Tekst pracy publikujemy bez obrazów i formuł.
Pełna wersja pracy dostępna jest w zakładce „Pliki Pracy” w formacie PDF
Wstęp
Geometria jest jednym z najważniejszych elementów edukacji matematycznej, niezbędnym do zdobycia specyficznej wiedzy o przestrzeni i praktycznych umiejętności, ukształtowania języka opisu obiektów w otaczającym świecie, rozwoju wyobraźni przestrzennej i intuicji, kultury matematycznej a także dla edukacji estetycznej. Studiowanie geometrii przyczynia się do rozwoju logicznego myślenia i kształtowania umiejętności dowodowych.
Zajęcia z geometrii w klasie VII systematyzują wiedzę o najprostszych figurach geometrycznych i ich własnościach; wprowadzono pojęcie równości liczb; rozwijana jest umiejętność udowadniania równości trójkątów za pomocą badanych znaków; wprowadzono klasę problemów związanych z konstruowaniem przy użyciu kompasu i linijki; wprowadzono jedno z najważniejszych pojęć - pojęcie linii równoległych; rozważane są nowe interesujące i ważne właściwości trójkątów; rozważa się jedno z najważniejszych twierdzeń geometrii - twierdzenie o sumie kątów trójkąta, które pozwala nam klasyfikować trójkąty według kątów (ostry, prostokątny, rozwarty).
W trakcie zajęć, szczególnie przy przechodzeniu z jednej części lekcji na drugą, zmianie zajęć, pojawia się pytanie o utrzymanie zainteresowania zajęciami. Zatem, odpowiedni Powstaje pytanie o wykorzystanie na zajęciach z geometrii zadań obejmujących stan sytuacji problemowej i elementy kreatywności. Zatem, zamiar Celem pracy jest usystematyzowanie zadań o treści geometrycznej z elementami twórczości i sytuacji problemowych.
Przedmiot badań: Zadania z geometrii z elementami kreatywności, rozrywki i sytuacji problemowych.
Cele badań: Analizować istniejące zadania z geometrii, mające na celu rozwój logiki, wyobraźni i twórczego myślenia. Pokaż, jak możesz rozwinąć zainteresowanie danym tematem, stosując techniki rozrywkowe.
Teoretyczne i praktyczne znaczenie badań polega na tym, że zebrany materiał można wykorzystać w procesie dodatkowych lekcji z geometrii, czyli na olimpiadach i konkursach z geometrii.
Zakres i struktura badania:
Opracowanie składa się ze wstępu, dwóch rozdziałów, zakończenia, bibliografii, zawiera 14 stron tekstu głównego maszynowego, 1 tabelę, 10 rycin.
Rozdział 1. PŁASKIE FIGURY GEOMETRYCZNE. PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE
1.1. Podstawowe figury geometryczne w architekturze budynków i budowli
W otaczającym nas świecie istnieje wiele obiektów materialnych o różnych kształtach i rozmiarach: budynki mieszkalne, części maszyn, książki, biżuteria, zabawki itp.
W geometrii zamiast wyrazu obiekt mówi się figurę geometryczną, dzieląc figury geometryczne na płaskie i przestrzenne. W tej pracy rozważymy jedną z najciekawszych sekcji geometrii - planimetrię, w której brane są pod uwagę tylko figury płaskie. Planimetria(z łac. planum - „płaszczyzna”, starożytny grecki μετρεω - „miara”) - część geometrii euklidesowej badająca figury dwuwymiarowe (jednopłaszczyznowe), to znaczy figury, które można umieścić w tej samej płaszczyźnie. Płaska figura geometryczna to taka, w której wszystkie punkty leżą na tej samej płaszczyźnie. Każdy rysunek wykonany na kartce papieru daje wyobrażenie o takiej figurze.
Ale zanim rozważymy figury płaskie, należy zapoznać się z prostymi, ale bardzo ważnymi figurami, bez których figury płaskie po prostu nie mogą istnieć.
Najprostsza figura geometryczna to kropka. To jedna z głównych figur geometrycznych. Jest bardzo mały, ale zawsze służy do budowania różnych kształtów na płaszczyźnie. Chodzi o główną postać dla absolutnie wszystkich konstrukcji, nawet o najwyższej złożoności. Z matematycznego punktu widzenia punkt to abstrakcyjny obiekt przestrzenny, który nie ma takich cech jak powierzchnia czy objętość, ale jednocześnie pozostaje podstawowym pojęciem w geometrii.
Prosty- jedno z podstawowych pojęć geometrii.W systematycznym przedstawianiu geometrii za jedno z pojęć początkowych przyjmuje się zwykle linię prostą, o której jedynie pośrednio decydują aksjomaty geometrii (euklidesowe). Jeżeli podstawą konstruowania geometrii jest pojęcie odległości między dwoma punktami w przestrzeni, to linię prostą można zdefiniować jako linię, po której droga jest równa odległości między dwoma punktami.
Linie proste w przestrzeni mogą zajmować różne pozycje, rozważmy niektóre z nich i podamy przykłady występujące w wyglądzie architektonicznym budynków i budowli (tabela 1):
Tabela 1
|
Równoległe linie |
Właściwości prostych równoległych |
|
|
Jeśli linie są równoległe, wówczas ich rzuty o tej samej nazwie są równoległe: |
Essentuki, budynek łaźni borowinowej (fot. autorka) |
|
|
Przecinające się linie |
Właściwości linii przecinających się |
Przykłady w architekturze budynków i budowli |
|
Przecinające się linie mają wspólny punkt, to znaczy punkty przecięcia ich rzutów o tej samej nazwie leżą na wspólnej linii połączenia: |
Budynki „górskie” na Tajwanie https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane |
|
|
Przekraczanie linii |
Właściwości linii skośnych |
Przykłady w architekturze budynków i budowli |
|
Linie proste, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie i nie są do siebie równoległe, przecinają się. Żadna nie jest wspólną linią komunikacyjną. Jeżeli linie przecinające się i równoległe leżą w tej samej płaszczyźnie, to linie przecinające się leżą w dwóch równoległych płaszczyznach. |
Robercie, Hubercie – Villa Madama pod Rzymem https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287 |
1.2. Płaskie kształty geometryczne. Właściwości i definicje
Obserwując formy roślin i zwierząt, góry i meandry rzek, cechy krajobrazu i odległe planety, człowiek zapożyczył od natury jej właściwe formy, rozmiary i właściwości. Potrzeby materialne skłoniły ludzi do budowy domów, wytwarzania narzędzi do pracy i polowań, rzeźbienia naczyń z gliny i tak dalej. Wszystko to stopniowo przyczyniło się do zrozumienia przez człowieka podstawowych pojęć geometrycznych.
Czworokąty:
Równoległobok(starożytny grecki παραλληλόγραμμον od παράλληλος - równoległy i γραμμή - linia, linia) to czworobok, którego przeciwne strony są parami równoległe, to znaczy leżą na równoległych liniach.
Znaki równoległoboku:
Czworokąt jest równoległobokiem, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków: 1. Jeżeli w czworokącie przeciwne boki są parami równe, to czworokąt jest równoległobokiem. 2. Jeśli w czworokącie przekątne przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia, to ten czworobok jest równoległobokiem. 3. Jeśli dwa boki czworokąta są równe i równoległe, to ten czworokąt jest równoległobokiem.
Równoległobok, którego wszystkie kąty są proste, nazywa się prostokąt.
Nazywa się równoległobok, w którym wszystkie boki są równe diament
Trapez— Jest to czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa boki nie są równoległe. Trapez jest także czworokątem, w którym jedna para przeciwnych boków jest równoległa, a boki nie są sobie równe.
Trójkąt to najprostsza figura geometryczna utworzona przez trzy odcinki łączące trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej. Te trzy punkty nazywane są wierzchołkami trójkąt, a segmenty są bokami trójkąt. Właśnie ze względu na swoją prostotę trójkąt był podstawą wielu pomiarów. Geodeci przy obliczaniu powierzchni lądów oraz astronomowie przy ustalaniu odległości do planet i gwiazd korzystają z właściwości trójkątów. W ten sposób powstała trygonometria – nauka o mierzeniu trójkątów, wyrażaniu boków poprzez ich kąty. Pole dowolnego wielokąta wyraża się poprzez obszar trójkąta: wystarczy podzielić ten wielokąt na trójkąty, obliczyć ich pola i dodać wyniki. To prawda, że \u200b\u200bnie było od razu możliwe znalezienie prawidłowego wzoru na pole trójkąta.
Właściwości trójkąta były szczególnie aktywnie badane w XV-XVI wieku. Oto jedno z najpiękniejszych twierdzeń tamtych czasów, autorstwa Leonharda Eulera:
Ogromny nakład prac nad geometrią trójkąta, prowadzony w XY-XIX w., stworzył wrażenie, że o trójkącie wiedziano już wszystko.
Wielokąt - jest to figura geometryczna, zwykle definiowana jako zamknięta polilinia.
Koło- miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, od którego odległość do danego punktu, zwanego środkiem okręgu, nie przekracza zadanej nieujemnej liczby, zwanej promieniem tego okręgu. Jeśli promień wynosi zero, okrąg degeneruje się w punkt.
Kształtów geometrycznych jest bardzo dużo, wszystkie różnią się parametrami i właściwościami, czasem zaskakując kształtami.
Aby lepiej zapamiętać i rozróżnić figury płaskie według właściwości i cech, wymyśliłem geometryczną bajkę, którą chciałbym Państwu przedstawić w następnym akapicie.
Rozdział 2. PUZZLE Z PŁASKICH FIGUR GEOMETRYCZNYCH
2.1.Łamigłówki do budowy złożonej figury z zestawu płaskich elementów geometrycznych.
Po przestudiowaniu płaskich kształtów zastanawiałem się, czy są jakieś interesujące problemy z płaskimi kształtami, które można wykorzystać jako gry lub puzzle. Pierwszym problemem, jaki znalazłem, była łamigłówka Tangram.
To chińska łamigłówka. W Chinach nazywa się to „chi tao tu”, czyli siedmioelementową łamigłówką mentalną. W Europie nazwa „Tangram” najprawdopodobniej powstała od słowa „tan”, co oznacza „chiński” i rdzenia „gram” (z greckiego „litera”).
Najpierw musisz narysować kwadrat 10 x 10 i podzielić go na siedem części: pięć trójkątów 1-5 , kwadrat 6 i równoległobok 7 . Istota układanki polega na tym, aby ze wszystkich siedmiu elementów ułożyć figury pokazane na ryc. 3.
Ryc.3. Elementy gry „Tangram” i kształty geometryczne
Ryc.4. Zadania tangramowe
Szczególnie interesujące jest tworzenie „ukształtowanych” wielokątów z płaskich figur, znając jedynie kontury obiektów (ryc. 4). Kilka takich zadań konspektowych wymyśliłam sama i pokazałam je kolegom z klasy, którzy z radością przystąpili do rozwiązywania zadań i stworzyli wiele ciekawych figur wielościennych, przypominających kontury obiektów w otaczającym nas świecie.
Aby rozwijać wyobraźnię, można wykorzystać także takie formy zabawnych puzzli, jak zadania polegające na wycinaniu i odtwarzaniu podanych figur.
Przykład 2. Zadania związane z cięciem (parkietem) mogą na pierwszy rzut oka wydawać się dość zróżnicowane. Jednak większość z nich stosuje tylko kilka podstawowych rodzajów cięć (najczęściej takie, które można wykorzystać do stworzenia kolejnego z jednego równoległoboku).
Przyjrzyjmy się niektórym technikom cięcia. W tym przypadku będziemy nazywać liczby wycięte wielokąty.
Ryż. 5. Techniki cięcia
Rysunek 5 przedstawia kształty geometryczne, z których można złożyć różne kompozycje zdobnicze i stworzyć ozdobę własnoręcznie.
Przykład 3. Kolejne ciekawe zadanie, które możesz wymyślić samodzielnie i wymienić z innymi uczniami, a zwycięzcą zostaje ten, kto zbierze najwięcej wyciętych kawałków. Zadań tego typu może być całkiem sporo. Do kodowania można wykorzystać wszystkie istniejące kształty geometryczne, które są pocięte na trzy lub cztery części.
Rys. 6. Przykładowe zadania cięcia:
------ - odtworzony plac; - ciąć nożyczkami;
Podstawowa figura
2.2 Postacie jednakowej wielkości i jednakowo skomponowane
Rozważmy inną interesującą technikę wycinania płaskich figur, gdzie głównymi „bohaterami” cięć będą wielokąty. Przy obliczaniu pól wielokątów stosuje się prostą technikę zwaną metodą partycjonowania.
Ogólnie wielokąty nazywane są równo utworzonymi, jeśli po przecięciu wielokąta w określony sposób F na skończoną liczbę części, można przez odmienne ułożenie tych części utworzyć z nich wielokąt H.
Prowadzi to do następujących rzeczy twierdzenie: Wielokąty równoboczne mają tę samą powierzchnię, więc będą uważane za równe pod względem powierzchni.
Na przykładzie wielokątów równostronnych możemy rozważyć tak ciekawe cięcie, jak przekształcenie „krzyża greckiego” w kwadrat (ryc. 7).
Ryc.7. Transformacja „Krzyża greckiego”
W przypadku mozaiki (parkietu) złożonej z krzyży greckich równoległobok kropek jest kwadratem. Problem możemy rozwiązać nakładając mozaikę złożoną z kwadratów na mozaikę utworzoną za pomocą krzyżyków, tak aby punkty przystające jednej mozaiki pokrywały się z punktami przystającymi drugiej (ryc. 8).
Na rysunku przystające punkty mozaiki krzyży, a mianowicie środki krzyży, pokrywają się z przystającymi punktami mozaiki „kwadratowej” - wierzchołkami kwadratów. Przesuwając kwadratową mozaikę równolegle, zawsze uzyskamy rozwiązanie problemu. Co więcej, problem ma kilka możliwych rozwiązań, jeśli przy komponowaniu ozdoby parkietowej zostanie użyty kolor.
Ryc.8. Parkiet wykonany z krzyża greckiego
Inny przykład figur o jednakowych proporcjach można rozważyć na przykładzie równoległoboku. Na przykład równoległobok jest odpowiednikiem prostokąta (ryc. 9).
Przykład ten ilustruje metodę partycjonowania, która polega na obliczeniu pola wielokąta poprzez próbę podzielenia go na skończoną liczbę części w taki sposób, aby z tych części można było stworzyć prostszy wielokąt, którego powierzchnię już znamy.
Na przykład trójkąt jest odpowiednikiem równoległoboku mającego tę samą podstawę i połowę wysokości. Z tej pozycji łatwo wyprowadzić wzór na pole trójkąta.
Należy zauważyć, że powyższe twierdzenie również jest prawdziwe twierdzenie odwrotne: jeśli dwa wielokąty są równej wielkości, to są one równoważne.
Twierdzenie to udowodnione w pierwszej połowie XIX wieku. węgierskiego matematyka F. Bolyai oraz niemieckiego oficera i miłośnika matematyki P. Gerwina, można przedstawić w ten sposób: jeśli jest tort w kształcie wielokąta i wielokątne pudełko o zupełnie innym kształcie, ale tej samej powierzchni , następnie możesz pokroić ciasto na skończoną liczbę kawałków (bez odwracania ich kremową stroną do dołu), aby można je było umieścić w tym pudełku.
Wniosek
Na zakończenie zaznaczę, że zadań na figurach płaskich jest dość dużo w różnych źródłach, jednak te, które mnie zainteresowały, to te, na podstawie których musiałem wymyślić własne zagadki.
W końcu rozwiązując takie problemy, możesz nie tylko gromadzić doświadczenie życiowe, ale także zdobywać nową wiedzę i umiejętności.
W łamigłówkach, konstruując akcje-ruchy za pomocą rotacji, przesunięć, translacji na płaszczyźnie lub ich kompozycji, samodzielnie tworzyłem nowe obrazy, na przykład figury wielościanowe z gry „Tangram”.
Wiadomo, że głównym kryterium mobilności myślenia człowieka jest zdolność, poprzez wyobraźnię rekonstrukcyjną i twórczą, do wykonywania określonych czynności w określonym czasie, a w naszym przypadku przemieszczania się figur na płaszczyźnie. Dlatego studiowanie w szkole matematyki, a w szczególności geometrii, da mi jeszcze większą wiedzę, którą będę mógł później zastosować w mojej przyszłej działalności zawodowej.
Bibliografia
1. Pavlova, L.V. Nietradycyjne podejścia do nauczania rysunku: podręcznik / L.V. Pawłowa. - Niżny Nowogród: Wydawnictwo NSTU, 2002. - 73 s.
2. Słownik encyklopedyczny młodego matematyka / komp. AP Sabina. - M.: Pedagogika, 1985. - 352 s.
3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053
Aneks 1
Ankieta dla kolegów z klasy
1. Czy wiesz, czym jest łamigłówka Tangram?
2. Co to jest „krzyż grecki”?
3. Czy chciałbyś wiedzieć, czym jest „Tangram”?
4. Czy chciałbyś wiedzieć, czym jest „krzyż grecki”?
Przebadano 22 uczniów klas ósmych. Wyniki: 22 uczniów nie wie, co to jest „Tangram” i „krzyż grecki”. 20 uczniów byłoby zainteresowanych nauką wykorzystania układanki Tangram, składającej się z siedmiu płaskich figur, w celu uzyskania bardziej złożonej figury. Wyniki ankiety podsumowano w formie diagramu.
Załącznik 2
Elementy gry „Tangram” i kształty geometryczne
Transformacja „Krzyża greckiego”
1. Pojęcie figury geometrycznej.
3. Linie równoległe i prostopadłe.
4. Trójkąty.
5. Czworoboki.
6. Wielokąty.
7. Koło i kółko.
8. Konstrukcja figur geometrycznych na płaszczyźnie.
9. Przekształcenia kształtów geometrycznych. Koncepcja transformacji
Literatura główna;
dodatkowa literatura
Koncepcja figury geometrycznej
Figura geometryczna zdefiniowany jako dowolny zbiór punktów.
Odcinek, linia prosta, okrąg, piłka- figury geometryczne.
Jeżeli wszystkie punkty figury geometrycznej należą do jednej płaszczyzny, nazywa się to płaski .
Na przykład odcinek, prostokąt to figury płaskie. Istnieją figury, które nie są płaskie. Jest to na przykład sześcian, kula, piramida.
Ponieważ pojęcie figury geometrycznej definiuje się poprzez koncepcję zbioru, możemy powiedzieć, że jedna figura jest zawarta w drugiej (lub zawarta w innej), możemy rozważyć sumę, przecięcie i różnicę figur.
Na przykład, połączenie dwóch promieni AB I MK(ryc. 1) jest prosty KV, a ich przecięcie jest odcinkiem JESTEM.
K A M V
Figury wypukłe to płaszczyzna, linia prosta, półprosta, odcinek i punkt. Łatwo sprawdzić, że figura wypukła jest okręgiem (rys. 3). Jeśli będziemy kontynuować odcinek XY, aż przetnie się on z okręgiem, otrzymamy cięciwę AB. Ponieważ cięciwa zawarta jest w okręgu, odcinek XY również zawiera się w okręgu i dlatego okrąg jest figurą wypukłą.
W przypadku wielokątów znana jest inna definicja: wielokąt nazywany jest wypukłym, jeśli leży po jednej stronie każdej linii zawierającej jego bok .
Ponieważ udowodniono równoważność tej definicji i definicji podanej powyżej dla wielokąta, możemy użyć obu.
W oparciu o te koncepcje rozważmy inne figury geometryczne badane na szkolnym kursie planimetrii. Rozważmy ich definicje i podstawowe właściwości, przyjmując je bez dowodu. Znajomość tego materiału i umiejętność zastosowania go do rozwiązywania prostych problemów geometrycznych jest podstawą, na której można zbudować metodykę nauczania elementów geometrii dla uczniów szkół podstawowych.
Kąty
Przypomnijmy Ci to kąt to figura geometryczna składająca się z punktu i dwóch promieni wychodzących z tego punktu.
Promienie nazywane są bokami kąta, a ich wspólnym początkiem jest jego wierzchołek.
Kąt wyznacza się na różne sposoby: albo wskazuje się jego wierzchołek, albo boki, albo trzy punkty: wierzchołek i dwa punkty na bokach kąta: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.
Kąt nazywa się rozszerzony , jeśli jego boki leżą na tej samej linii prostej.
Nazywa się kąt będący połową kąta prostego bezpośredni. Nazywa się kąt mniejszy od kąta prostego pikantny. Kąt większy od kąta prostego, ale mniejszy od kąta prostego nazywa się głupi .
Oprócz podanego powyżej pojęcia kąta, w geometrii rozważa się pojęcie kąta płaskiego.
Kąt płaski to część płaszczyzny ograniczona dwoma różnymi promieniami wychodzącymi z tego samego punktu.
Kąty uwzględniane w planimetrii nie przekraczają kąta rozłożonego.
Nazywa się dwa kąty przylegający, jeśli mają jedną stronę wspólną, a pozostałe strony tych kątów są dodatkowymi półprostymi.
Suma kątów przyległych wynosi 180°. Ważność tej właściwości wynika z definicji kątów sąsiednich.
Nazywa się dwa kąty pionowy, jeśli boki jednego kąta są dopełniającymi się półliniami boków drugiego. Kąty AOB i COB oraz kąty AOC i D0B są pionowe (rys. 4).
Odcinek oznacza się w taki sam sposób, jak linię prostą. Odcinek jest częścią linii wraz z punktami ograniczającymi tę część. Oczywiste jest, że dwa punkty nie powinny się pokrywać, to znaczy leżeć w tym samym miejscu na linii prostej. Jeśli umieścisz punkt na linii prostej, to za pomocą tego punktu linia prosta zostanie podzielona na dwa promienie, skierowane przeciwnie. Punkty są oznaczone dużymi literami łacińskimi, linie małymi literami łacińskimi. Że linia prosta przechodzi przez te dwa punkty i tylko jeden. Wydaje się to zrozumiałe.
Płaszczyzna, podobnie jak linia prosta, nie widzi ani początku, ani końca. Rozważamy tylko tę część płaszczyzny, która jest ograniczona zamkniętą polilinią. Odcinek, półprosta, linia przerywana to najprostsze figury geometryczne na płaszczyźnie. Punkt to najmniejsza figura geometryczna będąca podstawą innych figur na dowolnym obrazie lub rysunku.
Zwykle w przypadku odcinka linii prostej nie ma znaczenia, w jakiej kolejności rozpatrywane są jego końce: to znaczy odcinki AB (\ displaystyle AB) i BA (\ displaystyle BA) reprezentują ten sam odcinek. Na przykład skierowane segmenty AB(\displaystyle AB) i BA(\displaystyle BA) nie pokrywają się. Dalsze uogólnienia prowadzą do koncepcji wektora - klasy wszystkich odcinków o równej długości i współkierunkowo skierowanych.
Półprosta rozpoczynająca się w punkcie O i zawierająca punkt A nazywana jest „promieniem OA”. Wyszedłeś z mieszkania, kupiłeś chleb w sklepie, podszedłeś do wejścia i zacząłeś rozmawiać z sąsiadem. Jaką linię dostałeś? Problem: gdzie jest prosta, półprosta, odcinek, krzywa?
Ogniwa linii łamanej (podobnie jak ogniwa łańcucha) to odcinki tworzące linię przerywaną. Linki sąsiadujące to linki, w których koniec jednego łącza jest początkiem drugiego. Sąsiadujące linki nie powinny leżeć na tej samej linii prostej. Sąsiadujące wierzchołki są punktami końcowymi jednego boku wielokąta. Mój syn chodzi do szkoły, żeby się przygotować. Podane w książce „Jeden krok, dwa kroki…” (Peterson i Kholina) zadanie „Znajdź linie proste, półproste i segmenty”.
Linia prosta jest jednym z podstawowych pojęć geometrii. Można jednak powiedzieć, że jest to figura geometryczna, którą uzyskuje się z odcinka poprzez nieograniczone jego rozciąganie w obu kierunkach. Krzywa lub linia to pojęcie geometryczne, różnie definiowane w różnych gałęziach geometrii, czasami określane jako „długość bez szerokości” lub jako „granica figury”.
Kandinsky usystematyzował swoje poglądy na malarstwo w książce „Punkt i linia na płaszczyźnie” (1926). Różnorodność linii zależy od liczby tych sił i ich kombinacji. Ostatecznie wszystkie formy linii można sprowadzić do dwóch przypadków: 1.
Zatem poziom jest podstawą nośną na zimno, którą można rozciągać w płaszczyźnie w różnych kierunkach. Chłód i płaskość to główne dźwięki tej linii, można ją określić jako najkrótszą formę nieograniczonej zimnej możliwości ruchu.2. Całkowicie naprzeciw tej linii, zarówno zewnętrznie, jak i wewnętrznie, znajduje się prostopadle do niej pion, w którym płaskość zostaje zastąpiona wysokością, a chłód ciepłem.
Nawet wśród najprostszych figur wyróżnia się ta najprostsza – o to właśnie chodzi. Wszystkie pozostałe figury składają się z wielu punktów. W geometrii zwyczajowo oznacza się punkty dużymi (wielkimi) literami łacińskimi. Linia prosta to nieskończona linia, na której, jeśli weźmiemy dowolne dwa punkty, najkrótsza odległość między nimi będzie przebiegać wzdłuż tej prostej.
Na przykład linia prosta a, linia prosta b. Jednak w niektórych przypadkach są dwa duże. W przeciwnym razie segment będzie miał zerową długość i będzie zasadniczo punktem. Segmenty są oznaczone dwiema dużymi literami, które wskazują końce segmentu.
Podstawowe pojęcia geometryczne
Zatem jeśli odcinek jest ograniczony na obu końcach, to promień ma tylko jedną stronę, a druga strona promienia jest nieskończona, jak linia prosta. Promienie oznacza się w taki sam sposób, jak linie proste: albo jedną małą literą, albo dwoma dużymi.
W geometrii istnieje dział zajmujący się badaniem różnych figur na płaszczyźnie i nazywa się go planimetrią. Wiesz już, że figura to dowolny zbiór punktów znajdujących się na płaszczyźnie. Z materiału przestudiowanego powyżej wiesz już, że punkt odnosi się do głównych figur geometrycznych. Przecież konstrukcja bardziej skomplikowanych figur geometrycznych składa się z wielu punktów charakterystycznych dla danej figury.
Figurę składającą się z dwóch promieni i wierzchołka nazywamy kątem. Złącze promieni jest wierzchołkiem tego kąta, a jego boki są promieniami tworzącymi ten kąt. Trójkąt, który już badałeś, również należy do prostych figur geometrycznych. Jest to jeden z typów wielokątów, w których część płaszczyzny jest ograniczona przez trzy punkty i trzy odcinki łączące te punkty parami.
W wielokącie wszystkie punkty łączące odcinki są jego wierzchołkami. A segmenty tworzące wielokąt to jego boki. Ale jeden ze słynnych obrazów, stworzony na początku ubiegłego wieku przez Malewicza, gloryfikuje taką figurę geometryczną jak kwadrat.
W przyszłości będą definicje różnych figur, z wyjątkiem dwóch – punktu i linii prostej. Oznacza to, że czasami linię prostą możemy oznaczyć dwiema dużymi literami łacińskimi, na przykład linią prostą \(AB\), ponieważ przez te dwa punkty nie można poprowadzić żadnej innej linii prostej. 2) Wszystkie linie \(a\), \(b\) i \(c\) przecinają się! Jest to nauka o figurach, ich właściwościach i względnym położeniu. Pierwsze fakty geometryczne odnaleziono w babilońskich tablicach klinowych i egipskich papirusach (III tysiąclecie p.n.e.), a także w innych źródłach.
Punkt to najmniejsza figura geometryczna, która jest podstawą wszystkich innych konstrukcji (figur) na dowolnym obrazie lub rysunku. Część prostej ograniczona dwoma punktami i punktem nazywa się odcinkiem. Płaszczyzna, podobnie jak linia prosta, jest pojęciem początkowym, które nie ma definicji.
Figury geometryczne to zespół punktów, linii, brył lub powierzchni. Elementy te można rozmieścić zarówno na płaszczyźnie, jak i w przestrzeni, tworząc skończoną liczbę linii prostych.
Termin „figura” oznacza kilka zestawów punktów. Muszą być umiejscowione na jednej lub kilku płaszczyznach i jednocześnie ograniczone do określonej liczby wypełnionych linii.
Głównymi figurami geometrycznymi są punkt i linia prosta. Znajdują się one w samolocie. Oprócz nich wśród prostych figur znajduje się promień, linia przerywana i odcinek.
Kropka
To jedna z głównych figur geometrycznych. Jest bardzo mały, ale zawsze służy do budowania różnych kształtów na płaszczyźnie. Chodzi o główną postać dla absolutnie wszystkich konstrukcji, nawet o najwyższej złożoności. W geometrii jest zwykle oznaczany literą alfabetu łacińskiego, na przykład A, B, K, L.
Z matematycznego punktu widzenia punkt to abstrakcyjny obiekt przestrzenny, który nie ma takich cech jak powierzchnia czy objętość, ale jednocześnie pozostaje podstawowym pojęciem w geometrii. Ten zerowymiarowy obiekt po prostu nie ma definicji.
Prosty
Ta figura jest całkowicie umieszczona w jednej płaszczyźnie. Linia prosta nie ma określonej definicji matematycznej, ponieważ składa się z ogromnej liczby punktów znajdujących się na jednej nieskończonej linii, która nie ma granicy ani granic.
Jest też odcinek. To także jest linia prosta, ale zaczyna się i kończy w punkcie, co oznacza, że ma ograniczenia geometryczne.
Linia może również przekształcić się w wiązkę kierunkową. Dzieje się tak, gdy linia prosta zaczyna się od punktu, ale nie ma wyraźnego zakończenia. Jeśli umieścisz punkt na środku linii, wówczas podzieli się on na dwa promienie (dodatkowe) i skierowane będą przeciwnie do siebie.
Kilka odcinków, które są kolejno połączone końcami we wspólnym punkcie i nie znajdują się na tej samej linii prostej, nazywa się zwykle linią łamaną.
Narożnik
Figury geometryczne, których nazwy omówiliśmy powyżej, uważane są za kluczowe elementy wykorzystywane przy budowie bardziej złożonych modeli.
Kąt to konstrukcja składająca się z wierzchołka i dwóch promieni, które z niego wychodzą. Oznacza to, że boki tej figury łączą się w jednym punkcie.
Samolot
Rozważmy inną pierwotną koncepcję. Płaszczyzna to figura, która nie ma końca ani początku, a także linia prosta i punkt. Rozważając ten element geometryczny, bierze się pod uwagę tylko jego część, ograniczoną konturami łamanej linii zamkniętej.
Każdą gładką powierzchnię ograniczoną można uznać za płaszczyznę. Może to być deska do prasowania, kartka papieru, a nawet drzwi.
Czworoboki
Równoległobok to figura geometryczna, której przeciwne boki są do siebie równoległe parami. Do poszczególnych typów tego projektu należą romb, prostokąt i kwadrat.
Prostokąt to równoległobok, w którym wszystkie boki stykają się pod kątem prostym.
Kwadrat to czworokąt o równych bokach i kątach.
Romb to figura, w której wszystkie boki są równe. W takim przypadku kąty mogą być zupełnie inne, ale parami. Każdy kwadrat jest uważany za diament. Ale w drugą stronę zasada ta nie zawsze ma zastosowanie. Nie każdy romb jest kwadratem.
Trapez
Kształty geometryczne mogą być zupełnie inne i dziwaczne. Każdy z nich ma unikalny kształt i właściwości.
Trapez jest figurą nieco podobną do czworoboku. Ma dwie równoległe przeciwne strony i jest uważany za zakrzywiony.
Koło
Ta figura geometryczna implikuje położenie na jednej płaszczyźnie punktów w równej odległości od jej środka. W takim przypadku dany niezerowy segment nazywa się zwykle promieniem.
Trójkąt
Jest to prosta figura geometryczna, która jest bardzo często spotykana i badana.
Trójkąt jest uważany za podtyp wielokąta, położony na jednej płaszczyźnie i ograniczony trzema krawędziami i trzema punktami styku. Elementy te są łączone parami.
Wielokąt
Wierzchołki wielokątów to punkty łączące odcinki. A ci z kolei są uważani za strony.
Wolumetryczne kształty geometryczne
- pryzmat;
- kula;
- stożek;
- cylinder;
- piramida;
Organy te mają coś wspólnego. Wszystkie ograniczają się do zamkniętej powierzchni, wewnątrz której znajduje się wiele punktów.
Ciała wolumetryczne bada się nie tylko w geometrii, ale także w krystalografii.
Ciekawe fakty
Z pewnością zainteresują Cię informacje podane poniżej.
- Geometria jako nauka powstała już w starożytności. Zjawisko to zwykle wiąże się z rozwojem sztuki i różnych rzemiosł. A nazwy figur geometrycznych wskazują na stosowanie zasad określania podobieństwa i podobieństwa.
- W tłumaczeniu ze starożytnej greki termin „trapez” oznacza stół do posiłku.
- Jeśli przyjmiesz różne kształty, których obwód jest taki sam, wówczas okrąg będzie miał największą powierzchnię.
- W tłumaczeniu z języka greckiego termin „szyszka” oznacza szyszkę.
- Znajduje się tu słynny obraz Kazimierza Malewicza, który od ubiegłego stulecia przyciąga wzrok wielu malarzy. Dzieło „Czarny kwadrat” zawsze było mistyczne i tajemnicze. Geometryczna figura na białym płótnie zachwyca i zadziwia jednocześnie.
Istnieje duża liczba kształtów geometrycznych. Wszystkie różnią się parametrami, a czasem nawet zaskakują kształtem.
2.1. Kształty geometryczne na płaszczyźnie
W ostatnich latach pojawiła się tendencja do włączania znacznej ilości materiału geometrycznego do początkowego kursu matematyki. Aby jednak zapoznać uczniów z różnymi figurami geometrycznymi i nauczyć ich prawidłowego przedstawiania, potrzebuje odpowiedniego przeszkolenia matematycznego. Nauczyciel musi znać wiodące idee kursu geometrii, znać podstawowe właściwości figur geometrycznych i umieć je konstruować.
Podczas przedstawiania płaskiej figury nie pojawiają się żadne problemy geometryczne. Rysunek służy albo jako dokładna kopia oryginału, albo przedstawia figurę do niego podobną. Patrząc na obraz koła na rysunku, mamy takie samo wrażenie wizualne, jak gdybyśmy patrzyli na oryginalne koło.
Dlatego badanie geometrii rozpoczyna się od planimetrii.
Planimetria to dziedzina geometrii, w której badane są figury na płaszczyźnie.
Figurę geometryczną definiuje się jako dowolny zbiór punktów.
Odcinek, linia prosta, okrąg to kształty geometryczne.
Jeśli wszystkie punkty figury geometrycznej należą do jednej płaszczyzny, nazywa się ją płaską.
Na przykład odcinek, prostokąt to figury płaskie.
Istnieją figury, które nie są płaskie. Jest to na przykład sześcian, kula, piramida.
Ponieważ pojęcie figury geometrycznej definiuje się poprzez koncepcję zbioru, można powiedzieć, że jedna figura zawiera się w drugiej, możemy rozważać sumę, przecięcie i różnicę figur.
Przykładowo suma dwóch półprostych AB i MK to prosta KB, a ich przecięcie to odcinek AM.
Istnieją figury wypukłe i niewypukłe. Figurę nazywamy wypukłą, jeżeli wraz z dwoma dowolnymi jej punktami zawiera także łączący je odcinek.
Figura F1 jest wypukła, a figura F2 nie jest wypukła.
Figury wypukłe to płaszczyzna, linia prosta, półprosta, odcinek i punkt. Nie jest trudno sprawdzić, czy figura wypukła jest okręgiem.
Jeśli będziemy kontynuować odcinek XY, aż przetnie się on z okręgiem, otrzymamy cięciwę AB. Ponieważ cięciwa jest zawarta w okręgu, odcinek XY również zawiera się w okręgu, a zatem okrąg jest figurą wypukłą.
Podstawowe własności najprostszych figur na płaszczyźnie wyrażają się w następujących aksjomatach:
1. Niezależnie od linii, istnieją punkty, które należą do tej linii i do niej nie należą.
Przez dowolne dwa punkty można narysować linię prostą i tylko jedną.
Aksjomat ten wyraża podstawową własność przynależności do punktów i prostych na płaszczyźnie.
2. Z trzech punktów na linii jeden i tylko jeden leży pomiędzy dwoma pozostałymi.
Aksjomat ten wyraża podstawową właściwość położenia punktów na linii prostej.
3. Każdy segment ma pewną długość większą od zera. Długość odcinka jest równa sumie długości części, na które jest on podzielony przez dowolny z jego punktów.
Oczywiście aksjomat 3 wyraża główną właściwość segmentów pomiarowych.
Zdanie to wyraża podstawową właściwość położenia punktów względem prostej na płaszczyźnie.
5. Każdy kąt ma miarę stopnia większą od zera. Kąt rozłożenia wynosi 180°. Miara stopnia kąta jest równa sumie miar stopnia kątów, na które jest on podzielony przez dowolny promień przechodzący między jego bokami.
Aksjomat ten wyraża podstawową właściwość pomiaru kątów.
6. Na dowolnej półprostej od jej punktu początkowego można wykreślić odcinek o danej długości i tylko jeden.
7. Z dowolnej półprostej, w daną półpłaszczyznę, można wprowadzić kąt o danej mierze stopnia mniejszej niż 180 O i tylko jeden.
Aksjomaty te odzwierciedlają podstawowe właściwości układania kątów i odcinków.
Do podstawowych właściwości najprostszych figur należy istnienie trójkąta równego danemu.
8. Niezależnie od trójkąta, w danym miejscu względem danej półprostej znajduje się trójkąt równy.
Podstawowe właściwości prostych równoległych wyraża następujący aksjomat.
9. Przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić na płaszczyźnie nie więcej niż jedną prostą równoległą do danej.
Przyjrzyjmy się niektórym kształtom geometrycznym, których uczy się w szkole podstawowej.
Kąt to figura geometryczna składająca się z punktu i dwóch promieni wychodzących z tego punktu. Promienie nazywane są bokami kąta, a ich wspólnym początkiem jest jego wierzchołek.
Kąt nazywa się rozwiniętym, jeśli jego boki leżą na tej samej linii prostej.
Kąt będący połową kąta prostego nazywamy kątem prostym. Kąt mniejszy od kąta prostego nazywamy ostrym. Kąt większy od kąta prostego, ale mniejszy od kąta prostego, nazywany jest kątem rozwartym.
Oprócz podanego powyżej pojęcia kąta, w geometrii rozważa się pojęcie kąta płaskiego.
Kąt płaski to część płaszczyzny ograniczona dwoma różnymi promieniami wychodzącymi z jednego punktu.
Istnieją dwa kąty płaskie utworzone przez dwa promienie o wspólnym początku. Nazywa się je dodatkowymi. Rysunek przedstawia dwa kąty płaskie o bokach OA i OB, jeden z nich jest zacieniony.
Kąty mogą przylegać do siebie lub być pionowe.
Dwa kąty nazywane są sąsiadującymi, jeśli mają jedną stronę wspólną, a pozostałe strony tych kątów są dopełniającymi się półprostymi.
Suma kątów przyległych wynosi 180 stopni.
Dwa kąty nazywamy pionowymi, jeśli boki jednego kąta są dopełniającymi się półprostymi boków drugiego.
Kąty AOD i SOV oraz kąty AOS i DOV są pionowe.
Kąty pionowe są równe.
Linie równoległe i prostopadłe.
Dwie linie na płaszczyźnie nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają.
Jeśli linia a jest równoległa do linii b, napisz a II c.
Dwie proste nazywamy prostopadłymi, jeśli przecinają się pod kątem prostym.
Jeżeli linia a jest prostopadła do linii b, to napisz a b.
Trójkąty.
Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii i trzech łączących je parami odcinków.
Dowolny trójkąt dzieli płaszczyznę na dwie części: wewnętrzną i zewnętrzną.
W każdym trójkącie wyróżnia się następujące elementy: boki, kąty, wysokości, dwusieczne, środkowe, linie środkowe.
Wysokość trójkąta spuszczonego z danego wierzchołka jest prostopadłą poprowadzoną z tego wierzchołka do prostej zawierającej przeciwny bok.
Dwusieczna trójkąta to dwusieczna część kąta trójkąta łączącego wierzchołek z punktem po przeciwnej stronie.
Mediana trójkąta wyciągniętego z danego wierzchołka to odcinek łączący ten wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Linia środkowa trójkąta to odcinek łączący środki jego dwóch boków.
Czworoboki.
Czworokąt to figura składająca się z czterech punktów i czterech kolejnych łączących je odcinków, przy czym żadne trzy z tych punktów nie powinny leżeć na tej samej prostej, a łączące je odcinki nie powinny się przecinać. Punkty te nazywane są wierzchołkami trójkąta, a łączące je odcinki nazywane są jego bokami.
Boki czworoboku rozpoczynające się od tego samego wierzchołka nazywane są przeciwległymi.
W czworokącie ABCD wierzchołki A i B sąsiadują ze sobą, a wierzchołki A i C są przeciwne; boki AB i BC sąsiadują ze sobą, BC i AD są przeciwne; odcinki AC i WD są przekątnymi tego czworoboku.
Czworokąty mogą być wypukłe lub niewypukłe. Zatem czworobok ABCD jest wypukły, a czworobok KRMT nie jest wypukły.
Wśród czworokątów wypukłych wyróżnia się równoległoboki i trapezy.
Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe.
Trapez to czworokąt, którego tylko dwa przeciwne boki są równoległe. Te równoległe boki nazywane są podstawami trapezu. Pozostałe dwie strony nazywane są bocznymi. Odcinek łączący środki boków nazywa się linią środkową trapezu.
BC i AD – podstawy trapezu; AB i CD – boki boczne; CM – linia środkowa trapezu.
Spośród wielu równoległoboków wyróżnia się prostokąty i romby.
Prostokąt to równoległobok, którego kąty są dobre.
Romb to równoległobok, w którym wszystkie boki są równe.
Kwadraty są wybierane spośród wielu prostokątów.
Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe.
Koło.
Okrąg to figura składająca się ze wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo oddalonych od danego punktu, zwanego środkiem.
Odległość punktów od ich środka nazywa się promieniem. Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa się cięciwą. Cięciwa przechodząca przez środek nazywa się średnicą. OA – promień, CD – cięciwa, AB – średnica.
Kąt środkowy w okręgu to kąt płaski z wierzchołkiem w środku. Część koła znajdująca się wewnątrz kąta płaskiego nazywana jest łukiem kołowym odpowiadającym temu kątowi centralnemu.
Według nowych podręczników w nowych programach M.I. Moreau, MA Bantova, G.V. Beltyukova, S.I. Volkova, S.V. W czwartej klasie Stepanova otrzymuje zadania konstrukcyjne, które nie były wcześniej uwzględnione w programie nauczania matematyki w szkole podstawowej. Są to zadania takie jak:
Skonstruuj prostopadłą do prostej;
Podziel segment na pół;
Zbuduj trójkąt z trzech stron;
Zbuduj trójkąt foremny, trójkąt równoramienny;
Zbuduj sześciokąt;
Konstruuj kwadrat, korzystając z właściwości przekątnych kwadratu;
Konstruuj prostokąt, korzystając z właściwości przekątnych prostokąta.
Rozważmy konstrukcję figur geometrycznych na płaszczyźnie.
Gałąź geometrii badająca konstrukcje geometryczne nazywa się geometrią konstrukcyjną. Główną koncepcją geometrii konstrukcyjnej jest koncepcja „konstruowania figury”. Główne twierdzenia są uformowane w formie aksjomatów i sprowadzają się do następujących.
1. Każda podana figura jest skonstruowana.
2. Jeśli zbudowane zostaną dwie (lub więcej) figury, wówczas konstruowana jest również suma tych figur.
3. Jeśli zbudowane zostaną dwie figury, to można określić, czy ich przecięcie będzie zbiorem pustym, czy nie.
4. Jeżeli przecięcie dwóch skonstruowanych figur nie jest puste, to zostaje zbudowane.
5. Jeśli zbudowane zostaną dwie figury, można określić, czy ich różnica jest zbiorem pustym, czy nie.
6. Jeżeli różnica dwóch skonstruowanych figur nie jest zbiorem pustym, wówczas jest ona konstruowana.
7. Możesz narysować punkt należący do zbudowanej figury.
8. Możesz skonstruować punkt, który nie należy do zbudowanej figury.
Aby konstruować figury geometryczne, które mają niektóre z określonych właściwości, stosuje się różne narzędzia do rysowania. Najprostsze z nich to: linijka jednostronna (zwana dalej po prostu linijką), linijka dwustronna, kwadrat, kompas itp.
Różne narzędzia do rysowania pozwalają na wykonywanie różnych konstrukcji. Właściwości narzędzi rysunkowych stosowanych do konstrukcji geometrycznych wyrażane są także w formie aksjomatów.
Ponieważ szkolny kurs geometrii dotyczy konstruowania figur geometrycznych za pomocą kompasu i linijki, skupimy się również na rozważeniu podstawowych konstrukcji wykonywanych przez te konkretne rysunki za pomocą narzędzi.
Tak więc za pomocą linijki możesz wykonać następujące konstrukcje geometryczne.
1. skonstruować odcinek łączący dwa skonstruowane punkty;
2. skonstruować linię prostą przechodzącą przez dwa skonstruowane punkty;
3. skonstruować promień wychodzący ze skonstruowanego punktu i przechodzący przez skonstruowany punkt.
Kompas umożliwia wykonanie następujących konstrukcji geometrycznych:
1. skonstruować okrąg, jeżeli skonstruowano jego środek i odcinek równy promieniowi okręgu;
2. skonstruować dowolny z dwóch dodatkowych łuków koła, jeżeli skonstruowany jest środek okręgu i końce tych łuków.
Podstawowe zadania budowlane.
Problemy konstrukcyjne to chyba najstarsze problemy matematyczne, które pomagają lepiej zrozumieć właściwości kształtów geometrycznych i przyczyniają się do rozwoju umiejętności graficznych.
Problem konstrukcyjny uważa się za rozwiązany, jeśli zostanie wskazany sposób budowy figury i wykazane, że w wyniku wykonania określonych konstrukcji faktycznie otrzymano figurę o wymaganych właściwościach.
Przyjrzyjmy się niektórym elementarnym problemom konstrukcyjnym.
1. Skonstruuj na danym odcinku prostej CD równy danemu odcinkiowi AB.
Możliwość konstrukcji wynika jedynie z aksjomatu opóźnienia odcinka. Za pomocą kompasu i linijki wykonuje się to w następujący sposób. Niech będzie dana prosta a i odcinek AB. Zaznaczamy punkt C na prostej i konstruujemy okrąg ze środkiem w punkcie C na prostej i oznaczamy D. Otrzymujemy odcinek CD równy AB.
2. Przez dany punkt poprowadź linię prostopadłą do danej prostej.
Niech będą dane punkty O i prosta a. Istnieją dwa możliwe przypadki:
1. Punkt O leży na prostej a;
2. Punkt O nie leży na prostej a.
W pierwszym przypadku oznaczamy punkt C, który nie leży na prostej a. Z punktu C jako środka rysujemy okrąg o dowolnym promieniu. Niech A i B będą jego punktami przecięcia. Z punktów A i B opisujemy okrąg o tym samym promieniu. Niech punkt O będzie punktem ich przecięcia, różnym od C. Wtedy półprosta CO jest dwusieczną kąta rozłożonego i prostopadłą do prostej a.
W drugim przypadku od punktu O od środka rysujemy okrąg przecinający prostą a, a następnie z punktów A i B o tym samym promieniu rysujemy jeszcze dwa okręgi. Niech O będzie punktem ich przecięcia, leżącym na innej półpłaszczyźnie niż ta, w której leży punkt O. Prosta OO/ jest prostopadłą do danej prostej a. Udowodnijmy to.
Oznaczmy przez C punkt przecięcia prostych AB i OO/. Trójkąty AOB i AO/B są równe z trzech stron. Zatem kąt OAC jest równy kątowi O/AC, oba boki są równe i kąt między nimi. Zatem kąty ASO i ASO/ są równe. A ponieważ kąty sąsiadują ze sobą, są to kąty proste. Zatem OS jest prostopadły do linii a.
3. Przez dany punkt poprowadź linię równoległą do danego punktu.
Niech będzie dana prosta a i punkt A znajdujący się poza tą prostą. Weźmy punkt B na prostej a i połączmy go z punktem A. Przez punkt A rysujemy linię C, tworząc z AB ten sam kąt, jaki tworzy AB z daną prostą a, ale po przeciwnej stronie AB. Zbudowana prosta będzie równoległa do prostej a, co wynika z równości kątów poprzecznych powstałych na przecięciu prostych a i siecznej AB.
4. Skonstruuj styczną do okręgu przechodzącego przez dany punkt na nim.
Dane: 1) okrąg X (O, h)
2) punkt Ax
Konstrukcja: styczna AB.
Budowa.
2. okrąg X (A, h), gdzie h jest dowolnym promieniem (aksjomat 1 kompasu)
3. punkty M i N przecięcia okręgu x 1 i prostej AO, czyli (M, N) = x 1 AO (ogólny aksjomat 4)
4. okrąg x (M, r 2), gdzie r 2 jest dowolnym promieniem takim, że r 2 r 1 (aksjomat 1 kompasu)
I zewnętrznie - twoim otwartym zachowaniem i wewnętrznie - twoimi procesami mentalnymi i uczuciami. Wnioski z części pierwszej Dla rozwoju wszystkich procesów poznawczych ucznia szkoły podstawowej muszą zostać spełnione następujące warunki: 1. Działania edukacyjne muszą być celowe, budzić i utrzymywać stałe zainteresowanie uczniów; 2. Poszerzaj i rozwijaj zainteresowania poznawcze...
Cały test jako całość, który wskazuje, że ich poziom rozwoju operacji umysłowych porównywania i uogólniania jest wyższy niż u uczniów o słabych wynikach. Jeśli przeanalizujemy poszczególne dane na podtestach, to trudności w udzieleniu odpowiedzi na poszczególne pytania wskazują na słabą biegłość w tych operacjach logicznych. Trudności te najczęściej występują u uczniów osiągających słabe wyniki w nauce. Ten...
Młodszy uczeń. Przedmiot kształcenia: rozwój twórczego myślenia wśród uczniów klasy II Liceum Ogólnokształcącego nr 1025. Metoda: testowanie. Rozdział 1. Teoretyczne podstawy badania myślenia wyobraźniowego 1.1. Pojęcie myślenia Nasza wiedza o otaczającej rzeczywistości zaczyna się od wrażeń i spostrzeżeń i przechodzi do myślenia. Funkcją myślenia jest poszerzanie granic wiedzy poprzez przekraczanie...