Untuk mengira hasil tambah suatu siri, anda hanya perlu menambah elemen baris beberapa kali. Sebagai contoh:
Dalam contoh di atas, ini dilakukan dengan sangat mudah, kerana kita perlu menjumlahkan nombor akhir sekali. Tetapi bagaimana jika had atas penjumlahan ialah infiniti? Sebagai contoh, jika kita perlu mencari jumlah siri berikut:
Dengan analogi dengan contoh sebelumnya, kita boleh menulis jumlah ini seperti ini:
Tetapi apa yang perlu dilakukan seterusnya?! Pada peringkat ini adalah perlu untuk memperkenalkan konsep jumlah separa barisan. Jadi, jumlah separa siri itu(ditandakan S n) ialah hasil tambah n sebutan pertama siri itu. Itu. dalam kes kami:
Kemudian jumlah siri asal boleh dikira sebagai had jumlah separa:
Justeru, untuk mengira jumlah siri, entah bagaimana perlu mencari ungkapan bagi jumlah separa siri (S n ). Dalam kami kes tertentu siri itu ialah janjang geometri yang semakin berkurangan dengan penyebut 1/3. Seperti yang kita ketahui, hasil tambah n unsur pertama janjang geometri dikira dengan formula:
di sini b 1 ialah elemen pertama janjang geometri (dalam kes kami ialah 1) dan q ialah penyebut janjang itu (dalam kes kami 1/3). Oleh itu, jumlah separa S n untuk siri kami adalah sama dengan:
Maka jumlah siri kami (S) mengikut definisi yang diberikan di atas adalah sama dengan:
Contoh yang dibincangkan di atas agak mudah. Biasanya, pengiraan jumlah siri adalah lebih sukar, dan kesukaran yang paling besar terletak tepat pada mencari jumlah separa siri itu. Ditampilkan di bawah kalkulator dalam talian, berdasarkan sistem Wolfram Alpha, membolehkan anda mengira jumlah siri yang agak kompleks. Lebih-lebih lagi, jika kalkulator tidak dapat mencari jumlah siri, kemungkinan besar siri ini adalah divergen (dalam kes ini kalkulator memaparkan mesej seperti "jumlah diverges"), i.e. Kalkulator ini juga secara tidak langsung membantu mendapatkan gambaran tentang penumpuan siri.
Untuk mencari jumlah siri anda, anda perlu menentukan pembolehubah siri, had bawah dan atas penjumlahan, serta ungkapan untuk sebutan ke-n siri (iaitu, ungkapan sebenar untuk siri itu sendiri) .
Beberapa masalah dalam fizik dan matematik boleh diselesaikan menggunakan sifat siri nombor. Dua jujukan nombor termudah yang diajar di sekolah ialah algebra dan geometri. Dalam artikel ini kita akan melihat dengan lebih dekat persoalan bagaimana untuk mencari jumlah perkembangan yang tidak berkesudahan penurunan geometri.
Kemajuan geometri
Kata-kata ini bermaksud siri berikut nombor nyata, yang unsur a i memenuhi ungkapan:
Di sini i ialah nombor unsur dalam baris, r ialah nombor tetap, yang dipanggil penyebut.
Takrifan ini menunjukkan bahawa, mengetahui mana-mana ahli janjang dan penyebutnya, anda boleh memulihkan keseluruhan siri nombor. Sebagai contoh, jika elemen ke-10 diketahui, maka membahagikannya dengan r akan mendapat elemen ke-9, kemudian membahagikannya semula akan mendapat ke-8 dan seterusnya. Ini penaakulan yang mudah benarkan kami menulis ungkapan yang sah untuk siri nombor yang sedang dipertimbangkan:
Contoh janjang dengan penyebut 2 ialah siri berikut:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Jika penyebutnya sama dengan -2, maka siri yang sama sekali berbeza diperoleh:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Janjang geometri jauh lebih cepat daripada janjang algebra, iaitu sebutannya meningkat dengan cepat dan menurun dengan cepat.
Jumlah i sebutan janjang
Untuk penyelesaian masalah praktikal selalunya anda perlu mengira jumlah beberapa elemen yang dipertimbangkan urutan nombor. Untuk kes ini adalah benar formula berikut:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Dapat dilihat bahawa untuk mengira jumlah sebutan i, anda hanya perlu mengetahui dua nombor: a 1 dan r, yang logik, kerana ia secara unik menentukan keseluruhan jujukan.
Turutan menurun dan jumlah istilahnya
Sekarang mari kita pertimbangkan kes istimewa. Kami akan menganggap bahawa modulus penyebut r tidak melebihi satu, iaitu -1 Janjang geometri yang semakin berkurangan menarik untuk dipertimbangkan kerana jumlah tak terhingga sebutannya cenderung kepada nombor nyata terhingga. Mari dapatkan formula untuk jumlah ini. Ini mudah dilakukan jika anda menulis ungkapan untuk S i yang diberikan dalam perenggan sebelumnya. Kami ada: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Mari kita pertimbangkan kes apabila i->∞. Oleh kerana modulus penyebut kurang daripada 1, menaikkannya kepada kuasa tak terhingga akan memberikan sifar. Ini boleh disemak menggunakan contoh r=0.5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Hasilnya, jumlah sebutan bagi janjang geometri menurun tak terhingga akan berbentuk: Formula ini sering digunakan dalam amalan, sebagai contoh, untuk mengira kawasan angka. Ia juga digunakan untuk menyelesaikan paradoks Zeno of Elea dengan kura-kura dan Achilles. Adalah jelas bahawa mengambil kira jumlah janjang peningkatan geometri tak terhingga (r>1) akan membawa kepada keputusan S ∞ = +∞. Mari kita tunjukkan cara menggunakan formula di atas menggunakan contoh penyelesaian masalah. Adalah diketahui bahawa jumlah janjang geometri tak terhingga ialah 11. Selain itu, sebutan ke-7nya adalah 6 kali kurang daripada sebutan ketiga. Apakah elemen pertama untuk siri nombor ini? Mula-mula, mari kita tulis dua ungkapan untuk menentukan unsur ke-7 dan ke-3. Kita mendapatkan: Membahagikan ungkapan pertama dengan yang kedua dan menyatakan penyebut, kita mempunyai: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Oleh kerana nisbah sebutan ketujuh dan ketiga diberikan dalam pernyataan masalah, anda boleh menggantikannya dan mencari r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894 Kami mengira r hingga lima tempat perpuluhan. Oleh kerana nilai yang terhasil adalah kurang daripada satu, janjangnya semakin berkurangan, yang mewajarkan penggunaan formula untuk jumlah tak terhingganya. Mari kita tulis ungkapan untuk sebutan pertama dalam sebutan jumlah S ∞: Kami menggantikan nilai yang diketahui ke dalam formula ini dan mendapatkan jawapannya: a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166. Zeno dari Elea ialah seorang ahli falsafah Yunani terkenal yang hidup pada abad ke-5 SM. e. Sebilangan apogees atau paradoksnya telah mencapai hari ini, di mana masalah yang tidak terhingga besar dan yang tidak terhingga kecil dalam matematik dirumuskan. Salah satu paradoks Zeno yang terkenal ialah persaingan antara Achilles dan kura-kura. Zeno percaya jika Achilles memberi kelebihan kepada kura-kura dalam jarak jauh, dia tidak akan dapat mengejarnya. Sebagai contoh, biarkan Achilles berlari 10 kali lebih cepat daripada haiwan yang merangkak, yang, sebagai contoh, berada 100 meter di hadapannya. Apabila pahlawan itu berlari sejauh 100 meter, penyu itu merangkak sejauh 10 meter. Setelah berlari 10 meter lagi, Achilles melihat penyu itu merangkak lagi 1 meter. Anda boleh berhujah dengan cara ini ad infinitum, jarak antara pesaing memang akan berkurangan, tetapi penyu akan sentiasa berada di hadapan. Membawa Zeno kepada kesimpulan bahawa pergerakan tidak wujud, dan semua pergerakan objek di sekeliling adalah ilusi. Sudah tentu, ahli falsafah Yunani kuno itu salah. Penyelesaian kepada paradoks terletak pada fakta bahawa jumlah tak terhingga bagi segmen yang sentiasa berkurangan cenderung kepada nombor terhingga. Dalam kes di atas, untuk jarak yang Achilles lari, kita dapat: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Menggunakan formula untuk jumlah janjang geometri tak terhingga, kita memperoleh: S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 meter Keputusan ini menunjukkan bahawa Achilles akan mengejar kura-kura apabila ia merangkak hanya 11.111 meter. Orang Yunani purba tidak tahu bagaimana untuk bekerja dengan kuantiti yang tidak terhingga dalam matematik. Walau bagaimanapun, paradoks ini boleh diselesaikan jika kita memberi perhatian bukan kepada bilangan jurang yang tidak terhingga yang mesti diatasi oleh Achilles, tetapi kepada bilangan langkah yang terhingga yang diperlukan oleh pelari untuk mencapai matlamatnya. Takrif dan sifat bagi fungsi tak terhingga dan besar tak terhingga pada satu titik. Bukti sifat dan teorem. Hubungan antara fungsi infinitesimal dan infinite large. Biarkan x 0
ialah titik terhingga atau tak terhingga: ∞, -∞ atau +∞. Definisi fungsi infinitesimal Definisi fungsi yang tidak terhingga besar Sifat hasil tambah, beza dan hasil darab bagi fungsi yang sangat kecil Jumlah, perbezaan dan hasil bilangan terhingga bagi fungsi terhingga sebagai x → x 0
ialah fungsi infinitesimal sebagai x → x 0
.
Sifat ini adalah akibat langsung daripada sifat aritmetik bagi had sesuatu fungsi. Teorem pada hasil darab fungsi terikat dan kecil tak terhingga Hasil bagi fungsi yang dibatasi pada beberapa kejiranan tertusuk titik x 0
, hingga tak terhingga, sebagai x → x 0
, ialah fungsi infinitesimal sebagai x → x 0
.
Sifat mewakili fungsi sebagai jumlah pemalar dan fungsi kecil tak terhingga Agar fungsi f (x) mempunyai had yang terhad, adalah perlu dan memadai itu Teorem pada hasil tambah fungsi bersempadan dan besar tak terhingga Jumlah atau perbezaan fungsi sempadan pada beberapa kejiranan tertusuk titik x 0
, dan fungsi besar tak terhingga, sebagai x → x 0
, ialah fungsi besar tak terhingga sebagai x → x 0
.
Teorem mengenai pembahagian fungsi berhad dengan besar tak terhingga Jika fungsi f (x) adalah besar tak terhingga sebagai x → x 0
, dan fungsi g (x)- adalah terhad pada beberapa kejiranan tertusuk titik x 0
, Itu Teorem mengenai pembahagian fungsi yang dibatasi di bawahnya dengan yang sangat kecil Jika fungsi , pada beberapa kejiranan tertusuk titik , dibatasi dari bawah dengan nombor positif dalam nilai mutlak: Harta ketaksamaan fungsi yang tidak terhingga besar Jika fungsi itu besar tak terhingga pada: Hartanah ini mempunyai dua kes khas. Biarkan, pada beberapa kejiranan tertusuk titik , berfungsi dan memenuhi ketaksamaan: Daripada dua sifat sebelumnya mengikuti hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil. Jika suatu fungsi adalah besar tak terhingga pada , maka fungsi itu adalah sangat kecil pada . Jika suatu fungsi adalah sangat kecil untuk , dan , maka fungsi itu adalah besar tak terhingga untuk . Hubungan antara fungsi infinitesimal dan infinites large boleh dinyatakan secara simbolik: Jika fungsi infinitesimal mempunyai tanda tertentu pada , iaitu, ia adalah positif (atau negatif) pada beberapa kejiranan tertusuk titik , maka kita boleh menulisnya seperti ini: Kemudian hubungan simbolik antara fungsi kecil dan besar tak terhingga boleh ditambah dengan hubungan berikut: Formula tambahan yang berkaitan dengan simbol infiniti boleh didapati pada halaman Biarkan fungsi menjadi besar tidak terhingga untuk: Mari kita ambil urutan arbitrari yang menumpu kepada . Kemudian, bermula dari beberapa nombor N, unsur-unsur jujukan akan tergolong dalam kejiranan ini: Mengikut takrifan had sesuatu fungsi menurut Heine, Harta tersebut telah terbukti. Rujukan: Sekarang mari kita pertimbangkan persoalan menjumlahkan janjang geometri tak terhingga. Mari kita panggil jumlah separa bagi janjang tak terhingga yang diberikan sebagai jumlah sebutan pertamanya. Mari kita nyatakan jumlah separa dengan simbol Untuk setiap perkembangan yang tidak terhingga seseorang boleh menyusun jujukan (juga tidak terhingga) bagi jumlah separanya Biarkan urutan dengan peningkatan tanpa had mempunyai had Dalam kes ini, nombor S, iaitu, had jumlah separa janjang, dipanggil jumlah janjang tak terhingga. Kami akan membuktikan bahawa janjang geometri menurun tak terhingga sentiasa mempunyai jumlah, dan kami akan memperoleh formula untuk jumlah ini (kita juga boleh menunjukkan bahawa jika janjang tak terhingga tidak mempunyai jumlah, ia tidak wujud). Mari kita tulis ungkapan untuk jumlah separa sebagai jumlah sebutan janjang menggunakan formula (91.1) dan pertimbangkan had jumlah separa pada Daripada Teorem 89 diketahui bahawa untuk janjang menurun; oleh itu, menggunakan teorem had perbezaan, kita dapati (di sini peraturan juga digunakan: faktor pemalar diambil melebihi tanda had). Kewujudan terbukti, dan pada masa yang sama formula untuk jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga diperoleh: Kesamaan (92.1) juga boleh ditulis dalam bentuk Di sini mungkin kelihatan paradoks bahawa jumlah bilangan sebutan yang tidak terhingga diberikan nilai terhingga yang sangat pasti. Ilustrasi yang jelas boleh diberikan untuk menjelaskan keadaan ini. Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi yang sama dengan satu (Rajah 72). Bahagikan segi empat sama ini dengan garisan mendatar kepada dua bahagian yang sama dan pasangkan bahagian atas ke bahagian bawah supaya segi empat tepat terbentuk dengan sisi 2 dan . Selepas ini, kami akan membahagikan separuh kanan segi empat tepat ini sekali lagi dengan garis mendatar dan pasangkan bahagian atas ke bahagian bawah (seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 72). Meneruskan proses ini, kami terus mengubah segi empat sama asal dengan luas sama dengan 1 kepada angka bersaiz sama (mengambil bentuk tangga dengan langkah penipisan). Dengan kesinambungan tak terhingga proses ini, seluruh luas segi empat diuraikan menjadi bilangan tak terhingga sebutan - kawasan segi empat tepat dengan tapak sama dengan 1 dan tinggi Kawasan segi empat tepat membentuk janjang menurun tak terhingga, jumlahnya iaitu, seperti yang dijangkakan, sama dengan luas segi empat sama. Contoh. Cari hasil tambah bagi janjang tak terhingga berikut: Penyelesaian, a) Kami mendapati bahawa perkembangan ini Oleh itu, menggunakan formula (92.2) kami dapati b) Di sini bermakna menggunakan formula yang sama (92.2) yang kita ada c) Kami mendapati bahawa perkembangan ini oleh itu tidak mempunyai jumlah. Dalam perenggan 5, penggunaan formula bagi jumlah sebutan bagi janjang menurun tak terhingga kepada penukaran pecahan perpuluhan berkala kepada pecahan biasa telah ditunjukkan. 1. Jumlah bagi janjang geometri menurun tak terhingga ialah 3/5, dan hasil tambah empat sebutan pertamanya ialah 13/27. Cari sebutan pertama dan penyebut janjang itu. 2. Cari empat nombor yang membentuk janjang geometri berselang-seli, di mana sebutan kedua adalah kurang daripada yang pertama dengan 35, dan yang ketiga adalah lebih besar daripada yang keempat dengan 560. 3. Tunjukkan bahawa jika urutan membentuk janjang geometri yang menurun secara tak terhingga, kemudian jujukan untuk mana-mana, ia membentuk janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. Adakah kenyataan ini akan berlaku apabila Terbitkan formula untuk hasil darab sebutan suatu janjang geometri. Tahap pertama Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Sebagai contoh: Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor: Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satu daripadanya boleh diberikan nombor unik. Sebagai contoh, untuk urutan kami: Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama. Nombor dengan nombor itu dipanggil ahli ke-n bagi jujukan. Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: . Dalam kes kami: Jenis janjang yang paling biasa ialah aritmetik dan geometri. Dalam topik ini kita akan bercakap tentang jenis kedua - janjang geometri. Malah pada zaman purba, sami ahli matematik Itali Leonardo dari Pisa (lebih dikenali sebagai Fibonacci) menangani keperluan praktikal perdagangan. Rahib itu dihadapkan dengan tugas untuk menentukan berapakah bilangan pemberat terkecil yang boleh digunakan untuk menimbang sesuatu produk? Dalam karyanya, Fibonacci membuktikan bahawa sistem pemberat sebegini adalah optimum: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang terpaksa berurusan dengan janjang geometri, yang mungkin anda pernah dengar dan mempunyai sekurang-kurangnya pemahaman umum. Setelah anda memahami sepenuhnya topik tersebut, fikirkan mengapa sistem sedemikian adalah optimum? Pada masa ini, dalam amalan kehidupan, perkembangan geometri menunjukkan dirinya apabila melabur wang di bank, apabila jumlah faedah diakru pada jumlah terkumpul dalam akaun untuk tempoh sebelumnya. Dalam erti kata lain, jika anda meletakkan wang pada deposit masa di bank simpanan, maka selepas setahun deposit akan meningkat dengan jumlah asal, i.e. jumlah baru akan sama dengan sumbangan didarab dengan. Pada tahun yang lain, jumlah ini akan meningkat sebanyak, i.e. jumlah yang diperoleh pada masa itu akan didarab semula dan seterusnya. Keadaan yang sama diterangkan dalam masalah mengira apa yang dipanggil faedah kompaun- peratusan diambil setiap kali daripada jumlah yang ada dalam akaun, dengan mengambil kira faedah sebelumnya. Kita akan bercakap tentang tugasan ini sedikit kemudian. Terdapat banyak lagi kes mudah di mana janjang geometri digunakan. Sebagai contoh, penyebaran influenza: seseorang menjangkiti orang lain, mereka pula menjangkiti orang lain, dan dengan itu gelombang kedua jangkitan adalah seseorang, dan mereka pula menjangkiti orang lain... dan seterusnya.. . By the way, piramid kewangan, MMM yang sama, adalah pengiraan yang mudah dan kering berdasarkan sifat janjang geometri. Menarik? Mari kita fikirkan. Katakan kita mempunyai urutan nombor: Anda akan segera menjawab bahawa ini adalah mudah dan nama jujukan sedemikian ialah janjang aritmetik dengan perbezaan sebutannya. Bagaimana pula ini: Jika anda menolak yang sebelumnya daripada nombor seterusnya, anda akan melihat bahawa setiap kali anda mendapat perbezaan baharu (dan seterusnya), tetapi urutan itu pasti wujud dan mudah untuk diperhatikan - setiap nombor berikutnya adalah kali lebih besar daripada yang sebelumnya! Urutan nombor jenis ini dipanggil janjang geometri dan ditetapkan. Janjang geometri () ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri. Sekatan bahawa sebutan pertama ( ) tidak sama dan tidak rawak. Mari kita anggap bahawa tidak ada, dan sebutan pertama masih sama, dan q sama dengan, hmm.. biarlah, maka ternyata: Setuju bahawa ini bukan lagi kemajuan. Seperti yang anda faham, kami akan mendapat keputusan yang sama jika terdapat sebarang nombor selain sifar, a. Dalam kes ini, tidak akan ada janjang, kerana keseluruhan siri nombor sama ada semua sifar, atau satu nombor, dan semua yang lain akan menjadi sifar. Sekarang mari kita bercakap dengan lebih terperinci tentang penyebut janjang geometri, iaitu, o. Mari kita ulangi: - ini adalah nombor berapa kalikah setiap sebutan berikutnya berubah? janjang geometri. Apa yang anda fikir ia boleh jadi? Betul, positif dan negatif, tetapi bukan sifar (kami bercakap tentang ini lebih tinggi sedikit). Mari kita anggap bahawa kita adalah positif. Biar dalam kes kita, a. Apakah nilai sebutan kedua dan? Anda boleh menjawabnya dengan mudah: betul tu. Sehubungan itu, jika, maka semua terma perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka adalah positif. Bagaimana jika ia negatif? Contohnya, a. Apakah nilai sebutan kedua dan? Ini adalah cerita yang sama sekali berbeza Cuba kira syarat janjang ini. Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada. Oleh itu, jika, maka tanda-tanda istilah janjang geometri itu silih berganti. Iaitu, jika anda melihat janjang dengan tanda berselang-seli untuk ahlinya, maka penyebutnya adalah negatif. Pengetahuan ini boleh membantu anda menguji diri anda semasa menyelesaikan masalah mengenai topik ini. Sekarang mari kita berlatih sedikit: cuba tentukan jujukan nombor yang mana merupakan janjang geometri dan yang mana janjang aritmetik: faham? Mari bandingkan jawapan kami: Mari kita kembali ke janjang terakhir kita dan cuba mencari ahlinya, sama seperti dalam aritmetik. Seperti yang anda mungkin telah meneka, terdapat dua cara untuk mencarinya. Kami mendarabkan setiap sebutan dengan berturut-turut. Jadi, sebutan ke bagi janjang geometri yang diterangkan adalah sama dengan. Seperti yang telah anda duga, kini anda sendiri akan memperoleh formula yang akan membantu anda mencari mana-mana ahli janjang geometri. Atau adakah anda telah membangunkannya sendiri, menerangkan cara mencari ahli ke-1 langkah demi langkah? Jika ya, maka semak ketepatan alasan anda. Mari kita gambarkan ini dengan contoh mencari istilah ke-janjang ini: Dalam kata lain: Cari sendiri nilai sebutan bagi janjang geometri yang diberikan. Terjadi? Mari bandingkan jawapan kami: Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kita didarab secara berurutan dengan setiap sebutan sebelumnya bagi janjang geometri. Formula terbitan adalah benar untuk semua nilai - baik positif dan negatif. Semak ini sendiri dengan mengira terma janjang geometri dengan syarat berikut: , a. Adakah anda mengira? Mari bandingkan hasilnya: Setuju bahawa adalah mungkin untuk mencari istilah janjang dengan cara yang sama seperti istilah, walau bagaimanapun, terdapat kemungkinan pengiraan yang salah. Dan jika kita telah menemui istilah ke-janjang geometri, maka apa yang lebih mudah daripada menggunakan bahagian "dipotong" formula. Baru-baru ini, kita bercakap tentang fakta bahawa ia boleh sama ada lebih besar atau kurang daripada sifar, bagaimanapun, terdapat nilai khas yang mana janjang geometri dipanggil semakin berkurangan. Mengapa anda fikir nama ini diberikan? Kami melihat bahawa setiap sebutan berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya dengan faktor, tetapi adakah terdapat sebarang nombor? Anda akan segera menjawab - "tidak". Itulah sebabnya ia berkurangan tanpa terhingga - ia berkurangan dan berkurangan, tetapi tidak pernah menjadi sifar. Untuk memahami dengan jelas bagaimana ini kelihatan secara visual, mari cuba lukis graf perkembangan kami. Jadi, untuk kes kami, formula mengambil bentuk berikut: Pada graf kita terbiasa merencanakan pergantungan, oleh itu: Intipati ungkapan tidak berubah: dalam entri pertama kami menunjukkan pergantungan nilai ahli janjang geometri pada nombor ordinalnya, dan dalam entri kedua kami hanya mengambil nilai ahli janjang geometri sebagai , dan menetapkan nombor ordinal bukan sebagai, tetapi sebagai. Apa yang perlu dilakukan ialah membina graf. Adakah kamu nampak? Fungsi berkurangan, cenderung kepada sifar, tetapi tidak pernah melepasinya, jadi ia berkurangan secara tidak terhingga. Mari kita tandai titik kita pada graf, dan pada masa yang sama apakah koordinat dan maksudnya: Cuba gambarkan secara skematik graf janjang geometri jika sebutan pertamanya juga sama. Analisis apakah perbezaan dengan graf kami yang terdahulu? Adakah anda berjaya? Inilah graf yang saya hasilkan: Memandangkan anda telah memahami sepenuhnya asas topik janjang geometri: anda tahu apa itu, anda tahu cara mencari istilahnya, dan anda juga tahu apa itu janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga, mari kita beralih kepada sifat utamanya. Adakah anda masih ingat sifat sebutan bagi janjang aritmetik? Ya, ya, bagaimana untuk mencari nilai nombor janjang tertentu apabila terdapat nilai sebelumnya dan seterusnya bagi syarat janjang ini. Adakah awak ingat? ini: Sekarang kita berhadapan dengan soalan yang sama untuk istilah janjang geometri. Untuk mendapatkan formula sedemikian, mari kita mula melukis dan membuat penaakulan. Anda akan lihat, ia sangat mudah, dan jika anda terlupa, anda boleh mengeluarkannya sendiri. Mari kita ambil satu lagi janjang geometri yang mudah, di mana kita tahu dan. Bagaimana untuk mencari? Dengan janjang aritmetik ia adalah mudah dan ringkas, tetapi bagaimana pula di sini? Malah, tiada apa yang rumit dalam geometri sama ada - anda hanya perlu menulis setiap nilai yang diberikan kepada kami mengikut formula. Anda mungkin bertanya, apa yang perlu kita lakukan mengenainya sekarang? Ya, sangat mudah. Mula-mula, mari kita gambarkan formula ini dalam gambar dan cuba lakukan pelbagai manipulasi dengannya untuk mencapai nilai. Mari kita abstrak dari nombor yang diberikan kepada kita, mari kita fokus hanya pada ekspresi mereka melalui formula. Kita perlu mencari nilai yang diserlahkan dalam oren, mengetahui istilah yang bersebelahan dengannya. Mari kita cuba melakukan pelbagai tindakan dengan mereka, akibatnya kita boleh dapatkan. Penambahan. Daripada ungkapan ini, seperti yang anda lihat, kami tidak boleh menyatakannya dengan cara apa pun, oleh itu, kami akan mencuba pilihan lain - penolakan. Penolakan. Seperti yang anda lihat, kita tidak boleh menyatakan ini sama ada, oleh itu, mari kita cuba untuk mendarabkan ungkapan ini dengan satu sama lain. Pendaraban. Sekarang lihat dengan teliti apa yang kita ada dengan mendarabkan istilah janjang geometri yang diberikan kepada kita berbanding dengan apa yang perlu dijumpai: Cuba teka apa yang saya cakapkan? Betul, untuk mencari kita perlu mengambil punca kuasa dua nombor janjang geometri bersebelahan dengan yang dikehendaki didarab dengan satu sama lain: Di sini anda pergi. Anda sendiri memperoleh sifat janjang geometri. Cuba tulis formula ini dalam bentuk umum. Terjadi? Lupa syaratnya? Fikirkan mengapa ia penting, contohnya, cuba kira sendiri. Apa yang akan berlaku dalam kes ini? Betul, mengarut sepenuhnya kerana formulanya kelihatan seperti ini: Oleh itu, jangan lupa had ini. Sekarang mari kita kira apa yang sama Jawapan yang betul - ! Jika anda tidak melupakan nilai kedua yang mungkin semasa pengiraan, maka anda hebat dan boleh terus ke latihan, dan jika anda terlupa, baca apa yang dibincangkan di bawah dan perhatikan mengapa perlu menulis kedua-dua akar dalam jawapan. Mari kita lukis kedua-dua janjang geometri kita - satu dengan nilai dan satu lagi dengan nilai dan semak sama ada kedua-duanya mempunyai hak untuk wujud: Untuk menyemak sama ada janjang geometri sedemikian wujud atau tidak, adalah perlu untuk melihat sama ada semua istilah yang diberikan adalah sama? Hitung q untuk kes pertama dan kedua. Lihat mengapa kita perlu menulis dua jawapan? Kerana tanda istilah yang anda cari bergantung kepada sama ada positif atau negatif! Dan kerana kita tidak tahu apa itu, kita perlu menulis kedua-dua jawapan dengan tambah dan tolak. Sekarang anda telah menguasai perkara utama dan memperoleh formula untuk sifat janjang geometri, cari, mengetahui dan Bandingkan jawapan anda dengan jawapan yang betul: Apa pendapat anda, bagaimana jika kita diberi bukan nilai-nilai terma janjang geometri yang bersebelahan dengan nombor yang dikehendaki, tetapi sama jarak daripadanya. Sebagai contoh, kita perlu mencari, dan diberi dan. Bolehkah kita menggunakan formula yang kita perolehi dalam kes ini? Cuba untuk mengesahkan atau menafikan kemungkinan ini dengan cara yang sama, menerangkan kandungan setiap nilai, seperti yang anda lakukan semasa anda asalnya memperoleh formula, di. Sekarang lihat dengan teliti sekali lagi. Dari sini kita boleh membuat kesimpulan bahawa formula berfungsi bukan sahaja dengan jiran dengan sebutan janjang geometri yang dikehendaki, tetapi juga dengan sama jarak dari apa yang ahli cari. Oleh itu, formula awal kami mengambil bentuk: Iaitu, jika dalam kes pertama kita berkata demikian, sekarang kita mengatakan bahawa ia boleh sama dengan mana-mana nombor asli yang lebih kecil. Perkara utama ialah ia adalah sama untuk kedua-dua nombor yang diberikan. Berlatih dengan contoh khusus, hanya berhati-hati! Memutuskan? Saya harap anda sangat prihatin dan perasan sedikit tangkapan. Mari bandingkan hasilnya. Dalam dua kes pertama, kami menggunakan formula di atas dengan tenang dan mendapatkan nilai berikut: Dalam kes ketiga, apabila kita teliti nombor siri nombor yang diberikan kepada kita, kita faham bahawa ia tidak sama jarak dengan nombor yang kita cari: ia adalah nombor sebelumnya, tetapi dialih keluar pada kedudukan, jadi ia adalah tidak boleh menggunakan formula. Bagaimana untuk menyelesaikannya? Ia sebenarnya tidak sesukar yang disangka! Mari kita tuliskan apa yang terkandung dalam setiap nombor yang diberikan kepada kita dan nombor yang kita cari. Jadi kita ada dan. Mari lihat apa yang boleh kita lakukan dengan mereka? Saya cadangkan bahagikan dengan. Kita mendapatkan: Kami menggantikan data kami ke dalam formula: Langkah seterusnya yang boleh kita temui ialah - untuk ini kita perlu mengambil punca kubus nombor yang terhasil. Sekarang mari kita lihat semula apa yang kita ada. Kami memilikinya, tetapi kami perlu mencarinya, dan ia, pada gilirannya, adalah sama dengan: Kami menemui semua data yang diperlukan untuk pengiraan. Gantikan ke dalam formula: Jawapan kami: . Cuba selesaikan sendiri masalah serupa yang lain: Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada - . Seperti yang anda lihat, pada asasnya anda perlukan ingat hanya satu formula- . Anda boleh mengeluarkan semua selebihnya sendiri tanpa sebarang kesulitan pada bila-bila masa. Untuk melakukan ini, hanya tulis janjang geometri yang paling mudah pada sekeping kertas dan tuliskan jumlah yang sama dengan setiap nombornya, mengikut formula yang diterangkan di atas. Sekarang mari kita lihat formula yang membolehkan kita mengira dengan cepat jumlah sebutan bagi janjang geometri dalam selang tertentu: Untuk mendapatkan formula bagi jumlah sebutan bagi janjang geometri terhingga, darabkan semua bahagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan: Lihat dengan teliti: apakah persamaan dua formula terakhir? Betul, ahli biasa, contohnya, dan sebagainya, kecuali ahli pertama dan terakhir. Mari cuba tolak 1 daripada persamaan ke-2. Apa yang kamu dapat? Sekarang nyatakan istilah janjang geometri melalui formula dan gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam formula terakhir kami: Kumpulan ungkapan. Anda sepatutnya mendapat: Apa yang perlu dilakukan ialah menyatakan: Sehubungan itu, dalam kes ini. Bagaimana jika? Apakah formula yang berfungsi kemudian? Bayangkan satu janjang geometri di. Apa yang dia suka? Satu siri nombor yang sama adalah betul, jadi formula akan kelihatan seperti ini: Terdapat banyak legenda tentang janjang aritmetik dan geometri. Salah satunya ialah legenda Set, pencipta catur. Ramai orang tahu bahawa permainan catur dicipta di India. Apabila raja Hindu bertemu dengannya, dia gembira dengan kecerdasannya dan pelbagai jawatan yang mungkin ada padanya. Setelah mengetahui bahawa ia dicipta oleh salah seorang rakyatnya, raja memutuskan untuk memberi ganjaran kepadanya. Dia memanggil pencipta kepada dirinya sendiri dan memerintahkannya untuk meminta semua yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling mahir sekalipun. Seta meminta masa untuk berfikir, dan apabila keesokan harinya Seta menghadap raja, dia mengejutkan raja dengan kesopanan yang belum pernah terjadi sebelumnya dari permintaannya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, sebutir gandum untuk yang kedua, sebutir gandum untuk ketiga, seperempat, dsb. Raja marah dan menghalau Set, mengatakan bahawa permintaan hamba itu tidak layak untuk kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahawa hamba akan menerima bijirinnya untuk semua petak papan. Dan sekarang persoalannya: menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri, hitung berapa banyak butir yang perlu diterima oleh Seth? Mari kita mulakan alasan. Oleh kerana, mengikut syarat, Seth meminta sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dan lain-lain, maka kita melihat bahawa masalahnya adalah mengenai janjang geometri. Apakah persamaan dalam kes ini? Jumlah segi empat sama papan catur. Masing-masing, . Kami mempunyai semua data, yang tinggal hanyalah memasukkannya ke dalam formula dan mengira. Untuk membayangkan sekurang-kurangnya lebih kurang "skala" nombor tertentu, kami mengubah menggunakan sifat darjah: Sudah tentu, jika anda mahu, anda boleh mengambil kalkulator dan mengira nombor yang anda habiskan, dan jika tidak, anda perlu mengambil kata-kata saya untuk itu: nilai akhir ungkapan itu. quintillion quadrillion trilion bilion juta ribu. Fuh) Jika anda ingin membayangkan betapa besarnya bilangan ini, maka anggarkan berapa besar kandang yang diperlukan untuk menampung keseluruhan jumlah bijirin. Sekiranya raja itu kuat dalam matematik, dia boleh menjemput saintis itu sendiri untuk mengira bijirin, kerana untuk mengira sejuta biji, dia memerlukan sekurang-kurangnya satu hari pengiraan tanpa jemu, dan memandangkan perlu untuk mengira kuintilon, bijirin. perlu dikira sepanjang hayatnya. Sekarang mari kita selesaikan masalah mudah yang melibatkan jumlah sebutan bagi janjang geometri. Jadi, istilah pertama janjang geometri ialah Vasya, iaitu seseorang. Penggal ke-3 janjang geometri ialah dua orang yang dijangkitinya pada hari pertama ketibaannya. Jumlah keseluruhan sebutan janjang adalah sama dengan bilangan pelajar 5A. Sehubungan itu, kita bercakap tentang perkembangan di mana: Mari kita gantikan data kita ke dalam formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri: Seluruh kelas akan jatuh sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya formula dan nombor? Cuba gambarkan sendiri "jangkitan" pelajar. Terjadi? Lihat bagaimana ia kelihatan untuk saya: Kira sendiri berapa hari yang diperlukan untuk pelajar jatuh sakit dengan selesema jika setiap orang menjangkiti seseorang, dan hanya ada seorang di dalam kelas. Apakah nilai yang anda dapat? Ternyata semua orang mula sakit selepas sehari. Seperti yang anda lihat, tugas sedemikian dan lukisan untuknya menyerupai piramid, di mana setiap yang berikutnya "membawa" orang baru. Walau bagaimanapun, lambat laun tiba masanya apabila yang terakhir tidak dapat menarik sesiapa pun. Dalam kes kita, jika kita membayangkan bahawa kelas itu terpencil, orang dari menutup rantaian (). Oleh itu, jika seseorang terlibat dalam piramid kewangan di mana wang diberikan jika anda membawa dua peserta lain, maka orang itu (atau secara amnya) tidak akan membawa sesiapa, sewajarnya, akan kehilangan semua yang mereka laburkan dalam penipuan kewangan ini. Semua yang dinyatakan di atas merujuk kepada janjang geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang anda ingat, kami mempunyai jenis khas - janjang geometri yang berkurangan tanpa had. Bagaimana untuk mengira jumlah ahlinya? Dan mengapa jenis perkembangan ini mempunyai ciri-ciri tertentu? Mari kita fikirkan bersama. Jadi, mula-mula, mari kita lihat semula lukisan janjang geometri yang semakin berkurangan dari contoh kita: Sekarang mari kita lihat formula untuk jumlah janjang geometri, yang diperoleh sedikit lebih awal: Apa yang kita perjuangkan? Betul, graf menunjukkan bahawa ia cenderung kepada sifar. Iaitu, pada, akan hampir sama, masing-masing, apabila mengira ungkapan yang kita akan dapat hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahawa apabila mengira jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga, kurungan ini boleh diabaikan, kerana ia akan sama. - formula ialah hasil tambah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga. PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga hanya jika keadaan menyatakan dengan jelas bahawa kita perlu mencari jumlah tak terhingga bilangan ahli. Jika nombor tertentu n ditentukan, maka kita menggunakan formula untuk jumlah n sebutan, walaupun jika atau. Sekarang mari kita berlatih. Saya harap anda sangat berhati-hati. Mari bandingkan jawapan kami: Kini anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri, dan sudah tiba masanya untuk beralih dari teori kepada amalan. Masalah janjang geometri yang paling biasa dihadapi pada peperiksaan ialah masalah mengira faedah kompaun. Inilah yang akan kita bincangkan. Anda mungkin pernah mendengar apa yang dipanggil formula faedah kompaun. Adakah anda faham maksudnya? Jika tidak, mari kita fikirkan, kerana sebaik sahaja anda memahami proses itu sendiri, anda akan segera memahami apa kaitan janjang geometri dengannya. Kita semua pergi ke bank dan mengetahui bahawa terdapat syarat yang berbeza untuk deposit: ini termasuk terma, perkhidmatan tambahan, dan faedah dengan dua cara berbeza untuk mengiranya - mudah dan kompleks. DENGAN minat mudah semuanya lebih kurang jelas: faedah terakru sekali pada akhir tempoh deposit. Iaitu, jika kita mengatakan bahawa kita mendepositkan 100 rubel selama setahun, maka mereka akan dikreditkan hanya pada akhir tahun. Oleh itu, pada akhir deposit kami akan menerima rubel. Faedah kompaun- ini adalah pilihan di mana ia berlaku permodalan faedah, iaitu penambahan mereka kepada amaun deposit dan pengiraan pendapatan seterusnya bukan dari permulaan, tetapi daripada jumlah deposit terkumpul. Huruf besar tidak berlaku secara berterusan, tetapi dengan beberapa kekerapan. Sebagai peraturan, tempoh tersebut adalah sama dan paling kerap bank menggunakan sebulan, suku atau tahun. Katakan kita mendepositkan rubel yang sama setiap tahun, tetapi dengan permodalan bulanan deposit. Apa yang kita buat? Adakah anda memahami segala-galanya di sini? Jika tidak, mari kita fikirkan langkah demi langkah. Kami membawa rubel ke bank. Menjelang akhir bulan, kami sepatutnya mempunyai jumlah dalam akaun kami yang terdiri daripada rubel kami ditambah faedah ke atasnya, iaitu: Setuju? Kita boleh mengeluarkannya daripada kurungan dan kemudian kita mendapat: Setuju, formula ini sudah lebih serupa dengan apa yang kami tulis pada mulanya. Apa yang tinggal ialah memikirkan peratusan Dalam penyataan masalah kita diberitahu tentang kadar tahunan. Seperti yang anda ketahui, kami tidak mendarab dengan - kami menukar peratusan kepada pecahan perpuluhan, iaitu: Betul ke? Sekarang anda mungkin bertanya, dari mana datangnya nombor itu? Sangat ringkas! menyedarinya? Sekarang cuba tulis bagaimana bahagian formula ini akan kelihatan jika saya katakan bahawa faedah dikira setiap hari. Bagus! Mari kembali kepada tugas kami: tulis berapa banyak yang akan dikreditkan ke akaun kami pada bulan kedua, dengan mengambil kira faedah terakru pada jumlah deposit terkumpul. Atau, dengan kata lain: Saya fikir anda telah pun melihat corak dan melihat janjang geometri dalam semua ini. Tuliskan jumlah ahlinya, atau, dengan kata lain, jumlah wang yang akan kami terima pada akhir bulan. Seperti yang anda lihat, jika anda meletakkan wang di bank selama setahun pada kadar faedah yang mudah, anda akan menerima rubel, dan jika pada kadar faedah kompaun, anda akan menerima rubel. Faedahnya kecil, tetapi ini hanya berlaku pada tahun ke-1, tetapi untuk tempoh yang lebih panjang, permodalan adalah lebih menguntungkan: Mari kita lihat satu lagi jenis masalah yang melibatkan faedah kompaun. Selepas apa yang anda fikirkan, ia akan menjadi asas untuk anda. Jadi, tugas: Syarikat Zvezda mula melabur dalam industri pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak 2001, ia telah menerima keuntungan yang sama dengan modal tahun sebelumnya. Berapakah keuntungan yang akan diterima oleh syarikat Zvezda pada penghujung tahun 2003 jika keuntungan tidak dikeluarkan daripada edaran? Modal syarikat Zvezda pada tahun 2000. Atau kita boleh menulis secara ringkas: Untuk kes kami: 2000, 2001, 2002 dan 2003. Jawapan: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) Janjang geometri ( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri. 2) Persamaan sebutan bagi janjang geometri ialah . 3) boleh mengambil sebarang nilai kecuali dan. 4), dengan - sifat janjang geometri (istilah bersebelahan) atau Apabila anda menemuinya, jangan lupa itu mesti ada dua jawapan. Sebagai contoh, 5) Jumlah sebutan bagi janjang geometri dikira dengan formula: Jika janjang menurun secara tidak terhingga, maka: PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga hanya jika syarat menyatakan secara eksplisit bahawa kita perlu mencari jumlah bilangan sebutan tak terhingga. 6) Masalah faedah kompaun juga dikira menggunakan formula sebutan ke- janjang geometri, dengan syarat dana belum dikeluarkan daripada edaran: Janjang geometri( ) ialah jujukan berangka, sebutan pertama yang berbeza daripada sifar, dan setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri. Penyebut janjang geometri boleh mengambil sebarang nilai kecuali dan. Persamaan sebutan janjang geometri - . Jumlah sebutan bagi suatu janjang geometri dikira dengan formula:
Tugas mencari penggal pertama sesuatu janjang
Paradoks terkenal Zeno dengan Achilles yang cepat dan kura-kura yang perlahan
Takrifan fungsi infinitesimal dan infinitesimal
Fungsi α (x) dipanggil sangat kecil kerana x cenderung kepada x 0
0
, dan ia sama dengan sifar:
.
Fungsi f (x) dipanggil besar tak terhingga kerana x cenderung kepada x 0
, jika fungsi mempunyai had sebagai x → x 0
, dan ia sama dengan infiniti:
.
Sifat-sifat fungsi infinitesimal
,
di mana ialah fungsi infinitesimal sebagai x → x 0
.
Sifat-sifat fungsi yang tidak terhingga besar
.
,
dan fungsinya adalah sangat kecil seperti x → x 0
:
,
dan terdapat kejiranan tertusuk titik di mana , kemudian
.
,
dan fungsi dan , pada beberapa kejiranan tertusuk titik memenuhi ketaksamaan:
,
maka fungsinya juga besar tak terhingga pada:
.
.
Kemudian jika , maka dan .
Jika , maka dan .Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan tidak terhingga
,
.
.
Dengan cara yang sama, jika fungsi yang tidak terhingga besar mempunyai tanda tertentu di , maka mereka menulis:
, atau .
,
,
,
.
"Menunjuk pada infiniti dan sifatnya."Bukti sifat dan teorem
Bukti teorem pada hasil darab fungsi terikat dan kecil tak terhingga
.
Dan biarkan ada kejiranan tertusuk titik di mana
di .
di .
Kemudian
di .
.
Kemudian, dengan sifat ketaksamaan jujukan besar tak terhingga,
.
Oleh kerana jujukan adalah sewenang-wenangnya, menumpu kepada , maka, dengan takrifan had fungsi mengikut Heine,
.
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 2003.
Senaman
Janjang geometri. Panduan komprehensif dengan contoh (2019)
Urutan nombor
Mengapakah janjang geometri diperlukan dan sejarahnya?
Janjang geometri.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini - mari letakkannya dalam bentuk umum dan dapatkan:Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.
Mula-mula, mari kita tuliskan beberapa janjang geometri yang terdiri daripada sebutan.
Katakan, kemudian:
Mari lihat apa yang anda dapat. Inilah graf yang saya hasilkan:
Sifat janjang geometri.
Mari cuba tambah dua ungkapan dan kita dapat:
Apa yang kamu dapat?
dan sepadan:
Diberi: ,
Cari:Jumlah sebutan bagi suatu janjang geometri.
Betul.
Itu dia:
Jika bangsal itu m tinggi dan m lebar, panjangnya perlu memanjang sejauh km, i.e. dua kali lebih jauh dari Bumi ke Matahari.
Seorang pelajar kelas 5A Vasya jatuh sakit akibat selesema, tetapi terus pergi ke sekolah. Setiap hari Vasya menjangkiti dua orang, yang seterusnya menjangkiti dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya ada orang dalam kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan sakit dengan selesema?
atau
Masalah pengiraan faedah kompaun.
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN faedah yang terakru BULANAN. Seperti yang anda ketahui, dalam satu tahun bulan, sewajarnya, bank akan mengenakan kami sebahagian daripada faedah tahunan setiap bulan:
Adakah anda berjaya? Mari bandingkan hasilnya:
Inilah yang saya dapat:
Adakah? Jom semak!
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2001.
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2002.
- modal syarikat Zvezda pada tahun 2003.
Masing-masing:
rubel
Sila ambil perhatian bahawa dalam masalah ini kami tidak mempunyai pembahagian sama ada oleh atau oleh, kerana peratusan diberikan SECARA TAHUNAN dan ia dikira SECARA TAHUNAN. Iaitu, apabila membaca masalah mengenai faedah kompaun, perhatikan berapa peratus yang diberikan dan dalam tempoh berapa ia dikira, dan hanya kemudian teruskan ke pengiraan.
Sekarang anda tahu segala-galanya tentang janjang geometri.Latihan.
Syarikat Modal MDM:
- meningkat sebanyak 100% iaitu 2 kali ganda.
Masing-masing:
rubel
Syarikat MSK Aliran Tunai:
- meningkat dengan, iaitu, mengikut masa.
Masing-masing:
rubel
rubelMari kita ringkaskan.
, pada (istilah sama jarak)
atau
atauKEMAJUAN GEOMETRI. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
atau