ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿತ

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಯಮದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ಎಂಬುದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಕೋನವಾಗಿದೆ,
a ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಮತ್ತು ಈ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಸೈನ್‌ಗಾಗಿ:

ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ:

x = ± ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2π n, n ∈ Z

ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕಾಗಿ:

x = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ a + π n, n ∈ Z

ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ಗಾಗಿ:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲವೂ!) ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉದಾಹರಣೆಯು ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್‌ನಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಚಲನಗೊಂಡರೆ. ಏಕೆ?

ಹೌದು, ಏಕೆಂದರೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಜನರು ಈ ಪತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳ ಅರ್ಥವೇ ಅರ್ಥವಾಗದೆ!ಏನಾದರೂ ಸಂಭವಿಸದಂತೆ ಅವರು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ...) ಇದನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಜನರಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ, ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಗಾಗಿ ಜನರು, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ!?)

ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣವೇ?

ಒಂದು ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್ಕೋಸ್ ಎ, ಎರಡನೇ: -ಆರ್ಕೋಸ್ ಎ.

ಮತ್ತು ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ.ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ಎ.

ನೀವು ನನ್ನನ್ನು ನಂಬದಿದ್ದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಮೌಸ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ.) ನಾನು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದೆ ಎ ಏನಾದರೂ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ. ಹೇಗಾದರೂ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಮೂಲೆ ಸಿಕ್ಕಿತು ಆರ್ಕೋಸ್ ಎ, ಎರಡನೇ: -ಆರ್ಕೋಸ್ ಎ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಸರಣಿಯ ಬೇರುಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x 1 = ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2π n, n ∈ Z

ಈ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

x= ± ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2π n, n ∈ Z

ಮತ್ತು ಅಷ್ಟೆ. ಕೊಸೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಇದು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಅತಿವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಸರಣಿಯ ಉತ್ತರಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ,ನೀವು "ಸಿ" ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ... ಅಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್/ಮೈನಸ್ ಇರುವ ಉತ್ತರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಉತ್ತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಏನು, ಹೇಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ.

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ

sinx = a

ನಾವು ಎರಡು ಸರಣಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಯಾವಾಗಲೂ. ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಸಹ ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಬಹುದು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ. ಈ ಸಾಲು ಮಾತ್ರ ಟ್ರಿಕರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ:

x = (-1) n ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ a + π n, n ∈ Z

ಆದರೆ ಸಾರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬೇರುಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಎರಡು ನಮೂದುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಷ್ಟೇ!

ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣವೇ? ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ ...)

ಹಿಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ಸೈನ್ ಜೊತೆಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ) ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಉತ್ತರವು ಎರಡು ಸರಣಿಯ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x = (-1) n ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 0.5 + π n, n ∈ Z

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಅಪೂರ್ಣ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ.) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅದನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 0.5 = π /6.ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ತರ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

ಇದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ ಉತ್ತರಿಸಿ x 1; x 2 (ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ!) ಮತ್ತು ಲೋನ್ಲಿ ಮೂಲಕ X (ಮತ್ತು ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ!) - ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ? ನಾವು ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.)

ನಾವು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ x 1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎನ್ =0; 1; 2; ಇತ್ಯಾದಿ, ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಅದೇ ಪರ್ಯಾಯದೊಂದಿಗೆ x 2 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈಗ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಎನ್ (0; 1; 2; 3; 4...) ಸಿಂಗಲ್‌ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ X . ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ, ನಂತರ ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು 0 ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ಅವಧಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ; 1; 2 3; 4, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮತ್ತು ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ನೀವು ನೋಡಬಹುದು ಅಷ್ಟೆ.) ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳುಎರಡು ಉತ್ತರಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ, ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮೋಸ ಹೋಗಲಿಲ್ಲ.)

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನಾವು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ.) ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಸರಳರಾಗಿದ್ದಾರೆ.

ನಾನು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರಳವಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ: ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ, ಉತ್ತರಗಳ ಕೇವಲ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಾರಾಂಶ.ಈ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್/ಮೈನಸ್ ಮತ್ತು (-1) n ಅನ್ನು ಸೈನ್ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ನೀವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಗಳು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಅಥವಾ ನಂತರ ನೀವು ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಏನಾದರೂ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ: ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ODZ ಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ಇತ್ಯಾದಿ., ಈ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಗಳು ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಹಾಗಾದರೆ ನಾನು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಹೌದು, ಉತ್ತರವನ್ನು ಎರಡು ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣ/ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ನಂತರ ಈ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಜೀವನವು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.)

ನಾವು ಸಾರಾಂಶ ಮಾಡಬಹುದು.

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಿದ್ಧ ಉತ್ತರ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ನಾಲ್ಕು ತುಣುಕುಗಳು. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬರೆಯಲು ಅವು ಒಳ್ಳೆಯದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

sinx = 0.3

ಸುಲಭವಾಗಿ: x = (-1) n ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ: x = ± ಆರ್ಕೋಸ್ 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

ಸುಲಭವಾಗಿ: x = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

ಒಂದು ಉಳಿದಿದೆ: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

ನೀವು ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

x= ± ಆರ್ಕೋಸ್ 1.8 + 2π n, n ∈ Z

ಆಗ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದೀರಿ, ಇದು... ಅದು... ಕೊಚ್ಚೆಗುಂಡಿಯಿಂದ.) ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಏಕೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲವೇ? ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ಓದಿ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್, - ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ. 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. - ಕಮಾನುಗಳ ಮೂಲಕ ಉತ್ತರವು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಮತ್ತು ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರೆ, ಹಾಗೆ

ಆಗ ಉತ್ತರ ಹೀಗಿದೆ:

x πn, n ∈ Z

ಅಪರೂಪದ ಅಸಂಬದ್ಧತೆ ಇದೆ, ಹೌದು...) ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವೀರೋಚಿತವಾಗಿ ಓದಿದವರಿಗೆ. ನಾನು ಕೇವಲ ಸಹಾಯ ಆದರೆ ನಿಮ್ಮ ಟೈಟಾನಿಕ್ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಪ್ರಶಂಸಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿಮಗಾಗಿ ಬೋನಸ್.)

ಬೋನಸ್:

ಆತಂಕಕಾರಿ ಯುದ್ಧದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಅನುಭವಿ ದಡ್ಡರು ಸಹ ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತಾರೆ. πn, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ 2π ಎನ್. ನಿಮಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿದೆ ಸಿಂಪಲ್ ಟ್ರಿಕ್. ರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲರೂಮೌಲ್ಯದ ಸೂತ್ರಗಳು πn. ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಅದು ಅಲ್ಲೇ ನಿಂತಿದೆ 2πn. ಎರಡುಪೆನ್. ಕೀವರ್ಡ್ - ಎರಡು.ಇದೇ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಇವೆ ಎರಡುಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಹಿ ಮಾಡಿ. ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ - ಎರಡು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಬರೆದಿದ್ದರೆ ಎರಡುಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಮೊದಲು ಸಹಿ ಮಾಡಿ, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ ಎರಡುಪೆನ್. ಮತ್ತು ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ ± , ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಸರಿಯಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತದೆ ಎರಡುಪಿಯೆನ್, ಮತ್ತು ಅವನು ತನ್ನ ಇಂದ್ರಿಯಗಳಿಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ಮುಂದೆ ಏನೋ ಇದೆ ಎರಡುಸಹಿ! ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ತಪ್ಪನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ! ಹೀಗೆ.)

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಅನೇಕವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗ್ರೇಡ್ 10 ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಸಂಭವಿಸುವ, ಗುರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ನೀವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಅಂದರೆ. ಉತ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸು ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುವ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸರಿಯಾಗಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಇದರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.ಸಮೀಕರಣವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ನೋಟವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಅದರ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ತಿಳಿಯದೆ, ಹಲವಾರು ಡಜನ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸರಿಯಾದದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು:

1. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು "ಅದೇ ಕೋನಗಳಿಗೆ" ತರಲು;
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ" ತರಲು;
3. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದ ಅಂಶ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳು.

I. ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿತ

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ತಿಳಿದಿರುವ ಘಟಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಹಂತ 2.ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

cos x = a; x = ± ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2πn, n ЄZ.

ಪಾಪ x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

ತನ್ x = a; x = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

ಹಂತ 3.ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

ಪರಿಹಾರ.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ಉತ್ತರ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ.

ಹಂತ 2.ವೇರಿಯೇಬಲ್ t ನಿಂದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, t ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ).

ಹಂತ 3.ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಹಂತ 4.ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ ಮಾಡಿ.

ಹಂತ 5.ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

ಪರಿಹಾರ.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) ಪಾಪ (x/2) = t, ಎಲ್ಲಿ |t| ≤ 1.

3) 2ಟಿ 2 + 5ಟಿ + 3 = 0;

t = 1 ಅಥವಾ e = -3/2, ಷರತ್ತು |t| ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ ≤ 1.

4) ಪಾಪ(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

ಉತ್ತರ: x = π + 4πn, n Є Z.

III. ಸಮೀಕರಣ ಆದೇಶ ಕಡಿತ ವಿಧಾನ

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ:

ಪಾಪ 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

ಹಂತ 2. I ಮತ್ತು II ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

ಪರಿಹಾರ.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 ಕಾಸ್ 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

ಉತ್ತರ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ

a) a sin x + b cos x = 0 (ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ)

ಅಥವಾ ವೀಕ್ಷಣೆಗೆ

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ಎರಡನೆಯ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ).

ಹಂತ 2.ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ

a) cos x ≠ 0;

ಬಿ) ಕಾಸ್ 2 x ≠ 0;

ಮತ್ತು tan x ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x + c = 0.

ಹಂತ 3.ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

ಪರಿಹಾರ.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t ಆಗಿರಲಿ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ಅಥವಾ t = -4, ಅಂದರೆ

tg x = 1 ಅಥವಾ tg x = -4.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x = π/4 + πn, n Є Z; ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

ಉತ್ತರ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ವಿಧಾನ

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು I, II, III, IV ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ.

ಹಂತ 2.ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಪಾಪ x + ಪಾಪ 2x + ಪಾಪ 3x = 0.

ಪರಿಹಾರ.

1) (ಸಿನ್ x + ಪಾಪ 3x) + ಪಾಪ 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) ಪಾಪ 2x (2cos x + 1) = 0;

ಪಾಪ 2x = 0 ಅಥವಾ 2cos x + 1 = 0;

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ 2x = π/2 + πn, n Є Z; ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ cos x = -1/2.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ x = π/4 + πn/2, n Є Z; ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ಉತ್ತರ: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಅವರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಕಡೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರ ಕಡೆಯಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಯತ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕಲಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು -.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

blog.site, ವಸ್ತುವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ನಿಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀವು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು !!!

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ (`ಸಿನ್ x, cos x, tan x` ಅಥವಾ `ctg x`) ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಾವು ಮುಂದೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದರೆ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ಇಲ್ಲಿ `x` ಎಂಬುದು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, `a` ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

1. ಸಮೀಕರಣ `ಸಿನ್ x=a`.

`|a|>1` ಗೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಯಾವಾಗ `|ಎ| \leq 1` ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರ: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. ಸಮೀಕರಣ `cos x=a`

`|a|>1` ಗಾಗಿ - ಸೈನ್‌ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಯಾವಾಗ `|ಎ| \leq 1` ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರ: `x=\pm ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2\pi n, n \in Z`

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು.

3. ಸಮೀಕರಣ `tg x=a`

`a` ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರ: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. ಸಮೀಕರಣ `ctg x=a`

`a` ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರ: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸೈನ್‌ಗಾಗಿ:
ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ:
ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಾಗಿ:
ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು:

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

• ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಹಾಯದಿಂದ;
• ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಖ್ಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನ.

ಈ ವಿಧಾನವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ಬದಲಿ ಮಾಡಿ: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ನಂತರ `2y^2-3y+1=0`,

ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: `y_1=1, y_2=1/2`, ಇದರಿಂದ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm ಆರ್ಕೋಸ್ 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

ಉತ್ತರ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ಅಪವರ್ತನ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `ಸಿನ್ x+cos x=1`.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ: `sin x+cos x-1=0`. ಬಳಸಿ, ನಾವು ಎಡಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

`ಸಿನ್ x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ಉತ್ತರ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿತ

ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

`a sin x+b cos x=0` (ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ) ಅಥವಾ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ಎರಡನೆಯ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ).

ನಂತರ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು `cos x \ne 0` - ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತು `cos^2 x \ne 0` - ಎರಡನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಭಾಗಿಸಿ. ನಾವು `tg x` ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: `a tg x+b=0` ಮತ್ತು `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ಇದನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

ಪರಿಹಾರ. ಬಲಭಾಗವನ್ನು `1=sin^2 x+cos^2 x` ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

ಇದು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಅದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು `cos^2 x \ne 0` ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. ಬದಲಿ `tg x=t` ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ `t^2 + t - 2=0`. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು `t_1=-2` ಮತ್ತು `t_2=1`. ನಂತರ:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

ಉತ್ತರ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

ಅರ್ಧ ಕೋನಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

ಪರಿಹಾರ. ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

ಉತ್ತರ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

ಸಹಾಯಕ ಕೋನದ ಪರಿಚಯ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ `a sin x + b cos x =c`, ಅಲ್ಲಿ a,b,c ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು `sqrt (a^2+b^2)` ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =``\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸೋಣ: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, ನಂತರ:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: `3 sin x+4 cos x=2`.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು `sqrt (3^2+4^2)` ​​ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 ಪಾಪ x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5= sin \varphi` ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` ರಿಂದ, ನಾವು `\varphi=arcsin 4/5` ಅನ್ನು ಸಹಾಯಕ ಕೋನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ಸೈನ್‌ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

`ಸಿನ್ (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

ಉತ್ತರ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಇವುಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು `(1+cos x)` ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ: `ಸಿನ್ x-ಸಿನ್^2 x=0`, `ಸಿನ್ x(1-ಸಿನ್ x)=0`. ನಂತರ `ಸಿನ್ x=0` ಅಥವಾ `1-ಸಿನ್ x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-ಸಿನ್ x=0`, `ಸಿನ್ x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ಪರಿಹಾರಗಳು `x=2\pi n, n \in Z` ಮತ್ತು `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

ಉತ್ತರ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಯನವು 10 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ - ಅವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಿಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ!

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತೋರುವಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ. ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವೇ ನೋಡಿ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ - ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳು. ಅವರನ್ನು ಮರೆತಿರುವ ಅಥವಾ ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದವರಿಗೆ, "" ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಸಮಯ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತೇಜಕ ಚಟುವಟಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೂಬಿಕ್ಸ್ ಘನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಹೆಸರಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿದೆ.
ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಅವರು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ: sinx = a, cos x = a, tan x = a. ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

sinx = a

cos x = a

ತನ್ x = a

cot x = a

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ 7 ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ.

1. ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ

2cos 2 (x + /6) – 3sin (/3 – x) +1 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಲು cos(x + /6) ಅನ್ನು y ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ:

2y 2 – 3y + 1 + 0

ಇದರ ಬೇರುಗಳು y 1 = 1, y 2 = 1/2

ಈಗ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹೋಗೋಣ

ನಾವು y ಯ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಉತ್ತರ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2. ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

sin x + cos x = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ 0 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ:

sin x + cos x – 1 = 0

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಪಾಪ x - 2 ಪಾಪ 2 (x/2) = 0

ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸೋಣ:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

3. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿತ

ಸಮೀಕರಣವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಒಂದೇ ಕೋನದ ಅದೇ ಹಂತದ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ:

ಎ) ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ;

ಬಿ) ಆವರಣದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ;

ಸಿ) ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು 0 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ;

d) ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿಯ ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ;

ಇ) tg ಗಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ನಾವು sin 2 x + cos 2 x = 1 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ತೆರೆದ ಎರಡನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ಅನ್ನು y ಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

y 2 + 4y +3 = 0, ಇದರ ಬೇರುಗಳು y 1 =1, y 2 = 3

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

x 2 = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 3 + ಕೆ

4. ಅರ್ಧ ಕೋನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

3sin x – 5cos x = 7 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ನಾವು x/2 ಗೆ ಹೋಗೋಣ:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos (x/2) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. ಸಹಾಯಕ ಕೋನದ ಪರಿಚಯ

ಪರಿಗಣನೆಗೆ, ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: a sin x + b cos x = c,

ಇಲ್ಲಿ a, b, c ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು x ಎಂಬುದು ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಭಾಗಿಸೋಣ:



ಈಗ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ sin ಮತ್ತು cos, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ = 1. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ cos ಮತ್ತು sin ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ - ಇದು ಸಹಾಯಕ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

cos * sin x + sin * cos x = C

ಅಥವಾ sin(x + ) = C

ಈ ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ

x = (-1) k * arcsin C - + k, ಅಲ್ಲಿ



ಕಾಸ್ ಮತ್ತು ಪಾಪದ ಸಂಕೇತಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

sin 3x – cos 3x = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು:

a = , b = -1, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು = 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿ: "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

1C ಯಿಂದ ಗ್ರೇಡ್ 10 ಗಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಪರಿಸರ "1C: ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಕನ್‌ಸ್ಟ್ರಕ್ಟರ್ 6.1"

ನಾವು ಏನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
1. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು?

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು.
4. ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.
5. ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು?

ಹುಡುಗರೇ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್, ಆರ್ಕೋಸಿನ್, ಆರ್ಕ್ಟಾಂಜಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ರೂಪವನ್ನು ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ:

1) |a|≤ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, cos(x) = a ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

X= ± ಆರ್ಕೋಸ್(a) + 2πk

2) ವೇಳೆ |a|≤ 1, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ sin(x) = a ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

3) ವೇಳೆ |a| > 1, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ sin(x) = a ಮತ್ತು cos(x) = a ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ 4) tg(x)=a ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x=arcctg(a)+ πk

ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ k ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: T(kx+m)=a, T ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: a) sin(3x)= √3/2

ಪರಿಹಾರ:

ಎ) ನಾವು 3x=t ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

ನಮ್ಮ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

ನಂತರ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

ಉತ್ತರ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ಇಲ್ಲಿ n ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ. (-1)^n – n ನ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡಿ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

ಪರಿಹಾರ:

ಎ) ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನೇರವಾಗಿ ಹೋಗೋಣ:

X/5= ± ಆರ್ಕೋಸ್(1) + 2πk. ನಂತರ x/5= πk => x=5πk

ಉತ್ತರ: x=5πk, ಇಲ್ಲಿ k ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

ಬಿ) ನಾವು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. ನಮಗೆ ಅದು ತಿಳಿದಿದೆ: ಆರ್ಕ್ಟಾನ್(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

ಉತ್ತರ: x=2π/9 + πk/3, ಇಲ್ಲಿ k ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: cos(4x)= √2/2. ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸೋಣ: 4x= ± ಆರ್ಕೋಸ್(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ಈಗ ನಮ್ಮ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬೇರುಗಳು ಬೀಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. k ನಲ್ಲಿ k=0, x= π/16, ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತೇವೆ.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ನೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಹೊಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
k=2 ಗಾಗಿ, x= π/16+ π=17π/16, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಡೆಯಲಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ದೊಡ್ಡ k ಗಾಗಿ ನಾವು ಸಹ ಹೊಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: x= π/16, x= 9π/16

ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು.

ನಾವು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳೂ ಇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಹೊಸ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಪರಿಹಾರ:
ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: t=tg(x).

ಬದಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: t 2 + 2t -1 = 0

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: t=-1 ಮತ್ತು t=1/3

ನಂತರ tg(x)=-1 ಮತ್ತು tg(x)=1/3, ನಾವು ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

ಉತ್ತರ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

ಪರಿಹಾರ:

ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸೋಣ: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

ನಾವು t=cos(x) ಬದಲಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: 2t 2 -3t - 2 = 0

ನಮ್ಮ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಬೇರುಗಳು: t=2 ಮತ್ತು t=-1/2

ನಂತರ cos(x)=2 ಮತ್ತು cos(x)=-1/2.

ಏಕೆಂದರೆ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಂತರ cos(x)=2 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

ಉತ್ತರ: x= ±2π/3 + 2πk

ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: a sin(x)+b cos(x) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದನ್ನು cos(x) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ: ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ನೀವು ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:
cos(x)=0, ನಂತರ asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ಆದರೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
ಉದಾಹರಣೆ: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

ಪರಿಹಾರ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

ನಂತರ ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

Cos(x)=0 ಮತ್ತು cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ನಲ್ಲಿ x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು cos(x) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

ಉತ್ತರ: x= π/2 + πk ಮತ್ತು x= -π/4+πk

ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?
ಹುಡುಗರೇ, ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ!

1. ಗುಣಾಂಕವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ, a=0 ಆಗಿದ್ದರೆ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು cos(x)(bsin(x)+ccos(x) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ), ಹಿಂದಿನ ಸ್ಲೈಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆ

2. a≠0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ t=tg(x) ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ: 3 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ಚೌಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ:

ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: t=-3 ಮತ್ತು t=1

ನಂತರ: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

ಉತ್ತರ: x=-arctg(3) + πk ಮತ್ತು x= π/4+ πk

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ:4 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ:
ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ನಾವು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: x= - π/4 + 2πk ಮತ್ತು x=5π/4 + 2πk

ಉತ್ತರ: x= - π/4 + 2πk ಮತ್ತು x=5π/4 + 2πk

ಪರಿಹಾರ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ: 5

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ:
ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ನಾವು ಬದಲಿ tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ

ನಮ್ಮ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಬೇರುಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ: t=-2 ಮತ್ತು t=1/2

ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: tg(2x)=-2 ಮತ್ತು tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ಉತ್ತರ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ಮತ್ತು x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.

1) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: sin(3x)= √3/2. ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ [π/2; π].

3) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 3 ಪಾಪ 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)