Dwusieczna trójkąta to odcinek dzielący kąt trójkąta na dwa równe kąty. Na przykład, jeśli kąt trójkąta wynosi 120 0, to rysując dwusieczną, skonstruujemy dwa kąty po 60 0 każdy.
A ponieważ w trójkącie są trzy kąty, można narysować trzy dwusieczne. Wszystkie mają jeden punkt odcięcia. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Inaczej ten punkt przecięcia nazywany jest środkiem trójkąta.
Kiedy przecinają się dwie dwusieczne kąta wewnętrznego i zewnętrznego, uzyskuje się kąt 90 0. Kąt zewnętrzny w trójkącie to kąt sąsiadujący z kątem wewnętrznym trójkąta.
Ryż. 1. Trójkąt zawierający 3 dwusieczne
Dwusieczna dzieli przeciwną stronę na dwa odcinki połączone bokami:
$$(CL\nad(LB)) = (AC\nad(AB))$$
Punkty dwusieczne są w jednakowej odległości od boków kąta, co oznacza, że znajdują się w tej samej odległości od boków kąta. Oznacza to, że jeśli z dowolnego punktu dwusiecznej upuścimy prostopadłe do każdego z boków kąta trójkąta, wówczas te prostopadłe będą równe.
Jeśli narysujesz medianę, dwusieczną i wysokość z jednego wierzchołka, wówczas mediana będzie najdłuższym odcinkiem, a wysokość będzie najkrótsza.
Niektóre własności dwusiecznej
W niektórych typach trójkątów dwusieczna ma specjalne właściwości. Dotyczy to przede wszystkim trójkąta równoramiennego. Ta figura ma dwa identyczne boki, a trzeci nazywa się podstawą.
Jeśli narysujesz dwusieczną od wierzchołka kąta trójkąta równoramiennego do podstawy, wówczas będzie ona miała właściwości zarówno wysokości, jak i mediany. Odpowiednio długość dwusiecznej pokrywa się z długością środkowej i wysokości.
Definicje:
- Wysokość- prostopadła poprowadzona z wierzchołka trójkąta na przeciwną stronę.
- Mediana– odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Ryż. 2. Dwusieczna w trójkącie równoramiennym
Dotyczy to również trójkąta równobocznego, czyli trójkąta, w którym wszystkie trzy boki są równe.
Przykładowe zadanie
W trójkącie ABC: BR jest dwusieczną, gdzie AB = 6 cm, BC = 4 cm i RC = 2 cm. Odejmij długość trzeciego boku.
Ryż. 3. Dwusieczna w trójkącie
Rozwiązanie:
Dwusieczna dzieli bok trójkąta w określonej proporcji. Wykorzystajmy tę proporcję i wyraźmy AR. Następnie długość trzeciego boku obliczymy jako sumę odcinków, na które ten bok został podzielony przez dwusieczną.
- $(AB\nad(BC)) = (AR\nad(RC))$
- $RC=(6\nad(4))*2=3 cm$
Wtedy cały odcinek AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 cm.
Łączna liczba otrzymanych ocen: 107.
Temat lekcji
Dwusieczna kąta
Cele Lekcji
Poszerzenie wiedzy uczniów na temat dwusiecznej kąta i jego właściwości;
Wprowadź nowe informacje na temat dwusiecznej kąta;
Poszerzyć wiedzę uczniów, że twierdzenie o własnościach dwusiecznej można udowodnić na różne sposoby;
Rozwijaj logiczne myślenie, zainteresowanie naukami matematycznymi, wytrwałość i umiejętność analizowania.
Cele Lekcji
Poszerzyć wiedzę uczniów na temat dwusiecznej kąta;
Wzmocnić umiejętności konstruowania dwusiecznej kąta za pomocą narzędzi rysunkowych;
Uzyskaj dodatkowe i interesujące informacje na ten temat;
Podaj informacje o znaczeniu twierdzenia w rozwoju matematyki;
Konsolidować zdobytą wiedzę poprzez rozwiązywanie problemów;
Kultywować wytrwałość, ciekawość i chęć studiowania nauk matematycznych.
Plan lekcji
1. Ujawnienie głównego tematu lekcji na temat dwusiecznej kąta;
2. Powtórzenie przerobionego materiału;
3. Ciekawe informacje na temat dwusiecznej.
4. Tło historyczne, geometria grecka.
5. Praca domowa.
Dwusieczna kąta
Dzisiejszą lekcję poświęcimy tematowi dwusiecznych. Przypomnijmy sobie definicje dwusiecznej.
Dwusieczna to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków kąta.
Najprościej mówiąc, dwusieczna to prosta dzieląca kąt na pół.
Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta i dzieląca go na dwa inne równe kąty.
Słowo „dwusieczna” w tłumaczeniu z francuskiego oznacza coś, co przecina kąt na pół lub równo dzieli go na pół.
Dwusieczna trójkąta
Oprócz dwusiecznej kąta istnieje również dwusieczna trójkąta, ponieważ trójkąt zawiera odpowiednio aż trzy kąty, każdy trójkąt może mieć trzy różne dwusieczne.
Jaka jest dwusieczna trójkąta? Dwusieczna trójkąta to odcinek dwusiecznej kąta łączący jego wierzchołek w trójkącie z punktem po przeciwnej stronie.
Trójkąt dwusieczny ma pewne unikalne właściwości. Na przykład dzieli przeciwną stronę na segmenty proporcjonalne do pozostałych dwóch stron.
Jeśli chodzi o trójkąt prostokątny, jego dwusieczne kątów ostrych, przecinając się, tworzą kąt dokładnie 45 stopni.
Ponadto nie należy zapominać o takiej właściwości dwusiecznych trójkąta, jak to, że przecinają się one ściśle w środku okręgu wpisanego w trójkąt.
Cóż, najciekawsze jest to, że w przypadku trójkąta równoramiennego linia poprowadzona do podstawy będzie dwusieczną, środkową i wysokością. Odpowiednio odwrotna zasada jest taka, że jeśli mediana, wysokość i dwusieczna narysowana z jednego wierzchołka trójkąta pokrywają się, wówczas mamy trójkąt równoramienny.
Jakie właściwości pamiętasz trójkąta prostokątnego i równoramiennego?
Budowa dwusiecznej
Dwusieczna kąta jest konstruowana za pomocą kątomierza i miary jego stopnia. Aby rozpocząć konstruowanie dwusiecznej, dzielimy miarę stopnia na pół i umieszczając miarę stopnia kąta połówkowego po jednej stronie wierzchołka, a następnie druga połowa staje się dwusieczną danego kąta.
Bierzemy dany kąt, którego miara stopni wynosi dziewięćdziesiąt stopni i używając dwusiecznej otrzymujemy dwa skonstruowane kąty po 45 stopni.
Kąt prosty wykorzystuje dwusieczną do podzielenia kąta na 2 kąty proste. Podczas konstruowania dwusiecznej kąt rozwarty dzieli ją na 2 kąty ostre.
Z definicji dwusiecznej wiemy, że jest to półprosta, która przecina kąt na pół. Aby skonstruować dwusieczną, oznacza to, że musisz podzielić kąt na pół.
Algorytm konstruowania dwusiecznej kąta
1. Najpierw narysuj okrąg, którego środek znajduje się w wierzchołku kąta, tak aby przecinał jego boki.
3. Narysuj 2 okręgi o promieniu tak, aby punkt przecięcia znajdował się wewnątrz tego kąta.
4. Teraz rysujemy promień z wierzchołka kąta w taki sposób, aby przechodził przez punkt przecięcia tych okręgów. Promień ten jest dwusieczną tego kąta.
Spróbujmy teraz udowodnić, że powstały promień jest dwusieczną tego kąta. Weźmy przykład dwóch trójkątów, które mają jeden wspólny bok, czyli odcinek od wierzchołka do punktu przecięcia okręgów, który otrzymaliśmy w 3p.
Druga para odpowiednich boków to odcinki otrzymane w kroku 1, które biegną od wierzchołka kąta do punktów przecięcia okręgu z jego bokami.
Trzecia para odpowiednich boków to odpowiednio odcinki otrzymane w 1p. od punktów przecięcia okręgu do punktu przecięcia okręgów, ale uzyskanych w 3p.
Dlatego 2 pary tych odcinków są równe, ponieważ są to promienie jednego lub dwóch okręgów, ale o tym samym promieniu. Wynika z tego, że trójkąty są równe ze wszystkich trzech stron. Wiadomo, że gdy trójkąty są równe, to ich kąty są równe. Dlatego w wierzchołku dwa nowe kąty i podane kąty zgodnie z warunkami zadania są równe, dlatego skonstruowany promień będzie dwusieczną.
Ciekawe informacje na temat dwusiecznej
Czy wiesz, że istnieje nauka zwana mnemotechniką, która w tłumaczeniu z języka greckiego oznacza sztukę zapamiętywania. Aby lepiej zapamiętać definicję dwusiecznej, istnieje zasada mnemoniczna, zgodnie z którą dwusieczna to szczur biegający po rogach i dzielący róg na pół.
Czy wiesz, że Archimedes również użył twierdzenia o dwusiecznej? Użył go do podzielenia podstawy na części proporcjonalne do boków w celu określenia długości połówek boków dwunastoboku, 24-kąta itp.
Legenda o dwusiecznej kąta
Opowieść o dwóch kątach i dwusiecznej, czyli o powstaniu kąta sąsiedniego.
Któregoś dnia dwa rogi spotkały się na tym samym placu. Najstarszy kąt miał około 130 stopni, a najmłodszy zaledwie pięćdziesiąt. Skoro to bajka, zastąpmy lata stopniami. Spotkali się więc i zaczęli spierać, który z nich jest lepszy i ważniejszy. Starszy wierzył, że priorytet jest po jego stronie, bo jest starszy, mądrzejszy i więcej w swoim życiu widział w swoich 130°. Młodszy wręcz przeciwnie, upierał się, że jest młodszy, a przez to silniejszy i odporniejszy. Aby spór nie trwał wiecznie, postanowili zorganizować turniej. Bisector dowiedziała się o tych zawodach i postanowiła jednocześnie pokonać swoich wrogów i poprowadzić Geometrię.
I teraz przyszedł długo wyczekiwany czas na turniej, na którym odbyły się 2 Rogi. W momencie, gdy bitwy toczyły się pełną parą, pojawił się Bisector i zdecydował się wziąć w nim udział. Ale potem starszy Kąt pierwszy wszedł do bitwy z Dwusieczną, potem dołączył młodszy, a zwycięstwo i tak zakończyło się po stronie Dwusiecznej.
Twierdzenie. Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwny bok na części proporcjonalne do sąsiednich boków.
Dowód. Rozważmy trójkąt ABC (ryc. 259) i dwusieczną jego kąta B. Narysuj przez wierzchołek C linię prostą CM, równoległą do dwusiecznej BC, aż przetnie się ona w punkcie M z kontynuacją boku AB. Ponieważ BK jest dwusieczną kąta ABC, to . Ponadto jako odpowiednie kąty dla linii równoległych i jako kąty poprzeczne dla linii równoległych. Stąd i dlatego - równoramienny, skąd . Z twierdzenia o prostych równoległych przecinających boki kąta mamy i w widoku otrzymujemy , co musieliśmy udowodnić.
Dwusieczna kąta zewnętrznego B trójkąta ABC (ryc. 260) ma podobną właściwość: odcinki AL i CL od wierzchołków A i C do punktu L przecięcia dwusiecznej z kontynuacją boku AC są proporcjonalne do boki trójkąta:
Właściwość tę udowadnia się w taki sam sposób jak poprzednią: na ryc. 260 poprowadzono pomocniczą prostą SM równolegle do dwusiecznej BL. Sam czytelnik przekona się o równości kątów VMS i VSM, a co za tym idzie boków VM i BC trójkąta VMS, po czym natychmiast uzyska się wymaganą proporcję.
Można powiedzieć, że dwusieczna kąta zewnętrznego dzieli przeciwny bok na części proporcjonalne do sąsiednich boków; wystarczy wyrazić zgodę na „zewnętrzny podział” segmentu.
Punkt L, leżący na zewnątrz odcinka AC (na jego kontynuacji), dzieli go zewnętrznie w zależności jeżeli Zatem dwusieczne kąta trójkąta (wewnętrznego i zewnętrznego) dzielą przeciwny bok (wewnętrzny i zewnętrzny) na części proporcjonalne do sąsiednie strony.
Zadanie 1. Boki trapezu są równe 12 i 15, podstawy są równe 24 i 16. Znajdź boki trójkąta utworzonego przez dużą podstawę trapezu i jego przedłużone boki.
Rozwiązanie. W zapisie z rys. 261 mamy proporcję odcinka stanowiącego kontynuację boku bocznego, z której łatwo znajdziemy.W podobny sposób wyznaczamy drugi bok boczny trójkąta.Trzeci bok pokrywa się z dużą podstawą: .
Zadanie 2. Podstawy trapezu to 6 i 15. Jaka jest długość odcinka równoległego do podstaw i dzielącego boki w stosunku 1:2, licząc od wierzchołków małej podstawy?
Rozwiązanie. Przejdźmy do rys. 262, przedstawiający trapez. Przez wierzchołek C małej podstawy rysujemy linię równoległą do boku AB, odcinając równoległobok od trapezu. Ponieważ , to stąd znajdujemy . Dlatego cały nieznany odcinek KL jest równy. Należy pamiętać, że aby rozwiązać ten problem, nie musimy znać bocznych boków trapezu.
Zadanie 3. Dwusieczna kąta wewnętrznego B trójkąta ABC przecina bok AC na odcinki, w jakiej odległości od wierzchołków A i C dwusieczna kąta zewnętrznego B przetnie przedłużenie AC?
Rozwiązanie. Każda z dwusiecznych kąta B dzieli AC w tym samym stosunku, ale jedna wewnętrznie, a druga zewnętrznie. Oznaczmy przez L punkt przecięcia kontynuacji AC i dwusieczną kąta zewnętrznego B. Ponieważ AK Oznaczmy wtedy nieznaną odległość AL i otrzymamy proporcję, której rozwiązanie daje nam wymaganą odległość
Dokończ rysunek samodzielnie.
Ćwiczenia
1. Trapez o podstawach 8 i 18 podzielono liniami prostymi równoległymi do podstaw na sześć pasów o jednakowej szerokości. Znajdź długości prostych odcinków dzielących trapez na paski.
2. Obwód trójkąta wynosi 32. Dwusieczna kąta A dzieli bok BC na części równe 5 i 3. Znajdź długości boków trójkąta.
3. Podstawa trójkąta równoramiennego to a, bok to b. Znajdź długość odcinka łączącego punkty przecięcia dwusiecznych narożników podstawy z bokami.
Jaka jest dwusieczna kąta w trójkącie? Na to pytanie z ust niektórych ludzi wychodzi dobrze znany szczur biegający po kątach i dzielący róg na pół.” Jeśli odpowiedź miałaby być „humoryczna”, to być może jest ona prawidłowa. Ale z naukowego punktu widzenia zdaniem odpowiedź na to pytanie powinna brzmieć: mniej więcej tak: zaczynając od szczytu kąta i dzieląc go na dwie równe części. W geometrii figura ta jest również postrzegana jako odcinek dwusiecznej, dopóki nie przetnie się z przeciwną stroną trójkąta. To nie jest błędne przekonanie. Co jeszcze wiadomo o dwusiecznej kąta, poza jego definicją?
Jak każde geometryczne miejsce punktów, ma ono swoje własne cechy. Pierwszy z nich nie jest raczej nawet znakiem, ale twierdzeniem, które można krótko wyrazić w następujący sposób: „Jeśli przeciwną stronę podzielimy na dwie części dwusieczną, wówczas ich stosunek będzie odpowiadał stosunkowi boki dużego trójkąta.”
Druga jego właściwość: punkt przecięcia dwusiecznych wszystkich kątów nazywany jest środkiem.
Trzeci znak: dwusieczne jednego wewnętrznego i dwóch zewnętrznych kątów trójkąta przecinają się w środku jednego z trzech wpisanych okręgów.
Czwarta właściwość dwusiecznej kąta w trójkącie polega na tym, że jeśli każdy z nich jest równy, to drugi jest równoramienny.
Piąty znak również dotyczy trójkąta równoramiennego i jest główną wytyczną przy jego rozpoznawaniu na rysunku za pomocą dwusiecznych, a mianowicie: w trójkącie równoramiennym służy jednocześnie jako mediana i wysokość.
Dwusieczną kąta można skonstruować za pomocą kompasu i linijki:
Reguła szósta głosi, że nie da się zbudować trójkąta korzystając z tego ostatniego jedynie z istniejących dwusiecznych, tak jak nie da się w ten sposób skonstruować podwojenia sześcianu, kwadratury koła i trisekcji kąta. Ściśle mówiąc, są to wszystkie właściwości dwusiecznej kąta trójkąta.
Jeśli uważnie przeczytałeś poprzedni akapit, być może zainteresowało Cię jedno zdanie. „Co to jest trisekcja kąta?” – pewnie zapytasz. Trisektor jest trochę podobny do dwusiecznej, ale jeśli narysujesz tę drugą, kąt zostanie podzielony na dwie równe części, a podczas konstruowania trisekcji zostanie podzielony na trzy. Naturalnie, dwusieczna kąta jest łatwiejsza do zapamiętania, ponieważ w szkole nie uczy się trisekcji. Ale dla ścisłości o tym też opowiem.
Trójsektora, jak już mówiłem, nie można zbudować jedynie za pomocą kompasu i linijki, ale można go utworzyć, korzystając z reguł Fujity i niektórych krzywych: ślimaki Pascala, czworokąty, muszle Nicomedesa, przekroje stożkowe,
Problemy z trisekcją kąta można po prostu rozwiązać za pomocą Nevsis.
W geometrii istnieje twierdzenie o trójsektorach kątów. Nazywa się to twierdzeniem Morleya. Twierdzi, że punkty przecięcia trójsektorów każdego kąta znajdującego się w środku będą wierzchołkami
Mały czarny trójkąt wewnątrz dużego zawsze będzie równoboczny. Twierdzenie to odkrył brytyjski naukowiec Frank Morley w 1904 roku.
Oto, ile możesz się dowiedzieć o dzieleniu kąta: Trójsieczna i dwusieczna kąta zawsze wymagają szczegółowych wyjaśnień. Ale tutaj podano wiele definicji, których jeszcze nie ujawniłem: ślimak Pascala, muszla Nicomedesa itp. Spokojnie, można by o nich napisać jeszcze wiele.
Wśród licznych przedmiotów w szkole średniej jest jeden taki jak „geometria”. Tradycyjnie uważa się, że twórcami tej systematycznej nauki są Grecy. Dziś geometrię grecką nazywa się elementarną, ponieważ to ona rozpoczęła badanie najprostszych form: płaszczyzn, linii prostych i trójkątów. Skupimy naszą uwagę na tym ostatnim, a raczej na dwusiecznej tej figury. Dla tych, którzy już zapomnieli, dwusieczna trójkąta to odcinek dwusiecznej jednego z rogów trójkąta, który dzieli go na pół i łączy wierzchołek z punktem znajdującym się po przeciwnej stronie.
Dwusieczna trójkąta ma wiele właściwości, które musisz znać przy rozwiązywaniu niektórych problemów:
- Dwusieczna kąta to zbiór punktów znajdujących się w równych odległościach od boków sąsiadujących z kątem.
- Dwusieczna w trójkącie dzieli bok leżący naprzeciw kąta na odcinki proporcjonalne do sąsiednich boków. Na przykład, biorąc pod uwagę trójkąt MKB, w którym z kąta K wychodzi dwusieczna, łącząca wierzchołek tego kąta z punktem A po przeciwnej stronie MB. Po przeanalizowaniu tej własności i naszego trójkąta mamy MA/AB=MK/KB.
- Punkt, w którym przecinają się dwusieczne wszystkich trzech kątów trójkąta, jest środkiem okręgu wpisanego w ten sam trójkąt.
- Podstawy dwusiecznych jednego kąta zewnętrznego i dwóch wewnętrznych leżą na tej samej prostej, pod warunkiem, że dwusieczna kąta zewnętrznego nie jest równoległa do przeciwnej strony trójkąta.
- Jeśli dwie dwusieczne jednej, to to
Należy zauważyć, że jeśli dane są trzy dwusieczne, to zbudowanie z nich trójkąta, nawet przy pomocy kompasu, jest niemożliwe.
Bardzo często przy rozwiązywaniu problemów dwusieczna trójkąta jest nieznana, ale konieczne jest określenie jego długości. Aby rozwiązać ten problem, musisz znać kąt podzielony przez dwusieczną i boki sąsiadujące z tym kątem. W tym przypadku wymaganą długość definiuje się jako stosunek dwukrotności iloczynu boków przylegających do narożnika i cosinusa kąta podzielonego na pół do sumy boków przylegających do narożnika. Na przykład biorąc pod uwagę ten sam trójkąt MKB. Dwusieczna wychodzi z kąta K i przecina przeciwną stronę MV w punkcie A. Kąt, z którego wyłania się dwusieczna, jest oznaczony przez y. Zapiszmy teraz wszystko słownie w formie wzoru: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
Jeżeli wartość kąta, z którego wyłania się dwusieczna trójkąta, jest nieznana, ale znane są wszystkie jego boki, to do obliczenia długości dwusiecznej użyjemy dodatkowej zmiennej, którą nazwiemy półobwodem i oznaczymy przez litera P: P=1/2*(MK+KB+MB). Następnie dokonamy pewnych zmian w poprzednim wzorze, za pomocą którego określono długość dwusiecznej, a mianowicie w liczniku ułamka wstawimy podwójny iloczyn długości boków sąsiadujących z narożnikiem przez półobwód oraz iloraz, w którym długość trzeciego boku odejmuje się od półobwodu. Mianownik pozostawiamy bez zmian. W formie wzoru będzie to wyglądało następująco: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
Dwusieczna trójkąta równoramiennego, wraz z ogólnymi właściwościami, ma również kilka własnych. Pamiętajmy, jaki to rodzaj trójkąta. Taki trójkąt ma dwa równe boki i równe kąty przylegające do podstawy. Wynika z tego, że dwusieczne przypadające na boczne boki trójkąta równoramiennego są sobie równe. Ponadto dwusieczna obniżona do podstawy jest zarówno wysokością, jak i medianą.