Denne artikkelen er en fortsettelse av de to foregående. I artikkelen " "Teorien ble presentert og en av måtene å finne den deriverte av en gitt graf til en funksjon og tangenten trukket ved et bestemt punkt i grafen ble vurdert.
Der lovet jeg deg å vurdere en annen måte å løse slike problemer på. La meg minne om at oppgaver av denne typen er en del av matematikkprøven. I artikkelen « "Vi så på formelen som lar oss finne ligningen til en rett linje.
Teorien som presenteres i disse artiklene er nødvendig, siden metoden som presenteres nedenfor er direkte relatert til den. Så, kort:
Fra algebrakurset vet vi at likningen til en rett linje har formen:
Hvor k– helning av den rette linjen.
Det vil si den deriverte av funksjoneny = f(x) på punktet x 0 lik stigningstallet til tangenten:
2. Ligning av en linje som går gjennom to gitt poeng har formen:
Etter å ha erstattet koordinatene i gitt ligning det er redusert til formen:
Således, i tilfellet der det er gitt to punkter som en tangent (linje) til grafen til en funksjon passerer gjennom, er det nødvendig å finne ligningen til denne linjen. Løsningen på problemet vil være koeffisienten k(det er lik den deriverte).
Figuren viser grafen til funksjonen y = f(x) og tangenten til den ved abscissepunktet xO. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) på punktet xO.
Som allerede nevnt, verdien av den deriverte av funksjonen f(x) på punktet xO lik koeffisienten k fra linjens ligning y= kx+ b.
I alle slike oppgaver vil det bli gitt to punkter som tangenten går gjennom, inn i dette tilfellet disse er (–6;–2) og (–1; 8). Vi erstatter koordinatene i formelen for ligningen til den rette linjen:
Undersøkelse:
– 2 = 2 (–6) + 10 → – 2 = – 2 Riktig
8 = 2 (–1) + 10 → 8 = 8 Riktig
Linjens ligning er funnet riktig. Hvis du vet andre måter å finne ligningen til en linje på, så bruk den (forresten, det er omtrent seks av dem).
Dermed, f ′(x) = k = 2.
Som du kan se, er beregningene enkle.
Svar: 2
Konklusjon:hvis du ser foran deg lignende oppgave, hvor på koordinatplan Hvis det er to punkter som en tangent trekkes gjennom, så:
1. Bestem koordinatene til punktene. Punktene er kanskje ikke markert (ikke uthevet), men på koordinatrutenett det vil være godt synlig hvordan (gjennom hvilke punkter) den rette linjen går.
2. Finn ligningen til linjen (tangens) ved å bruke den presenterte formelen eller en annen metode.
3. Sjekk den resulterende ligningen ved å sette inn koordinatene til punktene i den.
4. Skriv ned svaret (koeffisient k).
Det er alt. Vil nyttig materiale i neste artikkel!
Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.
P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.
B8. Unified State-eksamen
1. Figuren viser en graf for funksjonen y=f(x) og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscissen x0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0. Svar: 2
2.
Svar: -5
3.
På intervallet (–9;4).
Svar: 2
4.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0 Svar: 0,5
5. Finn tangenspunktet til linjen y = 3x + 8 og grafen til funksjonen y = x3+x2-5x-4. I svaret ditt, angi abscissen til dette punktet. Svar: -2
6.
Bestem antall heltallsverdier for argumentet som den deriverte av funksjonen f(x) er negativ for. Svar: 4
7.
Svar: 2
8.
Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen f(x) er parallell med den rette linjen y=5–x eller sammenfaller med den. Svar: 3
9.
Intervall (-8; 3).
Rett linje y = -20. Svar: 2
10.
Svar: -0,5
11
Svar: 1
12. Figuren viser grafen til funksjonen y=f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0. Svar: 0,5
13. Figuren viser grafen til funksjonen y=f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0. Svar: -0,25
14.
Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen f(x) er parallell med eller sammenfaller med den rette linjen y = x+7. Svar: 4
15
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0. Svar: -2
16.
intervall (-14;9).
Finn antall maksimumspunkter for funksjonen f(x) på segmentet [-12;7]. Svar: 3
17
på intervallet (-10;8).
Finn antall ekstremumpunkter for funksjonen f(x) på segmentet [-9;7]. Svar: 4
18. Linjen y = 5x-7 berører grafen til funksjonen y = 6x2 + bx-1 i et punkt med abscisse mindre enn 0. Finn b. Svar: 17
19
Svar:-0,25
20
Svar: 6
21. Finn tangenten til grafen til funksjonen y=x2+6x-7, parallelt med den rette linjen y=5x+11. Angi abscissen til tangenspunktet i svaret ditt. Svar: -0,5
22.
Svar: 4
23. f "(x) på intervallet (-16;4).
På segmentet [-11;0] finner du antall maksimale poeng for funksjonen. Svar: 1
B8 Grafer av funksjoner, deriverte av funksjoner. Funksjonsforskning . Unified State-eksamen
1.
Figuren viser en graf for funksjonen y=f(x) og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscissen x0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0.
2. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-6; 5).
På hvilket tidspunkt av segmentet [-5; -1] f(x) tar den minste verdien?
3. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen y = f(x), definert
På intervallet (–9;4).
Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen f(x) er parallell med den rette linjen
y = 2x-17 eller sammenfaller med den.
4. Figuren viser grafen til funksjonen y = f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0
5. Finn tangenspunktet til linjen y = 3x + 8 og grafen til funksjonen y = x3+x2-5x-4. I svaret ditt, angi abscissen til dette punktet.
6. Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x), definert på intervallet (-7; 5).
Bestem antall heltallsverdier for argumentet som den deriverte av funksjonen f(x) er negativ for.
7. Figuren viser en graf av funksjonen y=f "(x), definert på intervallet (-8; 8).
Finn antall ekstremumpunkter for funksjonen f(x) som tilhører segmentet [-4; 6].
8. Figuren viser en graf av funksjonen y = f "(x), definert på intervallet (-8; 4).
Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen f(x) er parallell med den rette linjen y=5–x eller sammenfaller med den.
9. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen y = f(x), definert på
Intervall (-8; 3).
Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen er parallell
Rett linje y = -20.
10. Figuren viser grafen til funksjonen y=f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0.
11 . Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-9;9).
Finn antall minimumspunkter for funksjonen $f(x)$ på intervallet [-6;8]. 1
12. Figuren viser grafen til funksjonen y=f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0.
13. Figuren viser grafen til funksjonen y=f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0.
14. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-6;8).
Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen f(x) er parallell med eller sammenfaller med den rette linjen y = x+7.
15 . Figuren viser grafen til funksjonen y = f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0.
16. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på
intervall (-14;9).
Finn antall maksimumspunkter for funksjonen f(x) på segmentet [-12;7].
17 . Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert
på intervallet (-10;8).
Finn antall ekstremumpunkter for funksjonen f(x) på segmentet [-9;7].
18. Linjen y = 5x-7 berører grafen til funksjonen y = 6x2 + bx-1 i et punkt med abscisse mindre enn 0. Finn b.
19 . Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0.
Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0.
20 . Finn antall punkter i intervallet (-1;12) der den deriverte av funksjonen y = f(x) vist på grafen er lik 0.
21. Finn tangenten til grafen til funksjonen y=x2+6x-7, parallelt med den rette linjen y=5x+11. Angi abscissen til tangenspunktet i svaret ditt.
22. Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x). Finn antall heltallspunkter i intervallet (-2;11) der den deriverte av funksjonen f(x) er positiv.
23. Figuren viser grafen til funksjonen y= f "(x) på intervallet (-16;4).
På segmentet [-11;0] finner du antall maksimale poeng for funksjonen.
Den rette linjen y=3x+2 er tangent til grafen til funksjonen y=-12x^2+bx-10. Finn b, gitt at abscissen til tangentpunktet er mindre enn null.
Vis løsningLøsning
La x_0 være abscissen til punktet på grafen til funksjonen y=-12x^2+bx-10 som tangenten til denne grafen går gjennom.
Verdien av den deriverte i punktet x_0 er lik stigningstallet til tangenten, det vil si y"(x_0)=-24x_0+b=3. På den annen side hører tangenspunktet samtidig til både grafen til funksjonen og tangenten, det vil si -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Vi får et ligningssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(saker)
Ved å løse dette systemet får vi x_0^2=1, som betyr enten x_0=-1 eller x_0=1. I henhold til abscissebetingelsen er tangentpunktene mindre enn null, så x_0=-1, deretter b=3+24x_0=-21.
Svar
Betingelse
Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) (som er en brutt linje som består av tre rette segmenter). Bruk figuren til å regne ut F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivative funksjoner f(x).
Vis løsningLøsning
I følge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivatene til funksjonen f(x), lik arealet til den krumlinjede trapesen, begrenset av tidsplanen funksjoner y=f(x), rette linjer y=0, x=9 og x=5. I henhold til timeplanen, bestemmer vi at den angitte buet trapes er en trapes med baser lik 4 og 3 og høyde 3.
Arealet er likt \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.
Svar
Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Betingelse
Figuren viser en graf av y=f"(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-4; 10). Finn intervallene til avtagende funksjon f(x). I svaret ditt, angi lengden på den største av dem.
Løsning
Som kjent avtar funksjonen f(x) på de intervallene ved hvert punkt hvor den deriverte f"(x) er mindre enn null. Med tanke på at det er nødvendig å finne lengden på den største av dem, er tre slike intervaller naturlig atskilt fra figuren: (-4; -2) (0; 3);
Lengden på den største av dem - (5; 9) er 4.
Svar
Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Betingelse
Figuren viser en graf av y=f"(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-8; 7). Finn antall maksimumspunkter for funksjonen f(x), som hører til intervallet [-6; -2].
.png)
Løsning
Grafen viser at den deriverte f"(x) av funksjonen f(x) endrer fortegn fra pluss til minus (ved slike punkter vil det være et maksimum) på nøyaktig ett punkt (mellom -5 og -4) fra intervallet [ -6; -2 ] Derfor er det nøyaktig ett maksimumspunkt i intervallet [-6;
Svar
Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Betingelse
Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x), definert på intervallet (-2; 8). Bestem antall punkter der den deriverte av funksjonen f(x) er lik 0.
Løsning
Likheten til den deriverte ved et punkt til null betyr at tangenten til grafen til funksjonen tegnet på dette punktet er parallell med Ox-aksen. Derfor finner vi punkter der tangenten til grafen til funksjonen er parallell med Ox-aksen. På dette diagrammet slike punkter er ekstremumpunkter (maksimums- eller minimumspoeng). Som du kan se, er det 5 ekstremumpunkter.
Svar
Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Betingelse
Den rette linjen y=-3x+4 er parallell med tangenten til grafen til funksjonen y=-x^2+5x-7. Finn abscissen til tangentpunktet.
Vis løsningLøsning
Helningen til den rette linjen til grafen til funksjonen y=-x^2+5x-7 tommer vilkårlig poeng x_0 er lik y"(x_0). Men y"=-2x+5, som betyr y"(x_0)=-2x_0+5. Helningen til linjen y=-3x+4 spesifisert i betingelsen er lik -3. Parallelle linjer har det samme bakker. Derfor finner vi en verdi på x_0 slik at =-2x_0 +5=-3.
Vi får: x_0 = 4.
Svar
Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Betingelse
Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) og punktene -6, -1, 1, 4 er markert på abscissen. På hvilket av disse punktene er den deriverte den minste? Vennligst angi dette punktet i svaret ditt.
Oppgave B9 gir en graf for en funksjon eller derivert som du må bestemme en av følgende størrelser fra:
- Verdien av den deriverte på et tidspunkt x 0,
- Maksimum eller minimum poeng (ekstreme poeng),
- Intervaller med økende og minkende funksjoner (intervaller med monotoni).
Funksjonene og derivatene som presenteres i denne oppgaven er alltid kontinuerlige, noe som gjør løsningen mye enklere. Til tross for at oppgaven tilhører seksjonen matematisk analyse, hun er ganske dyktig selv av de mest svake elever, fordi det ikke er noen dype teoretisk kunnskap ikke nødvendig her.
For å finne verdien av den deriverte, ekstremumpunkter og monotonisitetsintervaller, er det enkle og universelle algoritmer - alle vil bli diskutert nedenfor.
Les betingelsene for oppgave B9 nøye for å unngå å gjøre dumme feil: noen ganger kommer du over ganske lange tekster, men viktige forhold, som påvirker avgjørelsens forløp, er det få.
Beregning av den deriverte verdien. Topunkts metode
Hvis problemet er gitt en graf av en funksjon f(x), som tangerer denne grafen på et tidspunkt x 0, og det er nødvendig å finne verdien av den deriverte på dette punktet, brukes følgende algoritme:
- Finn to "tilstrekkelige" punkter på tangentgrafen: koordinatene deres må være heltall. La oss betegne disse punktene som A (x 1 ; y 1) og B (x 2 ; y 2). Skriv ned koordinatene riktig - dette er nøkkel øyeblikk løsninger, og enhver feil her resulterer i feil svar.
- Når du kjenner koordinatene, er det lett å beregne økningen til argumentet Δx = x 2 − x 1 og inkrementet til funksjonen Δy = y 2 − y 1 .
- Til slutt finner vi verdien av den deriverte D = Δy/Δx. Med andre ord, du må dele økningen av funksjonen med økningen av argumentet - og dette vil være svaret.
La oss merke nok en gang: Punktene A og B må letes etter nøyaktig på tangenten, og ikke på grafen til funksjonen f(x), som ofte skjer. Tangentlinjen vil nødvendigvis inneholde minst to slike punkter - ellers vil ikke problemet være riktig formulert.
Tenk på punktene A (−3; 2) og B (−1; 6) og finn trinnene:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
La oss finne verdien av den deriverte: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Oppgave. Figuren viser en graf for funksjonen y = f(x) og en tangent til den i punktet med abscissen x 0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0 .
Tenk på punktene A (0; 3) og B (3; 0), finn trinnene:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Nå finner vi verdien av den deriverte: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Oppgave. Figuren viser en graf for funksjonen y = f(x) og en tangent til den i punktet med abscissen x 0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0 .
Tenk på punktene A (0; 2) og B (5; 2) og finn trinnene:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Det gjenstår å finne verdien av den deriverte: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Fra siste eksempel vi kan formulere en regel: hvis tangenten er parallell med OX-aksen, er den deriverte av funksjonen ved tangenspunktet null. I dette tilfellet trenger du ikke engang å telle noe - bare se på grafen.
Beregning av maksimum og minimum poeng
Noen ganger, i stedet for en graf for en funksjon, gir Oppgave B9 en graf av den deriverte og krever å finne maksimums- eller minimumspunktet for funksjonen. I denne situasjonen er topunktsmetoden ubrukelig, men det finnes en annen, enda enklere algoritme. Først, la oss definere terminologien:
- Punktet x 0 kalles maksimumspunktet for funksjonen f(x) hvis følgende ulikhet gjelder i et eller annet område av dette punktet: f(x 0) ≥ f(x).
- Punktet x 0 kalles minimumspunktet for funksjonen f(x) hvis følgende ulikhet gjelder i et eller annet område av dette punktet: f(x 0) ≤ f(x).
For å finne maksimum og minimum poeng fra den deriverte grafen, følg bare disse trinnene:
- Tegn den deriverte grafen på nytt, og fjern all unødvendig informasjon. Som praksis viser, forstyrrer unødvendige data bare beslutningen. Derfor noterer vi oss koordinataksen nuller av den deriverte - det er alt.
- Finn ut tegnene til den deriverte på intervallene mellom null. Hvis det for et punkt x 0 er kjent at f'(x 0) ≠ 0, er bare to alternativer mulige: f'(x 0) ≥ 0 eller f'(x 0) ≤ 0. Tegnet til den deriverte er lett å bestemme ut fra den originale tegningen: hvis den deriverte grafen ligger over OX-aksen, så f'(x) ≥ 0. Og omvendt, hvis den deriverte grafen ligger under OX-aksen, så f'(x) ≤ 0.
- Vi sjekker nullene og tegnene til den deriverte på nytt. Der tegnet skifter fra minus til pluss er minimumspunktet. Omvendt, hvis tegnet til den deriverte endres fra pluss til minus, er dette maksimumspunktet. Tellingen gjøres alltid fra venstre mot høyre.
Denne ordningen fungerer kun for kontinuerlige funksjoner - det er ingen andre i oppgave B9.
Oppgave. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x) definert på intervallet [−5; 5]. Finn minimumspunktet til funksjonen f(x) på dette segmentet.
La oss kvitte oss med unødvendig informasjon og la bare grensene stå [−5; 5] og nuller av den deriverte x = −3 og x = 2,5. Vi legger også merke til tegnene:
Åpenbart, ved punktet x = −3 endres tegnet til den deriverte fra minus til pluss. Dette er minimumspunktet.
Oppgave. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x) definert på intervallet [−3; 7]. Finn maksimumspunktet for funksjonen f(x) på dette segmentet.
La oss tegne grafen på nytt, og la bare grensene stå igjen [−3; 7] og nuller av den deriverte x = −1,7 og x = 5. La oss merke fortegnene til den deriverte på den resulterende grafen. Vi har:
Åpenbart, ved punktet x = 5 endres tegnet til den deriverte fra pluss til minus - dette er maksimumspunktet.
Oppgave. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet [−6; 4]. Finn antall maksimumspunkter for funksjonen f(x) som tilhører segmentet [−4; 3].
Av betingelsene for oppgaven følger det at det er nok å vurdere kun den delen av grafen som er begrenset av segmentet [−4; 3]. Derfor bygger vi en ny graf der vi bare markerer grensene [−4; 3] og nuller av den deriverte inne i den. Nemlig punktene x = −3,5 og x = 2. Vi får:
På denne grafen er det bare ett maksimumspunkt x = 2. Det er på dette punktet at tegnet til den deriverte endres fra pluss til minus.
En liten merknad om punkter med ikke-heltallskoordinater. For eksempel, i den siste oppgaven ble punktet x = −3.5 vurdert, men med samme suksess kan vi ta x = −3.4. Hvis problemet er skrevet riktig, bør ikke slike endringer påvirke svaret, siden punktene "uten bestemt sted bosted" ikke tar direkte del i å løse problemet. Selvfølgelig vil dette trikset ikke fungere med heltallspoeng.
Finne intervaller for økende og minkende funksjon
I et slikt problem, som maksimums- og minimumspoeng, foreslås det å bruke den deriverte grafen for å finne områder der funksjonen i seg selv øker eller reduseres. Først, la oss definere hva økende og minkende er:
- En funksjon f(x) sies å være økende på et segment hvis for to punkter x 1 og x 2 fra dette segmentet følgende utsagn er sann: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Med andre ord, jo større argumentverdien er, desto større funksjonsverdi.
- En funksjon f(x) kalles avtagende på et segment hvis for to punkter x 1 og x 2 fra dette segmentet følgende utsagn er sann: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). De. høyere verdi argumentet tilsvarer den minste verdien av funksjonen.
La oss formulere tilstrekkelige forhold stigende og synkende:
- For å kontinuerlig funksjon f(x) øker på segmentet , det er nok at dens deriverte inne i segmentet er positiv, dvs. f’(x) ≥ 0.
- For at en kontinuerlig funksjon f(x) skal avta på segmentet, er det tilstrekkelig at dens deriverte inne i segmentet er negativ, dvs. f’(x) ≤ 0.
La oss godta disse uttalelsene uten bevis. Dermed får vi et opplegg for å finne intervaller for økende og minkende, som på mange måter ligner algoritmen for å beregne ekstremumpunkter:
- Fjern all unødvendig informasjon. I den opprinnelige grafen til den deriverte er vi først og fremst interessert i nullpunktene til funksjonen, så vi vil bare la dem stå igjen.
- Merk fortegnene til den deriverte i intervallene mellom null. Der f’(x) ≥ 0, øker funksjonen, og der f’(x) ≤ 0, reduseres den. Hvis problemet setter begrensninger på variabelen x, merker vi dem i tillegg på en ny graf.
- Nå som vi kjenner oppførselen til funksjonen og begrensningene, gjenstår det å beregne mengden som kreves i oppgaven.
Oppgave. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x) definert på intervallet [−3; 7,5]. Finn reduksjonsintervallene til funksjonen f(x). I svaret ditt angir du summen av heltallene som er inkludert i disse intervallene.
Som vanlig, la oss tegne grafen på nytt og markere grensene [−3; 7,5], samt nuller av den deriverte x = −1,5 og x = 5,3. Deretter legger vi merke til tegnene til den deriverte. Vi har:
Siden den deriverte er negativ på intervallet (− 1,5), er dette intervallet for avtagende funksjon. Det gjenstår å summere alle heltallene som er innenfor dette intervallet:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Oppgave. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet [−10; 4]. Finn intervallene for økende funksjon f(x). I svaret ditt angir du lengden på den største av dem.
La oss bli kvitt unødvendig informasjon. La oss bare forlate grensene [−10; 4] og nuller av den deriverte, som det var fire av denne gangen: x = −8, x = −6, x = −3 og x = 2. La oss markere tegnene til den deriverte og få følgende bilde:
Vi er interessert i intervallene for økende funksjon, dvs. slik hvor f’(x) ≥ 0. Det er to slike intervaller på grafen: (−8; −6) og (−3; 2). La oss beregne lengdene deres:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Siden vi må finne lengden på det største av intervallene, skriver vi ned verdien l 2 = 5 som svar.