Pochodna funkcji jednej zmiennej.

Wstęp.

Te opracowania metodyczne przeznaczone są dla studentów Wydziału Inżynierii Przemysłowej i Lądowej. Zostały one opracowane w nawiązaniu do programu zajęć z matematyki w dziale „Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej”.

Opracowania stanowią jednolity przewodnik metodologiczny, obejmujący: krótkie informacje teoretyczne; „standardowe” problemy i ćwiczenia ze szczegółowymi rozwiązaniami i objaśnieniami tych rozwiązań; opcje testowe.

Na końcu każdego akapitu znajdują się dodatkowe ćwiczenia. Taka struktura opracowań sprawia, że ​​nadają się one do samodzielnego opanowania danej sekcji przy minimalnej pomocy nauczyciela.

§1. Definicja pochodnej.

Znaczenie mechaniczne i geometryczne

pochodna.

Pojęcie pochodnej to jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej, które powstało już w XVII wieku. Tworzenie pojęcia pochodnej jest historycznie związane z dwoma problemami: problemem prędkości ruchu przemiennego i problemem stycznej do krzywej.

Zadania te, pomimo różnej treści, prowadzą do tej samej operacji matematycznej, którą należy wykonać na funkcji. Operacja ta otrzymała w matematyce specjalną nazwę. Nazywa się to operacją różniczkowania funkcji. Wynik operacji różniczkowania nazywany jest pochodną.

Zatem pochodna funkcji y=f(x) w punkcie x0 jest granicą (jeśli istnieje) stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu
Na
.

Pochodną zwykle oznacza się w następujący sposób:
.

Zatem z definicji

Symbole są również używane do oznaczania instrumentów pochodnych
.

Mechaniczne znaczenie pochodnej.

Jeżeli s=s(t) jest zasadą ruchu prostoliniowego punktu materialnego, to
jest prędkością tego punktu w chwili t.

Geometryczne znaczenie pochodnej.

Jeżeli funkcja y=f(x) ma w punkcie pochodną , następnie współczynnik kątowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie
równa się
.

Przykład.

Znajdź pochodną funkcji
w tym punkcie =2:

1) Dajmy temu punkt =2 przyrost
. Zauważ, że.

2) Znajdź przyrost funkcji w punkcie =2:

3) Stwórzmy stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu:

Znajdźmy granicę stosunku w punkcie
:

.

Zatem,
.

§ 2. Pochodne niektórych

najprostsze funkcje.

Student musi nauczyć się obliczać pochodne określonych funkcji: y=x,y= i ogólnie= .

Znajdźmy pochodną funkcji y=x.

te. (x)′=1.

Znajdźmy pochodną funkcji

Pochodna

Pozwalać
Następnie

Łatwo zauważyć prawidłowość w wyrażeniach na pochodne funkcji potęgowej
przy n=1,2,3.

Stąd,

. (1)

Wzór ten obowiązuje dla każdego rzeczywistego n.

W szczególności korzystając ze wzoru (1) mamy:

;

.

Przykład.

Znajdź pochodną funkcji

.

.

Funkcja ta jest szczególnym przypadkiem funkcji formy

Na
.

Korzystając ze wzoru (1), mamy

.

Pochodne funkcji y=sin x i y=cos x.

Niech y=sinx.

Podziel przez ∆x i otrzymaj

Przechodząc do granicy w ∆x → 0, mamy

Niech y=cosx.

Przechodząc do granicy przy ∆x → 0, otrzymujemy

;
. (2)

§3. Podstawowe zasady różniczkowania.

Rozważmy reguły różniczkowania.

Twierdzenie1 . Jeżeli funkcje u=u(x) i v=v(x) są różniczkowalne w danym punkcie x, to ich suma jest różniczkowalna w tym punkcie, a pochodna sumy jest równa sumie pochodnych wyrazów : (u+v)"=u"+v".(3 )

Dowód: rozważmy funkcję y=f(x)=u(x)+v(x).

Przyrost ∆x argumentu x odpowiada przyrostom ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) funkcji u i v. Wtedy funkcja y wzrośnie

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Stąd,

Zatem (u+v)"=u"+v".

Twierdzenie2. Jeżeli funkcje u=u(x) i v=v(x) są różniczkowalne w danym punkciex, to ich iloczyn jest różniczkowalny w tym samym punkcie. W tym przypadku pochodną iloczynu wyznaczamy ze wzoru: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Dowód: Niech y=uv, gdzie u i v są pewnymi funkcjami różniczkowalnymi x. Dajmy x przyrost ∆x, wówczas u otrzymamy przyrost ∆u, v otrzymamy przyrost ∆v, a y otrzymamy przyrost ∆y.

Mamy y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), lub

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Zatem ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Stąd

Przechodząc do granicy w ∆x → 0 i biorąc pod uwagę, że u i v nie zależą od ∆x, otrzymamy

Twierdzenie 3. Pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego mianownik jest równy kwadratowi dzielnika, a licznik jest różnicą między iloczynem pochodnej dzielnej i dzielnika a iloczynem dywidenda i pochodna dzielnika, tj.

Jeśli
To
(5)

Twierdzenie 4. Pochodna stałej wynosi zero, tj. jeśli y=C, gdzie C=stała, to y"=0.

Twierdzenie 5. Ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik, tj. jeśli y=Cu(x), gdzie С=const, to y"=Cu"(x).

Przykład 1.

Znajdź pochodną funkcji

.

Funkcja ta ma postać
, gdzieu=x,v=cosx. Stosując regułę różniczkowania (4), znajdujemy

.

Przykład 2.

Znajdź pochodną funkcji

.

Zastosujmy wzór (5).

Tutaj
;
.

Zadania.

Znajdź pochodne następujących funkcji:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Utwórz współczynnik i oblicz granicę.

Skąd się to wzięło? tabela instrumentów pochodnych i reguł różniczkowania? Dzięki jedynemu limitowi. Wydaje się, że to magia, ale w rzeczywistości to tylko sztuczka, a nie oszustwo. Na lekcji Co to jest pochodna? Zacząłem przyglądać się konkretnym przykładom, gdzie korzystając z definicji znalazłem pochodne funkcji liniowej i kwadratowej. W celu rozgrzewki poznawczej będziemy nadal przeszkadzać tabela instrumentów pochodnych, doskonalenie algorytmu i rozwiązań technicznych:

Przykład 1

Zasadniczo należy udowodnić szczególny przypadek pochodnej funkcji potęgowej, który zwykle pojawia się w tabeli: .

Rozwiązanie technicznie sformalizowane na dwa sposoby. Zacznijmy od pierwszego, znanego już podejścia: drabina zaczyna się od deski, a funkcja pochodna zaczyna się od pochodnej w punkcie.

Rozważmy Niektóre(konkretny) punkt należący do dziedzina definicji funkcja, w której występuje pochodna. W tym miejscu ustalmy przyrost (oczywiście w ramacho/o -I) i utwórz odpowiedni przyrost funkcji:

Obliczmy granicę:

Niepewność 0:0 eliminuje się standardową techniką, rozważaną już w I wieku p.n.e. Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone :

Technikę rozwiązywania takiego ograniczenia omówiono szczegółowo w lekcji wprowadzającej. o granicach funkcji.

Ponieważ jako jakość możesz wybrać DOWOLNY punkt przedziału, po dokonaniu zamiany otrzymamy:

Odpowiedź

Jeszcze raz radujmy się logarytmami:

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji korzystając z definicji pochodnej

Rozwiązanie: Rozważmy inne podejście do promowania tego samego zadania. Jest dokładnie tak samo, ale bardziej racjonalnie pod względem konstrukcyjnym. Pomysł polega na tym, aby pozbyć się indeksu dolnego na początku rozwiązania i użyć litery zamiast litery.

Rozważmy arbitralny punkt należący do dziedzina definicji funkcję (interwał) i ustaw w niej przyrost. Ale tu, nawiasem mówiąc, jak w większości przypadków, można obejść się bez zastrzeżeń, ponieważ funkcja logarytmiczna jest różniczkowalna w dowolnym punkcie dziedziny definicji.

Wtedy odpowiedni przyrost funkcji wynosi:

Znajdźmy pochodną:

Prostotę projektu równoważy zamieszanie, które może pojawić się dla początkujących (i nie tylko). Przecież jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że litera „X” zmienia się w limicie! Ale tutaj wszystko jest inne: - zabytkowy posąg i - żywy gość, energicznie spacerujący korytarzem muzeum. Oznacza to, że „x” jest „jak stała”.

Skomentuję eliminację niepewności krok po kroku:

(1) Korzystamy z własności logarytmu .

(2) W nawiasach podziel licznik przez mianownik wyraz po wyrazie.

(3) W mianowniku sztucznie mnożymy i dzielimy przez „x”, aby to wykorzystać niezwykły limit , podczas gdy nieskończenie mały wyróżnia się.

Odpowiedź: z definicji pochodnej:

Lub w skrócie:

Proponuję samodzielnie skonstruować jeszcze dwie formuły tabelaryczne:

Przykład 3

W takim przypadku wygodnie jest natychmiast sprowadzić skompilowany przyrost do wspólnego mianownika. Przybliżona próbka zadania na koniec lekcji (pierwsza metoda).

Przykład 3:Rozwiązanie : rozważ jakąś kwestię , należący do dziedziny definicji funkcji . W tym miejscu ustalmy przyrost i utwórz odpowiedni przyrost funkcji:

Znajdźmy pochodną w tym punkcie :


Ponieważ jako możesz wybrać dowolny punkt domena funkcyjna , To I
Odpowiedź : z definicji pochodnej

Przykład 4

Znajdź pochodną z definicji

I tutaj wszystko trzeba sprowadzić do cudowna granica. Rozwiązanie jest sformalizowane w drugi sposób.

Szereg innych pochodne tabelaryczne. Pełną listę można znaleźć w podręczniku szkolnym lub na przykład w 1. tomie Fichtenholtza. Nie widzę większego sensu w kopiowaniu dowodów reguł różniczkowania z książek – one też są generowane przez wzór.

Przykład 4:Rozwiązanie , należeć do i ustaw w nim przyrost

Znajdźmy pochodną:

Korzystanie ze wspaniałego limitu

Odpowiedź : a-przeorat

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji , korzystając z definicji pochodnej

Rozwiązanie: używamy pierwszego stylu projektowania. Rozważmy pewien punkt należący do i określmy przyrost argumentu w nim. Wtedy odpowiedni przyrost funkcji wynosi:

Być może niektórzy czytelnicy nie zrozumieli jeszcze w pełni zasady, według której należy dokonywać przyrostów. Weź punkt (liczbę) i znajdź w nim wartość funkcji: , czyli do funkcji zamiast Należy zastąpić „X”. Teraz bierzemy również bardzo konkretną liczbę i podstawiamy ją do funkcji zamiast"iksa": . Zapisujemy różnicę i jest to konieczne całkowicie umieścić w nawiasach.

Skompilowany przyrost funkcji Natychmiastowe uproszczenie może być korzystne. Po co? Ułatwienie i skrócenie rozwiązania do dalszych granic.

Używamy wzorów, otwieramy nawiasy i redukujemy wszystko, co można zredukować:

Indyk jest patroszony, z pieczenią nie ma problemu:

W końcu:

Ponieważ jako wartość możemy wybrać dowolną liczbę rzeczywistą, dokonujemy zamiany i otrzymujemy .

Odpowiedź: a-przeorat.

Dla celów weryfikacji znajdźmy pochodną za pomocą reguły i tabele różnicowania:

Zawsze warto i przyjemnie jest znać z góry poprawną odpowiedź, dlatego lepiej różnicować proponowaną funkcję „na szybko”, w myślach lub w szkicu, już na samym początku rozwiązania.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji z definicji pochodnej

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Wynik jest oczywisty:

Przykład 6:Rozwiązanie : rozważ jakąś kwestię , należeć do i ustaw w nim przyrost argumentu . Wtedy odpowiedni przyrost funkcji wynosi:


Obliczmy pochodną:


Zatem:
Ponieważ możesz wtedy wybrać dowolną liczbę rzeczywistą I
Odpowiedź : a-przeorat.

Wróćmy do stylu nr 2:

Przykład 7

Dowiedzmy się natychmiast, co powinno się wydarzyć. Przez zasada różniczkowania funkcji złożonych:

Rozwiązanie: rozważ dowolny punkt należący do , ustaw w nim przyrost argumentu i utwórz przyrost funkcji:

Znajdźmy pochodną:


(1) Użyj wzór trygonometryczny .

(2) Pod sinusem otwieramy nawiasy, pod cosinusem podajemy podobne terminy.

(3) Pod sinusem redukujemy wyrazy, pod cosinusem dzielimy licznik przez mianownik wyraz po wyrazie.

(4) Ze względu na dziwność sinusa usuwamy „minus”. Pod cosinusem wskazujemy, że termin .

(5) W celu użycia wykonujemy sztuczne mnożenie w mianowniku pierwszy wspaniały limit. W ten sposób niepewność zostanie wyeliminowana, uporządkujmy wynik.

Odpowiedź: a-priorytet

Jak widać, główna trudność rozpatrywanego problemu polega na złożoności samego limitu + niewielkiej niepowtarzalności opakowania. W praktyce występują obydwie metody projektowania, dlatego opiszę obydwa podejścia możliwie szczegółowo. Są one równoważne, ale w moim subiektywnym odczuciu bardziej wskazane jest, aby manekiny trzymały się opcji 1 z „X-zero”.

Przykład 8

Korzystając z definicji, znajdź pochodną funkcji

Przykład 8:Rozwiązanie : rozważ dowolny punkt , należeć do , ustalmy w nim przyrost i utwórz przyrost funkcji:

Znajdźmy pochodną:

Korzystamy ze wzoru trygonometrycznego i pierwszy niezwykły limit:

Odpowiedź : a-przeorat

Spójrzmy na rzadszą wersję problemu:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji w punkcie, korzystając z definicji pochodnej.

Po pierwsze, jaki powinien być wynik końcowy? Numer

Obliczmy odpowiedź w standardowy sposób:

Rozwiązanie: z punktu widzenia przejrzystości zadanie to jest znacznie prostsze, ponieważ formuła uwzględnia konkretną wartość.

Ustawmy przyrost w punkcie i ułóżmy odpowiedni przyrost funkcji:

Obliczmy pochodną w punkcie:

Używamy bardzo rzadkiego wzoru na różnicę stycznych i jeszcze raz redukujemy rozwiązanie do pierwsza cudowna granica:

Odpowiedź: z definicji pochodnej w punkcie.

Problem nie jest tak trudny do rozwiązania „w ogóle” - wystarczy zastąpić lub po prostu w zależności od metody projektowania. W tym przypadku jasne jest, że wynikiem nie będzie liczba, ale funkcja pochodna.

Przykład 10

Korzystając z definicji, znajdź pochodną funkcji w punkcie (z którego jeden może okazać się nieskończony), o którym już ogólnie opisałem lekcja teoretyczna na temat pochodnych.

Niektóre funkcje zdefiniowane fragmentarycznie są również różniczkowalne w punktach „złączowych” wykresu, na przykład catdog ma w punkcie wspólną pochodną i wspólną styczną (oś x). Krzywa, ale różniczkowalna przez ! Zainteresowani mogą to sprawdzić sami, korzystając z właśnie rozwiązanego przykładu.

©2015-2019 strona
Wszelkie prawa należą do ich autorów. Ta witryna nie rości sobie praw do autorstwa, ale zapewnia bezpłatne korzystanie.
Data utworzenia strony: 2017-06-11

Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej

“MATI” – PAŃSTWO ROSYJSKIE

UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY im. K. E. TSIOLKOVSKY

Katedra „Matematyki Wyższej”

Opcje przypisania kursu

Wytyczne dotyczące przydzielania zajęć

„Granice funkcji. Pochodne"

Kułakowa R. D.

Titarenko V. I.

Moskwa 1999

adnotacja

Proponowane wytyczne mają na celu pomóc studentom pierwszego roku w opanowaniu materiału teoretycznego i praktycznego na temat „Analiza matematyczna”.

W każdym rozdziale, po części teoretycznej, analizowane są typowe problemy.

Wytyczne obejmują następujące zagadnienia: granice funkcji, różniczkowanie funkcji podanych w różnych postaciach, pochodne i różniczki wyższych rzędów, reguła L'Hopitala, zastosowanie pochodnej do zagadnień geometrii i mechaniki.

Aby utrwalić materiał, studenci proszeni są o ukończenie zajęć z tematów wymienionych powyżej.

Wytyczne te można stosować na wszystkich wydziałach i specjalnościach.

1. Granice funkcji

Do wyznaczania granic ciągów i funkcji stosuje się kilka dobrze znanych technik:

Jeśli chcesz znaleźć granicę

można wstępnie sprowadzić do wspólnego mianownika

Dzieląc przez wyraz mający największy stopień, otrzymujemy stałą wartość w liczniku, a wszystkie wyrazy dążące do 0 w mianowniku, czyli

.

Następnie podstawiając x=a otrzymujemy:
;

4.
, podstawiając x=0, otrzymujemy
.

5. Jeśli jednak konieczne jest znalezienie granicy funkcji wymiernej

, to dzieląc przez termin z minimalnym stopniem, otrzymujemy

; i kierując x do 0, otrzymujemy:

Jeżeli w granicach znajdują się wyrażenia niewymierne, to w celu uzyskania wyrażenia wymiernego konieczne jest wprowadzenie nowych zmiennych lub przeniesienie niewymierności z mianownika na licznik i odwrotnie.

6.
; Wprowadźmy zmienną zmianę. Wymienimy
, Na
, otrzymujemy
.

7.
. Jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, granica nie ulegnie zmianie. Pomnóż licznik przez
i podziel przez to samo wyrażenie, aby granica się nie zmieniła, i pomnóż mianownik przez
i podzielić przez to samo wyrażenie. Następnie otrzymujemy:

Do zdefiniowania limitów często używa się następujących niezwykłych limitów:

; (1)

. (2)

8.
.

Aby obliczyć taką granicę, redukujemy ją do pierwszej niezwykłej granicy (1). Aby to zrobić, pomnóż i podziel licznik przez
, a mianownik to
, Następnie.

9.
Aby obliczyć tę granicę, redukujemy ją do drugiej niezwykłej granicy. W tym celu wybieramy całą część z wyrażenia wymiernego w nawiasie i przedstawiamy ją w postaci ułamka właściwego. Odbywa się to w przypadkach, gdy
, Gdzie
, A
, Gdzie
;

, A
, wreszcie
. Wykorzystano tu ciągłość złożenia funkcji ciągłych.

2. Pochodna

Pochodna funkcji
nazywa się końcową granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera:

, Lub
.

Geometrycznie pochodną jest nachylenie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie x, tj
.

Pochodna jest szybkością zmiany funkcji w punkcie x.

Znalezienie pochodnej nazywa się różniczkowaniem funkcji.

Wzory na różniczkowanie funkcji podstawowych:

3. Podstawowe zasady różniczkowania

Niech więc:

7) Jeśli , to znaczy
, Gdzie
I
mają zatem pochodne
(reguła różniczkowania funkcji zespolonej).

4. Różniczkowanie logarytmiczne

Jeśli musisz znaleźć z równania
, możesz:

a) logarytm obu stron równania

b) różniczkować obie strony powstałej równości, gdzie
istnieje złożona funkcja x,

.

c) wymienić jego wyrażenie w postaci x

.

Przykład:

5. Różniczkowanie funkcji ukrytych

Niech równanie
definiuje jako ukryta funkcja x.

a) różniczkować obie strony równania ze względu na x
, otrzymujemy równanie pierwszego stopnia względem ;

b) z otrzymanego równania wyrażamy .

Przykład:
.

6. Różniczkowanie danych funkcji

parametrycznie

Niech funkcja będzie dana równaniami parametrycznymi
,

Następnie
, Lub

Przykład:

7. Zastosowanie pochodnej do problemów

geometrii i mechaniki

Pozwalać
I
, Gdzie -kąt utworzony z dodatnim kierunkiem osi OX przez styczną do krzywej w punkcie z odciętą .

Równanie stycznej do krzywej
w tym punkcie
ma postać:

, Gdzie -pochodna Na
.

Normalna do krzywej to linia prostopadła do stycznej i przechodząca przez punkt styczności.

Równanie normalne ma postać

.

Kąt pomiędzy dwiema krzywymi
I
w miejscu ich przecięcia
jest kątem pomiędzy stycznymi do tych krzywych w punkcie
. Kąt ten można znaleźć ze wzoru

.

8. Instrumenty pochodne wyższego rzędu

Jeśli jest pochodną funkcji
, to pochodna nazywa się drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu i jest oznaczana , Lub
, Lub .

Podobnie definiuje się instrumenty pochodne dowolnego rzędu: pochodna trzeciego rzędu
; pochodna n-tego rzędu:

.

Dla iloczynu dwóch funkcji można otrzymać pochodną dowolnego n-tego rzędu, korzystając ze wzoru Leibniza:

9. Druga pochodna funkcji ukrytej

- równanie określa , jako ukryta funkcja x .

a) zdefiniować
;

b) różniczkować ze względu na x lewą i prawą stronę równości
,

Ponadto różniczkowanie funkcji
przez zmienną x, pamiętaj o tym istnieje funkcja x:

;

c) wymiana Poprzez
, otrzymujemy:
itp.

10. Pochodne funkcji określonych parametrycznie

Znajdować
Jeśli
.

11. Różniczki pierwszego i wyższych rzędów

Różniczka pierwszego rzędu funkcji
nazywa się częścią główną, liniową względem argumentu. Różnica argumentu jest przyrostem argumentu:
.

Różniczka funkcji jest równa iloczynowi jej pochodnej i różniczki argumentu:

.

Podstawowe właściwości mechanizmu różnicowego:

Gdzie
.

Jeżeli przyrost
argument ma zatem małą wartość bezwzględną
I.

Zatem różniczkę funkcji można wykorzystać do obliczeń przybliżonych.

Różniczka drugiego rzędu funkcji
nazywa się różniczką różniczki pierwszego rzędu:
.

Podobnie:
.

.

Jeśli
I jest zmienną niezależną, wówczas za pomocą wzorów oblicza się różnice wyższego rzędu

Znajdź różnicę pierwszego i drugiego rzędu funkcji

12. Obliczanie granic z wykorzystaniem reguły L'Hopitala

We wszystkich powyższych granicach nie zastosowano aparatu rachunku różniczkowego. Jeśli jednak musisz znaleźć

i o godz
obie te funkcje są nieskończenie małe lub obie są nieskończenie duże, to ich stosunek nie jest określony w punkcie
i dlatego reprezentuje typ niepewności lub odpowiednio. Ponieważ jest to związek w pewnym momencie
może mieć granicę, skończoną lub nieskończoną, wówczas znalezienie tej granicy nazywa się ujawnieniem niepewności (reguła L'Hopitala Bernoulliego),

i zachodzi równość:

, Jeśli
I
.

=
.

Podobna zasada obowiązuje jeśli
I
, tj.
.

=

=
.

Reguła L'Hopitala umożliwia również rozwiązanie niepewności tego typu
I
. Liczyć
, Gdzie
- nieskończenie małe i
- nieskończenie duży przy
(typ ujawnienia niepewności
) iloczyn należy przekonwertować do postaci

(niepewność typu) lub do gatunku (wpisz niepewność ), a następnie skorzystaj z reguły Lapitala.

Liczyć
, Gdzie
I
- nieskończenie duży przy
(typ ujawnienia niepewności
) różnicę należy przekonwertować do postaci
, a następnie ujawnij niepewność typ . Jeśli
, To
.

Jeśli
, wówczas otrzymujemy niepewność typu (
), co ujawniono podobnie jak w przykładzie 12).

Ponieważ
, wówczas otrzymamy niepewność tego typu
i wtedy mamy

.

Do rozwiązywania niepewności tego typu można również zastosować regułę L'Hopitala
. W takich przypadkach mamy na myśli obliczenie granicy wyrażenia
, Gdzie
Kiedy
jest w tym przypadku nieskończenie małe
- nieskończenie duży, a w przypadku
- funkcja, której granica jest równa jedności.

Funkcjonować
w dwóch pierwszych przypadkach jest to funkcja nieskończenie mała, a w ostatnim przypadku jest to funkcja nieskończenie duża.

Przed szukaniem granicy takich wyrażeń są one brane logarytmicznie, tj. Jeśli
, To
, a następnie znajdź granicę
, a następnie znajdź granicę . We wszystkich powyższych przypadkach
jest niepewnością typu
, który otwiera się podobnie jak w przykładzie 12).

5.

(użyj reguły L'Hopitala) =

=
.

W tym iloczynie granic pierwszy czynnik jest równy 1, drugi czynnik jest pierwszą niezwykłą granicą i jest również równy 1, a ostatni czynnik dąży do 0, zatem:

i wtedy
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

PRACA KURSOWA OBEJMUJE 21 ZADAŃ.

Nr 1-4 – Obliczanie granic funkcji;

Nr 5-10 – Znajdź pochodne funkcji;

Nr 11 – Znajdź pierwszą pochodną;

#12 – Oblicz funkcja określona w formie parametrycznej;

#13 – Znajdź D 2 y;

#14 – Znajdź y ( N ) ;

Nr 15 – Utwórz równanie normalnej i stycznej do krzywej w punkcie X 0 ;

Nr 16 – Oblicz wartość funkcji w przybliżeniu za pomocą różniczki;

#17 – Znajdź
;

#18 – Znajdź ;

#19 – Znajdź ;

Nr 20-21 – Oblicz granicę, korzystając z reguły L'Hopitala.

opcja 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

Oblicz pochodną

№5.
.

Co to jest pochodna?
Definicja i znaczenie funkcji pochodnej

Wielu będzie zaskoczonych nieoczekiwanym umieszczeniem tego artykułu w moim autorskim kursie na temat pochodnej funkcji jednej zmiennej i jej zastosowań. Przecież, jak to ma miejsce od czasów szkolnych: standardowy podręcznik podaje przede wszystkim definicję pochodnej, jej geometryczne, mechaniczne znaczenie. Następnie studenci znajdują pochodne funkcji z definicji i dopiero wtedy doskonalą technikę różniczkowania za pomocą tablice pochodne.

Jednak z mojego punktu widzenia bardziej pragmatyczne jest następujące podejście: przede wszystkim wskazane jest DOBRE ROZUMIENIE granica funkcji, i w szczególności, nieskończenie małe ilości. Fakt jest taki definicja pochodnej opiera się na pojęciu granicy, co jest słabo uwzględniane w kursie szkolnym. Dlatego znaczna część młodych konsumentów granitu wiedzy nie rozumie samej istoty pochodnej. Zatem jeśli nie masz zielonego pojęcia o rachunku różniczkowym lub mądry mózg przez wiele lat skutecznie pozbył się tego bagażu, zacznij od granice funkcji. Jednocześnie opanuj/zapamiętaj ich rozwiązanie.

Ten sam praktyczny sens podpowiada, że ​​jest to przede wszystkim korzystne naucz się znajdować pochodne, w tym pochodne funkcji złożonych. Teoria to teoria, ale jak to mówią, zawsze warto różnicować. W związku z tym lepiej jest przepracować wymienione podstawowe lekcje i być może mistrz różnicowania nie zdając sobie nawet sprawy z istoty swoich działań.

Po przeczytaniu artykułu polecam zacząć od materiałów znajdujących się na tej stronie. Najprostsze problemy z instrumentami pochodnymi, gdzie w szczególności rozważa się problem stycznej do wykresu funkcji. Ale możesz poczekać. Faktem jest, że wiele zastosowań pochodnej nie wymaga jej zrozumienia i nic dziwnego, że lekcja teoretyczna pojawiła się dość późno – kiedy musiałem wyjaśniać znajdowanie rosnących/malejących przedziałów i ekstremów Funkcje. Co więcej, był on poruszany w tym temacie przez dość długi czas. Funkcje i wykresy”, aż w końcu zdecydowałem się umieścić to wcześniej.

Dlatego, drogie czajniki, nie spieszcie się z wchłanianiem esencji pochodnej jak głodne zwierzęta, bo nasycenie będzie bez smaku i niepełne.

Pojęcie zwiększania, zmniejszania, maksimum, minimum funkcji

Wiele podręczników wprowadza pojęcie pochodnych za pomocą praktycznych problemów, ja też wymyśliłem ciekawy przykład. Wyobraźmy sobie, że zaraz wybieramy się do miasta, do którego można dotrzeć na różne sposoby. Odrzućmy natychmiast zakrzywione, kręte ścieżki i rozważmy tylko proste autostrady. Inaczej jest jednak także w przypadku kierunków na wprost: do miasta można dojechać płaską autostradą. Lub wzdłuż pagórkowatej autostrady - w górę i w dół, w górę i w dół. Inna droga prowadzi tylko pod górę, a inna cały czas w dół. Miłośnicy ekstremalnych wrażeń wybiorą trasę przez wąwóz ze stromym klifem i stromym podjazdem.

Niezależnie jednak od preferencji, wskazane jest poznanie okolicy lub przynajmniej posiadanie jej mapy topograficznej. A co jeśli takich informacji brakuje? W końcu możesz wybrać na przykład gładką ścieżkę, ale w rezultacie natkniesz się na stok narciarski z wesołymi Finami. Nie jest faktem, że nawigator czy nawet zdjęcie satelitarne dostarczy wiarygodnych danych. Dlatego miło byłoby sformalizować relief ścieżki za pomocą matematyki.

Spójrzmy na jakąś drogę (widok z boku):

Na wszelki wypadek przypomnę elementarny fakt: podróże się zdarzają od lewej do prawej. Dla uproszczenia zakładamy, że funkcja ciągły na rozpatrywanym obszarze.

Jakie cechy ma ten wykres?

W przerwach funkcjonować wzrasta, czyli każda kolejna jego wartość więcej Poprzedni. Z grubsza rzecz biorąc, harmonogram jest zgodny z harmonogramem w dół w górę(wchodzimy na wzgórze). A na przedziale funkcja maleje– każda kolejna wartość mniej poprzedni, a nasz harmonogram jest włączony z góry na dół(schodzimy w dół zbocza).

Zwróćmy także uwagę na punkty szczególne. W miejscu, do którego dotrzemy maksymalny, to jest istnieje taki odcinek ścieżki, w którym wartość będzie największa (najwyższa). W tym samym momencie zostaje to osiągnięte minimum, I istnieje jego otoczenie, w którym wartość jest najmniejsza (najniższa).

Na zajęciach przyjrzymy się bardziej rygorystycznej terminologii i definicjom. o ekstremach funkcji, ale na razie przeanalizujmy inną ważną cechę: interwały funkcja rośnie, ale rośnie przy różnych prędkościach. Pierwszą rzeczą, która rzuca się w oczy, jest to, że wykres wznosi się w górę w trakcie interwału dużo fajniej, niż w przedziale . Czy można zmierzyć nachylenie drogi za pomocą narzędzi matematycznych?

Szybkość zmiany funkcji

Pomysł jest taki: weźmy jakąś wartość (czytaj „delta x”), który nazwiemy przyrost argumentu i zacznijmy „przymierzać” w różnych punktach naszej ścieżki:

1) Spójrzmy na skrajny lewy punkt: pokonując dystans, wspinamy się po zboczu na wysokość (zielona linia). Ilość nazywa się przyrost funkcji, i w tym przypadku przyrost ten jest dodatni (różnica wartości wzdłuż osi jest większa od zera). Stwórzmy współczynnik, który będzie miarą nachylenia naszej drogi. Oczywiście jest to bardzo specyficzna liczba, a ponieważ oba przyrosty są dodatnie, to .

Uwaga! Oznaczenia są JEDEN symbol, to znaczy nie można „oddzielić” „delty” od „X” i rozważyć te litery osobno. Oczywiście komentarz dotyczy także symbolu przyrostu funkcji.

Przyjrzyjmy się naturze powstałego ułamka w bardziej znaczący sposób. Bądźmy początkowo na wysokości 20 metrów (w lewym czarnym punkcie). Po pokonaniu dystansu metrów (lewa czerwona linia) znajdziemy się na wysokości 60 metrów. Wtedy przyrost funkcji będzie wynosił metrów (zielona linia) i: . Zatem, na każdym metrze ten odcinek drogi wysokość wzrasta przeciętny o 4 metry...zapomniałeś sprzętu wspinaczkowego? =) Inaczej mówiąc, skonstruowana zależność charakteryzuje ŚREDNIE TEMPO ZMIAN (w tym przypadku wzrostu) funkcji.

Notatka : Wartości liczbowe danego przykładu odpowiadają jedynie w przybliżeniu proporcjom rysunku.

2) Teraz przejdźmy w tej samej odległości od czarnego punktu znajdującego się najbardziej na prawo. Tutaj wzrost jest bardziej stopniowy, więc przyrost (karmazynowa linia) jest stosunkowo niewielki, a stosunek w porównaniu do poprzedniego przypadku będzie bardzo skromny. Obiektywnie mówiąc, metrów i tempo wzrostu funkcji Jest . Czyli tu na każdy metr ścieżki przeciętny pół metra wysokości.

3) Mała przygoda na zboczu góry. Przyjrzyjmy się górnej czarnej kropce znajdującej się na osi rzędnych. Załóżmy, że jest to znak 50 metrów. Znów pokonujemy dystans, w efekcie czego znajdujemy się niżej – na poziomie 30 metrów. Ponieważ ruch jest wykonywany z góry na dół(w „przeciwnym” kierunku osi), następnie końcowy przyrost funkcji (wysokość) będzie ujemny: metrów (brązowy segment na rysunku). I w tym przypadku już o tym rozmawiamy tempo spadku Cechy: , czyli na każdy metr ścieżki tego odcinka wysokość maleje przeciętny o 2 metry. Zadbaj o swoje ubrania w piątym punkcie.

Zadajmy sobie teraz pytanie: jaką wartość „wzorca pomiarowego” najlepiej zastosować? To całkowicie zrozumiałe, 10 metrów to bardzo nierówny dystans. Z łatwością zmieści się na nich kilkanaście kępek. Niezależnie od nierówności, poniżej może być głęboki wąwóz, a po kilku metrach jest jego druga strona z dalszym stromym wzniesieniem. Zatem przy dziesięciometrowym nie otrzymamy zrozumiałego opisu takich odcinków ścieżki przez stosunek .

Z powyższej dyskusji wynika następujący wniosek: im niższa wartość, tym dokładniej opisujemy topografię drogi. Ponadto prawdziwe są następujące fakty:

– Dla kazdego punkty podnoszenia możesz wybrać wartość (nawet bardzo małą), która mieści się w granicach konkretnego wzniesienia. Oznacza to, że odpowiedni przyrost wysokości będzie gwarantowany dodatni, a nierówność będzie poprawnie wskazywała wzrost funkcji w każdym punkcie tych przedziałów.

- Podobnie, dla każdego punkt nachylenia istnieje wartość, która będzie całkowicie pasować do tego nachylenia. W konsekwencji odpowiedni wzrost wysokości jest wyraźnie ujemny, a nierówność prawidłowo pokaże spadek funkcji w każdym punkcie danego przedziału.

– Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy szybkość zmian funkcji wynosi zero: . Po pierwsze, zerowy przyrost wysokości () jest oznaką gładkiej ścieżki. Po drugie, istnieją inne ciekawe sytuacje, których przykłady widać na rysunku. Wyobraź sobie, że los zaprowadził nas na sam szczyt wzgórza z szybującymi orłami lub na dno wąwozu z rechotami żab. Jeśli zrobisz mały krok w dowolnym kierunku, zmiana wysokości będzie znikoma i możemy powiedzieć, że szybkość zmian funkcji wynosi w rzeczywistości zero. Dokładnie taki obraz można zaobserwować w punktach.

W ten sposób dotarliśmy do niesamowitej okazji, aby idealnie dokładnie scharakteryzować szybkość zmian funkcji. Przecież analiza matematyczna umożliwia skierowanie przyrostu argumentu na zero: czyli wykonanie go nieskończenie mały.

W rezultacie pojawia się kolejne logiczne pytanie: czy można znaleźć drogę i jej rozkład jazdy inna funkcja, Który dałby nam znać o wszystkich płaskich odcinkach, podjazdach, zjazdach, szczytach, dolinach, a także o tempie wzrostu/spadku w każdym punkcie na trasie?

Co to jest pochodna? Definicja pochodnej.
Geometryczne znaczenie pochodnej i różniczki

Przeczytaj uważnie i niezbyt szybko – materiał jest prosty i przystępny dla każdego! Nie ma problemu, jeśli w niektórych miejscach coś nie wydaje się zbyt jasne, zawsze możesz wrócić do artykułu później. Powiem więcej, warto kilkakrotnie przestudiować teorię, aby dokładnie zrozumieć wszystkie punkty (rady są szczególnie istotne dla studentów „technicznych”, dla których matematyka wyższa odgrywa znaczącą rolę w procesie edukacyjnym).

Oczywiście w samej definicji pochodnej w pewnym momencie zastępujemy ją przez:

Do czego doszliśmy? I doszliśmy do wniosku, że dla funkcji zgodnej z prawem jest zgodne inna funkcja, który jest nazywany funkcja pochodna(lub po prostu pochodna).

Pochodna charakteryzuje tempo zmian Funkcje Jak? Pomysł biegnie jak czerwona nić od samego początku artykułu. Rozważmy pewien punkt dziedzina definicji Funkcje Niech funkcja będzie różniczkowalna w danym punkcie. Następnie:

1) Jeżeli , to funkcja wzrasta w punkcie . I oczywiście, że istnieje interwał(nawet bardzo mały), zawierający punkt, w którym funkcja rośnie, a jej wykres biegnie „od dołu do góry”.

2) Jeżeli , to funkcja maleje w punkcie . I istnieje przedział zawierający punkt, w którym funkcja maleje (wykres biegnie „od góry do dołu”).

3) Jeśli , to nieskończenie blisko w pobliżu punktu funkcja utrzymuje stałą prędkość. Dzieje się tak, jak zauważono, ze stałą funkcją i w krytycznych punktach funkcji, w szczególności w punktach minimalnych i maksymalnych.

Trochę semantyki. Co oznacza czasownik „różnicować” w szerokim znaczeniu? Rozróżniać oznacza podkreślać cechę. Różniczkując funkcję, „izolujemy” szybkość jej zmian w postaci pochodnej funkcji. Swoją drogą, co oznacza słowo „pochodna”? Funkcjonować stało się z funkcji.

Terminy te są bardzo skutecznie interpretowane poprzez mechaniczne znaczenie pochodnej :
Rozważmy prawo zmiany współrzędnych ciała w zależności od czasu i funkcję prędkości ruchu danego ciała. Funkcja charakteryzuje szybkość zmian współrzędnych ciała, dlatego jest pierwszą pochodną funkcji po czasie: . Gdyby pojęcie „ruchu ciała” nie istniało w przyrodzie, to by go nie było pochodna pojęcie „prędkości ciała”.

Przyspieszenie ciała to szybkość zmiany prędkości, zatem: . Gdyby początkowe pojęcia „ruchu ciała” i „prędkości ciała” nie istniały w przyrodzie, to by nie istniały pochodna pojęcie „przyspieszenia ciała”.

W płaszczyźnie współrzędnych xOj rozważ wykres funkcji y=f(x). Ustalmy tę kwestię M(x 0 ; f (x 0)). Dodajmy odciętą x 0 przyrost Δх. Otrzymamy nową odciętą x 0 +Δx. To jest odcięta punktu N, a rzędna będzie równa f (x 0 + Δx). Zmiana odciętej pociągała za sobą zmianę rzędnej. Zmiana ta nazywana jest przyrostem funkcji i jest oznaczana Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Przez kropki M I N narysujmy sieczną MN, co tworzy kąt φ z dodatnim kierunkiem osi Oh. Wyznaczmy tangens kąta φ z trójkąta prostokątnego MPN.

Pozwalać Δх zmierza do zera. Następnie sieczna MN będzie miał tendencję do przyjmowania pozycji stycznej MT i kąt φ stanie się kątem α . Zatem tangens kąta α jest wartością graniczną tangensa kąta φ :

Granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera, nazywa się pochodną funkcji w danym punkcie:

Geometryczne znaczenie pochodnej polega na tym, że pochodna numeryczna funkcji w danym punkcie jest równa tangensowi kąta utworzonego przez styczną poprowadzoną przez ten punkt do danej krzywej i dodatniemu kierunkowi osi Oh:

Przykłady.

1. Znajdź przyrost argumentu i przyrost funkcji y= x 2, jeśli początkowa wartość argumentu była równa 4 , i nowy - 4,01 .

Rozwiązanie.

Nowa wartość argumentu x=x 0 +Δx. Podstawmy dane: 4,01=4+Δх, stąd przyrost argumentu Δх=4,01-4=0,01. Przyrost funkcji z definicji jest równy różnicy między nową i poprzednią wartością funkcji, tj. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Ponieważ mamy funkcję y=x2, To Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Odpowiedź: przyrost argumentu Δх=0,01; przyrost funkcji Δу=0,0801.

Przyrost funkcji można znaleźć inaczej: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Znajdź kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji y=f(x) w tym punkcie x 0, Jeśli fa "(x 0) = 1.

Rozwiązanie.

Wartość pochodnej w punkcie styczności x 0 i jest wartością tangensa kąta stycznego (geometryczne znaczenie pochodnej). Mamy: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, ponieważ tg45°=1.

Odpowiedź: styczna do wykresu tej funkcji tworzy kąt z dodatnim kierunkiem osi Ox równym 45°.

3. Wyprowadź wzór na pochodną funkcji y=xn.

Różnicowanie jest działaniem polegającym na znalezieniu pochodnej funkcji.

Szukając pochodnych, należy stosować wzory, które wyprowadzono na podstawie definicji pochodnej, w taki sam sposób, w jaki wyprowadziliśmy wzór na stopień pochodnej: (x n)" = nx n-1.

To są formuły.

Tabela instrumentów pochodnychŁatwiej będzie zapamiętać, wymawiając sformułowania słowne:

1. Pochodna wielkości stałej wynosi zero.

2. X liczba pierwsza jest równa jeden.

3. Ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik.

4. Pochodna stopnia jest równa iloczynowi wykładnika tego stopnia przez stopień o tej samej podstawie, ale wykładnik jest o jeden mniejszy.

5. Pochodna pierwiastka jest równa jedności podzielonej przez dwa równe pierwiastki.

6. Pochodna jedności podzielona przez x jest równa minus jeden podzielona przez x do kwadratu.

7. Pochodna sinusa jest równa cosinusowi.

8. Pochodna cosinusa jest równa minus sinus.

9. Pochodna tangensa jest równa jedności podzielonej przez kwadrat cosinusa.

10. Pochodna cotangensa jest równa minus jeden podzielona przez kwadrat sinusa.

Uczymy zasady różnicowania.

1. Pochodna sumy algebraicznej jest równa sumie algebraicznej pochodnych wyrazów.

2. Pochodna iloczynu jest równa iloczynowi pochodnej pierwszego czynnika i drugiego czynnika plus iloczyn pierwszego czynnika i pochodnej drugiego.

3. Pochodna „y” podzielona przez „ve” jest równa ułamkowi, w którym licznikiem jest „y liczba pierwsza pomnożona przez „ve” minus „y pomnożona przez ve liczba pierwsza”, a mianownikiem jest „ve kwadrat”.

4. Szczególny przypadek formuły 3.

Uczmy się razem!

Strona 1 z 1 1