ច្បាប់សម្រាប់ការគណនាឫស។ ឫសការ៉េ

មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖
"លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េ។ រូបមន្ត។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ បញ្ហាជាមួយចម្លើយ"

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ ការពិនិត្យ បំណងប្រាថ្នា។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីប្រឆាំងមេរោគ។

ជំនួយការបង្រៀន និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអ៊ីនធឺណេតអាំងតេក្រាលសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8
សៀវភៅសិក្សាអន្តរកម្ម "ធរណីមាត្រក្នុងរយៈពេល 10 នាទី" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 8
ស្មុគ្រស្មាញអប់រំ "1C: School. Geometry, grade 8"

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េ

យើងបន្តសិក្សាឫសការ៉េ។ សព្វថ្ងៃនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃឫស។ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានទាំងអស់គឺវិចារណញាណ និងស្របជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការទាំងអស់ដែលយើងបានធ្វើពីមុន។

Property 1. ឫសការេនៃផលគុណនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានពីរគឺស្មើនឹងផលគុណនៃឫសការ៉េនៃលេខទាំងនេះ៖ $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$ ។

វាជាទម្លាប់ក្នុងការបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិណាមួយ ចូរយើងធ្វើវា
អនុញ្ញាតឱ្យ $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ ។ បន្ទាប់មកយើងត្រូវបញ្ជាក់ថា $x=y*z$ ។
ចូរគូសការ៉េកន្សោមនីមួយៗ។
ប្រសិនបើ $\sqrt(a*b)=x$ នោះ $a*b=x^2$។
ប្រសិនបើ $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, បន្ទាប់មក squaring កន្សោមទាំងពីរ យើងទទួលបាន: $a=y^2$, $b=z^2$ ។
$a*b=x^2=y^2*z^2$ នោះគឺ $x^2=(y*z)^2$។ ប្រសិនបើការេនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានពីរគឺស្មើគ្នា នោះលេខខ្លួនឯងគឺស្មើគ្នា ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

ពីទ្រព្យសម្បត្តិរបស់យើង វាធ្វើតាមនោះ ឧទាហរណ៍ $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$ ។

ចំណាំ ១. ទ្រព្យសម្បត្តិក៏ជាការពិតសម្រាប់ករណីនៅពេលដែលមានកត្តាមិនអវិជ្ជមានច្រើនជាងពីរនៅក្រោមឫស។
ទ្រព្យ ២. ប្រសិនបើ $a≥0$ និង $b>0$ នោះសមភាពខាងក្រោមនឹងរក្សា៖ $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

នោះគឺឫសនៃកូតាគឺស្មើនឹងកូតានៃឫស។
ភស្តុតាង។
ចូរប្រើតារាង និងបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់យើងដោយសង្ខេប។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េ

ឧទាហរណ៍ ១.
គណនា៖ $\sqrt(81*25*121)$។

ដំណោះស្រាយ។
ជាការពិតណាស់ យើងអាចយកម៉ាស៊ីនគិតលេខគុណលេខទាំងអស់នៅពីក្រោមឬស ហើយធ្វើប្រតិបត្តិការឫសការ៉េ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមិនមានម៉ាស៊ីនគិតលេខនៅក្នុងដៃ តើអ្នកគួរធ្វើយ៉ាងណា?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495។
ចម្លើយ៖ ៤៩៥។

ឧទាហរណ៍ 2. គណនា៖ $\sqrt(11\frac(14)(25))$។

ដំណោះស្រាយ។
ចូរតំណាងឱ្យចំនួនរ៉ាឌីកាល់ជាប្រភាគមិនសមរម្យ៖ $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( ២៥) ដុល្លារ។
ចូរប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ ២.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= ៣.៤ ដុល្លារ។
ចម្លើយ៖ ៣.៤ ។

ឧទាហរណ៍ ៣.
គណនា៖ $\sqrt(40^2-24^2)$។

ដំណោះស្រាយ។
យើងអាចវាយតម្លៃការបញ្ចេញមតិរបស់យើងដោយផ្ទាល់ ប៉ុន្តែវាស្ទើរតែតែងតែត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ ចូរយើងព្យាយាមធ្វើវា។
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
ដូច្នេះ $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$ ។
ចម្លើយ៖ ៣២.

បុរស, សូមចំណាំថាមិនមានរូបមន្តសម្រាប់ប្រតិបត្តិការនៃការបូកនិងដកនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ទេ ហើយកន្សោមដែលបានបង្ហាញខាងក្រោមគឺមិនត្រឹមត្រូវ។
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$ ។
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$ ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។
គណនា៖ ក) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; ខ) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$។
ដំណោះស្រាយ។
លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញខាងលើដំណើរការទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាសនោះគឺ៖
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$ ។
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$។
ដោយប្រើវា សូមដោះស្រាយឧទាហរណ៍របស់យើង។
ក) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

ខ) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$ ។

ចម្លើយ៖ ក) ១៦; ខ) ២.

ទ្រព្យ ៣. ប្រសិនបើ $а≥0$ និង n ជាលេខធម្មជាតិ នោះសមភាពនឹងទទួល៖ $\sqrt(a^(2n))=a^n$ ។

ឧទាហរណ៍។ $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ ជាដើម។

ឧទាហរណ៍ 5 ។
គណនា៖ $\sqrt(129600)$ ។

ដំណោះស្រាយ។
ចំនួនដែលបង្ហាញដល់យើងគឺធំណាស់ សូមបំបែកវាជាកត្តាចម្បង។
យើងទទួលបាន៖ $129600=5^2*2^6*3^4$ ឬ $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$។
ចម្លើយ៖ ៣៦០ ។

បញ្ហាដែលត្រូវដោះស្រាយដោយឯករាជ្យ

1. គណនា៖ $\sqrt(144*36*64)$។
2. គណនា៖ $\sqrt(8\frac(1)(36))$។
3. គណនា៖ $\sqrt(52^2-48^2)$។
4. គណនា៖
ក) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
ខ) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$។

ការពិត ១.
$\bullet$ ចូរយើងយកលេខដែលមិនអវិជ្ជមានមួយចំនួន $a$ (នោះគឺ $a\geqslant 0$) ។ បន្ទាប់មក (នព្វន្ធ) ឫសការ៉េពីលេខ $a$ ត្រូវបានគេហៅថាជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន $b$ នៅពេលការ៉េយើងទទួលបានលេខ $a$ : \\ [\ sqrt a = b \\ quad \\ អត្ថបទ (ដូចគ្នានឹង ) \\ quad a = b ^ 2 \\]តាមនិយមន័យវាធ្វើតាមនោះ។ $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. ការរឹតបន្តឹងទាំងនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌសំខាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃឫសការ៉េ ហើយគួរចងចាំ!
សូមចាំថាលេខណាមួយនៅពេលការ៉េផ្តល់លទ្ធផលមិនអវិជ្ជមាន។ នោះគឺ $100^2=10000\geqslant 0$ និង $(-100)^2=10000\geqslant 0$ ។
$\bullet$ តើ $\sqrt(25)$ ស្មើនឹងអ្វី? យើងដឹងថា $5^2=25$ និង $(-5)^2=25$ ។ ដោយសារតាមនិយមន័យ យើងត្រូវស្វែងរកលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន នោះ $-5$ មិនសមរម្យ ដូច្នេះ $\sqrt(25)=5$ (ចាប់តាំងពី $25=5^2$)។
ការស្វែងរកតម្លៃនៃ $\sqrt a$ ត្រូវបានគេហៅថាយកឫសការ៉េនៃចំនួន $a$ ហើយលេខ $a$ ត្រូវបានគេហៅថា កន្សោមរ៉ាឌីកាល់។
$\bullet$ ផ្អែកលើនិយមន័យ កន្សោម $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$ ។ល។ មិនសមហេតុផល។

ការពិត ២.
សម្រាប់ការគណនារហ័ស វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការរៀនតារាងការេនៃលេខធម្មជាតិពី $1$ ដល់ $20$៖ \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(អារេ)\]

ការពិត ៣.
តើប្រតិបត្តិការអ្វីខ្លះដែលអ្នកអាចធ្វើជាមួយឫសការ៉េ?
$\គ្រាប់$ ផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃឫសការ៉េមិនស្មើគ្នាទៅនឹងឫសការ៉េនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នា នោះគឺជា \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ដូច្នេះ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការគណនា ឧទាហរណ៍ $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ បន្ទាប់មកដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃ $\sqrt(25)$ និង $\ sqrt(49)\ ) ហើយបន្ទាប់មកបត់ពួកវា។ អាស្រ័យហេតុនេះ \\[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] ប្រសិនបើតម្លៃ \(\sqrt a$ ឬ $\sqrt b$ មិនអាចត្រូវបានរកឃើញនៅពេលបន្ថែម $\sqrt a+\sqrt b$ នោះកន្សោមបែបនេះមិនត្រូវបានបំប្លែងបន្ថែមទេ ហើយនៅតែមានដូចដើម។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងផលបូក $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ យើងអាចរកឃើញ $\sqrt(49)$ គឺ $7$ ប៉ុន្តែ $\sqrt 2$ មិនអាចបំប្លែងនៅក្នុង វិធីណាក៏ដោយ នោះហើយជាមូលហេតុ \$\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. ជាអកុសល កន្សោមនេះមិនអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញបន្ថែមទៀតទេ។$\bullet$ ផលិតផល/កូតានៃឫសការ៉េស្មើនឹងឫសការ៉េនៃផលិតផល/កូតា នោះគឺ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ផ្តល់ថាភាគីទាំងពីរនៃសមភាពមានអត្ថន័យ)
ឧទាហរណ៍៖ \$\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)=5\cdot 8=40$.
$\bullet$ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកឫសការ៉េនៃចំនួនធំដោយកត្តាពួកវា។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរស្វែងរក $\ sqrt(44100)$ ។ ចាប់តាំងពី $44100:100=441$ បន្ទាប់មក $44100=100\cdot 441$ ។ យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបែងចែកលេខ $441$ ត្រូវបានបែងចែកដោយ $9$ (ចាប់តាំងពីផលបូកនៃខ្ទង់របស់វាគឺ 9 ហើយត្រូវបានបែងចែកដោយ 9) ដូច្នេះ $441:9 = 49$ នោះគឺ $441=9\cdot 49$ ។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)=\sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))=\sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot3\cdot49\cdot 2)(9\cdot 3))=\sqrt(\ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4\cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ ចូរបង្ហាញពីរបៀបបញ្ចូលលេខនៅក្រោមសញ្ញាឫសការ៉េដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃកន្សោម $5\sqrt2$ (សញ្ញាខ្លីសម្រាប់កន្សោម $5\cdot \sqrt2$) ។ ចាប់តាំងពី $5=\sqrt(25)$ បន្ទាប់មក \ សូមកត់សម្គាល់ផងដែរថា ជាឧទាហរណ៍
1) \$\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) \$5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
៣) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ ។

ហេតុអ្វីបានជាយ៉ាងនេះ? ចូរយើងពន្យល់ដោយប្រើឧទាហរណ៍ 1) ។ ដូចដែលអ្នកយល់រួចហើយ យើងមិនអាចបំប្លែងលេខ $\ sqrt2$ បានទេ។ ចូរស្រមៃថា $\sqrt2$ គឺជាចំនួនមួយចំនួន $a$ ។ ដូច្នោះហើយ កន្សោម $\sqrt2+3\sqrt2$ គឺគ្មានអ្វីក្រៅពី $a+3a$ (ចំនួនមួយ $a$ បូកបីទៀតនៃចំនួនដូចគ្នា $a$) ។ ហើយយើងដឹងថានេះស្មើនឹងចំនួនបួនដូចជា $a$ នោះគឺ $4\sqrt2$ ។

ការពិត ៤.
$\bullet$ ពួកគេច្រើនតែនិយាយថា "អ្នកមិនអាចស្រង់ឫសបានទេ" នៅពេលដែលអ្នកមិនអាចកម្ចាត់សញ្ញា $\ sqrt () \ $ នៃឫស (រ៉ាឌីកាល់) នៅពេលស្វែងរកតម្លៃនៃលេខ។ . ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកឫសនៃលេខ $16$ ដោយសារតែ $16=4^2$ ដូច្នេះ $\sqrt(16)=4$ ។ ប៉ុន្តែវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្រង់ឫសនៃលេខ $3$ នោះគឺដើម្បីស្វែងរក $\sqrt3$ ពីព្រោះគ្មានលេខដែលការ៉េនឹងផ្តល់ឱ្យ $3$ ។
លេខបែបនេះ (ឬកន្សោមដែលមានលេខបែបនេះ) គឺមិនសមហេតុផល។ ឧទាហរណ៍លេខ $\sqrt3, 1+\sqrt2, \\sqrt(15)$ល។ មិនសមហេតុផល។
មិនសមហេតុផលផងដែរគឺជាលេខ $\pi$ (លេខ "pi" ប្រហែលស្មើនឹង $3.14$) $e$ (លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាលេខអយល័រ វាប្រហាក់ប្រហែលនឹង $2.7 $) ជាដើម។
$\bullet$ សូមចំណាំថា លេខណាមួយនឹងសមហេតុផល ឬមិនសមហេតុផល។ ហើយចំនួនសមហេតុផល និងចំនួនមិនសមហេតុផលទាំងអស់រួមគ្នាបង្កើតជាសំណុំដែលហៅថា សំណុំនៃចំនួនពិត។សំណុំនេះត្រូវបានតាងដោយអក្សរ $\mathbb(R)$ ។
នេះមានន័យថាលេខទាំងអស់ដែលយើងដឹងនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះត្រូវបានគេហៅថាជាលេខពិត។

ការពិត ៥.
$\bullet$ ម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត $a$ គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន $|a|$ ស្មើនឹងចម្ងាយពីចំណុច $a$ ទៅ $0$ នៅលើ បន្ទាត់ពិត។ ឧទាហរណ៍ $|3|$ និង $|-3|$ ស្មើនឹង 3 ចាប់តាំងពីចម្ងាយពីចំនុច $3$ និង $-3$ ទៅ $0$ គឺជា ដូចគ្នា និងស្មើនឹង $3 $ ។
$\bullet$ ប្រសិនបើ $a$ ជាលេខមិនអវិជ្ជមាន នោះ $|a|=a$ ។
ឧទាហរណ៍៖ $|5|=5$; \$\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ ។
ឧទាហរណ៍៖ $|-5|=-(-5)=5$; \$\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
ពួកគេនិយាយថាសម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន ម៉ូឌុល "ស៊ី" ដក ចំណែកលេខវិជ្ជមាន ក៏ដូចជាលេខ $0$ មិនត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយម៉ូឌុល។
ប៉ុន្តែច្បាប់នេះអនុវត្តចំពោះតែលេខប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុលរបស់អ្នកមាន មិនស្គាល់ $x$ (ឬមិនស្គាល់ផ្សេងទៀត) ឧទាហរណ៍ $|x|$ ដែលយើងមិនដឹងថាវាវិជ្ជមាន សូន្យ ឬអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកកម្ចាត់ នៃម៉ូឌុលដែលយើងមិនអាច។ ក្នុងករណីនេះកន្សោមនេះនៅតែដដែល៖ $|x|$ ។ $\bullet$ រូបមន្តខាងក្រោមមាន៖ \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(បានផ្តល់) a\geqslant 0\]
ជាញឹកញាប់ណាស់ កំហុសខាងក្រោមត្រូវបានធ្វើឡើង៖ ពួកគេនិយាយថា $\sqrt(a^2)$ និង $(\sqrt a)^2$ គឺមួយ និងដូចគ្នា។ នេះជាការពិតប្រសិនបើ $a$ ជាចំនួនវិជ្ជមាន ឬសូន្យ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ $a$ ជាលេខអវិជ្ជមាន នោះវាមិនពិត។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ។ ចូរយកជំនួស $a$ លេខ $-1$ ។ បន្ទាប់មក $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ ប៉ុន្តែកន្សោម $(\sqrt (-1))^2$ មិនមានទាល់តែសោះ (បន្ទាប់ពីទាំងអស់, វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការប្រើសញ្ញាឫសដាក់លេខអវិជ្ជមាន!)ដូច្នេះ យើងទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកចំពោះការពិតដែលថា $\sqrt(a^2)$ មិនស្មើនឹង $(\sqrt a)^2$ ! ឧទាហរណ៍៖ ១)$\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$<0\) ;

, ដោយសារតែ \$-\ sqrt2 \(\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ ។
$\bullet$ ចាប់តាំងពី $\sqrt(a^2)=|a|$ បន្ទាប់មក \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(កន្សោម $2n$ តំណាងអោយលេខគូ)
នោះគឺនៅពេលដែលយកឫសនៃលេខដែលមានកម្រិតណាមួយ ដឺក្រេនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយពាក់កណ្តាល។
ឧទាហរណ៍៖
1) \$\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$

2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (ចំណាំថាប្រសិនបើម៉ូឌុលមិនត្រូវបានផ្គត់ផ្គង់ វាប្រែថាឫសនៃលេខគឺស្មើនឹង $-25\ ) ប៉ុន្តែយើងចាំថា តាមនិយមន័យនៃឫស វាមិនអាចកើតឡើងបានទេ៖ នៅពេលស្រង់ឫស យើងគួរតែទទួលបានលេខវិជ្ជមាន ឬសូន្យជានិច្ច)
3) \\(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (ចាប់តាំងពីលេខណាមួយទៅថាមពលគូគឺមិនអវិជ្ជមាន)
ការពិត ៦.<\sqrt b\) , то $a(កន្សោម \(2n$ តំណាងអោយលេខគូ)
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីប្រៀបធៀបឫសការ៉េពីរ? $\bullet$ សម្រាប់ឫសការ៉េ វាជាការពិត៖ ប្រសិនបើ $\ sqrt a១) ប្រៀបធៀប \(\sqrt(50)$ និង $6\sqrt2$ ។ ទីមួយ ចូរយើងបំប្លែងកន្សោមទីពីរទៅជា<72\) , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
\$\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$
. ដូច្នេះចាប់តាំងពី $50<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
2) តើចំនួនគត់គឺ $\ sqrt(50)$ ស្ថិតនៅចន្លោះប៉ុន្មាន? \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \\big| +1\quad \text((បន្ថែមមួយទៅភាគីទាំងពីរ))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\ ធំ| \ ^2 \quad\text(( កាត់ភាគីទាំងពីរ))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(តម្រឹម)\]យើងឃើញថាយើងទទួលបានវិសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះ ការសន្មត់របស់យើងគឺមិនត្រឹមត្រូវ ហើយ $\ sqrt 2-1<0,5$ .
ចំណាំថាការបន្ថែមចំនួនជាក់លាក់ទៅភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពមិនប៉ះពាល់ដល់សញ្ញារបស់វាទេ។ ការគុណ/ចែកទាំងសងខាងនៃវិសមភាពដោយចំនួនវិជ្ជមានក៏មិនប៉ះពាល់ដល់សញ្ញារបស់វាដែរ ប៉ុន្តែការគុណ/ចែកដោយលេខអវិជ្ជមានបញ្ច្រាសសញ្ញានៃវិសមភាព!
អ្នកអាចការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ/វិសមភាពបានលុះត្រាតែភាគីទាំងពីរមិនអវិជ្ជមាន។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងវិសមភាពពីឧទាហរណ៍មុន អ្នកអាចដាក់ការ៉េទាំងសងខាង ក្នុងវិសមភាព $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំ \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]ការដឹងពីអត្ថន័យប្រហាក់ប្រហែលនៃលេខទាំងនេះនឹងជួយអ្នកនៅពេលប្រៀបធៀបលេខ!
$\bullet$ ដើម្បីស្រង់ឫស (ប្រសិនបើវាអាចស្រង់ចេញបាន) ពីចំនួនធំមួយចំនួនដែលមិនមាននៅក្នុងតារាងការ៉េ នោះដំបូងអ្នកត្រូវតែកំណត់រវាង "រាប់រយ" ដែលវាស្ថិតនៅ បន្ទាប់មក - រវាង "មួយណា" tens” ហើយបន្ទាប់មកកំណត់ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខនេះ។ សូមបង្ហាញពីរបៀបដែលវាដំណើរការជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។
តោះយក $\sqrt(28224)$ ។ យើងដឹងថា $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$ ។ល។ ចំណាំថា $28224$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $10\,000$ និង $40\,000$ ។ ដូច្នេះ $\sqrt(28224)$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $100$ និង $200$ ។
ឥឡូវនេះ ចូរកំណត់រវាង "ដប់" លេខរបស់យើងស្ថិតនៅ (ឧទាហរណ៍ រវាង $120$ និង $130$)។ ផងដែរពីតារាងការ៉េយើងដឹងថា $11^2=121$, $12^2=144$ ល។ បន្ទាប់មក $110^2=12100$ , $120^2=14400 $ ), $130^2=16900$, $140^2=19600$, $150^2=22500$, $160^2=25600$, $170^2=28900$ ) ។ ដូច្នេះយើងឃើញថា $28224$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $160^2$ និង $170^2$ ។ ដូច្នេះ លេខ $\sqrt(28224)$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $160$ និង $170$ ។
តោះព្យាយាមកំណត់លេខចុងក្រោយ។ ចូរចាំថា តើលេខមួយខ្ទង់ណា ដែលនៅពេលដាក់ការ៉េ ផ្តល់ $4$ នៅខាងចុង? ទាំងនេះគឺ $2^2$ និង $8^2$ ។ ដូច្នេះ $\sqrt(28224)$ នឹងបញ្ចប់ដោយ 2 ឬ 8។ សូមពិនិត្យមើលវា។ ចូរស្វែងរក $១៦២^២$ និង $១៦៨^២$៖
$162^2=162\cdot 162=26224$
\$168^2=168\cdot 168=28224$ ។

ដើម្បីដោះស្រាយឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់នូវការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា ជាដំបូងអ្នកត្រូវសិក្សាសម្ភារៈទ្រឹស្តី ដែលណែនាំអ្នកអំពីទ្រឹស្តីបទ រូបមន្ត ក្បួនដោះស្រាយជាដើម។ នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាសាមញ្ញណាស់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការស្វែងរកប្រភពដែលទ្រឹស្តីសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងវិធីងាយស្រួល និងអាចយល់បានសម្រាប់សិស្សានុសិស្សដែលមានកម្រិតនៃការហ្វឹកហ្វឺនណាមួយ តាមពិតជាកិច្ចការពិបាកជាង។ សៀវភៅសិក្សារបស់សាលាមិនអាចរក្សាទុកនៅនឹងដៃជានិច្ចនោះទេ។ ហើយការស្វែងរករូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យាអាចជាការលំបាកសូម្បីតែនៅលើអ៊ីនធឺណិត។

ហេតុអ្វីបានជាវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការសិក្សាទ្រឹស្ដីក្នុងគណិតវិទ្យាមិនត្រឹមតែសម្រាប់អ្នកដែលប្រឡងជាប់រដ្ឋ?

ព្រោះវាពង្រីកការយល់ដឹងរបស់អ្នក។. ការសិក្សាសម្ភារៈទ្រឹស្តីនៅក្នុងគណិតវិទ្យាគឺមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នកដែលចង់ទទួលបានចម្លើយចំពោះសំណួរជាច្រើនទាក់ទងនឹងចំណេះដឹងអំពីពិភពលោកជុំវិញពួកគេ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងធម្មជាតិត្រូវបានបញ្ជាទិញនិងមានតក្កវិជ្ជាច្បាស់លាស់។ នេះជាអ្វីដែលត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តដែលតាមរយៈការដែលវាអាចយល់អំពីពិភពលោក។
ដោយសារតែវាអភិវឌ្ឍបញ្ញា. តាមរយៈការសិក្សាឯកសារយោងសម្រាប់ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យា ក៏ដូចជាការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ មនុស្សម្នាក់រៀនគិត និងហេតុផលប្រកបដោយហេតុផល ដើម្បីបង្កើតគំនិតប្រកបដោយសមត្ថភាព និងច្បាស់លាស់។ គាត់អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ ទូទៅ និងទាញការសន្និដ្ឋាន។

យើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យវាយតម្លៃដោយខ្លួនឯងនូវអត្ថប្រយោជន៍ទាំងអស់នៃវិធីសាស្រ្តរបស់យើងចំពោះការរៀបចំប្រព័ន្ធ និងការបង្ហាញសម្ភារៈអប់រំ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េ

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានអនុវត្តនព្វន្ធចំនួនប្រាំលើលេខ៖ បូក ដក គុណការបែងចែក និងនិទស្សន្ត និងក្នុងការគណនាលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងៗនៃប្រតិបត្តិការទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្ម ឧទាហរណ៍ a + b = b + a, an-bn = (ab)n ។ល។

ជំពូកនេះណែនាំប្រតិបត្តិការថ្មីមួយ - យកឫសការ៉េនៃលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។ ដើម្បីប្រើវាដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការនេះ ដែលយើងនឹងធ្វើនៅក្នុងផ្នែកនេះ។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម៖ https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt=" សមភាព" width="120" height="25 id=">!}.

នេះជារបៀបដែលយើងនឹងបង្កើតទ្រឹស្តីបទបន្ទាប់។

(ទម្រង់សង្ខេបដែលងាយស្រួលប្រើក្នុងការអនុវត្ត៖ ឫសនៃប្រភាគស្មើនឹងប្រភាគនៃឬស ឬឫសនៃប្រភាគស្មើនឹងផលគុណនៃឫស។ )

លើកនេះ យើងនឹងលើកយកតែការសង្ខេបខ្លីៗនៃភស្តុតាងប៉ុណ្ណោះ ហើយអ្នកព្យាយាមបញ្ចេញមតិសមស្រប ស្រដៀងទៅនឹងអ្វីដែលបង្កើតជាខ្លឹមសារនៃភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទទី១។

ចំណាំ ៣. ជាការពិតណាស់ ឧទាហរណ៍នេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយផ្សេងគ្នា ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកមានម៉ាស៊ីនគណនាមីក្រូនៅក្នុងដៃ៖ គុណលេខ 36, 64, 9 ហើយបន្ទាប់មកយកឫសការ៉េនៃលទ្ធផល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកនឹងយល់ស្របថាដំណោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងខាងលើមើលទៅមានលក្ខណៈវប្បធម៌ជាង។

ចំណាំ ៤. នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តដំបូងយើងបានអនុវត្តការគណនា "ក្បាល" ។ វិធីទីពីរគឺឆើតឆាយជាង៖
យើងបានអនុវត្ត រូបមន្ត a2 − b2 = (a − b) (a + b) ហើយបានប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសការ៉េ។

ចំណាំ ៥. ពេលខ្លះ "ក្បាលក្តៅ" ខ្លះផ្តល់ "ដំណោះស្រាយ" នេះដល់ឧទាហរណ៍ទី 3៖

នេះពិតណាស់មិនពិតទេ៖ អ្នកឃើញ - លទ្ធផលគឺមិនដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទី 3 ។ ការពិតគឺថាគ្មានទ្រព្យសម្បត្តិ https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="កិច្ចការ" width="148" height="26 id=">!}មានតែលក្ខណៈសម្បត្តិដែលទាក់ទងនឹងការគុណ និងការបែងចែកឫសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។ ប្រយ័ត្នប្រយែង កុំគិតតែប៉ងប្រាថ្នា។

ដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់នូវលក្ខណៈសាមញ្ញមួយបន្ថែមទៀត ហើយក្នុងពេលតែមួយ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗ៖
ប្រសិនបើ a > 0 និង n - លេខធម្មជាតិ, នោះ។

ការបំប្លែងកន្សោមដែលមានប្រតិបត្តិការឫសការ៉េ

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានធ្វើការផ្លាស់ប្តូរប៉ុណ្ណោះ។ កន្សោមសមហេតុផលដោយប្រើសម្រាប់នេះ ច្បាប់នៃប្រតិបត្តិការលើប្រភាគពហុនាម និងពិជគណិត រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់។ យើងបានបង្កើតវា។

ដែលជាកន្លែងដែល, រំលឹក, a, b គឺជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។

ការប្រើប្រាស់ទាំងនេះ រូបមន្តអ្នកអាចធ្វើការបំប្លែងផ្សេងៗលើកន្សោមដែលមានប្រតិបត្តិការឫសការ៉េ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន ហើយក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ យើងនឹងសន្មត់ថាអថេរយកតែតម្លៃមិនអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ឧទាហរណ៍ ៣.បញ្ចូលមេគុណនៅក្រោមសញ្ញាឫសការ៉េ៖

ឧទាហរណ៍ ៦. សម្រួលការបញ្ចេញមតិ ដំណោះស្រាយ។ ចូរធ្វើការបំប្លែងតាមលំដាប់លំដោយ៖

គណិតវិទ្យាមានប្រភពដើមនៅពេលដែលមនុស្សដឹងពីខ្លួនគាត់ ហើយចាប់ផ្តើមដាក់ខ្លួនគាត់ជាឯកតាស្វយ័តនៃពិភពលោក។ បំណងប្រាថ្នាដើម្បីវាស់វែង ប្រៀបធៀប រាប់អ្វីដែលនៅជុំវិញអ្នក គឺជាអ្វីដែលបង្កប់នូវវិទ្យាសាស្រ្តជាមូលដ្ឋាននៃសម័យរបស់យើង។ ដំបូងឡើយ ទាំងនេះគឺជាភាគល្អិតនៃគណិតវិទ្យាបឋម ដែលធ្វើឱ្យវាអាចភ្ជាប់លេខជាមួយនឹងកន្សោមរូបវន្តរបស់ពួកគេ ក្រោយមកការសន្និដ្ឋានបានចាប់ផ្តើមបង្ហាញតែទ្រឹស្តីប៉ុណ្ណោះ (ដោយសារតែអរូបីរបស់វា) ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីមួយរយៈក្រោយមក ដូចដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រម្នាក់បានដាក់វា “ គណិតវិទ្យាបានឈានដល់កម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញនៅពេលដែលពួកគេបាត់ពីលេខទាំងអស់»។ គំនិតនៃ "ឫសការ៉េ" បានបង្ហាញខ្លួននៅពេលដែលវាអាចត្រូវបានគាំទ្រយ៉ាងងាយស្រួលដោយទិន្នន័យជាក់ស្តែងដែលហួសពីយន្តហោះនៃការគណនា។

កន្លែងដែលវាទាំងអស់បានចាប់ផ្តើម

ការលើកឡើងដំបូងនៃឫសដែលបច្ចុប្បន្នត្រូវបានតំណាងថាជា √ ត្រូវបានកត់ត្រានៅក្នុងស្នាដៃរបស់គណិតវិទូជនជាតិបាប៊ីឡូនដែលបានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់នព្វន្ធទំនើប។ ជាការពិតណាស់ ពួកគេធុញទ្រាន់នឹងទម្រង់បច្ចុប្បន្នតិចតួច - អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃឆ្នាំទាំងនោះដំបូងបានប្រើថេប្លេតសំពីងសំពោង។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងសហវត្សទីពីរមុនគ។ អ៊ី ពួកគេបានទាញយករូបមន្តគណនាប្រហាក់ប្រហែលដែលបង្ហាញពីរបៀបទាញយកឫសការ៉េ។ រូបថតខាងក្រោមបង្ហាញពីថ្មមួយដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របាប៊ីឡូនឆ្លាក់ដំណើរការសម្រាប់កាត់ √2 ហើយវាប្រែទៅជាត្រឹមត្រូវដែលភាពខុសគ្នានៃចម្លើយត្រូវបានរកឃើញតែនៅក្នុងខ្ទង់ទសភាគដប់ប៉ុណ្ណោះ។

លើសពីនេះទៀតឫសត្រូវបានគេប្រើប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណដែលផ្តល់ថាពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានគេស្គាល់។ ជាការប្រសើរណាស់, នៅពេលដែលការដោះស្រាយសមីការ quadratic, មិនមានការរត់គេចពីការស្រង់ឫសនោះទេ។

រួមជាមួយស្នាដៃរបស់បាប៊ីឡូន វត្ថុនៃអត្ថបទក៏ត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងការងារចិន "គណិតវិទ្យាក្នុងសៀវភៅប្រាំបួន" ហើយជនជាតិក្រិចបុរាណបានសន្និដ្ឋានថាលេខណាមួយដែលឫសមិនអាចស្រង់ចេញដោយគ្មានសល់ផ្តល់លទ្ធផលមិនសមហេតុផល។ .

ប្រភពដើមនៃពាក្យនេះត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតំណាងអារ៉ាប់នៃលេខ: អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របុរាណបានជឿថាការេនៃលេខតាមអំពើចិត្តលូតលាស់ចេញពីឫសដូចជារុក្ខជាតិ។ នៅក្នុងឡាតាំង ពាក្យនេះស្តាប់ទៅដូចជា radix (អ្នកអាចតាមដានលំនាំមួយ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលមានអត្ថន័យ "ឫស" គឺជាព្យញ្ជនៈ ថាតើ radish ឬ radiculitis) ។

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃជំនាន់បន្តបន្ទាប់បានជ្រើសរើសគំនិតនេះដោយកំណត់វាជា Rx ។ ជាឧទាហរណ៍នៅសតវត្សទី 15 ដើម្បីបង្ហាញថាឫសការ៉េនៃលេខតាមអំពើចិត្ត a ត្រូវបានគេយកពួកគេសរសេរ R 2 a ។ "ធីក" ដែលធ្លាប់ស្គាល់ចំពោះភ្នែកសម័យទំនើបបានបង្ហាញខ្លួនតែនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ដោយសារ Rene Descartes ។

ថ្ងៃរបស់យើង។

នៅក្នុងពាក្យគណិតវិទ្យា ឫសការេនៃចំនួន y គឺជាចំនួន z ដែលការេស្មើនឹង y ។ និយាយម្យ៉ាងទៀត z 2 = y គឺស្មើនឹង √y = z ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ និយមន័យនេះគឺពាក់ព័ន្ធសម្រាប់តែឫសនព្វន្ធប៉ុណ្ណោះ ព្រោះវាបង្កប់ន័យតម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃកន្សោម។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត √y = z ដែល z ធំជាង ឬស្មើ 0 ។

ជាទូទៅ ដែលអនុវត្តចំពោះការកំណត់ឫសពិជគណិត តម្លៃនៃកន្សោមអាចជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ ដូេចនះេដាយ z 2 = y និង (-z) 2 = y េយើងមន៖ √y=±z ឬ √y=|z|។

ដោយសារតែការពិតដែលថាសេចក្ដីស្រឡាញ់ចំពោះគណិតវិទ្យាបានកើនឡើងតែជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃវិទ្យាសាស្រ្ត, មានការបង្ហាញផ្សេងគ្នានៃការស្រឡាញ់សម្រាប់វាដែលមិនត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងការគណនាស្ងួត។ ជាឧទាហរណ៍ រួមជាមួយនឹងបាតុភូតដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដូចជា Pi Day ថ្ងៃឈប់សម្រាកឫសការ៉េក៏ត្រូវបានប្រារព្ធផងដែរ។ ពួកគេត្រូវបានប្រារព្ធប្រាំបួនដងរៀងរាល់មួយរយឆ្នាំហើយត្រូវបានកំណត់តាមគោលការណ៍ដូចខាងក្រោម: លេខដែលកំណត់ថ្ងៃនិងខែតាមលំដាប់លំដោយត្រូវតែជាឫសការ៉េនៃឆ្នាំ។ ដូច្នេះលើកក្រោយដែលយើងនឹងប្រារព្ធពិធីបុណ្យនេះគឺថ្ងៃទី 4 ខែមេសាឆ្នាំ 2016 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េនៅលើវាល R

កន្សោមគណិតវិទ្យាស្ទើរតែទាំងអស់មានមូលដ្ឋានធរណីមាត្រ ហើយ √y ដែលត្រូវបានកំណត់ជាផ្នែកនៃការ៉េដែលមានផ្ទៃ y មិនបានគេចផុតពីជោគវាសនានេះទេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកឫសនៃលេខ?

មានក្បួនដោះស្រាយការគណនាជាច្រើន។ សាមញ្ញបំផុត ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នាដ៏ស្មុគស្មាញ គឺជាការគណនានព្វន្ធធម្មតា ដែលមានដូចខាងក្រោម៖

1) ពីចំនួនឫសដែលយើងត្រូវការ លេខសេសត្រូវបានដកជាវេន - រហូតដល់សល់នៅទិន្នផលគឺតិចជាងដកមួយ ឬស្មើសូន្យ។ ចំនួននៃការផ្លាស់ទីនៅទីបំផុតនឹងក្លាយជាលេខដែលចង់បាន។ ឧទាហរណ៍ការគណនាឫសការ៉េនៃ 25:

លេខសេសបន្ទាប់គឺ ១១ នៅសល់គឺ៖ ១<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

សម្រាប់ករណីបែបនេះមានការពង្រីកស៊េរី Taylor៖

√(1+y)=∑((-1)n(2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n ដែល n យកតម្លៃពី 0 ទៅ

+∞, និង |y|≤1.

តំណាងក្រាហ្វិកនៃអនុគមន៍ z=√y

ពិចារណាអនុគមន៍បឋម z=√y នៅលើវាលនៃចំនួនពិត R ដែល y ធំជាង ឬស្មើសូន្យ។ កាលវិភាគរបស់វាមើលទៅដូចនេះ៖

ខ្សែកោងលូតលាស់ពីដើម ហើយចាំបាច់ប្រសព្វចំណុច (1; 1)។

លក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ z=√y នៅលើវាលនៃចំនួនពិត R

1. ដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារដែលកំពុងពិចារណាគឺចន្លោះពេលពីសូន្យទៅបូកគ្មានកំណត់ (សូន្យត្រូវបានរួមបញ្ចូល)។

2. ជួរតម្លៃនៃមុខងារដែលកំពុងពិចារណាគឺចន្លោះពេលពីសូន្យទៅបូកគ្មានកំណត់ (សូន្យត្រូវបានរួមបញ្ចូលម្តងទៀត)។

3. អនុគមន៍យកតម្លៃអប្បបរមារបស់វា (0) តែត្រង់ចំនុច (0; 0)។ មិនមានតម្លៃអតិបរមាទេ។

4. អនុគមន៍ z=√y មិនសូម្បីឬសេស។

5. អនុគមន៍ z=√y មិនតាមកាលកំណត់។

6. មានចំនុចប្រសព្វតែមួយនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ z=√y ជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ៖ (0; 0) ។

7. ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ z=√y ក៏ជាសូន្យនៃអនុគមន៍នេះផងដែរ។

8. អនុគមន៍ z=√y កំពុងតែកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់។

9. អនុគមន៍ z=√y យកតែតម្លៃវិជ្ជមាន ដូច្នេះក្រាហ្វរបស់វាកាន់កាប់មុំកូអរដោនេដំបូង។

ជម្រើសសម្រាប់បង្ហាញមុខងារ z=√y

ក្នុងគណិតវិទ្យា ដើម្បីសម្រួលដល់ការគណនាកន្សោមស្មុគស្មាញ ទម្រង់អំណាចនៃការសរសេរឫសការ៉េត្រូវបានប្រើពេលខ្លះ៖ √y = y 1/2 ។ ជម្រើសនេះគឺងាយស្រួល ឧទាហរណ៍ក្នុងការបង្កើនអនុគមន៍មួយទៅថាមពល៖ (√y) 4 =(y 1/2) 4 = y 2 ។ វិធីសាស្រ្តនេះក៏ជាតំណាងដ៏ល្អសម្រាប់ភាពខុសគ្នាជាមួយនឹងការរួមបញ្ចូលផងដែរ ចាប់តាំងពីអរគុណចំពោះវា ឫសការ៉េត្រូវបានតំណាងជាមុខងារថាមពលធម្មតា។

ហើយក្នុងការសរសេរកម្មវិធី ការជំនួសនិមិត្តសញ្ញា √ គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអក្សរ sqrt ។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងតំបន់នេះឫសការ៉េគឺស្ថិតនៅក្នុងតម្រូវការដ៏អស្ចារ្យព្រោះវាជាផ្នែកមួយនៃរូបមន្តធរណីមាត្រភាគច្រើនដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនា។ ក្បួនដោះស្រាយការរាប់ខ្លួនវាគឺស្មុគស្មាញណាស់ ហើយផ្អែកលើការហៅឡើងវិញ (មុខងារដែលហៅខ្លួនឯង)។

ឫសការ៉េនៅក្នុងវាលស្មុគស្មាញ C

ជាទូទៅ វាជាប្រធានបទនៃអត្ថបទនេះ ដែលជំរុញឱ្យមានការរកឃើញនៃវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច C ចាប់តាំងពីគណិតវិទូត្រូវបានខ្មោចលងដោយសំណួរនៃការទទួលបានឫសគូនៃចំនួនអវិជ្ជមាន។ នេះជារបៀបដែលឯកតាស្រមើលស្រមៃដែលខ្ញុំបានបង្ហាញខ្លួន ដែលត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍៖ ការ៉េរបស់វាគឺ -1 ។ អរគុណចំពោះបញ្ហានេះ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានដោះស្រាយ ទោះបីជាមានការរើសអើងអវិជ្ជមានក៏ដោយ។ នៅក្នុង C លក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាគឺពាក់ព័ន្ធសម្រាប់ឫសការ៉េដូចនៅក្នុង R រឿងតែមួយគត់គឺថាការរឹតបន្តឹងលើកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានដកចេញ។

ផ្ទៃដីទំហំ 81 dm²។ ស្វែងរកភាគីរបស់គាត់។ ឧបមាថាប្រវែងចំហៀងនៃការ៉េគឺ X decimeters ។ បន្ទាប់មកតំបន់នៃគ្រោងគឺ X² decimeter ការ៉េ។ ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌតំបន់នេះស្មើនឹង 81 dm² បន្ទាប់មក X² = 81. ប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាងនៃការ៉េគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ លេខវិជ្ជមានដែលការ៉េគឺ 81 គឺជាលេខ 9 ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា ចាំបាច់ត្រូវរកលេខ x ដែលការេគឺ 81 ពោលគឺដោះស្រាយសមីការ។ X² = 81. សមីការនេះមានឫសពីរ៖ x 1 = 9 និង x 2 = − 9 ចាប់តាំងពី 9² = 81 និង (- 9)² = 81 ។ លេខទាំងពីរ 9 និង − 9 ត្រូវបានគេហៅថាឫសការ៉េនៃ 81 ។

ចំណាំថាមួយនៃឫសការ៉េ X= 9 គឺជាលេខវិជ្ជមាន។ វាត្រូវបានគេហៅថាឫសការេនព្វន្ធនៃ 81 និងត្រូវបានតំណាង √81 ដូច្នេះ √81 = 9 ។

ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃចំនួនមួយ។ កគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានដែលការ៉េស្មើ ក.

ឧទាហរណ៍ លេខ 6 និង - 6 គឺជាឫសការេនៃលេខ 36។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លេខ 6 គឺជាឫសការ៉េនព្វន្ធនៃ 36 ដោយហេតុថា 6 ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន និង 6² = 36។ លេខ - 6 មិនមែនជាលេខ ឫសនព្វន្ធ។

ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃចំនួនមួយ។ កសម្គាល់ដូចខាងក្រោមៈ √ ក.

សញ្ញានេះត្រូវបានគេហៅថាសញ្ញាគោលការការ៉េនព្វន្ធ; ក- ហៅថាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ កន្សោម √ កអាន ដូចនេះ៖ នព្វន្ធឫសការ៉េនៃចំនួនមួយ។ ក.ឧទាហរណ៍ √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7 ។ ក្នុងករណីដែលវាច្បាស់ថាយើងកំពុងនិយាយអំពីឫសនព្វន្ធ ពួកគេនិយាយយ៉ាងខ្លីថា “ឫសការ៉េនៃ ក«.

សកម្មភាពនៃការស្វែងរកឫសការ៉េនៃចំនួនមួយត្រូវបានគេហៅថា ឫសការ៉េ។ សកម្មភាពនេះគឺជាការបញ្ច្រាសនៃការការ៉េ។

អ្នកអាចការ៉េលេខណាមួយ ប៉ុន្តែអ្នកមិនអាចដកឫសការ៉េចេញពីលេខណាមួយបានទេ។ ឧទាហរណ៍ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្រង់ចេញឫសការ៉េនៃលេខ - 4. ប្រសិនបើមានឫសគល់បែបនេះ នោះមានន័យថាវាដោយអក្សរ។ Xយើងនឹងទទួលបានសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ x² = - 4 ព្រោះមានលេខមិនអវិជ្ជមាននៅខាងឆ្វេង និងលេខអវិជ្ជមាននៅខាងស្តាំ។

កន្សោម √ កធ្វើឱ្យយល់បានតែនៅពេលដែល a ≥ 0. និយមន័យនៃឫសការ៉េអាចសរសេរដោយសង្ខេបដូចជា៖ √ a ≥ 0, (√ក)² = ក. សមភាព (√ ក)² = កមានសុពលភាពសម្រាប់ a ≥ 0. ដូច្នេះដើម្បីធានាថាឫសការ៉េនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន កស្មើ ខ, i.e. នៅក្នុងការពិតដែលថា √ ក =ខអ្នកត្រូវពិនិត្យមើលថាលក្ខខណ្ឌទាំងពីរខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ b ≥ 0, ខ² = ក.

ឫសការ៉េនៃប្រភាគ

ចូរយើងគណនា។ ចំណាំថា √25 = 5, √36 = 6 ហើយយើងពិនិត្យមើលថាតើសមភាពមានឬអត់។

ដោយសារតែ ហើយបន្ទាប់មកសមភាពគឺជាការពិត។ ដូច្នេះ .

ទ្រឹស្តីបទ៖ប្រសិនបើ ក≥ 0 និង ខ> 0 នោះគឺឫសនៃប្រភាគស្មើនឹងឫសនៃភាគយកដែលបែងចែកដោយឫសនៃភាគបែង។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ថា: និង .

ចាប់តាំងពី √ ក≥0 និង √ ខ> 0 បន្ទាប់មក។

នៅលើទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបង្កើនប្រភាគទៅជាអំណាចមួយ និងនិយមន័យនៃឫសការ៉េមួយ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

គណនាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទបង្ហាញ .

ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ បញ្ជាក់ , ប្រសិនបើ ក ≤ 0, ខ < 0. .

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ គណនា។

ការបំប្លែងឫសការ៉េ

ការដកមេគុណចេញពីក្រោមសញ្ញាឫស។ សូមឱ្យការបញ្ចេញមតិត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើ ក≥ 0 និង ខ≥ 0 បន្ទាប់មកដោយប្រើទ្រឹស្តីបទឫសផលិតផលយើងអាចសរសេរ៖

ការផ្លាស់ប្តូរនេះត្រូវបានគេហៅថាការដកកត្តាចេញពីសញ្ញាឫស។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ;

គណនានៅ X= 2. ការជំនួសដោយផ្ទាល់ X= 2 នៅក្នុងកន្សោមរ៉ាឌីកាល់នាំឱ្យមានការគណនាស្មុគស្មាញ។ ការគណនាទាំងនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ប្រសិនបើអ្នកដកកត្តាចេញពីក្រោមសញ្ញាឫសគល់ជាមុនសិន៖ . ការជំនួសឥឡូវនេះ x = 2 យើងទទួលបាន: ។

ដូច្នេះនៅពេលដកកត្តាចេញពីក្រោមសញ្ញាឫស កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលដែលកត្តាមួយឬច្រើនជាការ៉េនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកអនុវត្តទ្រឹស្តីបទឫសផលិតផល ហើយយកឫសនៃកត្តានីមួយៗ។ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម A = √8 + √18 - 4√2 ដោយយកកត្តាក្នុងពាក្យពីរដំបូងពីក្រោមសញ្ញាឫស យើងទទួលបាន : ។ យើងសង្កត់ធ្ងន់លើសមភាពនោះ។ មានសុពលភាពតែនៅពេល ក≥ 0 និង ខ≥ 0. ប្រសិនបើ ក < 0, то .