Anda perlu mengira kawasan trapezoid melengkung, dibatasi oleh garis lurus, 
,
dan lengkung 
.
Mari bahagikan segmen 
dotmina 
segmen asas, panjang 
segmen ke 
. Mari kita pulihkan serenjang dari titik pembahagian segmen ke persilangan dengan lengkung 
, biarkan 
. Hasilnya kita dapat 
trapezoid asas, jumlah kawasannya jelas sama dengan jumlah trapezoid melengkung tertentu.
Mari kita tentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi pada setiap selang asas pada selang pertama ini; 
, pada yang kedua 
dan sebagainya. Mari kita mengira jumlahnya
Jumlah pertama mewakili luas semua yang diterangkan, yang kedua ialah luas semua segi empat tepat yang tertulis dalam trapezoid melengkung.
Adalah jelas bahawa jumlah pertama memberikan nilai anggaran luas trapezoid "dengan lebihan", yang kedua - "dengan kekurangan". Jumlah pertama dipanggil jumlah Darboux atas, yang kedua – sewajarnya, jumlah Darboux yang lebih rendah. Oleh itu, luas trapezium melengkung ialah 
memenuhi ketidaksamaan 
. Mari kita ketahui bagaimana jumlah Darboux berkelakuan apabila bilangan titik pembahagian segmen bertambah 
. Biarkan bilangan titik partition bertambah satu, dan ia berada di tengah-tengah selang 
. Sekarang nombornya seperti
segi empat tepat bertulis dan berbatas bertambah satu. Mari kita pertimbangkan bagaimana jumlah Darboux yang lebih rendah berubah. Daripada segi empat sama 
segi empat tepat bertulis ke, sama dengan 
kita mendapat hasil tambah luas dua segi empat tepat 
, sejak panjang 
tidak boleh kurang 
nilai terkecil bagi fungsi di 
. Di sebelah sana, 
, kerana ia 
tidak boleh lebih 
nilai terbesar bagi fungsi pada selang 
. Jadi, menambah mata baharu untuk memisahkan segmen meningkatkan nilai jumlah Darboux yang lebih rendah dan mengurangkan jumlah Darboux atas. Dalam kes ini, jumlah Darboux yang lebih rendah, dengan sebarang peningkatan dalam bilangan titik partition, tidak boleh melebihi nilai mana-mana jumlah atas, kerana jumlah kawasan segi empat tepat yang diterangkan sentiasa lebih daripada jumlahnya kawasan segi empat tepat yang ditulis dalam trapezium melengkung.
Oleh itu, urutan jumlah Darboux yang lebih rendah meningkat dengan bilangan titik pembahagian segmen dan disempadani dari atas mengikut teorem yang terkenal, ia mempunyai had. Had ini ialah luas trapezium melengkung tertentu.
Begitu juga, urutan jumlah Darboux atas berkurangan dengan peningkatan bilangan titik sekatan selang dan dihadkan dari bawah oleh mana-mana jumlah Darboux yang lebih rendah, yang bermaksud bahawa ia juga mempunyai had, dan ia juga sama dengan luas trapezoid melengkung.
Oleh itu, untuk mengira luas trapezoid melengkung, sudah cukup untuk 
sekatan selang, tentukan sama ada jumlah Darboux bawah atau atas, dan kemudian hitung 
, atau 
.
Walau bagaimanapun, penyelesaian sedemikian kepada masalah itu mengandaikan apa-apa, sewenang-wenangnya nombor besar sekatan 
, mencari nilai terbesar atau terkecil fungsi pada setiap selang asas, yang merupakan tugas yang sangat memerlukan tenaga kerja.
Penyelesaian yang lebih mudah diperoleh menggunakan jumlah kamiran Riemann, iaitu
di mana 
beberapa titik setiap selang asas, iaitu 
. Akibatnya, jumlah kamiran Riemann ialah hasil tambah luas semua segi empat tepat yang mungkin, dan 
. Seperti yang ditunjukkan di atas, had jumlah atas dan bawah Darboux adalah sama dan sama dengan luas trapezoid melengkung. Menggunakan salah satu sifat had fungsi (peraturan dua polis), kami memperolehnya untuk mana-mana pembahagian segmen 
dan memilih mata 
Luas trapezium melengkung boleh dikira menggunakan formula 
.
Contoh1 . Kira luas rajah itu, terhad oleh garisan: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3, dan x = 2
Mari bina rajah (lihat rajah) Kita bina garis lurus x + 2y – 4 = 0 menggunakan dua titik A(4;0) dan B(0;2). Menyatakan y melalui x, kita mendapat y = -0.5x + 2. Menggunakan formula (1), di mana f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, kita dapati
S = = [-0.25=11.25 persegi. unit
Contoh 2. Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 dan y = 0.
Penyelesaian. Mari kita bina rajah.
Mari bina garis lurus x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Mari bina garis lurus x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Mari kita cari titik persilangan garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Untuk mengira kawasan yang diperlukan, kami membahagikan segitiga AMC kepada dua segitiga AMN dan NMC, kerana apabila x berubah dari A ke N, kawasan itu dihadkan oleh garis lurus, dan apabila x berubah dari N ke C - dengan garis lurus
Untuk segitiga AMN kita ada: ; y = 0.5x + 2, iaitu f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
Untuk NMC segi tiga kita ada: y = - x + 5, iaitu f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Dengan mengira luas setiap segi tiga dan menambah hasilnya, kami dapati:
persegi unit
persegi unit
9 + 4, 5 = 13.5 persegi. unit Semak: = 0.5AC = 0.5 persegi. unit
Contoh 3. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
DALAM dalam kes ini anda perlu mengira luas trapezoid melengkung yang dibatasi oleh parabola y = x 2 , garis lurus x = 2 dan x = 3 dan paksi Ox (lihat rajah) Dengan menggunakan formula (1) kita dapati luas trapezium lengkung
= = 6 persegi unit
Contoh 4. Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = - x 2 + 4 dan y = 0
Mari kita bina rajah. Kawasan yang diperlukan adalah tertutup di antara parabola y = - x 2 + 4 dan paksi Lembu.
Mari kita cari titik persilangan parabola dengan paksi Lembu. Dengan mengandaikan y = 0, kita dapati x = Oleh kerana rajah ini simetri tentang paksi Oy, kita mengira luas rajah yang terletak di sebelah kanan paksi Oy, dan dua kali ganda hasil yang diperoleh: = +4x]sq. unit 2 = 2 persegi unit
Contoh 5. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Di sini anda perlu mengira luas trapezoid melengkung yang dibatasi oleh cawangan atas parabola 2 = x, paksi lembu dan garis lurus x = 1 dan x = 4 (lihat rajah)
Mengikut formula (1), di mana f(x) = a = 1 dan b = 4, kita mempunyai = (= unit persegi.
Contoh 6 . Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Kawasan yang diperlukan dihadkan oleh separuh gelombang sinusoid dan paksi Lembu (lihat rajah).
Kami ada - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 persegi. unit
Contoh 7. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = - 6x, y = 0 dan x = 4.
Angka itu terletak di bawah paksi Lembu (lihat rajah).
Oleh itu, kita mencari luasnya menggunakan formula (3)
= =
Contoh 8. Kirakan luas rajah yang dibatasi oleh garisan: y = dan x = 2. Bina lengkung y = daripada titik (lihat rajah). Oleh itu, kita mencari luas rajah menggunakan formula (4)
Contoh 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Di sini anda perlu mengira kawasan, dibatasi oleh bulatan X 2 + y 2 = r 2 , iaitu luas bulatan jejari r dengan pusat di tempat asal. Mari cari bahagian keempat kawasan ini dengan mengambil had penyepaduan daripada 0
sebelum; kami ada: 1 = = [
Oleh itu, 1 =
Contoh 10. Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis: y= x 2 dan y = 2x
Angka ini dihadkan oleh parabola y=x 2 dan garis lurus y = 2x (lihat rajah) Untuk menentukan titik persilangan garis yang diberikan, kita menyelesaikan sistem persamaan: x 2 – 2x = 0 x = 0 dan x = 2
Menggunakan formula (5) untuk mencari luas, kita perolehi
= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Contoh 2. Mari kita hitung luas yang dihadkan oleh sinusoid y = sinXy, Ox paksi dan garis lurus (Gamb. .87). Menggunakan formula (I), kita memperoleh A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Contoh 3. Mari kita hitung luas yang dihadkan oleh lengkok sinusoid ^у = sin jc , tertutup antara dua titik jiran persilangan dengan paksi Lembu (contohnya, antara asal dan titik absis i). Ambil perhatian bahawa dari pertimbangan geometri adalah jelas bahawa kawasan ini akan menjadi dua kali ganda lebih banyak kawasan contoh sebelumnya. Walau bagaimanapun, mari kita lakukan pengiraan: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Sesungguhnya, andaian kami ternyata betul. Contoh 4. Kira luas yang dibatasi oleh sinusoid dan paksi Lembu pada satu titik (Rajah 88). Pengiraan awal mencadangkan bahawa kawasan itu akan menjadi empat kali lebih besar daripada Contoh 2. Walau bagaimanapun, selepas membuat pengiraan, kita memperoleh “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Keputusan ini memerlukan penjelasan. Untuk menjelaskan intipati perkara itu, kami juga mengira kawasan yang dihadkan oleh sinusoid yang sama y = sin l: dan paksi Lembu dalam julat dari l hingga 2i. Menggunakan formula (I), kita memperoleh 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Oleh itu, kita melihat bahawa kawasan ini ternyata negatif. Membandingkannya dengan luas yang dikira dalam latihan 3, kita dapati bahawa mereka nilai mutlak adalah sama, tetapi tanda-tandanya berbeza. Jika kita menggunakan sifat V (lihat Bab XI, § 4), kita mendapat 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Apa yang berlaku dalam contoh ini bukan kemalangan. Sentiasa kawasan yang terletak di bawah paksi Lembu, dengan syarat pembolehubah bebas berubah dari kiri ke kanan, diperoleh apabila dikira menggunakan kamiran. Dalam kursus ini kita akan sentiasa mempertimbangkan kawasan tanpa tanda. Oleh itu, jawapan dalam contoh yang baru dibincangkan ialah: kawasan yang diperlukan ialah 2 + |-2| = 4. Contoh 5. Mari kita hitung luas BAB yang ditunjukkan dalam Rajah. 89. Kawasan ini dihadkan oleh paksi Lembu, parabola y = - xr dan garis lurus y - = -x+\. Luas trapezoid melengkung Luas OAB yang diperlukan terdiri daripada dua bahagian: OAM dan MAV. Oleh kerana titik A ialah titik persilangan parabola dan garis lurus, kita akan mencari koordinatnya dengan menyelesaikan sistem persamaan 3 2 Y = mx. (kita hanya perlu mencari absis titik A). Menyelesaikan sistem, kita dapati l; = ~. Oleh itu, luas perlu dikira dalam bahagian, segi empat sama pertama. OAM dan kemudian pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)