Za co odpowiada normalne przyspieszenie? Przyśpieszenie

Przyspieszenie dośrodkowe- składowa przyspieszenia punktu, charakteryzująca prędkość zmiany kierunku wektora prędkości dla trajektorii z krzywizną (druga składowa, przyspieszenie styczne, charakteryzuje zmianę modułu prędkości). Skierowany w stronę środka krzywizny trajektorii, skąd pochodzi to określenie. Wartość jest równa kwadratowi prędkości podzielonej przez promień krzywizny. Termin „przyspieszenie dośrodkowe” jest równoznaczny z terminem „ normalne przyspieszenie" Ta składowa sumy sił, która powoduje to przyspieszenie, nazywa się siłą dośrodkową.

Najprostszym przykładem przyspieszenia dośrodkowego jest wektor przyspieszenia podczas ruchu jednostajnego po okręgu (zwróconego w stronę środka okręgu).

Szybkie przyspieszenie w rzucie na płaszczyznę prostopadłą do osi wydaje się dośrodkowy.

Encyklopedyczny YouTube

  • 1 / 5

    ZA n = v 2 R (\ Displaystyle a_ (n) = (\ Frac (v ^ (2)) (R)) \ ) za n = ω 2 R , (\ Displaystyle a_ (n) = \ omega ^ (2) R \,)

    Gdzie za n (\ displaystyle a_ (n) \ )- przyspieszenie normalne (dośrodkowe), v (\ displaystyle v \)- (chwilowa) liniowa prędkość ruchu po trajektorii, ω (\ displaystyle \ omega \)- (chwilowa) prędkość kątowa tego ruchu względem środka krzywizny trajektorii, R (\ displaystyle R \)- promień krzywizny trajektorii w danym punkcie. (Powiązanie między pierwszą formułą a drugą jest oczywiste, biorąc pod uwagę v = ω R (\ displaystyle v = \ omega R \)).

    Powyższe wyrażenia zawierają wartości bezwzględne. Można je łatwo zapisać w postaci wektorowej, mnożąc przez mi R (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (R))- wektor jednostkowy od środka krzywizny trajektorii do zadanego punktu:

    za n = v 2 R mi R = v 2 R 2 R (\ Displaystyle \ mathbf (a) _ (n) = (\ Frac (v ^ (2)) (R)) \ mathbf (e) _ (R) = (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) za n = ω 2 R . (\ Displaystyle \ mathbf (a) _ (n) = \ omega ^ (2) \ mathbf (R).)

    Wzory te mają jednakowe zastosowanie w przypadku ruchu ze stałą (w wartości bezwzględnej) prędkością oraz w przypadku dowolnym. Jednak w drugim przypadku należy pamiętać, że przyspieszenie dośrodkowe nie jest pełnym wektorem przyspieszenia, a jedynie jego składową prostopadłą do trajektorii (lub co za tym idzie, prostopadłą do wektora prędkości chwilowej); pełny wektor przyspieszenia zawiera wówczas również składową styczną ( przyspieszenie styczne) za τ = re v / re t (\ displaystyle a _ (\ tau) = dv / dt \ ), w kierunku zgodnym ze styczną do trajektorii (lub, co to samo, z prędkością chwilową).

    Motywacja i podsumowanie

    Fakt, że rozkład wektora przyspieszenia na składowe – jedną styczną do trajektorii wektora (przyspieszenie styczne) i drugą ortogonalną (przyspieszenie normalne) – może być wygodny i użyteczny, jest sam w sobie dość oczywisty. Podczas poruszania się ze stałą prędkością modułu składowa styczna staje się równa zeru, czyli w tym ważnym konkretnym przypadku pozostaje tylko normalny komponent. Ponadto, jak widać poniżej, każdy z tych składników ma jasno określone właściwości i strukturę, a przyspieszenie normalne zawiera w strukturze swojego wzoru dość istotną i nietrywialną treść geometryczną. Nie wspominając już o ważnym szczególnym przypadku ruchu po okręgu.

    Wniosek formalny

    Rozkład przyspieszenia na składową styczną i normalną (drugim z nich jest przyspieszenie dośrodkowe lub normalne) można znaleźć różniczkując wektor prędkości po czasie, przedstawiony w postaci v = v mi τ (\ Displaystyle \ mathbf (v) = v \, \ mathbf (e) _ (\ tau)} poprzez wektor styczny jednostkowy mi τ (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (\ tau)}:

    za = re v re t = re (v mi τ) re t = re v re t mi τ + v re mi τ re t = re v re t mi τ + v re mi τ re l re l re t = re v re t mi τ + v 2 R mi n , (\ displaystyle \ mathbf (a) = (\ frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( N)\ ,)

    Tutaj używamy zapisu wektora jednostkowego normalnego do trajektorii i l (\ displaystyle l \)- dla aktualnej długości trajektorii ( l = l (t) (\ Displaystyle l = l (t) \)); ostatnie przejście również wykorzystuje to, co oczywiste re l / re t = v (\ displaystyle dl/dt = v \).

    v 2 R mi n (\ Displaystyle (\ Frac (v ^ (2)) (R)) \ mathbf (e) _ (n) \ )

    Przyspieszenie normalne (dośrodkowe). Co więcej, jego znaczenie, znaczenie zawartych w nim przedmiotów, a także dowód na to, że jest on rzeczywiście ortogonalny do wektora stycznego (tzn. mi n (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (n) \)- tak naprawdę wektor normalny) - wynika z rozważań geometrycznych (jednak fakt, że pochodna dowolnego wektora o stałej długości po czasie jest prostopadła do tego wektora, jest faktem dość prostym; w tym przypadku stosujemy to stwierdzenie do re mi τ re t (\ Displaystyle (\ Frac (d \ mathbf (e) _ (\ tau)) (dt)}}

    Notatki

    Łatwo zauważyć, że wartość bezwzględna przyspieszenia stycznego zależy wyłącznie od przyspieszenia gruntu, co pokrywa się z jego wartością bezwzględną, w odróżnieniu od wartości bezwzględnej przyspieszenia normalnego, które nie zależy od przyspieszenia gruntu, lecz zależy od prędkość względem ziemi.

    Przedstawione tutaj metody lub ich odmiany można zastosować do wprowadzenia pojęć takich jak krzywizna krzywej i promień krzywizny krzywej (ponieważ w przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, R pokrywa się z promieniem takiego okręgu; nie jest też zbyt trudno wykazać, że okrąg leży na płaszczyźnie mi τ , mi n (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (\ tau), e_ (n) \ ) ze środkiem w kierunku mi n (\ displaystyle e_ (n) \ ) z danego punktu na odległość R z niego - będzie pokrywać się z zadaną krzywą - trajektorią - aż do drugiego rzędu wielkości w odległości do danego punktu).

    Fabuła

    Pierwszym, który uzyskał prawidłowe wzory na przyspieszenie dośrodkowe (lub siłę odśrodkową), był najwyraźniej Huygens. Niemal od tego czasu rozważanie przyspieszenia dośrodkowego stało się częścią zwykłej techniki rozwiązywania problemów mechanicznych itp.

    Nieco później wzory te odegrały znaczącą rolę w odkryciu prawa powszechnego ciążenia (wzór na przyspieszenie dośrodkowe posłużył do uzyskania prawa zależności siły grawitacji od odległości do źródła grawitacji, w oparciu o trzecie prawo Keplera wynika z obserwacji).

    W XIX wieku rozważanie przyspieszenia dośrodkowego stało się całkowicie rutynowe zarówno w czystej nauce, jak i zastosowaniach inżynieryjnych.

    Na przykład samochód, który zaczyna się poruszać, porusza się szybciej, gdy zwiększa swoją prędkość. W momencie rozpoczęcia ruchu prędkość samochodu wynosi zero. Po rozpoczęciu jazdy samochód przyspiesza do określonej prędkości. Jeśli będziesz musiał zahamować, samochód nie będzie mógł zatrzymać się natychmiast, ale z czasem. Oznacza to, że prędkość samochodu będzie dążyć do zera - samochód zacznie poruszać się powoli, aż do całkowitego zatrzymania. Ale w fizyce nie ma terminu „spowolnienie”. Jeśli ciało porusza się, zmniejszając prędkość, proces ten nazywa się również przyśpieszenie, ale ze znakiem „-”.

    Średnie przyspieszenie nazywa się stosunkiem zmiany prędkości do okresu czasu, w którym ta zmiana nastąpiła. Oblicz średnie przyspieszenie korzystając ze wzoru:

    gdzie to jest . Kierunek wektora przyspieszenia jest taki sam, jak kierunek zmiany prędkości Δ = - 0

    gdzie 0 to prędkość początkowa. W pewnym momencie t 1(patrz rysunek poniżej) na korpusie 0. W pewnym momencie t 2 ciało ma prędkość. Na podstawie zasady odejmowania wektorów wyznaczamy wektor zmiany prędkości Δ = - 0. Stąd obliczamy przyspieszenie:

    .

    W układzie SI jednostka przyspieszenia zwany 1 metr na sekundę na sekundę (lub metr na sekundę do kwadratu):

    .

    Metr na sekundę do kwadratu to przyspieszenie punktu poruszającego się prostoliniowo, przy którym prędkość tego punktu wzrasta o 1 m/s w ciągu 1 sekundy. Innymi słowy, przyspieszenie określa stopień zmiany prędkości ciała w ciągu 1 sekundy. Na przykład, jeśli przyspieszenie wynosi 5 m/s2, to prędkość ciała wzrasta o 5 m/s co sekundę.

    Chwilowe przyspieszenie ciała (punkt materialny) w danym momencie jest wielkością fizyczną równą granicy, do której dąży średnie przyspieszenie w miarę zbliżania się przedziału czasu do 0. Inaczej mówiąc, jest to przyspieszenie uzyskane przez ciało w bardzo krótkim czasie:

    .

    Przyspieszenie ma ten sam kierunek, co zmiana prędkości Δ w niezwykle krótkich okresach czasu, podczas których prędkość się zmienia. Wektor przyspieszenia można określić za pomocą rzutów na odpowiednie osie współrzędnych w danym układzie odniesienia (rzuty a X, a Y, a Z).

    Przy przyspieszonym ruchu liniowym prędkość ciała wzrasta w wartości bezwzględnej, tj. v 2 > v 1 , a wektor przyspieszenia ma ten sam kierunek co wektor prędkości 2 .

    Jeżeli prędkość ciała maleje w wartości bezwzględnej (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем spowolnienie(przyspieszenie jest ujemne i< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

    Jeżeli ruch odbywa się po zakrzywionej ścieżce, wówczas zmienia się wielkość i kierunek prędkości. Oznacza to, że wektor przyspieszenia jest przedstawiony jako dwie składowe.

    Przyspieszenie styczne (styczne). Nazywają tę składową wektora przyspieszenia, która jest skierowana stycznie do trajektorii w danym punkcie trajektorii ruchu. Przyspieszenie styczne opisuje stopień zmiany prędkości modulo podczas ruchu krzywoliniowego.


    U styczny wektor przyspieszeniaτ (patrz rysunek powyżej) kierunek jest taki sam jak prędkość liniowa lub przeciwny do niego. Te. styczny wektor przyspieszenia leży na tej samej osi co styczny okręg, będący trajektorią ciała.

    Przyspieszenie we wzorze kinematycznym. Przyspieszenie w definicji kinematyki.

    Co to jest przyspieszenie?

    Prędkość może się zmieniać podczas jazdy.

    Prędkość jest wielkością wektorową.

    Wektor prędkości może zmieniać kierunek i wielkość, tj. W rozmiarze. Aby uwzględnić takie zmiany prędkości, stosuje się przyspieszenie.

    Definicja przyspieszenia

    Definicja przyspieszenia

    Przyspieszenie jest miarą dowolnej zmiany prędkości.

    Przyspieszenie, zwane także przyspieszeniem całkowitym, jest wektorem.

    Wektor przyspieszenia

    Wektor przyspieszenia jest sumą dwóch innych wektorów. Jeden z tych wektorów nazywany jest przyspieszeniem stycznym, a drugi przyspieszeniem normalnym.

    Opisuje zmianę wielkości wektora prędkości.

    Opisuje zmianę kierunku wektora prędkości.

    Podczas poruszania się po linii prostej kierunek prędkości się nie zmienia. W tym przypadku normalne przyspieszenie wynosi zero, a przyspieszenie całkowite i styczne pokrywają się.

    Przy ruchu jednostajnym moduł prędkości się nie zmienia. W tym przypadku przyspieszenie styczne wynosi zero, a przyspieszenie całkowite i normalne są takie same.

    Jeśli ciało wykonuje ruch jednostajny prostoliniowy, to jego przyspieszenie wynosi zero. A to oznacza, że ​​składowe całkowitego przyspieszenia, tj. przyspieszenie normalne i przyspieszenie styczne również wynoszą zero.

    Pełny wektor przyspieszenia

    Całkowity wektor przyspieszenia jest równy sumie geometrycznej przyspieszeń normalnych i stycznych, jak pokazano na rysunku:

    Wzór na przyspieszenie:

    za = za n + za t

    Pełny moduł przyspieszający

    Moduł pełnego przyspieszenia:

    Kąt alfa między wektorem całkowitego przyspieszenia a przyspieszeniem normalnym (czyli kąt między wektorem całkowitego przyspieszenia a wektorem promienia):

    Należy pamiętać, że wektor całkowitego przyspieszenia nie jest skierowany stycznie do trajektorii.

    Styczny wektor przyspieszenia jest skierowany wzdłuż stycznej.

    Kierunek wektora przyspieszenia całkowitego jest określony przez sumę wektorów przyspieszenia normalnego i stycznego.



    Przyśpieszenie jest wielkością charakteryzującą szybkość zmiany prędkości.

    Na przykład, gdy samochód zaczyna się poruszać, zwiększa swoją prędkość, czyli porusza się szybciej. Na początku jego prędkość wynosi zero. Poruszając się, samochód stopniowo przyspiesza do określonej prędkości. Jeśli po drodze zapali się czerwone światło, samochód się zatrzyma. Ale to nie zatrzyma się natychmiast, ale z czasem. Oznacza to, że jego prędkość spadnie do zera - samochód będzie jechał powoli, aż do całkowitego zatrzymania. Jednak w fizyce nie ma terminu „spowolnienie”. Jeśli ciało się porusza, zwalnia, to będzie to również przyspieszenie ciała, tylko ze znakiem minus (jak pamiętacie, jest to wielkość wektorowa).


    > jest stosunkiem zmiany prędkości do okresu czasu, w którym ta zmiana nastąpiła. Średnie przyspieszenie można wyznaczyć ze wzoru:

    Gdzie - wektor przyspieszenia.

    Kierunek wektora przyspieszenia pokrywa się z kierunkiem zmiany prędkości Δ = - 0 (tutaj 0 jest prędkością początkową, czyli prędkością, z jaką ciało zaczęło przyspieszać).

    W chwili t1 (patrz rys. 1.8) ciało porusza się z prędkością 0. W chwili t2 ciało nabiera prędkości. Zgodnie z zasadą odejmowania wektorów znajdujemy wektor zmiany prędkości Δ = - 0. Następnie możesz określić przyspieszenie w następujący sposób:

    Ryż. 1.8. Średnie przyspieszenie.

    W SI jednostka przyspieszenia– wynosi 1 metr na sekundę na sekundę (lub metr na sekundę do kwadratu).

    Metr na sekundę do kwadratu równa się przyspieszeniu punktu poruszającego się prostoliniowo, przy którym prędkość tego punktu wzrasta o 1 m/s w ciągu jednej sekundy. Innymi słowy, przyspieszenie określa, o ile zmienia się prędkość ciała w ciągu jednej sekundy. Na przykład, jeśli przyspieszenie wynosi 5 m/s2, oznacza to, że prędkość ciała wzrasta o 5 m/s co sekundę.


    Chwilowe przyspieszenie ciała (punkt materialny) w danym momencie czasu jest wielkością fizyczną równą granicy, do której dąży średnie przyspieszenie w miarę zbliżania się przedziału czasu do zera. Innymi słowy, jest to przyspieszenie, jakie ciało rozwija w bardzo krótkim czasie:

    Kierunek przyspieszenia pokrywa się również z kierunkiem zmiany prędkości Δ dla bardzo małych wartości przedziału czasu, w którym następuje zmiana prędkości. Wektor przyspieszenia można wyznaczyć poprzez rzuty na odpowiednie osie współrzędnych w danym układzie odniesienia (rzuty a X, a Y, a Z).

    Przy przyspieszonym ruchu liniowym prędkość ciała wzrasta w wartości bezwzględnej, to znaczy

    Jeśli prędkość ciała maleje w wartości bezwzględnej, tj

    V 2, wówczas kierunek wektora przyspieszenia jest przeciwny do kierunku wektora prędkości 2. Innymi słowy, w tym przypadku dzieje się tak spowolnienie, w tym przypadku przyspieszenie będzie ujemne (i

    Ryż. 1.9. Natychmiastowe przyspieszenie.

    Podczas poruszania się po zakrzywionej ścieżce zmienia się nie tylko moduł prędkości, ale także jego kierunek. W tym przypadku wektor przyspieszenia jest reprezentowany jako dwie składowe (patrz następna sekcja).


    Przyspieszenie styczne (styczne).– jest to składowa wektora przyspieszenia skierowana wzdłuż stycznej do trajektorii w danym punkcie trajektorii ruchu. Przyspieszenie styczne charakteryzuje zmianę prędkości modulo podczas ruchu krzywoliniowego.

    Ryż. 1.10. Przyspieszenie styczne.

    Kierunek stycznego wektora przyspieszenia τ (patrz rys. 1.10) pokrywa się z kierunkiem prędkości liniowej lub jest do niego przeciwny. Oznacza to, że styczny wektor przyspieszenia leży na tej samej osi co styczny okręg, który jest trajektorią ciała.

    Normalne przyspieszenie

    Normalne przyspieszenie jest składową wektora przyspieszenia skierowaną wzdłuż normalnej do trajektorii ruchu w danym punkcie trajektorii ciała. Oznacza to, że normalny wektor przyspieszenia jest prostopadły do ​​liniowej prędkości ruchu (patrz ryc. 1.10). Przyspieszenie normalne charakteryzuje zmianę prędkości w kierunku i jest oznaczone literą n. Wektor przyspieszenia normalnego jest skierowany wzdłuż promienia krzywizny trajektorii.

    Pełne przyspieszenie

    Pełne przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym składa się z przyspieszeń stycznych i normalnych zgodnie z zasadą dodawania wektorów i jest określony wzorem:

    (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla prostokąta).

    = τ + rz

    Rozkład normalny jest najczęstszym rodzajem rozkładu. Spotyka się go przy analizie błędów pomiarowych, monitorowaniu procesów i trybów technologicznych, a także przy analizie i przewidywaniu różnych zjawisk w biologii, medycynie i innych dziedzinach wiedzy.

    Terminu „rozkład normalny” używa się w sensie warunkowym, ogólnie przyjętym w literaturze, chociaż nie do końca udanym. Zatem stwierdzenie, że dana cecha podlega prawu rozkładu normalnego, wcale nie oznacza istnienia jakichkolwiek niewzruszonych norm, które rzekomo leżą u podstaw zjawiska, którego dana cecha jest odzwierciedleniem, a poddanie się innym prawom rozkładu nie oznacza jakiegoś rodzaju nienormalności tego zjawiska.

    Główną cechą rozkładu normalnego jest to, że stanowi granicę, do której zbliżają się inne rozkłady. Rozkład normalny został po raz pierwszy odkryty przez Moivre’a w 1733 roku. Tylko ciągłe zmienne losowe podlegają prawu normalnemu. Gęstość prawa rozkładu normalnego ma postać .

    Oczekiwanie matematyczne dla prawa rozkładu normalnego wynosi . Wariancja jest równa .

    Podstawowe własności rozkładu normalnego.

    1. Funkcja gęstości rozkładu jest zdefiniowana na całej osi liczbowej Oh , czyli każdą wartość X odpowiada bardzo określonej wartości funkcji.

    2. Dla wszystkich wartości X (zarówno dodatnia, jak i ujemna) funkcja gęstości przyjmuje wartości dodatnie, czyli krzywa normalna znajduje się powyżej osi Oh .

    3. Granica funkcji gęstości z nieograniczonym wzrostem X równy zeru, .

    4. Funkcja gęstości rozkładu normalnego w punkcie ma maksimum .

    5. Wykres funkcji gęstości jest symetryczny względem prostej.

    6. Krzywa rozkładu ma dwa punkty przegięcia wraz ze współrzędnymi I .

    7. Tryb i mediana rozkładu normalnego pokrywają się z oczekiwaniami matematycznymi A .

    8. Kształt krzywej normalnej nie zmienia się przy zmianie parametru A .

    9. Współczynniki skośności i kurtozy rozkładu normalnego są równe zeru.

    Znaczenie obliczania tych współczynników dla empirycznych szeregów rozkładów jest oczywiste, gdyż charakteryzują one skośność i stromość tego szeregu w porównaniu z szeregiem normalnym.

    Prawdopodobieństwo wpadnięcia w przedział można znaleźć ze wzoru , Gdzie dziwna funkcja tabelaryczna.

    Określmy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym odbiega od swoich matematycznych oczekiwań o kwotę mniejszą niż , czyli wyznaczymy prawdopodobieństwo wystąpienia nierówności lub prawdopodobieństwo podwójnej nierówności. Podstawiając do wzoru, otrzymujemy

    Wyrażanie odchylenia zmiennej losowej X w ułamkach odchylenia standardowego, czyli wstawiając ostatnią równość, otrzymujemy .


    A kiedy już dotrzemy,

    kiedy dostaniemy ,

    kiedy otrzymamy.

    Z ostatniej nierówności wynika, że ​​praktycznie rozproszenie zmiennej losowej o rozkładzie normalnym ogranicza się do obszaru . Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa nie znajdzie się w tym obszarze jest bardzo małe i wynosi 0,0027, czyli zdarzenie to może wystąpić tylko w trzech przypadkach na 1000. Zdarzenia takie można uznać za prawie niemożliwe. Opierając się na powyższym rozumowaniu reguła trzech sigm, który jest sformułowany w następujący sposób: jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny, to odchylenie tej wartości od oczekiwań matematycznych w wartości bezwzględnej nie przekracza trzykrotności odchylenia standardowego.

    Przykład 28. Część wyprodukowaną na maszynie automatycznej uważa się za odpowiednią, jeśli odchylenie jej kontrolowanego wymiaru od wymiaru projektowego nie przekracza 10 mm. Losowe odchylenia kontrolowanego rozmiaru od projektu podlegają prawu rozkładu normalnego z odchyleniem standardowym wynoszącym mm i oczekiwaniem matematycznym. Jaki procent odpowiednich części produkuje maszyna?

    Rozwiązanie. Rozważ zmienną losową X - odchylenie wymiaru od projektowego. Część zostanie uznana za ważną, jeśli zmienna losowa należy do przedziału. Prawdopodobieństwo wyprodukowania odpowiedniej części można znaleźć za pomocą wzoru . W rezultacie odsetek odpowiednich części wyprodukowanych przez maszynę wynosi 95,44%.

    Rozkład dwumianowy

    Dwumian to rozkład prawdopodobieństwa wystąpienia M ilość wydarzeń w P niezależnych prób, w których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest stałe i równe R . Prawdopodobieństwo możliwej liczby wystąpień zdarzenia oblicza się za pomocą wzoru Bernoulliego: ,

    Gdzie . Stały P I R , zawarte w tym wyrażeniu, są parametrami prawa dwumianu. Rozkład dwumianowy opisuje rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej.

    Podstawowe charakterystyki numeryczne rozkładu dwumianowego. Oczekiwanie matematyczne wynosi . Różnica jest . Współczynniki skośności i kurtozy są równe i . Z nieograniczonym wzrostem liczby testów A I mi dążą do zera, zatem możemy założyć, że rozkład dwumianowy zbiega się do normalnego w miarę wzrostu liczby prób.

    Przykład 29. Niezależne badania przeprowadzane są z takim samym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A w każdym teście. Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w jednym badaniu, jeśli wariancja liczby wystąpień w trzech próbach wynosi 0,63.

    Rozwiązanie. Dla rozkładu dwumianowego . Zastąpmy wartości, otrzymamy stąd Lub potem i .

    Rozkład Poissona

    Prawo rozkładu zjawisk rzadkich

    Rozkład Poissona opisuje liczbę zdarzeń M , występujące w równych okresach czasu, pod warunkiem, że zdarzenia zachodzą niezależnie od siebie ze stałym średnim natężeniem. Do tego ilość testów P jest wysokie, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w każdej próbie R mały Dlatego rozkład Poissona nazywany jest prawem rzadkich zdarzeń lub najprostszym przepływem. Parametr rozkładu Poissona jest wartością charakteryzującą intensywność występowania zdarzeń w P testy. Wzór rozkładu Poissona .

    Rozkład Poissona dobrze opisuje liczbę roszczeń o zapłatę sum ubezpieczenia w ciągu roku, liczbę połączeń odebranych w centrali telefonicznej w określonym czasie, liczbę awarii elementów podczas testów niezawodności, liczbę wadliwych produktów itp. .

    Podstawowe charakterystyki numeryczne rozkładu Poissona. Oczekiwanie matematyczne jest równe wariancji i równe A . To jest . Jest to charakterystyczna cecha tej dystrybucji. Współczynniki skośności i kurtozy są odpowiednio równe .

    Przykład 30. Średnia dzienna liczba płatności ubezpieczeniowych wynosi dwa. Znajdź prawdopodobieństwo, że za pięć dni będziesz musiał zapłacić: 1) 6 kwot ubezpieczenia; 2) mniej niż sześć kwot; 3) co najmniej sześć.dystrybucji.

    Rozkład ten często obserwuje się badając żywotność różnych urządzeń, czas sprawności poszczególnych elementów, części systemu i systemu jako całości, biorąc pod uwagę losowe odstępy czasu pomiędzy wystąpieniem dwóch kolejnych rzadkich zdarzeń.

    Gęstość rozkładu wykładniczego określa parametr, który nazywa się współczynnik awaryjności. Termin ten jest powiązany z konkretnym obszarem zastosowań – teorią niezawodności.

    Wyrażenie na funkcję całkową rozkładu wykładniczego można znaleźć, korzystając z właściwości funkcji różniczkowej:

    Oczekiwanie rozkładu wykładniczego, wariancji, odchylenia standardowego. Zatem charakterystyczne dla tego rozkładu jest to, że odchylenie standardowe jest liczbowo równe oczekiwaniu matematycznemu. Dla dowolnej wartości parametru współczynniki asymetrii i kurtozy są wartościami stałymi .

    Przykład 31. Średni czas pracy telewizora przed pierwszą awarią wynosi 500 godzin. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany telewizor będzie działał bezawaryjnie przez ponad 1000 godzin.

    Rozwiązanie. Skoro średni czas pracy przed pierwszą awarią wynosi 500, to zatem . Pożądane prawdopodobieństwo znajdujemy za pomocą wzoru.