Funkcje trygonometryczne argumentu numerycznego załatwiliśmy to. Wzięliśmy punkt A na okręgu i szukaliśmy sinusów i cosinusów powstałego kąta β.
Oznaczyliśmy ten punkt jako A, ale w algebrze często oznacza się go jako t i podaje się wszystkie związane z nim wzory/funkcje. Nie odejdziemy też od kanonów. Te. t - będzie to zatem pewna liczba funkcja numeryczna(na przykład sint)
Logiczne jest, że skoro mamy okrąg o promieniu jeden, to
Funkcje trygonometryczne argumentu kąta my również pomyślnie to przeanalizowaliśmy - zgodnie z kanonami dla takich funkcji będziemy pisać: sin α°, czyli przez α° dowolny kąt o potrzebnej nam liczbie stopni.
Promień tego kąta da nam drugi punkt na okręgu (OA - punkt A) oraz odpowiadające mu punkty C i B dla numerycznej funkcji argumentu, jeśli będzie taka potrzeba: grzech t = grzech α°
Linie sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów
Nigdy tego nie zapomnij Oś Y to linia sinusów, Oś X to linia cosinusów! Na tych osiach zaznaczono punkty uzyskane z okręgu.
A linie stycznych i cotangensów są do nich równoległe i przechodzą przez punkty (1; 0) i (0; 1) odpowiednio.
Lekcja wideo „Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego” zapewnia materiał wizualny do przeprowadzenia lekcji matematyki na odpowiedni temat. Film został zaprojektowany w taki sposób, aby studiowany materiał był jak najbardziej zrozumiały dla uczniów, łatwy do zapamiętania i dobrze ukazywał związek pomiędzy dostępnymi informacjami o funkcjach trygonometrycznych z rozdziału o badaniu trójkątów a ich definicją za pomocą jednostki koło. Może stać się samodzielną częścią lekcji, gdyż w pełni obejmuje ten temat, uzupełniony ważnymi komentarzami w trakcie dźwięczności.
Aby wyraźnie pokazać związek pomiędzy różnymi definicjami funkcji trygonometrycznych, zastosowano efekty animacyjne. Wyróżnianie tekstu kolorową czcionką, jasne i zrozumiałe konstrukcje oraz dodawanie komentarzy pozwala szybko opanować i zapamiętać materiał oraz szybko osiągnąć cele lekcji. Powiązania pomiędzy definicjami funkcji trygonometrycznych są wyraźnie pokazane poprzez efekty animacji i podkreślenie kolorów, co sprzyja zrozumieniu i zapamiętaniu materiału. Podręcznik ma na celu zwiększenie efektywności szkolenia.
Lekcja rozpoczyna się od wprowadzenia tematu. Następnie przypominamy definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego trójkąta prostokątnego. Definicja podkreślona w ramce przypomina nam, że sinus i cosinus powstają jako stosunek nogi do przeciwprostokątnej, a styczna i cotangens powstają przez stosunek nóg. Uczniom przypomina się także niedawno poznany materiał, zgodnie z którym przy rozpatrywaniu punktu na okręgu jednostkowym odcięta punktu to cosinus, a rzędna to sinus liczby odpowiadającej temu punktowi. Związek pomiędzy tymi pojęciami ukazany jest za pomocą konstrukcji. Na ekranie wyświetlany jest okrąg jednostkowy umieszczony tak, że jego środek pokrywa się z początkiem. Z początku współrzędnych konstruuje się półprostą tworzącą kąt α z dodatnią półosią odciętej. Promień ten przecina okrąg jednostkowy w punkcie O. Z tego punktu prostopadłe schodzą do osi odciętej i rzędnych, co pokazuje, że współrzędne tego punktu wyznaczają cosinus i sinus kąta α. Należy zauważyć, że długość łuku AO od punktu przecięcia okręgu jednostkowego z dodatnim kierunkiem osi odciętych do punktu O jest tą samą częścią całego łuku, co kąt α z 360°. Pozwala to na utworzenie proporcji α/360=t/2π, która zostanie natychmiast wyświetlona i podświetlona na czerwono w celu zapamiętania. Z tej proporcji wyprowadza się wartość t=πα/180°. Biorąc to pod uwagę, wyznacza się zależność pomiędzy definicjami sinusa i cosinusa: sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=koszt=cosπα/180. Na przykład podane jest znalezienie sin60°. Podstawiając miarę kąta do wzoru, otrzymujemy sin π·60°/180°. Zmniejszając ułamek o 60, otrzymujemy sin π/3, który jest równy √3/2. Należy zauważyć, że jeśli 60° jest stopniową miarą kąta, wówczas π/3 nazywa się radiacyjną miarą kąta. Istnieją dwa możliwe oznaczenia stosunku miary stopnia kąta do miary radianu: 60°=π/3 i 60°=π/3 rad.
Pojęcie kąta jednego stopnia definiuje się jako kąt środkowy oparty na łuku, którego długość 1/360 stanowi część obwodu. Poniższa definicja ukazuje pojęcie kąta jednego radiana - kąta środkowego opartego na łuku o długości jeden lub równym promieniowi okręgu. Definicje są oznaczone jako ważne i wyróżnione, aby je zapamiętać.
Aby zamienić miarę kąta w jednym stopniu na miarę radianu i odwrotnie, należy skorzystać ze wzoru α°=πα/180 rad. Formuła ta jest podświetlona w ramce na ekranie. Z tego wzoru wynika, że 1° = π/180 rad. W tym przypadku jeden radian odpowiada kątowi 180°/π≈57,3°. Należy zauważyć, że znajdując wartości funkcji trygonometrycznych zmiennej niezależnej t, można ją uznać zarówno za argument numeryczny, jak i kątowy.
Poniżej przedstawiono przykłady wykorzystania zdobytej wiedzy w rozwiązywaniu problemów matematycznych. W przykładzie 1 należy przekonwertować wartości ze stopni na radiany 135° i 905°. Po prawej stronie ekranu znajduje się wzór pokazujący zależność pomiędzy stopniami i radianami. Po podstawieniu wartości do wzoru otrzymujemy (π/180)·135. Po zmniejszeniu tego ułamka o 45 otrzymujemy wartość 135° = 3π/4. Aby przeliczyć kąt 905° na miarę radianów, stosuje się ten sam wzór. Po podstawieniu do niego wartości okazuje się, że (π/180)·905=181π/36 rad.
W drugim przykładzie rozwiązano problem odwrotny - znaleziono miarę stopni kątów wyrażonych w radianach π/12, -21π/20, 2,4π. Po prawej stronie ekranu przypominamy badany wzór na związek pomiędzy stopniem a miarą radianową kąta 1 rad = 180°/π. Każdy przykład rozwiązuje się poprzez podstawienie miary radianu do wzoru. Podstawiając π/12, otrzymujemy (180°/π)·(π/12)=15°. Podobnie znajdują się wartości pozostałych kątów -21π/20=-189° i 2,4π=432°.
Lekcję wideo „Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego” zaleca się do wykorzystania na tradycyjnych lekcjach matematyki w celu zwiększenia efektywności uczenia się. Materiał pomoże zapewnić widoczność nauczania podczas nauczania na odległość na ten temat. Szczegółowe, zrozumiałe wyjaśnienie tematu i rozwiązania problemów z nim związanych może pomóc uczniowi w samodzielnym opanowaniu materiału.
DEKODOWANIE TEKSTU:
„Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego”.
Z geometrii wiemy już, że sinus (cosinus) kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek nogi do przeciwprostokątnej, a tangens (cotangens) to stosunek nóg. W algebrze odciętą punktu na okręgu jednostkowym nazywamy cosinusem, a rzędną tego punktu sinusem. Zadbajmy o to, aby to wszystko było ze sobą ściśle powiązane.
Umieśćmy kąt o mierze stopniowej α° (stopnie alfa), jak pokazano na rysunku 1: wierzchołek kąta jest zgodny ze środkiem okręgu jednostkowego (z początkiem układu współrzędnych) i jedną stroną kąta jest zgodny z promieniem dodatnim osi odciętych. Drugi bok kąta przecina okrąg w punkcie O. Współrzędna punktu O jest sinusem kąta alfa, a odcięta tego punktu jest cosinusem alfa.
Zauważ, że łuk AO jest tą samą częścią długości okręgu jednostkowego, co kąt alfa od kąta trzysta sześćdziesiąt stopni. Oznaczmy długość łuku AO przez t(te), a następnie ułożymy proporcję =
(alfa ufa sześćdziesięciu tak, jak te ma dwa pi). Stąd znajdujemy te: t = = (te jest równe pi alfa podzielone przez sto osiemdziesiąt).
Zatem, aby znaleźć sinus lub cosinus kąta alfa w stopniach, możesz skorzystać ze wzoru:
sin α° = sint = sin (sinus alfa stopni jest równy sinus te i równy sinusowi częściowego pi alfa do stu osiemdziesięciu),
cosα° = koszt = cos (cosinus stopni alfa jest równy cosinusowi te i jest równy cosinusowi częściowego pi alfa do stu osiemdziesięciu).
Na przykład sin 60° = sin = sin = (sinus sześćdziesięciu stopni jest równy sinusowi pi przez trzy, zgodnie z tabelą podstawowych wartości sinusów jest równy pierwiastkowi z trzech przez dwa) .
Uważa się, że 60° jest miarą kąta w stopniach, a (pi x trzy) jest miarą radianu tego samego kąta, czyli 60° = zadowolony(Sześćdziesiąt stopni równa się pi razy trzy radiany). Dla zwięzłości zgodziliśmy się na oznaczenie zadowolony pominąć, czyli dopuszczalny jest zapis: 60°= (pokaż skróty radian miara = rad.)
Kąt jednego stopnia to kąt środkowy oparty na łuku stanowiącym (jedną trzysta sześćdziesiątą) część łuku. Kąt jednego radiana to kąt środkowy oparty na łuku o długości jeden, to znaczy łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu (rozważamy kąty środkowe okręgu jednostkowego, aby pokazać kąt w pi radianach na okręgu).
Przypomnijmy sobie ważny wzór na przeliczenie stopni na radiany:
α° = zadowolony. (alfa równa się pi alfa podzielona przez sto osiemdziesiąt radianów) W szczególności 1° = zadowolony(jeden stopień równa się pi podzielonemu przez sto osiemdziesiąt radianów).
Z tego możemy stwierdzić, że jeden radian jest równy stosunkowi stu osiemdziesięciu stopni do pi i jest w przybliżeniu równy pięćdziesięciu siedmiu przecinkowi trzy stopniom: 1 zadowolony= ≈ 57,3°.
Z powyższego: gdy mówimy o dowolnej funkcji trygonometrycznej, np. o funkcji s = sint (es jest równe sinus te), zmienną niezależną t(te) można traktować zarówno jako argument numeryczny, jak i argument kątowy.
Spójrzmy na przykłady.
PRZYKŁAD 1. Zamień stopnie na radiany: a) 135°; b) 905°.
Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru na przeliczenie stopni na radiany:
a) 135° = 1° ∙ 135 = zadowolony ∙ 135 = zadowolony
(sto trzydzieści pięć stopni równa się pi razy sto osiemdziesiąt radianów pomnożone przez sto trzydzieści pięć, a po redukcji równa się trzy pi razy cztery radiany)
b) Podobnie, korzystając ze wzoru na przeliczenie miary stopnia na miarę radianu, otrzymujemy
905° = zadowolony ∙ 905 = zadowolony.
(dziewięćset pięć stopni równa się sto osiemdziesiąt jeden pi razy trzydzieści sześć radianów).
PRZYKŁAD 2. Wyraź w stopniach: a) ; B) - ; c) 2,4π
(pi przez dwanaście; minus dwadzieścia jeden pi przez dwadzieścia; dwa i cztery pi).
Rozwiązanie. a) Wyraźmy pi przez dwanaście stopni, skorzystaj ze wzoru na przeliczenie radianowej miary kąta na stopień w 1 zadowolony=, otrzymujemy
zadowolony = 1 zadowolony∙ = ∙ = 15° (pi razy dwanaście radianów równa się iloczynowi jednego radiana i pi razy dwanaście. Podstawiając za pi zamiast jednego radiana sto osiemdziesiąt i zmniejszając, otrzymujemy piętnaście stopni)
Podobnie jak b) - = 1 zadowolony∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (minus dwadzieścia jeden pi razy dwadzieścia równa się minus sto osiemdziesiąt dziewięć stopni),
c) 2,4π = 1 zadowolony∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (dwa przecinek cztery pi równa się czterysta trzydzieści dwa stopnie).
Jakakolwiek liczba rzeczywista t zostanie wybrana, można ją powiązać z jednoznacznie określoną liczbą sin t. To prawda, że reguła dopasowywania jest dość złożona; jak widzieliśmy powyżej, wygląda ona następująco.
Aby znaleźć wartość sin t za pomocą liczby t, potrzebujesz:
1) ustawić okrąg liczbowy w płaszczyźnie współrzędnych tak, aby środek okręgu pokrywał się z początkiem współrzędnych, a punkt początkowy A okręgu przypadał na punkt (1; 0);
2) znajdź punkt na okręgu odpowiadający liczbie t;
3) znajdź rzędną tego punktu.
Ta rzędna to grzech t.
Tak naprawdę mówimy o funkcji u = sin t, gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Wszystkie te funkcje są wywoływane funkcje trygonometryczne argumentu numerycznego t.
Istnieje szereg relacji łączących wartości różnych funkcji trygonometrycznych, niektóre z tych relacji uzyskaliśmy już:
grzech 2 t + cos 2 t = 1
Z dwóch ostatnich wzorów łatwo jest otrzymać zależność łączącą tg t i ctg t:
Wszystkie te wzory stosuje się w przypadkach, gdy znając wartość funkcji trygonometrycznej, konieczne jest obliczenie wartości innych funkcji trygonometrycznych.
Terminy „sinus”, „cosinus”, „styczna” i „cotangens” były właściwie znane, jednak nadal używano ich w nieco innej interpretacji: w geometrii i fizyce uważano za sinus, cosinus, styczną i kotangę na głowę(ale nie
liczby, jak to miało miejsce w poprzednich akapitach).
Z geometrii wiadomo, że sinus (cosinus) kąta ostrego to stosunek nóg trójkąta prostokątnego do jego przeciwprostokątnej, a tangens (cotangens) kąta to stosunek nóg trójkąta prostokątnego. W poprzednich akapitach opracowano inne podejście do pojęć sinus, cosinus, tangens i cotangens. W rzeczywistości podejścia te są ze sobą powiązane.
Weźmy kąt o stopniu bo i umieśćmy go w modelu „numerycznego okręgu w prostokątnym układzie współrzędnych”, jak pokazano na ryc. 14
wierzchołek kąta jest zgodny ze środkiem
okręgi (z początkiem układu współrzędnych),
i jedna strona narożnika jest zgodna z
dodatni promień osi x. Kropka
przecięcie drugiej strony kąta z
oznacz kółkiem literę M. Ordina-
Ryc. 14 b o, a odcięta tego punktu jest cosinusem kąta bo.
Aby znaleźć sinus lub cosinus kąta b, wcale nie jest konieczne wykonywanie za każdym razem tych bardzo skomplikowanych konstrukcji.
Wystarczy zauważyć, że łuk AM stanowi taką samą część długości koła liczbowego, jak kąt bo o utworzony z narożnika 360°. Jeśli długość łuku AM oznaczymy literą t, otrzymamy:
Zatem,
Na przykład,
Uważa się, że 30° jest stopniową miarą kąta, a radianową miarą tego samego kąta: 30° = rad. W ogóle:
Szczególnie cieszę się, skąd z kolei to bierzemy.
Czym więc jest 1 radian? Istnieją różne miary długości odcinków: centymetry, metry, jardy itp. Istnieją również różne miary wskazujące wielkość kątów. Rozważamy kąty środkowe okręgu jednostkowego. Kąt 1° to kąt środkowy oparty na łuku będącym częścią okręgu. Kąt 1 radiana jest kątem środkowym opartym na łuku o długości 1, tj. na łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Ze wzoru wynika, że 1 rad = 57,3°.
Rozważając funkcję u = sin t (lub dowolną inną funkcję trygonometryczną) możemy uznać zmienną niezależną t za argument numeryczny, jak to miało miejsce w poprzednich akapitach, ale możemy również uznać tę zmienną za miarę kąt, tj. argument narożnikowy. Dlatego też, mówiąc o funkcji trygonometrycznej, w pewnym sensie nie ma znaczenia, czy uważa się ją za funkcję argumentu liczbowego lub kątowego.
Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcja trygonometryczna argumentu kątowego, miara stopniowa kąta i radiany”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Podręczniki i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania budowlane
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w przestrzeni
Co będziemy studiować:
1. Pamiętajmy o geometrii.
2. Definicja argumentu kątowego.
3. Stopniowa miara kąta.
4. Radianowa miara kąta.
5. Co to jest radian?
6. Przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania.
Powtórzenie geometrii
Chłopaki, w naszych funkcjach:
y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)
Zmienna t może przyjmować nie tylko wartości liczbowe, czyli być argumentem numerycznym, ale może być również traktowana jako miara kąta – argument kątowy.
Pamiętajmy o geometrii!
Jak zdefiniowaliśmy tam sinus, cosinus, tangens i cotangens?
Sinus kąta - stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej
Cosinus kąta - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej
Tangens kąta to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Cotangens kąta to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego.
Definicja funkcji trygonometrycznej argumentu kąta
Zdefiniujmy funkcje trygonometryczne jako funkcje argumentu kątowego na okręgu liczbowym:Korzystając z koła liczbowego i układu współrzędnych, zawsze możemy łatwo znaleźć sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta:
Umieśćmy wierzchołek naszego kąta α w środku okręgu, tj. do środka osi współrzędnych i ustaw jeden z boków tak, aby pokrywał się z dodatnim kierunkiem osi odciętych (OA)
Następnie drugi bok przecina okrąg liczbowy w punkcie M.
Rzędna punkt M: sinus kąta α
Odcięta punkt M: cosinus kąta α
Zauważ, że długość łuku AM jest tą samą częścią okręgu jednostkowego, co nasz kąt α z 360 stopni: 
gdzie t jest długością łuku AM.
Stopniowa miara kąta
1) Chłopaki, mamy wzór na określenie miary stopnia kąta na długości łuku koła liczbowego, przyjrzyjmy się temu bliżej:Następnie zapisujemy funkcje trygonometryczne w postaci:
Na przykład:
Radianowa miara kątów
Obliczając stopień lub radian kąta, pamiętaj! : Na przykład:
Przy okazji! Oznaczenie rad. możesz to obniżyć!
Co to jest radian?
Drodzy przyjaciele, stoimy przed nową koncepcją - Radian. Więc co to jest?Istnieją różne miary długości, czasu, wagi, na przykład: metr, kilometr, sekunda, godzina, gram, kilogram i inne. Zatem radian jest jedną z miar kąta. Warto wziąć pod uwagę kąty środkowe, czyli te znajdujące się w środku koła liczbowego.
Kąt 1 stopnia to kąt środkowy oparty na łuku równym 1/360 obwodu.
Kąt 1 radiana jest kątem środkowym opartym na łuku równym 1 w okręgu jednostkowym, a w dowolnym okręgu na łuku równym promieniu okręgu.
Przykłady:
Przykłady konwersji stopnia kąta na miarę radianu i odwrotnie
Problemy do samodzielnego rozwiązania
1. Znajdź radianową miarę kątów:a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°
2. Znajdź:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)
3. Znajdź miarę kątów: 