tunavyokumbuka kutoka shuleni, "hula" ishara ya minus. Hebu turudi kwenye safu 
. Futa kiakili ishara zote na kifutio na tuangalie namba. Tutaona hilo kila ijayo mwanachama wa mfululizo kidogo kuliko ya awali. Kwa hivyo, misemo ifuatayo ina maana sawa:
- Wanachama wa mfululizo bila kujali ishara zinapungua.
- Wanachama wa safu hupungua moduli.
- Wanachama wa safu hupungua Na thamani kamili.
– Moduli muda wa kawaida wa mfululizo huwa sifuri:
// Mwisho wa msaada
Sasa hebu tuzungumze kidogo juu ya monotoni. Monotony ni uthabiti wa kuchosha.
Wajumbe wa mfululizo madhubuti monotonous kupungua kwa moduli ikiwa KILA mwanachama ANAYEFUATA wa mfululizo moduli CHINI kuliko awali:. Kwa safu Monotonicity kali ya kupungua inatimizwa; inaweza kuelezewa kwa undani: 
Au tunaweza kusema kwa ufupi: kila mshiriki anayefuata wa safu moduli chini ya ile iliyotangulia:.
Wajumbe wa mfululizo si madhubuti monotonous kupungua kwa modulo ikiwa KILA mshiriki AKIFUATAYE wa modulo ya mfululizo SI KUBWA kuliko ile iliyotangulia: . Fikiria mfululizo na factorial: 
Hapa kuna monotonicity huru, kwani maneno mawili ya kwanza ya mfululizo yanafanana katika moduli. Hiyo ni, kila mshiriki anayefuata wa safu moduli si zaidi ya ile iliyotangulia:.
Chini ya masharti ya nadharia ya Leibniz, kupungua kwa monotonicity lazima kuridhishwe (haijalishi ikiwa ni kali au isiyo kali). Kwa kuongeza, wanachama wa mfululizo wanaweza hata kuongezeka kwa moduli kwa muda, lakini "mkia" wa mfululizo lazima lazima iwe kupungua kwa monotonically.
Hakuna haja ya kuogopa kile nilichokusanya; mifano ya vitendo itaweka kila kitu mahali pake:
Mfano 1
Neno la kawaida la mfululizo linajumuisha kipengele cha kipengele , na hii inaleta wazo la asili la kuangalia ikiwa masharti ya jaribio la Leibniz yametimizwa:
1) Kuangalia safu kwa ubadilishaji. Kawaida katika hatua hii mfululizo wa uamuzi unaelezwa kwa undani 
na tamka hukumu "Mfululizo unapishana."
2) Je, masharti ya mfululizo yanapungua kwa thamani kamili? Hapa unahitaji kutatua kikomo, ambacho mara nyingi ni rahisi sana.
- masharti ya mfululizo hayapungui katika modulus, na hii ina maana moja kwa moja utofauti wake - kwa sababu kikomo 
haipo *, yaani, kigezo muhimu cha muunganisho wa mfululizo hakijatimizwa.
Mfano 9
Chunguza mfululizo kwa muunganiko
Mfano 10
Chunguza mfululizo kwa muunganiko 
Baada ya utafiti wa hali ya juu wa mfululizo chanya na mbadala wa nambari, ukiwa na dhamiri safi, unaweza kuendelea na mfululizo wa kazi, ambao sio chini ya monotonous na monotonously kuvutia.
Ikiwa kwa mfululizo wa nambari mbadala
Masharti mawili yanatimizwa:
1. Masharti ya mfululizo hupungua kwa thamani kamili u 1>u 2>…>wewe n>…,
2. 
kisha mfululizo (19) huungana, na jumla yake ni chanya na haizidi muhula wa kwanza wa mfululizo.
Matokeo. Salio ya mfululizo wa Leibniz ina ishara ya muda wake wa kwanza na ni chini yake kwa thamani kamili, i.e.
Ikiwa katika mfululizo unaobadilishana masharti ya mfululizo yanapungua kwa monotonically katika maadili kamili na imU n =0 (nà∞), basi mfululizo huunganishwa.
Imetolewa: U 1 >U 2 >U 3 >... ; imU n =0 (nà∞); U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +... , U i >0
Uthibitisho: S 2 n ¾ kiasi hata kidogo:
S 2n =+U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +...-U 2n;
S 2n =(U 1 -U 2)+(U 3 -U 4)+...+(U 2n-1 -U 2n);
S 2n >0 ¾ huongezeka.
S 2n =U 1 -(U 2 -U 3)-(U 4 -U 5)-...-U 2n; S 2n 0; imS 2n =S (nà∞)
imS 2n+1 (nà∞) = im(S 2n +U 2n+1)=S;
Hesabu hata na isiyo ya kawaida na kikomo sawa => safu huungana.
1) Kumbuka kuwa S>0, i.e. ishara ya jumla inaambatana na ishara ya muhula wa kwanza.
38.Muunganiko kamili na wa masharti.
O. Tazama mfululizo 
(1)
inayoitwa ishara ya kubadilishana.
Mtihani wa Leibniz(chora alama ya safu).
Ili mfululizo (1) сх-я inatosha kwamba maadili kamili hupungua na → 0 kama n huongezeka, i.e.
O. Ikiwa mfululizo una thamani kamili za kiasi 
cx-xia, basi mfululizo huo unasemekana kuungana kabisa.
Nadharia: Ikiwa mfululizo ni cx-xia kabisa, basi mfululizo wa asili ni xx-xia.
Hati: ishara 1 ya kulinganisha
Fikiria safu 
- safu ya maadili kamili ya idadi
Sx imethibitishwa kulingana na kigezo cha 2 cha ulinganisho, kufuatia ambayo mfululizo wa ref sx ni kabisa.
A. Ikiwa mfululizo, picha kutoka kwa thamani kamili za kiasi chake, ni exp-xia, na mfululizo wa asili ni cx-xia, basi inaitwa xx-xia kwa masharti.
39.Dhana ya mfululizo wa nguvu. Eneo la muunganisho wa mfululizo wa nishati. Nadharia ya Abeli.
Mfululizo wa fomu , ambapo nambari huitwa coefficients mfululizo, x- kutofautiana, kuitwa sedate ijayo. Muda (-R;R) unaitwa muda wa mfululizo wa hatua. Kumbuka kwamba kwa x €(-R;R) mfululizo huungana kabisa, na kwa pointi x= ± R mfululizo wa nishati unaweza kuungana au kutofautiana. Ili kupata radius ya muunganisho, unaweza kutumia majaribio ya D'Alembert au Cauchy. Nadharia. Kama ipo | a n +1 / a n |=L, kisha R=1/L= | a n / a n +1 |. (Doc. Zingatia mfululizo wa n x n . Tumia mtihani wa d’Alembert kwake. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Inafuata kwamba ikiwa L ∙|x|<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, kisha mfululizo hutofautiana. Nadharia imethibitishwa.) Kumbuka kwamba ikiwa L=0, kwa yoyote | x | kisha R=∞. Ikiwa L=∞, kwa x≠0 yoyote, basi R=0. Ikiwa R=0, basi mfululizo huungana katika hatua moja x 0 =0; ikiwa R=∞, basi mfululizo huungana kwenye mstari mzima wa nambari. Kwa hivyo, muda wa muunganisho wa mfululizo n x n ni (-R;R) . Ili kupata eneo la muunganisho wa safu, ni muhimu kuchunguza kando muunganisho katika pointi x=R na x=-R; kulingana na matokeo ya utafiti huu, eneo la kilimo la mfululizo linaweza kuwa moja ya vipindi: [-R;R],(-R;R),[-R;R],(-R;R]. Nadharia ya Abeli: 1) Ikiwa safu ya nishati ya n x n itabadilika kuwa x=x 0, basi itaungana kabisa kwa x zote zinazokidhi ukosefu wa usawa |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>| x 1 |. (Doc. 1) Kwa kuwa mfululizo wa nambari n x 0 n huungana, basi n x 0 n =0. Hii ina maana kwamba mlolongo wa nambari (a n x 0 n ) ni mdogo. Kisha tunaandika upya mfululizo wa nguvu kwa njia ya 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) +…+… = a n x 0 n (x/x 0) 2 . Hebu fikiria mfululizo wa maadili kamili. | 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. Lakini basi, kulingana na sehemu ya 1 ya nadharia, mfululizo wa nguvu huungana kwa wote | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)
Ufafanuzi. Msururu wa ishara zinazopishana huitwa kupishana ikiwa istilahi zake jirani zina ishara tofauti.
Mifano ya mfululizo mbadala ni maendeleo ya kijiometri na madhehebu hasi.
Kwa mfululizo wa ishara zinazopishana kuna jaribio la muunganiko la jumla, nyeti na la vitendo, kutokana na Leibniz.
Theorem (mtihani wa muunganisho wa Leibniz). Ikiwa maadili kamili ya masharti ya safu mbadala
tengeneza mlolongo usio na ongezeko la monotonically unaoelekea sifuri, yaani ikiwa
kisha mfululizo (4.32) huungana.
Ushahidi. Tuna kitu kwa kila mtu
au, kuchanganya wanachama katika vikundi (jumla ina idadi maalum ya masharti, na kwa hiyo sheria za msingi za utekelezaji ni halali hapa bila vikwazo vyovyote);
Kulingana na mlolongo usioongezeka wa maadili kamili ya masharti ya mfululizo, mabano yote yana nambari zisizo hasi. Kwa hivyo,
Kwa hivyo, hesabu za sehemu za mfululizo (4.32) zilizo na nambari sawa zinajumuisha mlolongo uliowekwa.
Kwa upande mwingine, kwa sababu ya monotoni sawa
na kwa hivyo mlolongo wa kiasi kidogo na nambari sawa haupunguki. Kwa hivyo mlolongo huu una kikomo
Mipaka yote ya kulia ipo, na ya pili ni sawa na sifuri kwa hali. Kwa hiyo, kuna kikomo upande wa kushoto, na kwa ajili yake
Pamoja na (4.35) hii inatupa
ambayo ndiyo ilitakiwa.
Matokeo. Kwa mfululizo mbadala unaoridhisha jaribio la muunganiko wa Leibniz, salio linaweza kukadiriwa kutoka juu kwa thamani kamili:
Kwa kweli, iliyobaki inaweza kuzingatiwa kama jumla ya safu
ambayo, kama ifuatavyo kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa, haizidi kwa thamani kamili muda wake wa kwanza, ambao katika kesi hii ni.
Mfano. Inatumika kwa mfululizo
Ishara ya Leibniz inatoa
ambayo inamaanisha kuwa mfululizo unaungana. (Muunganisho huu ulianzishwa kwa hesabu za moja kwa moja katika § 2.)
Tunaona kwamba jaribio la muunganiko la Leibniz ni pana sana katika utumiaji, linatekelezeka sana na ni nyeti kabisa. Hili halipingani na yale yaliyosemwa mwishoni mwa § 5 ya Sura ya 3: muunganiko wa masharti wa mfululizo mbadala ni "kwa wastani," kwa kusema, ukweli mpana zaidi kuliko muunganiko wa mfululizo wenye masharti chanya; kwa hiyo, inageuka kuwa rahisi kwa namna fulani kuitambua.
Hebu tukumbuke, hatimaye, kwamba kigezo cha Leibniz sio tu cha kutosha, lakini pia ni kigezo muhimu cha muunganisho kwa mfululizo wa ishara zinazobadilishana na masharti ya kupungua kwa monotonically: ikiwa basi, kwa kuzingatia kigezo muhimu cha muunganisho kutoka kwa § 6 ya Sura ya 2, mfululizo.
haiwezi kuungana.
Nadharia imeundwa kama ifuatavyo. Mfululizo wa kubadilishana
hubadilika ikiwa masharti yote mawili yametimizwa:
Matokeo
Muhtasari unafuata kutoka kwa nadharia ya Leibniz inayoturuhusu kukadiria hitilafu katika kukokotoa jumla isiyokamilika ya mfululizo:
Salio la mfululizo unaopishana R n = S − S n itakuwa chini ya thamani kamili kuliko muhula wa kwanza uliotupwa:
Vyanzo
- Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Mwongozo wa Hisabati. - Mh. 7, dhana potofu. - M.: Nyumba ya Uchapishaji ya Jimbo la Fasihi ya Kiufundi na Kinadharia, 1967. - P. 296.
Wikimedia Foundation. 2010.
Tazama "Ishara ya Leibniz" ni nini katika kamusi zingine:
Kigezo cha Dirichlet ni nadharia inayoonyesha hali ya kutosha kwa muunganisho wa viambatanisho visivyofaa na muhtasari wa mfululizo usio na kikomo. Imetajwa baada ya mwanahisabati wa Ujerumani Lejeune Dirichlet. Yaliyomo... Wikipedia
Jaribio la Dini ni jaribio la muunganisho wa uhakika wa mfululizo wa Fourier. Licha ya ukweli kwamba safu ya kazi ya Fourier kutoka huungana kwake kwa maana ya kawaida, hailazimiki kabisa kuungana nayo kwa maana (hata katika kesi ya kazi inayoendelea). Hata hivyo, pamoja na baadhi ... ... Wikipedia
Ishara ya kulinganisha ni taarifa kuhusu samtidiga ya tofauti au muunganiko wa mfululizo mbili, kulingana na ulinganisho wa masharti ya mfululizo huu. Yaliyomo 1 Uundaji 2 Uthibitisho ... Wikipedia
Jaribio la muunganiko wa mfululizo wa nambari, uliopendekezwa na Lobachevsky kati ya 1834 na 1836. Hebu kuwe na mlolongo unaopungua wa nambari chanya, kisha mfululizo huungana au kutofautiana kwa wakati mmoja na mfululizo... Wikipedia
Ishara ya muunganiko wa mfululizo wa Fourier: ikiwa kitendakazi cha muda kina tofauti ndogo kwenye sehemu, basi mfululizo wake wa Fourier huungana katika kila nukta hadi nambari; ikiwa kazi ni endelevu kwenye sehemu... Wikipedia
- (Jaribio la Raabe Duhamel) jaribio la muunganiko wa safu chanya ya nambari, iliyoanzishwa na Joseph Ludwig Raabe na kwa kujitegemea na Jean Marie Duhamel. Yaliyomo 1 Uundaji 2 Mfumo ... Wikipedia
Jaribio la muunganiko wa mfululizo wa nambari na masharti chanya, iliyoanzishwa na Joseph Bertrand. Yaliyomo 1 Uundaji 2 Uundaji katika muundo uliokithiri ... Wikipedia
Kigezo cha jumla cha muunganiko wa mfululizo wa nambari na maneno mazuri, iliyoanzishwa mwaka wa 1812 na Carl Gauss, wakati wa kusoma muunganisho wa mfululizo wa hypergeometric. Uundaji Acha mfululizo na mlolongo mdogo wa nambari utolewe. Kisha ikiwa ... ... Wikipedia
Jaribio la muunganisho wa safu ya nambari na masharti chanya, iliyoanzishwa na Vasily Ermakov. Umaalumu wake upo katika ukweli kwamba inapita ishara nyingine zote katika unyeti wake. Kazi hii ilichapishwa katika makala: “Nadharia ya jumla... ... Wikipedia
Jaribio la muunganiko wa mfululizo wa nambari na masharti chanya, lililoanzishwa na Pierre Jamet. Yaliyomo 1 Uundaji 2 Uundaji katika muundo uliokithiri ... Wikipedia