ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។ ការអភិវឌ្ឍវិធីសាស្រ្ត "វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា"

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា

ពាក្យ induction នៅក្នុងភាសារុស្សីមានន័យថា ការណែនាំ និងការសន្និដ្ឋានដោយផ្អែកលើការសង្កេត ការពិសោធន៍ ពោលគឺត្រូវបានគេហៅថា inductive ។ ទទួលបានដោយការសន្និដ្ឋានពីពិសេសទៅទូទៅ។

ជាឧទាហរណ៍ ជារៀងរាល់ថ្ងៃយើងសង្កេតឃើញថា ព្រះអាទិត្យរះពីទិសខាងកើត។ ដូច្នេះ​ហើយ អ្នក​អាច​ប្រាកដ​ថា​នៅ​ថ្ងៃ​ស្អែក វា​នឹង​លេច​មក​នៅ​ទិស​ខាង​កើត ហើយ​មិន​នៅ​ខាង​លិច​ទេ។ យើងទាញការសន្និដ្ឋាននេះដោយមិនប្រើការសន្មត់ណាមួយអំពីហេតុផលនៃចលនារបស់ព្រះអាទិត្យនៅលើមេឃទេ (លើសពីនេះ ចលនានេះប្រែជាជាក់ស្តែង ព្រោះថាពិភពលោកពិតជាមានចលនា)។ ប៉ុន្តែ​ការ​សន្និដ្ឋាន​បែប​ប្រឌិត​នេះ​ពិពណ៌នា​យ៉ាង​ត្រឹមត្រូវ​នូវ​ការ​សង្កេត​ដែល​យើង​នឹង​ធ្វើ​នៅ​ថ្ងៃ​ស្អែក។

តួនាទី​នៃ​ការ​សន្និដ្ឋាន​ប្រឌិត​ក្នុង​វិទ្យាសាស្ត្រ​ពិសោធន៍​គឺ​អស្ចារ្យ​ណាស់។ ពួកគេផ្តល់ឱ្យនូវបទប្បញ្ញត្តិទាំងនោះដែលការសន្និដ្ឋានបន្ថែមទៀតត្រូវបានទាញតាមរយៈការកាត់ចេញ។ ហើយទោះបីជាមេកានិចទ្រឹស្តីគឺផ្អែកលើច្បាប់ចលនាទាំងបីរបស់ញូតុន ប៉ុន្តែច្បាប់ទាំងនេះខ្លួនឯងគឺជាលទ្ធផលនៃការគិតយ៉ាងស៊ីជម្រៅតាមរយៈទិន្នន័យពិសោធន៍ ជាពិសេសច្បាប់របស់ Kepler នៃចលនារបស់ភព ដែលគាត់បានមកពីដំណើរការនៃការសង្កេតជាច្រើនឆ្នាំដោយតារាវិទូជនជាតិដាណឺម៉ាក Tycho ។ ប្រាហេ។ ការសង្កេត និងការណែនាំប្រែទៅជាមានប្រយោជន៍នៅពេលអនាគត សម្រាប់ការបញ្ជាក់ពីការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើង។ បន្ទាប់ពីការពិសោធន៍របស់ Michelson លើការវាស់ល្បឿនពន្លឺនៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកដែលមានចលនា វាបានប្រែទៅជាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីច្បាប់នៃរូបវិទ្យា និងបង្កើតទ្រឹស្តីនៃទំនាក់ទំនង។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា តួនាទីនៃអាំងឌុចស្យុងគឺភាគច្រើនដែលវាស្ថិតនៅក្រោម axiomatics ដែលបានជ្រើសរើស។ បន្ទាប់ពីការអនុវត្តរយៈពេលវែងបានបង្ហាញថា ផ្លូវត្រង់តែងតែខ្លីជាងផ្លូវកោង ឬខូច វាជាធម្មជាតិក្នុងការបង្កើត axiom មួយ៖ សម្រាប់ចំណុចទាំងបី A, B និង C, វិសមភាព

គោលគំនិតនៃការធ្វើតាម ដែលជាមូលដ្ឋាននៃនព្វន្ធ ក៏បានលេចចេញមកពីការសង្កេតនៃការបង្កើតទាហាន កប៉ាល់ និងសំណុំលំដាប់ផ្សេងៗទៀត។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គេមិនគួរគិតថា នេះធ្វើឱ្យអស់ពីតួនាទីនៃការបង្កើតនៅក្នុងគណិតវិទ្យានោះទេ។ ជាការពិតណាស់ យើងមិនគួរពិសោធន៍ទ្រឹស្ដីទ្រឹស្ដីដែលកាត់ចេញពី axioms នោះទេ៖ ប្រសិនបើគ្មានកំហុសឡូជីខលត្រូវបានធ្វើឡើងកំឡុងពេលទាញយកទេ នោះវាជាការពិតដរាបណា axioms ដែលយើងទទួលយកគឺពិត។ ប៉ុន្តែសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាច្រើនអាចត្រូវបានកាត់ចេញពីប្រព័ន្ធនៃ axioms នេះ។ ហើយការជ្រើសរើសនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនោះដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់គឺត្រូវបានស្នើម្តងទៀតដោយការណែនាំ។ វា​គឺ​ជា​ការ​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​បំបែក​ទ្រឹស្ដី​ដែល​មាន​ប្រយោជន៍​ពី​ទ្រឹស្ដី​ដែល​គ្មាន​ប្រយោជន៍ បង្ហាញ​ថា​ទ្រឹស្ដី​មួយ​ណា​អាច​នឹង​ក្លាយ​ជា​ការ​ពិត ហើយ​ថែម​ទាំង​ជួយ​គូស​បញ្ជាក់​ពី​ផ្លូវ​នៃ​ការ​បញ្ជាក់​ផង​ដែរ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា

នៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃនព្វន្ធ ពិជគណិត ធរណីមាត្រ និងការវិភាគ ចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ការពិតនៃប្រយោគ A(n) អាស្រ័យលើអថេរធម្មជាតិ។ ភ័ស្តុតាងនៃការពិតនៃសំណើ A(n) សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរអាចត្រូវបានអនុវត្តជាញឹកញាប់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ដែលផ្អែកលើគោលការណ៍ខាងក្រោម។

សំណើ A(n) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់នៃអថេរ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងពីរខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

សំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n=1។

ពីការសន្មត់ថា A(n) គឺពិតសម្រាប់ n=k (ដែល k ជាលេខធម្មជាតិ) វាធ្វើតាមថាវាពិតសម្រាប់តម្លៃបន្ទាប់ n=k+1។

គោលការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថា គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ជាធម្មតាវាត្រូវបានជ្រើសរើសជា axioms មួយដែលកំណត់ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខ ហើយដូច្នេះត្រូវបានទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាមានន័យថាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើអ្នកចង់បញ្ជាក់ការពិតនៃប្រយោគ A(n) សម្រាប់ n ធម្មជាតិទាំងអស់នោះ ជាដំបូង អ្នកគួរតែពិនិត្យមើលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(1) ហើយទីពីរ សន្មតថាការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(k) ព្យាយាមបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(k +1) ពិត។ ប្រសិនបើនេះអាចបញ្ជាក់បាន ហើយភ័ស្តុតាងនៅតែមានសុពលភាពសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិនីមួយៗនៃ k នោះ ស្របតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សំណើ A(n) ត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជាការពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ អត្តសញ្ញាណ វិសមភាព ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រមួយចំនួន និងបញ្ហាជាច្រើនទៀត។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៅលើ

ការបែងចែក

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា អ្នកអាចបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងៗទាក់ទងនឹងការបែងចែកលេខធម្មជាតិ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងសាមញ្ញ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានទទួលដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ឧទាហរណ៍ ១. ប្រសិនបើ n គឺជាលេខធម្មជាតិ នោះលេខគឺស្មើ។

នៅពេលដែល n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិត៖ - លេខគូ។ ចូរសន្មតថាវាជាលេខគូ។ ចាប់តាំងពី 2k គឺជាលេខគូ សូម្បីតែ។ ដូច្នេះ ភាពស្មើគ្នាត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ n=1 ភាពស្មើគ្នាត្រូវបានកាត់ចេញពីភាពស្មើគ្នា .នេះមានន័យថាវាគឺសូម្បីតែសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ ២.បញ្ជាក់ការពិតនៃប្រយោគ

A(n)=(លេខ 5 គឺជាពហុគុណនៃ 19) n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ដំណោះស្រាយ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(1)=(ចំនួនដែលបែងចែកដោយ 19) គឺពិត។

ឧបមាថាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួន n = k

A(k)=(លេខចែកដោយ 19) គឺពិត។ បន្ទាប់មកចាប់តាំងពី

ជាក់ស្តែង A(k+1) ក៏ជាការពិតដែរ។ ពិតប្រាកដណាស់ ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ដោយសារតែការសន្មតថា A(k) គឺពិត។ ពាក្យទីពីរក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ព្រោះវាមានកត្តានៃ 19 ។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត ដូច្នេះហើយ សំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅ

ស៊េរីសង្ខេប

ឧទាហរណ៍ ១.បង្ហាញរូបមន្ត

, n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅពេល n=1 ភាគីទាំងពីរនៃសមភាពប្រែទៅជាមួយ ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត។

ចូរសន្មតថារូបមន្តគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n=k, i.e.

.

ចូរយើងបន្ថែមលើភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ ហើយផ្លាស់ប្តូរផ្នែកខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

ដូច្នេះពីការពិតដែលថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n = k វាធ្វើតាមថាវាក៏ពិតសម្រាប់ n = k + 1 ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក៏ត្រូវបានពេញចិត្តផងដែរ។ រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ ២.បង្ហាញថាផលបូកនៃលេខ n ដំបូងនៃស៊េរីធម្មជាតិគឺស្មើនឹង .

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីចំនួនទឹកប្រាក់ដែលត្រូវការ, i.e. .

នៅពេលដែល n=1 សម្មតិកម្មគឺពិត។

អនុញ្ញាតឱ្យ . ចូរបង្ហាញវា។ .

តាមពិតទៅ

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៣.បង្ហាញថាផលបូកនៃការ៉េនៃលេខ n ដំបូងនៃស៊េរីធម្មជាតិគឺស្មើនឹង .

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យ។

.

ចូរសន្មតថា . បន្ទាប់មក

ហើយចុងក្រោយ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។បញ្ជាក់។

ដំណោះស្រាយ។

បើអញ្ចឹង

ឧទាហរណ៍ 5 ។បញ្ជាក់

ដំណោះស្រាយ។

នៅពេលដែល n=1 សម្មតិកម្មគឺពិត។

អនុញ្ញាតឱ្យ។

ចូរយើងបញ្ជាក់។

ពិតជា

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅ

ភស្តុតាងនៃវិសមភាព

ឧទាហរណ៍ ១.បង្ហាញថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n> 1

.

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងកំណត់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពដោយ .

ដូច្នេះសម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិត។

អនុញ្ញាតឱ្យ k មួយចំនួន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មក។ យើងមាន , .

ប្រៀបធៀប និង យើងមាន , i.e. .

សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន k ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយគឺវិជ្ជមាន។ នោះហើយជាមូលហេតុ។ ប៉ុន្តែវាមានន័យផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកកំហុសក្នុងការវែកញែក។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍។ សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n វិសមភាពគឺពិត។

ភស្តុតាង។

. (1)

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា វិសមភាពក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ n=k+1, i.e.

.

ជាការពិតណាស់មិនតិចជាង 2 សម្រាប់ k ធម្មជាតិណាមួយឡើយ។ ចូរបន្ថែមទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (1) និងទៅផ្នែកខាងស្តាំ 2. យើងទទួលបានវិសមភាពដោយយុត្តិធម៌ ឬ . សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ ៣.បញ្ជាក់ ដែលជាកន្លែងដែល >-1, , n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិត ចាប់តាំងពី .

សូមឱ្យវិសមភាពជាការពិតសម្រាប់ n = k ដែល k គឺជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន i.e.

. (1)

ចូរយើងបង្ហាញថា វិសមភាពក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ n=k+1, i.e.

. (2)

ជាការពិត តាមលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះ វិសមភាពគឺពិត

, (3)

ទទួលបានពីវិសមភាព (1) ដោយគុណផ្នែកនីមួយៗដោយ . ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាព (៣) ដូចតទៅ៖ . ការបោះបង់ពាក្យវិជ្ជមាននៅផ្នែកខាងស្តាំនៃវិសមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបានវិសមភាពដោយយុត្តិធម៌ (2)។

ឧទាហរណ៍ 4 ។បញ្ជាក់

(1)

ដែល , , n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=2 វិសមភាព (1) យកទម្រង់

. (2)

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក វិសមភាពគឺជាការពិត

. (3)

ដោយបន្ថែមទៅផ្នែកនីមួយៗនៃវិសមភាព (3) យើងទទួលបានវិសមភាព (2) ។

នេះបង្ហាញថាសម្រាប់ n=2 វិសមភាព (1) គឺពិត។

សូមឱ្យវិសមភាព (1) ជាការពិតសម្រាប់ n = k ដែល k គឺជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន i.e.

. (4)

ចូរយើងបង្ហាញថា វិសមភាព (1) ក៏ត្រូវតែជាការពិតសម្រាប់ n=k+1, i.e.

(5)

ចូរគុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព (4) ដោយ a+b ។ ដោយសារតាមលក្ខខណ្ឌ យើងទទួលបានវិសមភាពដោយយុត្តិធម៌ដូចខាងក្រោម៖

. (6)

ដើម្បីបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃវិសមភាព (5) វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបង្ហាញថា

, (7)

ឬអ្វីដូចគ្នា

. (8)

វិសមភាព (៨) ស្មើនឹងវិសមភាព

. (9)

ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និងនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (9) យើងមានផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ។ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , និងនៅខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (9) យើងមានផលគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមានពីរ។ ក្នុងករណីទាំងពីរ វិសមភាព (9) គឺពិត។

នេះបង្ហាញថាសុពលភាពនៃវិសមភាព (1) សម្រាប់ n=k បង្កប់ន័យសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=k+1។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានអនុវត្តចំពោះអ្នកដទៃ

កិច្ចការ

កម្មវិធីធម្មជាតិបំផុតនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងធរណីមាត្រ ជិតនឹងការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្តនេះក្នុងទ្រឹស្តីលេខ និងពិជគណិត គឺជាកម្មវិធីរបស់វាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាគណនាធរណីមាត្រ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១.គណនាជ្រុងនៃការ៉េធម្មតាដែលចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅពេលដែល n=2 ត្រឹមត្រូវ 2ន - ការ៉េគឺជាការ៉េមួយ; ផ្នែករបស់គាត់។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមរូបមន្តទ្វេដង

យើងរកឃើញថាផ្នែកម្ខាងនៃ octagon ធម្មតា។ , ចំហៀងនៃ hexagon ធម្មតា។ ចំហៀងនៃត្រីកោណសាមសិបពីរធម្មតា។ . ដូច្នេះយើងអាចសន្មត់ថាផ្នែកម្ខាងនៃសិលាចារឹកត្រឹមត្រូវ ២ន - ការ៉េសម្រាប់ស្មើគ្នា

. (1)

ចូរយើងសន្មតថាផ្នែកនៃការ៉េចារឹកធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត (1) ។ ក្នុងករណីនេះយោងទៅតាមរូបមន្តទ្វេដង

,

នៅពេលដែលវាធ្វើតាមរូបមន្ត (1) មានសុពលភាពសម្រាប់ n ។

ឧទាហរណ៍ ២.តើមានត្រីកោណប៉ុន្មានអាចបែងចែក n-gon (មិនចាំបាច់ប៉ោង) ដោយអង្កត់ទ្រូងមិនជាប់របស់វា?

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ត្រីកោណ លេខនេះគឺស្មើនឹងមួយ (មិនមែនអង្កត់ទ្រូងតែមួយអាចគូសជាត្រីកោណទេ); សម្រាប់ quadrilateral ចំនួននេះគឺច្បាស់ជាពីរ។

ឧបមាថាយើងដឹងរួចហើយថារាល់ k-gon, កន្លែងណា k 1 A 2 ...A ន ចូលទៅក្នុងត្រីកោណ។

ក ន

ក ១ ក ២

អនុញ្ញាតឱ្យ A 1 A k ជាផ្នែកមួយនៃអង្កត់ទ្រូងនៃភាគថាសនេះ; វាបែងចែក n-gon A 1 A 2 ...A n ទៅជា k-gon A 1 A 2 ...A k និង (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .A n . ដោយសារតែការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើងចំនួនសរុបនៃត្រីកោណនៅក្នុងភាគថាសនឹងស្មើនឹង

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ n ។

ឧទាហរណ៍ ៣.ចែងច្បាប់សម្រាប់ការគណនាចំនួន P(n) នៃវិធីដែលប៉ោង n-gon អាចបែងចែកជាត្រីកោណដោយអង្កត់ទ្រូងមិនជាប់គ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ត្រីកោណ លេខនេះច្បាស់ជាស្មើមួយ៖ P(3)=1។

ចូរយើងសន្មតថាយើងបានកំណត់លេខ P(k) រួចហើយសម្រាប់ k ទាំងអស់។ 1 A 2 ...A ន . ពេល​ណា​ដែល​វា​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ត្រីកោណ​ចំហៀង A១ ក ២ នឹង​ជា​ផ្នែក​មួយ​នៃ​ត្រីកោណ​ភាគ​មួយ ចំនុច​ទីបី​នៃ​ត្រីកោណ​នេះ​អាច​ស្រប​គ្នា​នឹង​ចំនុច A នីមួយៗ។ 3, A 4, …, A n . ចំនួនវិធីដើម្បីបែងចែក n-gon ដែលចំនុចកំពូលនេះស្របគ្នានឹងចំនុច A 3 ស្មើនឹងចំនួនវិធីនៃការបែងចែក (n-1)-gon A ទៅជាត្រីកោណ 1 A 3 A 4 …A ន , i.e. ស្មើនឹង P(n-1) ។ ចំនួន​នៃ​ការ​បែងចែក​វិធី​ដែល​ចំណុច​កំពូល​នេះ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង A 4 , គឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដើម្បីបែងចែក (n-2)-gon A 1 A 4 A 5 …A ន , i.e. ស្មើនឹង P(n-2)=P(n-2)P(3); ចំនួននៃវិធីសាស្រ្តបែងចែកដែលវាស្របគ្នាជាមួយ A 5 ស្មើនឹង P(n-3)P(4) ចាប់តាំងពីភាគថាសនីមួយៗនៃ (n-3)-gon A 1 A 5 ...A ន អាចត្រូវបានផ្សំជាមួយផ្នែកនីមួយៗនៃ quadrilateral A 2 A 3 A 4 A ៥ ល។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​មក​ដល់​ទំនាក់ទំនង​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -១).

ដោយប្រើរូបមន្តនេះ យើងទទួលបានជាប្រចាំ៖

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

ល។

អ្នកក៏អាចដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយក្រាហ្វដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

សូមឱ្យមានបណ្តាញនៃខ្សែនៅលើយន្តហោះដែលភ្ជាប់ចំណុចមួយចំនួនហើយមិនមានចំណុចផ្សេងទៀត។ យើងនឹងហៅបណ្តាញនៃបន្ទាត់បែបនេះថាជាផែនទី ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យជាចំនុចកំពូលរបស់វា ផ្នែកនៃខ្សែកោងរវាងចំនុចកំពូលពីរដែលនៅជាប់គ្នា - ព្រំដែននៃផែនទី ផ្នែកនៃយន្តហោះដែលវាត្រូវបានបែងចែកដោយព្រំដែន - ប្រទេសនៃផែនទី។

សូមឱ្យផែនទីខ្លះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ យើងនឹងនិយាយថា វាមានពណ៌ត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើប្រទេសនីមួយៗត្រូវបានលាបពណ៌ដោយពណ៌ជាក់លាក់មួយ ហើយប្រទេសទាំងពីរដែលមានព្រំប្រទល់រួមត្រូវបានលាបពណ៌ផ្សេងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 4 ។មានរង្វង់ n នៅលើយន្តហោះ។ បញ្ជាក់​ថា​សម្រាប់​ការ​រៀបចំ​ណាមួយ​នៃ​រង្វង់​ទាំងនេះ ផែនទី​ដែល​ពួកគេ​បង្កើត​អាច​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ពណ៌​ត្រឹមត្រូវ​ជាមួយ​ពណ៌​ពីរ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺជាក់ស្តែង។

ចូរសន្មតថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិតសម្រាប់ផែនទីណាមួយដែលបង្កើតឡើងដោយរង្វង់ n ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានរង្វង់ n + 1 នៅលើយន្តហោះ។ ដោយការដករង្វង់មួយក្នុងចំណោមរង្វង់ទាំងនេះចេញ យើងទទួលបានផែនទីដែលផ្អែកលើការសន្មត់ដែលបានធ្វើ អាចត្រូវបានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងពណ៌ពីរឧទាហរណ៍ ខ្មៅ និងស។

ចំណេះដឹងពិតគ្រប់ពេលវេលាគឺផ្អែកលើការបង្កើតគំរូមួយ និងបង្ហាញពីភាពពិតរបស់វានៅក្នុងកាលៈទេសៈមួយចំនួន។ ក្នុងរយៈពេលដ៏យូរនៃអត្ថិភាពនៃហេតុផលឡូជីខល ការបង្កើតច្បាប់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអារីស្តូតថែមទាំងបានចងក្រងបញ្ជីនៃ "ហេតុផលត្រឹមត្រូវ" ផងដែរ។ តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ វាជាទម្លាប់ក្នុងការបែងចែកការសន្និដ្ឋានទាំងអស់ជាពីរប្រភេទ - ពីបេតុងទៅពហុ (ការបញ្ចូល) និងច្រាសមកវិញ (កាត់)។ គួរកត់សំគាល់ថា ប្រភេទនៃភ័ស្តុតាងពីពិសេសទៅទូទៅ និងពីទូទៅទៅពិសេសមានតែនៅជាប់គ្នាប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបានទេ។

ការបញ្ចូលក្នុងគណិតវិទ្យា

ពាក្យថា "ការបញ្ចូល" មានឫសឡាតាំង ហើយត្រូវបានបកប្រែតាមព្យញ្ជនៈថាជា "ការណែនាំ" ។ នៅពេលសិក្សាកាន់តែជិត មនុស្សម្នាក់អាចរំលេចរចនាសម្ព័ន្ធនៃពាក្យ ពោលគឺ បុព្វបទឡាតាំង - in- (តំណាងឱ្យសកម្មភាពដឹកនាំខាងក្នុង ឬខាងក្នុង) និង -duction - ការណែនាំ។ វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាមានពីរប្រភេទ - ការបញ្ចូលពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។ ទម្រង់ពេញលេញត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការសន្និដ្ឋានដែលបានមកពីការសិក្សានៃវត្ថុទាំងអស់នៃថ្នាក់ជាក់លាក់មួយ។

មិនពេញលេញ - ការសន្និដ្ឋានដែលអនុវត្តចំពោះមុខវិជ្ជាទាំងអស់នៃថ្នាក់ ប៉ុន្តែត្រូវបានធ្វើឡើងដោយផ្អែកលើការសិក្សាតែផ្នែកខ្លះប៉ុណ្ណោះ។

ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាពេញលេញគឺជាការសន្និដ្ឋានដោយផ្អែកលើការសន្និដ្ឋានទូទៅអំពីថ្នាក់ទាំងមូលនៃវត្ថុណាមួយដែលត្រូវបានភ្ជាប់មុខងារដោយទំនាក់ទំនងនៃស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខដោយផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃការតភ្ជាប់មុខងារនេះ។ ក្នុង​ករណី​នេះ ដំណើរការ​ភ័ស្តុតាង​ប្រព្រឹត្ត​ទៅ​ជា​បី​ដំណាក់កាល៖

• ទីមួយបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទីតាំងនៃ induction គណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍៖ f = 1, induction;
• ដំណាក់កាលបន្ទាប់គឺផ្អែកលើការសន្មត់ថាទីតាំងមានសុពលភាពសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់។ នោះគឺ f = h គឺជាសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័;
• នៅដំណាក់កាលទីបីសុពលភាពនៃទីតាំងសម្រាប់លេខ f = h + 1 ត្រូវបានបង្ហាញដោយផ្អែកលើភាពត្រឹមត្រូវនៃទីតាំងនៃចំណុចមុន - នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរ induction ឬជំហាននៃ induction គណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍​មួយ​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​ប្រសិន​បើ​ថ្ម​ដំបូង​នៅ​ក្នុង​ជួរ​ដេក​ធ្លាក់​ចុះ (មូលដ្ឋាន) នោះ​ថ្ម​ទាំង​អស់​នៅ​ក្នុង​ជួរ​ដេក​ធ្លាក់​ចុះ (ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​) ។

ទាំងកំប្លែង និងធ្ងន់ធ្ងរ

ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការយល់ដឹង ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នៃបញ្ហាកំប្លែង។ នេះគឺជាភារកិច្ច "ជួរគួរសម"៖

• ច្បាប់នៃការប្រព្រឹត្តហាមឃាត់បុរសម្នាក់មិនឱ្យងាកមុខស្ត្រី (ក្នុងស្ថានភាពបែបនេះនាងត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យទៅមុខ) ។ ដោយផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ប្រសិនបើចុងក្រោយនៅក្នុងបន្ទាត់គឺជាបុរស នោះអ្នកផ្សេងទៀតគឺជាបុរស។

ឧទាហរណ៍ដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺបញ្ហា "ការហោះហើរគ្មានវិមាត្រ"៖

• វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ថាមនុស្សមួយចំនួនអាចសមនៅលើឡានក្រុងបាន។ វាជាការពិតដែលមនុស្សម្នាក់អាចដាក់ក្នុងយានជំនិះដោយមិនពិបាក (មូលដ្ឋាន)។ ប៉ុន្តែ​មិន​ថា​រថយន្ត​តូច​នោះ​ពេញ​ប៉ុណ្ណា​ទេ អ្នក​ដំណើរ 1 នាក់​នឹង​ដាក់​លើ​វា​ជានិច្ច (ជំហាន​ដំបូង)។

រង្វង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា និងសមីការដោយ induction គណិតវិទ្យាគឺជារឿងធម្មតាណាស់។ ជាឧទាហរណ៍នៃវិធីសាស្រ្តនេះ សូមពិចារណាបញ្ហាខាងក្រោម។

លក្ខខណ្ឌ៖ មានរង្វង់ h នៅលើយន្តហោះ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ថា សម្រាប់ការរៀបចំណាមួយនៃតួលេខ ផែនទីដែលពួកគេបង្កើតអាចមានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងពណ៌ពីរ។

ដំណោះស្រាយ៖ នៅពេលដែល h=1 ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺជាក់ស្តែង ដូច្នេះភស្តុតាងនឹងត្រូវបានសាងសង់សម្រាប់ចំនួនរង្វង់ h+1 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលយកការសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍មានសុពលភាពសម្រាប់ផែនទីណាមួយ ហើយមានរង្វង់ h+1 នៅលើយន្តហោះ។ ដោយ​ដក​រង្វង់​មួយ​ចេញ​ពី​ចំនួន​សរុប អ្នក​អាច​ទទួល​បាន​ផែនទី​ដែល​មាន​ពណ៌​ត្រឹមត្រូវ​ជាមួយ​ពណ៌​ពីរ (ស និង​ខ្មៅ)។

នៅពេលស្តាររង្វង់ដែលបានលុបពណ៌នៃតំបន់នីមួយៗផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ (ក្នុងករណីនេះនៅខាងក្នុងរង្វង់) ។ លទ្ធផលគឺផែនទីដែលមានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាពីរពណ៌ ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ជាមួយលេខធម្មជាតិ

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ដូចខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ៖

បង្ហាញថាសមភាពខាងក្រោមសម្រាប់ h ណាមួយគឺត្រឹមត្រូវ៖

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. អនុញ្ញាតឱ្យ h=1 ដែលមានន័យថា៖

R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

វាធ្វើតាមពីនេះថាសម្រាប់ h=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺត្រឹមត្រូវ។

2. សន្មត់ថា h = d សមីការត្រូវបានទទួល៖

R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. សន្មត់ថា h=d+1 វាប្រែថា:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1)2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

ដូច្នេះសុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ h=d+1 ត្រូវបានបញ្ជាក់ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ ដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយ induction គណិតវិទ្យា។

កិច្ចការ

លក្ខខណ្ឌ៖ ភស្ដុតាង​គឺ​តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​តម្លៃ​ណាមួយ​នៃ h កន្សោម 7 h -1 ត្រូវ​បែងចែក​ដោយ 6 ដោយ​មិន​មាន​សល់។

ដំណោះស្រាយ:

1. ចូរនិយាយថា h=1 ក្នុងករណីនេះ៖

R 1 = 7 1 -1 = 6 (ឧទាហរណ៍ចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់)

ដូច្នេះសម្រាប់ h=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត;

2. សូមអោយ h = d និង 7 d -1 ចែកនឹង 6 ដោយគ្មានសល់;

3. ភស្តុតាងនៃសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ h=d+1 គឺជារូបមន្ត៖

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

ក្នុង​ករណី​នេះ ពាក្យ​ទី​មួយ​ត្រូវ​ចែក​ដោយ ៦ តាម​ការ​សន្មត​នៃ​ចំណុច​ទី​១ ហើយ​ពាក្យ​ទី​ពីរ​ស្មើ​នឹង ៦។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ដែល​ថា ៧ ម៉ោង -១ ត្រូវ​ចែក​នឹង ៦ ដោយ​មិន​មាន​សល់​សម្រាប់ h ធម្មជាតិ​ណា​មួយ​គឺ​ពិត។

កំហុសក្នុងការវិនិច្ឆ័យ

ជារឿយៗការវែកញែកមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានប្រើក្នុងភស្តុតាងដោយសារតែភាពមិនត្រឹមត្រូវនៃសំណង់ឡូជីខលដែលបានប្រើ។ វាកើតឡើងជាចម្បងនៅពេលដែលរចនាសម្ព័ន្ធ និងតក្កវិជ្ជានៃភស្តុតាងត្រូវបានរំលោភបំពាន។ ឧទាហរណ៍នៃហេតុផលមិនត្រឹមត្រូវគឺជាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

កិច្ចការ

លក្ខខណ្ឌ៖ ភស្ដុតាង​តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​គំនរ​ថ្ម​ណា​មួយ​មិន​មែន​ជា​គំនរ​ទេ។

ដំណោះស្រាយ:

1. ចូរនិយាយថា h=1 ក្នុងករណីនេះមានថ្ម 1 នៅក្នុងគំនរ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត (មូលដ្ឋាន);

2. សូមឱ្យវាជាការពិតសម្រាប់ h=d ថាគំនរថ្មមិនមែនជាគំនរ (សន្មត់) ។

3. អនុញ្ញាតឱ្យ h=d+1 ដែលវាធ្វើតាមថា នៅពេលបន្ថែមថ្មមួយដុំទៀត សំណុំនឹងមិនមែនជាគំនរទេ។ ការសន្និដ្ឋានបង្ហាញខ្លួនឯងថាការសន្មត់មានសុពលភាពសម្រាប់ h ធម្មជាតិទាំងអស់។

កំហុសគឺថាមិនមាននិយមន័យនៃចំនួនថ្មបង្កើតជាគំនរ។ ការធ្វេសប្រហែសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ការធ្វើទូទៅលឿនរហ័សនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍មួយបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់។

សេចក្តីផ្តើម និងច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជា

តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ ពួកគេតែងតែ "ដើរក្នុងដៃ"។ វិញ្ញាសាវិទ្យាសាស្ត្រ ដូចជាតក្កវិជ្ជា និងទស្សនវិជ្ជា ពិពណ៌នាអំពីពួកគេក្នុងទម្រង់ផ្ទុយគ្នា។

តាមទស្សនៈនៃច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជា និយមន័យអាំងឌុចស្យុងពឹងផ្អែកលើអង្គហេតុ ហើយការពិតនៃបរិវេណមិនកំណត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍លទ្ធផលនោះទេ។ ជារឿយៗការសន្និដ្ឋានត្រូវបានទទួលជាមួយនឹងកម្រិតជាក់លាក់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ និងភាពអាចជឿជាក់បាន ដែលតាមធម្មជាតិ ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់ និងបញ្ជាក់ដោយការស្រាវជ្រាវបន្ថែម។ ឧទាហរណ៍​នៃ​ការ​បញ្ចូល​ក្នុង​តក្កវិជ្ជា​នឹង​ជា​សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

មានគ្រោះរាំងស្ងួតនៅអេស្តូនី គ្រោះរាំងស្ងួតនៅឡាតវី គ្រោះរាំងស្ងួតនៅប្រទេសលីទុយអានី។

អេស្តូនី ឡាតវី និងលីទុយអានី គឺជារដ្ឋបាល់ទិក។ មានគ្រោះរាំងស្ងួតនៅក្នុងរដ្ឋបាល់ទិកទាំងអស់។

តាមឧទាហរណ៍ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា ព័ត៌មានថ្មី ឬការពិតមិនអាចទទួលបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការណែនាំនោះទេ។ អ្វី​ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​ពឹង​ផ្អែក​លើ​គឺ​ជា​ការ​ពិត​មួយ​ចំនួន​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​នៃ​ការ​សន្និដ្ឋាន​។ លើសពីនេះទៅទៀតការពិតនៃបរិវេណមិនធានានូវការសន្និដ្ឋានដូចគ្នានោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការពិតនេះមិនមានន័យថា អាំងឌុចស្យុងធ្លាក់ចុះនៅលើរឹមនៃការកាត់នោះទេ: មួយចំនួនធំនៃបទប្បញ្ញត្តិ និងច្បាប់វិទ្យាសាស្ត្រត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របញ្ចូល។ ឧទាហរណ៍មួយគឺដូចគ្នា គណិតវិទ្យា ជីវវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។ នេះភាគច្រើនកើតឡើងដោយសារវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលពេញលេញ ប៉ុន្តែក្នុងករណីខ្លះ ការបញ្ចូលដោយផ្នែកក៏អាចអនុវត្តបានដែរ។

យុគដ៏ថ្លៃថ្លានៃការបង្កើតបានអនុញ្ញាតឱ្យវាជ្រាបចូលទៅក្នុងគ្រប់វិស័យនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស - នេះគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រ សេដ្ឋកិច្ច និងការសន្និដ្ឋានប្រចាំថ្ងៃ។

ការបញ្ចូលក្នុងសហគមន៍វិទ្យាសាស្ត្រ

វិធីសាស្ត្រណែនាំតម្រូវឱ្យមានអាកប្បកិរិយាប្រកបដោយការប្រុងប្រយ័ត្ន ព្រោះច្រើនអាស្រ័យទៅលើចំនួនផ្នែកនៃការសិក្សាទាំងមូល៖ ចំនួនសិក្សាកាន់តែច្រើន លទ្ធផលកាន់តែគួរឱ្យទុកចិត្ត។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈពិសេសនេះ ច្បាប់វិទ្យាសាស្រ្តដែលទទួលបានដោយការបញ្ជូលគ្នាត្រូវបានសាកល្បងអស់រយៈពេលជាយូរក្នុងកម្រិតនៃការសន្មត់ប្រូបាប៊ីលីតេដើម្បីញែក និងសិក្សាធាតុរចនាសម្ព័ន្ធ ការតភ្ជាប់ និងឥទ្ធិពលដែលអាចកើតមានទាំងអស់។

នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ ការសន្និដ្ឋានដោយប្រយោលគឺផ្អែកលើលក្ខណៈសំខាន់ៗ លើកលែងតែបទប្បញ្ញត្តិចៃដន្យ។ ការពិតនេះគឺមានសារៈសំខាន់ក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងជាក់លាក់នៃចំណេះដឹងវិទ្យាសាស្រ្ត។ នេះត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូលក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។

នៅក្នុងពិភពវិទ្យាសាស្ត្រមានពីរប្រភេទ (ទាក់ទងនឹងវិធីសាស្រ្តនៃការសិក្សា)៖

1. ការជ្រើសរើស (ឬការជ្រើសរើស);
2. induction - ការដកចេញ (ការដកចេញ) ។

ប្រភេទទី 1 ត្រូវបានសម្គាល់ដោយការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្ត (មិនច្បាស់លាស់) នៃគំរូនៃថ្នាក់ (ថ្នាក់រង) ពីតំបន់ផ្សេងៗគ្នារបស់វា។

ឧទាហរណ៏នៃប្រភេទនៃអាំងឌុចស្យុងនេះគឺដូចខាងក្រោម: ប្រាក់ (ឬអំបិលប្រាក់) បន្សុទ្ធទឹក។ ការសន្និដ្ឋានគឺផ្អែកលើការសង្កេតជាច្រើនឆ្នាំ (ប្រភេទនៃការជ្រើសរើសការបញ្ជាក់ និងការបដិសេធ - ការជ្រើសរើស)។

ប្រភេទទីពីរនៃការបញ្ចូលគឺផ្អែកលើការសន្និដ្ឋានដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងបុព្វហេតុ និងមិនរាប់បញ្ចូលកាលៈទេសៈដែលមិនសមស្របនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ពោលគឺសកលភាព ការប្រកាន់ខ្ជាប់នូវលំដាប់បណ្ដោះអាសន្ន ភាពចាំបាច់ និងភាពមិនច្បាស់លាស់។

សេចក្តីផ្តើម និងការកាត់ចេញពីមុខតំណែងនៃទស្សនវិជ្ជា

ក្រឡេកទៅមើលប្រវត្តិសាស្រ្តវិញ ពាក្យថា សេចក្តីផ្តើមត្រូវបានលើកឡើងដំបូងដោយ សូក្រាត។ អារីស្តូតបានពិពណ៌នាអំពីឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូលក្នុងទស្សនវិជ្ជានៅក្នុងវចនានុក្រមវាក្យសព្ទប្រហាក់ប្រហែល ប៉ុន្តែសំណួរនៃការបញ្ចូលមិនពេញលេញនៅតែបើកចំហ។ បន្ទាប់ពីការបៀតបៀននៃ syllogism Aristotelian វិធីសាស្រ្ត inductive បានចាប់ផ្តើមត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជាផ្លែផ្កានិងតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាននៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តធម្មជាតិ។ Bacon ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបិតានៃការបង្កើតជាវិធីសាស្រ្តពិសេសឯករាជ្យ ប៉ុន្តែគាត់បានបរាជ័យក្នុងការបំបែកអាំងឌុចស្យុងពីវិធីសាស្ត្រដកប្រាក់ ដូចដែលសហសម័យរបស់គាត់ទាមទារ។

អាំងឌុចស្យុងត្រូវបានអភិវឌ្ឍបន្ថែមទៀតដោយ J. Mill ដែលបានពិចារណាទ្រឹស្តីអាំងឌុចស្យុងពីទស្សនៈនៃវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗចំនួនបួន៖ កិច្ចព្រមព្រៀង ភាពខុសគ្នា សំណល់ និងការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នា។ វាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលសព្វថ្ងៃនេះវិធីសាស្រ្តដែលបានរាយបញ្ជីនៅពេលពិនិត្យយ៉ាងលម្អិតគឺកាត់ចេញ។

ការសម្រេចបាននូវភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្ដីរបស់ Bacon និង Mill បាននាំឱ្យអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រសិក្សាអំពីមូលដ្ឋានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបង្កើត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សូម្បីតែនៅទីនេះក៏មានចំណុចខ្លាំងខ្លះដែរ៖ ការប៉ុនប៉ងត្រូវបានធ្វើឡើងដើម្បីកាត់បន្ថយការបញ្ចូលទៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ជាមួយនឹងផលវិបាកដែលកើតឡើងទាំងអស់។

អាំងឌុចស្យុង ទទួលបានការបោះឆ្នោតទំនុកចិត្តតាមរយៈការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៅក្នុងមុខវិជ្ជាជាក់លាក់ និងអរគុណចំពោះភាពត្រឹមត្រូវនៃម៉ែត្រនៃមូលដ្ឋានអាំងឌុចទ័។ ឧទាហរណ៏នៃការបញ្ជូល និងកាត់ផ្នែកទស្សនវិជ្ជា អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាច្បាប់នៃទំនាញសកល។ នៅកាលបរិច្ឆេទនៃការរកឃើញច្បាប់នេះ ញូវតុនអាចផ្ទៀងផ្ទាត់វាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ 4 ភាគរយ។ ហើយនៅពេលដែលបានពិនិត្យលើសពីពីររយឆ្នាំក្រោយមក ភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានបញ្ជាក់ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.0001 ភាគរយ បើទោះបីជាការផ្ទៀងផ្ទាត់ត្រូវបានអនុវត្តដោយការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈទូទៅដូចគ្នាក៏ដោយ។

ទស្សនវិជ្ជាទំនើបយកចិត្តទុកដាក់បន្ថែមទៀតចំពោះការកាត់កង ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបំណងប្រាថ្នាឡូជីខលក្នុងការទាញយកចំណេះដឹងថ្មី (ឬការពិត) ពីអ្វីដែលបានដឹងរួចមកហើយ ដោយមិនប្រើបទពិសោធន៍ ឬវិចារណញាណ ប៉ុន្តែប្រើការវែកញែក "បរិសុទ្ធ" ។ នៅពេលសំដៅទៅលើបរិវេណពិតនៅក្នុងវិធីដកប្រាក់ ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ លទ្ធផលគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។

លក្ខណៈ​សំខាន់​ខ្លាំង​នេះ​មិន​គួរ​គ្រប​ដណ្ដប់​លើ​តម្លៃ​នៃ​វិធីសាស្ត្រ​បញ្ចូល​ទេ។ ចាប់តាំងពីការចាប់ផ្តើម ដោយផ្អែកលើសមិទ្ធិផលនៃបទពិសោធន៍ ក៏ក្លាយជាមធ្យោបាយនៃដំណើរការវា (រួមទាំងការធ្វើទូទៅ និងការរៀបចំប្រព័ន្ធ)។

ការ​អនុវត្ត​ការ​បញ្ចូល​ក្នុង​សេដ្ឋកិច្ច

អាំងឌុចស្យុង និង​ការ​កាត់​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ជា​យូរ​មក​ហើយ​ជា​វិធីសាស្ត្រ​ក្នុង​ការ​សិក្សា​សេដ្ឋកិច្ច និង​ការ​ព្យាករ​ពី​ការ​អភិវឌ្ឍ​របស់​វា។

ជួរនៃការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្ត induction គឺធំទូលាយណាស់: សិក្សាការសម្រេចនៃសូចនាករព្យាករណ៍ (ប្រាក់ចំណេញការរំលោះ។ ល។ ) និងការវាយតម្លៃទូទៅនៃរដ្ឋសហគ្រាស; ការបង្កើតគោលនយោបាយលើកកម្ពស់សហគ្រាសប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពដោយផ្អែកលើការពិត និងទំនាក់ទំនងរបស់ពួកគេ។

វិធីសាស្រ្តដូចគ្នានៃការបញ្ចូលត្រូវបានប្រើនៅក្នុង "ផែនទី Shewhart" ដែលក្រោមការសន្មត់នៃការបែងចែកដំណើរការទៅជាការគ្រប់គ្រង និងមិនអាចគ្រប់គ្រងបាន វាត្រូវបានចែងថាក្របខ័ណ្ឌនៃដំណើរការដែលបានគ្រប់គ្រងគឺអសកម្ម។

គួរកត់សំគាល់ថាច្បាប់វិទ្យាសាស្ត្រត្រូវបានបញ្ជាក់ និងបញ្ជាក់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្របញ្ចូល ហើយដោយសារសេដ្ឋកិច្ចជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលតែងតែប្រើការវិភាគគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្ដីហានិភ័យ និងស្ថិតិ វាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទាល់តែសោះដែលការបញ្ចូលគឺស្ថិតនៅក្នុងបញ្ជីនៃវិធីសាស្ត្រសំខាន់ៗ។

ឧទហរណ៍នៃការបញ្ជូល និងកាត់ផ្នែកសេដ្ឋកិច្ច គឺជាស្ថានភាពដូចខាងក្រោម។ ការកើនឡើងនៃតម្លៃអាហារ (ពីកន្ត្រកអ្នកប្រើប្រាស់) និងទំនិញសំខាន់ៗ ជំរុញឱ្យអ្នកប្រើប្រាស់គិតអំពីការចំណាយខ្ពស់ដែលកំពុងលេចឡើងនៅក្នុងរដ្ឋ (ការចាប់ផ្តើម)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះពីការពិតនៃតម្លៃខ្ពស់ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីទាញយកសូចនាករនៃការកើនឡើងតម្លៃសម្រាប់ទំនិញបុគ្គលឬប្រភេទនៃទំនិញ (កាត់) ។

ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ បុគ្គលិកគ្រប់គ្រង អ្នកគ្រប់គ្រង និងអ្នកសេដ្ឋកិច្ច ងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រចាប់ផ្តើម។ ដើម្បីអាចទស្សន៍ទាយបានជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ ការអភិវឌ្ឍន៍សហគ្រាស ឥរិយាបថទីផ្សារ និងផលវិបាកនៃការប្រកួតប្រជែង វិធីសាស្រ្តដកយក-និទានសម្រាប់ការវិភាគ និងដំណើរការព័ត៌មានគឺចាំបាច់។

ឧទាហរណ៍ច្បាស់លាស់នៃការបញ្ចូលក្នុងសេដ្ឋកិច្ចទាក់ទងនឹងការវិនិច្ឆ័យខុស៖

• ប្រាក់ចំណេញរបស់ក្រុមហ៊ុនបានថយចុះ 30%;
  ក្រុមហ៊ុនប្រកួតប្រជែងបានពង្រីកជួរផលិតផលរបស់ខ្លួន;
  គ្មានអ្វីផ្សេងទៀតបានផ្លាស់ប្តូរ;
• គោលនយោបាយផលិតកម្មរបស់ក្រុមហ៊ុនប្រកួតប្រជែងបណ្តាលឱ្យមានការថយចុះ 30% នៃប្រាក់ចំណេញ;
• ដូច្នេះ គោលនយោបាយផលិតកម្មដូចគ្នាត្រូវតែអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍​នេះ​ជា​ការ​បង្ហាញ​ចម្រុះ​ពណ៌​អំពី​របៀប​ដែល​ការ​ប្រើ​ប្រាស់​មិន​ត្រឹមត្រូវ​នៃ​វិធីសាស្ត្រ​បញ្ឆេះ​ចូល​រួម​ចំណែក​ដល់​ការ​បំផ្លាញ​សហគ្រាស។

ការកាត់ចេញ និងការបញ្ចូលក្នុងចិត្តវិទ្យា

ដោយសារ​មាន​វិធីសាស្ត្រ​មួយ ដូច្នេះ​តាម​តក្កវិជ្ជា ក៏​មាន​ការ​គិត​ដែល​រៀបចំ​បាន​ត្រឹម​ត្រូវ (ប្រើ​វិធី​សាស្ត្រ)។ ចិត្តវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលសិក្សាពីដំណើរការផ្លូវចិត្ត ការបង្កើត ការអភិវឌ្ឍន៍ ទំនាក់ទំនង អន្តរកម្ម យកចិត្តទុកដាក់លើការគិតបែប "កាត់ទុក" ដែលជាទម្រង់មួយនៃការបង្ហាញនៃការកាត់ចេញ និងការបញ្ចូល។ ជាអកុសល នៅលើទំព័រចិត្តវិទ្យានៅលើអ៊ីនធឺណិត ជាក់ស្តែងមិនមានហេតុផលសម្រាប់សុចរិតភាពនៃវិធីសាស្ត្រដកយក-អាំងឌុចស្យុងនោះទេ។ ថ្វីបើអ្នកចិត្តសាស្រ្តដែលមានជំនាញវិជ្ជាជីវៈច្រើនតែជួបប្រទះនឹងការបង្ហាញនៃការចាប់ផ្តើម ឬជាការសន្និដ្ឋានខុសក៏ដោយ។

ឧទាហរណ៏នៃការបញ្ឆោតក្នុងចិត្តវិទ្យា ជាឧទាហរណ៍នៃការវិនិច្ឆ័យខុស គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ ម្តាយរបស់ខ្ញុំកំពុងបញ្ឆោត ដូច្នេះស្ត្រីទាំងអស់គឺជាអ្នកបោកប្រាស់។ អ្នកអាចប្រមូលឧទាហរណ៍ "ខុស" បន្ថែមទៀតនៃការបញ្ចូលពីជីវិត:

• សិស្សមិនអាចធ្វើអ្វីបាន ប្រសិនបើគាត់ទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់មិនល្អក្នុងគណិតវិទ្យា។
• គាត់គឺជាមនុស្សល្ងីល្ងើ;
• គាត់គឺឆ្លាត;
• ខ្ញុំអាចធ្វើអ្វីបាន;

និងការវិនិច្ឆ័យតម្លៃផ្សេងទៀតជាច្រើនដោយផ្អែកលើចៃដន្យទាំងស្រុង និងជួនកាល បរិវេណមិនសំខាន់។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់: នៅពេលដែលភាពខុសឆ្គងនៃការវិនិច្ឆ័យរបស់មនុស្សឈានដល់ចំណុចនៃភាពមិនសមហេតុផល ព្រំដែននៃការងារលេចឡើងសម្រាប់អ្នកព្យាបាលចិត្តសាស្ត្រ។ ឧទាហរណ៍មួយនៃការណែនាំនៅឯការណាត់ជួបអ្នកឯកទេស៖

"អ្នកជំងឺប្រាកដណាស់ថាពណ៌ក្រហមគឺមានគ្រោះថ្នាក់សម្រាប់គាត់ក្នុងទម្រង់ណាមួយ។ ជាលទ្ធផលបុគ្គលនោះបានដកពណ៌ចម្រុះនេះចេញពីជីវិតរបស់គាត់ - តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ មានឱកាសជាច្រើនសម្រាប់ការស្នាក់នៅប្រកបដោយផាសុកភាពនៅផ្ទះ។ អ្នកអាចបដិសេធធាតុពណ៌ក្រហមទាំងអស់ ឬជំនួសវាដោយ analogues ដែលផលិតក្នុងពណ៌ចម្រុះផ្សេង។ ប៉ុន្តែនៅកន្លែងសាធារណៈនៅកន្លែងធ្វើការនៅក្នុងហាង - វាមិនអាចទៅរួចទេ។ នៅពេលដែលអ្នកជំងឺរកឃើញថាខ្លួនគាត់ស្ថិតក្នុងស្ថានភាពស្ត្រេស រាល់ពេលដែលគាត់ជួបប្រទះនូវ "ជំនោរ" នៃស្ថានភាពអារម្មណ៍ខុសគ្នាទាំងស្រុង ដែលអាចបង្កគ្រោះថ្នាក់ដល់អ្នកដទៃ។

ឧទាហរណ៍នៃការបង្កើត និង induction ដោយមិនដឹងខ្លួនត្រូវបានគេហៅថា "គំនិតថេរ" ។ ប្រសិនបើរឿងនេះកើតឡើងចំពោះមនុស្សដែលមានសុខភាពល្អផ្លូវចិត្ត យើងអាចនិយាយអំពីការខ្វះខាតនៃការរៀបចំសកម្មភាពផ្លូវចិត្ត។ មធ្យោបាយមួយដើម្បីកម្ចាត់រដ្ឋដែលគិតមមៃអាចជាការអភិវឌ្ឍន៍បឋមនៃការគិតដក។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀតវិកលចរិតធ្វើការជាមួយអ្នកជំងឺបែបនេះ។

ឧទាហរណ៍ខាងលើនៃការណែនាំបង្ហាញថា "ភាពល្ងង់ខ្លៅនៃច្បាប់មិនលើកលែងឱ្យអ្នកពីផលវិបាក (នៃការវិនិច្ឆ័យខុស) ។

អ្នកចិត្តសាស្រ្តដែលធ្វើការលើប្រធានបទនៃការគិតដកប្រាក់បានចងក្រងបញ្ជីនៃអនុសាសន៍ដែលត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីជួយមនុស្សឱ្យធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្ត្រនេះ។

ចំណុចដំបូងគឺការដោះស្រាយបញ្ហា។ ដូចដែលអាចមើលឃើញ ទម្រង់នៃការបញ្ចូលដែលប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាអាចចាត់ទុកថាជា "បុរាណ" ហើយការប្រើវិធីសាស្ត្រនេះរួមចំណែកដល់ "វិន័យ" នៃចិត្ត។

លក្ខខណ្ឌបន្ទាប់សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតដោយដកខ្លួនគឺការពង្រីកការយល់ដឹងរបស់មនុស្សម្នាក់ (អ្នកដែលគិតយ៉ាងច្បាស់បង្ហាញពីខ្លួនឯងយ៉ាងច្បាស់) ។ ការណែនាំនេះដឹកនាំ "ការរងទុក្ខ" ទៅកាន់រតនាគារនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងព័ត៌មាន (បណ្ណាល័យ គេហទំព័រ គំនិតផ្តួចផ្តើមអប់រំ ការធ្វើដំណើរ។ល។)។

ការលើកឡើងជាពិសេសគួរតែត្រូវបានធ្វើឡើងពីអ្វីដែលគេហៅថា "ការបញ្ចូលផ្លូវចិត្ត" ។ ពាក្យនេះ ទោះបីមិនញឹកញាប់ក៏ដោយ អាចរកបាននៅលើអ៊ីនធឺណិត។ ប្រភពទាំងអស់មិនផ្តល់យ៉ាងហោចណាស់នូវទម្រង់សង្ខេបនៃនិយមន័យនៃពាក្យនេះទេ ប៉ុន្តែសំដៅទៅលើ "ឧទាហរណ៍ពីជីវិត" ខណៈពេលដែលឆ្លងកាត់ជាប្រភេទថ្មីនៃការណែនាំ ឬទម្រង់ខ្លះនៃជំងឺផ្លូវចិត្ត ឬស្ថានភាពធ្ងន់ធ្ងរនៃ ចិត្តមនុស្ស។ ពីចំណុចទាំងអស់ខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ថាការប៉ុនប៉ងដើម្បីទទួលបាន "ពាក្យថ្មី" ដោយផ្អែកលើបរិវេណមិនពិត (ជាញឹកញាប់មិនពិត) នឹងធ្វើឱ្យអ្នកពិសោធន៍ទទួលបានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានកំហុស (ឬប្រញាប់) ។

គួរកត់សំគាល់ថា ការយោងទៅលើការពិសោធន៍ឆ្នាំ 1960 (ដោយមិនបង្ហាញពីទីតាំង ឈ្មោះអ្នកពិសោធន៍ គំរូនៃមុខវិជ្ជា និងសំខាន់បំផុត គោលបំណងនៃការពិសោធន៍) មើលទៅ ដាក់វាដោយស្លូតបូត មិនគួរឱ្យជឿ និង សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលខួរក្បាលយល់ឃើញព័ត៌មានដែលឆ្លងកាត់គ្រប់សរីរាង្គនៃការយល់ឃើញ (ឃ្លាថា "រងផលប៉ះពាល់" នឹងសមនឹងសរីរាង្គច្រើនជាងក្នុងករណីនេះ) ធ្វើឱ្យមនុស្សម្នាក់គិតអំពីភាពមិនសមរម្យ និងភាពមិនសមរម្យរបស់អ្នកនិពន្ធនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ។

ជំនួសឱ្យការសន្និដ្ឋាន

វាមិនមែនសម្រាប់គ្មានអ្វីដែលមហាក្សត្រិយានីនៃវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាប្រើទុនបំរុងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលនិងការកាត់។ គំរូដែលបានពិចារណាអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថាការអនុវត្តលើផ្ទៃខាងក្រៅ និងអសមត្ថភាព (ដែលមិនគិតដូចដែលពួកគេនិយាយ) សូម្បីតែវិធីសាស្ត្រត្រឹមត្រូវ និងគួរឱ្យទុកចិត្តបំផុត តែងតែនាំទៅរកលទ្ធផលខុសឆ្គង។

នៅក្នុងស្មារតីដ៏ធំ វិធីសាស្រ្តនៃការកាត់ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹង Sherlock Holmes ដ៏ល្បីល្បាញ ដែលនៅក្នុងការសាងសង់ឡូជីខលរបស់គាត់ច្រើនតែប្រើឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូល ដោយប្រើការកាត់ក្នុងស្ថានភាពត្រឹមត្រូវ។

អត្ថបទបានពិនិត្យឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តទាំងនេះនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស័យផ្សេងៗនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស។

MBOU Lyceum "បច្ចេកទេស និងសេដ្ឋកិច្ច"

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា។

កំណត់ចំណាំពន្យល់

ការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្ត "វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា" ត្រូវបានចងក្រងសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 10 នៃទម្រង់គណិតវិទ្យា។

គោលដៅបឋម៖ ដើម្បីណែនាំសិស្សឱ្យស្គាល់វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា និងបង្រៀនពីរបៀបអនុវត្តវាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។

ការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយបញ្ហានៃគណិតវិទ្យាបឋម៖ បញ្ហាបែងចែក ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណ ភស្តុតាងនៃវិសមភាព បញ្ហានៃកម្រិតខុសគ្នានៃភាពស្មុគស្មាញត្រូវបានស្នើឡើង រួមទាំងបញ្ហាដែលបានស្នើឡើងនៅអូឡាំពិក។

តួនាទី​នៃ​ការ​សន្និដ្ឋាន​ប្រឌិត​ក្នុង​វិទ្យាសាស្ត្រ​ពិសោធន៍​គឺ​អស្ចារ្យ​ណាស់។ ពួកគេផ្តល់ឱ្យនូវបទប្បញ្ញត្តិទាំងនោះដែលការសន្និដ្ឋានបន្ថែមទៀតត្រូវបានទាញតាមរយៈការកាត់ចេញ។ ឈ្មោះ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបោកបញ្ឆោត - តាមការពិត វិធីសាស្រ្តនេះគឺកាត់ចេញ និងផ្តល់នូវភស្តុតាងយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានទាយតាមរយៈការបញ្ចូល។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាជួយកំណត់អត្តសញ្ញាណទំនាក់ទំនងរវាងសាខាផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា និងជួយអភិវឌ្ឍវប្បធម៌គណិតវិទ្យារបស់សិស្ស។

និយមន័យនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ការបញ្ចូលពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។ ភស្តុតាងនៃវិសមភាព។ ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។ ការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗលើប្រធានបទ "វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា" ។

អក្សរសាស្ត្រសម្រាប់គ្រូបង្រៀន

1. M.L. Galitsky ។ ការសិក្សាស៊ីជម្រៅលើវគ្គសិក្សាពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ - អិម ការអប់រំ ១៩៨៦។

2. L.I.Zvavich ។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ សម្ភារៈ Didactic ។ M. Bustard.2001 ។

3. N.Ya.Vilenkin ។ ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ M Enlightenment.1995 ។

4. Yu.V.Mikheev ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ NSU.1995 ។

អក្សរសាស្ត្រសម្រាប់សិស្ស

1. N.Ya.Vilenkin ។ ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ M Enlightenment.1995 ។

2. Yu.V.Mikheev ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ NSU.1995 ។

ពាក្យគន្លឹះ

Induction, axiom, គោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា, induction ពេញលេញ, induction មិនពេញលេញ, សេចក្តីថ្លែងការណ៍, អត្តសញ្ញាណ, វិសមភាព, ការបែងចែក។

DIDACTIC ឧបសម្ព័ន្ធទៅនឹងប្រធានបទ

"វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា" ។

មេរៀនទី១.

និយមន័យនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺជាវិធីសាស្រ្តមួយដែលមានប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់ក្នុងការស្វែងរកលទ្ធផលថ្មី និងបង្ហាញពីការពិតនៃការសន្មត់ដែលបានធ្វើ។ ថ្វីត្បិតតែវិធីសាស្ត្រនេះក្នុងគណិតវិទ្យាមិនមែនជារឿងថ្មីក៏ដោយ ក៏ការចាប់អារម្មណ៍លើវាមិនធ្លាក់ចុះដែរ។ ជាលើកដំបូងក្នុងការបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ វិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងសតវត្សទី 17 ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំងដ៏ឆ្នើម Blaise Pascal នៅពេលបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិនៃត្រីកោណលេខ ដែលមានឈ្មោះរបស់គាត់តាំងពីពេលនោះមក។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គំនិតនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះជនជាតិក្រិចបុរាណ។ វិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យាគឺផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា ដែលត្រូវបានទទួលយកជា axiom ។ សូមក្រឡេកមើលគំនិតនៃ induction គណិតវិទ្យាដោយប្រើឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍លេខ 1 ។

ការ៉េត្រូវបានបែងចែកជាពីរផ្នែកដោយផ្នែកមួយបន្ទាប់មកផ្នែកមួយនៃលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកជាពីរផ្នែកហើយដូច្នេះនៅលើ។ កំណត់ចំនួនផ្នែកដែលការ៉េនឹងត្រូវបែងចែកជា នជំហាន?

ដំណោះស្រាយ។

បន្ទាប់ពីជំហានដំបូងយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌយើងនឹងទទួលបាន 2 ផ្នែក។ នៅជំហានទីពីរយើងទុកមួយផ្នែកមិនផ្លាស់ប្តូរហើយបែងចែកទីពីរជា 2 ផ្នែកហើយទទួលបាន 3 ផ្នែក។ នៅជំហានទីបីយើងទុក 2 ផ្នែកមិនផ្លាស់ប្តូរហើយបែងចែកទីបីជាពីរផ្នែកហើយទទួលបាន 4 ផ្នែក។ នៅជំហានទី 4 យើងទុក 3 ផ្នែកមិនផ្លាស់ប្តូរហើយបែងចែកផ្នែកចុងក្រោយជាពីរផ្នែកហើយទទួលបាន 5 ផ្នែក។ នៅជំហានទី 5 យើងនឹងទទួលបាន 6 ផ្នែក។ នេះ​សុំ​យោបល់​ថា​ឆ្លង​កាត់ នជំហានដែលយើងនឹងទទួលបាន (n+1)ផ្នែក។ ប៉ុន្តែសំណើនេះត្រូវតែបញ្ជាក់។ ចូរសន្មតថាបន្ទាប់ពី ទៅជំហានដែលការ៉េនឹងត្រូវបែងចែកជា (k+1)ផ្នែក។ បន្ទាប់មកនៅលើ (k+1)ជំហានដែលយើងធ្វើ ទៅផ្នែកនឹងត្រូវបានទុកចោលមិនផ្លាស់ប្តូរ ប៉ុន្តែ (k+1)ចែកផ្នែកជាពីរផ្នែកហើយទទួលបាន (k+2)ផ្នែក។ អ្នកសម្គាល់ឃើញថា អ្នកអាចជជែកតវ៉ាតាមវិធីនេះ ដរាបណាអ្នកចូលចិត្ត ការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានដែនកំណត់។ នោះគឺការសន្មត់របស់យើងគឺតាមរយៈ នជំហានដែលការ៉េនឹងត្រូវបែងចែកជា (n+1)ផ្នែកក្លាយជាភស្តុតាង។

ឧទាហរណ៍លេខ 2 ។

ជីដូនរបស់ខ្ញុំមានចៅស្រីម្នាក់ដែលពិតជាចូលចិត្តយៈសាពូនមី ហើយជាពិសេសប្រភេទដែលមកក្នុងពាងមួយលីត្រ។ ប៉ុន្តែជីដូនរបស់ខ្ញុំមិនអនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំប៉ះគាត់ទេ។ ហើយចៅស្រីគ្រោងនឹងបញ្ឆោតជីដូន។ គាត់បានសម្រេចចិត្តទទួលទាន 1/10 លីត្រពីពាងនេះជារៀងរាល់ថ្ងៃ ហើយបញ្ចូលវាជាមួយនឹងទឹក លាយយ៉ាងហ្មត់ចត់។ តើត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានថ្ងៃ ទើបលោកយាយរកឃើញការបោកប្រាស់ ប្រសិនបើយៈសាពូនមីនៅតែមានរូបរាងដដែល ពេលដែលពនលាយទឹកពាក់កណ្តាល?

ដំណោះស្រាយ។

តោះរកមើលថាតើយៈសាពូនមីសុទ្ធនៅសល់ប៉ុន្មាននៅក្នុងពាងបន្ទាប់ពី នថ្ងៃ បន្ទាប់ពីថ្ងៃដំបូងល្បាយដែលមាន 9/10 យៈសាពូនមីនិងទឹក 1/10 នឹងនៅតែមាននៅក្នុងពាង។ បន្ទាប់ពីពីរថ្ងៃ 1/10 នៃល្បាយទឹកនិងយៈសាពូនមីនឹងបាត់ពីពាងហើយនឹងនៅតែមាន (1 លីត្រនៃល្បាយមានយៈសាពូនមី 9/10 លីត្រ 1/10 លីត្រនៃល្បាយមានយៈសាពូនមី 9/100 លីត្រ។ )

9/10 – 9/100=81/100=(9/10) យៈសាពូនមី 2 លីត្រ។ នៅថ្ងៃទីបី 1/10 លីត្រនៃល្បាយដែលមាន 81/100 យៈសាពូនមីនិងទឹក 19/100 នឹងបាត់ពីពាង។ 1 លីត្រនៃល្បាយមាន 81/100 លីត្រនៃយៈសាពូនមី 1/10 លីត្រនៃល្បាយមាន 81/1000 លីត្រនៃយៈសាពូនមី។ 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) យៈសាពូនមី 3 លីត្រនឹងនៅសល់បន្ទាប់ពី 3 ថ្ងៃហើយនៅសល់នឹងត្រូវយកដោយទឹក។ លំនាំមួយលេចឡើង។ តាមរយៈ នថ្ងៃដែលនៅសល់ក្នុងធនាគារ (9/10) នលីត្រ យៈសាពូនមី។ ប៉ុន្តែនេះគ្រាន់តែជាការស្មានរបស់យើងប៉ុណ្ណោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ ទៅ- លេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត។ ចូរសន្មតថាបន្ទាប់ពី ទៅថ្ងៃនឹងមានយៈសាពូនមី (9/10) លីត្រដែលនៅសល់ក្នុងពាង។ តោះមើលអ្វីដែលនឹងមាននៅក្នុងធនាគារនៅថ្ងៃមួយផ្សេងទៀត នោះគឺនៅក្នុង (k+1)ថ្ងៃ នឹងបាត់ពីធុង 1/10 លីត្រល្បាយដែលមាន (9/10) ទៅ លីត្រយៈសាពូនមីនិងទឹក។ IN 1 លីត្រល្បាយគឺ (9/10) ទៅ លីត្រយៈសាពូនមី, ក្នុង 1/10 លីត្រល្បាយ (9/10) k+1 លីត្រយៈសាពូនមី ឥឡូវនេះយើងអាចនិយាយដោយសុវត្ថិភាពថាតាមរយៈ នថ្ងៃដែលនៅសល់នៅក្នុងធនាគារ (9/10) ន លីត្រយៈសាពូនមី ក្នុងរយៈពេល 6 ថ្ងៃធនាគារនឹងមាន 531444/1000000lយៈសាពូនមីបន្ទាប់ពី 7 ថ្ងៃ - 4782969/10000000lយៈសាពូនមី, នោះគឺតិចជាងពាក់កណ្តាល។

ចម្លើយ៖បន្ទាប់ពី ៧ ថ្ងៃ យាយនឹងរកឃើញការបោកប្រាស់។

ចូរយើងព្យាយាមគូសបញ្ជាក់ពីចំណុចសំខាន់បំផុតក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានពិចារណា។ យើង​បាន​ចាប់​ផ្តើម​ដោះស្រាយ​ពួកគេ​ម្នាក់ៗ​ដោយ​ពិចារណា​លើ​បុគ្គល ឬ​ដូច​ដែល​ពួកគេ​និយាយ​ថា ករណី​ពិសេស។ បន្ទាប់មក ដោយផ្អែកលើការសង្កេតរបស់យើង យើងបានធ្វើការសន្មត់មួយចំនួន P(n)អាស្រ័យលើធម្មជាតិ ទំ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ នោះគឺជាការបញ្ជាក់ P(1), P(2), P(3);

បានស្នើថា P(n)មានសុពលភាពសម្រាប់ p=kហើយ​បាន​សន្និដ្ឋាន​ថា វា​នឹង​ក្លាយ​ជា​ការ​ពិត​នៅ​ពេល​បន្ទាប់ n, n=k+1 ។

ហើយ​បន្ទាប់​មក​ពួក​គេ​បាន​វែកញែក​រឿង​មួយ​ដូច​នេះ៖ P(1)ត្រូវហើយ P(2)ត្រូវហើយ P(3)ត្រូវហើយ P(4)ត្រូវ... មានន័យថាត្រូវ P(p)។

គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ P(n)អាស្រ័យលើធម្មជាតិ នមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិទាំងអស់។ ន, ប្រសិនបើ

1) សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅពេល n=1;

2) ពីការសន្មតនៃសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ P(n)នៅ p=kគួរ

យុត្តិធម៌ P(n)នៅ n=k+1 ។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានជ្រើសរើស ជាក្បួនមួយក្នុងចំនោម axioms ដែលកំណត់ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខ ហើយដូច្នេះវាត្រូវបានទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ដោយប្រើប្រាស់គោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា method of mathematical induction ។ ចំណាំថាវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ អត្តសញ្ញាណ វិសមភាពក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក និងបញ្ហាជាច្រើនទៀត។

មេរៀនទី ២

ការបញ្ចូលពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។

ក្នុងករណីដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យាទាក់ទងនឹងចំនួនវត្ថុកំណត់ វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការធ្វើតេស្តសម្រាប់វត្ថុនីមួយៗ ឧទាហរណ៍ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ "រាល់លេខគូពីរខ្ទង់ គឺជាផលបូកនៃចំនួនបឋមពីរ"។ វិធីសាស្រ្តនៃភស្តុតាងដែលយើងសាកល្បងសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយសម្រាប់ចំនួនកំណត់នៃករណីត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាពេញលេញ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេប្រើកម្រណាស់ ចាប់តាំងពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានពិចារណាជាញឹកញាប់បំផុតលើសំណុំគ្មានកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ទ្រឹស្តីបទ “លេខគូណាមួយស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនបឋមពីរ” មិនទាន់ត្រូវបានបញ្ជាក់ ឬបដិសេធឡើយ។ ទោះបីជាយើងបានសាកល្បងទ្រឹស្តីបទនេះសម្រាប់រាប់ពាន់លានដំបូងក៏ដោយ ក៏វាមិននាំយើងមួយជំហានទៅជិតភស្តុតាងរបស់វាដែរ។

នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ ការបញ្ចូលមិនពេញលេញត្រូវបានប្រើ ពិនិត្យមើលការពិសោធន៍ជាច្រើនដង និងផ្ទេរលទ្ធផលទៅគ្រប់ករណីទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍លេខ 3 ។

ចូរយើងទាយ ដោយប្រើការបញ្ចូលមិនពេញលេញ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកគូបនៃលេខធម្មជាតិ។

ដំណោះស្រាយ។

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ... ; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

ភស្តុតាង។

សូមឱ្យវាជាការពិតសម្រាប់ p=k ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាវាជាការពិតសម្រាប់ n=k+1 ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកគូបនៃលេខធម្មជាតិគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ។

ឧទាហរណ៍លេខ 4 ។

ពិចារណាអំពីសមភាព ហើយទាយថាតើច្បាប់ទូទៅអ្វីដែលឧទាហរណ៍ទាំងនេះនាំទៅរក។

ដំណោះស្រាយ។

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

ឧទាហរណ៍លេខ 5 ។

សរសេរកន្សោមខាងក្រោមជាផលបូក៖

1)
2)
3)
; 4)
.

អក្សរក្រិក "sigma" ។

ឧទាហរណ៍លេខ 6 ។

សរសេរបរិមាណខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា
:

2)

ឧទាហរណ៍លេខ 7 ។

សរសេរកន្សោមខាងក្រោមជាផលិតផល៖

1)

3)
4)

ឧទាហរណ៍លេខ 8 ។

សរសេរការងារខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា

(អក្សរធំក្រិក "pi")

1)
2)

ឧទាហរណ៍លេខ 9 ។

ការគណនាតម្លៃនៃពហុធា f ( ន )= ន 2 + ន +11 , នៅ n=1,2,3,4.5,6,7 មនុស្សម្នាក់អាចសន្មតថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។នលេខ f ( ន ) សាមញ្ញ។

តើការសន្មត់នេះត្រឹមត្រូវទេ?

ដំណោះស្រាយ។

ប្រសិនបើពាក្យនីមួយៗនៃផលបូកត្រូវបានបែងចែកដោយលេខ នោះផលបូកត្រូវបានបែងចែកដោយលេខនោះ
មិនមែនជាលេខសំខាន់សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយឡើយ។ទំ។

ការវិភាគលើចំនួនកំណត់នៃករណីដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ដោយមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់ណាមួយ វាអាចជួយទាយរូបមន្តត្រឹមត្រូវនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ប្រសិនបើមិនទាន់ដឹងនៅឡើយ។ នេះជារបៀបដែល Goldbach សមាជិកនៃបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រសាំងពេទឺប៊ឺគបានមកសម្មតិកម្មថាចំនួនធម្មជាតិណាមួយដែលចាប់ផ្តើមដោយពីរគឺជាផលបូកនៃចំនួនបឋមមិនលើសពីបី។

មេរៀនទី ៣ ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់បង្ហាញអត្តសញ្ញាណផ្សេងៗ។

ឧទាហរណ៍លេខ 10 ។អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញវាសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា នអត្តសញ្ញាណកាន់កាប់

ដំណោះស្រាយ។

តោះដាក់

យើងត្រូវតែបញ្ជាក់

ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ថា បន្ទាប់​មក​ពី​ការ​ពិត​នៃ​អត្តសញ្ញាណ

ធ្វើតាមការពិតនៃអត្តសញ្ញាណ

ដោយប្រើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ការពិតនៃអត្តសញ្ញាណត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ន.

ឧទាហរណ៍លេខ 11 ។

សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ

ភស្តុតាង។

សមភាពលទ្ធផលតាមកាលកំណត់។

;
. នេះមានន័យថាអត្តសញ្ញាណនេះជាការពិតសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នាន .

មេរៀនទី 4 ។

ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ឧទាហរណ៍លេខ 12 ។ សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ

ភស្តុតាង។

ដោយប្រើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងបានបង្ហាញថាសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ន.

ឧទាហរណ៍លេខ 13 ។ សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ

ភស្តុតាង។

ដោយប្រើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងបានបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ឧទាហរណ៍លេខ 14 ។ សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ

ភស្តុតាង។

ឧទាហរណ៍លេខ 15 ។ សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ

1) n=1;

2) សម្រាប់ p=k រក្សាសមភាព

3) យើងបង្ហាញថាសមភាពមានសម្រាប់ p=k+1៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ អត្តសញ្ញាណមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ។

ឧទាហរណ៍លេខ 16 ។សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ

ភស្តុតាង។

ប្រសិនបើ n=1 , នោះ។

ទុក​ឱ្យ​អត្តសញ្ញាណ​រក្សា​ទុក p=k ។

ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ថា​អត្តសញ្ញាណ​មាន​សម្រាប់​ n=k+1 ។

បន្ទាប់មកអត្តសញ្ញាណគឺជាការពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

មេរៀនទី 5 ។

ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ឧទាហរណ៍លេខ 17 ។សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ

ភស្តុតាង។

ប្រសិនបើ n=2 បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ៖

សូមឱ្យសមភាពជាការពិតសម្រាប់p=k៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅពេល n=k+1 ។

យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា អត្តសញ្ញាណត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍លេខ 18 ។ សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ
នៅពេលដែល n≥2.

នៅ n=2 អត្តសញ្ញាណនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញបំផុត។

ហើយជាក់ស្តែង។

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=kពិតជា

.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅពេលn=k+1, នោះគឺសមភាពទទួលបាន៖ .

ដូច្នេះ យើង​បាន​បញ្ជាក់​ថា អត្តសញ្ញាណ​គឺ​ពិត​សម្រាប់​លេខ​ធម្មជាតិ​ណា​មួយ។ n≥2.

ឧទាហរណ៍លេខ 19 ។ សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ

នៅ n=1 យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ៖

ចូរសន្មតថានៅពេលណា p=kយើងក៏ទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវផងដែរ៖

ចូរយើងបង្ហាញថាសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់ p=k+1៖

បន្ទាប់មកអត្តសញ្ញាណមានសុពលភាពសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

មេរៀនទី៦។

ការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។

ឧទាហរណ៍លេខ 20 ។បង្ហាញ​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា​ថា​

បែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានដាន។

ភស្តុតាង។

នៅ n=1 មានការបែងចែកទៅជា6 ដោយគ្មានដាន,
.

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=k កន្សោម
ច្រើន6.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថានៅពេលណា p=k+1 កន្សោម
ច្រើន6 .

ពាក្យនីមួយៗគឺពហុគុណ 6 ដូច្នេះផលបូកគឺជាពហុគុណ 6 .

ឧទាហរណ៍លេខ 21 ។
នៅលើ5 ដោយគ្មានដាន។

ភស្តុតាង។

នៅ n=1 កន្សោមត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់
.

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=k កន្សោម
ក៏បែងចែកទៅជា5 ដោយគ្មានដាន។

នៅ p=k+1បែងចែកដោយ 5 .

ឧទាហរណ៍លេខ 22 ។ បង្ហាញពីភាពមិនស្មើគ្នានៃការបញ្ចេញមតិ
នៅលើ16.

ភស្តុតាង។

នៅ n=1ច្រើន 16 .

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=k
ច្រើន16.

នៅ p=k+1

លក្ខខណ្ឌទាំងអស់ត្រូវបានបែងចែកដោយ 16: ទីមួយគឺជាក់ស្តែង ទីពីរគឺដោយការសន្មត់ ហើយទីបីមានលេខគូនៅក្នុងតង្កៀប។

ឧទាហរណ៍លេខ 23 ។ បង្ហាញពីភាពបែងចែក
នៅលើ676.

ភស្តុតាង។

ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ជា​មុន​សិន
បែងចែកដោយ
.

នៅ n=0
.

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=k
បែងចែកដោយ26 .

បន្ទាប់មកនៅ p=k+1បែងចែកដោយ 26 .

ឥឡូវនេះយើងនឹងអនុវត្តភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហា។

នៅ n=1បែងចែកដោយ 676.

នៅ p=k វាជាការពិត
បែងចែកដោយ26 2 .

នៅ p=k+1 .

ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 676 ; ដំបូង - ដោយសារតែយើងបង្ហាញពីការបែងចែកដោយ 26 កន្សោម​ក្នុង​វង់ក្រចក ហើយ​ទីពីរ​ត្រូវ​បាន​បែងចែក​តាម​ការ​សន្មត​នៃ​ការ​បញ្ចូល។

មេរៀនទី 7 ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។

ឧទាហរណ៍លេខ 24 ។

បញ្ជាក់
បែងចែកដោយ5 ដោយគ្មានដាន។

ភស្តុតាង។

នៅ n=1
បែងចែកដោយ5.

នៅ p=k
បែងចែកដោយ5 ដោយគ្មានដាន។

នៅ p=k+1 ពាក្យនីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយ5 ដោយគ្មានដាន។

ឧទាហរណ៍លេខ 25 ។

បញ្ជាក់
បែងចែកដោយ6 ដោយគ្មានដាន។

ភស្តុតាង។

នៅ n=1
បែងចែកដោយ6 ដោយគ្មានដាន។

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=k
បែងចែកដោយ6 ដោយគ្មានដាន។

នៅ p=k+1បែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មាននៅសល់ ចាប់តាំងពីពាក្យនីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយ6 ដោយគ្មាននៅសល់៖ ពាក្យទីមួយគឺដោយសម្មតិកម្មចាប់ផ្តើម, ទីពីរគឺជាក់ស្តែង, ទីបីគឺដោយសារតែ
លេខគូ។

ឧទាហរណ៍លេខ 26 ។

បញ្ជាក់
នៅពេលបែងចែកដោយ9 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់ 1 .

ភស្តុតាង។

ចូរយើងបញ្ជាក់
បែងចែកដោយ9 .

នៅ n=1
បែងចែកដោយ 9 . អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=k
បែងចែកដោយ9 .

នៅ p=k+1បែងចែកដោយ 9 .

ឧទាហរណ៍លេខ 27 ។

បង្ហាញថាវាត្រូវបានបែងចែកដោយ15 ដោយគ្មានដាន។

ភស្តុតាង។

នៅ n=1បែងចែកដោយ 15 .

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=kបែងចែកដោយ 15 ដោយគ្មានដាន។

នៅ p=k+1

ពាក្យទីមួយគឺពហុគុណ15 ដោយសម្មតិកម្មនៃការបញ្ចូលពាក្យទីពីរគឺជាពហុគុណនៃ15 - ជាក់ស្តែងពាក្យទីបីគឺជាពហុគុណ15 , ដោយសារតែ
ច្រើន5 (បញ្ជាក់ក្នុងឧទាហរណ៍លេខ ២១) ពាក្យទី៤ និងទី៥ ក៏ជាគុណដែរ។5 ដែលជាក់ស្តែង ផលបូកគឺជាពហុគុណ15 .

មេរៀនទី ៨-៩ ។

ការ​បង្ហាញ​វិសមភាព​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា

ឧទាហរណ៍លេខ 28 ។
.

នៅ n=1យើងមាន
- ត្រូវហើយ។

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=k
- វិសមភាពពិត។

នៅ p=k+1

បន្ទាប់មកវិសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ឧទាហរណ៍លេខ 29 ។បង្ហាញថាវិសមភាពគឺជាការពិត
នៅណាមួយ។ ន.

នៅ n=1យើងទទួលបានវិសមភាពត្រឹមត្រូវ។ 4 >1.

អនុញ្ញាតឱ្យនៅ p=kវិសមភាពគឺជាការពិត
.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថានៅពេលណា p=k+1វិសមភាពគឺជាការពិត

សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទៅមានភាពមិនស្មើគ្នា។

ប្រសិនបើ
នៅ
នោះ។

ឧទាហរណ៍លេខ 30 ។

នៅក្រោមធម្មជាតិណាមួយ។ ននិងណាមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យ n=1
ត្រឹមត្រូវ។

ចូរយើងសន្មត់ថាវិសមភាពមានសម្រាប់ p=k:
.

នៅ p=k+1

ឧទាហរណ៍លេខ 31 ។បញ្ជាក់សុពលភាពនៃវិសមភាព

នៅក្រោមធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ធវិសមភាពគឺជាការពិត

ចូរគុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយ
. យើងទទួលបានវិសមភាពសមមូល ឬ
;
; - វិសមភាពនេះរក្សាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ធ.

នៅ n=1វិសមភាពដើមគឺត្រឹមត្រូវ។
;
;
.

ទុក​ឱ្យ​វិសមភាព​នៅ​ជាប់​ p=k៖
.

នៅ p=k+1

មេរៀនទី១០។

ការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ឧទាហរណ៍លេខ 32 ។បញ្ជាក់ភាពមិនស្មើគ្នារបស់ Bernoulli ។

ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់។ន ភាពមិនស្មើភាពកាន់កាប់

ភស្តុតាង។

នៅ n=1 វិសមភាពដែលត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់
និងជាក់ស្តែង។ ចូរយើងសន្មតថាវាជាការពិតសម្រាប់p=k នោះគឺជាអ្វី
.

ចាប់តាំងពីតាមលក្ខខណ្ឌ
, នោះ។
ដូច្នេះហើយ វិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរអត្ថន័យរបស់វា នៅពេលដែលផ្នែកទាំងពីររបស់វាត្រូវបានគុណនឹង
:

ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

.

ដូច្នេះ, វិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ n=1និងពីការពិតរបស់វានៅ p=kវាធ្វើតាមថាវាជាការពិតទោះបីជា n=k+1 ។នេះមានន័យថា ដោយគុណធម៌នៃអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា វារក្សាទុកសម្រាប់ធម្មជាតិទាំងអស់។ ទំ។

ឧ.

ឧទាហរណ៍លេខ 33 ។ ស្វែងរកតម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់។ន ដែលវិសមភាពគឺជាការពិត

ដំណោះស្រាយ។

នៅ n=1វិសមភាពគឺយុត្តិធម៌។ នៅ n=2វិសមភាពក៏ជាការពិតដែរ។

នៅ n=3វិសមភាពលែងមានទៀតហើយ។ លុះត្រាតែ n=6វិសមភាពមាន ដូច្នេះយើងអាចយកជាមូលដ្ឋាននៃការបង្កើត n=6.

ឧបមាថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ធម្មជាតិមួយចំនួន ទៅ៖

ពិចារណាពីវិសមភាព

វិសមភាពចុងក្រោយគឺពេញចិត្តប្រសិនបើ
ការងារសាកល្បងលើប្រធានបទ p=1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យម្តងហើយម្តងទៀត: p≥5, កន្លែងណា ន- - លេខធម្មជាតិ។

វិធីសាស្រ្តភស្តុតាងដោយផ្អែកលើ axiom 4 របស់ Peano ត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិគណិតវិទ្យាជាច្រើន និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងៗ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)ជាមួយនឹងការប្រែប្រួលធម្មជាតិ នពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតដែលថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = កវាដូចខាងក្រោមថាវាជាការពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=k,បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន) ន.

ភស្តុតាង. ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយ មសំណុំ​នៃ​ចំនួន​ទាំង​នោះ និង​មាន​តែ​លេខ​ធម្មជាតិ​ដែល​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​នេះ​ប៉ុណ្ណោះ។ ក(ន)ពិត។ បន្ទាប់មកតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ យើងមាន៖ ១) ១ ម; 2) k Mkម. ពីទីនេះដោយផ្អែកលើ axiom 4 យើងសន្និដ្ឋាន ម =ន, i.e. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)ពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

វិធីសាស្រ្តភស្តុតាងផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេហៅថា ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា,ហើយ axiom គឺជា axiom នៃ induction ។ ភស្តុតាងនេះមានពីរផ្នែក៖

1) បញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)ពិតសម្រាប់ n= ក(១);

2) សន្មតថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)ពិតសម្រាប់ n = កហើយដោយផ្អែកលើការសន្មត់នេះ បង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នោះ។ A(n)ពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e. ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាការពិត ក(k) ក(k+ 1).

ប្រសិនបើ ក( 1) ក(k) A(k + 1) - សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ពិត​បន្ទាប់​មក​ពួក​គេ​សន្និដ្ឋាន​ថា​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​នោះ​ A(n)ពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអាចចាប់ផ្តើមមិនត្រឹមតែជាមួយនឹងការបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n= 1, ប៉ុន្តែក៏មកពីលេខធម្មជាតិណាមួយ។ ម. ក្នុងករណីនេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ក(ន)នឹងត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់។ nm.

បញ្ហា៖ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ សមភាព 1 + 3 + 5 … + (2 ន- 1) = ន.

ដំណោះស្រាយ។សមភាព 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = នគឺ​ជា​រូបមន្ត​ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​រក​ផល​បូក​នៃ​លេខ​សេស​ធម្មជាតិ​ជាប់​គ្នា​ដំបូង។ ឧទាហរណ៍ 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (ផលបូកមាន 4 លក្ខខណ្ឌ) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (ផលបូកមាន 6 លក្ខខណ្ឌ); ប្រសិនបើផលបូកនេះមាន 20 លក្ខខណ្ឌនៃប្រភេទដែលបានចង្អុលបង្ហាញ នោះវាស្មើនឹង 20 = 400 ។ល។ ដោយបានបង្ហាញពីការពិតនៃសមភាពនេះ យើងនឹងអាចស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនពាក្យណាមួយនៃប្រភេទដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្ត។

1) អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់ការពិតនៃសមភាពនេះសម្រាប់ n= 1. ពេលណា n= 1 ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពមានពាក្យមួយស្មើនឹង 1 ផ្នែកខាងស្តាំស្មើនឹង 1=1។ ចាប់តាំងពី 1=1 បន្ទាប់មកសម្រាប់ n= 1 សមភាពនេះជាការពិត។

2) ឧបមាថាសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់ n = ក, i.e. នោះ ១ + ៣ + ៥ + … + (២ k- 1) = kដោយផ្អែកលើការសន្មត់នេះ យើងបង្ហាញថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e. ១ + ៣ + ៥ + … + (២ k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

សូមក្រឡេកមើលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពចុងក្រោយ។

តាមការសន្មតផលបូកនៃទីមួយ kលក្ខខណ្ឌគឺស្មើនឹង kដូច្នេះហើយ ១ + ៣ + ៥ + … + (២ k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. កន្សោម k+ 2k + 1 គឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងកន្សោម ( k + 1).

ដូច្នេះការពិតនៃសមភាពនេះសម្រាប់ n = k + 1 ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដូច្នេះសមភាពនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតរបស់វាសម្រាប់ n = កត្រូវតែជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1.

នេះបង្ហាញថាសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា អ្នកអាចបញ្ជាក់ការពិតនៃការមិនត្រឹមតែសមភាពប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានវិសមភាពផងដែរ។

កិច្ចការ។ បញ្ជាក់​ថា កន្លែង​ណា ន.

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងពិនិត្យមើលការពិតនៃវិសមភាពនៅ n= 1. យើងមាន - វិសមភាពពិត។

ចូរយើងសន្មត់ថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ n = k,ទាំងនោះ។ - វិសមភាពពិត។ ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយផ្អែកលើការសន្មត់ថាវាក៏ជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e. (*).

ចូរយើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (*) ដោយពិចារណាថា ៖ .

ប៉ុន្តែ , ដែលមានន័យថា .

ដូច្នេះ វិសមភាពនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ n= 1, និង, ពីការពិតដែលថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់មួយចំនួន n= kយើងបានរកឃើញថាវាជាការពិតសម្រាប់ n= k + 1.

ដូច្នេះដោយប្រើ axiom 4 យើងបានបង្ហាញថាវិសមភាពនេះគឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

កិច្ចការ។ បង្ហាញថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងពិនិត្យមើលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅពេលដែល n=១- សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។

ចូរយើងសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ n = ក:. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញ, ការប្រើប្រាស់នេះ, ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅពេលដែល n = k + 1: .

ចូរបំប្លែងកន្សោម៖ . ចូរយើងស្វែងរកភាពខុសគ្នា kនិង k+ 1 សមាជិក។ ប្រសិនបើវាបង្ហាញថាភាពខុសគ្នាលទ្ធផលគឺជាពហុគុណនៃ 7 ហើយដោយការសន្មត់ថាផ្នែករងត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 នោះ minuend ក៏ជាពហុគុណនៃ 7៖

ផលិតផលគឺជាពហុគុណនៃ 7 ដូច្នេះ និង .

ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតរបស់វាសម្រាប់ n = កត្រូវតែជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1.

នេះបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។

កិច្ចការ។ បញ្ជាក់ថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន 2 សេចក្តីថ្លែងការណ៍ (7-1)24 គឺពិត។

ដំណោះស្រាយ។ 1) ចូរយើងពិនិត្យមើលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅពេលដែល ន= 2: - សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។

Bryansk City Lyceum លេខ 1

ការងារស្រាវជ្រាវលើប្រធានបទ៖

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា

បានបញ្ចប់

មទទេ TOខនស្ទែនទីន

សិស្ស១០រូប រូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា

Bryansk City Lyceum លេខ 1

បានពិនិត្យ

ធយូកាឆេវ៉ា អំពីកុហក និងវ៉ាន់ណូណា

សេចក្តីផ្តើម_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

ផ្នែកសំខាន់

សេចក្តីផ្តើមពេញលេញនិងមិនពេញលេញ

គោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យា_ _ _ _ _ _4-5

វិធីសាស្រ្ត induction គណិតវិទ្យា_ _ _ _ _ _ ៦

ដំណោះ​ស្រាយ​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា

ដល់បញ្ហាបូកសរុប _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ៧

ចំពោះបញ្ហាលើការបង្ហាញពីវិសមភាព_ _8

ចំពោះបញ្ហាបែងចែក _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 11

ចំពោះបញ្ហាលើការបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ _ _ _12

ទៅភារកិច្ចផ្សេងទៀត _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ _ _ _ _ _17

សេចក្តីផ្តើម

ពាក្យ ការបញ្ចូលនៅក្នុងភាសារុស្សីមានន័យថា ការណែនាំ និង inductiveហៅការសន្និដ្ឋានដែលបានធ្វើឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃការសង្កេត, ការពិសោធន៍, i.e. ទទួលបានដោយការសន្និដ្ឋានពីពិសេសទៅទូទៅ។

តួនាទី​នៃ​ការ​សន្និដ្ឋាន​ប្រឌិត​ក្នុង​វិទ្យាសាស្ត្រ​ពិសោធន៍​គឺ​អស្ចារ្យ​ណាស់។ ពួកគេផ្តល់ឱ្យនូវបទប្បញ្ញត្តិទាំងនោះដែលការសន្និដ្ឋានបន្ថែមទៀតត្រូវបានទាញតាមរយៈការកាត់ចេញ។ ហើយទោះបីជាមេកានិចទ្រឹស្តីគឺផ្អែកលើច្បាប់ចលនាទាំងបីរបស់ញូតុន ប៉ុន្តែច្បាប់ទាំងនេះខ្លួនឯងគឺជាលទ្ធផលនៃការគិតយ៉ាងស៊ីជម្រៅតាមរយៈទិន្នន័យពិសោធន៍ ជាពិសេសច្បាប់របស់ Kepler នៃចលនារបស់ភព ដែលគាត់បានមកពីដំណើរការនៃការសង្កេតជាច្រើនឆ្នាំដោយតារាវិទូជនជាតិដាណឺម៉ាក Tycho ។ ប្រាហេ។ ការសង្កេត និងការណែនាំប្រែទៅជាមានប្រយោជន៍នៅពេលអនាគត សម្រាប់ការបញ្ជាក់ពីការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើង។ បន្ទាប់ពីការពិសោធន៍របស់ Michelson លើការវាស់ល្បឿនពន្លឺនៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកដែលមានចលនា វាបានប្រែទៅជាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីច្បាប់នៃរូបវិទ្យា និងបង្កើតទ្រឹស្តីនៃទំនាក់ទំនង។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា តួនាទីនៃអាំងឌុចស្យុងគឺភាគច្រើនដែលវាស្ថិតនៅក្រោម axiomatics ដែលបានជ្រើសរើស។ បន្ទាប់ពីការអនុវត្តរយៈពេលវែងបានបង្ហាញថា ផ្លូវត្រង់តែងតែខ្លីជាងផ្លូវកោង ឬខូច វាជាធម្មជាតិក្នុងការបង្កើត axiom មួយ៖ សម្រាប់ចំណុចទាំងបី A, B និង C, វិសមភាព

.

គោលគំនិតនៃ "ការធ្វើតាម" ដែលជាមូលដ្ឋាននៃនព្វន្ធក៏បានលេចឡើងពីការសង្កេតនៃការបង្កើតទាហាន កប៉ាល់ និងសំណុំលំដាប់ផ្សេងទៀត។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គេមិនគួរគិតថា នេះធ្វើឱ្យអស់ពីតួនាទីនៃការបង្កើតនៅក្នុងគណិតវិទ្យានោះទេ។ ជាការពិតណាស់ យើងមិនគួរពិសោធន៍ទ្រឹស្ដីទ្រឹស្ដីដែលកាត់ចេញពី axioms នោះទេ៖ ប្រសិនបើគ្មានកំហុសឡូជីខលត្រូវបានធ្វើឡើងកំឡុងពេលទាញយកទេ នោះវាជាការពិតដរាបណា axioms ដែលយើងទទួលយកគឺពិត។ ប៉ុន្តែសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាច្រើនអាចត្រូវបានកាត់ចេញពីប្រព័ន្ធនៃ axioms នេះ។ ហើយការជ្រើសរើសនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនោះដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់គឺត្រូវបានស្នើម្តងទៀតដោយការណែនាំ។ វា​គឺ​ជា​ការ​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​បំបែក​ទ្រឹស្ដី​ដែល​មាន​ប្រយោជន៍​ពី​ទ្រឹស្ដី​ដែល​គ្មាន​ប្រយោជន៍ បង្ហាញ​ថា​ទ្រឹស្ដី​មួយ​ណា​អាច​នឹង​ក្លាយ​ជា​ការ​ពិត ហើយ​ថែម​ទាំង​ជួយ​គូស​បញ្ជាក់​ពី​ផ្លូវ​នៃ​ការ​បញ្ជាក់​ផង​ដែរ។

ខ្លឹមសារនៃឧបាយកលគណិតវិទ្យា

ចូរបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ មវិធីសាស្រ្ត ម athematic និងសេចក្តីផ្តើម ហើយនៅចុងបញ្ចប់ យើងនឹងធ្វើការសន្និដ្ឋានទូទៅ។

អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ថារាល់ចំនួនសូម្បីតែធម្មជាតិ n ក្នុង 4< n< 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

សមភាពទាំងប្រាំបួននេះបង្ហាញថាលេខនីមួយៗដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺពិតជាតំណាងឱ្យផលបូកនៃពាក្យសាមញ្ញពីរ។

ដូច្នេះ ការបញ្ចូលពេញលេញរួមមានការបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅដាច់ដោយឡែកពីគ្នាក្នុងចំនួនកំណត់នៃករណីដែលអាចកើតមាន។

ពេលខ្លះលទ្ធផលទូទៅអាចត្រូវបានគេព្យាករណ៍បន្ទាប់ពីបានពិចារណាមិនមែនទាំងអស់ ប៉ុន្តែករណីជាក់លាក់មួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ (ហៅថាការបញ្ចូលមិនពេញលេញ)។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លទ្ធផលដែលទទួលបានដោយការបញ្ចូលមិនពេញលេញនៅតែមានតែសម្មតិកម្មមួយ រហូតទាល់តែវាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយហេតុផលគណិតវិទ្យាច្បាស់លាស់ ដែលគ្របដណ្តប់ករណីពិសេសទាំងអស់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ការបញ្ចូលមិនពេញលេញនៅក្នុងគណិតវិទ្យា មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិធីសាស្ត្រស្របច្បាប់នៃភស្តុតាងដ៏តឹងរឹងនោះទេ ប៉ុន្តែជាវិធីសាស្ត្រដ៏មានអានុភាពសម្រាប់ស្វែងរកការពិតថ្មីៗ។

ជាឧទាហរណ៍ អ្នកចង់ស្វែងរកផលបូកនៃលេខសេសដំបូង n ជាប់គ្នា។ តោះពិចារណាករណីពិសេស៖

1+3+5+7+9=25=5 2

បន្ទាប់ពីពិចារណាករណីពិសេសមួយចំនួននេះ ការសន្និដ្ឋានទូទៅខាងក្រោមបង្ហាញដោយខ្លួនវាផ្ទាល់៖

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

ទាំងនោះ។ ផលបូកនៃលេខសេសដំបូង n ជាប់គ្នាគឺ n 2

ជាការពិតណាស់ ការសង្កេតដែលបានធ្វើឡើង មិនទាន់អាចធ្វើជាភស្តុតាងនៃសុពលភាពនៃការបញ្ជាទិញនោះទេ។

រូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការបញ្ចូលពេញលេញមានកម្មវិធីកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនគ្របដណ្តប់លើចំនួនករណីពិសេសគ្មានដែនកំណត់ ប៉ុន្តែយើងមិនអាចសាកល្បងពួកវាសម្រាប់ចំនួនករណីគ្មានកំណត់បានទេ។ ការបញ្ចូលមិនពេញលេញតែងតែនាំទៅរកលទ្ធផលខុស។

ក្នុងករណីជាច្រើន ផ្លូវចេញពីការលំបាកបែបនេះ គឺត្រូវងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រពិសេសនៃការវែកញែក ដែលហៅថា វិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ វាមានដូចខាងក្រោម។

ឧបមាថាអ្នកត្រូវបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយចំនួនសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n (ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវបង្ហាញថាផលបូកនៃលេខសេសដំបូងគឺស្មើនឹង n 2)។ ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃ n គឺមិនអាចទៅរួចនោះទេ ចាប់តាំងពីសំណុំនៃលេខធម្មជាតិគឺគ្មានកំណត់។ ដើម្បីបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ដំបូងពិនិត្យមើលសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=1។ បន្ទាប់មកពួកគេបង្ហាញថាសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាសម្រាប់ n=k បង្កប់ន័យសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=k+1 ។

បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានចាត់ទុកថាបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់ n ។ តាមពិត សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=1។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវាក៏ពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=1+1=2។ សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=2 បង្កប់ន័យសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=2+

១=៣. នេះបង្កប់ន័យសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=4 ។ល។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅទីបញ្ចប់យើងនឹងឈានដល់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។ នេះមានន័យថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n ។

ដោយសង្ខេបនូវអ្វីដែលបាននិយាយ យើងបង្កើតគោលការណ៍ទូទៅដូចខាងក្រោម។

គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ប្រសិនបើសំណើ A ( ន ) អាស្រ័យលើចំនួនធម្មជាតិ ន , ពិតសម្រាប់ ន =1 និងពីការពិតដែលថាវាជាការពិតសម្រាប់ ន = k (កន្លែងណា k - លេខធម្មជាតិណាមួយ) វាដូចខាងក្រោមថាវាជាការពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ ន = k +1 បន្ទាប់មកសន្មត់ A( ន ) ពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន .

ក្នុងករណីមួយចំនួន វាអាចចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយ មិនមែនសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់នោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់តែ n> p ដែល p គឺជាលេខធម្មជាតិថេរ។ ក្នុង​ករណី​នេះ គោលការណ៍​នៃ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដូច​ខាង​ក្រោម។

ប្រសិនបើសំណើ A ( ន ) ពិតសម្រាប់ ន = ទំ ហើយប្រសិនបើ A ( k ) Þ ក( k +1) សម្រាប់នរណាម្នាក់ k > ទំ បន្ទាប់មក សំណើ A( ន ) ពិតសម្រាប់នរណាម្នាក់ ន > ទំ .

ភ័ស្តុតាងដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម។ ជាដំបូង សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវបង្ហាញគឺត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់ n=1, i.e. ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(1) ត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ផ្នែក​នៃ​ភស្តុតាង​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​មូល​ដ្ឋាន​ការ​ចាប់​ផ្តើម។ បន្ទាប់មកមកផ្នែកនៃភស្តុតាងដែលហៅថា ជំហានចាប់ផ្តើម។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ ពួកគេបង្ហាញពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k+1 ក្រោមការសន្មត់នៃសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k (ការសន្មត់បញ្ចូល) i.e. បញ្ជាក់ A(k)ÞA(k+1)។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងបញ្ហាបូកសរុប

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងបញ្ហាបូកសរុប