1) Dziedzina funkcji i zakres funkcji.

Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich prawidłowych wartości argumentów X(zmienny X), dla której funkcja y = f(x) określony. Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych y, co funkcja akceptuje.

W matematyce elementarnej funkcje bada się tylko na zbiorze liczb rzeczywistych.

2) Zera funkcji.

Funkcja zero to wartość argumentu, przy której wartość funkcji jest równa zero.

3) Przedziały stałego znaku funkcji.

Przedziały stałego znaku funkcji to zbiory wartości argumentów, w których wartości funkcji są tylko dodatnie lub tylko ujemne.

4) Monotoniczność funkcji.

Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji.

Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większa wartość argumentu z tego przedziału odpowiada mniejszej wartości funkcji.

5) Funkcja parzysta (nieparzysta)..

Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem rzędnej.

Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość jest prawdziwa f(-x) = - f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.

6) Ograniczone i nieograniczone funkcje.

Funkcję nazywamy ograniczoną, jeśli istnieje liczba dodatnia M taka, że ​​|f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x. Jeżeli taka liczba nie istnieje, to funkcja jest nieograniczona.

7) Okresowość funkcji.

Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że ​​dla dowolnego x z dziedziny definicji funkcji zachodzi: f(x+T) = f(x). Ta najmniejsza liczba nazywana jest okresem funkcji. Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. (Wzory trygonometryczne).

19. Podstawowe funkcje elementarne, ich własności i wykresy. Zastosowanie funkcji w ekonomii.

Podstawowe funkcje elementarne. Ich właściwości i wykresy

1. Funkcja liniowa.

Funkcja liniowa nazywa się funkcją postaci , gdzie x jest zmienną, a i b są liczbami rzeczywistymi.

Numer A zwane nachyleniem linii, jest ono równe tangensowi kąta nachylenia tej linii do dodatniego kierunku osi x. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Jest ona określona przez dwa punkty.

Własności funkcji liniowej

1. Dziedzina definicji - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: D(y)=R

2. Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: E(y)=R

3. Funkcja przyjmuje wartość zerową, gdy lub.

4. Funkcja rośnie (maleje) w całym obszarze definicji.

5. Funkcja liniowa jest ciągła w całym zakresie definicji, różniczkowalna i .

2. Funkcja kwadratowa.

Nazywa się funkcję postaci, w której x jest zmienną, a współczynniki a, b, c są liczbami rzeczywistymi kwadratowy

Niniejszy materiał dydaktyczny ma wyłącznie charakter informacyjny i dotyczy szerokiego zakresu tematów. W artykule dokonano przeglądu wykresów podstawowych funkcji elementarnych i rozważono najważniejsze zagadnienie - jak poprawnie i SZYBKO zbudować wykres. W trakcie studiowania matematyki wyższej bez znajomości wykresów podstawowych funkcji elementarnych będzie to trudne, dlatego bardzo ważne jest, aby pamiętać, jak wyglądają wykresy paraboli, hiperboli, sinusa, cosinusa itp. i pamiętać o kilku znaczenia funkcji. Porozmawiamy również o niektórych właściwościach głównych funkcji.

Nie twierdzę o kompletności i naukowej rzetelności materiałów, nacisk położony zostanie przede wszystkim na praktykę – to, z czym spotykamy się dosłownie na każdym kroku, w każdym temacie wyższej matematyki. Wykresy dla manekinów? Można tak powiedzieć.

W związku z licznymi prośbami czytelników klikalny spis treści:

Ponadto istnieje bardzo krótkie streszczenie tematu
– opanuj 16 typów wykresów, studiując SZEŚĆ stron!

Poważnie, sześć, nawet ja byłem zaskoczony. To podsumowanie zawiera ulepszoną grafikę i jest dostępne za symboliczną opłatą; można obejrzeć wersję demonstracyjną. Wygodnie jest wydrukować plik, aby wykresy były zawsze pod ręką. Dziękujemy za wsparcie projektu!

I zacznijmy od razu:

Jak poprawnie skonstruować osie współrzędnych?

W praktyce testy prawie zawsze studenci rozwiązują w osobnych zeszytach, wyłożonych w kwadrat. Dlaczego potrzebujesz oznaczeń w kratkę? Przecież pracę w zasadzie można wykonać na kartkach A4. A klatka jest niezbędna tylko do wysokiej jakości i dokładnego projektowania rysunków.

Każdy rysunek wykresu funkcji zaczyna się od osi współrzędnych.

Rysunki mogą być dwuwymiarowe lub trójwymiarowe.

Rozważmy najpierw przypadek dwuwymiarowy Kartezjański prostokątny układ współrzędnych:

1) Narysuj osie współrzędnych. Oś nazywa się oś x , a oś jest oś y . Zawsze staramy się je narysować schludne i nie krzywe. Strzałki nie powinny również przypominać brody Papy Carlo.

2) Osie podpisujemy dużymi literami „X” i „Y”. Nie zapomnij o oznakowaniu osi.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi: narysuj zero i dwie jedynki. Podczas rysowania najwygodniejszą i najczęściej stosowaną skalą jest: 1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej stronie) - jeśli to możliwe, trzymaj się jej. Czasem jednak zdarza się, że rysunek nie mieści się na kartce zeszytu – wtedy zmniejszamy skalę: 1 jednostka = 1 komórka (rysunek po prawej). Rzadko się to zdarza, ale zdarza się, że trzeba jeszcze bardziej zmniejszyć (lub zwiększyć) skalę rysunku

NIE MA POTRZEBY „karabinu maszynowego”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Bo układ współrzędnych nie jest pomnikiem Kartezjusza, a uczeń nie jest gołębicą. Kładziemy zero I dwie jednostki wzdłuż osi. Czasami zamiast jednostek, wygodnie jest „zaznaczyć” inne wartości, na przykład „dwa” na osi odciętych i „trzy” na osi rzędnych - a ten układ (0, 2 i 3) również jednoznacznie zdefiniuje siatkę współrzędnych.

Lepiej oszacować szacunkowe wymiary rysunku PRZED jego wykonaniem. Jeśli więc np. zadanie wymaga narysowania trójkąta o wierzchołkach , , , to jest całkowicie jasne, że popularna skala 1 jednostka = 2 komórki nie sprawdzi się. Dlaczego? Spójrzmy na punkt - tutaj będziesz musiał zmierzyć piętnaście centymetrów w dół i oczywiście rysunek nie zmieści się (lub ledwo zmieści się) na kartce zeszytu. Dlatego od razu wybieramy mniejszą skalę: 1 jednostka = 1 komórka.

Nawiasem mówiąc, o centymetrach i komórkach notebooka. Czy to prawda, że ​​30 komórek notesu zawiera 15 centymetrów? Dla zabawy zmierz w zeszycie 15 centymetrów za pomocą linijki. W ZSRR mogło to być prawdą... Warto zauważyć, że jeśli zmierzysz te same centymetry w poziomie i w pionie, wyniki (w komórkach) będą inne! Ściśle mówiąc, nowoczesne notatniki nie są w kratkę, ale prostokątne. Może się to wydawać bzdurą, ale narysowanie np. koła za pomocą kompasu w takich sytuacjach jest bardzo niewygodne. Szczerze mówiąc, w takich momentach zaczyna się myśleć o słuszności towarzysza Stalina, którego zesłano do obozów za prace hakerskie na produkcji, nie mówiąc już o krajowym przemyśle samochodowym, spadających samolotach czy eksplodujących elektrowniach.

Skoro mowa o jakości, czyli krótka rekomendacja dotycząca artykułów piśmiennych. Dziś większość notebooków w sprzedaży to, delikatnie mówiąc, kompletna bzdura. Z tego powodu, że zamoczą się, i to nie tylko od długopisów żelowych, ale także od długopisów! Oszczędzają pieniądze na papierze. Do ukończenia testów polecam zeszyty z Zakładu Celulozowo-Papierniczego w Archangielsku (18 arkuszy, kwadrat) lub „Piaterochka”, chociaż jest droższy. Warto wybrać długopis żelowy, nawet najtańszy chiński wkład żelowy jest o wiele lepszy od długopisu, który albo rozmazuje, albo podrze papier. Jedyny „konkurencyjny” długopis, jaki pamiętam, to Erich Krause. Pisze wyraźnie, pięknie i konsekwentnie – czy to z pełnym rdzeniem, czy z prawie pustym.

Dodatkowo: W artykule omówiono wizję prostokątnego układu współrzędnych oczami geometrii analitycznej Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów, szczegółowe informacje na temat ćwiartek współrzędnych znajdziesz w drugim akapicie lekcji Nierówności liniowe.

Obudowa 3D

Tutaj jest prawie tak samo.

1) Narysuj osie współrzędnych. Standard: zastosowanie osi – skierowana w górę, oś – skierowana w prawo, oś – skierowana w dół w lewo rygorystycznie pod kątem 45 stopni.

2) Oznacz osie.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi. Skala wzdłuż osi jest dwukrotnie mniejsza niż skala wzdłuż pozostałych osi. Zwróć też uwagę, że na prawym rysunku zastosowałem niestandardowe „wycięcie” wzdłuż osi (o takiej możliwości wspomniano już powyżej). Z mojego punktu widzenia jest to dokładniejsze, szybsze i bardziej estetyczne - nie trzeba szukać środka komórki pod mikroskopem i „rzeźbić” jednostki blisko początku współrzędnych.

Podczas tworzenia rysunku 3D ponownie nadaj priorytet skali
1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej).

Po co te wszystkie zasady? Zasady są po to, żeby je łamać. To właśnie teraz zrobię. Faktem jest, że kolejne rysunki artykułu będą wykonane przeze mnie w Excelu, a osie współrzędnych będą wyglądać niepoprawnie z punktu widzenia prawidłowego projektu. Mógłbym narysować wszystkie wykresy ręcznie, ale tak naprawdę jest to przerażające, ponieważ Excel nie chce rysować ich znacznie dokładniej.

Wykresy i podstawowe własności funkcji elementarnych

Funkcja liniowa jest dana równaniem. Wykres funkcji liniowych to bezpośredni. Aby zbudować linię prostą wystarczy znać dwa punkty.

Przykład 1

Zbuduj wykres funkcji. Znajdźmy dwa punkty. Korzystne jest wybranie zera jako jednego z punktów.

Jeśli następnie

Weźmy inny punkt, na przykład 1.

Jeśli następnie

Podczas wykonywania zadań współrzędne punktów są zwykle podsumowywane w tabeli:

A same wartości są obliczane ustnie lub na szkicu, kalkulatorze.

Znaleziono dwa punkty, zróbmy rysunek:

Przygotowując rysunek zawsze podpisujemy grafikę.

Przydałoby się przypomnieć szczególne przypadki funkcji liniowej:

Zwróć uwagę, jak umieściłem podpisy, podpisy nie powinny dopuszczać rozbieżności podczas studiowania rysunku. W tym przypadku wyjątkowo niepożądane było umieszczenie podpisu obok punktu przecięcia linii lub w prawym dolnym rogu pomiędzy wykresami.

1) Liniową funkcję formy () nazywa się bezpośrednią proporcjonalnością. Na przykład, . Wykres bezpośredniej proporcjonalności zawsze przechodzi przez początek. W ten sposób upraszcza się konstruowanie linii prostej – wystarczy znaleźć tylko jeden punkt.

2) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności samą oś wyznacza równanie. Wykres funkcji jest kreślony natychmiast, bez znajdowania punktów. Oznacza to, że zapis należy rozumieć w następujący sposób: „y jest zawsze równe –4, dla dowolnej wartości x”.

3) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności samą oś wyznacza równanie. Wykres funkcji jest również natychmiast wykreślany. Zapis należy rozumieć w następujący sposób: „x jest zawsze, dla dowolnej wartości y, równe 1”.

Niektórzy zapytają, dlaczego pamiętasz 6 klasę?! Tak to jest, może i tak jest, ale przez lata praktyki spotkałem kilkunastu uczniów, którzy byli zaskoczeni zadaniem zbudowania wykresu typu lub.

Konstruowanie linii prostej jest najczęstszą czynnością podczas tworzenia rysunków.

Linię prostą omawiamy szczegółowo w trakcie geometrii analitycznej, a zainteresowanych odsyłam do artykułu Równanie prostej na płaszczyźnie.

Wykres funkcji kwadratowej, sześciennej, wykres wielomianu

Parabola. Wykres funkcji kwadratowej () oznacza parabolę. Rozważmy słynny przypadek:

Przypomnijmy niektóre właściwości funkcji.

A więc rozwiązanie naszego równania: – w tym miejscu znajduje się wierzchołek paraboli. Dlaczego tak jest, można dowiedzieć się z artykułu teoretycznego o pochodnej i lekcji o ekstremach funkcji. W międzyczasie obliczmy odpowiednią wartość „Y”:

Zatem wierzchołek znajduje się w punkcie

Teraz znajdujemy inne punkty, bezczelnie wykorzystując symetrię paraboli. Warto zaznaczyć, że funkcja – nie jest równa, ale mimo to nikt nie anulował symetrii paraboli.

Myślę, że w jakiej kolejności znaleźć pozostałe punkty, będzie jasne od stołu finałowego:

Ten algorytm konstrukcji można w przenośni nazwać „wahadłem” lub zasadą „tam i z powrotem” u Anfisy Czechowej.

Zróbmy rysunek:

Z zbadanych wykresów przychodzi na myśl kolejna przydatna funkcja:

Dla funkcji kwadratowej () prawdą jest, co następuje:

Jeśli , to gałęzie paraboli są skierowane w górę.

Jeśli , to ramiona paraboli są skierowane w dół.

Dogłębną wiedzę na temat krzywej można uzyskać na lekcji Hiperbola i parabola.

Parabola sześcienna jest dana funkcją. Oto rysunek znany ze szkoły:

Wymieńmy główne właściwości funkcji

Wykres funkcji

Reprezentuje jedną z gałęzi paraboli. Zróbmy rysunek:

Główne właściwości funkcji:

W tym przypadku oś jest pionowa asymptota dla wykresu hiperboli w .

Byłoby rażącym błędem, gdybyśmy podczas rysowania nieuważnie pozwolili na przecięcie wykresu z asymptotą.

Również jednostronne granice mówią nam, że hiperbola nie ograniczone z góry I nie ograniczone od dołu.

Przeanalizujmy funkcję w nieskończoności: , czyli jeśli zaczniemy przesuwać się wzdłuż osi w lewo (lub w prawo) do nieskończoności, to „gry” będą miały uporządkowany krok nieskończenie blisko zbliżają się do zera i odpowiednio do gałęzi hiperboli nieskończenie blisko zbliżyć się do osi.

A więc jest oś asymptota pozioma dla wykresu funkcji, jeśli „x” dąży do plus lub minus nieskończoności.

Funkcja jest dziwne, a zatem hiperbola jest symetryczna względem początku. Fakt ten wynika z rysunku, dodatkowo można go łatwo zweryfikować analitycznie: .

Wykres funkcji postaci () przedstawia dwie gałęzie hiperboli.

Jeśli , to hiperbola znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce współrzędnych(patrz zdjęcie powyżej).

Jeśli , to hiperbola znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce współrzędnych.

Wskazany wzór rezydencji hiperboli jest łatwy do analizy z punktu widzenia przekształceń geometrycznych wykresów.

Przykład 3

Skonstruuj prawą gałąź hiperboli

Stosujemy metodę konstrukcji punktowej i korzystne jest dobranie wartości tak, aby były podzielne przez całość:

Zróbmy rysunek:

Skonstruowanie lewej gałęzi hiperboli nie będzie trudne, pomoże w tym osobliwość funkcji. Z grubsza mówiąc, w tabeli konstrukcji punktowej dodajemy w myślach minus do każdej liczby, umieszczamy odpowiednie punkty i rysujemy drugą gałąź.

Szczegółowe informacje geometryczne na temat rozpatrywanej linii można znaleźć w artykule Hiperbola i parabola.

Wykres funkcji wykładniczej

W tej części natychmiast rozważę funkcję wykładniczą, ponieważ w problemach wyższej matematyki w 95% przypadków pojawia się funkcja wykładnicza.

Przypomnę, że jest to liczba niewymierna: , będzie to wymagane przy konstruowaniu wykresu, który tak naprawdę zbuduję bez ceremonii. Trzy punkty prawdopodobnie wystarczą:

Zostawmy na razie wykres funkcji w spokoju, więcej o tym później.

Główne właściwości funkcji:

Wykresy funkcji itp. wyglądają zasadniczo tak samo.

Muszę powiedzieć, że ten drugi przypadek w praktyce występuje rzadziej, ale jednak występuje, dlatego uznałem za konieczne uwzględnienie go w tym artykule.

Wykres funkcji logarytmicznej

Rozważmy funkcję z logarytmem naturalnym.
Zróbmy rysunek punkt po punkcie:

Jeśli zapomniałeś, czym jest logarytm, zajrzyj do podręczników szkolnych.

Główne właściwości funkcji:

Domena:

Zakres wartości: .

Funkcja nie jest ograniczona od góry: , choć powoli, ale gałąź logarytmu zmierza do nieskończoności.
Zbadajmy zachowanie funkcji w pobliżu zera po prawej stronie: . A więc jest oś pionowa asymptota dla wykresu funkcji, gdy „x” dąży do zera od prawej strony.

Konieczne jest poznanie i zapamiętanie typowej wartości logarytmu: .

W zasadzie wykres logarytmu o podstawie wygląda tak samo: , , (logarytm dziesiętny o podstawie 10) itd. Co więcej, im większa podstawa, tym bardziej płaski będzie wykres.

Nie będziemy się nad tym rozwodzić, nie pamiętam kiedy ostatni raz budowałem wykres na takiej podstawie. Logarytm wydaje się być bardzo rzadkim gościem w problemach wyższej matematyki.

Na koniec tego akapitu powiem jeszcze jeden fakt: Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna– są to dwie wzajemnie odwrotne funkcje. Jeśli przyjrzysz się uważnie wykresowi logarytmu, zobaczysz, że jest to ten sam wykładnik, tylko jest nieco inaczej położony.

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Gdzie w szkole zaczynają się męki trygonometryczne? Prawidłowy. Od sinusa

Narysujmy funkcję

Ta linia nazywa się sinusoida.

Przypomnę, że „pi” jest liczbą niewymierną: , a w trygonometrii sprawia, że ​​oczy olśniewają.

Główne właściwości funkcji:

Ta funkcja jest okresowy z okresem. Co to znaczy? Spójrzmy na segment. Po lewej i prawej stronie powtarza się w nieskończoność dokładnie ten sam fragment wykresu.

Domena: , czyli dla każdej wartości „x” istnieje wartość sinus.

Zakres wartości: . Funkcja jest ograniczony: , czyli wszystkie „gry” mieszczą się ściśle w segmencie .
To się nie zdarza: a ściślej dzieje się, ale te równania nie mają rozwiązania.

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcje potęgowe. Właściwości. Wykresy”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 11
Podręcznik interaktywny dla klas 9–11 „Trygonometria”
Podręcznik interaktywny dla klas 10–11 „Logarity”

Funkcje potęgowe, dziedzina definicji.

Chłopaki, na ostatniej lekcji nauczyliśmy się pracować z liczbami z wymiernymi wykładnikami. W tej lekcji przyjrzymy się funkcjom potęgowym i ograniczymy się do przypadku, gdy wykładnik jest wymierny.
Rozważymy funkcje postaci: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Rozważmy najpierw funkcje, których wykładnik $\frac(m)(n)>1$.
Dana nam będzie konkretna funkcja $y=x^2*5$.
Zgodnie z definicją, którą podaliśmy na ostatniej lekcji: jeśli $x≥0$, to dziedziną definicji naszej funkcji jest promień $(x)$. Przedstawmy schematycznie nasz wykres funkcji.

Własności funkcji $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nie jest ona ani parzysta, ani nieparzysta.
3. Zwiększa się o $$,
b) $(2,10)$,
c) na promieniu $$.
Rozwiązanie.
Chłopaki, pamiętacie, jak w 10. klasie znaleźliśmy największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie?
Zgadza się, użyliśmy pochodnej. Rozwiążmy nasz przykład i powtórzmy algorytm znajdowania najmniejszej i największej wartości.
1. Znajdź pochodną danej funkcji:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Pochodna istnieje w całym obszarze definicji funkcji pierwotnej, wówczas nie ma punktów krytycznych. Znajdźmy punkty stacjonarne:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
64 $ x ^ 3 = x ^ 6 $.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ i $x_2=\sqrt(64)=4$.
Dany segment zawiera tylko jedno rozwiązanie $x_2=4$.
Zbudujmy tabelę wartości naszej funkcji na końcach segmentu i w punkcie ekstremalnym:
Odpowiedź: $y_(imię)=-862,65$ przy $x=9$; $y_(maks.)=38,4$ przy $x=4$.

Przykład. Rozwiąż równanie: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Rozwiązanie. Wykres funkcji $y=x^(\frac(4)(3))$ rośnie, a wykres funkcji $y=24-x$ maleje. Chłopaki, ty i ja wiemy: jeśli jedna funkcja rośnie, a druga maleje, to przecinają się tylko w jednym punkcie, to znaczy mamy tylko jedno rozwiązanie.
Notatka:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Oznacza to, że przy $x=8$ otrzymaliśmy poprawną równość $16=16$, to jest rozwiązanie naszego równania.
Odpowiedź: $x = 8 $.

Przykład.
Narysuj wykres funkcji: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Rozwiązanie.
Wykres naszej funkcji otrzymujemy z wykresu funkcji $y=x^(\frac(3)(4))$, przesuwając go o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę.

Przykład. Zapisz równanie stycznej do prostej $y=x^(-\frac(4)(5))$ w punkcie $x=1$.
Rozwiązanie. Równanie styczne wyznacza się ze znanego nam wzoru:
$y=f(a)+f”(a)(x-a)$.
W naszym przypadku $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Znajdźmy pochodną:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Obliczmy:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Znajdźmy równanie styczne:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odpowiedź: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: $y=x^\frac(4)(3)$ na odcinku:
a) $$.
b) $(4,50) $.
c) na promieniu $$.
3. Rozwiąż równanie: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Skonstruuj wykres funkcji: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Utwórz równanie na styczną do prostej $y=x^(-\frac(3)(7))$ w punkcie $x=1$.

Funkcja potęgowa, jej własności i wykres. Materiał demonstracyjny Lekcja-wykład Pojęcie funkcji. Właściwości funkcji. Funkcja potęgowa, jej własności i wykres. Klasa 10 Wszelkie prawa zastrzeżone. Prawa autorskie z Prawa autorskie z

Postęp lekcji: Powtórzenie. Funkcjonować. Właściwości funkcji. Nauka nowego materiału. 1. Definicja funkcji potęgowej. Definicja funkcji potęgowej. 2. Własności i wykresy funkcji potęgowych.Własności i wykresy funkcji potęgowych. Konsolidacja badanego materiału. Liczenie werbalne. Liczenie werbalne. Podsumowanie lekcji. Zadanie domowe Zadanie domowe.

Dziedzina definicji i dziedzina wartości funkcji Wszystkie wartości zmiennej niezależnej z dziedziny definicji funkcji x y=f(x) f Dziedzina definicji funkcji Dziedzina wartości funkcji Wszystkie wartości, które zmienna zależna przyjmuje z dziedziny wartości funkcji Funkcja. Właściwości funkcji

Wykres funkcji Niech będzie podana funkcja gdzie xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentu, a współrzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji. Funkcjonować. Właściwości funkcji

Y x Dziedzina definicji i zakres wartości funkcji 4 y=f(x) Dziedzina definicji funkcji: Dziedzina wartości funkcji: Funkcja. Właściwości funkcji

Funkcja parzysta y x y=f(x) Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi wzmacniacza operacyjnego.Funkcja y=f(x) jest wywoływana nawet jeśli f(-x) = f(x) dla dowolne x z dziedziny definicji funkcji Funkcja. Właściwości funkcji

Funkcja nieparzysta y x y=f(x) Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku O(0;0) Funkcja y=f(x) nazywana jest nieparzystą jeśli f(-x) = -f(x) dla dowolnego x z definicji funkcji obszaru Funkcja. Właściwości funkcji

Definicja funkcji potęgowej Funkcję, w której p jest daną liczbą rzeczywistą, nazywa się funkcją potęgową. p y=x p P=x y 0 Postęp lekcji

Funkcja potęgowa x y 1. Dziedziną definicji i zakresem wartości funkcji potęgowych postaci, gdzie n jest liczbą naturalną, są wszystkie liczby rzeczywiste. 2. Te funkcje są nieparzyste. Ich wykres jest symetryczny względem początku. Właściwości i wykresy funkcji potęgowych

Funkcje potęgowe z wymiernym wykładnikiem dodatnim Dziedziną definicji są wszystkie liczby dodatnie i liczba 0. Zakres wartości funkcji z takim wykładnikiem to także wszystkie liczby dodatnie i liczba 0. Funkcje te nie są ani parzyste, ani nieparzyste . y x Właściwości i wykresy funkcji potęgowych

Funkcja potęgowa z wymiernym wykładnikiem ujemnym. Dziedziną definicji i zakresem wartości takich funkcji są liczby dodatnie. Funkcje nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Funkcje takie maleją w całej dziedzinie definicji. y x Właściwości i wykresy funkcji potęgowych Postęp lekcji

1. Funkcja potęgowa, jej własności i wykres;

2. Przekształcenia:

Transfer równoległy;

Symetria względem osi współrzędnych;

Symetria o pochodzeniu;

Symetria względem prostej y = x;

Rozciąganie i ściskanie wzdłuż osi współrzędnych.

3. Funkcja wykładnicza, jej własności i wykres, podobne przekształcenia;

4. Funkcja logarytmiczna, jej własności i wykres;

5. Funkcja trygonometryczna, jej własności i wykres, podobne przekształcenia (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Funkcja: y = x\n - jej właściwości i wykres.

Funkcja potęgowa, jej własności i wykres

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/x itd. Wszystkie te funkcje są szczególnymi przypadkami funkcji potęgowej, czyli funkcji y = xp, gdzie p jest daną liczbą rzeczywistą.
Właściwości i wykres funkcji potęgowej w istotny sposób zależą od właściwości potęgi z wykładnikiem rzeczywistym, a w szczególności od wartości, dla których X I P stopień ma sens xp. Przejdźmy do podobnego rozważenia różnych przypadków w zależności od
wykładnik potęgowy P.

1. Indeks p = 2n- parzysta liczba naturalna.

y = x2n, Gdzie N- liczba naturalna, ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - wszystkie liczby rzeczywiste, czyli zbiór R;
• zbiór wartości - liczby nieujemne, tj. y jest większe lub równe 0;
• funkcjonować y = x2n nawet, ponieważ x 2n = (-x) 2n
• funkcja jest malejąca na przedziale X< 0 i wzrasta w przedziale x > 0.

Wykres funkcji y = x2n ma taką samą postać jak na przykład wykres funkcji y = x 4.

2. Wskaźnik p = 2n - 1- nieparzysta liczba naturalna

W tym przypadku funkcja mocy y = x2n-1, gdzie jest liczbą naturalną, ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R;
• zestaw wartości - zestaw R;
• funkcjonować y = x2n-1 dziwne, ponieważ (- x) 2n-1= x2n-1;
• funkcja rośnie na całej osi rzeczywistej.

Wykres funkcji y = x2n-1 y = x 3.

3. Wskaźnik p = -2n, Gdzie N- Liczba naturalna.

W tym przypadku funkcja mocy y = x -2n = 1/x 2n ma następujące właściwości:

• zbiór wartości - liczby dodatnie y>0;
• funkcja y = 1/x2n nawet, ponieważ 1/(-x)2n= 1/x 2n;
• funkcja rośnie w przedziale x0.

Wykres funkcji y = 1/x2n ma taką samą postać jak na przykład wykres funkcji y = 1/x 2.

4. Wskaźnik p = -(2n-1), Gdzie N- Liczba naturalna.
W tym przypadku funkcja mocy y = x -(2n-1) ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R, z wyjątkiem x = 0;
• zbiór wartości - ustaw R, z wyjątkiem y = 0;
• funkcjonować y = x -(2n-1) dziwne, ponieważ (- x) -(2n-1) = -x -(2n-1);
• funkcja maleje na przedziałach X< 0 I x > 0.

Wykres funkcji y = x -(2n-1) ma taką samą postać jak na przykład wykres funkcji y = 1/x 3.