Prawo rozkładu minimum (maksimum) dwóch zmiennych losowych. Prawo rozkładu statystyki zamówień
W tej sekcji rozważymy przede wszystkim taką transformację funkcjonalną c. c., która polega na wyborze maksimum (minimum) z dwóch wartości.
Zadanie 1. Prawo rozkładu minimum dwóch zmiennych losowych. Dany jest system ciągły. V. (X i X 2) z p.r./(*!, x2). Znajdź dystrybuantę r.v. Y:
Rozwiązanie. Najpierw znajdźmy P ( Y> y) = P (Xi > y; X 2 > y). Region D(y), gdzie X> i X 2 > y pokazany na ryc. 9.6.1. Prawdopodobieństwo trafienia w punkt (X[,X2) do regionu D(y) jest równe
Gdzie F (x b x 2) - funkcja dystrybucji systemu c. V. (Хь Х 2), F x(jq), F 2 (x2) - funkcje dystrybucyjne c. V. X I X 2 odpowiednio. Stąd,
Aby określić p.r. g (y) musisz znaleźć pochodną prawej strony (9.6.1):
Jeśli z. V. Xx, X 2 niezależne i dystrybuowane identycznie jak p.r. Fi(X) =/ 2 (x) =f(x), To
Przykład 1. Rozważamy działanie urządzenia składającego się z dwóch bloków Bi i B 2, których wspólne działanie jest absolutnie niezbędne do działania urządzenia. Czasy pracy Bloku B! i B2 oznaczają niezależne s. V. X I X2, rozłożone zgodnie z prawami wykładniczymi z parametrami X I X2. Wymagane jest znalezienie prawa dystrybucji c. V. U- czas pracy zespołu technicznego.
Rozwiązanie. To oczywiste
Korzystając ze wzorów (9.6.4) znajdujemy:
tj. co najmniej dwie niezależne zmienne losowe, rozłożony zgodnie z prawami wykładniczymi z parametrami X x i X 2, również rozłożony zgodnie z prawami wykładniczymi z parametrem X x + X2. ?
Zadanie 2. Prawo rozkładu minimum P niezależne zmienne losowe. Biorąc pod uwagę system P niezależnych wiosek V. (X x, X 2, ..., Xp) z p.r .f (x x), f 2 (x2), ..., fn (x rz). Znajdź f. R. i gęstość c. V. T= min (X X,.... Xp).
Rozwiązanie. A-przeorat
Przykład 2. Rozważamy działanie zautomatyzowanego systemu (AS), składającego się z P podsystemy Aby głośniki działały, wszyscy muszą pracować P podsystemy; czas pracy /tego podsystemu 7} rozłożone zgodnie z prawem wykładniczym z parametrem (/ = 1, 2, P) i nie zależy od czasu pracy innych podsystemów. Wyznaczyć prawo rozkładu czasu D i) bezawaryjnej pracy SZR.
Rozwiązanie. To oczywiste
Korzystając ze wzoru (9.6.6) znajdujemy dystrybuantę r.v. D l)
Zatem prawo dystrybucji c. V. - minimalna P niezależnych wiosek c., rozłożone zgodnie z prawami wykładniczymi, jest również wykładnicze; natomiast jego parametr i) S n)) jest równa sumie parametrów tych rozkładów wykładniczych. Wynika, że
Można wykazać, że prawo dystrybucji c. V. D i) gdy jest wystarczająco duży P zbiegnie się do prawa wykładniczego, nawet jeśli s. V. 7) (/= 1, 2, ..., P) nie są rozkładane zgodnie z prawami wykładniczymi. Zademonstrujmy to na przykładzie równomiernie rozłożonych s. W.:
W tym przypadku
i to jest f. R. prawo demonstracyjne.
Możemy zatem wyciągnąć wniosek, który jest szeroko stosowany w zastosowaniach inżynierskich: jeżeli jakieś urządzenie składa się z dostatecznie dużej liczby elementów n, których działanie jest bezwzględnie konieczne do działania urządzenia, wówczas prawo rozkładu czasu F p) bezawaryjnej pracy urządzenia jest bliskie wykładniczemu z parametrem, określone przez formułę
gdzie M [ Tj-średni czas bezawaryjnej pracy i-tego elementu.
Przepływ awarii takiego urządzenia będzie bliski Poissona z parametrem )Śn ?
Zadanie 3. Prawo rozkładu maksimum dwóch zmiennych losowych. Dany jest system ciągły. V. (Хь X2) z gęstością/(lbs x2). Konieczne jest znalezienie prawa dystrybucji r.v.
Rozwiązanie. A-przeorat,
Gdzie F(xx, x 2) - funkcja rozkładu systemu (X i X2).
Różniczkując to wyrażenie tak jak to zrobiliśmy wcześniej, otrzymujemy:
Jeśli zmienne losowe X i X2 są wówczas równomiernie rozłożone
Jeśli zmienne losowe X x 2 są w takim razie niezależne
Jeśli zmienne losowe X x 2 niezależne i równomiernie rozłożone
Przykład 3. Eksploatacja urządzenia technicznego nie może rozpocząć się przed zakończeniem montażu jego dwóch bloków Bi i B2. Czas montażu bloków Bi i B 2 jest układem niezależnych s. V. X x I X2, rozłożone zgodnie z prawami wykładniczymi z parametrami X x I X2. T- termin zakończenia montażu obu bloków specyfikacji technicznej.
Rozwiązanie. To oczywiste T= maks (X × X 2). Gęstość dystrybucji ok. V. ^ jest określone wzorem (9.6.12)
Prawo to nie ma charakteru orientacyjnego. ?
Zadanie 4. Prawo rozkładu maksimum P niezależne zmienne losowe. Dany jest system ciągły. V. (Xx, X 2 , ..., Xp) z gęstością f(x x, x 2,
Znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej
Rozwiązanie. A-przeorat
Gdzie F(x 1, X 2 ,..., x p) - funkcja dystrybucji systemu (X x, X 2, ..., Xp). Różniczkując, znajdujemy gęstość rozkładu:
Gdzie Fj (Xj) - F. R. Z. V. Xjfj (xj) - jego gęstość.
Jeśli z. V. x b ..., X s niezależne i równomiernie rozłożone (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,P)), To
Jeśli zmienne losowe X i ..., X s są w takim razie niezależne
Przykład 4. Prace nad urządzeniami technicznymi nie mogą rozpocząć się przed montażem całości P jego bloki: B b Bg, ..., B „. Czasy montażu bloków B b..., B l reprezentują układ P niezależnych wiosek V. (Hę..., Xp), rozłożone zgodnie z prawami wykładniczymi z parametrami A.1,..., A, p.
Musimy znaleźć gęstość c. V. U- termin zakończenia całego montażu P Bloki TU.
Rozwiązanie. Oczywiście y = maks (X,..., Xp). Według wzoru (9.6.16) mamy 
Zadanie 5. Prawo rozkładu statystyki porządkowej. Rozważmy ciągły system identycznie rozłożonych, niezależnych s. V. (X v X 2, ..., Xp) z f. R. F(x) i p.r./(x). Uporządkujmy wartości przyjęte przez zmienne losowe X v X 2, ..., X p, w kolejności rosnącej i oznaczają:
X (1) - zmienna losowa przyjmująca najmniejszą z wartości: (X (1) = min (X v X 2, ..., X p));
X(2) - druga co do wielkości akceptowana wartość zmiennych losowych X v X 2, ..., X p;
X(T) - y-ja przez wielkość przyjętej wartości ze zmiennych losowych Xx, X2, ..., X p;
X(P) - największa zmienna losowa według przyjętej wartości X, X 2, x„ (X (n) = Szach w persji (X i X2, ..., X p)).
Oczywiście,
Zmienne losowe X(i), X@),..., X(") są nazywane statystyka porządkowa.
Wzory (9.6.8) i (9.6.17) podają prawa rozkładu wyrazów ekstremalnych X(i), I X(") systemy (*).
Znajdźmy funkcję dystrybucji F^m)(x)s. V. X^t ty Wydarzenie (X^x) to jest to T Z. V. z systemu P Z. V. (X ( , X 2 ,..., X n) będzie mniejsze niż x i (p - t) Z. V. będzie większy niż x. Ponieważ s. V. X t (/" = 1, 2,..., P) są niezależne i mają jednakowy rozkład, to P (Xtx) = F(x) R (Xj > x) = 1 - F(x). Musimy znaleźć prawdopodobieństwo, że w P niezależne wydarzenie eksperymentalne (Xj x) pojawi się dokładnie T raz. Stosując rozkład dwumianowy, otrzymujemy
Sporządź prawo rozkładu liczby wadliwych części wyprodukowanych podczas zmiany na obu maszynach i oblicz oczekiwanie matematyczne oraz odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.
192. Prawdopodobieństwo, że zegarek będzie wymagał dodatkowej regulacji, wynosi 0,2. Narysuj prawo podziału liczby zegarków wymagających dodatkowej regulacji pomiędzy trzy losowo wybrane zegarki. Korzystając z otrzymanego prawa dystrybucji, znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję tej zmiennej losowej. Sprawdź wynik, korzystając z odpowiednich wzorów na matematyczne oczekiwanie i rozproszenie zmiennej losowej o rozkładzie zgodnym z prawem dwumianu.
193. Z dostępnych sześciu losów na loterię, z których cztery nie wygrywają, losowany jest jeden los, aż do napotkania zwycięskiego losu. Narysuj prawo dystrybucji zmiennej losowej X – liczby wydanych biletów, jeśli każdy wyjęty bilet nie zostanie zwrócony. Znajdź oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.
194. Student może przystąpić do egzaminu nie więcej niż cztery razy. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej X - liczby prób zdania egzaminu, jeżeli prawdopodobieństwo zdania egzaminu wynosi 0,75 i przy każdej kolejnej próbie wzrasta o 0,1. Znajdź wariancję tej zmiennej losowej.
195. Dane są prawa rozkładu dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y:
| X | – 6 | Y | – 3 | – 1 | ||||
| P | 0,3 | 0,45 | 0,25 | 0,75 | 0,25 |
Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej X–Y i sprawdź właściwość dyspersji D(X–Y) = D(X) + D(Y).
196. Spośród pięciu zegarów tego samego typu dostępnych w warsztacie tylko jeden ma źle ustawione wahadło. Mistrz sprawdza losowo wybrany zegarek. Przegląd kończy się w momencie wykrycia zegara z przesuniętym wahadłem (zegary zaznaczone nie są ponownie przeglądane). Sporządź prawo rozkładu liczby godzin obserwowanych przez mistrza i oblicz matematyczne oczekiwanie i rozproszenie tej zmiennej losowej.
197. Niezależne zmienne losowe X i Y są określone przez prawa dystrybucji:
| X | Y | – 2 | ||||||
| P | 0,1 | 0,3 | ? | 0,4 | 0,6 |
Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej X 2 + 2Y i sprawdź własność oczekiwania matematycznego: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).
198. Wiadomo, że zmienna losowa X, przyjmując dwie wartości x 1 = 1 i x 2 = 2, ma oczekiwanie matematyczne równe 7/6. Znajdź prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa X przyjmuje swoje wartości. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej 2 x 2 i znajdź jej wariancję.
199. Dwie niezależne zmienne losowe X i Y są określone przez prawa dystrybucji:
Znajdź P(X= 3) i P(Y= 4). Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej X – 2Y i sprawdź właściwości matematycznego oczekiwania i dyspersji: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).
W zadaniach 201–210 podane są zmienne losowe o rozkładzie zgodnym z prawem normalnym
201. Zmienna losowa ξ ma rozkład normalny. Znajdź P(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.
202. Zmienna losowa ξ ma rozkład normalny. Znajdź P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.
203. Zmienna losowa ξ ma rozkład normalny. Znajdź P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.
204. <σ).
205. Dla zmiennej losowej ξ o rozkładzie normalnym znajdź Р(|ξ–а|<2σ).
206. Dla zmiennej losowej ξ o rozkładzie normalnym znajdź Р(|ξ–а|<4σ).
207. Niezależne zmienne losowe ξ i η mają rozkład normalny,
Мξ= –1; Dξ= 2; Mη= 5; Dη= 7. Zapisz gęstość prawdopodobieństwa i rozkład ich sumy. Znajdź Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).
208. Niezależne zmienne losowe ξ, η, ζ rozkładają się zgodnie z prawem normalnym i Мξ= 3; Dξ= 4; Мη= –2; Dη= 0,04; Mζ= 1; Dζ= 0,09. Zapisz gęstość prawdopodobieństwa i funkcję rozkładu ich sumy. Znajdź Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).
209. Niezależne zmienne losowe ξ, η, ζ mają rozkład normalny i Мξ= –1; Dξ= 9; Mη= 2; Dη= 4; Мζ= –3; Dζ= 0,64. Zapisz gęstość prawdopodobieństwa i funkcję rozkładu ich sumy. Znajdź Р(ξ+η+ζ<0) и
Р(–3< ξ+η+ζ<0).
210. Automat produkuje rolki, kontrolując ich średnicę ξ. Zakładając, że ξ ma rozkład normalny i a = 10 mm, σ = 0,1 mm, znajdź przedział, w którym będą się mieścić średnice wyprodukowanych rolek z prawdopodobieństwem 0,9973.
W zadaniach 211–220 próbkę X o objętości n = 100 podaje tabela:
| x ja | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| n ja | 20+(a+b) | 30–(a+b) |
gdzie wyniki pomiarów x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – częstotliwości, z jakimi występują wartości x i.
1) skonstruować wielokąt o częstotliwościach względnych w i =n i /n;
2) obliczyć średnią próbki, wariancję D B i odchylenie standardowe σ B;
3) obliczyć częstotliwości teoretyczne. Skonstruuj wykres na tym samym rysunku co wielokąt;
4) stosując kryterium χ 2 sprawdzić hipotezę o rozkładzie normalnym populacji na poziomie istotności α = 0,05.
211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;
215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.
W zadaniach 221–230 dwuwymiarową próbkę wyników wspólnych pomiarów cech X i Y o objętości n = 100 określa tabela korelacji:
| X Y | y 1 | y 2 | y 3 | 4 | y 5 | n xi |
| x 1 | – | – | – | |||
| x 2 | – | – | ||||
| x 3 | – | 8+a | 12+b | – | – | 20+(a+b) |
| x 4 | – | – | 16–a | 14–b | – | 30–(a+b) |
| x 5 | – | – | – | |||
| x 6 | – | – | ||||
| x 7 | – | – | – | |||
| tak | 19+a | 42+b–a | 31–ur | n = 100 |
gdzie x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; y i = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.
1) Znajdź i σ y. Weź wartości i σ x z poprzedniego problemu.
2) Oblicz współczynnik korelacji r B . Wyciągnij wniosek na temat charakteru związku pomiędzy cechami X i Y.
3) Skonstruuj równanie prostej regresji Y na X w postaci.
4) Narysuj na wykresie pole korelacji, tj. narysuj punkty (xi, yi) i skonstruuj linię prostą.
221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;
224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;
227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2
230. a = 5; b = 4
W zadaniach 231–240 znajdź maksymalną wartość funkcji 
na warunkach 
.
Weź wartości z tabeli
| Opcje | Opcje | |||||||||
| 1 | ||||||||||
| 2 | ||||||||||
| 3 | ||||||||||
| B 1 | ||||||||||
| B 2 | ||||||||||
| B 3 | ||||||||||
| T 1 | ||||||||||
| T2 | ||||||||||
| T 3 | ||||||||||
| C 1 | ||||||||||
| C 2 |
wymagany:
1) rozwiązać zadanie programowania liniowego metodą graficzną;
2) rozwiązać zadanie metodą simpleksu tabelarycznego;
3) wykazać zgodność rozwiązań podporowych z wierzchołkami obszaru rozwiązań dopuszczalnych;
W zadaniach 241–250 pewien jednorodny ładunek skupiony między trzema dostawcami A i () musi zostać dostarczony do pięciu konsumentów B j (). Zapasy ładunkowe dostawców a i oraz potrzeby odbiorców b j , a także koszt transportu jednostki ładunku od i-tego dostawcy do j-tego konsumenta C ij podano w tabeli.
| Dostawcy | Konsumenci | Rezerwy | ||||
| B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | B 5 | ||
| 1 | Od 11 | Od 12 | Od 13 | Od 14 | Od 15 | 1 |
| 2 | Od 21 | Od 22 | Od 23 | Od 24 | Od 25 | 2 |
| 3 | C 31 | C 32 | C 33 | C 34 | Od 35 | 3 |
| Wymagania | b 1 | b 2 | b 3 | b 4 | b 5 |
Trzeba ustalić optymalny plan transportu, który umożliwia usunięcie całego ładunku od dostawców i zaspokaja potrzeby wszystkich konsumentów w taki sposób, aby koszt tego planu był minimalny. Znajdź pierwszy plan podpór, stosując metodę kąta „północno-zachodniego”. Znajdź optymalny plan, korzystając z metody potencjału. Oblicz koszty wysyłki dla każdego planu.
| Opcje | Opcje | |||||||||
| 1 | ||||||||||
| 2 | ||||||||||
| 3 | ||||||||||
| b 1 | ||||||||||
| b 2 | ||||||||||
| b 3 | ||||||||||
| b 4 | ||||||||||
| b 5 | ||||||||||
| Od 11 | ||||||||||
| Od 12 | ||||||||||
| Od 13 | ||||||||||
| Od 14 | ||||||||||
| Od 15 | ||||||||||
| Od 21 | ||||||||||
| Od 22 | ||||||||||
| Od 23 | ||||||||||
| Od 24 | ||||||||||
| Od 25 | ||||||||||
| C 31 | ||||||||||
| C 32 | ||||||||||
| C 33 | ||||||||||
| C 34 | ||||||||||
| Od 35 |
W zadaniach 251-260 przemysł dokonuje inwestycji kapitałowych w czterech obiektach. Uwzględniając charakterystykę wkładu oraz warunki lokalne, zysk branży w zależności od wysokości finansowania wyrażany jest elementami macierzy płatności. Aby uprościć problem, załóżmy, że strata branży jest równa zyskowi branży. Znajdź optymalne strategie branżowe. Wymagany:
1) podsumuj dane początkowe w tabeli i znajdź rozwiązanie gry macierzowej w czystych strategiach, jeśli takie istnieją (w przeciwnym razie patrz kolejny krok 2);
2) uprościć matrycę płatności;
3) stworzyć parę wzajemnie dualnych problemów równoważnych zadanej grze macierzowej;
4) znaleźć optymalne rozwiązanie problemu bezpośredniego (dla branży B) metodą simplex;
5) korzystając z korespondencji zmiennych, wypisz optymalne rozwiązanie problemu dualnego (dla branży A);
6) podać interpretację geometryczną tego rozwiązania (dla branży A);
7) korzystając z zależności pomiędzy optymalnymi rozwiązaniami pary problemów dualnych, optymalnymi strategiami i kosztem gry, znaleźć rozwiązanie gry w strategiach mieszanych;
opcja 1 opcja 2 opcja 3
1. Geometria analityczna i algebra wektorowa…………….. 4
2. Układy równań liniowych i liczb zespolonych……….. 5
3. Wykreślanie wykresów funkcji, obliczanie granic
i identyfikowanie punktów przerwania funkcji.…………….……………. 6
4. Pochodne funkcji, wartości największe i najmniejsze
na odcinku..…………………………………………………….… 9
5. Badanie funkcji i budowa wykresów,
funkcje kilku zmiennych, metoda najmniejszych kwadratów..… 11
6. Całka nieoznaczona, oznaczona i niewłaściwa….. 12
7. Rozwiązywanie równań i układów różniczkowych
równania różniczkowe…………….……….…….….…… 14
8. Całki wielokrotne i krzywoliniowe …………………………… 15
9. Badanie szeregów liczbowych i potęgowych, przybliżone
rozwiązania równań różniczkowych……………...………… 17
10. Teoria prawdopodobieństwa…………….……………………...……… 18
Petr Aleksiejewicz Burow
Anatolij Nikołajewicz Muravyov
Zbiór zadań
©2015-2019 strona
Wszelkie prawa należą do ich autorów. Ta witryna nie rości sobie praw do autorstwa, ale zapewnia bezpłatne korzystanie.
Data utworzenia strony: 2017-12-07
Dwie zmienne losowe $X$ i $Y$ nazywamy niezależnymi, jeżeli prawo rozkładu jednej zmiennej losowej nie zmienia się w zależności od tego, jakie możliwe wartości przyjmuje druga zmienna losowa. Oznacza to, że dla dowolnych $x$ i $y$ zdarzenia $X=x$ i $Y=y$ są niezależne. Ponieważ zdarzenia $X=x$ i $Y=y$ są niezależne, to zgodnie z twierdzeniem o iloczynu prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ prawo)\prawo)=P \lewo(X=x\prawo)P\lewo(Y=y\prawo)$.
Przykład 1 . Niech zmienna losowa $X$ wyraża wygrane pieniężne z losów jednej loterii „Russian Lotto”, a zmienna losowa $Y$ wyraża wygrane pieniężne z losów innej loterii „Złoty Klucz”. Jest oczywiste, że zmienne losowe $X,\Y$ będą niezależne, gdyż wygrane z losów jednej loterii nie zależą od prawa podziału wygranych z losów innej loterii. W przypadku, gdy zmienne losowe $X,\Y$ wyrażałyby wygrane w tej samej loterii, wówczas te zmienne losowe byłyby oczywiście zależne.
Przykład 2 . Dwóch pracowników pracuje w różnych warsztatach i wytwarza różne produkty, które nie są ze sobą powiązane technologiami wytwarzania i zastosowanymi surowcami. Prawo podziału liczby wadliwych produktów wyprodukowanych przez pierwszego pracownika na zmianę ma następującą postać:
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
Liczba \ wadliwych \ produktów \ x i 0 i 1 \\
\hline
Prawdopodobieństwo i 0,8 i 0,2 \\
\hline
\end(tablica)$
Liczba wadliwych produktów wyprodukowanych przez drugiego pracownika na zmianę jest zgodna z następującym prawem dystrybucji.
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
Liczba \ wadliwych \ produktów \ y & 0 & 1 \\
\hline
Prawdopodobieństwo i 0,7 i 0,3 \\
\hline
\end(tablica)$
Znajdźmy prawo dystrybucji liczby wadliwych produktów wyprodukowanych przez dwóch pracowników na zmianę.
Niech zmienna losowa $X$ będzie liczbą wadliwych produktów wyprodukowanych przez pierwszego pracownika na zmianę, a $Y$ liczbą wadliwych produktów wyprodukowanych przez drugiego pracownika na zmianę. Zgodnie z warunkiem zmienne losowe $X,\Y$ są niezależne.
Liczba wadliwych produktów wyprodukowanych przez dwóch pracowników na zmianę jest zmienną losową $X+Y$. Jego możliwe wartości to $0,\1$ i $2$. Znajdźmy prawdopodobieństwa, z jakimi zmienna losowa $X+Y$ przyjmuje swoje wartości.
$P\lewo(X+Y=0\prawo)=P\lewo(X=0,\ Y=0\prawo)=P\lewo(X=0\prawo)P\lewo(Y=0\prawo) =0,8\cdot 0,7=0,56.$
$P\lewo(X+Y=1\prawo)=P\lewo(X=0,\ Y=1\ lub\ X=1,\ Y=0\prawo)=P\lewo(X=0\prawo )P\lewo(Y=1\prawo)+P\lewo(X=1\prawo)P\lewo(Y=0\prawo)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$
$P\lewo(X+Y=2\prawo)=P\lewo(X=1,\ Y=1\prawo)=P\lewo(X=1\prawo)P\lewo(Y=1\prawo) =0,2\cdot 0,3=0,06.$
Następnie prawo rozkładu liczby wadliwych produktów wytworzonych przez dwóch pracowników na zmianę:
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
Liczba \ wadliwych \ produktów oraz 0 i 1 i 2 \\
\hline
Prawdopodobieństwo & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(tablica)$
W poprzednim przykładzie wykonaliśmy operację na zmiennych losowych $X,\Y$, czyli obliczyliśmy ich sumę $X+Y$. Podamy teraz bardziej rygorystyczną definicję działań (dodawanie, różnica, mnożenie) na zmiennych losowych i podamy przykłady rozwiązań.
Definicja 1. Iloczyn $kX$ zmiennej losowej $X$ przez stałą $k$ jest zmienną losową, która przyjmuje wartości $kx_i$ z takimi samymi prawdopodobieństwami $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \kropki ,\ n\ prawo)$.
Definicja 2. Suma (różnica lub iloczyn) zmiennych losowych $X$ i $Y$ jest zmienną losową, która przyjmuje wszystkie możliwe wartości postaci $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ lub $x_i\cdot y_i$) , gdzie $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, z prawdopodobieństwem $p_(ij)$, że zmienna losowa $X$ przyjmie wartość $x_i$, a $Y$ wartość $y_j$:
$$p_(ij)=P\lewo[\lewo(X=x_i\prawo)\lewo(Y=y_j\prawo)\prawo].$$
Ponieważ zmienne losowe $X,\Y$ są niezależne, to zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ po prawej) = p_i\cdot p_j$.
Przykład 3 . Niezależne zmienne losowe $X,\ Y$ są określone przez ich prawa rozkładu prawdopodobieństwa.
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
x_i i -8 i 2 i 3 \\
\hline
p_i i 0,4 i 0,1 i 0,5 \\
\hline
\end(tablica)$
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
y_i i 2 i 8 \\
\hline
p_i i 0,3 i 0,7 \\
\hline
\end(tablica)$
Sformułujmy prawo rozkładu zmiennej losowej $Z=2X+Y$. Suma zmiennych losowych $X$ i $Y$, czyli $X+Y$, jest zmienną losową, która przyjmuje wszystkie możliwe wartości postaci $x_i+y_j$, gdzie $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , z prawdopodobieństwem $p_(ij)$, że zmienna losowa $X$ przyjmie wartość $x_i$, a $Y$ wartość $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Ponieważ zmienne losowe $X,\Y$ są niezależne, to zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ po prawej) = p_i\cdot p_j$.
Ma więc prawa dystrybucji odpowiednio dla zmiennych losowych $2X$ i $Y$.
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
x_i i -16 i 4 i 6 \\
\hline
p_i i 0,4 i 0,1 i 0,5 \\
\hline
\end(tablica)$
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
y_i i 2 i 8 \\
\hline
p_i i 0,3 i 0,7 \\
\hline
\end(tablica)$
Dla wygody znalezienia wszystkich wartości sumy $Z=2X+Y$ i ich prawdopodobieństw utworzymy tabelę pomocniczą, w której w każdej komórce umieścimy w lewym rogu wartości sumy $ Z=2X+Y$, a w prawym rogu - prawdopodobieństwa tych wartości otrzymane w wyniku pomnożenia prawdopodobieństw odpowiadających im wartości zmiennych losowych $2X$ i $Y$.
W efekcie otrzymujemy rozkład $Z=2X+Y$:
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
z_i i -14 i -8 i 6 i 12 i 10 i 16 \\
\hline
p_i i 0,12 i 0,28 i 0,03 i 0,07 i 0,15 i 0,35 \\
\hline
\end(tablica)$