За да се чувствувате сигурни и успешно да ги решавате проблемите на часовите по геометрија, не е доволно да ги научите формулите. Прво треба да се разберат. Да се плашиш, а уште повеќе да мразиш формули, е непродуктивно. Оваа статија ќе анализира на достапен јазик различни начини за наоѓање на областа на трапезоид. За подобро да ги разбереме соодветните правила и теореми, ќе обрнеме малку внимание на неговите својства. Ова ќе ви помогне да разберете како функционираат правилата и во кои случаи треба да се применат одредени формули.
Дефинирање на трапезоид
Каков вид на фигура е ова генерално? Трапез е многуаголник со четири агли и две паралелни страни. Другите две страни на трапезоидот можат да бидат наклонети под различни агли. Неговите паралелни страни се нарекуваат основи, а за непаралелни страни се користи името „страни“ или „колкови“. Ваквите бројки се доста чести во секојдневниот живот. Контурите на трапезоидот може да се видат во силуетите на облеката, предметите за внатрешни работи, мебелот, садовите и многу други. Постојат различни видови на трапез: скален, рамностран и правоаголен. Ќе ги испитаме нивните типови и својства подетално подоцна во статијата.
Својства на трапез
Дозволете ни да се задржиме накратко на својствата на оваа бројка. Збирот на аглите во непосредна близина на која било страна е секогаш 180°. Треба да се забележи дека сите агли на трапезоидот се собираат до 360 °. Трапезоидот има концепт на средна линија. Ако ги поврзете средните точки на страните со сегмент, ова ќе биде средната линија. Се означува м. Средната линија има важни својства: таа е секогаш паралелна со основите (се сеќаваме дека основите се исто така паралелни една со друга) и еднаква на нивната полу-збир:
Оваа дефиниција мора да се научи и разбере, бидејќи таа е клучот за решавање на многу проблеми!
Со трапез, секогаш можете да ја спуштите висината до основата. Висината е нормална, често означена со симболот h, која се црта од која било точка на една основа до друга основа или нејзино продолжување. Средната линија и висината ќе ви помогнат да ја пронајдете областа на трапезоидот. Ваквите проблеми се најчести на курсот по училишна геометрија и редовно се појавуваат меѓу тестовите и испитните трудови.
Наједноставните формули за површината на трапезоидот
Ајде да ги погледнеме двете најпопуларни и едноставни формули што се користат за да се најде површината на трапез. Доволно е да ја помножите висината со половина од збирот на основите за лесно да го најдете тоа што го барате:
S = h*(a + b)/2.
Во оваа формула, a, b ги означуваат основите на трапезот, h - висината. За полесно согледување, во овој напис, знаците за множење се означени со симбол (*) во формулите, иако во официјалните референтни книги знакот за множење обично се испушта.
Ајде да погледнеме на пример.
Дадено: трапез со две основи еднакви на 10 и 14 см, висината е 7 см. Колкава е плоштината на трапезот?
Ајде да го разгледаме решението за овој проблем. Користејќи ја оваа формула, прво треба да ја пронајдете полу-збирот на основите: (10+14)/2 = 12. Значи, полусумата е еднаква на 12 cm. Сега ја множиме полузбирот со висината: 12*7 = 84. Она што го бараме е пронајдено. Одговор: Површината на трапезоидот е 84 квадратни метри. цм.
Втората добро позната формула вели: површината на трапезот е еднаква на производот на средната линија и висината на трапезот. Односно, тоа всушност произлегува од претходниот концепт на средната линија: S=m*h.
Користење на дијагонали за пресметки
Друг начин да се најде областа на трапезот всушност не е толку комплициран. Тој е поврзан со неговите дијагонали. Користејќи ја оваа формула, за да ја пронајдете областа, треба да го помножите полупроизводот на неговите дијагонали (d 1 d 2) со синусот на аголот меѓу нив:
S = ½ d 1 d 2 грев а.
Да разгледаме проблем што ја покажува примената на овој метод. Даден е: трапез со должина на дијагоналите еднаква на 8 и 13 cm соодветно.Аголот a помеѓу дијагоналите е 30°. Најдете ја областа на трапезоидот.
Решение. Користејќи ја горната формула, лесно е да се пресмета што е потребно. Како што знаете, гревот 30° е 0,5. Затоа, S = 8*13*0,5=52. Одговор: површината е 52 квадратни метри. цм.
Наоѓање на областа на рамнокрак трапез
Трапез може да биде рамнокрак (рамнокрак). Неговите страни се исти и аглите на основите се еднакви, што е добро илустрирано со сликата. Рамнокрак трапез ги има истите својства како обичниот, плус голем број посебни. Околу рамнокрак трапез може да се ограни круг, а во него може да се впише круг.
Кои методи постојат за пресметување на површината на таква бројка? Методот подолу ќе бара многу пресметки. За да го користите, треба да ги знаете вредностите на синусот (гревот) и косинус (cos) на аголот во основата на трапезоидот. За да ги пресметате, потребни ви се или табели на Брадис или инженерски калкулатор. Еве ја формулата:
S= в*грев а*(а - в*кос а),
Каде Со- странично бедро, а- агол на долната основа.
Рамностран трапез има дијагонали со еднаква должина. И обратното е точно: ако трапезот има еднакви дијагонали, тогаш тој е рамнокрак. Оттука следнава формула ќе помогне да се најде плоштината на трапезот - половина производ од квадратот на дијагоналите и синусот на аголот меѓу нив: S = ½ d 2 грев а.
Наоѓање на областа на правоаголен трапез
Познат е посебен случај на правоаголен трапез. Ова е трапез, во кој едната страна (неговото бедро) се граничи со основите под прав агол. Има својства на обичен трапез. Покрај тоа, има многу интересна карактеристика. Разликата во квадратите на дијагоналите на таков трапез е еднаква на разликата во квадратите на неговите основи. За него се користат сите претходно опишани методи за пресметување на површината.
Ние користиме генијалност
Постои еден трик кој може да ви помогне доколку заборавите на конкретни формули. Ајде внимателно да погледнеме што е трапезоид. Ако ментално го поделиме на делови, ќе добиеме познати и разбирливи геометриски форми: квадрат или правоаголник и триаголник (еден или два). Ако висината и страните на трапезот се познати, можете да ги користите формулите за плоштина на триаголник и правоаголник, а потоа да ги соберете сите добиени вредности.
Да го илустрираме ова со следниот пример. Даден е правоаголен трапез. Агол C = 45°, аглите A, D се 90°. Горната основа на трапезоидот е 20 см, висината е 16 см. Треба да ја пресметате површината на фигурата.
Оваа бројка очигледно се состои од правоаголник (ако два агли се еднакви на 90°) и триаголник. Бидејќи трапезот е правоаголен, значи, неговата висина е еднаква на неговата страна, односно 16 см. Имаме правоаголник со страни од 20 и 16 см, соодветно. Сега разгледајте триаголник чиј агол е 45°. Знаеме дека едната негова страна е 16 см.. Бидејќи оваа страна е и висината на трапезот (а знаеме дека висината се спушта до основата под прав агол), затоа, вториот агол на триаголникот е 90°. Оттука, преостанатиот агол на триаголникот е 45°. Последица на ова е што добиваме правоаголен рамнокрак триаголник со две еднакви страни. Ова значи дека другата страна на триаголникот е еднаква на висината, односно 16 см. Останува да се пресмета површината на триаголникот и правоаголникот и да се додадат добиените вредности.
Плоштината на правоаголен триаголник е еднаква на половина од производот на неговите кати: S = (16*16)/2 = 128. Плоштината на правоаголникот е еднаква на производот на неговата ширина и должина: S = 20*16 = 320. Го најдовме потребното: површина на трапезот S = 128 + 320 = 448 кв. Видете.Можете лесно да се проверите повторно користејќи ги горенаведените формули, одговорот ќе биде идентичен.
Ја користиме формулата Pick
Конечно, ви претставуваме уште една оригинална формула која помага да се најде површината на трапезоидот. Тоа се нарекува Пик формула. Удобно е да се користи кога трапезоидот е нацртан на карирана хартија. Слични проблеми често се наоѓаат во материјалите на GIA. Изгледа вака:
S = M/2 + N - 1,
во оваа формула М е бројот на јазли, т.е. пресеци на линиите на сликата со линиите на ќелијата на границите на трапезоидот (портокалови точки на сликата), N е бројот на јазли внатре во фигурата (сини точки). Најпогодно е да се користи кога се наоѓа областа на неправилен многуаголник. Меѓутоа, колку е поголем арсеналот на употребени техники, толку помалку грешки и подобри резултати.
Се разбира, дадените информации не ги исцрпуваат типовите и својствата на трапезоидот, како и методите за пронаоѓање на неговата област. Оваа статија дава преглед на нејзините најважни карактеристики. Кога решавате геометриски проблеми, важно е да дејствувате постепено, да започнете со лесни формули и проблеми, доследно да го консолидирате вашето разбирање и да преминете на друго ниво на сложеност.
Собрани заедно, најчестите формули ќе им помогнат на учениците да се движат на различни начини за пресметување на површината на трапез и подобро да се подготват за тестови и задачи на оваа тема.
Практиката на минатогодишниот Единствен државен испит и државен испит покажува дека проблемите со геометријата предизвикуваат потешкотии за многу ученици. Можете лесно да се справите со нив ако ги запаметите сите потребни формули и вежбате да решавате проблеми.
Во оваа статија ќе видите формули за наоѓање на површината на трапезоид, како и примери на проблеми со решенија. Може да наидете на истите во KIM за време на испитите за сертификација или на олимпијадите. Затоа, третирајте ги внимателно.
Што треба да знаете за трапезоидот?
За почеток, да се потсетиме на тоа трапезоидсе нарекува четириаголник во кој две спротивни страни, наречени и основи, се паралелни, а другите две не се.
Во трапез, висината (нормална на основата) исто така може да се намали. Средната линија е нацртана - ова е права линија која е паралелна со основите и еднаква на половина од нивниот збир. Како и дијагонали кои можат да се сечат, формирајќи остри и тапи агли. Или, во некои случаи, под прав агол. Дополнително, ако трапезот е рамнокрак, во него може да се впише круг. И опишете круг околу него.
Формули за трапезоидна област
Прво, да ги погледнеме стандардните формули за наоѓање на површината на трапезоид. Подолу ќе ги разгледаме начините за пресметување на плоштината на рамнокраки и криволиниски трапезоиди.
Значи, замислете дека имате трапез со основи a и b, во која висината h е спуштена до поголемата основа. Пресметувањето на површината на фигурата во овој случај е лесно како гранатирање круши. Треба само да го поделите збирот на должините на основите за два и да го помножите резултатот со висината: S = 1/2(a + b)*h.
Да земеме друг случај: да претпоставиме дека во трапез, покрај висината, има и средна линија m. Ја знаеме формулата за наоѓање на должината на средната линија: m = 1/2(a + b). Затоа, со право можеме да ја поедноставиме формулата за површината на трапез во следната форма: S = m*h. Со други зборови, за да ја пронајдете површината на трапезоидот, треба да ја помножите централната линија со висината.
Да разгледаме уште една опција: трапезоидот содржи дијагонали d 1 и d 2, кои не се сечат под прав агол α. За да ја пресметате површината на таков трапез, треба да го поделите производот на дијагоналите со два и да го помножите резултатот со гревот на аголот меѓу нив: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Сега разгледајте ја формулата за наоѓање плоштина на трапез ако ништо не се знае за него освен должината на сите негови страни: a, b, c и d. Ова е незгодна и сложена формула, но ќе ви биде корисно да ја запомните за секој случај: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Патем, горенаведените примери важат и за случајот кога ви треба формулата за плоштина на правоаголен трапез. Ова е трапез, чија страна се граничи со основите под прав агол.
Рамнокрак трапез
Трапез чии страни се еднакви се нарекува рамнокрак. Ќе разгледаме неколку опции за формулата за површината на рамнокрак трапез.
Прва опција: за случај кога круг со радиус r е впишан во рамнокрак трапез, а страничната и поголемата основа формираат остар агол α. Круг може да се впише во трапез под услов збирот на должините на неговите основи да е еднаков на збирот на должините на страните.
Површината на рамнокрак трапез се пресметува на следниов начин: помножете го квадратот на радиусот на впишаниот круг со четири и поделете го сето тоа со sinα: S = 4r 2 /sinα. Друга формула за површина е посебен случај за опцијата кога аголот помеѓу големата основа и страната е 30 0: S = 8r2.
Втора опција: овој пат земаме рамнокрак трапез, во кој дополнително се нацртани дијагоналите d 1 и d 2, како и висината h. Ако дијагоналите на трапезоидот се меѓусебно нормални, висината е половина од збирот на основите: h = 1/2(a + b). Знаејќи го ова, лесно е да се трансформира формулата за површината на трапезоид веќе позната за вас во оваа форма: S = h 2.
Формула за плоштина на заоблен трапез
Да почнеме со тоа што ќе откриеме што е заоблен трапез. Замислете координатна оска и график на континуирана и ненегативна функција f што не го менува знакот во дадена отсечка на оската x. Криволинеарен трапез се формира со графикот на функцијата y = f(x) - на врвот, оската x е на дното (сегмент), а на страните - прави линии повлечени помеѓу точките a и b и графикот на функцијата.
Невозможно е да се пресмета површината на таква нестандардна бројка користејќи ги горенаведените методи. Тука треба да примените математичка анализа и да го користите интегралот. Имено: формулата Њутн-Лајбниц - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Во оваа формула, F е антидериват на нашата функција на избраниот сегмент. И областа на криволинеарен трапез одговара на зголемувањето на антидериватот на даден сегмент.
Примерок проблеми
За да ги направите сите овие формули полесно да се разберат во вашата глава, еве неколку примери на проблеми за наоѓање на областа на трапез. Најдобро ќе биде ако прво се обидете сами да ги решите проблемите, па дури потоа да го споредите одговорот што ќе го добиете со готово решение.
Задача бр. 1:Даден е трапезоид. Неговата поголема основа е 11 cm, помалата е 4 cm. Трапезот има дијагонали, едната долга 12 см, втората 9 см.
Решение: Конструирај трапезоид АМРС. Нацртајте права линија РХ низ темето P така што таа да биде паралелна со дијагоналата MC и да ја пресече правата AC во точката X. Ќе добиете триаголник APХ.
Ќе разгледаме две фигури добиени како резултат на овие манипулации: триаголник APX и паралелограм CMRX.
Благодарение на паралелограмот, дознаваме дека PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Од каде можеме да ја пресметаме страната AX на триаголникот ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Можеме да докажеме и дека триаголникот APX е правоаголен (за да го направите ова, примени ја Питагоровата теорема - AX 2 = AP 2 + PX 2). И пресметајте ја неговата површина: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Следно, ќе треба да докажете дека триаголниците AMP и PCX се еднакви по површина. Основата ќе биде еднаквоста на страните MR и CX (веќе докажано погоре). И, исто така, висините што ги спуштате на овие страни - тие се еднакви на висината на трапезоидот AMRS.
Сето ова ќе ви овозможи да кажете дека S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Задача бр. 2:Даден е трапезот КРМС. На неговите странични страни има точки О и Е, додека ОЕ и КС се паралелни. Познато е и дека површините на трапезоидите ОРМЕ и ОКСЕ се во сооднос 1:5. RM = a и KS = b. Треба да најдете OE.
Решение: Нацртајте права паралелна на RK низ точката M и означете ја точката на нејзиното вкрстување со OE како T. A е точка на пресек на права повлечена низ точката E паралелна на RK со основата KS.
Ајде да воведеме уште една нотација - OE = x. И, исто така, висината h 1 за триаголникот TME и висината h 2 за триаголникот AEC (можете самостојно да ја докажете сличноста на овие триаголници).
Ќе претпоставиме дека b > a. Површините на трапезоидите ОРМЕ и ОКСЕ се во сооднос 1:5, што ни дава за право да ја создадеме следната равенка: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Да се трансформираме и да добиеме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Бидејќи триаголниците TME и AEC се слични, имаме h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Да ги комбинираме двата записи и да добиеме: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x) (b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Така, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Заклучок
Геометријата не е најлесната наука, но секако дека можете да се справите со испитните прашања. Доволно е да покажете малку упорност во подготовките. И, се разбира, запомнете ги сите потребни формули.
Се обидовме да ги собереме сите формули за пресметување на површината на трапезот на едно место за да можете да ги користите кога се подготвувате за испити и го ревидирате материјалот.
Не заборавајте да им кажете на вашите соученици и пријатели на социјалните мрежи за овој напис. Нека има уште добри оценки за Единствениот државен испит и државните испити!
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Овој калкулатор пресметал 2192 проблеми на тема „Површина на трапез“
ПОВРШИНА НА ТРАПЕЗОИД
Изберете ја формулата за пресметување на површината на трапезот што планирате да ја користите за да го решите проблемот што ви е доделен:
Општа теорија за пресметување на површината на трапез.
Трапез - Ова е рамна фигура која се состои од четири точки, од кои три не лежат на иста права, и четири отсечки (страни) што ги поврзуваат овие четири точки во парови, во кои две спротивни страни се паралелни (лежат на паралелни линии), а другите две не се паралелни.
Точките се нарекуваат темиња на трапез и се означени со големи латински букви.
Сегментите се нарекуваат трапезоидни страни и се означуваат со пар големи латински букви што одговараат на темињата што ги поврзуваат отсечките.
Се нарекуваат две паралелни страни на трапез трапезоидни основи .
Се нарекуваат две непаралелни страни на трапез страни на трапезоидот .
Слика бр. 1: Трапезоид ABCD
Слика бр. 1 го прикажува трапезот ABCD со темиња A, B, C, D и страните AB, BC, CD, DA.
AB ǁ DC - основи на трапез ABCD.
н.е., п.н.е. - странични страни на трапезоидот ABCD.
Аголот формиран од зраците AB и AD се нарекува агол на темето A. Се означува како ÐA или ÐBAD, или ÐDAB.
Аголот формиран од зраците BA и BC се нарекува агол на темето B. Се означува како ÐB или ÐABC, или ÐCBA.
Аголот формиран од зраците CB и CD се нарекува агол на теме C. Се означува како ÐC или ÐDCB, или ÐBCD.
Аголот формиран од зраците AD и CD се нарекува агол на теме D. Се означува како ÐD или ÐADC, или ÐCDA.
Слика бр. 2: Трапезоид ABCD
На слика 2, се нарекува сегментот MN што ги поврзува средните точки на страничните страни средната линија на трапезоидот.
Средината на трапезоидотпаралелно со основите и еднаков на нивната полузбир. Тоа е, 
.
Слика бр. 3: Рамнокрак трапез ABCD
На слика 3, AD=BC.
Трапезот се нарекува рамнокрак (рамнокрак), ако неговите страни се еднакви.
Слика бр. 4: Правоаголен трапез ABCD
На сликата бр. 4, аголот D е правилен (еднаков на 90°).
Трапезот се нарекува правоаголна,ако аголот на страната е исправен.
Областа S раменфигурите, кои го вклучуваат трапезоидот, се нарекуваат ограничен затворен простор на рамнината. Областа на рамна фигура ја покажува големината на оваа бројка.
Областа има неколку својства:
1. Не може да биде негативен.
2. Ако е дадена одредена затворена област на рамнината, која е составена од неколку фигури кои не се сечат една со друга (односно, фигурите немаат заеднички внатрешни точки, но можат добро да се допираат), тогаш плоштината на таква површина е еднаква на збирот на површините на нејзините составни бројки.
3. Ако две фигури се еднакви, тогаш нивните плоштини се еднакви.
4. Површината на квадрат, која е изградена на единичен сегмент, е еднаква на еден.
Зад единица мерења областземете ја плоштината на квадрат чија страна е еднаква на единица мерењасегменти.
При решавање на проблеми, често се користат следниве формули за пресметување на површината на трапезоидот:
1. Плоштината на трапезоидот е еднаква на половина од збирот на неговите основи помножен со неговата висина:
2. Плоштината на трапезот е еднаква на производот на неговата средна линија и неговата висина:
3. Со познати должини на основите и страните на трапезот, неговата површина може да се пресмета со формулата: 
4. Можно е да се пресмета плоштината на рамнокрак трапез со позната должина на радиусот на кругот впишан во трапезот и позната вредност на аголот во основата користејќи ја следната формула:
Пример 1:Пресметај ја плоштината на трапез со основи a=7, b=3 и висина h=15.
Решение:
Одговор:
Пример 2:Најдете ја страната на основата на трапез со плоштина S = 35 cm 2, висина h = 7 cm и втора основа b = 2 cm.
Решение:
За да ја пронајдеме страната на основата на трапезоидот, ја користиме формулата за пресметување на површината:
Да ја изразиме од оваа формула страната на основата на трапезот:
Така, го имаме следново:
Одговор:
Пример 3:Најдете ја висината на трапез со плоштина S = 17 cm 2 и основи a = 30 cm, b = 4 cm.
Решение:
За да ја пронајдеме висината на трапезоидот, ја користиме формулата за пресметување на површината:
Така, го имаме следново:
Одговор:
Пример 4:Пресметај ја плоштината на трапез со висина h=24 и централна линија m=5.
Решение:
За да ја пронајдеме плоштината на трапез, ја користиме следнава формула за пресметување на површината:
Така, го имаме следново:
Одговор:
Пример 5:Најдете ја висината на трапез со површина S = 48 cm 2 и централна линија m = 6 cm.
Решение:
За да ја пронајдеме висината на трапез, ја користиме формулата за пресметување на површината на трапез:
Да ја изразиме висината на трапезот од оваа формула:
Така, го имаме следново:
Одговор:
Пример 6:Најдете ја средната линија на трапез со плоштина S = 56 и висина h=4.
Решение:
За да ја пронајдеме средната линија на трапез, ја користиме формулата за пресметување на површината на трапезоидот:
Да ја изразиме средната линија на трапезот од оваа формула:
Така, го имаме следново.
Трапез е посебен вид четириаголник во кој две спротивни страни се паралелни една со друга, но другите две не се. Различни вистински предмети имаат трапезоидна форма, па можеби ќе треба да го пресметате периметарот на таква геометриска фигура за да ги решите секојдневните или училишните проблеми.
Трапезоидна геометрија
Трапез (од грчкиот „трапезион“ - табела) е фигура на рамнина ограничена со четири сегменти, од кои два се паралелни, а два не. Паралелните отсечки се нарекуваат основи на трапезот, а непаралелните отсечки се нарекуваат страни на сликата. Страните и нивните агли на наклон го одредуваат типот на трапез, кој може да биде скален, рамнокрак или правоаголен. Покрај основите и страните, трапезоидот има уште два елементи:
- висина - растојанието помеѓу паралелните основи на фигурата;
- средна линија - сегмент што ги поврзува средните точки на страните.
Оваа геометриска фигура е широко распространета во реалниот живот.
Трапез во реалноста
Во секојдневниот живот, многу вистински предмети добиваат трапезоидна форма. Можете лесно да најдете трапезоиди во следниве области на човековата активност:
- внатрешен дизајн и декор - софи, маси, ѕидови, теписи, суспендирани тавани;
- дизајн на пејзаж - граници на тревниците и вештачките акумулации, форми на декоративни елементи;
- мода - форма на облека, чевли и додатоци;
- архитектура - прозорци, ѕидови, темели на згради;
- производство - разни производи и делови.
Со таква широка употреба на трапезоиди, специјалистите често треба да го пресметаат периметарот на геометриската фигура.
Трапезоиден периметар
Периметарот на фигурата е нумеричка карактеристика која се пресметува како збир на должините на сите страни на n-аголникот. Трапезот е четириаголник и генерално сите негови страни имаат различни должини, така што периметарот се пресметува со формулата:
P = a + b + c + d,
каде што a и c се основите на сликата, b и d се нејзините страни.
Иако не треба да ја знаеме висината кога го пресметуваме периметарот на трапезоидот, кодот на калкулаторот бара внесување на оваа променлива. Бидејќи висината нема ефект врз пресметките, кога го користите нашиот онлајн калкулатор можете да внесете која било вредност на висината што е поголема од нула. Ајде да погледнеме неколку примери.
Примери од реалниот живот
Марамче
Да речеме дека имате шал во форма на трапез и сакате да го скратите со реси. Ќе треба да го знаете периметарот на шалот за да не купувате дополнителен материјал или двапати да одите во продавница. Нека вашата рамнокрака марама ги има следните параметри: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm. Ги внесуваме овие податоци во онлајн формуларот и го добиваме одговорот во форма:
Така, периметарот на шалот е 340 см, а точно толкава е должината на плетенката со реси за да ја завршите.
Падините
На пример, решивте да направите падини за нестандардни метално-пластични прозорци кои имаат трапезоидна форма. Таквите прозорци се широко користени во дизајнот на зградите, создавајќи состав од неколку појаси. Најчесто, таквите прозорци се направени во форма на правоаголен трапез. Ајде да дознаеме колку материјал е потребен за да се направат падините на таков прозорец. Стандарден прозорец ги има следните параметри a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Ги користиме овие податоци и го добиваме резултатот во форма
Според тоа, периметарот на трапезоиден прозорец е 390 см, а токму толку пластични панели ќе треба да купите за да ги формирате косините.
Заклучок
Трапезот е популарна фигура во секојдневниот живот, определувањето на чии параметри може да биде потребно во најнеочекуваните ситуации. Пресметувањето на трапезоидните периметри е неопходно за многу професионалци: од инженери и архитекти до дизајнери и механичари. Нашиот каталог на онлајн калкулатори ќе ви овозможи да вршите пресметки за какви било геометриски форми и тела.
Во математиката се познати повеќе видови четириаголници: квадрат, правоаголник, ромб, паралелограм. Меѓу нив има и трапез - еден вид конвексен четириаголник во кој двете страни се паралелни, а другите две не се. Паралелните спротивни страни се нарекуваат основи, а другите две се нарекуваат странични страни на трапезот. Отсечката што ги поврзува средните точки на страните се нарекува средна линија. Постојат неколку видови на трапезоиди: рамнокрак, правоаголни, криви. За секој тип на трапез постојат формули за пронаоѓање на областа.
Областа на трапезоид
За да ја пронајдете површината на трапезоидот, треба да ја знаете должината на неговите основи и висина. Висината на трапезот е отсечка нормална на основите. Нека горната основа е a, долната основа е b, а висината е h. Потоа можете да ја пресметате областа S користејќи ја формулата:
S = ½ * (a+b) * h
тие. земете половина од збирот на основите помножен со висината.
Исто така, ќе биде можно да се пресмета површината на трапезоидот ако се познати висината и централната линија. Да ја означиме средната линија - m. Потоа
Ајде да решиме покомплициран проблем: познати се должините на четирите страни на трапезот - a, b, c, d. Потоа областа ќе се најде со помош на формулата:
Ако се познати должините на дијагоналите и аголот меѓу нив, тогаш областа се пребарува на следниов начин:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
каде што d со индексите 1 и 2 се дијагонали. Во оваа формула, синусот на аголот е даден во пресметката.
Со оглед на познатите должини на основите a и b и два агли на долната основа, плоштината се пресметува на следниот начин:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Површина на рамнокрак трапез
Рамнокрак трапез е посебен случај на трапез. Неговата разлика е во тоа што таков трапез е конвексен четириаголник со оска на симетрија што минува низ средните точки на две спротивни страни. Неговите страни се еднакви.
Постојат неколку начини да се најде областа на рамнокрак трапез.
- Низ должините на три страни. Во овој случај, должините на страните ќе се совпаднат, затоа тие се означени со една вредност - c, а a и b - должините на основите:
- Ако се познати должината на горната основа, страната и аголот на долната основа, тогаш површината се пресметува на следниот начин:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
каде што a е горната основа, c е страната.
- Ако наместо горната основа е позната должината на долната - b, површината се пресметува со формулата:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Ако, кога се познати две основи и аголот на долната основа, плоштината се пресметува преку тангентата на аголот:
S = ½ * (b2 – a2) * tan α
- Површината се пресметува и преку дијагоналите и аголот меѓу нив. Во овој случај, дијагоналите се еднакви по должина, така што секоја ја означуваме со буквата d без подредници:
S = ½ * d2 * sin α
- Ајде да ја пресметаме површината на трапезоидот, знаејќи ја должината на страната, централната линија и аголот на долната основа.
Нека страничната страна е c, средната линија m, а аголот a, тогаш:
S = m * c * sin α
Понекогаш можете да впишете круг во рамностран трапез, чиј радиус ќе биде r.
Познато е дека кругот може да се впише во кој било трапез ако збирот на должините на основите е еднаков на збирот на должините на неговите страни. Тогаш областа може да се најде низ радиусот на впишаниот круг и аголот на долната основа:
S = 4r2 / sinα
Истата пресметка се прави со користење на дијаметарот D на впишаниот круг (патем, се совпаѓа со висината на трапезот):
Познавајќи ја основата и аголот, плоштината на рамнокрак трапез се пресметува на следниов начин:
S = a * b / sin α
(оваа и следните формули важат само за трапезоиди со впишан круг).
Користејќи ги основите и радиусот на кругот, областа се наоѓа на следниов начин:
Ако се познати само основите, тогаш површината се пресметува со формулата:
Преку основите и страничната линија, површината на трапезот со впишаниот круг и преку основите и средната линија - m се пресметува на следниов начин:
Површина на правоаголен трапез
Трапез се нарекува правоаголен ако една од неговите страни е нормална на основата. Во овој случај, должината на страната се совпаѓа со висината на трапезоидот.
Правоаголен трапез се состои од квадрат и триаголник. Откако ќе ја пронајдете површината на секоја од фигурите, соберете ги резултатите и добијте ја вкупната површина на фигурата.
Исто така, општите формули за пресметување на површината на трапез се погодни за пресметување на површината на правоаголен трапез.
- Ако се познати должините на основите и висината (или нормалната страна), тогаш површината се пресметува со формулата:
S = (a + b) * h / 2
Страничната страна c може да делува како h (висина). Тогаш формулата изгледа вака:
S = (a + b) * c / 2
- Друг начин да се пресмета површината е да се помножи должината на централната линија со висината:
или според должината на страничната нормална страна:
- Следниот начин да се пресмета е преку половина од производот на дијагоналите и синусот на аголот меѓу нив:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Ако дијагоналите се нормални, тогаш формулата се поедноставува на:
S = ½ * d1 * d2
- Друг начин за пресметување е преку полупериметарот (збирот на должините на две спротивни страни) и радиусот на впишаниот круг.
Оваа формула важи за бази. Ако ги земеме должините на страните, тогаш една од нив ќе биде еднаква на двојно поголем радиус. Формулата ќе изгледа вака:
S = (2r + c) * r
- Ако кругот е впишан во трапез, тогаш површината се пресметува на ист начин:
каде што m е должината на централната линија.
Површина на заоблен трапез
Криволинеарен трапез е рамна фигура ограничена со графикот на ненегативна континуирана функција y = f(x), дефинирана на отсечката, оската на апсцисата и правите x = a, x = b. Во суштина, две негови страни се паралелни една со друга (основите), третата страна е нормална на основите, а четвртата е крива што одговара на графикот на функцијата.
Областа на криволинеарен трапез се бара преку интегралот користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц:
Така се пресметуваат површините на разни видови трапезоиди. Но, покрај својствата на страните, трапезоидите ги имаат истите својства на аглите. Како и сите постоечки четириаголници, збирот на внатрешните агли на трапезот е 360 степени. А збирот на аглите во непосредна близина на страната е 180 степени.