Można obliczyć średnią arytmetyczną. Metoda średnich, teoria

Przede wszystkim w eq. W praktyce musimy posługiwać się średnią arytmetyczną, którą można obliczyć jako prostą i ważoną średnią arytmetyczną.

Średnia arytmetyczna (SA)-N Najpopularniejszy typ średniej. Stosuje się go w przypadkach, gdy objętość zmiennej cechy dla całej populacji jest sumą wartości cech jej poszczególnych jednostek. Zjawiska społeczne charakteryzują się addytywnością (całością) objętości o zmiennej charakterystyce, co wyznacza zakres stosowania SA i wyjaśnia jego rozpowszechnienie jako wskaźnik ogólny, przykładowo: powszechny fundusz wynagrodzeń to suma wynagrodzeń wszystkich pracowników.

Aby obliczyć SA, należy podzielić sumę wartości wszystkich cech przez ich liczbę. SA jest używany w 2 formach.

Rozważmy najpierw prostą średnią arytmetyczną.

1-CA proste (forma początkowa, określająca) jest równa prostej sumie poszczególnych wartości uśrednianej cechy podzielonej przez całkowitą liczbę tych wartości (stosowane, gdy istnieją niezgrupowane wartości indeksów cechy):

Dokonane obliczenia można uogólnić do następującego wzoru:

(1)

Gdzie - średnia wartość zmiennej charakterystyki, czyli prosta średnia arytmetyczna;

oznacza sumowanie, czyli dodanie poszczególnych cech;

X- indywidualne wartości o zmiennej charakterystyce, które nazywane są wariantami;

N - liczba jednostek populacji

Przykład 1, należy obliczyć średnią wydajność jednego robotnika (mechanika), jeśli wiadomo, ile części wyprodukował każdy z 15 pracowników, tj. biorąc pod uwagę serię ind. wartości atrybutów, szt.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Simple SA oblicza się ze wzoru (1), szt.:

Przykład2. Obliczmy SA na podstawie danych warunkowych dla 20 sklepów wchodzących w skład spółki handlowej (tabela 1). Tabela 1

Rozkład sklepów firmy handlowej „Vesna” według powierzchni sprzedaży mkw. M

Numer sklepu		Numer sklepu

Aby obliczyć średnią powierzchnię sklepu ( ) należy zsumować powierzchnie wszystkich sklepów i wynik podzielić przez liczbę sklepów:

Tym samym średnia powierzchnia sklepów dla tej grupy przedsiębiorstw detalicznych wynosi 71 mkw.

Dlatego, aby wyznaczyć prosty SA, należy podzielić sumę wszystkich wartości danego atrybutu przez liczbę jednostek posiadających ten atrybut.

Gdzie F 1 , F 2 , … ,F N – waga (częstotliwość powtarzania identycznych znaków);

– suma iloczynów wielkości cech i ich częstotliwości;

– całkowita liczba jednostek populacji.

- SA ważone - ZŚrodek opcji, które powtarzają się różną ilość razy lub, jak to się mówi, mają różną wagę. Wagi to liczba jednostek w różnych grupach populacji (identyczne opcje są łączone w grupę). SA ważone – średnia zgrupowanych wartości X 1 , X 2 , .., X N, – obliczony:

(2)

Gdzie X- opcje;

F- częstotliwość (waga).

Ważony SA jest ilorazem sumy iloczynów opcji i odpowiadających im częstotliwości przez sumę wszystkich częstotliwości. Częstotliwości ( F) występujące we wzorze SA są zwykle nazywane waga, w wyniku czego SA obliczony z uwzględnieniem wag nazywany jest ważonym.

Technikę obliczania ważonego SA zilustrujemy na omówionym powyżej przykładzie 1. W tym celu zgrupujemy dane wyjściowe i umieścimy je w tabeli.

Średnią z pogrupowanych danych wyznacza się w następujący sposób: najpierw mnoży się opcje przez częstotliwości, następnie dodaje się iloczyny i otrzymaną sumę dzieli się przez sumę częstotliwości.

Zgodnie ze wzorem (2) ważony SA jest równy szt.:

Rozmieszczenie pracowników do produkcji części

Dane przedstawione w poprzednim przykładzie 2 można połączyć w jednorodne grupy, które przedstawiono w tabeli. Tabela

Rozkład sklepów Vesna według powierzchni sprzedaży mkw. M

Zatem wynik był taki sam. Będzie to jednak już ważona średnia wartość arytmetyczna.

W poprzednim przykładzie obliczyliśmy średnią arytmetyczną pod warunkiem, że znane są częstotliwości bezwzględne (liczba sklepów). Jednak w wielu przypadkach nie ma częstotliwości bezwzględnych, ale znane są częstotliwości względne lub, jak się je powszechnie nazywa, częstotliwości, które pokazują proporcję lub proporcja częstotliwości w całym zestawie.

Przy obliczaniu wykorzystania ważonego SA częstotliwości pozwala uprościć obliczenia, gdy częstotliwość wyrażona jest dużymi, wielocyfrowymi liczbami. Obliczeń dokonuje się jednak w ten sam sposób, ponieważ okazuje się, że średnia wartość wzrosła 100-krotnie, wynik należy podzielić przez 100.

Wtedy wzór na średnią arytmetyczną ważoną będzie wyglądał następująco:

Gdzie D- częstotliwość, tj. udział każdej częstotliwości w całkowitej sumie wszystkich częstotliwości.

(3)

W naszym przykładzie 2 najpierw określamy udział sklepów według grup w ogólnej liczbie sklepów firmy Vesna. Tak więc dla pierwszej grupy ciężar właściwy odpowiada 10%
. Otrzymujemy następujące dane Tabela 3

W matematyce średnia arytmetyczna liczb (lub po prostu średnia) to suma wszystkich liczb w danym zbiorze podzielona przez liczbę liczb. Jest to najbardziej uogólniona i rozpowszechniona koncepcja wartości średniej. Jak już zrozumiałeś, aby znaleźć, musisz zsumować wszystkie podane liczby i podzielić wynikowy wynik przez liczbę wyrazów.

Co to jest średnia arytmetyczna?

Spójrzmy na przykład.

Przykład 1. Dane liczby: 6, 7, 11. Trzeba znaleźć ich średnią wartość.

Rozwiązanie.

Najpierw znajdźmy sumę wszystkich tych liczb.

Teraz podziel uzyskaną sumę przez liczbę wyrazów. Ponieważ mamy trzy wyrazy, podzielimy zatem przez trzy.

Zatem średnia liczb 6, 7 i 11 wynosi 8. Dlaczego 8? Tak, ponieważ suma 6, 7 i 11 będzie taka sama jak trzy ósemki. Można to wyraźnie zobaczyć na ilustracji.

Średnia jest trochę jak „wyrównanie” serii liczb. Jak widać, stosy ołówków stały się na tym samym poziomie.

Spójrzmy na inny przykład, aby utrwalić zdobytą wiedzę.

Przykład 2. Dane liczby: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Trzeba znaleźć ich średnią arytmetyczną.

Rozwiązanie.

Znajdź kwotę.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Podziel przez liczbę terminów (w tym przypadku - 15).

Dlatego średnia wartość tej serii liczb wynosi 22.

Przyjrzyjmy się teraz liczbom ujemnym. Pamiętajmy, jak je podsumować. Na przykład masz dwie liczby 1 i -4. Znajdźmy ich sumę.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Wiedząc o tym, spójrzmy na inny przykład.

Przykład 3. Znajdź średnią wartość ciągu liczb: 3, -7, 5, 13, -2.

Rozwiązanie.

Znajdź sumę liczb.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Ponieważ istnieje 5 wyrazów, podziel uzyskaną sumę przez 5.

Dlatego średnia arytmetyczna liczb 3, -7, 5, 13, -2 wynosi 2,4.

W dobie postępu technologicznego znacznie wygodniej jest używać programów komputerowych do znajdowania wartości średniej. Jednym z nich jest Microsoft Office Excel. Znalezienie średniej w Excelu jest szybkie i łatwe. Co więcej, program ten jest zawarty w pakiecie oprogramowania Microsoft Office. Przyjrzyjmy się krótkiej instrukcji, wartości korzystania z tego programu.

Aby obliczyć średnią wartość ciągu liczb, należy skorzystać z funkcji ŚREDNIA. Składnia tej funkcji jest następująca:
= Średnia(argument1, argument2, ...argument255)
gdzie argument1, argument2, ... argument255 to liczby lub odwołania do komórek (komórki odnoszą się do zakresów i tablic).

Aby było to jaśniejsze, wypróbujmy zdobytą wiedzę.

Wpisz liczby 11, 12, 13, 14, 15, 16 w komórkach C1 - C6.
Wybierz komórkę C7, klikając na nią. W tej komórce wyświetlimy wartość średnią.
Kliknij kartę Formuły.
Wybierz opcję Więcej funkcji > Statystyka, aby otworzyć
Wybierz ŚREDNIE. Następnie powinno otworzyć się okno dialogowe.
Zaznacz i przeciągnij tam komórki C1-C6, aby ustawić zakres w oknie dialogowym.
Potwierdź swoje działania przyciskiem „OK”.
Jeśli wszystko zrobiłeś poprawnie, powinieneś mieć odpowiedź w komórce C7 - 13.7. Po kliknięciu komórki C7 na pasku formuły pojawi się funkcja (=Średnia(C1:C6)).

Ta funkcja jest bardzo przydatna w księgowości, fakturach lub gdy potrzebujesz znaleźć średnią z bardzo długiego ciągu liczb. Dlatego często wykorzystuje się go w biurach i dużych firmach. Pozwala to zachować porządek w dokumentacji i umożliwia szybkie obliczenie czegoś (np. średniego miesięcznego dochodu). Możesz także użyć programu Excel, aby znaleźć średnią wartość funkcji.

Wartość średnia jest ogólnym wskaźnikiem charakteryzującym typowy poziom zjawiska. Wyraża wartość cechy na jednostkę populacji.

Średnia wartość to:

1) najbardziej typowa wartość atrybutu dla populacji;

2) wielkość atrybutu populacji, rozłożona równo pomiędzy jednostki populacji.

Cecha, dla której obliczana jest wartość średnia, nazywana jest w statystyce „uśrednioną”.

Średnia zawsze uogólnia ilościową zmienność cechy, tj. w wartościach średnich eliminowane są różnice indywidualne pomiędzy jednostkami populacji wynikające z okoliczności losowych. W przeciwieństwie do średniej, wartość bezwzględna charakteryzująca poziom cechy pojedynczej jednostki populacji nie pozwala na porównanie wartości cechy pomiędzy jednostkami należącymi do różnych populacji. Jeśli więc trzeba porównać poziom wynagrodzeń pracowników w dwóch przedsiębiorstwach, nie można na tej podstawie porównać dwóch pracowników różnych przedsiębiorstw. Wynagrodzenie wybranych do porównania pracowników może nie być typowe dla tych przedsiębiorstw. Porównując wielkość funduszy wynagrodzeń w rozważanych przedsiębiorstwach, nie bierze się pod uwagę liczby pracowników, w związku z czym nie można określić, gdzie poziom wynagrodzeń jest wyższy. Ostatecznie można porównywać jedynie wskaźniki średnie, tj. Ile średnio zarabia jeden pracownik w każdym przedsiębiorstwie? Istnieje zatem potrzeba obliczenia wartości średniej jako uogólniającej cechy populacji.

Należy pamiętać, że podczas procesu uśredniania łączna wartość poziomów atrybutu lub jej wartość końcowa (w przypadku obliczania poziomów średnich w szeregu dynamicznym) musi pozostać niezmieniona. Innymi słowy, przy obliczaniu wartości średniej nie należy zniekształcać objętości badanej cechy, a wyrażenia zestawiane przy obliczaniu średniej muszą koniecznie mieć sens.

Obliczanie średniej jest jedną z powszechnych technik uogólniania; wskaźnik przeciętności zaprzecza temu, co wspólne (typowe) wszystkim jednostkom badanej populacji, ignorując jednocześnie różnice poszczególnych jednostek. W każdym zjawisku i jego rozwoju istnieje połączenie przypadku i konieczności. Przy obliczaniu średnich, ze względu na działanie prawa wielkich liczb, losowość znosi się i równoważy, dzięki czemu można abstrahować od nieistotnych cech zjawiska, od wartości ilościowych cechy w każdym konkretnym przypadku . Możliwość abstrahowania od losowości poszczególnych wartości i wahań leży w wartości naukowej średnich jako uogólniających cech agregatów.

Aby średnia była rzeczywiście reprezentatywna, należy ją obliczyć z uwzględnieniem pewnych zasad.

Zastanówmy się nad kilkoma ogólnymi zasadami stosowania średnich.

1. Należy określić średnią dla populacji składających się z jednostek jednorodnych jakościowo.

2. Średnią należy obliczyć dla populacji składającej się z odpowiednio dużej liczby jednostek.

3. Średnią należy obliczyć dla populacji, której jednostki znajdują się w normalnym, naturalnym stanie.

4. Średnią należy obliczyć, biorąc pod uwagę treść ekonomiczną badanego wskaźnika.

5.2. Rodzaje średnich i metody ich obliczania

Rozważmy teraz rodzaje wartości średnich, cechy ich obliczania i obszary zastosowania. Wartości średnie dzielą się na dwie duże klasy: średnie mocy, średnie strukturalne.

Do środków potęgowych zaliczają się najbardziej znane i często stosowane typy, takie jak średnia geometryczna, średnia arytmetyczna i średnia kwadratowa.

Tryb i mediana są uważane za średnie strukturalne.

Skupmy się na średnich mocach. Średnie mocy, w zależności od prezentacji danych źródłowych, mogą mieć charakter prosty lub ważony. Prosta średnia Obliczany jest na podstawie danych niezgrupowanych i ma następującą ogólną postać:

gdzie X i jest wariantem (wartością) uśrednianej cechy;

n – opcja liczbowa.

Średnia ważona jest obliczany na podstawie pogrupowanych danych i ma wygląd ogólny

gdzie X i jest wariantem (wartością) uśrednianej cechy lub wartością środkową przedziału, w którym mierzony jest wariant;

m – wskaźnik średniego stopnia;

f i – częstotliwość pokazująca, ile razy występuje wartość ie uśrednionej charakterystyki.

Jeśli obliczysz wszystkie typy średnich dla tych samych danych początkowych, ich wartości okażą się różne. Obowiązuje tu zasada większości średnich: wraz ze wzrostem wykładnika m wzrasta również odpowiadająca mu wartość średnia:

W praktyce statystycznej częściej niż inne rodzaje średnich ważonych stosuje się średnie arytmetyczne i średnie ważone harmoniczne.

Rodzaje środków mocy

Rodzaj mocy przeciętny	Indeks stopień (m)	Wzór obliczeniowy
Rodzaj mocy przeciętny	Indeks stopień (m)	Prosty	Ważona
Harmoniczny
Geometryczny
Arytmetyka
Kwadratowy
Sześcienny

Średnia harmoniczna ma bardziej złożoną strukturę niż średnia arytmetyczna. Do obliczeń używa się średniej harmonicznej, gdy jako wagi stosuje się nie jednostki populacji – nośniki cechy, ale iloczyn tych jednostek przez wartości cechy (tj. m = Xf). Do średniej prostej harmonicznej należy się odwołać w przypadku określenia np. średniego kosztu pracy, czasu, materiałów na jednostkę produkcji, na jedną część dla dwóch (trzech, czterech itp.) przedsiębiorstw, pracowników zajmujących się produkcją tego samego rodzaju produktu, tej samej części, produktu.

Głównym wymaganiem dotyczącym wzoru na obliczenie wartości średniej jest to, że wszystkie etapy obliczeń mają naprawdę znaczące uzasadnienie; uzyskana wartość średnia powinna zastąpić indywidualne wartości atrybutu dla każdego obiektu, nie zakłócając połączenia między wskaźnikami indywidualnymi i sumarycznymi. Innymi słowy, wartość średnią należy obliczyć w taki sposób, aby po zastąpieniu każdej pojedynczej wartości wskaźnika uśrednionego jego wartością średnią jakiś końcowy wskaźnik podsumowujący, w ten czy inny sposób powiązany ze wskaźnikiem uśrednionym, pozostał niezmieniony. Suma ta nazywa się definiowanie ponieważ charakter jego związku z poszczególnymi wartościami określa konkretny wzór na obliczenie wartości średniej. Zademonstrujmy tę regułę na przykładzie średniej geometrycznej.

Wzór na średnią geometryczną

stosowany najczęściej przy obliczaniu wartości średniej na podstawie indywidualnej dynamiki względnej.

Średnią geometryczną stosuje się, jeżeli podany jest ciąg względnej dynamiki łańcucha, wskazujący np. na wzrost wielkości produkcji w stosunku do poziomu z roku poprzedniego: i 1, i 2, i 3,…, i n. Oczywiście o wielkości produkcji w ostatnim roku decyduje jej początkowy poziom (q 0) i późniejszy wzrost na przestrzeni lat:

q n =q 0 × ja 1 × ja 2 ×…×i n .

Przyjmując q n za wskaźnik determinujący i zastępując poszczególne wartości wskaźników dynamiki wartościami średnimi, dochodzimy do zależności

Stąd

Specjalny rodzaj wartości średnich – średnie strukturalne – służy do badania wewnętrznej struktury szeregu rozkładów wartości atrybutów, a także do szacowania wartości średniej (rodzaju mocy), jeżeli zgodnie z dostępnymi danymi statystycznymi jej obliczeń nie można przeprowadzić (przykładowo, jeśli w rozważanym przykładzie nie było danych zarówno o wielkości produkcji, jak i wysokości kosztów według grup przedsiębiorstw).

Wskaźniki są najczęściej stosowane jako średnie strukturalne moda – najczęściej powtarzana wartość atrybutu – i mediany – wartość cechy, która dzieli uporządkowaną sekwencję jej wartości na dwie równe części. W efekcie dla połowy jednostek populacji wartość atrybutu nie przekracza poziomu mediany, a dla drugiej połowy nie jest od niej mniejsza.

Jeżeli badana cecha ma wartości dyskretne, wówczas nie ma szczególnych trudności w obliczeniu trybu i mediany. Jeśli dane o wartościach atrybutu X przedstawimy w postaci uporządkowanych przedziałów jego zmian (seria przedziałów), obliczenie postaci i mediany staje się nieco bardziej skomplikowane. Ponieważ wartość mediana dzieli całą populację na dwie równe części, kończy się ona w jednym z przedziałów cechy X. Korzystając z interpolacji, wartość mediany znajduje się w tym przedziale mediany:

gdzie X Me jest dolną granicą przedziału mediany;

h Me – jego wartość;

(Suma m)/2 – połowa ogólnej liczby obserwacji lub połowa wielkości wskaźnika stosowanego jako waga we wzorach na obliczenie wartości średniej (w wartościach bezwzględnych lub względnych);

S Me-1 – suma obserwacji (lub wielkość atrybutu ważącego) zgromadzona przed początkiem przedziału mediany;

m Me – liczba obserwacji lub objętość cechy ważącej w przedziale mediany (również w wartościach bezwzględnych lub względnych).

Obliczając wartość modalną cechy na podstawie danych szeregu przedziałów, należy zwrócić uwagę na to, że przedziały są identyczne, ponieważ od tego zależy wskaźnik powtarzalności wartości cechy X. Dla szereg przedziałowy o równych odstępach, wielkość modu określa się jako

gdzie X Mo jest dolną wartością przedziału modalnego;

m Mo – liczba obserwacji lub objętość charakterystyki ważącej w przedziale modalnym (w wartościach bezwzględnych lub względnych);

m Mo-1 – to samo dla przedziału poprzedzającego modalny;

m Mo+1 – to samo dla przedziału następującego po modalnym;

h – wartość przedziału zmian charakterystyki w grupach.

ZADANIE 1

Dla grupy przedsiębiorstw przemysłowych dostępne są następujące dane za rok sprawozdawczy

№ przedsiębiorstwa	Wielkość produktu, miliony rubli.		Średnia liczba pracowników, osób.	Zysk, tysiąc rubli
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Wymagane jest grupowanie przedsiębiorstw w celu wymiany produktów w następujących odstępach czasu:

do 200 milionów rubli

od 200 do 400 milionów rubli.

od 400 do 600 milionów rubli.

Dla każdej grupy i dla wszystkich razem określ liczbę przedsiębiorstw, wielkość produkcji, średnią liczbę pracowników, średnią produkcję na pracownika. Wyniki grupowania przedstaw w formie tabeli statystycznej. Sformułuj wniosek.

ROZWIĄZANIE

Pogrupujemy przedsiębiorstwa według wymiany produktów, obliczymy liczbę przedsiębiorstw, wielkość produkcji i średnią liczbę pracowników, korzystając z prostego wzoru na średnią. Wyniki grupowania i obliczeń zestawiono w tabeli.

Grupy według objętości produktu	№ przedsiębiorstwa	Wielkość produktu, miliony rubli.	Średni roczny koszt środków trwałych, miliony rubli.	Średni sen soczysta liczba pracowników, ludzi.	Zysk, tysiąc rubli	Średnia produkcja na pracownika
1 grupa do 200 milionów rubli	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
Średni poziom		198,3			24,9
2. grupa od 200 do 400 milionów rubli.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
Średni poziom		282,3	37,6	1530	64,0
3 grupa od 400 do 600 milionów	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
Średni poziom		512,9	34,4	1421	120,9
Razem łącznie		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
Średnio		379,6	59,9	1223,6	79,5

Wniosek. Tym samym w badanej populacji najwięcej przedsiębiorstw pod względem wielkości produkcji znalazło się w grupie trzeciej – siedem, czyli połowa przedsiębiorstw. W tej grupie mieszczą się także średnioroczny koszt środków trwałych oraz duża średnia liczba pracowników – 9974 osoby, najmniej rentowne są przedsiębiorstwa z pierwszej grupy.

ZADANIE 2

Dostępne są następujące dane o przedsiębiorstwach spółki

Numer przedsiębiorstwa wchodzącego w skład spółki	kwateruję	II kwartał
	Produkcja produktu, tysiące rubli.	Osobodni przepracowanych przez pracowników	Średnia produkcja na pracownika dziennie, rub.
	59390,13

W matematyce i statystyce przeciętny arytmetyka (lub łatwa przeciętny) zbioru liczb to suma wszystkich liczb w tym zbiorze podzielona przez ich liczbę. Średnia arytmetyczna jest szczególnie uniwersalną i najczęstszą reprezentacją średniej.

Będziesz potrzebować

Znajomość matematyki.

Instrukcje

1. Niech zostanie podany zbiór czterech liczb. Trzeba zostać odkrytym przeciętny oznaczający ten zestaw. Aby to zrobić, najpierw znajdujemy sumę wszystkich tych liczb. Możliwe liczby to 1, 3, 8, 7. Ich suma wynosi S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Zbiór liczb musi składać się z liczb tego samego znaku, w przeciwnym razie traci się sens obliczania wartości średniej.

2. Przeciętny oznaczający zbiór liczb jest równy sumie liczb S podzielonej przez liczbę tych liczb. To znaczy, okazuje się, że przeciętny oznaczający równa się: 19/4 = 4,75.

3. Dla zbioru liczb możliwe jest również wykrycie nie tylko przeciętny arytmetyka, ale także przeciętny geometryczny. Średnia geometryczna kilku regularnych liczb rzeczywistych to liczba, która może zastąpić dowolną z tych liczb tak, aby ich iloczyn się nie zmienił. Średnią geometryczną G wyznacza się ze wzoru: N-ty pierwiastek iloczynu zbioru liczb, gdzie N jest liczbą w zbiorze. Spójrzmy na ten sam zestaw liczb: 1, 3, 8, 7. Znajdźmy je przeciętny geometryczny. Aby to zrobić, obliczmy iloczyn: 1*3*8*7 = 168. Teraz z liczby 168 musisz wyodrębnić czwarty pierwiastek: G = (168)^1/4 = 3,61. Zatem przeciętny geometryczny zbiór liczb to 3,61.

PrzeciętnyŚrednia geometryczna jest na ogół stosowana rzadziej niż średnia arytmetyczna, może być jednak przydatna przy obliczaniu średniej wartości wskaźników zmieniających się w czasie (wynagrodzenie pojedynczego pracownika, dynamika wskaźników wyników w nauce itp.).

Będziesz potrzebować

Kalkulator inżynieryjny

Instrukcje

1. Aby znaleźć średnią geometryczną szeregu liczb, należy najpierw pomnożyć wszystkie te liczby. Załóżmy, że masz zestaw pięciu wskaźników: 12, 3, 6, 9 i 4. Pomnóżmy wszystkie te liczby: 12x3x6x9x4=7776.

2. Teraz z wynikowej liczby musisz wyodrębnić pierwiastek potęgi równej liczbie elementów szeregu. W naszym przypadku z liczby 7776 konieczne będzie wyodrębnienie piątego pierwiastka za pomocą kalkulatora inżynierskiego. Otrzymana po tej operacji liczba – w tym przypadku liczba 6 – będzie średnią geometryczną początkowej grupy liczb.

3. Jeśli nie masz pod ręką kalkulatora inżynierskiego, możesz obliczyć średnią geometryczną serii liczb za pomocą funkcji SRGEOM w programie Excel lub za pomocą jednego z kalkulatorów online zaprojektowanych specjalnie do obliczania średnich geometrycznych.

Notatka!
Jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną każdej liczby dla 2 liczb, nie potrzebujesz kalkulatora inżynierskiego: możesz wyodrębnić drugi pierwiastek (pierwiastek kwadratowy) dowolnej liczby za pomocą najzwyklejszego kalkulatora.

Pomocna rada
W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, na średnią geometryczną nie wpływają tak silnie ogromne odchylenia i wahania pomiędzy poszczególnymi wartościami w zestawie badanych wskaźników.

Przeciętny wartość jest jednym z zestawień zbioru liczb. Reprezentuje liczbę, która nie może mieścić się poza zakresem określonym przez największą i najmniejszą wartość w tym zestawie liczb. Przeciętny Wartość arytmetyczna jest szczególnie powszechnie stosowanym rodzajem średniej.

Instrukcje

1. Dodaj wszystkie liczby w zestawie i podziel je przez liczbę wyrazów, aby otrzymać średnią arytmetyczną. W zależności od pewnych warunków obliczeniowych czasami łatwiej jest podzielić każdą z liczb przez liczbę wartości w zestawie i zsumować całość.

2. Użyj, powiedzmy, kalkulatora dołączonego do systemu operacyjnego Windows, jeśli obliczenie średniej arytmetycznej w Twojej głowie nie jest możliwe. Możesz go otworzyć, korzystając z okna dialogowego uruchamiania programu. Aby to zrobić, naciśnij „klawisze skrótu” WIN + R lub kliknij przycisk „Start” i wybierz polecenie „Uruchom” z menu głównego. Następnie wpisz calc w polu wejściowym i naciśnij Enter na klawiaturze lub kliknij przycisk „OK”. To samo można zrobić za pomocą menu głównego - otwórz je, przejdź do sekcji „Wszystkie programy” i do segmentów „Typowe” i wybierz wiersz „Kalkulator”.

3. Wszystkie ustawione liczby wprowadzaj krok po kroku, naciskając po wszystkich (oprócz ostatniej) klawisz Plus na klawiaturze lub klikając odpowiedni przycisk w interfejsie kalkulatora. Liczby można także wprowadzać z klawiatury lub klikając odpowiednie przyciski interfejsu.

4. Naciśnij klawisz ukośnika lub kliknij tę ikonę w interfejsie kalkulatora po wpisaniu ostatniej wartości zbioru i wpisaniu liczby liczb w ciągu. Następnie naciśnij znak równości, a kalkulator obliczy i wyświetli średnią arytmetyczną.

5. W tym samym celu możesz użyć edytora arkuszy kalkulacyjnych Microsoft Excel. W takim przypadku uruchom edytor i wprowadź wszystkie wartości ciągu liczb do sąsiednich komórek. Jeśli po wpisaniu całej liczby naciśniesz klawisz Enter lub klawisz strzałki w dół lub w prawo, edytor sam przeniesie fokus wejściowy do sąsiedniej komórki.

6. Zaznacz wszystkie wprowadzone wartości i w lewym dolnym rogu okna edytora (na pasku stanu) zobaczysz średnią arytmetyczną dla wybranych komórek.

7. Jeśli chcesz zobaczyć tylko średnią, kliknij komórkę obok ostatniej wprowadzonej liczby. Rozwiń listę rozwijaną z obrazem greckiej litery sigma (Σ) w grupie poleceń Edycja na karcie Główne. Wybierz linię „ Przeciętny", a edytor wstawi do wybranej komórki niezbędną formułę do obliczenia średniej arytmetycznej. Naciśnij klawisz Enter, a wartość zostanie obliczona.

Średnia arytmetyczna jest jedną z miar skłonności centralnej, szeroko stosowaną w matematyce i obliczeniach statystycznych. Znalezienie średniej arytmetycznej dla kilku wartości jest bardzo łatwe, jednak każdy problem ma swoje niuanse, które trzeba znać, aby wykonać prawidłowe obliczenia.

Co to jest średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna określa średnią wartość dla każdej początkowej tablicy liczb. Innymi słowy, z pewnego zbioru liczb wybierana jest wartość uniwersalna dla wszystkich elementów, której matematyczne porównanie ze wszystkimi elementami jest w przybliżeniu równe. Średnią arytmetyczną najlepiej wykorzystuje się przy sporządzaniu raportów finansowych i statystycznych lub przy obliczaniu ilościowych wyników podobnych umiejętności.

Jak znaleźć średnią arytmetyczną

Znalezienie średniej arytmetycznej tablicy liczb należy rozpocząć od ustalenia sumy algebraicznej tych wartości. Na przykład, jeśli tablica zawiera liczby 23, 43, 10, 74 i 34, to ich suma algebraiczna będzie równa 184. Podczas pisania średnią arytmetyczną oznacza się literą? (mu) lub x (x z linią). Następnie sumę algebraiczną należy podzielić przez liczbę liczb w tablicy. W rozważanym przykładzie było pięć liczb, zatem średnia arytmetyczna wyniesie 184/5 i wyniesie 36,8.

Funkcje pracy z liczbami ujemnymi

Jeśli tablica zawiera liczby ujemne, średnią arytmetyczną oblicza się przy użyciu podobnego algorytmu. Różnica występuje tylko przy obliczeniach w środowisku programistycznym lub jeśli problem zawiera dodatkowe dane. W takich przypadkach znalezienie średniej arytmetycznej liczb o różnych znakach sprowadza się do trzech kroków: 1. Znalezienie uniwersalnej średniej arytmetycznej metodą standardową;2. Znajdowanie średniej arytmetycznej liczb ujemnych.3. Obliczanie średniej arytmetycznej liczb dodatnich. Wyniki poszczególnych działań zapisuje się oddzielonymi przecinkami.

Ułamki naturalne i dziesiętne

Jeśli tablica liczb jest reprezentowana przez ułamki dziesiętne, rozwiązanie przeprowadza się metodą obliczania średniej arytmetycznej liczb całkowitych, ale redukcję sumy przeprowadza się zgodnie z wymaganiami problemu dotyczącymi dokładności wyniku. pracując z ułamkami naturalnymi, należy je sprowadzić do wspólnego mianownika, czyli tego, który jest pomnożony przez liczbę liczb w tablicy. Licznikiem wyniku będzie suma podanych liczników początkowych elementów ułamkowych.

Średnia geometryczna liczb zależy nie tylko od wartości bezwzględnej samych liczb, ale także od ich liczby. Nie można pomylić średniej geometrycznej ze średnią arytmetyczną liczb, ponieważ oblicza się je przy użyciu różnych metod. W tym przypadku średnia geometryczna jest niezmiennie mniejsza lub równa średniej arytmetycznej.

Będziesz potrzebować

Kalkulator inżynieryjny.

Instrukcje

1. Rozważmy, że w ogólnym przypadku średnią geometryczną liczb oblicza się, mnożąc te liczby i biorąc z nich pierwiastek z potęgi odpowiadającej liczbie liczb. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną pięciu liczb, musisz wyodrębnić piąty pierwiastek z iloczynu.

2. Aby znaleźć średnią geometryczną 2 liczb, skorzystaj z podstawowej reguły. Znajdź ich produkt, a następnie weź pierwiastek kwadratowy z liczby dwa, który odpowiada stopniowi pierwiastka. Powiedzmy, że aby znaleźć średnią geometryczną liczb 16 i 4, znajdź ich iloczyn 16 4 = 64. Z otrzymanej liczby wyjmij pierwiastek kwadratowy?64=8. Będzie to pożądana wartość. Należy pamiętać, że średnia arytmetyczna tych 2 liczb jest większa i równa 10. Jeśli pierwiastek nie zostanie wyodrębniony w całości, zaokrąglij sumę do wymaganej kolejności.

3. Aby znaleźć średnią geometryczną więcej niż 2 liczb, skorzystaj również z podstawowej zasady. Aby to zrobić, znajdź iloczyn wszystkich liczb, dla których musisz znaleźć średnią geometryczną. Z powstałego produktu wyodrębnij pierwiastek mocy równej liczbie liczb. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną liczb 2, 4 i 64, znajdź ich iloczyn. 2 4 64=512. Ponieważ konieczne jest znalezienie wyniku średniej geometrycznej 3 liczb, wyodrębnij trzeci pierwiastek z iloczynu. Trudno to zrobić ustnie, dlatego użyj kalkulatora inżynierskiego. W tym celu posiada przycisk „x^y”. Wybierz numer 512, naciśnij przycisk „x^y”, następnie wybierz cyfrę 3 i naciśnij przycisk „1/x”, aby znaleźć wartość 1/3, naciśnij przycisk „=”. Otrzymujemy wynik podniesienia 512 do potęgi 1/3, co odpowiada trzeciemu pierwiastkowi. Uzyskaj 512^1/3=8. Jest to średnia geometryczna liczb 2,4 i 64.

4. Za pomocą kalkulatora inżynierskiego można znaleźć średnią geometryczną inną metodą. Znajdź przycisk dziennika na klawiaturze. Następnie weź logarytm dla wszystkich liczb, znajdź ich sumę i podziel ją przez liczbę liczb. Z otrzymanej liczby weź antylogarytm. Będzie to średnia geometryczna liczb. Załóżmy, że aby znaleźć średnią geometryczną tych samych liczb 2, 4 i 64, wykonaj zestaw operacji na kalkulatorze. Wybierz numer 2, następnie naciśnij przycisk log, naciśnij przycisk „+”, wybierz numer 4 i ponownie naciśnij log i „+”, wybierz 64, naciśnij log i „=”. Wynik będzie liczbą równą sumie logarytmów dziesiętnych liczb 2, 4 i 64. Wynikową liczbę podziel przez 3, ponieważ jest to liczba liczb, według których wyszukiwana jest średnia geometryczna. Z sumy weź antylogarytm, przełączając przycisk rejestru i użyj tego samego klucza dziennika. Wynikiem będzie liczba 8, jest to pożądana średnia geometryczna.

Notatka!
Wartość średnia nie może być większa od największej liczby w zbiorze i mniejsza od najmniejszej.

Pomocna rada
W statystyce matematycznej średnia wartość wielkości nazywana jest oczekiwaniem matematycznym.

Dyscyplina: Statystyka

Opcja nr 2

Wartości średnie stosowane w statystykach

Wprowadzenie……………………………………………………………………………….3

Zadanie teoretyczne

Wartość średnia w statystyce, jej istota i warunki stosowania.

1.1. Istota średniej wielkości i warunki użytkowania……….4

1.2. Rodzaje średnich………………………………………………………8

Zadanie praktyczne

Zadanie 1,2,3………………………………………………………………………………14

Zakończenie………………………………………………………………………………….21

Lista referencji………………………………………………………...23

Wstęp

Egzamin ten składa się z dwóch części – teoretycznej i praktycznej. W części teoretycznej szczegółowo zbadana zostanie tak ważna kategoria statystyczna, jaką jest wartość średnia, w celu określenia jej istoty i warunków stosowania, a także podkreślenia rodzajów średnich i metod ich obliczania.

Statystyka, jak wiemy, bada masowe zjawiska społeczno-gospodarcze. Każde z tych zjawisk może mieć inny ilościowy wyraz tej samej cechy. Na przykład płace pracowników tego samego zawodu lub ceny rynkowe tego samego produktu itp. Wartości średnie charakteryzują wskaźniki jakościowe działalności handlowej: koszty dystrybucji, zysk, rentowność itp.

Aby zbadać dowolną populację według zmieniających się (ilościowo) cech, statystyka wykorzystuje wartości średnie.

Jednostka średniej wielkości

Wartość średnia jest uogólniającą cechą ilościową zbioru podobnych zjawisk opartą na jednej zmiennej charakterystyce. W praktyce gospodarczej stosuje się szeroką gamę wskaźników obliczanych jako wartości średnie.

Najważniejszą właściwością wartości średniej jest to, że reprezentuje ona za pomocą jednej liczby wartość pewnej cechy w całej populacji, pomimo jej różnic ilościowych w poszczególnych jednostkach populacji, i wyraża to, co jest wspólne dla wszystkich jednostek badanej populacji . Zatem poprzez cechy jednostki populacji charakteryzuje całą populację jako całość.

Wartości średnie związane są z prawem wielkich liczb. Istota tego związku polega na tym, że podczas uśredniania przypadkowe odchylenia poszczególnych wartości, na skutek działania prawa wielkich liczb, znoszą się wzajemnie, a w średniej ujawnia się główny kierunek rozwoju, konieczność i prawidłowość. Wartości średnie pozwalają na porównanie wskaźników związanych z populacjami o różnej liczbie jednostek.

We współczesnych warunkach rozwoju stosunków rynkowych w gospodarce średnie służą jako narzędzie badania obiektywnych wzorców zjawisk społeczno-gospodarczych. Jednak w analizie ekonomicznej nie można ograniczać się jedynie do wskaźników przeciętnych, gdyż ogólnie korzystne średnie mogą kryć w sobie duże i poważne braki w działalności poszczególnych podmiotów gospodarczych i zaczątki nowego, postępowego. Na przykład rozkład populacji według dochodów pozwala zidentyfikować powstawanie nowych grup społecznych. Dlatego obok przeciętnych danych statystycznych należy uwzględnić charakterystykę poszczególnych jednostek populacji.

Wartość średnia jest wypadkową wszystkich czynników wpływających na badane zjawisko. Oznacza to, że przy obliczaniu wartości średnich wpływ czynników losowych (zakłóceń, indywidualnych) znosi się i dzięki temu możliwe jest określenie wzorca charakterystycznego dla badanego zjawiska. Adolphe Quetelet podkreślał, że znaczenie metody średnich polega na możliwości przejścia od jednostki do ogółu, od losowości do regularności, a istnienie średnich jest kategorią obiektywnej rzeczywistości.

Statystyka bada zjawiska i procesy masowe. Każde z tych zjawisk ma zarówno wspólne dla całego zbioru, jak i szczególne, indywidualne właściwości. Różnica pomiędzy poszczególnymi zjawiskami nazywana jest zmiennością. Kolejną właściwością zjawisk masowych jest ich nieodłączne podobieństwo cech poszczególnych zjawisk. Zatem oddziaływanie elementów zbioru prowadzi do ograniczenia zmienności przynajmniej części ich właściwości. Tendencja ta istnieje obiektywnie. To właśnie w jego obiektywności leży przyczyna najszerszego stosowania wartości średnich w praktyce i teorii.

Wartość średnia w statystyce jest ogólnym wskaźnikiem charakteryzującym typowy poziom zjawiska w określonych warunkach miejsca i czasu, odzwierciedlającym wartość zmiennej cechy na jednostkę jakościowo jednorodnej populacji.

W praktyce gospodarczej stosuje się szeroką gamę wskaźników obliczanych jako wartości średnie.

Stosując metodę średnich, statystyka rozwiązuje wiele problemów.

Główne znaczenie średnich polega na ich funkcji uogólniającej, to znaczy zastąpieniu wielu różnych indywidualnych wartości cechy wartością średnią, która charakteryzuje cały zestaw zjawisk.

Jeśli średnia wartość uogólnia jakościowo jednorodne wartości cechy, wówczas jest to typowa cecha cechy w danej populacji.

Nieprawidłowe jest jednak redukowanie roli wartości średnich jedynie do charakterystyki typowych wartości cech w populacjach jednorodnych pod względem danej cechy. W praktyce znacznie częściej współczesne statystyki posługują się wartościami średnimi, które uogólniają zjawiska wyraźnie jednorodne.

Średni dochód narodowy na mieszkańca, średni plon zbóż w całym kraju, średnie spożycie różnych produktów spożywczych – to cechy państwa jako jednego systemu gospodarczego, to tzw. średnie systemowe.

Średnie systemowe mogą charakteryzować zarówno systemy przestrzenne lub obiektowe istniejące jednocześnie (państwo, przemysł, region, planeta Ziemia itp.), jak i układy dynamiczne rozciągnięte w czasie (rok, dekada, pora roku itp.).

Najważniejszą właściwością wartości średniej jest to, że odzwierciedla ona to, co jest wspólne dla wszystkich jednostek badanej populacji. Wartości atrybutów poszczególnych jednostek populacji zmieniają się w tym czy innym kierunku pod wpływem wielu czynników, wśród których mogą być zarówno podstawowe, jak i losowe. Na przykład cena akcji korporacji jako całości zależy od jej sytuacji finansowej. Jednocześnie w określone dni i na niektórych giełdach akcje te, w zależności od zaistniałej sytuacji, mogą być sprzedawane po wyższym lub niższym kursie. Istota średniej polega na tym, że niweluje ona odchylenia wartości charakterystycznych poszczególnych jednostek populacji spowodowane działaniem czynników losowych, a uwzględnia zmiany spowodowane działaniem czynników głównych. Dzięki temu średnia odzwierciedla typowy poziom cechy i abstrahuje od indywidualnych cech właściwych poszczególnym jednostkom.

Obliczanie średniej jest jedną z najpowszechniejszych technik uogólniania; wskaźnik przeciętny odzwierciedla to, co wspólne (typowe) dla wszystkich jednostek badanej populacji, ignorując jednocześnie różnice poszczególnych jednostek. W każdym zjawisku i jego rozwoju istnieje połączenie przypadku i konieczności.

Średnia jest sumaryczną charakterystyką praw procesu w warunkach, w których on zachodzi.

Każda średnia charakteryzuje badaną populację według dowolnej cechy, ale aby scharakteryzować dowolną populację, opisać jej typowe cechy i cechy jakościowe, potrzebny jest system średnich wskaźników. Dlatego w praktyce statystyki krajowej do badania zjawisk społeczno-gospodarczych z reguły oblicza się system średnich wskaźników. I tak na przykład wskaźnik przeciętnego wynagrodzenia ocenia się łącznie ze wskaźnikami średniej produkcji, stosunku kapitału do pracy i energii do pracy, stopnia mechanizacji i automatyzacji pracy itp.

Średnią należy obliczyć, biorąc pod uwagę treść ekonomiczną badanego wskaźnika. Dlatego dla konkretnego wskaźnika wykorzystywanego w analizie społeczno-ekonomicznej można obliczyć tylko jedną prawdziwą wartość średniej w oparciu o naukową metodę obliczeń.

Wartość średnia jest jednym z najważniejszych uogólniających wskaźników statystycznych, charakteryzującym zbiór podobnych zjawisk według jakiejś ilościowo zmieniającej się cechy. Średnie w statystyce są wskaźnikami ogólnymi, liczbami wyrażającymi typowe charakterystyczne wymiary zjawisk społecznych według jednej ilościowo zmieniającej się cechy.

Rodzaje średnich

Rodzaje wartości średnich różnią się przede wszystkim jaką właściwością, jaki parametr początkowej zmiennej masy poszczególnych wartości atrybutu należy zachować bez zmian.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna to średnia wartość cechy, przy której obliczeniu całkowita objętość cechy w agregacie pozostaje niezmieniona. W przeciwnym razie możemy powiedzieć, że średnia arytmetyczna jest wyrazem średnim. Obliczając go, całkowita wielkość atrybutu jest równomiernie rozdzielana mentalnie pomiędzy wszystkie jednostki populacji.

Średnią arytmetyczną stosuje się, jeżeli znane są wartości uśrednianej cechy (x) i liczba jednostek populacji o określonej wartości cechy (f).

Średnia arytmetyczna może być prosta lub ważona.

Prosta średnia arytmetyczna

Simple stosuje się, jeśli każda wartość atrybutu x występuje raz, tj. dla każdego x wartość atrybutu wynosi f=1 lub jeśli dane źródłowe nie są uporządkowane i nie wiadomo, ile jednostek ma określone wartości atrybutów.

Wzór na średnią arytmetyczną jest prosty:

gdzie jest wartość średnia; x – wartość uśrednionej cechy (wariantu), – liczba jednostek badanej populacji.

Średnia arytmetyczna ważona

W przeciwieństwie do zwykłej średniej, średnią ważoną arytmetyczną stosuje się, jeśli każda wartość atrybutu x występuje kilka razy, tj. dla każdej wartości cechy f≠1. Średnia ta jest szeroko stosowana do obliczania średniej na podstawie szeregu rozkładów dyskretnych:

gdzie to liczba grup, x to wartość uśrednianej cechy, f to waga wartości cechy (częstotliwość, jeśli f to liczba jednostek w populacji; częstotliwość, jeśli f to proporcja jednostek z opcją x w całkowitej liczbie ludności).

Średnia harmoniczna

Oprócz średniej arytmetycznej statystyka wykorzystuje średnią harmoniczną, odwrotność średniej arytmetycznej odwrotnych wartości atrybutu. Podobnie jak średnia arytmetyczna, może być prosta i ważona. Stosuje się go, gdy niezbędne wagi (f i) w danych wyjściowych nie są określone bezpośrednio, ale są uwzględnione jako współczynnik w jednym z dostępnych wskaźników (tj. Gdy znany jest licznik początkowego stosunku średniej, ale jego mianownik jest nieznany).

Harmoniczne średnioważone

Iloczyn xf daje objętość uśrednionej charakterystyki x dla zbioru jednostek i jest oznaczany w. Jeżeli dane źródłowe zawierają wartości uśrednianej cechy x i objętość uśrednianej cechy w, to do obliczenia średniej stosuje się metodę ważonych harmonicznych:

gdzie x jest wartością uśrednionej cechy x (wariant); w – waga wariantów x, objętość uśrednionej cechy.

Średnia harmoniczna nieważona (prosta)

Ta forma średnia, używana znacznie rzadziej, ma następującą postać:

gdzie x jest wartością uśrednianej cechy; n – liczba wartości x.

Te. jest to odwrotność prostej średniej arytmetycznej odwrotności wartości atrybutu.

W praktyce średnia harmoniczna prosta jest rzadko stosowana w przypadkach, gdy wartości w dla jednostek populacji są równe.

Średni kwadrat i średni sześcienny

W wielu przypadkach w praktyce gospodarczej istnieje potrzeba obliczenia średniej wielkości cechy wyrażonej w jednostkach kwadratowych lub sześciennych. Następnie stosuje się średnią kwadratową (na przykład do obliczenia średniej wielkości boku i odcinków kwadratowych, średnich średnic rur, pni itp.) Oraz średnią sześcienną (na przykład przy określaniu średniej długości boku i kostki).

Jeżeli zastępując poszczególne wartości cechy wartością średnią, konieczne jest zachowanie sumy kwadratów wartości pierwotnych bez zmiany, wówczas średnia będzie średnią wartością kwadratową, prostą lub ważoną.

Prosty średni kwadrat

Simple stosuje się, jeśli każda wartość atrybutu x występuje raz, na ogół ma postać:

gdzie jest kwadratem wartości uśrednianej cechy; - liczba jednostek w populacji.

Średni ważony kwadrat

Średni ważony kwadrat stosuje się, jeśli każda wartość uśrednionej cechy x występuje f razy:

gdzie f jest wagą opcji x.

Średnia sześcienna prosta i ważona

Średnia sześcienna liczba pierwsza to pierwiastek sześcienny z ilorazu dzielenia sumy kostek poszczególnych wartości atrybutów przez ich liczbę:

gdzie są wartości atrybutu, n jest ich liczbą.

Średnia waga sześcienna:

gdzie f jest wagą opcji x.

Średnie kwadratowe i sześcienne mają ograniczone zastosowanie w praktyce statystycznej. Statystyka średniokwadratowa jest szeroko stosowana, ale nie na podstawie samych opcji x , oraz z ich odchyleń od średniej przy obliczaniu wskaźników zmienności.

Średnią można obliczyć nie dla wszystkich, ale dla jakiejś części jednostek w populacji. Przykładem takiej średniej może być średnia progresywna jako jedna ze średnich cząstkowych, obliczana nie dla wszystkich, a tylko dla „najlepszych” (np. dla wskaźników powyżej lub poniżej średnich indywidualnych).

Średnia geometryczna

Jeżeli wartości uśrednianej cechy znacząco różnią się od siebie lub są określone współczynnikami (tempo wzrostu, wskaźniki cen), wówczas do obliczeń stosuje się średnią geometryczną.

Średnią geometryczną oblicza się poprzez wyodrębnienie pierwiastka stopnia i z iloczynów poszczególnych wartości - wariantów cechy X:

gdzie n jest liczbą opcji; P - znak produktu.

Średnia geometryczna jest najczęściej stosowana do wyznaczania średniej szybkości zmian w szeregach dynamiki, a także szeregach rozkładu.

Wartości średnie są ogólnymi wskaźnikami, w których wyraża się wpływ warunków ogólnych i wzór badanego zjawiska. Średnie statystyczne obliczane są na podstawie danych masowych pochodzących z prawidłowo zorganizowanej statystycznie obserwacji mas (ciągłej lub próbnej). Jednakże średnia statystyczna będzie obiektywna i typowa, jeśli zostanie obliczona na podstawie danych masowych dla jakościowo jednorodnej populacji (zjawiska masowe). Stosowanie średnich powinno wynikać z dialektycznego rozumienia kategorii ogółu i jednostki, masy i jednostki.

Połączenie średnich ogólnych ze średnimi grupowymi umożliwia ograniczenie jakościowo jednorodnych populacji. Dzieląc masę obiektów składających się na to lub inne złożone zjawisko na wewnętrznie jednorodne, ale jakościowo różne grupy, charakteryzując każdą z grup swoją średnią, możliwe jest ujawnienie rezerw procesu wyłaniania się nowej jakości. Na przykład rozkład populacji według dochodów pozwala nam zidentyfikować powstawanie nowych grup społecznych. W części analitycznej przyjrzeliśmy się konkretnemu przykładowi wykorzystania wartości średniej. Podsumowując, można powiedzieć, że zakres i wykorzystanie średnich w statystyce jest dość szerokie.

Zadanie praktyczne

Zadanie nr 1

Określ średni kurs zakupu i średni kurs sprzedaży jednego dolara amerykańskiego

Średni wskaźnik zakupu

Średni kurs sprzedaży

Zadanie nr 2

Dynamikę wolumenu własnych produktów gastronomicznych w obwodzie czelabińskim w latach 1996-2004 przedstawiono w tabeli w porównywalnych cenach (w milionach rubli)

Zamknij wiersze A i B. Aby przeanalizować szereg dynamiki produkcji wyrobów gotowych, oblicz:

1. Wzrost bezwzględny, wzrost łańcuchowy i bazowy oraz stopy wzrostu

2. Średnioroczna produkcja wyrobów gotowych

3. Średnioroczne tempo wzrostu i przyrostu produktów firmy

4. Dokonać analitycznego wyrównania szeregów dynamiki i obliczyć prognozę na rok 2005

5. Przedstaw graficznie szereg dynamiki

6. Wyciągnij wnioski na podstawie wyników dynamiki

1) yi B = yi-y1 yi C = yi-y1

y2 B = 2,175 – 2,04 y2 C = 2,175 – 2,04 = 0,135

y3B = 2,505 – 2,04 y3 C = 2,505 – 2,175 = 0,33

y4 B = 2,73 – 2,04 y4 C = 2,73 – 2,505 = 0,225

y5 B = 1,5 – 2,04 y5 C = 1,5 – 2,73 = 1,23

y6 B = 3,34 – 2,04 y6 C = 3,34 – 1,5 = 1,84

y7 B = 3,6 3 – 2,04 y7 C = 3,6 3 – 3,34 = 0,29

y8 B = 3,96 – 2,04 y8 C = 3,96 – 3,63 = 0,33

y9 B = 4,41–2,04 y9 C = 4,41 – 3,96 = 0,45

Tr B2 Tr Ts2

Tr B3 Tr Ts3

Tr B4 Tr Ts4

Tr B5 Tr Ts5

Tr B6 Tr Ts6

Tr B7 Tr Ts7

Tr B8 Tr Ts8

Tr B9 Tr Ts9

Tr B = (TprB *100%) – 100%

Tr B2 = (1,066*100%) – 100% = 6,6%

Tr Ts3 = (1,151*100%) – 100% = 15,1%

2) j milion rubli – średnia produktywność produktu

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) = (1,745-2,04) = 0,087

(yt-yt) = (1,745-2,921) = 1,382

(y-yt) = (2,04–2,921) = 0,776

Przez

rok 2005=2,921+1,496*4=2,921+5,984=8,905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

Zadanie nr 3

Dane statystyczne dotyczące hurtowych dostaw artykułów spożywczych i nieżywnościowych oraz sieci handlu detalicznego województwa w latach 2003 i 2004 przedstawiono na odpowiednich wykresach.

Zgodnie z tabelami 1 i 2 jest to wymagane

1. Znajdź ogólny wskaźnik hurtowej podaży produktów spożywczych w cenach rzeczywistych;

2. Znajdź ogólny wskaźnik rzeczywistej wielkości dostaw żywności;

3. Porównaj ogólne wskaźniki i wyciągnij odpowiednie wnioski;

4. Znajdź ogólny wskaźnik podaży towarów nieżywnościowych w cenach rzeczywistych;

5. Znajdź ogólny wskaźnik fizycznej wielkości podaży produktów nieżywnościowych;

6. Porównywać uzyskane wskaźniki i wyciągać wnioski na temat produktów nieżywnościowych;

7. Znaleźć skonsolidowane ogólne wskaźniki podaży całej masy towaru w cenach rzeczywistych;

8. Znajdź skonsolidowany ogólny wskaźnik objętości fizycznej (dla całej masy towaru);

9. Porównaj otrzymane wskaźniki sumaryczne i wyciągnij odpowiedni wniosek.

Okres bazowy		Okres sprawozdawczy (2004)	Dostawy okresu sprawozdawczego w cenach okresu bazowego
			Dostawy okresu sprawozdawczego w cenach okresu bazowego



	1,291-0,681=0,61= - 39 Wniosek Podsumowując, podsumujmy. Wartości średnie są ogólnymi wskaźnikami, w których wyraża się wpływ warunków ogólnych i wzór badanego zjawiska. Średnie statystyczne obliczane są na podstawie danych masowych pochodzących z prawidłowo zorganizowanej statystycznie obserwacji mas (ciągłej lub próbnej). Jednakże średnia statystyczna będzie obiektywna i typowa, jeśli zostanie obliczona na podstawie danych masowych dla jakościowo jednorodnej populacji (zjawiska masowe). Stosowanie średnich powinno wynikać z dialektycznego rozumienia kategorii ogółu i jednostki, masy i jednostki. Średnia odzwierciedla to, co wspólne w każdym indywidualnym, indywidualnym przedmiocie, dlatego też średnia nabiera ogromnego znaczenia w identyfikowaniu wzorców właściwych masowym zjawiskom społecznym, a niewidocznych w zjawiskach indywidualnych. Odchylenie jednostki od ogółu jest przejawem procesu rozwoju. W niektórych odosobnionych przypadkach mogą zostać ustanowione elementy nowego, zaawansowanego. W tym przypadku to właśnie czynniki specyficzne, rozpatrywane na tle wartości średnich, charakteryzują proces rozwoju. Średnia odzwierciedla zatem charakterystyczny, typowy, rzeczywisty poziom badanych zjawisk. Charakterystyka tych poziomów oraz ich zmiany w czasie i przestrzeni są jednym z głównych problemów średnich. W ten sposób manifestuje się na przykład poprzez średnie cechy przedsiębiorstw na pewnym etapie rozwoju gospodarczego; zmiany w dobrobycie ludności znajdują odzwierciedlenie w przeciętnych zarobkach, dochodach rodziny w ogóle i poszczególnych grup społecznych oraz poziomie konsumpcji produktów, towarów i usług. Wskaźnik przeciętny jest wartością typową (zwykłą, normalną, dominującą jako całość), ale jest taką, ponieważ kształtuje się w normalnych, naturalnych warunkach istnienia określonego zjawiska masowego, rozpatrywanego całościowo. Średnia odzwierciedla obiektywną właściwość zjawiska. W rzeczywistości często istnieją tylko zjawiska odbiegające od normy, a przeciętność jako zjawisko może nie istnieć, chociaż koncepcja typowości zjawiska jest zapożyczona z rzeczywistości. Wartość średnia jest odzwierciedleniem wartości badanej cechy i dlatego jest mierzona w tym samym wymiarze co ta cecha. Istnieją jednak różne sposoby przybliżania poziomu rozmieszczenia populacji w celu porównania sumarycznych cech, które nie są ze sobą bezpośrednio porównywalne, na przykład średnia wielkość populacji w stosunku do terytorium (średnia gęstość zaludnienia). W zależności od tego, który czynnik należy wyeliminować, zostanie również określona zawartość średniej. Połączenie średnich ogólnych ze średnimi grupowymi umożliwia ograniczenie jakościowo jednorodnych populacji. Dzieląc masę obiektów składających się na to lub inne złożone zjawisko na wewnętrznie jednorodne, ale jakościowo różne grupy, charakteryzując każdą z grup swoją średnią, możliwe jest ujawnienie rezerw procesu wyłaniania się nowej jakości. Na przykład rozkład populacji według dochodów pozwala nam zidentyfikować powstawanie nowych grup społecznych. W części analitycznej przyjrzeliśmy się konkretnemu przykładowi wykorzystania wartości średniej. Podsumowując, można powiedzieć, że zakres i wykorzystanie średnich w statystyce jest dość szerokie. Bibliografia 1. Gusarov, V.M. Teoria statystyki według jakości [Tekst]: podręcznik. zasiłek / V.M. Podręcznik Gusarowa dla uniwersytetów. - M., 1998 2. Edronova, N.N. Ogólna teoria statystyki [Tekst]: podręcznik / wyd. N.N. Edronova - M.: Finanse i statystyka 2001 - 648 s. 3. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. Ogólna teoria statystyki [Tekst]: Podręcznik / wyd. Członek korespondent RAS II Eliseeva. – wyd. 4, poprawione. i dodatkowe - M.: Finanse i Statystyka, 1999. - 480 s.: il. 4. Efimova M.R., Petrova E.V., Rumyantsev V.N. Ogólna teoria statystyki: [Tekst]: Podręcznik. - M.: INFRA-M, 1996. - 416 s. 5. Ryauzova, N.N. Ogólna teoria statystyki [Tekst]: podręcznik / wyd. N.N. Ryauzova - M.: Finanse i statystyka, 1984. Gusarow V.M. Teoria statystyki: Podręcznik. Podręcznik dla uniwersytetów. - M., 1998.-str.60. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. Ogólna teoria statystyki. - M., 1999.-str.76. Gusarow V.M. Teoria statystyki: Podręcznik. Podręcznik dla uniwersytetów. -M., 1998.-str.61.