Zaczynając mówić o średnich, ludzie najczęściej pamiętają, jak ukończyli szkołę i weszli do instytucji edukacyjnej. Następnie na podstawie świadectwa obliczono średnią ocen: wszystkie oceny (zarówno dobre, jak i niezbyt dobre) zsumowano, a otrzymaną kwotę podzielono przez ich liczbę. W ten sposób oblicza się najprostszy rodzaj średniej, który nazywa się prostą średnią arytmetyczną. W praktyce w statystyce wykorzystuje się różne rodzaje średnich: arytmetyczne, harmoniczne, geometryczne, kwadratowe, średnie strukturalne. Stosuje się ten lub inny typ w zależności od charakteru danych i celów badania.
Średnia wartość jest najpowszechniejszym wskaźnikiem statystycznym, za pomocą którego podaje się ogólną charakterystykę zbioru podobnych zjawisk według jednej z różnych charakterystyk. Pokazuje poziom cechy na jednostkę populacji. Za pomocą wartości średnich porównuje się różne populacje według różnych cech, bada się wzorce rozwoju zjawisk i procesów życia społecznego.
W statystyce stosuje się dwie klasy średnich: potęgowe (analityczne) i strukturalne. Te ostatnie służą do scharakteryzowania struktury szeregu zmian i zostaną omówione w dalszej części rozdziału. 8.
Do grupy średnich mocy zalicza się średnie arytmetyczne, harmoniczne, geometryczne i kwadratowe. Poszczególne wzory do ich obliczania można sprowadzić do postaci wspólnej dla wszystkich średnich mocy, a mianowicie
gdzie m jest wykładnikiem średniej potęgowej: przy m = 1 otrzymujemy wzór na obliczenie średniej arytmetycznej, przy m = 0 - średniej geometrycznej, m = -1 - średniej harmonicznej, przy m = 2 - średniej kwadratowej ;
x i - opcje (wartości, jakie przyjmuje atrybut);
f ja - częstotliwości.
Głównym warunkiem, pod którym można zastosować średnie potęgowe w analizie statystycznej, jest jednorodność populacji, która nie powinna zawierać danych wyjściowych znacznie różniących się wartością ilościową (w literaturze nazywane są obserwacjami anomalnymi).
Zademonstrujmy znaczenie tego warunku na następującym przykładzie.
Przykład 6.1. Obliczmy średnie wynagrodzenie pracowników małego przedsiębiorstwa.
| NIE. | Wynagrodzenie, pocierać. | NIE. | Wynagrodzenie, pocierać. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
Aby obliczyć średnie wynagrodzenie, należy zsumować wynagrodzenia naliczone wszystkim pracownikom przedsiębiorstwa (tj. znaleźć fundusz wynagrodzeń) i podzielić przez liczbę pracowników:
Teraz dodajmy do naszej sumy tylko jedną osobę (dyrektor tego przedsiębiorstwa), ale z pensją 50 000 rubli. W takim przypadku obliczona średnia będzie zupełnie inna:
Jak widać, przekracza 7000 rubli itp. jest większa niż wszystkie wartości atrybutów z wyjątkiem jednej pojedynczej obserwacji.
Aby takie przypadki nie miały miejsca w praktyce, a średnia nie straciła na znaczeniu (w przykładzie 6.1 nie odgrywa już roli uogólniającej cechy populacji, jaką powinna być), przy obliczaniu średniej, anomalnej, ostro wyróżniające się obserwacje należy wyłączyć z analizy, a tematy ujednolicić populację lub podzielić populację na jednorodne grupy i obliczyć średnie wartości dla każdej grupy i analizować nie średnią ogólną, ale średnie wartości grupy.
6.1. Średnia arytmetyczna i jej własności
Średnią arytmetyczną oblicza się albo jako wartość prostą, albo jako wartość ważoną.
Obliczając średnie wynagrodzenie zgodnie z danymi z tabeli przykład 6.1, zsumowaliśmy wszystkie wartości atrybutu i podzieliliśmy przez ich liczbę. Postęp naszych obliczeń będziemy pisać w postaci prostego wzoru na średnią arytmetyczną
gdzie x i - opcje (poszczególne wartości cechy);
n to liczba jednostek w sumie.
Przykład 6.2. Pogrupujmy teraz nasze dane z tabeli z przykładu 6.1 itd. Skonstruujmy dyskretną serię zmian rozkładu pracowników według poziomu płac. Wyniki grupowania przedstawiono w tabeli.
Zapiszmy wyrażenie służące do obliczenia średniego poziomu płac w bardziej zwartej formie:
W przykładzie 6.2 zastosowano wzór na średnią ważoną arytmetyczną
gdzie f i są częstotliwościami pokazującymi, ile razy wartość atrybutu x i y występuje w jednostkach populacji.
Średnią arytmetyczną ważoną wygodnie jest obliczyć w tabeli, jak pokazano poniżej (tabela 6.3):
| Wstępne dane | Szacowany wskaźnik | |
| wynagrodzenie, pocierać. | liczba pracowników, osób | fundusz płac, rub. |
| x ja | f ja | x ja fi ja |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| Całkowity | 20 | 132 080 |
Należy zauważyć, że prostą średnią arytmetyczną stosuje się w przypadkach, gdy dane nie są pogrupowane lub pogrupowane, ale wszystkie częstotliwości są równe.
Często wyniki obserwacji przedstawiane są w postaci szeregu rozkładów przedziałowych (patrz tabela w przykładzie 6.4). Następnie przy obliczaniu średniej punkty środkowe przedziałów przyjmuje się jako x i. Jeżeli pierwszy i ostatni przedział są otwarte (nie mają żadnej z granic), to warunkowo „zamykają się”, przyjmując za wartość tego przedziału wartość sąsiedniego przedziału itp. pierwszy jest zamykany na podstawie wartości drugiego, a ostatni na podstawie wartości przedostatniego.
Przykład 6.3. Na podstawie wyników badania reprezentacyjnego jednej z grup ludności obliczymy wysokość przeciętnego dochodu pieniężnego na mieszkańca.
W powyższej tabeli środek pierwszego przedziału wynosi 500. Rzeczywiście wartość drugiego przedziału wynosi 1000 (2000-1000); wtedy dolna granica pierwszego to 0 (1000-1000), a jego środkowa to 500. To samo robimy z ostatnim interwałem. Jako środek przyjmujemy 25 000: wartość przedostatniego przedziału wynosi 10 000 (20 000–10 000), następnie jego górna granica wynosi 30 000 (20 000 + 10 000), a środek odpowiednio wynosi 25 000.
| Średni dochód gotówkowy na mieszkańca, rub. na miesiąc | Populacja ogółem, % f i | Punkty środkowe przedziałów x i | x ja fi ja |
|---|---|---|---|
| Do 1000 | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 20 000 i więcej | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| Całkowity | 100,0 | - | 892 850 |
Wtedy będzie średni miesięczny dochód na mieszkańca
Średnia arytmetyczna jest wskaźnikiem statystycznym, który pokazuje średnią wartość danej tablicy danych. Wskaźnik ten jest obliczany jako ułamek, którego licznik jest sumą wszystkich wartości w tablicy, a mianownikiem jest ich liczba. Średnia arytmetyczna jest ważnym współczynnikiem używanym w codziennych obliczeniach.
Znaczenie współczynnika
Średnia arytmetyczna jest podstawowym wskaźnikiem służącym do porównywania danych i obliczania dopuszczalnej wartości. Na przykład różne sklepy sprzedają puszkę piwa określonego producenta. Ale w jednym sklepie kosztuje 67 rubli, w innym - 70 rubli, w trzecim - 65 rubli, a w ostatnim - 62 ruble. Rozpiętość cen jest dość duża, dlatego kupującego zainteresuje średni koszt puszki, aby przy zakupie produktu móc porównać swoje koszty. Średnia cena puszki piwa w mieście wynosi:
Średnia cena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubli.
Znając średnią cenę, łatwo określić, gdzie opłaca się kupić produkt, a gdzie trzeba będzie przepłacić.
Średnia arytmetyczna jest stale wykorzystywana w obliczeniach statystycznych w przypadkach, gdy analizowany jest jednorodny zbiór danych. W powyższym przykładzie jest to cena puszki piwa tej samej marki. Nie możemy jednak porównywać cen piwa różnych producentów ani cen piwa i lemoniady, gdyż w tym przypadku rozrzut wartości będzie większy, średnia cena będzie niejasna i niewiarygodna, a sam sens obliczeń zostanie zniekształcona w karykaturę „średniej temperatury w szpitalu”. Do obliczenia heterogenicznych zbiorów danych stosuje się ważoną średnią arytmetyczną, gdy każda wartość otrzymuje swój własny współczynnik ważenia.
Obliczanie średniej arytmetycznej
Wzór do obliczeń jest niezwykle prosty:
P = (a1 + a2 +… an) / n,
gdzie an jest wartością wielkości, n jest całkowitą liczbą wartości.
Do czego można wykorzystać ten wskaźnik? Pierwszym i oczywistym zastosowaniem tego jest statystyka. Prawie w każdym badaniu statystycznym posługuje się średnią arytmetyczną. Może to być średni wiek zawierania małżeństwa w Rosji, średnia ocen ucznia z przedmiotu lub średnie dzienne wydatki na artykuły spożywcze. Jak wspomniano powyżej, bez uwzględnienia wag obliczanie średnich może dawać dziwne lub absurdalne wartości.
Na przykład Prezydent Federacji Rosyjskiej oświadczył, że według statystyk średnia pensja Rosjanina wynosi 27 000 rubli. Dla większości mieszkańców Rosji ten poziom wynagrodzenia wydawał się absurdalny. Nic dziwnego, jeśli przy obliczeniach uwzględnimy z jednej strony dochody oligarchów, szefów przedsiębiorstw przemysłowych, wielkich bankierów, a z drugiej pensje nauczycieli, sprzątaczek i sprzedawców. Nawet średnie pensje w jednej specjalności, na przykład księgowego, będą miały poważne różnice w Moskwie, Kostromie i Jekaterynburgu.
Jak obliczyć średnie dla danych heterogenicznych
W sytuacjach związanych z płacami ważne jest, aby wziąć pod uwagę wagę każdej wartości. Oznacza to, że pensje oligarchów i bankierów otrzymałyby wagę np. 0,00001, a handlowcom – 0,12. Są to liczby niespodziewane, ale z grubsza ilustrują przewagę oligarchów i sprzedawców w rosyjskim społeczeństwie.
Zatem do obliczenia średniej średnich lub wartości średnich w heterogenicznym zbiorze danych wymagane jest zastosowanie arytmetycznej średniej ważonej. W przeciwnym razie otrzymasz średnią pensję w Rosji w wysokości 27 000 rubli. Jeśli chcesz sprawdzić swoją średnią ocen z matematyki lub średnią liczbę bramek zdobytych przez wybranego hokeistę, to kalkulator średniej arytmetycznej będzie dla Ciebie odpowiedni.
Nasz program jest prostym i wygodnym kalkulatorem służącym do obliczania średniej arytmetycznej. Aby wykonać obliczenia wystarczy wprowadzić wartości parametrów.
Spójrzmy na kilka przykładów
Obliczanie średniego wyniku
Wielu nauczycieli do ustalenia rocznej oceny z przedmiotu stosuje metodę średniej arytmetycznej. Wyobraźmy sobie, że dziecko otrzymało z matematyki następujące ćwierćoceny: 3, 3, 5, 4. Jaką ocenę roczną wystawi mu nauczyciel? Skorzystajmy z kalkulatora i obliczmy średnią arytmetyczną. Aby rozpocząć, wybierz odpowiednią liczbę pól i wpisz wartości ocen w wyświetlonych komórkach:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Nauczyciel zaokrągli wartość na korzyść ucznia, a uczeń otrzyma solidną ocenę B za rok.
Obliczanie zjedzonych cukierków
Zilustrujmy trochę absurdalność średniej arytmetycznej. Wyobraźmy sobie, że Masza i Wowa mieli 10 cukierków. Masza zjadła 8 cukierków, a Wowa tylko 2. Ile cukierków zjadało średnio każde dziecko? Korzystając z kalkulatora, łatwo obliczyć, że dzieci zjadały średnio 5 cukierków, co jest całkowicie niezgodne z rzeczywistością i zdrowym rozsądkiem. Ten przykład pokazuje, że średnia arytmetyczna jest ważna w przypadku znaczących zbiorów danych.
Wniosek
Obliczanie średniej arytmetycznej jest szeroko stosowane w wielu dziedzinach nauki. Wskaźnik ten jest popularny nie tylko w obliczeniach statystycznych, ale także w fizyce, mechanice, ekonomii, medycynie czy finansach. Skorzystaj z naszych kalkulatorów jako pomocy przy rozwiązywaniu problemów związanych z obliczaniem średniej arytmetycznej.
Prosta średnia arytmetyczna to średni wyraz, w którym określa się całkowitą objętość danej cechy całość dane rozkładają się równomiernie pomiędzy wszystkie jednostki zawarte w tej populacji. Zatem średnia roczna produkcja na pracownika to wielkość produkcji, która przypadałaby na każdego pracownika, gdyby cała wielkość produkcji była równomiernie rozdzielona pomiędzy wszystkich pracowników organizacji. Średnią arytmetyczną prostą wartość oblicza się ze wzoru:
Prosta średnia arytmetyczna- Równy stosunkowi sumy poszczególnych wartości cechy do liczby cech w sumie
Przykład 1. Zespół 6 pracowników otrzymuje 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tysiąca rubli miesięcznie.
Znajdź średnią pensję Rozwiązanie: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tys. Rubli.
Średnia arytmetyczna ważona
Jeżeli objętość zbioru danych jest duża i stanowi szereg dystrybucyjny, wówczas obliczana jest ważona średnia arytmetyczna. W ten sposób wyznacza się średnią ważoną cenę jednostki produkcji: całkowity koszt produkcji (suma produktów jej ilości przez cenę jednostki produkcji) jest dzielony przez całkowitą wielkość produkcji.
Wyobraźmy sobie to w postaci następującego wzoru:
Ważona średnia arytmetyczna- jest równy stosunkowi (suma iloczynów wartości cechy przez częstotliwość powtarzania się tej cechy) do (suma częstości występowania wszystkich cech). Stosuje się go, gdy warianty badanej populacji wystąpić nierówną liczbę razy.
Przykład 2. Znajdź średnie miesięczne wynagrodzenie pracowników warsztatu
|
Wynagrodzenie jednego pracownika tysiąca rubli; X |
Liczba pracowników F |
Przeciętne wynagrodzenie można otrzymać, dzieląc całkowite wynagrodzenie przez całkowitą liczbę pracowników:
Odpowiedź: 3,35 tysiąca rubli.
Średnia arytmetyczna szeregów przedziałowych
Obliczając średnią arytmetyczną szeregu zmian przedziałów, należy najpierw określić średnią dla każdego przedziału jako połowę sumy górnej i dolnej granicy, a następnie średnią z całego szeregu. W przypadku przedziałów otwartych o wartości przedziału dolnego lub górnego decyduje wielkość przedziałów sąsiadujących z nimi.
Średnie obliczone z szeregów przedziałowych są przybliżone.
Przykład 3. Określ średni wiek studentów studiów wieczorowych.
|
Wiek w latach!!x?? |
Liczba studentów |
Średnia wartość przedziału |
Iloczyn środka przedziału (wiek) i liczby uczniów |
|
(18 + 20) / 2 =19 · 18 w tym przypadku granica dolnego przedziału. Obliczane jako 20 - (22-20) | |||
|
(20 + 22) / 2 = 21 | |||
|
(22 + 26) / 2 = 24 | |||
|
(26 + 30) / 2 = 28 | |||
|
30 lub więcej |
(30 + 34) / 2 = 32 | ||
Średnie obliczone z szeregów przedziałowych są przybliżone. Stopień ich przybliżenia zależy od tego, na ile rzeczywisty rozkład jednostek populacji w obrębie przedziału zbliża się do rozkładu równomiernego.
Przy obliczaniu średnich jako wagi można stosować nie tylko wartości bezwzględne, ale także względne (częstotliwość).
Co to jest średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna kilku wielkości to stosunek sumy tych wielkości do ich liczby.
Średnia arytmetyczna pewnego ciągu liczb jest sumą wszystkich tych liczb podzieloną przez liczbę wyrazów. Zatem średnia arytmetyczna jest średnią wartością szeregu liczbowego.
Jaka jest średnia arytmetyczna kilku liczb? I są one równe sumie tych liczb podzielonej przez liczbę wyrazów w tej sumie.
Jak znaleźć średnią arytmetyczną
Obliczenie lub znalezienie średniej arytmetycznej kilku liczb nie jest niczym skomplikowanym, wystarczy dodać wszystkie przedstawione liczby i podzielić powstałą sumę przez liczbę wyrazów. Otrzymany wynik będzie średnią arytmetyczną tych liczb.
Przyjrzyjmy się temu procesowi bardziej szczegółowo. Co musimy zrobić, aby obliczyć średnią arytmetyczną i otrzymać końcowy wynik tej liczby.
Najpierw, aby to obliczyć, musisz określić zbiór liczb lub ich liczbę. Zestaw ten może zawierać duże i małe liczby, a ich liczba może być dowolna.
Po drugie, wszystkie te liczby należy dodać i uzyskać ich sumę. Oczywiście, jeśli liczby są proste i jest ich niewielka liczba, obliczenia można wykonać, pisząc je ręcznie. Ale jeśli zestaw liczb jest imponujący, lepiej skorzystać z kalkulatora lub arkusza kalkulacyjnego.
Po czwarte, kwotę otrzymaną z dodania należy podzielić przez liczbę liczb. W rezultacie otrzymamy wynik, który będzie średnią arytmetyczną tego szeregu.
Dlaczego potrzebujesz średniej arytmetycznej?
Średnia arytmetyczna może być przydatna nie tylko do rozwiązywania przykładów i problemów na lekcjach matematyki, ale także do innych celów niezbędnych w życiu codziennym. Takimi celami może być obliczenie średniej arytmetycznej w celu obliczenia średnich miesięcznych wydatków finansowych lub obliczenie czasu spędzonego w drodze, również w celu sprawdzenia frekwencji, produktywności, szybkości poruszania się, wydajności i wielu innych.
Spróbujmy więc na przykład obliczyć, ile czasu spędzasz w drodze do szkoły. Idąc do szkoły lub wracając do domu, za każdym razem spędzasz w drodze inny czas, bo gdy się spieszysz, idziesz szybciej, a przez to droga zajmuje mniej czasu. Ale wracając do domu, możesz chodzić powoli, komunikować się z kolegami z klasy, podziwiać przyrodę, dlatego podróż zajmie więcej czasu.
Dlatego nie będziesz w stanie dokładnie określić czasu spędzonego w drodze, ale dzięki średniej arytmetycznej możesz w przybliżeniu dowiedzieć się, ile czasu spędzasz w drodze.
Załóżmy, że pierwszego dnia po weekendzie w drodze z domu do szkoły spędziłeś piętnaście minut, drugiego dnia podróż trwała dwadzieścia minut, w środę pokonałeś dystans w dwadzieścia pięć minut i podróż trwała tyle samo w czwartek trochę czasu, a w piątek nie spieszyłeś się i wróciłeś na całe pół godziny.
Znajdźmy średnią arytmetyczną, dodając czas, dla wszystkich pięciu dni. Więc,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Teraz podziel tę kwotę przez liczbę dni
Dzięki tej metodzie nauczyłeś się, że podróż z domu do szkoły zajmuje około dwudziestu trzech minut Twojego czasu.
Praca domowa
1.Korzystając z prostych obliczeń, znajdź średnią arytmetyczną frekwencji uczniów w Twojej klasie w tygodniu.
2. Znajdź średnią arytmetyczną:
3. Rozwiąż problem:
W statystyce stosuje się różne rodzaje średnich, które dzielą się na dwie duże klasy:
Średnie potęgowe (średnia harmoniczna, średnia geometryczna, średnia arytmetyczna, średnia kwadratowa, średnia sześcienna);
Średnie strukturalne (moda, mediana).
Liczyć średnie moce należy wykorzystać wszystkie dostępne wartości charakterystyczne. Moda I mediana są zdeterminowane jedynie strukturą rozkładu, dlatego nazywane są średnimi strukturalnymi, pozycyjnymi. Medianę i modę często wykorzystuje się jako średnią cechę w populacjach, w których obliczenie średniej potęgi jest niemożliwe lub niepraktyczne.
Najpopularniejszym rodzajem średniej jest średnia arytmetyczna. Pod Średnia arytmetyczna rozumiana jest jako wartość cechy, jaką miałaby każda jednostka populacji, gdyby całkowita suma wszystkich wartości cechy została równomiernie rozdzielona pomiędzy wszystkie jednostki populacji. Obliczenie tej wartości sprowadza się do zsumowania wszystkich wartości zmiennej cechy i podzielenia otrzymanej kwoty przez całkowitą liczbę jednostek w populacji. Przykładowo pięciu pracowników zrealizowało zlecenie na produkcję części, pierwszy wykonał 5 części, drugi – 7, trzeci – 4, czwarty – 10, piąty – 12. Ponieważ w danych źródłowych wartość każdej opcja wystąpiła tylko raz, aby to ustalić
Aby określić średnią wydajność jednego robotnika, należy zastosować prosty wzór na średnią arytmetyczną:
tj. w naszym przykładzie średnia produkcja jednego pracownika jest równa
Oprócz prostej średniej arytmetycznej uczą się ważona średnia arytmetyczna. Dla przykładu obliczmy średni wiek uczniów w grupie 20 osób, których wiek waha się od 18 do 22 lat, gdzie xi– warianty uśrednianej cechy, fi– częstotliwość, która pokazuje, ile razy występuje i-t wartość w sumie (tabela 5.1).
Tabela 5.1
Średni wiek uczniów
Stosując wzór na średnią ważoną arytmetyczną otrzymujemy:
Istnieje pewna zasada wyboru ważonej średniej arytmetycznej: jeśli istnieje seria danych na temat dwóch wskaźników, z których jeden należy obliczyć
wartość średnia, a jednocześnie znane są wartości liczbowe mianownika jego wzoru logicznego, a wartości licznika są nieznane, ale można je znaleźć jako iloczyn tych wskaźników, wówczas wartość średnia powinna oblicza się przy użyciu wzoru na średnią arytmetyczną ważoną.
W niektórych przypadkach charakter początkowych danych statystycznych jest taki, że obliczenie średniej arytmetycznej traci sens i jedynym wskaźnikiem uogólniającym może być jedynie inny rodzaj wartości średniej - Średnia harmoniczna. Obecnie właściwości obliczeniowe średniej arytmetycznej straciły na znaczeniu w obliczaniu ogólnych wskaźników statystycznych ze względu na powszechne wprowadzenie technologii obliczeń elektronicznych. Wartość średnia harmoniczna, która może być również prosta i ważona, nabrała dużego znaczenia praktycznego. Jeśli znane są wartości liczbowe licznika wzoru logicznego, a wartości mianownika są nieznane, ale można je znaleźć jako częściowy podział jednego wskaźnika przez drugi, wówczas wartość średnią oblicza się za pomocą harmonicznej formuła średniej ważonej.
Przykładowo niech będzie wiadomo, że pierwsze 210 km samochód przejechał z prędkością 70 km/h, a pozostałe 150 km z prędkością 75 km/h. Nie da się określić średniej prędkości samochodu na całej trasie wynoszącej 360 km, korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną. Ponieważ opcjami są prędkości na poszczególnych odcinkach xj= 70 km/h i X2= 75 km/h, a wagi (fi) uznaje się za odpowiadające im odcinki trasy, wówczas iloczyny opcji i wag nie będą miały ani znaczenia fizycznego, ani ekonomicznego. W tym przypadku ilorazy nabierają znaczenia po podziale odcinków ścieżki na odpowiadające im prędkości (opcje xi), czyli czas spędzony na przejechaniu poszczególnych odcinków ścieżki (fi / xi). Jeżeli odcinki ścieżki oznaczymy jako fi, to cała ścieżka będzie wyrażona jako?fi, a czas spędzony na całej ścieżce będzie wyrażony jako?fi. fi / xi , Następnie średnią prędkość można obliczyć jako iloraz całej trasy podzielony przez całkowity czas spędzony:
W naszym przykładzie otrzymujemy:
Jeżeli przy stosowaniu średniej harmonicznej wagi wszystkich opcji (f) są równe, to zamiast opcji ważonej można zastosować prosta (nieważona) średnia harmoniczna:
gdzie xi to opcje indywidualne; N– liczba wariantów uśrednianej cechy. W przykładzie dotyczącym prędkości można zastosować prostą średnią harmoniczną, jeśli segmenty ścieżki przebyte z różnymi prędkościami były równe.
Każdą wartość średnią należy tak obliczyć, aby przy zastąpieniu każdego wariantu uśrednionej cechy nie uległa zmianie wartość jakiegoś końcowego, ogólnego wskaźnika, który jest powiązany ze wskaźnikiem uśrednionym. Zatem zastępując rzeczywiste prędkości na poszczególnych odcinkach trasy ich wartością średnią (prędkość średnią), dystans całkowity nie powinien się zmieniać.
Formę (wzór) wartości średniej wyznacza charakter (mechanizm) relacji tego wskaźnika końcowego do wskaźnika uśrednionego, dlatego też wskaźnikiem końcowym, którego wartość nie powinna się zmieniać przy zastąpieniu opcji ich wartością średnią, jest zwany wskaźnik określający. Aby wyprowadzić wzór na średnią, należy utworzyć i rozwiązać równanie, wykorzystując relację między wskaźnikiem uśrednionym a wskaźnikiem decydującym. Równanie to konstruuje się poprzez zastąpienie uśrednianych wariantów cechy (wskaźnika) ich wartością średnią.
Oprócz średniej arytmetycznej i średniej harmonicznej w statystyce stosuje się inne typy (formy) średniej. Wszystkie są szczególnymi przypadkami średnia moc. Jeśli obliczymy wszystkie rodzaje średnich mocy dla tych samych danych, to wartości
okażą się takie same, tutaj obowiązuje zasada stawka główna przeciętny. Wraz ze wzrostem wykładnika średniej wzrasta sama wartość średnia. W tabeli przedstawiono najczęściej stosowane wzory do obliczania różnych typów średnich mocy w badaniach praktycznych. 5.2.
Tabela 5.2
Rodzaje środków mocy
Jeśli istnieje, stosuje się średnią geometryczną N współczynników wzrostu, natomiast poszczególne wartości cechy są z reguły wartościami dynamiki względnej, konstruowanymi w postaci wartości łańcuchowych, jako stosunek do poprzedniego poziomu każdego poziomu w szeregu dynamiki. Średnia charakteryzuje zatem średnią stopę wzrostu. Przeciętna geometryczna prosta obliczone według wzoru
Formuła ważona średnia geometryczna ma następującą postać:
Powyższe wzory są identyczne, z tym że jeden stosuje się dla bieżących współczynników lub stóp wzrostu, a drugi dla wartości bezwzględnych poziomów szeregów.
Średnia kwadratowa stosowany w obliczeniach z wartościami funkcji kwadratowych, służący do pomiaru stopnia fluktuacji poszczególnych wartości cechy wokół średniej arytmetycznej w szeregu rozkładów i obliczany jest według wzoru
Średni ważony kwadrat obliczone według innego wzoru:
Przeciętny sześcienny służy do obliczeń z wartościami funkcji sześciennych i jest obliczany według wzoru
średnia waga sześcienna:
Wszystkie wartości średnie omówione powyżej można przedstawić w postaci ogólnego wzoru:
gdzie jest wartość średnia; – znaczenie indywidualne; N– liczba jednostek badanej populacji; k– wykładnik określający rodzaj średniej.
W przypadku korzystania z tych samych danych źródłowych tym więcej k w ogólnym wzorze na średnią moc, im większa jest wartość średnia. Wynika z tego, że istnieje naturalna zależność pomiędzy wartościami średnich mocy:
Opisane powyżej wartości średnie dają uogólnione pojęcie o badanej populacji i z tego punktu widzenia ich znaczenie teoretyczne, stosowane i edukacyjne jest bezdyskusyjne. Zdarza się jednak, że średnia wartość nie pokrywa się z żadną z faktycznie istniejących opcji, dlatego oprócz rozważanych średnich w analizie statystycznej wskazane jest wykorzystanie wartości konkretnych opcji, które zajmują bardzo konkretną pozycję w uporządkowane (uszeregowane) serie wartości atrybutów. Wśród tych ilości najczęściej stosowane są strukturalny, Lub opisowy, średni– mod (Mo) i mediana (Me).
Moda– wartość cechy, która najczęściej występuje w danej populacji. W odniesieniu do szeregu wariacyjnego modą jest najczęściej występująca wartość szeregu rankingowego, czyli opcja występująca z największą częstotliwością. Modę można wykorzystać do określenia najczęściej odwiedzanych sklepów, najczęstszej ceny dowolnego produktu. Pokazuje wielkość cechy charakterystycznej dla znacznej części populacji i jest określana za pomocą wzoru
gdzie x0 jest dolną granicą przedziału; H– wielkość interwału; fm– częstotliwość interwałów; fm_ 1 – częstotliwość poprzedniego interwału; fm+ 1 – częstotliwość kolejnego interwału.
Mediana wywoływana jest opcja znajdująca się w środku rankingu. Mediana dzieli szereg na dwie równe części w taki sposób, że po obu jej stronach znajduje się taka sama liczba jednostek populacji. W tym przypadku połowa jednostek populacji ma wartość zmiennej zmiennej mniejszą od mediany, a druga połowa większą od niej. Medianę stosuje się przy badaniu elementu, którego wartość jest większa lub równa lub jednocześnie mniejsza lub równa połowie elementów szeregu dystrybucyjnego. Mediana daje ogólne wyobrażenie o tym, gdzie koncentrują się wartości atrybutów, innymi słowy, gdzie znajduje się ich środek.
Opisowy charakter mediany przejawia się w tym, że charakteryzuje ona ilościową granicę wartości zmiennej cechy, jaką posiada połowa jednostek w populacji. Problem znalezienia mediany dla szeregu zmienności dyskretnej można łatwo rozwiązać. Jeżeli wszystkim jednostkom szeregu nadawane są numery seryjne, wówczas numer seryjny opcji mediany ustala się jako (n + 1) / 2 z nieparzystą liczbą członków n. Jeżeli liczba członków szeregu jest liczbą parzystą , wówczas mediana będzie średnią wartością dwóch opcji mających numery seryjne N/ 2 i N/ 2 + 1.
Wyznaczając medianę w szeregu zmian przedziału, należy najpierw określić przedział, w którym się ona znajduje (przedział medianowy). Przedział ten charakteryzuje się tym, że jego skumulowana suma częstotliwości jest równa lub przekracza połowę sumy wszystkich częstotliwości szeregu. Medianę szeregu zmian przedziałowych oblicza się za pomocą wzoru
Gdzie X0– dolna granica przedziału; H– wielkość interwału; fm– częstotliwość interwałów; F– liczba członków serii;
M -1 – suma skumulowanych wyrazów szeregu poprzedzającego dany.
Oprócz mediany, aby pełniej scharakteryzować strukturę badanej populacji, wykorzystuje się także inne wartości opcji, które zajmują bardzo konkretną pozycję w szeregu rankingowym. Obejmują one kwartyle I decyle. Kwartyle dzielą szereg według sumy częstości na 4 równe części, a decyle na 10 równych części. Istnieją trzy kwartyle i dziewięć decyli.
Mediana i moda w odróżnieniu od średniej arytmetycznej nie eliminują różnic indywidualnych w wartościach cechy zmiennej i dlatego stanowią dodatkowe i bardzo ważne cechy populacji statystycznej. W praktyce często stosuje się je zamiast średniej lub wraz z nią. Obliczanie mediany i postaci jest szczególnie wskazane w przypadkach, gdy badana populacja zawiera pewną liczbę jednostek o bardzo dużej lub bardzo małej wartości zmiennej cechy. Te wartości opcji, które nie są zbyt charakterystyczne dla populacji, wpływając na wartość średniej arytmetycznej, nie wpływają na wartości mediany i mody, co czyni te ostatnie bardzo cennymi wskaźnikami z punktu widzenia ekonomii i statystyki analiza.