ដែនកំណត់មុខងារ- ចំនួន កនឹងជាដែនកំណត់នៃបរិមាណអថេរមួយចំនួន ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូររបស់វា បរិមាណអថេរនេះជិតដល់ពេលកំណត់ ក.
ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀតលេខ កគឺជាដែនកំណត់នៃមុខងារ y = f(x)នៅចំណុច x 0ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ពិន្ទុណាមួយពីដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ គឺមិនស្មើគ្នា x 0ហើយដែលចូលរួមដល់ចំណុច x 0 (lim x n = x0), លំដាប់នៃតម្លៃអនុគមន៍ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខ ក.
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមានដែនកំណត់ដែលផ្តល់អាគុយម៉ង់ដែលមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់គឺស្មើនឹង អិល:
អត្ថន័យ កគឺ ដែនកំណត់ (តម្លៃកំណត់) នៃមុខងារ f(x)នៅចំណុច x 0ក្នុងករណីសម្រាប់លំដាប់នៃចំណុចណាមួយ។ 
ដែលបង្រួបបង្រួម x 0ប៉ុន្តែដែលមិនមាន x 0ជាធាតុមួយនៃធាតុរបស់វា (ឧ x 0) លំដាប់នៃតម្លៃមុខងារ 
បង្រួបបង្រួម ក.
ដែនកំណត់នៃមុខងារ Cauchy ។
អត្ថន័យ កនឹងត្រូវបាន ដែនកំណត់នៃមុខងារ f(x)នៅចំណុច x 0ប្រសិនបើសម្រាប់លេខដែលមិនអវិជ្ជមានណាមួយដែលបានយកជាមុន ε លេខមិនអវិជ្ជមានដែលត្រូវគ្នានឹងត្រូវបានរកឃើញ δ = δ(ε) បែបនេះសម្រាប់អាគុយម៉ង់នីមួយៗ xបំពេញលក្ខខណ្ឌ 0 < | x - x0 | < δ វិសមភាពនឹងពេញចិត្ត | f(x)A |< ε .
វានឹងសាមញ្ញណាស់ ប្រសិនបើអ្នកយល់ពីខ្លឹមសារនៃដែនកំណត់ និងច្បាប់ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការស្វែងរកវា។ តើអ្វីទៅជាដែនកំណត់នៃមុខងារ f (x)នៅ xខិតខំសម្រាប់ កស្មើ កត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
លើសពីនេះទៅទៀត តម្លៃដែលអថេរមាននិន្នាការ xអាចមិនត្រឹមតែជាលេខប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងគ្មានកំណត់ (∞) ពេលខ្លះ +∞ ឬ -∞ ឬប្រហែលជាគ្មានដែនកំណត់ទាល់តែសោះ។
ដើម្បីយល់ពីរបៀប ស្វែងរកដែនកំណត់នៃមុខងារវាជាការល្អបំផុតក្នុងការមើលឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ។
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់នៃមុខងារ f (x) = 1/xនៅ៖
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះដែនកំណត់ទីមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកគ្រាន់តែអាចជំនួសបាន។ xចំនួនដែលវាមានទំនោរទៅ, i.e. 2, យើងទទួលបាន:
ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់ទីពីរនៃមុខងារ. នៅទីនេះជំនួសសុទ្ធ 0 ជំនួសវិញ។ xវាមិនអាចទៅរួចទេពីព្រោះ អ្នកមិនអាចបែងចែកដោយ 0 ។ ប៉ុន្តែយើងអាចយកតម្លៃជិតសូន្យឧទាហរណ៍ 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 និងបន្តបន្ទាប់ និងតម្លៃនៃអនុគមន៍ f (x)នឹងកើនឡើង: 100; ១០០០; 10000; 100,000 ជាដើម។ ដូច្នេះហើយទើបអាចយល់បានថាពេលណា x→ 0 តម្លៃនៃមុខងារដែលស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់នឹងកើនឡើងដោយគ្មានដែនកំណត់ ពោលគឺឧ។ ខិតខំឆ្ពោះទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ដែលមានន័យថា៖
ទាក់ទងនឹងដែនកំណត់ទីបី។ ស្ថានភាពដូចគ្នានឹងករណីមុនដែរ វាមិនអាចជំនួសបានទេ។ ∞ នៅក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធបំផុត។ យើងត្រូវពិចារណាករណីនៃការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ x. យើងជំនួស 1000 ម្តងមួយ; 10000; 100000 និងបន្តបន្ទាប់ទៀត យើងមានតម្លៃនៃមុខងារ f (x) = 1/xនឹងថយចុះ: 0.001; 0.0001; 0.00001; ហើយដូច្នេះនៅលើ, ទំនោរទៅសូន្យ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល:
វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាដែនកំណត់នៃមុខងារ 
ចាប់ផ្តើមដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទីពីរ យើងឃើញភាពមិនច្បាស់លាស់។ ពីទីនេះយើងរកឃើញកំរិតខ្ពស់បំផុតនៃភាគយកនិងភាគបែង - នេះគឺ x ៣យើងយកវាចេញពីតង្កៀបក្នុងភាគយក និងភាគបែង ហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយវាដោយ៖
ចម្លើយ 
ជំហានដំបូងនៅក្នុង ការស្វែងរកដែនកំណត់នេះ។ជំនួសតម្លៃ 1 ជំនួសវិញ។ xដែលបណ្តាលឱ្យមានភាពមិនច្បាស់លាស់។ ដើម្បីដោះស្រាយវា ចូរយើងធ្វើកត្តាភាគយក ហើយធ្វើវាដោយប្រើវិធីស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 + 2x − ៣:
ឃ = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ ឃ=√16 = 4
x 1.2 = (−2±4)/2→ x 1 = −3;x ២= 1.
ដូច្នេះលេខភាគនឹងជា៖
ចម្លើយ 
នេះគឺជានិយមន័យនៃតម្លៃជាក់លាក់របស់វា ឬតំបន់ជាក់លាក់ដែលមុខងារធ្លាក់ ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយដែនកំណត់។
ដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់ សូមអនុវត្តតាមច្បាប់៖
ដោយបានយល់ពីខ្លឹមសារ និងខ្លឹមសារ ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយដែនកំណត់អ្នកនឹងទទួលបានការយល់ដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីរបៀបដោះស្រាយពួកគេ។
ដែនកំណត់នៃមុខងារនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
|f(x) - a|< ε
при |x| >ន
ការកំណត់ដែនកំណត់ Cauchy
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x)ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់មួយនៃចំណុចនៅភាពគ្មានទីកំណត់ ដោយមាន |x| > លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f (x)ជា x ទំនោរទៅ infinity () ប្រសិនបើសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយតូច ε > 0
មានលេខ N ε > Kអាស្រ័យលើ ε ដែលសម្រាប់ x, |x| > N ε, តម្លៃអនុគមន៍ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ε-neighborhood នៃចំណុច a:
|f (x)-a|< ε
.
ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅ infinity ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
.
ឬនៅ។
ការសម្គាល់ខាងក្រោមក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ៖
.
ចូរសរសេរនិយមន័យនេះដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល៖
.
នេះសន្មតថាតម្លៃជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍។
ដែនកំណត់ម្ខាង
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនៃអនុគមន៍នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
|f(x) - a|< ε
при x < -N
មានករណីជាញឹកញាប់នៅពេលអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែតម្លៃវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាននៃអថេរ x (កាន់តែច្បាស់នៅតំបន់ជុំវិញចំណុច ឬ )។ ដូចគ្នានេះផងដែរដែនកំណត់នៅ infinity សម្រាប់តម្លៃវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាននៃ x អាចមានតម្លៃខុសគ្នា។ បន្ទាប់មកដែនកំណត់ម្ខាងត្រូវបានប្រើ។
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ឬដែនកំណត់ដែល x ទំនោរទៅដកគ្មានដែនកំណត់ () ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
.
ដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ឬដែនកំណត់ដែល x មានទំនោរទៅបូកគ្មានដែនកំណត់ ():
.
ដែនកំណត់មួយចំហៀងនៅ infinity ត្រូវបានបង្ហាញជាញឹកញាប់ដូចខាងក្រោម:
;
.
ដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃអនុគមន៍នៅភាពគ្មានកំណត់
ដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃអនុគមន៍នៅគ្មានកំណត់៖
|f(x)| > M សម្រាប់ |x| > ន
និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់យោងទៅតាម Cauchy
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x)ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់មួយនៃចំណុចនៅភាពគ្មានទីកំណត់ ដោយមាន |x| > K ដែល K ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដែនកំណត់មុខងារ f (x)ដែល x មានទំនោរទៅ infinity () គឺស្មើនឹង infinityប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនធំតាមអំពើចិត្តណាមួយ M > 0
មានលេខបែបនេះ N M > Kអាស្រ័យលើ M ដែលសម្រាប់ x, |x| > N M , តម្លៃអនុគមន៍ជារបស់សង្កាត់នៃចំណុចនៅគ្មានកំណត់៖
|f (x) | > ម.
ដែនកំណត់គ្មានកំណត់ដែល x មានទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់ ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
.
ឬនៅ។
ដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលនៃអត្ថិភាព និងសកល និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃមុខងារអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
.
ដូចគ្នានេះដែរ និយមន័យនៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃសញ្ញាជាក់លាក់ដែលស្មើនឹង និងត្រូវបានណែនាំ៖
.
.
និយមន័យនៃដែនកំណត់ម្ខាងនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង។
.
.
.
ដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវ។
.
.
.
ការកំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយដោយយោងទៅតាម Heine
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f (x)បានកំណត់នៅលើសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ 0
កន្លែងណា ឬ .
ចំនួន a (finite ឬ infinity) ត្រូវបានគេហៅថា limit នៃអនុគមន៍ f (x)នៅចំណុច x 0
:
,
ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយ។ (xn), បម្លែងទៅជា x 0
:
,
ធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់, លំដាប់ (f(xn))បង្រួបបង្រួមទៅជា៖
.
ប្រសិនបើយើងយកជាសង្កាត់ដែលជាសង្កាត់នៃចំណុចដែលមិនមានសញ្ញានៅ infinity៖ នោះយើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ដែល x ទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់។ ប្រសិនបើយើងយកសង្កាត់ខាងឆ្វេងឬខាងស្តាំនៃចំនុច x នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ 0 : ឬ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យនៃដែនកំណត់ដែល x មានទំនោរទៅដកអគ្មានកំណត់ និងបូកគ្មានដែនកំណត់ រៀងគ្នា។
និយមន័យ Heine និង Cauchy នៃដែនកំណត់គឺសមមូល។
ឧទាហរណ៍
ឧទាហរណ៍ ១
ការប្រើនិយមន័យរបស់ Cauchy ដើម្បីបង្ហាញវា។
.
ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម៖
.
ចូរយើងស្វែងរកដែននិយមន័យនៃមុខងារ។ ដោយសារភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគគឺជាពហុនាម អនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ x ទាំងអស់ លើកលែងតែចំណុចដែលភាគបែងបាត់។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចទាំងនេះ។ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ ;
.
ឫសគល់នៃសមីការ៖
;
.
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
ដូច្នេះមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅ . យើងនឹងប្រើវានៅពេលក្រោយ។
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់កំណត់នៃអនុគមន៍មួយនៅ infinity យោងទៅតាម Cauchy៖
.
តោះផ្លាស់ប្តូរភាពខុសគ្នា៖
.
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ និងគុណដោយ -1
:
.
អនុញ្ញាតឱ្យ។
បន្ទាប់មក
;
;
;
.
ដូច្នេះ យើងបានរកឃើញថា នៅពេលដែល
.
.
វាធ្វើតាមនោះ។
នៅ , និង .
ដោយសារអ្នកតែងតែអាចបង្កើនវាបាន ចូរយើងយក។ បន្ទាប់មកសម្រាប់នរណាម្នាក់,
នៅ។
វាមានន័យថា។
ឧទាហរណ៍ ២
អនុញ្ញាតឱ្យ។
ដោយប្រើនិយមន័យ Cauchy នៃដែនកំណត់ បង្ហាញថា:
1)
;
2)
.
1) ដំណោះស្រាយដែល x មានទំនោរទៅជាដកគ្មានកំណត់
ចាប់តាំងពី មុខងារត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ x ទាំងអស់។
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ដែលស្មើនឹងដកគ្មានកំណត់៖
.
អនុញ្ញាតឱ្យ។ បន្ទាប់មក
;
.
ដូច្នេះ យើងបានរកឃើញថា នៅពេលដែល
.
បញ្ចូលលេខវិជ្ជមាន និង៖
.
វាធ្វើតាមថាសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ M មានលេខដូច្នេះសម្រាប់ ,
.
វាមានន័យថា។
2) ដំណោះស្រាយដែល x មានទំនោរទៅបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់
តោះបំលែងមុខងារដើម។ គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយ និងអនុវត្តភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការេ៖
.
យើងមាន:
.
ចូរយើងសរសេរនិយមន័យនៃដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវនៃមុខងារនៅ៖
.
ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណៈ .
តោះផ្លាស់ប្តូរភាពខុសគ្នា៖
.
គុណភាគយក និងភាគបែងដោយ៖
.
អនុញ្ញាតឱ្យ
.
បន្ទាប់មក
;
.
ដូច្នេះ យើងបានរកឃើញថា នៅពេលដែល
.
បញ្ចូលលេខវិជ្ជមាន និង៖
.
វាធ្វើតាមនោះ។
នៅ និង .
ចាប់តាំងពីវារក្សាសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយបន្ទាប់មក
.
ឯកសារយោង៖
សង់ទីម៉ែត។ នីកូលស្គី។ វគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ភាគ 1. ទីក្រុងម៉ូស្គូ ឆ្នាំ 1983 ។
ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងគឺសមភាពដូចខាងក្រោមៈ
\begin(សមីការ)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(សមីការ)
ដោយសារសម្រាប់ $\alpha\to(0)$ យើងមាន $\sin\alpha\to(0)$ ពួកគេនិយាយថាដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ និយាយជាទូទៅក្នុងរូបមន្ត (1) ជំនួសឱ្យអថេរ $\alpha$ កន្សោមណាមួយអាចត្រូវបានដាក់នៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែង ដរាបណាលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖
- កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានទំនោរទៅសូន្យ ពោលគឺឧ។ មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។
- កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងគឺដូចគ្នា។
Corollaries ពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ:
\begin(សមីការ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(សមីការ)
ឧទាហរណ៍ដប់មួយត្រូវបានដោះស្រាយនៅលើទំព័រនេះ។ ឧទាហរណ៍លេខ 1 ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ភស្តុតាងនៃរូបមន្ត (2)-(4) ។ ឧទាហរណ៍លេខ 2 លេខ 3 លេខ 4 និងលេខ 5 មានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។ ឧទាហរណ៍លេខ 6-10 មានដំណោះស្រាយដែលស្ទើរតែគ្មានយោបល់ ពីព្រោះការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍ពីមុន។ ដំណោះស្រាយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រមួយចំនួនដែលអាចត្រូវបានរកឃើញ។
ខ្ញុំសូមចំណាំថា វត្តមានរបស់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររួមជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់ $\frac (0) (0)$ មិនមានន័យថាការអនុវត្តដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងឡើយ។ ពេលខ្លះការបំប្លែងត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញគឺគ្រប់គ្រាន់ - ឧទាហរណ៍សូមមើល។
ឧទាហរណ៍លេខ 1
បង្ហាញថា $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ។
ក) ចាប់តាំងពី $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ បន្ទាប់មក៖
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
ចាប់តាំងពី $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ និង $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , នោះ៖
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
ខ) តោះធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ $\alpha=\sin(y)$។ ចាប់តាំងពី $\sin(0)=0$ បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌ $\alpha\to(0)$ យើងមាន $y\to(0)$ ។ លើសពីនេះទៀត មានសង្កាត់នៃសូន្យ ដែល $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, ដូច្នេះ៖
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y)))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1)=1. $$
សមភាព $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ត្រូវបានបញ្ជាក់។
គ) ចូរធ្វើការជំនួស $\alpha=\tg(y)$ ។ ចាប់តាំងពី $\tg(0)=0$ នោះលក្ខខណ្ឌ $\alpha\to(0)$ និង $y\to(0)$ គឺសមមូល។ លើសពីនេះទៀត មានសង្កាត់នៃលេខសូន្យ ដែល $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ ដូច្នេះដោយផ្អែកលើលទ្ធផលនៃចំនុច a) យើងនឹងមាន៖
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y)))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1)=1. $$
សមភាព $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ត្រូវបានបញ្ជាក់។
ភាពស្មើគ្នា ក) ខ) គ) ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើរួមជាមួយនឹងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។
ឧទាហរណ៍លេខ 2
គណនាដែនកំណត់ $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ និង $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. ហើយទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានទំនោរទៅសូន្យ បន្ទាប់មកនៅទីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$, i.e. រួចរាល់។ លើសពីនេះទៀត វាច្បាស់ណាស់ថាកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងស្របគ្នា (ឧ. និងពេញចិត្ត)៖
ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរដែលបានរាយនៅដើមទំព័រត្រូវបានបំពេញ។ វាធ្វើតាមពីនេះដែលរូបមន្តអាចអនុវត្តបាន i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+7 ))=1$។
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$។
ឧទាហរណ៍លេខ 3
ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ និង $\lim_(x\to(0))x=0$ បន្ទាប់មកយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac (0)(0)$, ឧ. រួចរាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស និងក្នុងភាគបែងមិនស្របគ្នាទេ។ នៅទីនេះអ្នកត្រូវកែសម្រួលកន្សោមក្នុងភាគបែងទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន។ យើងត្រូវការកន្សោម $9x$ ដើម្បីស្ថិតនៅក្នុងភាគបែង បន្ទាប់មកវានឹងក្លាយជាការពិត។ សំខាន់ យើងខ្វះកត្តានៃ $9$ នៅក្នុងភាគបែង ដែលវាមិនពិបាកបញ្ចូលនោះទេ គ្រាន់តែគុណកន្សោមក្នុងភាគបែងដោយ $9។ តាមធម្មជាតិ ដើម្បីទូទាត់សងគុណនឹង ៩ ដុល្លារ អ្នកនឹងត្រូវចែកភ្លាមៗដោយ ៩ ដុល្លារ៖
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
ឥឡូវនេះកន្សោមនៅក្នុងភាគបែង និងនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុសស្របគ្នា។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរសម្រាប់ដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ដូច្នេះ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$ ។ ហើយនេះមានន័យថា៖
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$ ។
ឧទាហរណ៍លេខ 4
ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ និង $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ នៅទីនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទម្រង់នៃដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានរំលោភបំពាន។ ភាគយកដែលមាន $\sin(5x)$ ទាមទារភាគបែង $5x$។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវចែកភាគយកដោយ $5x$ ហើយគុណនឹង $5x$ ភ្លាមៗ។ លើសពីនេះទៀត យើងនឹងធ្វើប្រតិបត្តិការស្រដៀងគ្នាជាមួយភាគបែង គុណ និងចែក $\tg(8x)$ ដោយ $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
កាត់បន្ថយ $x$ ហើយយក $\frac(5)(8)$ ថេរ ចេញពីសញ្ញាកំណត់ យើងទទួលបាន៖
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x)))( 8x)) $$
ចំណាំថា $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ បំពេញបានពេញលេញនូវតម្រូវការសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ រូបមន្តខាងក្រោមគឺអាចអនុវត្តបាន៖
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1)=\frac(5)(8)។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$។
ឧទាហរណ៍លេខ 5
ស្វែងរក $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ចាំថា $\cos(0)=1$) និង $\ lim_(x\to(0))x^2=0$ បន្ទាប់មកយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីអនុវត្តដែនកំណត់ដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង អ្នកគួរតែកម្ចាត់កូស៊ីនុសនៅក្នុងភាគយក ដោយបន្តទៅស៊ីនុស (ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត) ឬតង់ហ្សង់ (ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត)។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយការផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោមៈ
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))$$
តោះត្រឡប់ទៅដែនកំណត់៖
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
ប្រភាគ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ គឺនៅជិតទម្រង់ដែលត្រូវការសម្រាប់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងរួចទៅហើយ។ តោះធ្វើការបន្តិចជាមួយប្រភាគ $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ដោយកែតម្រូវវាទៅដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង (ចំណាំថាកន្សោមនៅក្នុងភាគយក និងនៅក្រោមស៊ីនុសត្រូវតែផ្គូផ្គង)៖
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
ចូរយើងត្រលប់ទៅដែនកំណត់ក្នុងសំណួរ៖
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25 ។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$ ។
ឧទាហរណ៍លេខ 6
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ និង $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ បន្ទាប់មក យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់ $\frac(0)(0)$។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញវាដោយមានជំនួយពីដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមផ្លាស់ទីពីកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុស។ ចាប់តាំងពី $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ បន្ទាប់មក៖
$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x)។$$
ឆ្លងទៅអំពើបាបក្នុងដែនកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងនឹងមាន៖
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x)))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$ ។
ឧទាហរណ៍លេខ 7
គណនាដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ ប្រធានបទ $\alpha\neq \ បេតា $ ។
ការពន្យល់លម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមុននេះ ប៉ុន្តែនៅទីនេះយើងគ្រាន់តែចំណាំថា មានភាពមិនច្បាស់លាស់ម្តងទៀត $\frac(0)(0)$។ ចូរផ្លាស់ទីពីកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុសដោយប្រើរូបមន្ត
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
ដោយប្រើរូបមន្តនេះយើងទទួលបាន:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\ ត្រូវ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2)។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ អាល់ហ្វា^2)(2)$។
ឧទាហរណ៍លេខ 8
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ចងចាំថា $\sin(0)=\tg(0)=0$) និង $\ lim_(x\to(0))x^3=0$ បន្ទាប់មកនៅទីនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ចូរបំបែកវាដូចខាងក្រោមៈ
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3)=\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = \\ frac (1) (2) ។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$។
ឧទាហរណ៍លេខ 9
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ និង $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$ បន្ទាប់មកមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ មុននឹងបន្តការពង្រីករបស់វា វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (ចំណាំថានៅក្នុងរូបមន្តអថេរ $\alpha \to 0$)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវណែនាំអថេរ $t=x-3$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត (អត្ថប្រយោជន៍នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយខាងក្រោម) វាមានតម្លៃធ្វើការជំនួសដូចខាងក្រោម: $t=\frac(x-3)(2)$ ។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាការជំនួសទាំងពីរអាចអនុវត្តបានក្នុងករណីនេះ វាគ្រាន់តែថាការជំនួសទីពីរនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើការតិចជាងជាមួយប្រភាគ។ ចាប់តាំងពី $x\to(3)$ បន្ទាប់មក $t\to(0)$។
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\ ត្រូវ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$ ។
ឧទាហរណ៍លេខ 10
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $ ។
ជាថ្មីម្តងទៀត យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់ $\frac(0)(0)$។ មុននឹងបន្តទៅការពង្រីករបស់វា វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (ចំណាំថានៅក្នុងរូបមន្តអថេរគឺ $\alpha\to(0)$)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺត្រូវណែនាំអថេរ $t=\frac(\pi)(2)-x$ ។ ចាប់តាំងពី $x\to\frac(\pi)(2)$ បន្ទាប់មក $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) = \\ frac (1) (2) ។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$។
ឧទាហរណ៍លេខ 11
ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$ ។
ក្នុងករណីនេះយើងមិនចាំបាច់ប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ សូមចំណាំថាទាំងដែនកំណត់ទីមួយ និងទីពីរមានតែអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងលេខប៉ុណ្ណោះ។ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃប្រភេទនេះ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិដែលមានទីតាំងនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់។ ជាងនេះទៅទៀត បន្ទាប់ពីការសម្រួល និងកាត់បន្ថយកត្តាមួយចំនួនខាងលើ ភាពមិនប្រាកដប្រជានឹងរលាយបាត់។ ខ្ញុំបានលើកឧទាហរណ៍នេះក្នុងគោលបំណងតែមួយប៉ុណ្ណោះ៖ ដើម្បីបង្ហាញថាវត្តមាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់មិនមានន័យថាការប្រើប្រាស់ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងឡើយ។
ចាប់តាំងពី $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ចាំថា $\sin\frac(\pi)(2)=1$) និង $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា $\cos\frac(\pi)(2)=0$) បន្ទាប់មកយើងមាន ដោះស្រាយជាមួយភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមានន័យថាយើងនឹងត្រូវការប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ ដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិចារណាថា $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))))=\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x))=\frac(1)(1+1)=\frac(1)(2)។ $$
មានដំណោះស្រាយស្រដៀងគ្នានៅក្នុងសៀវភៅដំណោះស្រាយរបស់ Demidovich (លេខ 475) ។ ចំពោះដែនកំណត់ទីពីរ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុនក្នុងផ្នែកនេះ យើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ $\frac(0)(0)$។ ហេតុអ្វីបានជាវាកើតឡើង? វាកើតឡើងដោយសារតែ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ និង $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ ។ យើងប្រើតម្លៃទាំងនេះដើម្បីបំប្លែងកន្សោមក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ គោលដៅនៃសកម្មភាពរបស់យើងគឺសរសេរនូវផលបូកនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងជាផលិតផល។ ដោយវិធីនេះ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងប្រភេទស្រដៀងគ្នា វាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរមួយ ដែលធ្វើឡើងតាមរបៀបដែលអថេរថ្មីមានទំនោរទៅសូន្យ (សូមមើលឧទាហរណ៍ឧទាហរណ៍លេខ 9 ឬលេខ 10 នៅលើទំព័រនេះ)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះគ្មានចំណុចណាមួយក្នុងការជំនួសទេ បើទោះបីជាចង់បានក៏ដោយ ការជំនួសអថេរ $t=x-\frac(2\pi)(3)$ មិនពិបាកអនុវត្តទេ។
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ទៅ\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x))+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3))។ $$
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងមិនចាំបាច់អនុវត្តដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងឡើយ។ ជាការពិត អ្នកអាចធ្វើបែបនេះបានប្រសិនបើអ្នកចង់ (មើលកំណត់ត្រាខាងក្រោម) ប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់ទេ។
តើអ្វីទៅជាដំណោះស្រាយដោយប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង? បង្ហាញ\លាក់
ដោយប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងយើងទទួលបាន:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ ស្តាំ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3)))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3)))( 2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( ៣))។ $$
ចម្លើយ៖ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$។
យើងបន្តវិភាគចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចចំពោះទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់ ហើយថ្ងៃនេះយើងនឹងផ្តោតតែលើករណីនៅពេលដែលអថេរនៅក្នុងអនុគមន៍ ឬលេខក្នុងលំដាប់មួយមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ការណែនាំសម្រាប់ការគណនាដែនកំណត់សម្រាប់អថេរដែលទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមុននេះ នៅទីនេះយើងនឹងរស់នៅតែលើករណីនីមួយៗដែលមិនច្បាស់ និងសាមញ្ញសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។
ឧទាហរណ៍ 35. យើងមានលំដាប់មួយក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគ ដែលភាគយក និងភាគបែងមានអនុគមន៍ឫស។
យើងត្រូវស្វែងរកដែនកំណត់ នៅពេលដែលចំនួនមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់។
នៅទីនេះមិនចាំបាច់បង្ហាញភាពមិនសមហេតុផលនៅក្នុងភាគយកនោះទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែវិភាគឫសគល់ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន និងស្វែងរកកន្លែងដែលអំណាចនៃចំនួនមានខ្ពស់ជាងនេះ។
នៅក្នុងទីមួយ ឫសនៃភាគយកគឺមេគុណ n^4 ពោលគឺ n^2 អាចត្រូវបានយកចេញពីតង្កៀប។
ចូរធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងភាគបែង។
បន្ទាប់យើងវាយតម្លៃអត្ថន័យនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់នៅពេលឆ្លងដល់ដែនកំណត់។
យើងទទួលបានការបែងចែកដោយសូន្យ ដែលមិនត្រឹមត្រូវនៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា ប៉ុន្តែនៅក្នុងការឆ្លងកាត់ដល់ដែនកំណត់ វាអាចទទួលយកបាន។
មានតែជាមួយវិសោធនកម្ម "ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកន្លែងដែលមុខងារកំពុងធ្វើដំណើរ។"
ដូច្នេះហើយ មិនមែនគ្រូទាំងអស់អាចបកស្រាយសញ្ញាណខាងលើបានត្រឹមត្រូវនោះទេ ទោះបីជាពួកគេយល់ថាលទ្ធផលដែលទទួលបាននឹងមិនផ្លាស់ប្តូរក៏ដោយ។
សូមក្រឡេកមើលចម្លើយដែលចងក្រងតាមតម្រូវការរបស់គ្រូតាមទ្រឹស្តី។
ដើម្បីងាយស្រួល យើងនឹងវាយតម្លៃតែកម្មវិធីបន្ថែមសំខាន់នៅក្រោមឫសប៉ុណ្ណោះ។ 
លើសពីនេះ នៅក្នុងភាគយក អំណាចគឺស្មើនឹង 2 ក្នុងភាគបែង 2/3 ដូច្នេះ ភាគយកលូតលាស់លឿន ដែលមានន័យថា ដែនកំណត់មានទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់។
សញ្ញារបស់វាអាស្រ័យលើកត្តានៃ n^2, n^(2/3) ដូច្នេះវាមានភាពវិជ្ជមាន។
ឧទាហរណ៍ 36. ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃដែនកំណត់លើការបែងចែកអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ មានឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងតិចតួចនៃប្រភេទនេះ ដូច្នេះមិនមែនសិស្សទាំងអស់ងាយយល់ពីរបៀបបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ដែលកើតឡើងនោះទេ។
កត្តាអតិបរិមាសម្រាប់ភាគបែង និងភាគបែងគឺ 8^n ហើយយើងសម្រួលដោយវា។ 
បន្ទាប់មក យើងវាយតម្លៃការរួមចំណែកនៃពាក្យនីមួយៗ
លក្ខខណ្ឌ 3/8 មានទំនោរទៅសូន្យ ដោយសារអថេរទៅគ្មានដែនកំណត់ ចាប់តាំងពី 3/8<1
(свойство степенно-показательной функции).
ឧទាហរណ៍ 37. ដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលមានហ្វាក់តូរីយ៉ែលត្រូវបានបង្ហាញដោយការសរសេរហ្វាក់តូរីយ៉ែលទៅជាកត្តារួមធំបំផុតសម្រាប់ភាគបែង និងភាគបែង។
បន្ទាប់មក យើងកាត់បន្ថយវា ហើយវាយតម្លៃដែនកំណត់ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃសូចនាករចំនួននៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង។
ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ភាគបែងលូតលាស់លឿនជាងមុន ដូច្នេះដែនកំណត់គឺសូន្យ។ 
ខាងក្រោមនេះត្រូវបានប្រើនៅទីនេះ
ទ្រព្យសម្បត្តិរោងចក្រ។
ឧទាហរណ៍ 38. ដោយមិនអនុវត្តច្បាប់របស់ L'Hopital យើងប្រៀបធៀបសូចនាករអតិបរមានៃអថេរនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ។
ដោយសារភាគបែងមាននិទស្សន្តខ្ពស់បំផុតនៃអថេរ 4> 2 វាលូតលាស់លឿនជាងមុន។
ពីនេះយើងសន្និដ្ឋានថាដែនកំណត់នៃមុខងារមាននិន្នាការទៅសូន្យ។
ឧទាហរណ៍ 39. យើងបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃទម្រង់ infinity ដែលបែងចែកដោយ infinity ដោយយក x^4 ចេញពីភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ។
ជាលទ្ធផលនៃការឆ្លងដល់ដែនកំណត់ យើងទទួលបានភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
ឧទាហរណ៍ 40. យើងមានការបែងចែកពហុនាម យើងត្រូវកំណត់ដែនកំណត់ ព្រោះអថេរមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់។
កំរិតខ្ពស់បំផុតនៃអថេរនៅក្នុងភាគយកនិងភាគបែងគឺស្មើនឹង 3 ដែលមានន័យថាព្រំដែនមាន ហើយស្មើនឹងបច្ចុប្បន្ន។
ចូរយក x^3 ចេញ ហើយអនុវត្តការឆ្លងកាត់ដល់ដែនកំណត់
ឧទាហរណ៍ 41. យើងមានឯកវចនៈនៃប្រភេទទី 1 ទៅនឹងថាមពលនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
នេះមានន័យថាកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបនិងសូចនាករខ្លួនវាត្រូវតែត្រូវបាននាំមកនៅក្រោមព្រំដែនសំខាន់ទីពីរ។
ចូរយើងសរសេរលេខភាគដើម្បីបន្លិចកន្សោមនៅក្នុងវាដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងភាគបែង។
បន្ទាប់មក យើងបន្តទៅកន្សោមដែលមានពាក្យមួយបូកមួយ។
សញ្ញាបត្រត្រូវតែសម្គាល់ដោយកត្តា 1/(រយៈពេល)។
ដូច្នេះយើងទទួលបាននិទស្សន្តទៅនឹងអំណាចនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ប្រភាគ។ 
ដើម្បីវាយតម្លៃឯកវចនៈ យើងបានប្រើដែនកំណត់ទីពីរ៖ 
ឧទាហរណ៍ 42. យើងមានឯកវចនៈនៃប្រភេទមួយទៅនឹងថាមពលនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
ដើម្បីបង្ហាញវា មួយគួរតែកាត់បន្ថយមុខងារទៅដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។
របៀបធ្វើវាត្រូវបានបង្ហាញលម្អិតនៅក្នុងរូបមន្តខាងក្រោម 
អ្នកអាចរកឃើញបញ្ហាស្រដៀងគ្នាជាច្រើន។ ខ្លឹមសាររបស់ពួកគេគឺដើម្បីទទួលបានសញ្ញាបត្រដែលត្រូវការនៅក្នុងនិទស្សន្ត ហើយវាស្មើនឹងតម្លៃបញ្ច្រាសនៃពាក្យនៅក្នុងវង់ក្រចកនៅមួយ។
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនេះយើងទទួលបាននិទស្សន្ត។ ការគណនាបន្ថែមទៀតត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដែនកំណត់នៃសញ្ញាប័ត្រនិទស្សន្ត។
នៅទីនេះ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដោយសារតម្លៃគឺធំជាងមួយ e=2.72>1។
ឧទាហរណ៍ទី 43 នៅក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគ យើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ infinity ដក infinity ដែលតាមពិតស្មើនឹងការចែកដោយសូន្យ។
ដើម្បីកម្ចាត់ឫស យើងគុណនឹងកន្សោមរួម ហើយបន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ដើម្បីសរសេរភាគបែងឡើងវិញ។
យើងទទួលបានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដែលបែងចែកដោយភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដូច្នេះយើងដកអថេរទៅជាវិសាលភាពដ៏ធំបំផុត ហើយកាត់បន្ថយវាដោយវា។
បន្ទាប់មក យើងវាយតម្លៃការរួមចំណែកនៃពាក្យនីមួយៗ និងស្វែងរកដែនកំណត់នៃមុខងារនៅភាពគ្មានកំណត់ 
ទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់គឺជាសាខាមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ សំណួរនៃការដោះស្រាយដែនកំណត់គឺទូលំទូលាយណាស់ ចាប់តាំងពីមានវិធីសាស្រ្តរាប់សិបសម្រាប់ដោះស្រាយដែនកំណត់នៃប្រភេទផ្សេងៗ។ មាន nuances និងល្បិចរាប់សិបដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយនេះឬដែនកំណត់នោះ។ យ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងនៅតែព្យាយាមយល់អំពីប្រភេទដែនកំណត់សំខាន់ៗដែលត្រូវបានជួបប្រទះញឹកញាប់បំផុតក្នុងការអនុវត្ត។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងគោលគំនិតនៃដែនកំណត់។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ប្រវត្តិសង្ខេប។ មានជនជាតិបារាំងម្នាក់ឈ្មោះ Augustin Louis Cauchy នៅសតវត្សរ៍ទី 19 ដែលបានផ្តល់និយមន័យយ៉ាងតឹងរឹងចំពោះគោលគំនិតជាច្រើននៃម៉ាតាន ហើយបានចាក់គ្រឹះរបស់វា។ វាត្រូវតែនិយាយថាគណិតវិទូដ៏គួរឱ្យគោរពនេះគឺជា, ហើយនឹងស្ថិតនៅក្នុងសុបិន្តអាក្រក់របស់សិស្សទាំងអស់នៃនាយកដ្ឋានរូបវិទ្យានិងគណិតវិទ្យាចាប់តាំងពីគាត់បានបង្ហាញពីចំនួនដ៏ធំនៃទ្រឹស្តីបទនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាហើយទ្រឹស្តីបទមួយគឺសាហាវជាងផ្សេងទៀត។ ចំពោះបញ្ហានេះ យើងនឹងមិនពិចារណានៅឡើយទេ។ ការកំណត់ដែនកំណត់ Cauchyប៉ុន្តែសូមព្យាយាមធ្វើរឿងពីរ៖
1. យល់ពីអ្វីដែលជាដែនកំណត់។
2. រៀនដោះស្រាយប្រភេទសំខាន់ៗនៃដែនកំណត់។
ខ្ញុំសូមអភ័យទោសចំពោះការពន្យល់ដែលមិនមានលក្ខណៈវិទ្យាសាស្រ្តមួយចំនួន វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលសម្ភារៈអាចយល់បានសូម្បីតែទឹកតែដែលតាមពិតគឺជាកិច្ចការរបស់គម្រោង។
ដូច្នេះតើអ្វីជាដែនកំណត់?
ហើយគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍នៃហេតុអ្វីបានជាលោកយាយ shaggy ...
ដែនកំណត់ណាមួយមានបីផ្នែក:
1) រូបតំណាងដែនកំណត់ដែលគេស្គាល់។
2) ធាតុនៅក្រោមរូបតំណាងដែនកំណត់ ក្នុងករណីនេះ . ធាតុអានថា "X មាននិន្នាការទៅមួយ" ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ - ពិតប្រាកដទោះបីជាជំនួសឱ្យ "X" នៅក្នុងការអនុវត្តមានអថេរផ្សេងទៀត។ នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង កន្លែងរបស់មួយអាចជាលេខណាមួយ ក៏ដូចជា infinity ()។
3) មុខងារនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់ ក្នុងករណីនេះ .
ការថតដោយខ្លួនឯង។ 
អានដូចនេះ៖ "ដែនកំណត់នៃមុខងារដែល x មានទំនោរទៅរកការរួបរួម។"
សូមក្រឡេកមើលសំណួរសំខាន់បន្ទាប់ - តើកន្សោម "x" មានន័យយ៉ាងណា? ខិតខំទៅមួយ"? ហើយតើពាក្យ«តស៊ូ»មានន័យដូចម្តេច?
គំនិតនៃដែនកំណត់គឺជាគំនិតមួយ ដូច្នេះដើម្បីនិយាយ ថាមវន្ត. ចូរយើងបង្កើតលំដាប់មួយ៖ ដំបូង , បន្ទាប់មក , , …, 
, ….
នោះគឺកន្សោម "x ខិតខំទៅមួយ" គួរតែត្រូវបានយល់ដូចខាងក្រោម: "x" ជាប់លាប់លើតម្លៃ ដែលខិតទៅជិតការរួបរួមយ៉ាងជិតស្និត និងអនុវត្តស្របគ្នាជាមួយវា។.
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងលើ? ដោយផ្អែកលើខាងលើ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសមួយទៅក្នុងមុខងារក្រោមសញ្ញាកំណត់៖
ដូច្នេះច្បាប់ទីមួយ៖ នៅពេលផ្តល់ដែនកំណត់ណាមួយ ដំបូងយើងគ្រាន់តែព្យាយាមដោតលេខទៅក្នុងមុខងារ.
យើងបានចាត់ទុកដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុត ប៉ុន្តែទាំងនេះក៏កើតឡើងនៅក្នុងការអនុវត្តផងដែរ ហើយមិនមែនកម្រទេ!
ឧទាហរណ៍ជាមួយភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើវាជាអ្វី? នេះគឺជាករណីនៅពេលដែលវាកើនឡើងដោយគ្មានដែនកំណត់ នោះគឺ: ដំបូង បន្ទាប់មក បន្ទាប់មក បន្ទាប់មក ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានដែនកំណត់។
តើមានអ្វីកើតឡើងចំពោះមុខងារនៅពេលនេះ?
, , 
, …
ដូច្នេះ៖ ប្រសិនបើ នោះអនុគមន៍មានទំនោរទៅជាដកគ្មានដែនកំណត់:
និយាយដោយប្រយោល យោងទៅតាមច្បាប់ទីមួយរបស់យើង ជំនួសឱ្យ "X" យើងជំនួសភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៅក្នុងមុខងារ ហើយទទួលបានចម្លើយ។
ឧទាហរណ៍មួយទៀតជាមួយភាពគ្មានទីបញ្ចប់៖
ជាថ្មីម្តងទៀតយើងចាប់ផ្តើមកើនឡើងដល់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ហើយមើលឥរិយាបថនៃមុខងារ: 
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ នៅពេលដែលមុខងារកើនឡើងដោយគ្មានដែនកំណត់:
និងស៊េរីឧទាហរណ៍មួយទៀត៖
សូមព្យាយាមវិភាគផ្លូវចិត្តខាងក្រោមសម្រាប់ខ្លួនអ្នក ហើយចងចាំប្រភេទដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុត៖
, , , , 
, , , , 
,
ប្រសិនបើអ្នកមានការសង្ស័យនៅកន្លែងណាមួយ អ្នកអាចយកម៉ាស៊ីនគិតលេខ ហើយអនុវត្តបន្តិច។
ក្នុងករណីនោះ សូមព្យាយាមបង្កើតលំដាប់ , , . ប្រសិនបើ , , .
! ចំណាំ៖ និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង វិធីសាស្រ្តក្នុងការបង្កើតលំដាប់នៃលេខជាច្រើននេះគឺមិនត្រឹមត្រូវទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត វាពិតជាសមរម្យណាស់។
យកចិត្តទុកដាក់ផងដែរចំពោះរឿងខាងក្រោម។ ទោះបីជាដែនកំណត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយចំនួនធំនៅកំពូល ឬសូម្បីតែមួយលានក៏ដោយ៖ នោះវាដូចគ្នាទាំងអស់ 
ចាប់តាំងពីមិនយូរមិនឆាប់ "X" នឹងចាប់ផ្តើមទទួលយកតម្លៃដ៏មហិមាបែបនេះ ដែលមួយលាននៅក្នុងការប្រៀបធៀបនឹងក្លាយជាមីក្រុបពិតប្រាកដ។
តើអ្នកត្រូវចងចាំ និងយល់ពីអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ?
1) នៅពេលដែលបានផ្តល់ដែនកំណត់ណាមួយ ដំបូងយើងគ្រាន់តែព្យាយាមជំនួសលេខទៅក្នុងមុខងារ។
2) អ្នកត្រូវតែយល់និងដោះស្រាយភ្លាមៗនូវដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុតដូចជា 
, , ល។
លើសពីនេះទៅទៀត ដែនកំណត់មានអត្ថន័យធរណីមាត្រល្អណាស់។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីប្រធានបទ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានឯកសារបង្រៀន ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋម. បន្ទាប់ពីអានអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងមិនត្រឹមតែយល់ពីអ្វីដែលជាដែនកំណត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបានស្គាល់ករណីគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ នៅពេលដែលដែនកំណត់នៃមុខងារជាទូទៅ។ មិនមាន!
នៅក្នុងការអនុវត្តជាអកុសលមានអំណោយតិចតួច។ ដូច្នេះហើយ យើងបន្តពិចារណាលើដែនកំណត់ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ដោយវិធីនេះនៅលើប្រធានបទនេះមាន វគ្គសិក្សាដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងជាទម្រង់ pdf ដែលមានប្រយោជន៍ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកមានពេលតិចតួចណាស់ក្នុងការរៀបចំ។ ប៉ុន្តែជាការពិតណាស់សម្ភារៈគេហទំព័រគឺមិនអាក្រក់ជាងនេះទេ:
ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាក្រុមនៃដែនកំណត់នៅពេលដែល ហើយអនុគមន៍គឺជាប្រភាគដែលភាគបែង និងភាគបែងមានពហុនាម
ឧទាហរណ៍៖
គណនាដែនកំណត់ 
យោងទៅតាមច្បាប់របស់យើង យើងនឹងព្យាយាមជំនួសភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៅក្នុងមុខងារ។ តើយើងទទួលបានអ្វីនៅលើកំពូល? ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ហើយមានអ្វីកើតឡើងខាងក្រោម? ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ផងដែរ។ ដូច្នេះហើយ យើងមានអ្វីដែលហៅថា ភាពមិនប្រាកដប្រជានៃប្រភេទសត្វ។ មនុស្សម្នាក់ប្រហែលជាគិតថា ហើយចម្លើយគឺរួចរាល់ហើយ ប៉ុន្តែក្នុងករណីទូទៅ នេះមិនមែនជាករណីទាំងអស់នោះទេ ហើយវាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តបច្ចេកទេសដំណោះស្រាយមួយចំនួន ដែលឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះ?
ដំបូងយើងក្រឡេកមើលលេខភាគហើយរកថាមពលខ្ពស់បំផុត៖ 
អំណាចនាំមុខនៅក្នុងភាគយកគឺពីរ។
ឥឡូវយើងមើលទៅភាគបែង ហើយក៏រកឃើញវាទៅកាន់អំណាចខ្ពស់បំផុត៖ 
កំរិតខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែងគឺពីរ។
បន្ទាប់មកយើងជ្រើសរើសអំណាចខ្ពស់បំផុតនៃភាគយក និងភាគបែង៖ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ពួកវាដូចគ្នា និងស្មើពីរ។
ដូច្នេះ វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយមានដូចខាងក្រោម៖ ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ ចាំបាច់ត្រូវបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយអំណាចខ្ពស់បំផុត។
នេះជាចម្លើយ ហើយមិនមែនជានិរន្តរភាពទាល់តែសោះ។
តើអ្វីជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏សំខាន់នៅក្នុងការរចនានៃការសម្រេចចិត្ត?
ទីមួយ យើងបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់ ប្រសិនបើមាន។
ទីពីរ គួរតែរំខានដំណោះស្រាយសម្រាប់ការពន្យល់កម្រិតមធ្យម។ ជាធម្មតាខ្ញុំប្រើសញ្ញា វាមិនមានអត្ថន័យគណិតវិទ្យាទេ ប៉ុន្តែមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវបានរំខានសម្រាប់ការពន្យល់កម្រិតមធ្យម។
ទីបី ក្នុងដែនកំណត់ គួរតែសម្គាល់អ្វីដែលត្រូវទៅទីណា។ នៅពេលដែលការងារត្រូវបានគូរដោយដៃ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការធ្វើវាតាមវិធីនេះ៖ 
វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើខ្មៅដៃសាមញ្ញសម្រាប់កំណត់ចំណាំ។
ជាការពិតណាស់ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើកិច្ចការនេះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក ប្រហែលជាគ្រូនឹងចង្អុលបង្ហាញពីចំណុចខ្វះខាតនៅក្នុងដំណោះស្រាយ ឬចាប់ផ្តើមសួរសំណួរបន្ថែមអំពីកិច្ចការនោះ។ តើអ្នកត្រូវការវាទេ?
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដែនកំណត់ 
ជាថ្មីម្តងទៀតនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង យើងរកឃើញក្នុងកម្រិតខ្ពស់បំផុត៖ 
កំរិតអតិបរិមាក្នុងលេខភាគ៖ ៣
កំរិតអតិបរិមាក្នុងភាគបែង៖ ៤
ជ្រើសរើស អស្ចារ្យបំផុត។តម្លៃក្នុងករណីនេះបួន។
យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយរបស់យើង ដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់ យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ .
កិច្ចការពេញលេញអាចមើលទៅដូចនេះ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដែនកំណត់ 
កំរិតអតិបរិមានៃ “X” នៅក្នុងលេខភាគ៖ ២
កំរិតអតិបរមានៃ “X” នៅក្នុងភាគបែង៖ ១ (អាចសរសេរជា)
ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ ចាំបាច់ត្រូវបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ . ដំណោះស្រាយចុងក្រោយអាចមើលទៅដូចនេះ៖
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ
ការសម្គាល់មិនមានន័យថាការបែងចែកដោយសូន្យទេ (អ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ) ប៉ុន្តែការបែងចែកដោយចំនួនមិនកំណត់។
ដូច្នេះ ដោយការបង្ហាញពីភាពមិនប្រាកដប្រជានៃប្រភេទសត្វ យើងប្រហែលជាអាចធ្វើបាន។ លេខចុងក្រោយសូន្យ ឬគ្មានកំណត់។
ដែនកំណត់ជាមួយនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេ។
ក្រុមដែនកំណត់បន្ទាប់គឺស្រដៀងនឹងដែនកំណត់ដែលទើបតែបានពិចារណា៖ ភាគបែង និងភាគបែងមានពហុនាម ប៉ុន្តែ "x" លែងមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៀតហើយ ប៉ុន្តែ ចំនួនកំណត់.
ឧទាហរណ៍ 4
ដោះស្រាយដែនកំណត់ 
ដំបូងយើងព្យាយាមជំនួស -1 ទៅក្នុងប្រភាគ៖ 
ក្នុងករណីនេះអ្វីដែលគេហៅថាភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានទទួល។
ក្បួនទូទៅ៖ ប្រសិនបើភាគយក និងភាគបែងមានពហុនាម ហើយមានទម្រង់មិនច្បាស់លាស់ នោះត្រូវបង្ហាញវា អ្នកត្រូវបញ្ចូលលេខភាគនិងភាគបែង.
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ភាគច្រើនអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង និង/ឬប្រើរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់។ ប្រសិនបើរឿងទាំងនេះត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល សូមចូលទៅកាន់ទំព័រ រូបមន្ត និងតារាងគណិតវិទ្យានិងអានឯកសារបង្រៀន រូបមន្តក្តៅៗសម្រាប់មុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យារបស់សាលា. ដោយវិធីនេះ វាជាការល្អបំផុតក្នុងការបោះពុម្ពវាចេញ វាត្រូវបានទាមទារជាញឹកញាប់ ហើយព័ត៌មានត្រូវបានស្រូបចេញពីក្រដាសកាន់តែប្រសើរ។
ដូច្នេះ ចូរយើងដោះស្រាយដែនកំណត់របស់យើង។ 
ចែកភាគយក និងភាគបែង
ដើម្បីជាកត្តាភាគយក អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖ 
ដំបូងយើងរកឃើញអ្នករើសអើង៖
និងឫសការ៉េរបស់វា៖ ។
ប្រសិនបើការរើសអើងមានទំហំធំ ឧទាហរណ៍ 361 យើងប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ មុខងារនៃការស្រង់ចេញឫសការ៉េគឺនៅលើម៉ាស៊ីនគណនាសាមញ្ញបំផុត។
! ប្រសិនបើឫសមិនត្រូវបានស្រង់ចេញទាំងស្រុងទេ (ចំនួនប្រភាគដែលមានសញ្ញាក្បៀសត្រូវបានទទួល) វាទំនងជាថាការរើសអើងត្រូវបានគណនាមិនត្រឹមត្រូវ ឬមានការវាយខុសនៅក្នុងកិច្ចការ។
បន្ទាប់យើងរកឃើញឫស៖ 
ដូចនេះ៖
ទាំងអស់។ ភាគយកត្រូវបានធ្វើជាកត្តា។
ភាគបែង។ ភាគបែងគឺជាកត្តាសាមញ្ញបំផុតរួចទៅហើយ ហើយគ្មានវិធីណាដើម្បីធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលនោះទេ។
ជាក់ស្តែង វាអាចត្រូវបានខ្លីទៅ៖
ឥឡូវនេះយើងជំនួស -1 ទៅក្នុងកន្សោមដែលនៅតែស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់៖
តាមធម្មជាតិ នៅក្នុងការសាកល្បង ការធ្វើតេស្ត ឬការប្រឡង ដំណោះស្រាយមិនដែលត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិតបែបនេះទេ។ នៅក្នុងកំណែចុងក្រោយ ការរចនាគួរតែមើលទៅដូចនេះ៖
ចូរយើងធ្វើកត្តាភាគយក។ 
ឧទាហរណ៍ 5
គណនាដែនកំណត់ 
ទីមួយកំណែ "បញ្ចប់" នៃដំណោះស្រាយ
ចូរយកភាគបែង និងភាគបែង។
លេខភាគ៖
ភាគបែង៖ 
, 
តើអ្វីសំខាន់នៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះ?
ដំបូង អ្នកត្រូវតែយល់ច្បាស់អំពីរបៀបដែលលេខភាគត្រូវបានបង្ហាញ ជាដំបូងយើងយក 2 ចេញពីតង្កៀប ហើយបន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ។ នេះជារូបមន្តដែលអ្នកត្រូវដឹង និងមើល។
អនុសាសន៍៖ ប្រសិនបើនៅក្នុងដែនកំណត់មួយ (ស្ទើរតែគ្រប់ប្រភេទ) វាអាចទៅរួចក្នុងការដកលេខចេញពីតង្កៀប នោះយើងតែងតែធ្វើវា។
ជាងនេះទៅទៀត គួរតែផ្លាស់ទីលេខបែបនេះលើសពីរូបតំណាងកំណត់. ដើម្បីអ្វី? បាទ គ្រាន់តែដើម្បីកុំឲ្យគេចូលក្នុងផ្លូវ។ រឿងសំខាន់គឺមិនត្រូវបាត់បង់លេខទាំងនេះនៅពេលក្រោយក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយ។
សូមចំណាំថានៅដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃដំណោះស្រាយ ខ្ញុំបានយករូបពីរចេញពីរូបតំណាងដែនកំណត់ ហើយបន្ទាប់មកដក។
! សំខាន់
កំឡុងពេលដំណោះស្រាយ បំណែកប្រភេទកើតឡើងជាញឹកញាប់។ កាត់បន្ថយប្រភាគនេះ។វាត្រូវបានហាមឃាត់
. ដំបូងអ្នកត្រូវផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃភាគយកឬភាគបែង (ដាក់ -1 ចេញពីតង្កៀប) ។
នោះគឺសញ្ញាដកមួយលេចឡើងដែលត្រូវបានយកមកពិចារណានៅពេលគណនាដែនកំណត់ហើយមិនចាំបាច់បាត់បង់វាទាល់តែសោះ។
ជាទូទៅ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ជាញឹកញាប់បំផុតក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េពីរ ពោលគឺទាំងភាគយក និងភាគបែងមានត្រីកោណចតុកោណ។
វិធីសាស្រ្តគុណភាគយក និងភាគបែងដោយកន្សោមរួម
យើងបន្តពិចារណាលើភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់
ប្រភេទដែនកំណត់បន្ទាប់គឺស្រដៀងនឹងប្រភេទមុន។ រឿងតែមួយគត់ បន្ថែមពីលើពហុធា យើងនឹងបន្ថែមឫស។
ឧទាហរណ៍ ៦
ស្វែងរកដែនកំណត់ 
តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។
ដំបូងយើងព្យាយាមជំនួសលេខ 3 ទៅក្នុងកន្សោមក្រោមសញ្ញាកំណត់
ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត - នេះគឺជារឿងដំបូងដែលអ្នកត្រូវធ្វើសម្រាប់ដែនកំណត់ណាមួយ។. សកម្មភាពនេះជាធម្មតាត្រូវបានអនុវត្តដោយស្មារតី ឬជាទម្រង់ព្រាង។
ភាពមិនប្រាកដប្រជានៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល ដែលចាំបាច់ត្រូវលុបបំបាត់។ 
ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់ លេខភាគរបស់យើងមានភាពខុសគ្នានៃឫស។ ហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាវាជាទម្លាប់ក្នុងការកម្ចាត់ឫសប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន។ ដើម្បីអ្វី? ហើយជីវិតគឺងាយស្រួលជាងដោយគ្មានពួកគេ។