Правила за пренос во равенки. Образовни цели на часот

И при пресметување на вредностите на изразите, дејствата се вршат по одреден редослед, со други зборови, мора да набљудувате редослед на дејствија.

Во оваа статија, ќе откриеме кои дејства треба да се извршат прво и кои по нив. Да почнеме со наједноставните случаи, кога изразот содржи само броеви или променливи поврзани со знаци плус, минус, множење и делење. Следно, ќе објасниме кој редослед на дејства треба да се следи во изразите со загради. Конечно, да го погледнеме редоследот по кој се извршуваат дејствата во изрази кои содржат моќи, корени и други функции.

Навигација на страницата.

Прво множење и делење, потоа собирање и одземање

Училиштето го дава следново правило кое го одредува редоследот по кој се вршат дејствата во изразите без загради:

• дејствата се вршат по редослед од лево кон десно,
• Притоа, прво се врши множење и делење, а потоа собирање и одземање.

Наведеното правило се сфаќа сосема природно. Вршењето дејства по редослед од лево кон десно се објаснува со фактот дека вообичаено е да водиме евиденција од лево кон десно. А фактот дека множењето и делењето се вршат пред собирање и одземање се објаснува со значењето што го носат овие дејства.

Ајде да погледнеме неколку примери за тоа како се применува ова правило. На пример, ќе ги земеме наједноставните нумерички изрази за да не бидеме одвлечени од пресметките, туку конкретно да се фокусираме на редоследот на дејствата.

Пример.

Следете ги чекорите 7−3+6.

Решение.

Оригиналниот израз не содржи загради и не содржи множење или делење. Затоа, треба да ги извршиме сите дејства по редослед од лево кон десно, односно прво одземаме 3 од 7, добиваме 4, по што додаваме 6 на добиената разлика од 4, добиваме 10.

Накратко, решението може да се запише на следниов начин: 7−3+6=4+6=10.

Одговор:

7−3+6=10 .

Пример.

Наведете го редоследот на дејствата во изразот 6:2·8:3.

Решение.

За да одговориме на прашањето на проблемот, да се свртиме кон правилото што го означува редоследот на извршување на дејствата во изрази без загради. Оригиналниот израз ги содржи само операциите на множење и делење, а според правилото тие мора да се изведат по редослед од лево кон десно.

Одговор:

Прво Ние делиме 6 со 2, го множиме овој количник со 8 и на крајот го делиме резултатот со 3.

Пример.

Пресметај ја вредноста на изразот 17−5·6:3−2+4:2.

Решение.

Прво, да одредиме по кој редослед треба да се извршат дејствата во оригиналниот израз. Содржи и множење и делење и собирање и одземање. Прво, од лево кон десно, треба да извршите множење и делење. Значи, множиме 5 со 6, добиваме 30, овој број го делиме со 3, добиваме 10. Сега делиме 4 со 2, добиваме 2. Пронајдената вредност 10 ја заменуваме во оригиналниот израз наместо 5·6:3, а наместо 4:2 - вредноста 2, имаме 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Добиениот израз повеќе не содржи множење и делење, па останува да се извршат преостанатите дејства по редослед од лево кон десно: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Одговор:

17−5·6:3−2+4:2=7.

Отпрвин, за да не се меша редоследот по кој се извршуваат дејствата при пресметување на вредноста на изразот, погодно е да се постават броеви над знаците за акција што одговараат на редоследот по кој се извршуваат. За претходниот пример би изгледало вака: .

При работа со изрази на букви треба да се следи истиот редослед на операции - прво множење и делење, потоа собирање и одземање.

Дејства од првата и втората фаза

Во некои учебници по математика постои поделба на аритметички операции на операции од првата и втората фаза. Ајде да го сфатиме ова.

Дефиниција.

Дејства од првата фазасе викаат собирање и одземање, а се викаат множење и делење дејства од втората фаза.

Во овие термини, правилото од претходниот став, кое го одредува редоследот на извршување на дејствијата, ќе биде напишано на следниов начин: ако изразот не содржи загради, тогаш со редослед од лево кон десно, најпрвин се дејствијата од втората фаза ( се вршат множење и делење, потоа дејствата од првата фаза (собирање и одземање).

Редослед на аритметички операции во изрази со загради

Изразите често содржат загради за да го наведат редоследот по кој треба да се извршат дејствата. Во овој случај правило кое го одредува редоследот на извршување на дејствијата во изразите со загради, се формулира на следниов начин: прво се вршат дејствата во загради, додека множењето и делењето исто така се вршат по редослед од лево кон десно, потоа собирање и одземање.

Значи, изразите во загради се сметаат како компоненти на оригиналниот израз и го задржуваат редот на дејствата што веќе ни се познати. Да ги погледнеме решенијата на примерите за поголема јасност.

Пример.

Следете ги овие чекори 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Решение.

Изразот содржи загради, па ајде прво да ги извршиме дејствата во изразите приложени во овие загради. Да почнеме со изразот 7−2·3. Во него прво треба да извршите множење, а дури потоа одземање, имаме 7−2·3=7−6=1. Да преминеме на вториот израз во заградите 6−4. Тука има само едно дејство - одземање, го извршуваме 6−4 = 2.

Добиените вредности ги заменуваме во оригиналниот израз: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Во добиениот израз прво вршиме множење и делење од лево кон десно, па одземање, добиваме 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Во овој момент, сите дејства се завршени, се придржувавме до следниот редослед на нивна имплементација: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Ајде да запишеме кратко решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Одговор:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Се случува изразот да содржи загради во загради. Нема потреба да се плашите од ова, само треба постојано да го применувате наведеното правило за извршување дејства во изрази со загради. Да го покажеме решението на примерот.

Пример.

Изведете ги операциите во изразот 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Ова е израз со загради, што значи дека извршувањето на дејствата мора да започне со изразот во загради, односно со 3+1+4·(2+3) . Овој израз содржи и загради, така што прво мора да ги извршите дејствата во нив. Да го направиме ова: 2+3=5. Заменувајќи ја пронајдената вредност, добиваме 3+1+4·5. Во овој израз прво вршиме множење, па собирање, имаме 3+1+4·5=3+1+20=24. Почетната вредност, откако ќе се замени оваа вредност, добива форма 4+24, а останува само да се завршат дејствата: 4+24=28.

Одговор:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Општо земено, кога изразот содржи загради во загради, често е погодно да се вршат дејства почнувајќи од внатрешните загради и преминувајќи кон надворешните.

На пример, да речеме дека треба да ги извршиме дејствата во изразот (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Прво, ги извршуваме дејствата во внатрешните загради, бидејќи 4−6:2=4−3=1, а потоа по ова оригиналниот израз ќе добие форма (4+(4+1)−1)−1. Повторно го извршуваме дејството во внатрешните загради, бидејќи 4+1=5, доаѓаме до следниот израз (4+5−1)−1. Повторно ги извршуваме дејствата во загради: 4+5−1=8 и доаѓаме до разликата 8−1, која е еднаква на 7.

За решавање на линеарни равенкикористете две основни правила (својства).

Имот бр.1
или
правило за трансфер

Кога се пренесува од еден дел од равенката во друг, член на равенката го менува својот знак во спротивното.

Ајде да го погледнеме правилото за пренос користејќи пример. Да претпоставиме дека треба да решиме линеарна равенка.

Потсетете се дека секоја равенка има лева и десна страна.

Да го поместиме бројот „3“ од левата страна на равенката надесно.

Бидејќи бројот „3“ има знак „+“ на левата страна од равенката, тоа значи дека „3“ ќе се префрли на десната страна од равенката со знак „−“.

Добиената нумеричка вредност „x = 2“ се нарекува корен на равенката.

Не заборавајте да го запишете одговорот откако ќе решите која било равенка.

Ајде да разгледаме друга равенка.

Според правилото за пренос, се движиме „4x“ од левата страна на равенката надесно, менувајќи го знакот на спротивната страна.

И покрај тоа што нема знак пред „4x“, ние разбираме дека има знак „+“ пред „4x“.

Сега да дадеме слични и да ја решиме равенката до крај.

Имот бр.2
или
правило за поделба

Во која било равенка, можете да ги поделите левата и десната страна со ист број.

Но, не можете да се делите на непознато!

Ајде да погледнеме пример како да се користи правилото за поделба при решавање на линеарни равенки.

Бројот „4“ што значи „x“ се нарекува нумерички коефициент на непознатото.

Помеѓу нумеричкиот коефициент и непознатата секогаш постои дејство за множење.

За да ја решите равенката, треба да бидете сигурни дека „x“ има коефициент „1“.

Да си го поставиме прашањето: „Со што треба да поделиме „4“ за да
добиваш „1“? Одговорот е очигледен, треба да се подели со „4“.

Го користиме правилото за поделба и ја делиме левата и десната страна на равенката со „4“. Не заборавајте дека треба да ги поделите и левиот и десниот дел.

Да користиме намалување на дропот и да ја решиме линеарната равенка до крај.

Како да се реши равенка ако „x“ е негативно

Честопати во равенките постои ситуација кога „x“ има негативен коефициент. Како во равенката подолу.

За да решиме таква равенка, повторно си го поставуваме прашањето: „Со што треба да се подели „−2“ за да се добие „1“? Треба да се подели со „-2“.

Линеарни равенки. Прво ниво.

Дали сакате да ја тестирате својата сила и да го дознаете резултатот за тоа колку сте подготвени за обединет државен испит или унифициран државен испит?

1. Линеарна равенка

Ова е алгебарска равенка во која вкупниот степен на нејзините составни полиноми е еднаков.

2. Линеарна равенка со една променливаима форма:

Каде и се сите броеви;

3. Линеарна равенка со две променливиима форма:

Каде, и - кои било броеви.

4. Трансформации на идентитетот

За да се утврди дали равенката е линеарна или не, потребно е да се извршат идентични трансформации:

поместете слични термини лево/десно, не заборавајќи да го смените знакот;

множи/подели ги двете страни на равенката со ист број.

Што се „линеарни равенки“

или орално - на тројца пријатели им беа дадени јаболка по секоја врз основа на тоа дека Васија ги има сите јаболка на залиха.

И сега веќе одлучивте линеарна равенка
Сега да му дадеме на овој термин математичка дефиниција.

Линеарна равенка – е алгебарска равенка чиј вкупен степен на нејзините составни полиноми е еднаков на. Изгледа вака:

Каде и се сите броеви и

За нашиот случај со Васија и јаболката, ќе напишеме:

- „Ако Васија им даде ист број јаболка на сите тројца пријатели, нема да му останат јаболка“

„Скриени“ линеарни равенки или важноста на идентитетските трансформации

И покрај фактот дека на прв поглед сè е исклучително едноставно, кога решавате равенки треба да бидете внимателни, бидејќи линеарните равенки се нарекуваат не само равенки од овој тип, туку и какви било равенки што можат да се сведат на овој тип со трансформации и поедноставувања. На пример:

Гледаме што е десно, што, теоретски, веќе покажува дека равенката не е линеарна. Притоа, ако ги отвориме заградите, ќе добиеме уште два термина во кои ќе биде, но не брзајте со заклучоците! Пред да се процени дали една равенка е линеарна, потребно е да се направат сите трансформации и на тој начин да се поедностави оригиналниот пример. Во овој случај, трансформациите можат да го променат изгледот, но не и самата суштина на равенката.

Со други зборови, податоците за трансформацијата мора да бидат идентичниили еквивалент. Има само две такви трансформации, но тие играат многу, МНОГУ важна улога во решавањето на проблемите. Ајде да ги погледнеме двете трансформации користејќи конкретни примери.

Префрлете лево - десно.

Да речеме дека треба да ја решиме следнава равенка:

Дури и во основно училиште ни беше кажано: „со X - лево, без X - десно“. Кој израз со X е десно? Така е, но не и како не. И ова е важно, бидејќи ако ова навидум едноставно прашање е погрешно разбрано, излегува погрешен одговор. Кој израз со X е лево? Во право,.

Сега кога го сфативме ова, ги преместуваме сите поими со непознати на левата страна, а сè што е познато надесно, запомнувајќи дека ако нема знак пред бројот, на пример, тогаш бројот е позитивен. , односно има знак пред него “ “

Префрлено? Што доби?

Сè што останува да се направи е да се донесат слични услови. Ви претставуваме:

Значи, успешно ја анализиравме првата идентична трансформација, иако сум сигурен дека ја знаевте и активно ја користевте без мене. Главната работа е да не заборавите на знаците на броевите и да ги менувате во спротивните кога се пренесувате преку знакот за еднаквост!

Множење-делење.

Да почнеме веднаш со пример

Ајде да погледнеме и да размислиме: што не ни се допаѓа во овој пример? Непознатото е сето во еден дел, познатото е во друг, но нешто нè спречува... А ова нешто е четворка, бидејќи да не беше, сè ќе беше совршено - x е еднакво на број - точно како што ни треба!

Како можеш да се ослободиш од него? Не можеме да го поместиме надесно, затоа што тогаш треба да го поместиме целиот множител (не можеме да го земеме и да го скинеме), а поместувањето на целиот множител исто така нема смисла...

Време е да се потсетиме на поделбата, па ајде да поделиме сè по! Сè - ова значи и левата и десната страна. Вака и само вака! Што правиме?

Ајде сега да погледнеме друг пример:

Можете ли да погодите што треба да се направи во овој случај? Така е, помножете ја левата и десната страна со! Каков одговор добивте? Во право. .

Сигурно веќе знаевте сè за идентитетските трансформации. Сметајте дека ние едноставно го освеживме ова знаење во вашата меморија и време е за нешто повеќе - На пример, да го решиме нашиот голем пример:

Како што рековме претходно, гледајќи го, не можете да кажете дека оваа равенка е линеарна, но треба да ги отвориме заградите и да извршиме идентични трансформации. Па ајде да започнеме!

За почеток, се потсетуваме на формулите за скратено множење, особено на квадратот на збирот и квадратот на разликата. Ако не се сеќавате што е тоа и како се отвораат заградите, силно препорачувам да ја прочитате темата „Скратени формули за множење“, бидејќи овие вештини ќе ви бидат корисни при решавање на речиси сите примери на испитот.
Откриено? Ајде да споредиме:

Сега е време да донесеме слични термини. Се сеќавате ли како во истите тие основни одделенија ни велеа „не ставајте муви и котлети заедно“? Еве јас ве потсетувам на ова. Додаваме сè посебно - фактори кои имаат, фактори кои имаат и останатите фактори кои немаат непознати. Кога носите слични термини, преместете ги сите непознати налево, а сè што е познато надесно. Што доби?

Како што можете да видите, X-овите на плоштадот исчезнаа и гледаме нешто сосема нормално. линеарна равенка. Останува само да се најде!

И конечно, ќе кажам уште една многу важна работа за идентитетските трансформации - идентитетските трансформации се применливи не само за линеарни равенки, туку и за квадратни, фракционо рационални и други. Само треба да запомните дека кога ги пренесуваме факторите преку знакот за еднакво, го менуваме знакот во спротивен, а при делење или множење со некој број, ги множиме/делиме двете страни на равенката со ИСТИОТ број.

Што друго извади од овој пример? Дека со гледање на равенката не е секогаш можно директно и точно да се утврди дали е линеарна или не. Потребно е прво целосно да се поедностави изразот, па дури потоа да се процени што е тоа.

Линеарни равенки. Примери.

Еве уште неколку примери за да вежбате сами - одреди дали равенката е линеарна и ако е така, пронајдете ги нејзините корени:

Одговори:

1. Е.

2. не е.

Да ги отвориме заградите и да претставиме слични термини:

Ајде да извршиме идентична трансформација - подели ја левата и десната страна на:

Гледаме дека равенката не е линеарна, така што нема потреба да се бараат нејзините корени.

3. Е.

Ајде да извршиме идентична трансформација - помножете ја левата и десната страна за да се ослободиме од именителот.

Размислете зошто е тоа толку важно? Ако го знаете одговорот на ова прашање, продолжете со понатамошно решавање на равенката; ако не, не заборавајте да ја разгледате темата „ОДЗ“ за да не направите грешки во посложени примери. Патем, како што можете да видите, ситуацијата е невозможна. Зошто?
Значи, да продолжиме и да ја преуредиме равенката:

Ако успеавте сè без тешкотии, ајде да зборуваме за линеарни равенки со две променливи.

Линеарни равенки во две променливи

Сега да преминеме на малку посложени - линеарни равенки со две променливи.

Линеарни равенкисо две променливи имаат форма:

Каде, и – кои било броеви и.

Како што можете да видите, единствената разлика е во тоа што на равенката се додава уште една променлива. И така сè е исто - нема x квадрат, нема поделба со променлива итн. и така натаму.

Каков животен пример можам да ви дадам? Да ја земеме истата Васија. Да речеме дека одлучил на секој од 3 пријатели да им даде ист број јаболка, а јаболката да ги задржи за себе. Колку јаболка треба да купи Васија ако на секој пријател му даде по едно јаболко? За што? Што ако до?

Врската помеѓу бројот на јаболка што ќе ги добие секое лице и вкупниот број на јаболка што треба да се купат ќе биде изразена со равенката:

• – бројот на јаболка што ќе ги добие едно лице (, или, или);
• – бројот на јаболка што Васија ќе ги земе за себе;
• – колку јаболка треба да купи Васија, земајќи го предвид бројот на јаболка по лице?

Решавајќи го овој проблем, добиваме дека ако Васија му даде на еден пријател јаболко, тогаш тој треба да купи парчиња, ако му даде јаболка итн.

И општо земено. Имаме две променливи. Зошто да не ја нацртате оваа врска на графикон? Ја градиме и означуваме вредноста на нашата, односно поени, со координати и!

Како што можете да видите, тие зависат еден од друг линеарна, оттука и името на равенките – “ линеарна».

Ајде да апстрахираме од јаболката и графички да погледнеме различни равенки. Погледнете ги внимателно двата конструирани графикони - права линија и парабола, специфицирани со произволни функции:

Најдете ги и означете ги соодветните точки на двете слики.
Што доби?

Тоа го гледате на графикот на првата функција самодговара еден, односно и тие линеарно зависат еден од друг, што не може да се каже за втората функција. Се разбира, можете да тврдите дека во вториот графикон и x - одговара, но ова е само една точка, односно посебен случај, бидејќи сè уште можете да најдете оној што одговара на повеќе од само еден. И конструираниот график никако не наликува на права, туку е парабола.

Повторувам, уште еднаш: графикот на линеарната равенка мора да биде ПРАВНА линија.

Со фактот дека равенката нема да биде линеарна ако одиме до кој било степен - ова е јасно користејќи го примерот на парабола, иако можете да изградите уште неколку едноставни графикони за себе, на пример или. Но, ве уверувам - ниту еден од нив нема да биде ПРАВА ЛИНИЈА.

Не верувам? Изгради го и потоа спореди го со она што го добив:

Што се случува ако поделиме нешто со, на пример, некој број? Дали ќе има линеарна врска и? Да не се расправаме, туку да градиме! На пример, ајде да изградиме график на функција.

Некако не изгледа како да е конструирана како права линија... според тоа, равенката не е линеарна.
Да резимираме:

1. Линеарна равенка -е алгебарска равенка во која вкупниот степен на нејзините составни полиноми е еднаков.
2. Линеарна равенкасо една променлива има форма:
   , каде и се сите броеви;
   Линеарна равенкасо две променливи:
   , каде и се сите броеви.
3. Не е секогаш можно веднаш да се утврди дали равенката е линеарна или не. Понекогаш, за да се разбере ова, неопходно е да се извршат идентични трансформации, да се преместат слични термини налево/десно, не заборавајќи да го смените знакот или да ги помножиме/поделиме двете страни на равенката со ист број.

Коментари

Дозволена е дистрибуција на материјали без одобрение доколку постои доследена врска до изворната страница.

Политика за приватност

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

4. Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

5. Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
6. Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
7. Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
8. Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

9. Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
10. Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Ви благодариме за пораката!

Вашиот коментар е прифатен и по модерација ќе биде објавен на оваа страница.

Дали сакате да дознаете што се крие под сечењето и да добиете ексклузивни материјали за подготовка за обединет државен испит и обединет државен испит? Оставете ја вашата е-пошта

Равенка е еднаквост што содржи буква чиј знак мора да се најде. Решението на равенката е збир на вредности на букви што ја претвора равенката во вистинска еднаквост:

Потсетете се дека за да се реши равенкатреба да ги пренесете членовите со непознатото на едниот дел од еднаквоста, а нумеричките членови на другиот, да донесете слични и да ја добиете следната еднаквост:

Од последната еднаквост ја одредуваме непознатата според правилото: „еден од факторите е еднаков на количникот поделен со вториот фактор“.

Бидејќи рационалните броеви a и b можат да имаат исти или различни знаци, знакот на непознатото се одредува со правилата за делење на рационални броеви.

Постапка за решавање на линеарни равенки

Линеарната равенка мора да се поедностави со отворање на заградите и извршување на операциите на вториот чекор (множење и делење).

Поместете ги непознатите на едната страна од знакот за еднаквост, а броевите на другата страна на знакот за еднаквост, добивајќи еднаквост идентична со дадената,

Донесете слични лево и десно од знакот за еднаквост, добивајќи еднаквост на формата секира = б.

Пресметајте го коренот на равенката (најдете ја непознатата Xод еднаквост x = б : а),

Проверете со замена на непознатата во дадената равенка.

Ако добиеме идентитет во нумеричко равенство, тогаш равенката е правилно решена.

Посебни случаи на решавање равенки

1. Ако равенкатададен производ еднаков на 0, тогаш за да го решиме го користиме својството на множење: „производот е еднаков на нула ако еден од факторите или двата фактора се еднакви на нула“.

27 (x - 3) = 0
27 не е еднакво на 0, што значи x - 3 = 0

Вториот пример има две решенија на равенката, бидејќи
ова е равенка од втор степен:

Ако коефициентите на равенката се обични фракции, тогаш пред сè треба да се ослободите од именителот. За ова:

Најдете го заедничкиот именител;

Определете дополнителни фактори за секој член од равенката;

Помножете ги броителите на дропки и цели броеви со дополнителни фактори и запишете ги сите членови на равенката без именители (заедничкиот именител може да се отфрли);

Преместете ги членовите со непознати на едната страна од равенката, а нумеричките членови на другата од знакот за еднаквост, добивајќи еквивалентна еднаквост;

Донесете слични членови;

Основни својства на равенките

Во кој било дел од равенката, можете да додадете слични термини или да отворите заграда.

Секој член од равенката може да се префрли од еден дел од равенката во друг со менување на неговиот знак во спротивен.

Двете страни на равенката може да се помножат (поделат) со ист број, освен 0.

Во горниот пример, сите негови својства беа искористени за решавање на равенката.

Линеарни равенки. Решавање линеарни равенки. Правило за пренос на термин.

Правило за пренос на термин.

При решавање и трансформирање равенки, често е потребно да се премести член на другата страна на равенката. Забележете дека терминот може да има знак плус или минус. Според правилото, кога преместувате член во друг дел од равенката, треба да го промените знакот во спротивен. Покрај тоа, правилото работи и за нееднаквости.

Примеритермин за носење:

Прво префрламе 5x

Забележете дека знакот „+“ се смени во „-“ и знакот „-“ во „+“. Во овој случај, не е важно дали пренесениот член е број или променлива или израз.

Го поместуваме првиот член на десната страна од равенката. Добиваме:

Ве молиме имајте предвид дека во нашиот пример терминот е израз (−3x 2 (2+7x)). Затоа, не може да се пренесе одделно (−3x2)И (2+7x), бидејќи тоа се компонентите на сумата. Затоа не можат да издржат (-3x2 ⋅ 2) И (7x). Сепак, можеме да ги отвориме заградите и да добиеме 2 термини: (-3x-⋅ 2) И (−3×2⋅ 7x). Овие 2 термини може да се носат одделно еден од друг.

Неравенките се трансформираат на ист начин:

Секој број го собираме на едната страна. Добиваме:

2-те страни на равенката се исти по дефиниција, така што можеме да ги одземеме истите изрази од двете страни на равенката и еднаквоста ќе остане точна. Треба да одземете израз кој на крајот треба да се премести на другата страна. Потоа на едната страна од знакот „=“ ќе се договори со она што беше. А од другата страна на еднаквоста, изразот што го одзедовме ќе се појави со знак „-“.

Ова правило често се користи за решавање на линеарни равенки. Други методи се користат за решавање на системи на линеарни равенки.

Основи на Алгебра/Правило за пренос

Да го преместиме првиот член на десната страна од равенката. Добиваме:

Ајде да ги преместиме сите броеви на едната страна. Како резултат имаме:

Примери што го илустрираат доказот Уреди

За равенки Уреди

Да речеме дека сакаме да ги преместиме сите X од левата страна на равенката надесно. Одземете 5 x од двете страни

Сега треба да провериме дали левата и десната страна на равенката се исти. Ајде да ја замениме непознатата променлива со добиениот резултат:

Сега можеме да претставиме слични термини:

Прво да преместиме 5 xод левата страна на равенката надесно:

Сега да го преместиме бројот (−6) од десната страна налево:

Забележете дека знакот плус се промени во знакот минус, а знакот минус се промени во знакот плус. Покрај тоа, не е важно дали пренесениот член е број, променлива или цел израз.

Две страни на равенката се еднакви по дефиниција, така што можете да го одземете истиот израз од двете страни на равенката и еднаквоста сепак ќе биде вистинита. На едната страна од знакот за еднаквост ќе се договори со она што беше. Од другата страна на равенката, изразот што го одзедовме ќе се појави со знак минус.

Правилото за равенките е докажано.

За нееднаквости Уреди

Според тоа, 4 е коренот на равенката 5x+2=7x-6. Бидејќи за него идентитетот е докажан, тогаш и за нееднаквостите по дефиниција.

Решавање равенки, правило за пренос на поими

Целта на часот

Образовни цели на часот:

— Умее да го применува правилото за пренос на поими при решавање равенки;

Развојни цели на часот:

— развиваат независни активности на учениците;

- развиваат говор (дадат целосни одговори на писмен, математички јазик);

Образовни цели на часот:

- развиваат способност за правилно запишување белешки во тетратки и на табла;

?Опрема:

11. Мултимедија
12. интерактивна табла

Погледнете ја содржината на документот
„час Решавање равенки 6 одделение“

ЧАС МАТЕМАТИКА 6 ОДДЕЛЕНИЕ

Наставник: Тимофеева М.А.

Целта на часот: учење на правилата за пренесување поими од една на друга страна на равенката.

Образовни цели на часот:

Да знае да го применува правилото за пренос на поими при решавање равенки;

Развојни цели на часот:

развиваат самостојни активности на учениците;

развиваат говор (дадат целосни одговори на писмен, математички јазик);

Образовни цели на часот:

развиваат способност за правилно запишување белешки во тетратки и на табла;

Главните фази на лекцијата

1. Организациски момент, комуникација на целта на часот и форма на работа

„Ако сакате да научите да пливате,

потоа смело влезете во водата,

и ако сакате да научите како да решавате равенки,

2. Денес започнуваме да ја проучуваме темата: „Решавање равенки“ (Слајд 1)

Но, веќе научивте како да решавате равенки! Тогаш што ќе учиме?

— Нови начини за решавање равенки.

3. Да го разгледаме опфатениот материјал (Усна работа) (Слајд 2)

3). 7м + 8н – 5м – 3н

4). – 6а + 12 б – 5а – 12б

5). 9x – 0,6y – 14x + 1,2y

Равенката стигна
донесе многу тајни

Кои изрази се равенки?(Слајд 3)

4. Како се нарекува равенка?

Равенка е равенка која содржи непознат број. (Слајд 4)

Што значи да се реши равенка?

Решете ја равенката- значи наоѓање на неговите корени или докажување дека тие не постојат.

Да ги решиме равенките усно. (Слајд 5)

Кое правило го користиме за да решиме?

— Наоѓање непознат фактор.

Да напишеме неколку равенки во тетратка и да ги решиме користејќи ги правилата за наоѓање на непознат член и минуенд: (Слајд 7)

Како да се реши таква равенка?

x + 5 = - 2x - 7 (Слајд 8)

Не можеме да поедноставиме, бидејќи слични поими се наоѓаат во различни делови од равенката, па затоа е неопходно да се преместат.

Боите горат фантастично,
И колку и да е мудра главата,
Дали сè уште верувате во бајки?
Бајката е секогаш во право.

Еднаш, одамна, живееле два крала: црн и бел. Црниот крал живеел во Црното Кралство на десниот брег на реката, а Белиот крал живеел во Белото Кралство на левиот брег. Помеѓу кралствата течеше многу бурна и опасна река. Беше невозможно да се помине оваа река ниту со пливање ниту со брод. Ни требаше мост! Изградбата на мостот траеше многу долго и конечно беше изграден мостот. Сите би се радувале и комуницирале меѓу себе, но тука е проблемот: белиот крал не ја сакал црната боја, сите жители на неговото кралство носеле светла облека, а Црниот крал не ја сакал белата боја и жителите на неговото кралство носеше облека со темна боја. Ако некој од Црното Кралство се преселил во Белото Кралство, тој веднаш паѓал во немилост на Белиот крал, а ако некој од Белото Кралство се преселил во Црното Кралство, тој веднаш паднал во немилост на Црниот крал. Жителите на кралствата морале да смислат нешто за да не ги налутат своите кралеви. Што мислите, што смислиле?

Оваа лекција детално ја разгледува постапката за извршување аритметички операции во изрази без загради и со загради. На учениците им се дава можност при завршувањето на задачите да утврдат дали значењето на изразите зависи од редоследот по кој се извршуваат аритметичките операции, да откријат дали редоследот на аритметичките операции е различен во изразите без загради и со загради, да вежбаат примена наученото правило, да се пронајдат и поправаат грешките направени при одредување на редоследот на дејствијата.

Во животот постојано извршуваме некакво дејство: одиме, учиме, читаме, пишуваме, броиме, се насмевнуваме, се караме и се помируваме. Ние ги извршуваме овие дејства по различен редослед. Понекогаш тие можат да се заменат, понекогаш не. На пример, кога се подготвувате за училиште наутро, можете прво да правите вежби, а потоа да го наместите креветот или обратно. Но, не можете прво да одите на училиште, а потоа да облечете облека.

Дали во математиката е потребно да се вршат аритметички операции по одреден редослед?

Ајде да провериме

Ајде да ги споредиме изразите:
8-3+4 и 8-3+4

Гледаме дека двата израза се сосема исти.

Ајде да извршиме дејства во едниот израз од лево кон десно, а во другиот од десно кон лево. Можете да користите броеви за да го покажете редоследот на дејствата (сл. 1).

Ориз. 1. Постапка

Во првиот израз, прво ќе ја извршиме операцијата за одземање, а потоа ќе го додадеме бројот 4 на резултатот.

Во вториот израз, прво ја наоѓаме вредноста на збирот, а потоа го одземаме добиениот резултат 7 од 8.

Гледаме дека значењата на изразите се различни.

Да заклучиме: Редоследот по кој се извршуваат аритметичките операции не може да се промени.

Да го научиме правилото за извршување аритметички операции во изрази без заграда.

Ако изразот без загради вклучува само собирање и одземање или само множење и делење, тогаш дејствата се вршат по редоследот по кој се напишани.

Ајде да вежбаме.

Размислете за изразот

Овој израз содржи само операции за собирање и одземање. Овие акции се нарекуваат акции во првата фаза.

Дејствата ги извршуваме од лево кон десно по редослед (сл. 2).



Ориз. 2. Постапка

Размислете за вториот израз

Овој израз содржи само операции за множење и делење - Ова се акциите на втората фаза.

Дејствата ги извршуваме од лево кон десно по редослед (сл. 3).



Ориз. 3. Постапка

По кој редослед се извршуваат аритметичките операции ако изразот содржи не само собирање и одземање, туку и множење и делење?

Ако изразот без загради ги вклучува не само операциите собирање и одземање, туку и множење и делење, или двете од овие операции, тогаш прво извршете по редослед (од лево кон десно) множење и делење, а потоа собирање и одземање.

Да го погледнеме изразот.

Ајде да размислуваме вака. Овој израз ги содржи операциите собирање и одземање, множење и делење. Ние постапуваме според правилото. Прво, вршиме редослед (од лево кон десно) множење и делење, а потоа собирање и одземање. Ајде да го организираме редоследот на дејствата.

Да ја пресметаме вредноста на изразот.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

По кој редослед се извршуваат аритметичките операции ако во изразот има загради?

Ако изразот содржи загради, прво се оценува вредноста на изразите во заградите.

Да го погледнеме изразот.

30 + 6 * (13 - 9)

Гледаме дека во овој израз има дејство во загради, што значи дека прво ќе го извршиме ова дејство, потоа множење и собирање по редослед. Ајде да го организираме редоследот на дејствата.

30 + 6 * (13 - 9)

Да ја пресметаме вредноста на изразот.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Како треба да се причини правилно да се утврди редоследот на аритметичките операции во нумеричкиот израз?

Пред да започнете со пресметките, треба да го погледнете изразот (да дознаете дали содржи загради, какви дејства содржи) и дури потоа да ги извршите дејствата по следниот редослед:

1. дејства напишани во заграда;

2. множење и делење;

3. собирање и одземање.

Дијаграмот ќе ви помогне да го запомните ова едноставно правило (сл. 4).



Ориз. 4. Постапка

Ајде да вежбаме.

Ајде да ги разгледаме изразите, да го утврдиме редоследот на дејствата и да извршиме пресметки.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Ќе постапиме според правилото. Изразот 43 - (20 - 7) +15 содржи операции во загради, како и операции за собирање и одземање. Ајде да воспоставиме процедура. Првата акција е да се изврши операцијата во заграда, а потоа, по редослед од лево кон десно, одземање и собирање.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Изразот 32 + 9 * (19 - 16) содржи операции во загради, како и операции за множење и собирање. Според правилото, прво го извршуваме дејството во заграда, потоа множење (бројот 9 го множиме со резултатот добиен со одземање) и собирање.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Во изразот 2*9-18:3 нема загради, туку има операции за множење, делење и одземање. Ние постапуваме според правилото. Прво, вршиме множење и делење од лево кон десно, а потоа го одземаме резултатот добиен од делењето од резултатот добиен со множење. Односно, првото дејство е множење, второто делење, а третото одземање.

2*9-18:3=18-6=12

Ајде да дознаеме дали редоследот на дејствата во следните изрази е правилно дефиниран.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Ајде да размислуваме вака.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Во овој израз нема загради, што значи дека прво вршиме множење или делење од лево кон десно, па собирање или одземање. Во овој израз, првото дејство е делење, второто е множење. Третото дејство треба да биде собирање, четвртото - одземање. Заклучок: постапката е правилно одредена.

Ајде да ја најдеме вредноста на овој израз.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Ајде да продолжиме да зборуваме.

Вториот израз содржи загради, што значи дека прво го извршуваме дејството во заграда, потоа од лево кон десно множење или делење, собирање или одземање. Проверуваме: првото дејство е во заграда, второто е делење, третото собирање. Заклучок: постапката е погрешно дефинирана. Да ги исправиме грешките и да ја најдеме вредноста на изразот.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Овој израз содржи и загради, што значи дека прво го извршуваме дејството во заграда, потоа од лево кон десно множење или делење, собирање или одземање. Ајде да провериме: првото дејство е во заграда, второто е множење, третото одземање. Заклучок: постапката е погрешно дефинирана. Да ги исправиме грешките и да ја најдеме вредноста на изразот.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Ајде да ја завршиме задачата.

Да го подредиме редоследот на дејствата во изразот користејќи го наученото правило (сл. 5).



Ориз. 5. Постапка

Не гледаме нумерички вредности, така што нема да можеме да го најдеме значењето на изразите, но ќе вежбаме да го применуваме правилото што сме го научиле.

Ние дејствуваме според алгоритмот.

Првиот израз содржи загради, што значи дека првото дејство е во заграда. Потоа од лево кон десно множење и делење, потоа од лево кон десно одземање и собирање.

Вториот израз содржи и загради, што значи дека го извршуваме првото дејство во загради. После тоа, од лево кон десно, множење и делење, потоа одземање.

Да се ​​провериме (сл. 6).



Ориз. 6. Постапка

Денес на час научивме за правилото за редослед на дејства во изразите без и со загради.

Библиографија

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и други.Математика: Учебник. III одделение: во 2 дела, дел 1. - М.: „Просветување“, 2012 год.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и други.Математика: Учебник. 3 одделение: во 2 дела, дел 2. - М.: „Просветување“, 2012 год.
3. М.И. Моро. Часови по математика: Методолошки препораки за наставниците. 3 одделение. - М.: Образование, 2012 година.
4. Регулаторна документација. Следење и евалуација на резултатите од учењето. - М.: „Просветителство“, 2011 година.
5. „Училиште на Русија“: Програми за основно училиште. - М.: „Просветителство“, 2011 година.
6. С.И. Волкова. Математика: Тест трудови. 3 одделение. - М.: Образование, 2012 година.
7. В.Н. Рудницкаја. Тестови. - М.: „Испит“, 2012 година.
1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Домашна работа

1. Определи го редоследот на дејствата во овие изрази. Најдете го значењето на изразите.

2. Определи во кој израз се врши овој редослед на дејства:

1. множење; 2. поделба;. 3. додавање; 4. одземање; 5. дополнување. Најдете го значењето на овој израз.

3. Составете три изрази во кои е извршен следниот редослед на дејства:

1. множење; 2. додавање; 3. одземање

1. додавање; 2. одземање; 3. дополнување

1. множење; 2. поделба; 3. дополнување

Најдете го значењето на овие изрази.

Равенките се една од најтешките теми за совладување, но тие се и моќна алатка за решавање на повеќето проблеми.

Користејќи равенки, се опишани различни процеси што се случуваат во природата. Равенките се широко користени во другите науки: економија, физика, биологија и хемија.

Во оваа лекција ќе се обидеме да ја разбереме суштината на наједноставните равенки, да научиме да изразуваме непознати и да решаваме неколку равенки. Како што учите нови материјали, равенките ќе станат посложени, така што разбирањето на основите е многу важно.

Прелиминарни вештини Содржина на лекцијата

Што е равенка?

Равенка е еднаквост што содржи променлива чија вредност сакате да ја најдете. Оваа вредност мора да биде таква што кога ќе се замени во првобитната равенка, да се добие точната нумеричка еднаквост.

На пример, изразот 2 + 2 = 4 е еднаквост. При пресметување на левата страна се добива точно нумеричко еднаквост 4 = 4.

Но, еднаквоста е 2 + x= 4 е равенка бидејќи содржи променлива x, чија вредност може да се најде. Вредноста мора да биде таква што при замена на оваа вредност во оригиналната равенка, да се добие точната нумеричка еднаквост.

Со други зборови, ние мора да најдеме вредност со која знакот за еднакво ќе ја оправда неговата локација - левата страна мора да биде еднаква на десната страна.

Равенка 2 + x= 4 е елементарно. Променлива вредност xе еднаков на бројот 2. За која било друга вредност, еднаквост нема да се почитува

Велат дека бројот 2 е коренили решавање на равенката 2 + x = 4

Коренили решение на равенката- ова е вредноста на променливата при која равенката се претвора во вистинска нумеричка еднаквост.

Може да има неколку корени или воопшто да нема. Решете ја равенкатазначи да се најдат неговите корени или да се докаже дека нема корени.

Променливата вклучена во равенката инаку се нарекува непознат. Имате право да го нарекувате како што сакате. Ова се синоними.

Забелешка. Фразата „реши равенка“ зборува сама по себе. Решавањето на равенката значи „изедначување“ на равенката - правејќи ја избалансирана така што левата страна е еднаква на десната страна.

Изразувајте едно преку друго

Проучувањето на равенките традиционално започнува со учење да се изрази еден број вклучен во еднаквоста преку голем број други. Да не ја кршиме оваа традиција и да го правиме истото.

Размислете за следниов израз:

8 + 2

Овој израз е збир на броевите 8 и 2. Вредноста на овој израз е 10

8 + 2 = 10

Добивме еднаквост. Сега можете да изразите кој било број од оваа еднаквост преку други броеви вклучени во истата еднаквост. На пример, да го изразиме бројот 2.

За да го изразите бројот 2, треба да го поставите прашањето: „што треба да се направи со броевите 10 и 8 за да се добие бројот 2“. Јасно е дека за да го добиете бројот 2, треба да го одземете бројот 8 од бројот 10.

Тоа е она што го правиме. Го запишуваме бројот 2 и преку знакот за еднакво велиме дека за да го добиеме овој број 2 го одзедовме бројот 8 од бројот 10:

2 = 10 − 8

Го изразивме бројот 2 од еднаквоста 8 + 2 = 10. Како што може да се види од примерот, нема ништо комплицирано во ова.

Кога се решаваат равенки, особено кога се изразува еден број во однос на други, погодно е знакот за еднаквост да се замени со зборот „ Ете го" . Ова мора да се направи ментално, а не во самиот израз.

Значи, изразувајќи го бројот 2 од равенството 8 + 2 = 10, ја добивме еднаквоста 2 = 10 − 8. Оваа еднаквост може да се прочита на следниов начин:

2 Ете го 10 − 8

Тоа е знак = се заменува со зборот „е“. Покрај тоа, еднаквоста 2 = 10 − 8 може да се преведе од математички јазик во полноправен човечки јазик. Потоа може да се прочита на следниов начин:

Број 2 Ете горазлика помеѓу бројот 10 и бројот 8

Број 2 Ете горазлика помеѓу бројот 10 и бројот 8.

Но, ние ќе се ограничиме само да го замениме знакот за еднаквост со зборот „е“, и нема секогаш да го правиме тоа. Елементарните изрази може да се разберат без преведување на математички јазик на човечки јазик.

Да ја вратиме добиената еднаквост 2 = 10 − 8 во првобитната состојба:

8 + 2 = 10

Да го изразиме овој пат бројот 8. Што треба да се направи со преостанатите броеви за да се добие бројот 8? Така е, треба да одземе 2 од бројот 10

8 = 10 − 2

Да ја вратиме добиената еднаквост 8 = 10 − 2 во првобитната состојба:

8 + 2 = 10

Овој пат ќе го искажеме бројот 10. Но, излегува дека нема потреба да се изразува десетката, бидејќи таа е веќе изразена. Доволно е да ги замениме левиот и десниот дел, а потоа го добиваме она што ни треба:

10 = 8 + 2

Пример 2. Размислете за еднаквоста 8 − 2 = 6

Да го изразиме бројот 8 од оваа еднаквост. За да го изразиме бројот 8, треба да се додадат преостанатите два броја:

8 = 6 + 2

Дозволете ни да ја вратиме добиената еднаквост 8 = 6 + 2 во првобитната состојба:

8 − 2 = 6

Да го изразиме бројот 2 од оваа еднаквост. За да го изразиме бројот 2, треба да одземеш 6 од 8

2 = 8 − 6

Пример 3. Размислете за еднаквоста 3 × 2 = 6

Да го изразиме бројот 3. За да го изразиме бројот 3, потребно е 6 поделено со 2

Да ја вратиме добиената еднаквост во првобитната состојба:

3 × 2 = 6

Дозволете ни да го изразиме бројот 2 од оваа еднаквост. За да го изразите бројот 2, потребно е 6 поделено со 3

Пример 4. Размислете за еднаквоста

Дозволете ни да го изразиме бројот 15 од оваа еднаквост. За да го изразите бројот 15, треба да ги помножите броевите 3 и 5

15 = 3 × 5

Дозволете ни да ја вратиме добиената еднаквост 15 = 3 × 5 во првобитната состојба:

Дозволете ни да го изразиме бројот 5 од оваа еднаквост. За да го изразиме бројот 5, потребно е 15 поделено со 3

Правила за пронаоѓање непознати

Ајде да разгледаме неколку правила за наоѓање непознати. Можеби ви се познати, но не е повредено да ги повторувате повторно. Во иднина, тие можат да бидат заборавени, бидејќи учиме да решаваме равенки без да ги применуваме овие правила.

Да се ​​вратиме на првиот пример, кој го разгледавме во претходната тема, каде што во еднаквоста 8 + 2 = 10 требаше да го изразиме бројот 2.

Во равенството 8 + 2 = 10, броевите 8 и 2 се членовите, а бројот 10 е збир.

За да го изразиме бројот 2, го направивме следново:

2 = 10 − 8

Односно, од збирот 10 го одзедовме членот 8.

Сега замислете дека во еднаквоста 8 + 2 = 10, наместо бројот 2, има променлива x

8 + x = 10

Во овој случај, еднаквоста 8 + 2 = 10 станува равенка 8 + x= 10 и променливата x непознат термин



Наша задача е да го најдеме овој непознат член, односно да ја решиме равенката 8 + x= 10 . За да пронајдете непознат термин, дадено е следново правило:

За да го пронајдете непознатиот член, треба да го одземете познатиот член од збирот.

Што во основа го направивме кога изразивме два во еднаквоста 8 + 2 = 10. За да го изразиме членот 2, одзедовме уште еден член 8 од збирот 10

2 = 10 − 8

Сега, да го најдеме непознатиот термин x, мора да го одземеме познатиот член 8 од збирот 10:

x = 10 − 8

Ако ја пресметате десната страна на добиената еднаквост, можете да дознаете на што е еднаква променливата x

x = 2

Ја решивме равенката. Променлива вредност xе еднакво на 2. За проверка на вредноста на променливата xиспратени до оригиналната равенка 8 + x= 10 и замена x.Препорачливо е да го направите ова со која било решена равенка, бидејќи не можете да бидете апсолутно сигурни дека равенката е решена правилно:



Како резултат

Истото правило би важело доколку непознатиот поим е првиот број 8.

x + 2 = 10

Во оваа равенка xе непознат член, 2 е познатиот член, 10 е збирот. Да се ​​најде непознат термин x, треба да го одземете познатиот член 2 од збирот 10

x = 10 − 2

x = 8



Да се ​​вратиме на вториот пример од претходната тема, каде во еднаквоста 8 − 2 = 6 беше потребно да се изрази бројот 8.

Во еднаквоста 8 − 2 = 6, бројот 8 е минуендот, бројот 2 е подзавршницата, а бројот 6 е ​​разликата

За да го изразиме бројот 8, го направивме следново:

8 = 6 + 2

Односно, ја додадовме разликата од 6 и одземавме 2.

Сега замислете дека во еднаквоста 8 − 2 = 6, наместо бројот 8, има променлива x

x − 2 = 6

Во овој случај променливата xја презема улогата на т.н непознат минуенд



За да пронајдете непозната минуенда, дадено е следново правило:

За да го пронајдете непознатиот минуенд, треба да го додадете подзаконскиот дел на разликата.

Така направивме кога го изразивме бројот 8 во еднаквоста 8 − 2 = 6. За да го искажеме минуендот од 8, ја додадовме подлогата од 2 на разликата од 6.

Сега, да ја пронајдеме непознатата минуенда x, на разликата 6 мораме да ја додадеме подлогата 2

x = 6 + 2

Ако ја пресметате десната страна, можете да дознаете на што е еднаква променливата x

x = 8

Сега замислете дека во еднаквоста 8 − 2 = 6, наместо бројот 2, има променлива x

8 − x = 6

Во овој случај променливата xја презема улогата непознат подзаконски

За да пронајдете непознат подлога, дадено е следново правило:

За да го пронајдете непознатиот подлога, треба да ја одземете разликата од минуендот.

Така направивме кога го изразивме бројот 2 во еднаквоста 8 − 2 = 6. За да го изразиме бројот 2, ја одзедовме разликата 6 од минуендот 8.

Сега, да го најдеме непознатиот подвозник x, повторно треба да ја одземете разликата 6 од минуендот 8

x = 8 − 6

Ја пресметуваме десната страна и ја наоѓаме вредноста x

x = 2

Да се ​​вратиме на третиот пример од претходната тема, каде во еднаквоста 3 × 2 = 6 се обидовме да го изразиме бројот 3.

Во еднаквоста 3 × 2 = 6, бројот 3 е множител, бројот 2 е множител, бројот 6 е ​​производ

За да го изразиме бројот 3, го направивме следново:

Односно, го поделивме производот од 6 со факторот 2.

Сега замислете дека во еднаквоста 3 × 2 = 6, наместо бројот 3 има променлива x

x× 2 = 6

Во овој случај променливата xја презема улогата непознат множител.

За да пронајдете непознат множител, дадено е следново правило:

За да пронајдете непознат множител, треба да го поделите производот со факторот.

Ова е она што го направивме кога го изразивме бројот 3 од еднаквоста 3 × 2 = 6. Го поделивме производот 6 со факторот 2.

Сега да се најде непознатиот множител x, треба да го поделите производот 6 со факторот 2.

Пресметувањето на десната страна ни овозможува да ја најдеме вредноста на променливата x

x = 3

Истото правило важи и ако променливата xсе наоѓа наместо множителот, а не множителот. Да замислиме дека во еднаквоста 3 × 2 = 6, наместо бројот 2 има променлива x.

Во овој случај променливата xја презема улогата непознат множител. За да се најде непознат фактор, се обезбедува истата постапка како и за наоѓање непознат множител, имено, делење на производот со познат фактор:

За да пронајдете непознат фактор, треба да го поделите производот со множителот.

Ова е она што го направивме кога го изразивме бројот 2 од еднаквоста 3 × 2 = 6. Потоа за да го добиеме бројот 2 го поделивме производот од 6 со неговиот множител 3.

Сега да го пронајдеме непознатиот фактор xПроизводот од 6 го поделивме со множителот од 3.

Пресметувањето на десната страна на еднаквоста ви овозможува да дознаете на што x е еднакво

x = 2

Мултипликантот и множителот заедно се нарекуваат фактори. Бидејќи правилата за наоѓање множител и множител се исти, можеме да формулираме општо правило за наоѓање непознат фактор:

За да пронајдете непознат фактор, треба да го поделите производот со познатиот фактор.

На пример, да ја решиме равенката 9 × x= 18. Променлива xе непознат фактор. За да го пронајдете овој непознат фактор, треба да го поделите производот 18 со познатиот фактор 9

Да ја решиме равенката x× 3 = 27. Променлива xе непознат фактор. За да го пронајдете овој непознат фактор, треба да го поделите производот 27 со познатиот фактор 3

Да се ​​вратиме на четвртиот пример од претходната тема, каде во еднаквост требаше да го изразиме бројот 15. Во оваа равенка, бројот 15 е дивиденда, бројот 5 е делител, а бројот 3 е количник.



За да го изразиме бројот 15, го направивме следново:

15 = 3 × 5

Односно, го помноживме количникот од 3 со делителот од 5.

Сега замислете дека во еднаквоста, наместо бројот 15, има променлива x

Во овој случај променливата xја презема улогата непозната дивиденда.



За да се најде непозната дивиденда, предвидено е следново правило:

За да ја пронајдете непознатата дивиденда, треба да го помножите количникот со делителот.

Така направивме кога го искажавме бројот 15 од еднаквоста. За да го изразиме бројот 15, го множиме количникот од 3 со делителот од 5.

Сега, да се најде непознатата дивиденда x, треба да го помножите количникот 3 со делителот 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Сега замислете дека во еднаквоста, наместо бројот 5, има променлива x .

Во овој случај променливата xја презема улогата непознат делител.



За да пронајдете непознат делител, дадено е следново правило:

Така направивме кога го изразивме бројот 5 од еднаквоста. За да го изразиме бројот 5, ја делиме дивидендата 15 со количникот 3.

Сега да го најдеме непознатиот делител x, треба да ја поделите дивидендата 15 со количникот 3

Да ја пресметаме десната страна на добиената еднаквост. На овој начин дознаваме на што е еднаква променливата x .

x = 5

Значи, за да најдеме непознати, ги проучувавме следниве правила:

• За да го пронајдете непознатиот член, треба да го одземете познатиот член од збирот;
• За да го пронајдете непознатиот минуенд, треба да го додадете и подземјето на разликата;
• За да го пронајдете непознатиот подлога, треба да ја одземете разликата од минуендот;
• За да пронајдете непознат множител, треба да го поделите производот со факторот;
• За да пронајдете непознат фактор, треба да го поделите производот со множителот;
• За да најдете непозната дивиденда, треба да го помножите количникот со делителот;
• За да најдете непознат делител, треба да ја поделите дивидендата со количникот.

Компоненти

Ние ќе ги наречеме компонентите броеви и променливи вклучени во еднаквоста

Значи, компонентите на додавање се условиИ сума



Компонентите за одземање се минуенд, подзафатИ разлика

Компонентите на множењето се мултипликант, факторИ работа

Компонентите на поделбата се дивиденда, делител и количник.

Во зависност од тоа со кои компоненти се занимаваме, ќе важат соодветните правила за пронаоѓање на непознати. Овие правила ги проучувавме во претходната тема. Кога решавате равенки, препорачливо е да ги знаете овие правила напамет.

Пример 1. Најдете го коренот на равенката 45 + x = 60

45 - мандат, x- непознат термин, 60 - збир. Ние се занимаваме со компонентите на додавање. Потсетуваме дека за да пронајдете непознат член, треба да го одземете познатиот член од збирот:

x = 60 − 45

Ајде да ја пресметаме десната страна и да ја добиеме вредноста xеднакво на 15

x = 15

Значи коренот на равенката е 45 + x= 60 е еднакво на 15.

Најчесто, непознат термин мора да се сведе на форма во која може да се изрази.

Пример 2. Решете ја равенката

Овде, за разлика од претходниот пример, непознатиот член не може веднаш да се изрази, бидејќи содржи коефициент 2. Наша задача е да ја доведеме оваа равенка во форма во која би можела да се изрази x

Во овој пример, ние се занимаваме со компонентите на собирањето - поимите и збирот. 2 xе првиот член, 4 е вториот член, 8 е збирот.

Во овој случај, терминот 2 xсодржи променлива x. По наоѓањето на вредноста на променливата xтермин 2 xќе добие поинаков изглед. Затоа, термин 2 xможе целосно да се земе како непознат термин:



Сега го применуваме правилото за наоѓање на непознатиот термин. Одземете го познатиот член од збирот:

Да ја пресметаме десната страна на добиената равенка:

Имаме нова равенка. Сега се занимаваме со компонентите на множењето: множителот, множителот и производот. 2 - множител, x- множител, 4 - производ

Во овој случај, променливата xне е само множител, туку непознат множител

За да го пронајдете овој непознат фактор, треба да го поделите производот со множителот:

Да ја пресметаме десната страна и да ја добиеме вредноста на променливата x

За да проверите, испратете го пронајдениот корен во оригиналната равенка и заменете го x



Пример 3. Решете ја равенката 3x+ 9x+ 16x= 56

Веднаш изразете го непознатото xтоа е забрането. Прво треба да ја доведете оваа равенка во форма во која може да се изрази.

Ви претставуваме на левата страна на оваа равенка:



Имаме работа со компонентите на множење. 28 - множител, x- множител, 56 - производ. При што xе непознат фактор. За да пронајдете непознат фактор, треба да го поделите производот со множителот:

Од тука xе еднакво на 2

Еквивалентни равенки

Во претходниот пример при решавањето на равенката 3x + 9x + 16x = 56 , дадовме слични поими на левата страна од равенката. Како резултат на тоа, добивме нова равенка 28 x= 56 . Стара равенка 3x + 9x + 16x = 56 и добиената нова равенка 28 x= 56 се нарекува еквивалентни равенки, бидејќи нивните корени се совпаѓаат.

Равенките се нарекуваат еквивалентни ако нивните корени се совпаѓаат.

Ајде да го провериме. За равенката 3x+ 9x+ 16x= 56 го најдовме коренот еднаков на 2. Ајде прво да го замениме овој корен во равенката 3x+ 9x+ 16x= 56 , а потоа во равенката 28 x= 56, што е добиено со донесување слични членови на левата страна од претходната равенка. Мора да ги добиеме точните нумерички еднаквости



Според редоследот на операциите, прво се врши множење:



Да го замениме коренот 2 во втората равенка 28 x= 56



Гледаме дека двете равенки имаат исти корени. Значи равенките 3x+ 9x+ 16x= 6 и 28 x= 56 се навистина еквивалентни.

Да се ​​реши равенката 3x+ 9x+ 16x= 56 Користивме еден од нив - намалување на слични термини. Правилната идентитетска трансформација на равенката ни овозможи да ја добиеме еквивалентната равенка 28 x= 56, што е полесно да се реши.

Од идентичните трансформации, во моментов знаеме само да ги намалиме дропките, да донесеме слични поими, да го поместиме заедничкиот фактор надвор од заградите, а исто така да отвориме загради. Постојат и други конверзии за кои треба да знаете. Но, за општа идеја за идентични трансформации на равенките, темите што ги проучувавме се сосема доволни.

Да разгледаме некои трансформации кои ни овозможуваат да ја добиеме еквивалентната равенка

Ако додадете ист број на двете страни на равенката, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената.

и слично:

Ако од двете страни на равенката одземете ист број, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената.

Со други зборови, коренот на равенката нема да се промени ако истиот број се додаде (или се одземе од двете страни) на истиот број.

Пример 1. Решете ја равенката

Одземете 10 од двете страни на равенката



Добивме равенка 5 x= 10 . Имаме работа со компонентите на множење. Да се ​​најде непознат фактор x, треба да го поделите производот 10 со познатиот фактор 5.

и замена xпронајдена вредност 2



Ја добивме точната нумеричка еднаквост. Ова значи дека равенката е решена правилно.

Решавање на равенката го одзедовме бројот 10 од двете страни на равенката. Како резултат на тоа, добивме еквивалентна равенка. Коренот на оваа равенка, како равенката исто така е еднакво на 2

Пример 2. Реши ја равенката 4 ( x+ 3) = 16

Одземете го бројот 12 од двете страни на равенката

На левата страна ќе останат 4 x, а на десната страна бројот 4

Добивме равенка 4 x= 4. Имаме работа со компонентите на множење. Да се ​​најде непознат фактор x, треба да го поделите производот 4 со познатиот фактор 4

Да се ​​вратиме на првобитната равенка 4( x+ 3) = 16 и замена xпронајдена вредност 1



Ја добивме точната нумеричка еднаквост. Ова значи дека равенката е решена правилно.

Решавање на равенката 4 ( x+ 3) = 16 го одзедовме бројот 12 од двете страни на равенката. Како резултат на тоа, ја добивме еквивалентната равенка 4 x= 4. Коренот на оваа равенка, како равенката 4 ( x+ 3) = 16 е исто така еднакво на 1

Пример 3. Решете ја равенката

Ајде да ги прошириме заградите од левата страна на равенката:

Додадете го бројот 8 на двете страни од равенката

Дозволете ни да претставиме слични поими од двете страни на равенката:

На левата страна ќе останат 2 x, а на десната страна бројот 9

Во добиената равенка 2 x= 9 го изразуваме непознатиот поим x

Да се ​​вратиме на првобитната равенка и замена xпронајдена вредност 4,5



Ја добивме точната нумеричка еднаквост. Ова значи дека равенката е решена правилно.

Решавање на равенката на двете страни на равенката го додадовме бројот 8. Како резултат на тоа, добивме еквивалентна равенка. Коренот на оваа равенка, како равенката исто така еднакво на 4,5

Следното правило кое ни овозможува да добиеме еквивалентна равенка е следново

Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената.

Односно, коренот на равенката нема да се промени ако поместуваме член од еден дел од равенката во друг, менувајќи го неговиот знак. Ова својство е едно од важните и едно од често користените при решавање равенки.

Размислете за следнава равенка:

Коренот на оваа равенка е еднаков на 2. Да замениме xовој корен и проверете дали бројното равенство е точно



Резултатот е правилна еднаквост. Ова значи дека бројот 2 е навистина коренот на равенката.

Сега да се обидеме да експериментираме со условите на оваа равенка, преместувајќи ги од еден дел во друг, менувајќи ги знаците.

На пример, терминот 3 xсе наоѓа на левата страна од равенката. Ајде да го преместиме на десната страна, менувајќи го знакот на спротивната страна:



Резултатот е равенка 12 = 9x − 3x . на десната страна на оваа равенка:



xе непознат фактор. Ајде да го најдеме овој добро познат фактор:

Од тука x= 2. Како што можете да видите, коренот на равенката не е променет. Значи равенките се 12 + 3 x = 9xИ 12 = 9x − 3x се еквивалентни.

Всушност, оваа трансформација е поедноставен метод на претходната трансформација, каде што истиот број е додаден (или одземен) на двете страни на равенката.

Тоа го кажавме во равенката 12 + 3 x = 9xтермин 3 xбеше преместена на десната страна, менувајќи го знакот. Во реалноста, се случи следново: членот 3 беше одземен од двете страни на равенката x



Потоа беа дадени слични поими на левата страна и беше добиена равенката 12 = 9x − 3x. Потоа повторно беа дадени слични поими, но на десната страна и се доби равенката 12 = 6 x.

Но, таканаречениот „превод“ е попогоден за такви равенки, поради што стана толку широко распространет. Кога решаваме равенки, често ќе ја користиме оваа конкретна трансформација.

Равенките 12 + 3 се исто така еквивалентни x= 9xИ 3x− 9x= −12 . Овој пат равенката е 12 + 3 x= 9xтерминот 12 беше преместен на десната страна, а терминот 9 xна лево. Не треба да заборавиме дека знаците на овие услови беа сменети при трансферот



Следното правило што ни овозможува да добиеме еквивалентна равенка е следново:

Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број, не еднаков на нула, се добива равенка еквивалентна на дадената.

Со други зборови, корените на равенката нема да се променат ако двете страни се помножат или поделат со ист број. Ова дејство често се користи кога треба да решите равенка што содржи фракциони изрази.

Прво, да погледнеме примери во кои двете страни на равенката ќе се помножат со ист број.

Пример 1. Решете ја равенката

При решавање на равенки кои содржат фракциони изрази, вообичаено е прво да се поедностави равенката.

Во овој случај, ние се занимаваме со токму таква равенка. За да се поедностави оваа равенка, двете страни може да се помножат со 8:



Се сеќаваме дека за , треба да го помножиме броителот на дадена дропка со овој број. Имаме две дропки и секоја од нив се множи со бројот 8. Наша задача е да ги помножиме броителите на дропките со овој број 8



Сега се случува интересниот дел. Броителите и именителот на двете дропки содржат фактор 8, кој може да се намали за 8. Ова ќе ни овозможи да се ослободиме од фракциониот израз:



Како резултат на тоа, останува наједноставната равенка

Па, не е тешко да се погоди дека коренот на оваа равенка е 4

xпронајдена вредност 4



Резултатот е правилна нумеричка еднаквост. Ова значи дека равенката е решена правилно.

Кога ја решававме оваа равенка, ги помноживме двете страни со 8. Како резултат на тоа, ја добивме равенката. Коренот на оваа равенка, како и равенката, е 4. Тоа значи дека овие равенки се еквивалентни.

Факторот со кој се множат двете страни на равенката обично се пишува пред делот од равенката, а не после него. Значи, решавајќи ја равенката, ги помноживме двете страни со фактор 8 и го добивме следниот запис:



Ова не го смени коренот на равенката, но ако го правевме ова додека бевме на училиште, ќе бевме укорени, бидејќи во алгебрата е вообичаено да се пишува фактор пред изразот со кој се множи. Затоа, препорачливо е да се преработи множењето на двете страни на равенката со фактор 8 на следниов начин:



Пример 2. Решете ја равенката



На левата страна, факторите од 15 може да се намалат за 15, а на десната страна, факторите од 15 и 5 може да се намалат за 5



Ајде да ги отвориме заградите од десната страна на равенката:

Да го преместиме терминот xод левата страна на равенката на десната страна, менувајќи го знакот. И го поместуваме членот 15 од десната страна на равенката на левата страна, повторно менувајќи го знакот:

Прикажуваме слични термини од двете страни, добиваме

Имаме работа со компонентите на множење. Променлива x

Да се ​​вратиме на првобитната равенка и замена xпронајдена вредност 5



Резултатот е правилна нумеричка еднаквост. Ова значи дека равенката е решена правилно. Кога ја решававме оваа равенка, ги помноживме двете страни со 15. Понатамошно извршување на идентични трансформации, ја добивме равенката 10 = 2 x. Коренот на оваа равенка, како равенката е еднакво на 5. Ова значи дека овие равенки се еквивалентни.

Пример 3. Решете ја равенката



На левата страна можете да намалите две тројки, а десната страна ќе биде еднаква на 18



Останува наједноставната равенка. Имаме работа со компонентите на множење. Променлива xе непознат фактор. Ајде да го најдеме овој добро познат фактор:

Да се ​​вратиме на првобитната равенка и да замениме xпронајдена вредност 9

Резултатот е правилна нумеричка еднаквост. Ова значи дека равенката е решена правилно.

Пример 4. Решете ја равенката

Помножете ги двете страни на равенката со 6



Ајде да ги отвориме заградите од левата страна на равенката. На десната страна, факторот 6 може да се подигне до броителот:



Да го намалиме она што може да се намали од двете страни на равенките:



Ајде да го преработиме она што ни остана:

Да го искористиме преносот на термините. Услови што го содржат непознатото x, групираме на левата страна на равенката, а поимите без непознати - на десната:

Да претставиме слични термини во двата дела:



Сега да ја најдеме вредноста на променливата x. За да го направите ова, поделете го производот 28 со познатиот фактор 7

Од тука x= 4.

Да се ​​вратиме на првобитната равенка и замена xпронајдена вредност 4



Резултатот е правилна нумеричка равенка. Ова значи дека равенката е решена правилно.

Пример 5. Решете ја равенката

Ајде да ги отвориме заградите од двете страни на равенката каде што е можно:

Помножете ги двете страни на равенката со 15

Ајде да ги отвориме заградите од двете страни на равенката:

Да го намалиме она што може да се намали од двете страни на равенката:



Ајде да го преработиме она што ни остана:

Ајде да ги прошириме заградите каде што е можно:

Да го искористиме преносот на термините. Ги групираме членовите што ја содржат непознатата на левата страна од равенката, а поимите без непознати на десната. Не заборавајте дека за време на трансферот, условите ги менуваат нивните знаци на спротивното:

Дозволете ни да претставиме слични поими од двете страни на равенката:



Ајде да ја најдеме вредноста x

Добиениот одговор може да се подели на цел дел:



Да се ​​вратиме на првобитната равенка и да замениме xпронајдена вредност



Излегува дека е прилично тежок израз. Ајде да користиме променливи. Ајде да ја ставиме левата страна на еднаквоста во променлива А, и десната страна на еднаквоста во променлива Б



Наша задача е да се увериме дали левата страна е еднаква на десната. Со други зборови, докажете ја еднаквоста A = B

Да ја најдеме вредноста на изразот во променливата А.



Променлива вредност Аеднакви . Сега да ја најдеме вредноста на променливата Б. Тоа е, вредноста на десната страна на нашата еднаквост. Ако е исто така еднаква, тогаш равенката ќе се реши правилно



Гледаме дека вредноста на променливата Б, како и вредноста на променливата А е . Ова значи дека левата страна е еднаква на десната страна. Од ова заклучуваме дека равенката е правилно решена.

Сега да се обидеме да не ги помножиме двете страни на равенката со ист број, туку да делиме.

Размислете за равенката 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Ајде да го решиме користејќи го вообичаениот метод: групираме поими што содржат непознати на левата страна од равенката, а термините без непознати - на десната. Следно, извршувајќи ги познатите идентитетски трансформации, ја наоѓаме вредноста x



Наместо тоа, да ја замениме пронајдената вредност 2 xво оригиналната равенка:



Сега да се обидеме да ги одвоиме сите поими од равенката 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Забележуваме дека сите членови од оваа равенка имаат заеднички фактор 2. Секој член го делиме со него:

Ајде да извршиме намалување во секој термин:



Ајде да го преработиме она што ни остана:

Ајде да ја решиме оваа равенка користејќи ги добро познатите трансформации на идентитетот:



Добивме корен 2. Значи равенките 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 И 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 се еквивалентни.

Поделувањето на двете страни на равенката со ист број ви овозможува да ја отстраните непознатата од коефициентот. Во претходниот пример кога ја добивме равенката 7 x= 14, требаше да го поделиме производот 14 со познатиот фактор 7. Но, ако го ослободивме непознатото од факторот 7 на левата страна, коренот веднаш ќе беше пронајден. За да го направите ова, доволно беше да се поделат двете страни со 7

Овој метод исто така ќе го користиме често.

Множење со минус еден

Ако двете страни на равенката се помножат со минус еден, добивате равенка еквивалентна на оваа.

Ова правило произлегува од фактот дека множењето (или делењето) на двете страни на равенката со ист број не го менува коренот на дадената равенка. Ова значи дека коренот нема да се промени ако двата негови дела се помножат со -1.

Ова правило ви овозможува да ги промените знаците на сите компоненти вклучени во равенката. За што е? Повторно, да се добие еквивалентна равенка што е полесно да се реши.

Размислете за равенката. Кој е коренот на оваа равенка?

Додадете го бројот 5 на двете страни од равенката

Ајде да погледнеме слични термини:



Сега да се потсетиме на. Која е левата страна на равенката? Ова е производ на минус еден и променлива x

Односно знакот минус пред променливата xне се однесува на самата променлива x, но на еден, кој не го гледаме, бидејќи коефициентот 1 обично не се запишува. Ова значи дека равенката всушност изгледа вака:

Имаме работа со компонентите на множење. Да најде X, треба да го поделите производот −5 со познатиот фактор −1.

или поделете ги двете страни на равенката со −1, што е уште поедноставно



Значи, коренот на равенката е 5. За да провериме, ајде да го замениме во оригиналната равенка. Не заборавајте дека во оригиналната равенка минусот е пред променливата xсе однесува на невидлива единица



Резултатот е правилна нумеричка равенка. Ова значи дека равенката е решена правилно.

Сега да се обидеме да ги помножиме двете страни на равенката со минус еден:

По отворањето на заградите, изразот се формира на левата страна, а десната страна ќе биде еднаква на 10

Коренот на оваа равенка, како и равенката, е 5



Ова значи дека равенките се еквивалентни.

Пример 2. Решете ја равенката

Во оваа равенка, сите компоненти се негативни. Поудобно е да се работи со позитивни компоненти отколку со негативни, па ајде да ги промениме знаците на сите компоненти вклучени во равенката. За да го направите ова, помножете ги двете страни на оваа равенка со -1.

Јасно е дека кога ќе се помножи со -1, секој број ќе го промени својот знак во спротивен. Затоа, постапката на множење со −1 и отворање на заградите не е детално опишана, туку веднаш се запишуваат компонентите на равенката со спротивни знаци.

Така, множењето на равенката со −1 може детално да се запише на следниов начин:



или едноставно можете да ги промените знаците на сите компоненти:



Резултатот ќе биде ист, но разликата ќе биде во тоа што ќе заштедиме време.

Значи, множејќи ги двете страни на равенката со −1, ја добиваме равенката. Ајде да ја решиме оваа равенка. Одземете 4 од двете страни и поделете ги двете страни со 3



Кога ќе се најде коренот, променливата обично се пишува на левата страна, а нејзината вредност на десната, што е она што го направивме.

Пример 3. Решете ја равенката

Да ги помножиме двете страни на равенката со −1. Тогаш сите компоненти ќе ги променат своите знаци во спротивни:



Одземете 2 од двете страни на добиената равенка xи наведете слични термини:



Да додадеме една на двете страни на равенката и да дадеме слични поими:

Изедначување на нула

Неодамна дознавме дека ако поместиме член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак, ќе добиеме равенка еквивалентна на дадената.

Што се случува ако се преселите од еден дел во друг не само еден термин, туку сите поими? Така е, во делот каде што се одземени сите термини ќе остане нула. Со други зборови, нема да остане ништо.

Како пример, разгледајте ја равенката. Ајде да ја решиме оваа равенка како и обично - ќе ги групираме поимите што содржат непознати во едниот дел, а нумеричките членови ќе ги оставиме без непознати во другиот. Следно, извршувајќи ги познатите идентитетски трансформации, ја наоѓаме вредноста на променливата x



Сега да се обидеме да ја решиме истата равенка со изедначување на сите нејзини компоненти на нула. За да го направите ова, ги преместуваме сите термини од десната страна налево, менувајќи ги знаците:



Да ги претставиме сличните термини на левата страна:



Додадете 77 на двете страни и поделете ги двете страни со 7

Алтернатива на правилата за пронаоѓање непознати

Очигледно, знаејќи за идентични трансформации на равенките, не мора да ги запомнувате правилата за наоѓање непознати.

На пример, за да ја пронајдеме непознатата во равенка, го поделивме производот 10 со познатиот фактор 2

Но, ако ги поделите двете страни на равенката со 2, коренот ќе се најде веднаш. На левата страна од равенката во броителот факторот 2, а во именителот факторот 2 ќе се намали за 2. А десната страна ќе биде еднаква на 5

Решивме равенки на формата со изразување на непознатиот член:

Но, можете да ги користите идентичните трансформации што ги проучувавме денес. Во равенката, членот 4 може да се помести на десната страна со менување на знакот:

На левата страна од равенката, две двојки ќе се поништат. Десната страна ќе биде еднаква на 2. Оттука .

Или може да одземе 4 од двете страни на равенката. Тогаш ќе го добиеш следново:



Во случај на равенки на формата, попогодно е да се подели производот со познат фактор. Ајде да ги споредиме двете решенија:



Првото решение е многу пократко и уредно. Второто решение може значително да се скрати ако ја направите поделбата во вашата глава.

Сепак, неопходно е да се знаат двата методи и дури потоа да се користи оној што го претпочитате.

Кога има неколку корени

Равенката може да има повеќе корени. На пример равенката x(x+ 9) = 0 има два корени: 0 и −9.



Во равенка. x(x+ 9) = 0 беше потребно да се најде таква вредност xпри што левата страна би била еднаква на нула. Левата страна на оваа равенка ги содржи изразите xИ (x+9), кои се фактори. Од законите за производи знаеме дека производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула (или првиот фактор или вториот).

Тоа е, во равенка. x(x+ 9) = 0 еднаквост ќе се постигне ако xќе биде еднаква на нула или (x+9)ќе биде еднаква на нула.

x= 0 или x + 9 = 0

Со поставување на двата од овие изрази на нула, можеме да ги најдеме корените на равенката x(x+ 9) = 0. Првиот корен, како што може да се види од примерот, беше пронајден веднаш. За да го пронајдете вториот корен треба да ја решите елементарната равенка x+ 9 = 0. Лесно е да се погоди дека коренот на оваа равенка е −9. Проверката покажува дека коренот е точен:

−9 + 9 = 0

Пример 2. Решете ја равенката

Оваа равенка има два корени: 1 и 2. Левата страна на равенката е производ на изразите ( x− 1) и ( x− 2) . И производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула (или факторот ( x− 1) или фактор ( x − 2) ).

Ајде да најдеме вакво нешто xпод кои изразите ( x− 1) или ( x− 2) стане нула:



Пронајдените вредности ги заменуваме една по една во оригиналната равенка и се уверуваме дека за овие вредности левата страна е еднаква на нула:



Кога има бескрајно многу корени

Равенката може да има бесконечно многу корени. Односно, со замена на кој било број во таква равенка, ја добиваме точната нумеричка еднаквост.

Пример 1. Решете ја равенката

Коренот на оваа равенка е кој било број. Ако ги отворите заградите на левата страна на равенката и додадете слични членови, ќе ја добиете еднаквоста 14 = 14. Оваа еднаквост ќе се добие за било кој x



Пример 2. Решете ја равенката

Коренот на оваа равенка е кој било број. Ако ги отворите заградите од левата страна на равенката, ќе ја добиете еднаквоста 10x + 12 = 10x + 12. Оваа еднаквост ќе се добие за било кој x

Кога нема корени

Се случува и равенката воопшто да нема решенија, односно да нема корени. На пример, равенката нема корени, бидејќи за која било вредност x, левата страна на равенката нема да биде еднаква на десната страна. На пример, нека . Тогаш равенката ќе ја добие следната форма



Пример 2. Решете ја равенката

Ајде да ги прошириме заградите од левата страна на равенката:

Ајде да погледнеме слични термини:



Гледаме дека левата страна не е еднаква на десната страна. И ова ќе биде случај за секоја вредност. y. На пример, нека y = 3 .



Равенки со букви

Равенката може да содржи не само броеви со променливи, туку и букви.

На пример, формулата за наоѓање брзина е буквална равенка:

Оваа равенка ја опишува брзината на телото при рамномерно забрзано движење.

Корисна вештина е способноста да се изрази која било компонента вклучена во равенката на буквите. На пример, за да го одредите растојанието од равенката, треба да ја изразите променливата с .

Помножете ги двете страни на равенката со т



Променливи на десната страна тајде да го намалиме т



Во добиената равенка, ги заменуваме левата и десната страна:



Имаме формула за наоѓање на растојанието, која ја проучувавме претходно.

Ајде да се обидеме да го одредиме времето од равенката. За да го направите ова, треба да ја изразите променливата т .

Помножете ги двете страни на равенката со т



Променливи на десната страна тајде да го намалиме ти повторно напишете го она што ни остана:



Во добиената равенка v×t = sподелете ги двата дела на v

Променливи лево vајде да го намалиме vи повторно напишете го она што ни остана:

Ја имаме формулата за одредување на времето, која ја проучувавме претходно.

Да претпоставиме дека брзината на возот е 50 km/h

v= 50 km/h

А растојанието е 100 км

с= 100 км

Тогаш писмото ќе ја добие следната форма

Времето може да се најде од оваа равенка. За да го направите ова, треба да можете да ја изразите променливата т. Можете да го користите правилото за наоѓање непознат делител со делење на дивидендата со количникот и со тоа да ја одредите вредноста на променливата т

или можете да користите идентични трансформации. Прво помножете ги двете страни на равенката со т



Потоа поделете ги двете страни по 50



Пример 2 x

Одземете од двете страни на равенката а



Ајде да ги поделиме двете страни на равенката со б



a + bx = c, тогаш ќе имаме готово решение. Ќе биде доволно да се заменат потребните вредности во него. Оние вредности што ќе бидат заменети со буквите а, б, вобично се нарекува параметри. И равенки на формата a + bx = cповикани равенка со параметри. Во зависност од параметрите, коренот ќе се промени.

Да ја решиме равенката 2 + 4 x= 10 . Изгледа како равенка на букви a + bx = c. Наместо да вршиме идентични трансформации, можеме да користиме готово решение. Ајде да ги споредиме двете решенија:



Гледаме дека второто решение е многу поедноставно и пократко.

За готово решение потребно е да се направи мала забелешка. Параметар бне смее да биде нула (b ≠ 0), бидејќи е дозволено делење со нула со.

Пример 3. Дадена е буквална равенка. Изрази од оваа равенка x

Ајде да ги отвориме заградите од двете страни на равенката

Да го искористиме преносот на термините. Параметри кои содржат променлива x, групираме на левата страна на равенката, а параметрите ослободени од оваа променлива - на десната страна.

На левата страна го вадиме факторот од загради x

Ајде да ги поделиме двете страни по изразот a − b



На левата страна, броителот и именителот може да се намалат за a − b. Вака конечно се изразува променливата x



Сега, ако наидеме на равенка на формата a(x − c) = b(x + d), тогаш ќе имаме готово решение. Ќе биде доволно да се заменат потребните вредности во него.

Да речеме дека ни е дадена равенката 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Тоа е како равенка a(x − c) = b(x + d). Ајде да го решиме на два начина: со користење на идентични трансформации и користење на готово решение:

За погодност, да го извадиме од равенката 4(x− 3) = 2(x+ 4) вредности на параметрите а, б, в, г . Ова ќе ни овозможи да не направиме грешка при замена:



Како и во претходниот пример, именителот овде не треба да биде еднаков на нула ( a − b ≠ 0) . Ако наидеме на равенка на формата a(x − c) = b(x + d)во кои параметрите аИ бќе биде исто, без да го решиме можеме да кажеме дека оваа равенка нема корени, бидејќи разликата помеѓу идентични броеви е нула.

На пример, равенката 2 (x − 3) = 2 (x + 4)е равенка на формата a(x − c) = b(x + d). Во равенка. 2 (x − 3) = 2 (x + 4)опции аИ бисто. Ако почнеме да го решаваме, ќе дојдеме до заклучок дека левата страна нема да биде еднаква на десната страна:



Пример 4. Дадена е буквална равенка. Изрази од оваа равенка x

Да ја доведеме левата страна на равенката до заеднички именител:

Помножете ги двете страни со а



На левата страна xајде да го ставиме надвор од загради



Поделете ги двете страни со изразот (1 − а)



Линеарни равенки со една непозната

Се нарекуваат равенките што се дискутирани во оваа лекција линеарни равенки од прв степен со една непозната.

Ако равенката е дадена во прв степен, не содржи делење со непознатото, а исто така не содржи корени од непознатото, тогаш може да се нарече линеарна. Сè уште не сме ги проучувале моќите и корените, па за да не ги комплицираме нашите животи, зборот „линеарен“ ќе го разбереме како „едноставен“.

Повеќето од равенките решени во оваа лекција на крајот дојдоа до едноставна равенка во која требаше да го поделите производот со познат фактор. На пример, ова е равенката 2 ( x+ 3) = 16 . Ајде да го решиме.

Ајде да ги отвориме заградите од левата страна на равенката, добиваме 2 x+ 6 = 16. Да го преместиме терминот 6 на десната страна, менувајќи го знакот. Потоа добиваме 2 x= 16 − 6. Пресметај ја десната страна, добиваме 2 x= 10. Да се ​​најде x, поделете го производот 10 со познатиот фактор 2. Оттука x = 5.

Равенка 2 ( x+ 3) = 16 е линеарна. Се сведува на равенката 2 x= 10, за да се најде коренот на кој беше неопходно да се подели производот со познат фактор. Оваа наједноставна равенка се нарекува линеарна равенка од прв степен со една непозната во канонска форма. Зборот „канонски“ е синоним за зборовите „едноставен“ или „нормален“.

Линеарна равенка од прв степен со една непозната во канонска форма се нарекува равенка на формата секира = б.

Нашата добиена равенка 2 x= 10 е линеарна равенка од прв степен со една непозната во канонска форма. Оваа равенка има прв степен, една непозната, не содржи делење со непознатото и не содржи корени од непознатото, а е претставена во канонска форма, односно во наједноставна форма во која лесно може да се одреди вредноста x. Наместо параметри аИ бнашата равенка ги содржи броевите 2 и 10. Но, таквата равенка може да содржи и други броеви: позитивни, негативни или еднакви на нула.

Ако во линеарна равенка а= 0 и б= 0, тогаш равенката има бесконечно многу корени. Навистина, ако аеднакво на нула и бе еднакво на нула, а потоа линеарната равенка секира= бќе добие форма 0 x= 0. За секоја вредност xлевата страна ќе биде еднаква на десната страна.

Ако во линеарна равенка а= 0 и б≠ 0, тогаш равенката нема корени. Навистина, ако аеднакво на нула и бе еднаков на некој број што не е еднаков на нула, да речеме бројот 5, па равенката секира = бќе добие форма 0 x= 5 . Левата страна ќе биде нула, а десната страна пет. И нула не е еднаква на пет.

Ако во линеарна равенка а≠ 0, и бе еднаков на кој било број, тогаш равенката има еден корен. Се одредува со делење на параметарот бпо параметар а

Навистина, ако аеднаков на некој број кој не е нула, кажете го бројот 3 и беднаков на некој број, кажете го бројот 6, тогаш равенката ќе добие форма.
Од тука.

Постои уште една форма на пишување линеарна равенка од прв степен со една непозната. Изгледа вака: ax−b= 0. Ова е истата равенка како секира = б

Дали ви се допадна лекцијата?
Придружете се на нашата нова група VKontakte и започнете да добивате известувања за нови лекции