ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ Orthogonal ។ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័ររាងពងក្រពើ

ប្រព័ន្ធមុខងារ Orthogonal

ប្រព័ន្ធមុខងារ ((φ ន(x)}, ន= 1, 2, ... , រាងពងក្រពើជាមួយនឹងទម្ងន់ ρ ( X) នៅលើផ្នែក [ ក, ខ], ឧ

ឧទាហរណ៍។ ប្រព័ន្ធត្រីកោណមាត្រ 1, cos nx, អំពើបាប nx; ន= 1, 2, ... , - O.s. f. ជាមួយនឹងទម្ងន់ 1 នៅលើផ្នែក [-π, π] ។ មុខងារ Bessel n = 1, 2,..., J ν ( x) ទម្រង់សម្រាប់ ν > - 1/2 O. s ។ f. ជាមួយនឹងទម្ងន់ Xនៅលើផ្នែក។

ប្រសិនបើមុខងារនីមួយៗ φ ( X) ពី O.s. f. គឺនោះ។ x) តាមលេខ

ការសិក្សាជាប្រព័ន្ធនៃ O.s. f. ត្រូវបានចាប់ផ្តើមទាក់ទងនឹងវិធីសាស្ត្រ Fourier សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាតម្លៃព្រំដែននៃសមីការនៃរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា។ ជាឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តនេះនាំទៅរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Sturm-Liouville (សូមមើលបញ្ហា Sturm-Liouville) សម្រាប់សមីការ [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ នៅបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែន នៅ(ក) + ហី"(ក) = 0, y(ខ) + ហី"(ខ) = 0, កន្លែងណា hនិង ន- អចិន្ត្រៃយ៍។ ការសម្រេចចិត្តទាំងនេះគឺជាអ្វីដែលគេហៅថា។ មុខងារនៃបញ្ហាបង្កើតបានជា O.s. f. ជាមួយនឹងទម្ងន់ ρ ( X) នៅលើផ្នែក [ ក, ខ].

ថ្នាក់ដ៏សំខាន់បំផុតនៃ O.s. f. - ពហុវចនៈអ័រតូហ្គោន - ត្រូវបានរកឃើញដោយ P. L. Chebyshev នៅក្នុងការសិក្សារបស់គាត់ស្តីពីការបំភាន់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការ៉េតិចបំផុត និងបញ្ហានៃគ្រា។ នៅសតវត្សទី 20 ការស្រាវជ្រាវលើ O.s. f. ត្រូវបានអនុវត្តជាចម្បងលើមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីអាំងតេក្រាល និងវិធានការ Lebesgue ។ នេះបានរួមចំណែកដល់ការបំបែកការសិក្សាទាំងនេះទៅជាផ្នែកឯករាជ្យនៃគណិតវិទ្យា។ ភារកិច្ចចម្បងមួយនៃទ្រឹស្តី O.s. f ។ - បញ្ហានៃការបំបែកមុខងារ f(x) នៅក្នុងស៊េរីនៃទម្រង់ p ( X)) - O. s. f. ប្រសិនបើយើងដាក់វាជាផ្លូវការ ទំ( X)) - ធម្មតា O. s. f. និងអនុញ្ញាតឱ្យលទ្ធភាពនៃការរួមបញ្ចូលតាមកាលកំណត់ បន្ទាប់មកគុណស៊េរីនេះដោយφ ន(X) ρ( X) និងការរួមបញ្ចូលពី កទៅ ខយើងទទួលបាន៖

ហាងឆេង S ទំហៅថា មេគុណ Fourier នៃអនុគមន៍ ដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធ (φ ន(x)) មានទ្រព្យខ្លាំងដូចខាងក្រោម៖ ទម្រង់លីនេអ៊ែរ x)៖

មានតម្លៃតូចបំផុតបើធៀបនឹងកំហុសដែលបានផ្ដល់ឱ្យដូចគ្នា។ នកន្សោមលីនេអ៊ែរផ្សេងទៀតនៃទម្រង់

ស៊េរី ∑ ∞ n=1 C n φ n (x)ជាមួយនឹងហាងឆេង S ទំគណនាដោយប្រើរូបមន្ត (*) ត្រូវបានគេហៅថាស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) យោងតាមស្តង់ដារ O.s. f. (φ ន(x)) សម្រាប់កម្មវិធី សំណួរនៃសារៈសំខាន់ចម្បងគឺថាតើមុខងារត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសឬអត់ f(x) ដោយមេគុណ Fourier របស់ពួកគេ។ អូ.ស. f. ដែលវាកើតឡើងត្រូវបានគេហៅថា ពេញលេញ ឬបិទ។ លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបិទ O.s. f. អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់សមមូលជាច្រើន។ 1) មុខងារបន្តណាមួយ។ f(x) អាចត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណជាមធ្យមជាមួយនឹងកម្រិតនៃភាពត្រឹមត្រូវណាមួយដោយការបន្សំលីនេអ៊ែរនៃអនុគមន៍φ k(x) នោះគឺ C n φ n (x) បម្លែងជាមធ្យមទៅជាអនុគមន៍ f(x)]។ 2) សម្រាប់មុខងារណាមួយ។ f(x) ដែលការ៉េរបស់យើងរួមបញ្ចូលដោយគោរពទៅនឹងទម្ងន់ρ( X), លក្ខខណ្ឌបិទ Lyapunov-Steklov គឺពេញចិត្ត:

3) មិនមានមុខងារមិនសូន្យជាមួយការរួមបញ្ចូលនៅលើចន្លោះពេល [ ក, ខ] រាងជ្រុងជ្រុងទៅគ្រប់មុខងារ φ ន(x), ន = 1, 2,....

ប្រសិនបើយើងពិចារណាមុខងារជាមួយការេរួមបញ្ចូលគ្នាជាធាតុនៃលំហ Hilbert (សូមមើលលំហ Hilbert) នោះ O.S. f. នឹងជាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯកតាកូអរដោណេនៃលំហនេះ និងការពង្រីកស៊េរីក្នុង O.s ធម្មតា។ f. - ការពង្រីកវ៉ិចទ័រក្នុងវ៉ិចទ័រឯកតា។ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ គំនិតជាច្រើននៃទ្រឹស្តីនៃប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការធម្មតា។ f. ទទួលបានអត្ថន័យធរណីមាត្រច្បាស់លាស់។ ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត (*) មានន័យថា ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅលើវ៉ិចទ័រឯកតាគឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ និងឯកតាឯកតា។ សមភាព Lyapunov-Steklov អាចត្រូវបានបកស្រាយថាជាទ្រឹស្តីបទ Pythagorean សម្រាប់លំហវិមាត្រគ្មានកំណត់៖ ការ៉េនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃការព្យាកររបស់វានៅលើអ័ក្សកូអរដោណេ។ ភាពឯកោ O.s. f. មានន័យថាចន្លោះតូចបំផុតដែលមានវ៉ិចទ័រទាំងអស់របស់ប្រព័ន្ធនេះស្របគ្នានឹងលំហទាំងមូល។ល។

ពន្លឺ៖ Tolstov G.P., Fourier Series, 2nd ed., M., 1960; Natanson I.P., ទ្រឹស្តីស្ថាបនានៃមុខងារ, M. - L., 1949; ដោយគាត់, ទ្រឹស្ដីនៃមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដ, 2nd ed., M., 1957; Jackson D., ស៊េរី Fourier និងពហុនាមរាងពងក្រពើ, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស M. , 1948; Kaczmarz S. , Shteingauz G. , ទ្រឹស្តីនៃស៊េរី orthogonal, trans ។ ពីអាល្លឺម៉ង់, M., 1958 ។

សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ។ - អិមៈសព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត. 1969-1978 .

សូមមើលអ្វីដែល "ប្រព័ន្ធមុខងារអ័រតូហ្គោន" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

- (ក្រិក orthogonios ចតុកោណ) ជាប្រព័ន្ធកំណត់ ឬអាចរាប់បាននៃមុខងារដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ (អាចបំបែកបាន) Hilbert space L2(a,b) (អនុគមន៍ចតុកោណកែង) និងបំពេញលក្ខខណ្ឌ F ction g(x) ហៅថា។ ថ្លឹង O.s. f.,* មានន័យថា ...... សព្វវចនាធិប្បាយរូបវិទ្យា

ប្រព័ន្ធមុខងារ??n(x)?, n=1, 2,... ដែលបានបញ្ជាក់នៅលើផ្នែក ORTHOGONAL TRANSFORMATION ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនៃលំហវ៉ិចទ័រ Euclidean រក្សាប្រវែងមិនផ្លាស់ប្តូរ ឬ (ដែលស្មើនឹងនេះ) ផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រ។ .. វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំ

ប្រព័ន្ធនៃមុខងារ (φn(x)), n = 1, 2, ... ដែលបានបញ្ជាក់នៅលើចន្លោះពេល [a, b] និងបំពេញលក្ខខណ្ឌ orthogonality ខាងក្រោម៖ សម្រាប់ k≠l ដែល ρ(x) ជាមុខងារមួយចំនួន ហៅថាទម្ងន់។ ឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធត្រីកោណមាត្រគឺ 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ

ប្រព័ន្ធនៃអនុគមន៍ ((фn(х)), n=1, 2, ... ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [a, b] និងការបំពេញតាមដាន លក្ខខណ្ឌ orthagonality សម្រាប់ k មិនស្មើនឹង l ដែល p(x ) គឺជាមុខងារជាក់លាក់មួយ ដែលហៅថា ទម្ងន់ ឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធត្រីកោណមាត្រ 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ។ វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ

សូមមើលសិល្បៈ។ ប្រព័ន្ធមុខងារអ័រតូហ្គោន។ សព្វវចនាធិប្បាយរូបវិទ្យា។ ក្នុង 5 ភាគ។ អិមៈសព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត។ និពន្ធនាយក A.M. Prokhorov ។ ឆ្នាំ ១៩៨៨... សព្វវចនាធិប្បាយរូបវិទ្យា

1) O.s. វ៉ិចទ័រគឺជាសំណុំនៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យនៃលំហ Euclidean (Hilbert) ជាមួយនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាន (. , .) បែបនោះសម្រាប់ (orthogonality) និង (normalizability)។ M.I. Voitsekhovsky ។ 2) O. s. មុខងារ និងប្រព័ន្ធមុខងារនៃលំហ ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

ការសាងសង់សម្រាប់ប្រព័ន្ធមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ (fn(x)) ដែលអាចរួមបញ្ចូលជាមួយការេនៅលើចន្លោះពេល [a, b]មុខងារនៃប្រព័ន្ធ orthogonal (jn(x)) ដោយអនុវត្តដំណើរការ orthogonalization ជាក់លាក់មួយ ឬដោយការពង្រីកមុខងារ fn( x) …… សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

និយមន័យ ១. ) ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់របស់វាមានលក្ខណៈជាគូ៖

ទ្រឹស្តីបទ ១.ប្រព័ន្ធ orthogonal នៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

(សន្មតថាប្រព័ន្ធគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ៖ ហើយដើម្បីឱ្យប្រាកដ ចូរយើងធ្វើមាត្រដ្ឋានគុណនឹងសមភាព . ដោយគិតគូរពី orthogonality នៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖ }

និយមន័យ ២.ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនៃលំហ Euclidean ( ) ត្រូវបានគេហៅថា orthonormal ប្រសិនបើវាជា orthogonal ហើយបទដ្ឋាននៃធាតុនីមួយៗគឺស្មើនឹងមួយ។

វាធ្វើតាមទ្រឹស្ដីទី 1 ភ្លាមៗដែលថាប្រព័ន្ធ orthonormal នៃធាតុគឺតែងតែឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ពីទីនេះវាធ្វើតាម, នៅក្នុងវេន, ថានៅក្នុង ន- នៅក្នុងលំហ Euclidean វិមាត្រ ប្រព័ន្ធ orthonormal នវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន (ឧទាហរណ៍ ( ខ្ញុំ, j, k ) នៅ 3 X- ចន្លោះវិមាត្រ) ប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋានអ័រគីដេ,និងវ៉ិចទ័ររបស់វាគឺ វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។

កូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋានអ័រថូនិកអាចត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖ ប្រសិនបើ ពិតប្រាកដណាស់ គុណសមភាព នៅលើ យើងទទួលបានរូបមន្តដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

ជាទូទៅ បរិមាណមូលដ្ឋានទាំងអស់៖ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ ប្រវែងវ៉ិចទ័រ កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ។ល។ មានទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal ។ ចូរយើងពិចារណាផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖ ចាប់តាំងពី

ហើយពាក្យផ្សេងទៀតទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានភ្លាមៗ៖ ,

* ពិចារណាលើមូលដ្ឋានបំពាន។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានក្នុងមូលដ្ឋាននេះនឹងស្មើនឹង៖

(នៅទីនេះ αiនិង β j - កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាន ( fនិងជាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន) ។

បរិមាណ γ អ៊ីបង្កើតម៉ាទ្រីស ជី, បានហៅ ម៉ាទ្រីសក្រាម។ផលិតផលមាត្រដ្ឋានក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសនឹងមើលទៅដូច៖ *

ទ្រឹស្តីបទ ២.នៅក្នុងណាមួយ។ ន- នៅក្នុងលំហ Euclidean វិមាត្រ មានមូលដ្ឋានអ័រថូនិក។ ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទមានលក្ខណៈស្ថាបនានៅក្នុងធម្មជាតិ ហើយត្រូវបានគេហៅថា

9. Gram-Schmidt ដំណើរការ orthogonalization ។

អនុញ្ញាតឱ្យ ( a 1,...,a n ) - មូលដ្ឋានបំពាន ន- វិមាត្រនៃលំហ Euclidean (អត្ថិភាពនៃមូលដ្ឋានបែបនេះគឺដោយសារតែ ន- វិមាត្រនៃលំហ) ។ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការសាងសង់ orthonormal ដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យមានដូចខាងក្រោម:

1.b 1 = a 1, e 1 = b 1/|b ១|, |អ៊ី ១|= 1.

2.b ២^អ៊ី ១, ដោយសារតែ (e 1 , a 2)- ការព្យាករ a 2 នៅលើ e 1 , b 2 = a 2 -(e 1 , a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b ២|, |អ៊ី ២|= 1.

3.b ៣^a 1, b 3^a 2 , b 3 = a 3 -(e 1 , a 3)អ៊ី ១ -(e 2 , a 3)e 2 , e 3 = b 3/|b ៣|, |អ៊ី ៣|= 1.

.........................................................................................................

k b k^a 1 , ... , b k^a k-1, b k = a k -ស i=1 គ(អ៊ី, ក)e i , e k = b k/|b k|, |អ៊ី k|= 1.

ការបន្តដំណើរការនេះ យើងទទួលបានមូលដ្ឋានអ័រថូនិក ( e 1 , ... , e n }.

ចំណាំ ១. ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិចារណា វាអាចបង្កើតមូលដ្ឋានអ័រថូនិកសម្រាប់សែលលីនេអ៊ែរណាមួយ ឧទាហរណ៍ មូលដ្ឋានអ័រថូនិកសម្រាប់សែលលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធដែលមានចំណាត់ថ្នាក់បី និងមានវ៉ិចទ័រប្រាំវិមាត្រ។

ឧទាហរណ៍។x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

ចំណាំ ២.ករណីពិសេស

ដំណើរការ Gram-Schmidt ក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះលំដាប់គ្មានកំណត់នៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

លើសពីនេះទៀតដំណើរការ Gram-Schmidt អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះវ៉ិចទ័រដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។ ក្នុងករណីនេះវាមានបញ្ហា 0 (សូន្យវ៉ិចទ័រ) នៅជំហាន j , ប្រសិនបើ a j គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រ a 1,...,a j -1 . ប្រសិនបើវាអាចកើតឡើង នោះដើម្បីរក្សា orthogonality នៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផល និងដើម្បីការពារការបែងចែកដោយសូន្យកំឡុងពេល orthonormalization ក្បួនដោះស្រាយត្រូវតែពិនិត្យរកវ៉ិចទ័រទទេ ហើយបោះបង់វាចោល។ ចំនួនវ៉ិចទ័រដែលផលិតដោយក្បួនដោះស្រាយនឹងស្មើនឹងវិមាត្រនៃលំហរងដែលបង្កើតដោយវ៉ិចទ័រ (ឧ. ចំនួនវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដែលអាចបែងចែកក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រដើម)។

10. ចន្លោះវ៉ិចទ័រធរណីមាត្រ R1, R2, R3 ។

ចូរយើងសង្កត់ធ្ងន់ថា មានតែចន្លោះប៉ុណ្ណោះដែលមានអត្ថន័យធរណីមាត្រផ្ទាល់

R 1, R 2, R 3 ។ លំហ R n សម្រាប់ n > 3 គឺជាវត្ថុគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ។

1) អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក និង ខ . ប្រសិនបើប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះវ៉ិចទ័រមួយ ចូរនិយាយ ក ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈមួយផ្សេងទៀត៖

ក= គ ខ.

វ៉ិចទ័រពីរដែលតភ្ជាប់ដោយការពឹងផ្អែកបែបនេះ ដូចដែលបានរៀបរាប់រួចហើយត្រូវបានគេហៅថា collinear ។ ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើ និងតែប៉ុណ្ណោះ

នៅពេលដែលវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្ថិតនៅជាប់គ្នា។ ចំណាំថាការសន្និដ្ឋាននេះអនុវត្តមិនត្រឹមតែចំពោះ R3 ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងលើលំហលីនេអ៊ែរផងដែរ។

2) អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធក្នុង R3 មានវ៉ិចទ័របី ក, ខ, គ . ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរមានន័យថាមួយនៃវ៉ិចទ័រ, និយាយ ក ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈអ្វីដែលនៅសល់៖

ក= គ b+ លីត្រ គ . (*)

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័របី ក, ខ, គ នៅក្នុង R 3 ដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា ឬស្របទៅនឹងយន្តហោះដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា coplanar

(នៅក្នុងរូបភាពនៅខាងឆ្វេង វ៉ិចទ័រត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ ក, ខ, គ ពីយន្តហោះមួយ ហើយនៅខាងស្តាំ វ៉ិចទ័រដូចគ្នាត្រូវបានគ្រោងពីប្រភពដើមផ្សេងៗគ្នា ហើយគ្រាន់តែស្របគ្នានឹងយន្តហោះមួយប៉ុណ្ណោះ)។

ដូច្នេះប្រសិនបើវ៉ិចទ័របីនៅក្នុង R3 គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះពួកវាគឺជា coplanar ។ ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ: ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ក, ខ, គ ពី R3 គឺជា coplanar បន្ទាប់មកពួកគេពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

សិល្បៈវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រ ក, ទៅវ៉ិចទ័រ ខ នៅក្នុងលំហត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ គ បំពេញតម្រូវការដូចខាងក្រោមៈ

ការកំណត់៖

ពិចារណាលើបីលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar ក, ខ, គ នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ ចូរយើងបញ្ចូលគ្នានូវប្រភពដើមនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះនៅចំណុច ក(នោះគឺយើងជ្រើសរើសចំណុចមួយតាមអំពើចិត្តក្នុងលំហ កហើយផ្លាស់ទីវ៉ិចទ័រនីមួយៗស្របគ្នាដើម្បីឱ្យប្រភពដើមរបស់វាស្របគ្នានឹងចំណុច ក) ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័ររួមបញ្ចូលគ្នាជាមួយនឹងការចាប់ផ្តើមរបស់ពួកគេនៅចំណុចមួយ។ កកុំកុហកនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា, ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រមិនមែនជា coplanar ។

បានបញ្ជាឱ្យបីបីនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar ក, ខ, គ នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ គ វេនខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រ ក ទៅវ៉ិចទ័រ ខ អាចមើលឃើញដោយអ្នកសង្កេតការណ៍ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ ផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើវេនខ្លីបំផុតត្រូវបានគេមើលឃើញតាមទ្រនិចនាឡិកានោះ បីដងត្រូវបានគេហៅថា ឆ្វេង.

និយមន័យមួយទៀតគឺទាក់ទងនឹង ដៃស្តាំមនុស្ស (មើលរូបភាព) ដែលឈ្មោះមកពីណា។

វ៉ិចទ័របីដងនៃដៃស្តាំ (និងឆ្វេង) ត្រូវបានគេហៅថាទិសដៅដូចគ្នាបេះបិទ។

ស្មើនឹងសូន្យ៖

ប្រព័ន្ធ orthogonal ប្រសិនបើពេញលេញ អាចត្រូវបានប្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់លំហ។ ក្នុងករណីនេះ ការរលាយនៃធាតុណាមួយអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖ , កន្លែងណា។

ករណីនៅពេលដែលបទដ្ឋាននៃធាតុទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធ orthonormal ។

សទិសភាព

ប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពេញលេញណាមួយនៅក្នុងលំហវិមាត្រកំណត់គឺជាមូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះពីមូលដ្ឋានសាមញ្ញ មនុស្សម្នាក់អាចទៅកាន់មូលដ្ឋានអ័រថូនិក។

ការរលួយរាងពងក្រពើ

នៅពេល decomposing វ៉ិចទ័រនៃទំហំវ៉ិចទ័រមួយយោងទៅតាមមូលដ្ឋាន orthonormal ការគណនានៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ: កន្លែងណា និង .

សូមមើលផងដែរ។

មូលនិធិវិគីមេឌា។

ឆ្នាំ ២០១០។

សូមមើលអ្វីដែល "ប្រព័ន្ធអ័រតូហ្គោន" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖ សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

១) អូ... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

កូអរដោនេអ័រតូហ្គោនគឺជាចំណុចដែលទ្រនិចម៉ែត្រមានទម្រង់អង្កត់ទ្រូង។ ដែល d នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ orthogonal q = (q1, q², …, qd) ផ្ទៃកូអរដោណេមានរាងមូលទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ ជាពិសេសនៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ... ... Wikipedia

ប្រព័ន្ធពហុឆានែល orthogonal- - [L.G. វចនានុក្រមអង់គ្លេស-រុស្ស៊ី ស្តីពីបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន។ M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] ប្រធានបទ បច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មានទូទៅ EN orthogonal multiplex ...

ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលនៃរូបភាព (photogrammetric)- ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលលំហររាងពងក្រពើខាងស្តាំ ជួសជុលលើរូបភាព photogrammetric ដោយរូបភាពនៃសញ្ញាសម្គាល់។ [GOST R 51833 2001] ប្រធានបទ៖ photogrammetry... មគ្គុទ្ទេសក៍អ្នកបកប្រែបច្ចេកទេស

ប្រព័ន្ធ- ប្រព័ន្ធ 4.48៖ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុអន្តរកម្មដែលបានរៀបចំដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅជាក់លាក់មួយ ឬច្រើន។ ចំណាំ 1 ប្រព័ន្ធមួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផលិតផល ឬសេវាកម្មដែលវាផ្តល់។ ចំណាំទី 2 នៅក្នុងការអនុវត្ត ...... វចនានុក្រម - សៀវភៅយោងនៃលក្ខខណ្ឌនៃបទដ្ឋាននិងឯកសារបច្ចេកទេស

ប្រព័ន្ធមុខងារ ((φ ន(x)}, ន= 1, 2, ... , រាងពងក្រពើជាមួយនឹងទម្ងន់ ρ ( X) នៅលើផ្នែក [ ក, ខ], ឧ

ប្រសិនបើមុខងារនីមួយៗ φ ( X) ពី O.s. f. គឺនោះ។ x) តាមលេខ

ថ្នាក់ដ៏សំខាន់បំផុតនៃ O.s. f. - ពហុវចនៈអ័រតូហ្គោន - ត្រូវបានរកឃើញដោយ P. L. Chebyshev នៅក្នុងការសិក្សារបស់គាត់ស្តីពីការបំភាន់ដោយវិធីសាស្ត្រការ៉េតិចបំផុត និងបញ្ហានៃគ្រា។ នៅសតវត្សទី 20 ការស្រាវជ្រាវលើ O.s. f. ត្រូវបានអនុវត្តជាចម្បងលើមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីអាំងតេក្រាល និងវិធានការ Lebesgue ។ នេះបានរួមចំណែកដល់ការបំបែកការសិក្សាទាំងនេះទៅជាផ្នែកឯករាជ្យនៃគណិតវិទ្យា។ ភារកិច្ចចម្បងមួយនៃទ្រឹស្តី O.s. f ។ - បញ្ហានៃការបំបែកមុខងារ f(x) នៅក្នុងស៊េរីនៃទម្រង់ p ( X)) - O. s. f. ប្រសិនបើយើងដាក់វាជាផ្លូវការ ទំ( X)) - ធម្មតា O. s. f. និងអនុញ្ញាតឱ្យលទ្ធភាពនៃការរួមបញ្ចូលតាមកាលកំណត់ បន្ទាប់មកគុណស៊េរីនេះដោយφ ន(X) ρ( X) និងការរួមបញ្ចូលពី កទៅ ខយើងទទួលបាន៖

- ក្រុមនៃការបំប្លែងលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៃលំហវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រ V លើវាល k រក្សាទម្រង់រាងចតុកោណដែលមិនខូចថេរ Q លើ V)=Q សម្រាប់ណាមួយ)...
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- ម៉ាទ្រីសលើសង្វៀនប្តូរ R ជាមួយឯកតាទី 1 ដែលម៉ាទ្រីសប្តូរស្របនឹងច្រាស។ កត្តាកំណត់ O.m ស្មើនឹង +1...
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- បណ្តាញដែលតង់ហ្សង់នៅចំណុចជាក់លាក់មួយទៅបន្ទាត់នៃគ្រួសារផ្សេងៗគ្នាគឺរាងពងក្រពើ។ ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការ៖ បណ្តាញ asymptotic នៅលើផ្ទៃអប្បបរមា បណ្តាញកោងនៃបន្ទាត់។ A.V.
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- ១) អូ....
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- អារេរាងពងក្រពើ OA - ម៉ាទ្រីសនៃទំហំ kx N ធាតុដែលជាលេខ 1, 2, .....
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- សូមមើលគន្លង Isogonal...
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- ប្រព័ន្ធ orthonormal នៃមុខងារ (j) នៃ Hilbert space H ជាក់លាក់មួយដែលនៅក្នុង H មិនមានមុខងារ orthogonal សម្រាប់មុខងារទាំងអស់នៃគ្រួសារដែលបានផ្តល់ឱ្យ ...
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- មើលការព្យាករណ៍...
វចនានុក្រមពហុបច្ចេកទេស សព្វវចនាធិប្បាយធំ
- ការកំណត់អនុភាពនៃមុខងាររបស់វត្ថុផ្សេងៗ...
វចនានុក្រមនៃពាក្យអាជីវកម្ម
- ការពង្រឹងមុខងារ, មួយនៃ Ch ។ មធ្យោបាយនៃការផ្លាស់ប្តូររីកចម្រើននៃសរីរាង្គក្នុងអំឡុងពេលវិវត្តនៃសត្វ។ I.f. ជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងភាពស្មុគស្មាញនៃរចនាសម្ព័ន្ធនៃសរីរាង្គ និងរាងកាយទាំងមូល...
វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយជីវសាស្រ្ត
- ការពង្រឹងមុខងារ ជាមធ្យោបាយសំខាន់មួយនៃការផ្លាស់ប្តូរសរីរាង្គក្នុងដំណើរវិវត្តន៍នៃសត្វ។ I.f. ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងភាពស្មុគស្មាញនៃរចនាសម្ព័ន្ធនៃសរីរាង្គ និងនាំឱ្យមានការកើនឡើងជាទូទៅនៃកម្រិតនៃសកម្មភាពសំខាន់...
- បញ្ជាទិញ n ម៉ាទ្រីស...
សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
- ករណីពិសេសនៃការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល នៅពេលដែលអ័ក្ស ឬយន្តហោះនៃការព្យាករកាត់កែងទៅនឹងទិសដៅនៃការព្យាករ...
សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
- ប្រព័ន្ធនៃអនុគមន៍ (), n = 1, 2,..., orthogonal with weight ρ on the segment, i.e., such that Examples. ប្រព័ន្ធត្រីកោណមាត្រ 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2, ... , - O.s. f. ជាមួយនឹងទម្ងន់ 1 នៅលើផ្នែក ...
សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
- ប្រព័ន្ធនៃមុខងារបែបនេះ Ф = (φ) ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេលមួយ ដែលមិនមានមុខងារ f ដែល...
សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
- ប្រព័ន្ធ ORTHOGONAL នៃមុខងារ - ប្រព័ន្ធនៃមុខងារ ??n?, n=1, 2, .....
វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំ

"ប្រព័ន្ធមុខងាររាងពងក្រពើ" នៅក្នុងសៀវភៅ

កថាខ័ណ្ឌ XXIV ប្រព័ន្ធចាស់នៃសង្គ្រាមលេណដ្ឋាន និងប្រព័ន្ធទំនើបនៃការហែក្បួន

ដកស្រង់ចេញពីសៀវភៅ យុទ្ធសាស្ត្រ និងយុទ្ធសាស្ត្រក្នុងសិល្បៈសង្គ្រាម អ្នកនិពន្ធ Zhomini Genrikh Veniaminovich

កថាខណ្ឌទី XXIV ប្រព័ន្ធចាស់នៃសង្គ្រាមមុខតំណែង និងប្រព័ន្ធទំនើបនៃការដើរក្បួន តាមប្រព័ន្ធនៃមុខតំណែងគឺមានន័យថាជាវិធីសាស្រ្តចាស់នៃការធ្វើសង្គ្រាមតាមវិធី ដោយកងទ័ពកំពុងដេកនៅក្នុងតង់ មានការផ្គត់ផ្គង់នៅក្នុងដៃ ចូលរួមសង្កេតមើលគ្នាទៅវិញទៅមក។ កងទ័ពមួយ។

19. គំនិតនៃ "ប្រព័ន្ធពន្ធនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី" ។ ទំនាក់ទំនងរវាងគំនិត "ប្រព័ន្ធពន្ធ" និង "ប្រព័ន្ធពន្ធ"

ពីសៀវភៅច្បាប់ពន្ធដារ អ្នកនិពន្ធ Mikidze S G

19. គំនិតនៃ "ប្រព័ន្ធពន្ធនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី" ។ ទំនាក់ទំនងរវាងគំនិតនៃ "ប្រព័ន្ធពន្ធ" និង "ប្រព័ន្ធពន្ធ" ប្រព័ន្ធពន្ធគឺជាសំណុំនៃពន្ធសហព័ន្ធ ពន្ធក្នុងតំបន់ និងមូលដ្ឋានដែលបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងសហព័ន្ធរុស្ស៊ី។ រចនាសម្ព័ន្ធរបស់វាត្រូវបានតម្កល់នៅក្នុងសិល្បៈ។ 13-15 ក្រមពន្ធនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី

ពីសៀវភៅរបៀបដែលវាពិតជាបានកើតឡើង។ ការកសាងឡើងវិញនូវប្រវត្តិសាស្ត្រពិត អ្នកនិពន្ធ Nosovsky Gleb Vladimirovich

23. ប្រព័ន្ធ Geocentric នៃ Ptolemy និងប្រព័ន្ធ heliocentric នៃ Tycho Brahe (និង Copernicus) ប្រព័ន្ធនៃពិភពលោកយោងទៅតាម Tycho Brahe ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 90. នៅកណ្តាលនៃពិភពលោកគឺជាផែនដី ដែលនៅជុំវិញព្រះអាទិត្យវិលជុំវិញ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភពផ្សេងទៀតទាំងអស់បានវិលជុំវិញព្រះអាទិត្យរួចហើយ។ ពិតប្រាកដ

23. ប្រព័ន្ធ Geocentric នៃ Ptolemy និងប្រព័ន្ធ heliocentric របស់ Tycho Brahe (និង Copernicus)

ពីសៀវភៅរបស់អ្នកនិពន្ធ

23. ប្រព័ន្ធ Geocentric នៃ Ptolemy និងប្រព័ន្ធ heliocentric នៃ Tycho Brahe (និង Copernicus) ប្រព័ន្ធនៃពិភពលោកយោងទៅតាម Tycho Brahe ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 90. នៅកណ្តាលនៃពិភពលោកគឺជាផែនដី ដែលនៅជុំវិញព្រះអាទិត្យវិលជុំវិញ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ភពផ្សេងទៀតទាំងអស់កំពុងវិលជុំវិញព្រះអាទិត្យរួចហើយ។ ពិតប្រាកដ

ប្រព័ន្ធពេញលេញនៃមុខងារ

ដកស្រង់ចេញពីសៀវភៅមហាសព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត (PO) ដោយអ្នកនិពន្ធ TSB

ម៉ាទ្រីសអ័រតូហ្គោន

TSB

ការព្យាករណ៍អក្ខរក្រម

ដកស្រង់ចេញពីសៀវភៅ Great Soviet Encyclopedia (OR) ដោយអ្នកនិពន្ធ TSB

ប្រព័ន្ធមុខងារ Orthogonal

ដកស្រង់ចេញពីសៀវភៅ Great Soviet Encyclopedia (OR) ដោយអ្នកនិពន្ធ TSB

គន្លឹះទី 46៖ បញ្ជូនវត្ថុអនុគមន៍ទៅក្បួនដោះស្រាយជំនួសឱ្យមុខងារ

ពីសៀវភៅការប្រើប្រាស់ STL ប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព ដោយ Meyers Scott

គន្លឹះទី 46: បញ្ជូនវត្ថុអនុគមន៍ទៅក្បួនដោះស្រាយ ជំនួសឱ្យមុខងារ វាត្រូវបានគេនិយាយថាការបង្កើនកម្រិតនៃ abstraction នៃភាសាកម្រិតខ្ពស់ធ្វើឱ្យកូដដែលបានបង្កើតមិនសូវមានប្រសិទ្ធភាព។ Alexander Stepanov ដែលជាអ្នកបង្កើត STL ធ្លាប់បានបង្កើតស្មុគស្មាញតូចមួយ

១២.៣.៥. អាដាប់ទ័រអនុគមន៍សម្រាប់វត្ថុអនុគមន៍

ពីសៀវភៅ C ++ សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូង ដោយ Lippman Stanley

១២.៣.៥. អាដាប់ទ័រអនុគមន៍សម្រាប់វត្ថុអនុគមន៍ បណ្ណាល័យស្ដង់ដារក៏មានអាដាប់ទ័រអនុគមន៍មួយចំនួនផងដែរសម្រាប់ឯកទេស និងពង្រីកទាំងវត្ថុមុខងារ unary និងគោលពីរ។ អាដាប់ទ័រគឺជាថ្នាក់ពិសេសដែលបែងចែកជាពីរដូចខាងក្រោម

១១/១៩/២. ការហៅមុខងារពីឯកសារមុខងារ

ពីសៀវភៅលីនុច និងយូនីក៖ ការសរសេរកម្មវិធីសែល។ មគ្គុទ្ទេសក៍អ្នកអភិវឌ្ឍន៍។ ដោយ Tainsley David

១១/១៩/២. ការហៅមុខងារពីឯកសារមុខងារ យើងបានមើលរួចហើយអំពីរបៀបដែលមុខងារត្រូវបានហៅចេញពីបន្ទាត់ពាក្យបញ្ជា។ ប្រភេទនៃមុខងារទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយឧបករណ៍ប្រើប្រាស់ដែលបង្កើតសារប្រព័ន្ធ ឥឡូវនេះសូមប្រើមុខងារដែលបានពិពណ៌នាខាងលើម្តងទៀត ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ

ប្រព័ន្ធនៃច្បាប់គោលបំណង (វិជ្ជមាន) និងប្រព័ន្ធនៃច្បាប់៖ ទំនាក់ទំនងនៃគំនិត

ពីសៀវភៅ នីតិសាស្ត្រ អ្នកនិពន្ធ Mardaliev R.T.

ប្រព័ន្ធនៃច្បាប់គោលបំណង (វិជ្ជមាន) និងប្រព័ន្ធនីតិកម្ម៖ ទំនាក់ទំនងនៃគំនិត ប្រព័ន្ធនៃច្បាប់គោលបំណង (វិជ្ជមាន) គឺជារចនាសម្ព័ន្ធផ្ទៃក្នុងនៃច្បាប់ ដោយបែងចែកវាទៅជាសាខា អនុវិស័យ និងស្ថាប័នស្របតាមប្រធានបទ និងវិធីសាស្រ្ត។ នៃផ្លូវច្បាប់

31. ប្រព័ន្ធរដ្ឋាភិបាលបារាំង ការបោះឆ្នោត និងប្រព័ន្ធបោះឆ្នោត

ដកស្រង់ចេញពីសៀវភៅ ច្បាប់រដ្ឋធម្មនុញ្ញនៃប្រទេសបរទេស អ្នកនិពន្ធ Imasheva E G

31. ប្រព័ន្ធរដ្ឋាភិបាលបារាំង ការបោះឆ្នោត និងប្រព័ន្ធបោះឆ្នោត នៅប្រទេសបារាំងមានរដ្ឋាភិបាលសាធារណរដ្ឋចម្រុះ (ឬពាក់កណ្តាលប្រធានាធិបតី)។ ប្រព័ន្ធរដ្ឋាភិបាលនៅប្រទេសបារាំងត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយឈរលើគោលការណ៍បំបែកអំណាចរបស់ប្រទេសបារាំងទំនើប

ចលនាព្យាបាលដើម្បីស្ដារមុខងារម៉ូទ័រ និងសម្រាប់ការឈឺខ្នង ការស្ដារមុខងារម៉ូទ័រ

ពីសៀវភៅសព្វវចនាធិប្បាយនៃចលនាព្យាបាលសម្រាប់ជំងឺផ្សេងៗ អ្នកនិពន្ធ Astashenko Oleg Igorevich

ចលនាព្យាបាលដើម្បីស្តារមុខងារម៉ូទ័រ និងសម្រាប់ការឈឺឆ្អឹងខ្នង ការស្តារមុខងារម៉ូទ័រឡើងវិញ មានលំហាត់ជាច្រើនដើម្បីស្តារឆ្អឹងខ្នង។ អ្នកអាចមកជាមួយពួកគេដោយខ្លួនឯង ឬស្វែងរកពួកគេនៅក្នុងប្រភេទកីឡាកាយសម្ព័ន្ធផ្សេងៗ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយសាមញ្ញ

ចលនាព្យាបាលដើម្បីស្តារមុខងារម៉ូទ័រ និងសម្រាប់មុខងារម៉ូទ័រឈឺខ្នង

ពីសៀវភៅ Overhaul សម្រាប់ឆ្អឹងខ្នង អ្នកនិពន្ធ Astashenko Oleg Igorevich

ចលនាព្យាបាលដើម្បីស្តារមុខងារម៉ូទ័រ និងមុខងារម៉ូទ័រសម្រាប់ការឈឺឆ្អឹងខ្នង ការស្តារមុខងារម៉ូទ័រឡើងវិញ មានលំហាត់ជាច្រើនដើម្បីស្តារឆ្អឹងខ្នង។ អ្នកអាចមកជាមួយពួកគេដោយខ្លួនឯង ឬស្វែងរកពួកគេនៅក្នុងប្រភេទកីឡាកាយសម្ព័ន្ធផ្សេងៗ។

x =λ 0 e +z, wherez L. ដើម្បីគណនា λ 0 យើងធ្វើមាត្រដ្ឋានគុណទាំងសងខាងនៃសមភាពដោយ អ៊ី។ ចាប់តាំងពី (z,e) = 0 យើងទទួលបាន (x,e) =λ 0 (e,e) =λ 0 ។

ប្រព័ន្ធ orthogonal និង orthonormal

និយមន័យ 5.5 ។ ប្រសិនបើ L គឺជាចន្លោះរងនៃ Hilbert space H នោះការប្រមូល M នៃធាតុទាំងអស់ពី H ដែលមានរាងជ្រុងទៅ L ត្រូវបានគេហៅថា

ការបំពេញ orthogonal ទៅ L.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថា M ក៏ជាកន្លែងរងមួយ។

1) ពីលក្ខណសម្បត្តិ 3) សម្រាប់ធាតុ orthogonal វាដូចខាងក្រោមថា M គឺជាសំណុំរងលីនេអ៊ែរនៃលំហ H ។

2) អនុញ្ញាតឱ្យ z n M និង z n → z ។ តាមនិយមន័យ M z n y សម្រាប់ y L ណាមួយ និងដោយលក្ខណសម្បត្តិ 4) សម្រាប់ធាតុ orthogonal យើងមាន z y ។ ដូច្នេះ z M និង M ត្រូវបានបិទ។

សម្រាប់ x H ណាមួយ តាមទ្រឹស្តីបទ 5.3 មានការពង្រីកតែមួយគត់

នៃទម្រង់ x = y + z ដែល y L,z M, i.e. ចន្លោះរងទម្រង់ L និង M

ការខូចទ្រង់ទ្រាយរាងមូលនៃលំហ H.

លេម៉ា ៥.១. អនុញ្ញាតឱ្យកំណត់ ឬរាប់ដែលអាចរាប់បាននៃចន្លោះរងរាងជាគូ L n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យធាតុ x H ត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់

x = ∑ y n ដែល y L ។ បន្ទាប់មកតំណាងបែបនេះគឺមានតែមួយគត់ហើយ y n = Pr L n x ។

និយមន័យ 5.6 ។ ប្រព័ន្ធនៃលំហអ័រតូហ្គោន L n ត្រូវបានគេហៅថាពេញលេញ ប្រសិនបើនៅក្នុងលំហ H មិនមានធាតុមិនសូន្យនៃអ័រតូហ្គោនទៅ L n ទាំងអស់។

និយមន័យ 5.7 ។ ប្រព័ន្ធកំណត់ ឬរាប់បាននៃធាតុ h n នៃលំហ Hilbert H ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ប្រសិនបើ h n h m សម្រាប់ n ≠m និយមន័យ 5.8 ។ ប្រព័ន្ធ orthogonal h n ត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតា, ប្រសិនបើ ||h n || = ១.

និយមន័យ 5.9 ។ ប្រព័ន្ធ orthogonal h n ត្រូវបានគេហៅថាពេញលេញ ប្រសិនបើមិនមានធាតុមិនសូន្យ x H នោះ x h n សម្រាប់ n ទាំងអស់។

អ្នកអាចពិនិត្យមើលវា។ធាតុ nonzero នៃប្រព័ន្ធ orthogonal គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធ orthonormal ពេញលេញនៅក្នុង l 2 គឺជាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯកតាកូអរដោនេទាំងអស់។


បង្កើតឡើងដោយធាតុ h n	មួយវិមាត្រ		ចន្លោះរង L n
រាងមូល។ ការព្យាករណ៍ធាតុ				ចន្លោះរង
គណនាដោយរូបមន្ត		x = អាញ់។
	PrL n
លេខ α n = (x, h n) ត្រូវបានហៅ	មេគុណ			ធាតុ Fourierx
ទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃធាតុ h n ។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.៤។ ប្រសិនបើធាតុ x H អាចត្រូវបានតំណាងជា

x = ∑ λ n h n បន្ទាប់មកតំណាងនេះគឺមានតែមួយ ហើយមេគុណ λ n គឺស្មើគ្នា

នេះគឺជាការសម្តែង x ត្រូវបានគេហៅថាការពង្រីក Fourier (ការពង្រីករាងពងក្រពើ) នៃធាតុ x ចូលទៅក្នុងធាតុ hn ។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.៥។ ដើម្បីឱ្យធាតុ x H ត្រូវបានតំណាងដោយការពង្រីក Fourier របស់វាលើធាតុ h n នៃប្រព័ន្ធ orthonormal នោះវាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនេះពេញលេញ។

ពីទ្រឹស្តីបទនេះ វាដូចខាងក្រោមថានៅក្នុងលំហ n-dimensional Hilbert ប្រព័ន្ធ orthonormal ពេញលេញត្រូវតែមានធាតុ n ។ ម៉្យាងវិញទៀត ប្រសិនបើនៅក្នុងលំហ n-dimensional Hilbert មូលដ្ឋានបំពានមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលមានធាតុផ្សំនៃ orthogonal ជាគូ នោះវាមកពីទ្រឹស្តីបទ 5.5 ដែលប្រព័ន្ធនេះពេញលេញ។

និយមន័យ 5.10 ។ ប្រព័ន្ធ orthogonal ពេញលេញនៃធាតុត្រូវបានគេហៅថា

មូលដ្ឋានអ័រគីដេ លំហ Hilbert ។

និយមន័យ 5.11 ។ សមាមាត្រ

	∑ α n 2 =
	∑ α n 2 =

ដែលជាកន្លែងដែល α n	- មេគុណបួននៃធាតុ x ហៅថាសមីការ
ការដាក់ឱ្យនៅដាច់ដោយឡែក។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.៦.

សម្រាប់ប្រព័ន្ធ orthonormal បំពាន (h n) សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមទាក់ទងនឹងធាតុ x H គឺសមមូល៖

1) សម្រាប់ធាតុ x H ការពង្រីក Fourier (5.7) គឺត្រឹមត្រូវ;

2) ធាតុ x H ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងចន្លោះរងដែលបង្កើតដោយសំណុំនៃធាតុ (h n);

3) សម្រាប់ធាតុ x H សមីការបិទជិត (5.8) គឺពេញចិត្ត។ ពីទ្រឹស្តីបទ 5.5 និង 5.6 វាធ្វើតាមថា ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធ orthonormal ពេញលេញ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល

សម្រាប់ x H សមីការបិទជិតត្រូវបានពេញចិត្ត។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.៧។ ប្រសិនបើធាតុ x H អាចត្រូវបានតំណាងដោយការពង្រីក Fourier របស់វា (5.7) លើធាតុនៃប្រព័ន្ធ orthonormal (h n) បន្ទាប់មកសម្រាប់ y H ណាមួយ

(x , y )= ∑ α n β n ,

ដែល α n គឺជាមេគុណ Fourier នៃ elementx នោះ β n គឺជាមេគុណ Fourier នៃ elementy ដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធ (h n)។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.៨. ទ្រឹស្តីបទ 5.9. ចន្លោះណាមួយដែលមានមូលដ្ឋានអាចរាប់បានគឺអាចបំបែកបាន។

ពីទ្រឹស្តីបទ 5.8 និង 5.9 វាធ្វើតាមដែលថា មូលដ្ឋានអ័រថូណននិម្មិតដែលកំណត់ ឬរាប់បានអាចមាននៅក្នុងចន្លោះដែលអាចបំបែកបាន។

Orthogonalization នៃប្រព័ន្ធនៃធាតុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកំណត់ ឬរាប់បាននៃធាតុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ g 1 ,g 2 , ... ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងលំហ Hilbert H , ... អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតប្រព័ន្ធ orthonormal នៃធាតុ h 1 , h 2 , ... ដូច្នេះនីមួយៗ h n មានទម្រង់

h n =μ n 1 g 1 +μ n 2 g 2 +...+μ nn g n ,
ហើយ g n នីមួយៗមានទម្រង់
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n ។

ជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធ orthogonal នៃធាតុ f 1 , f 2 , ... , សន្មត់តាមលំដាប់លំដោយ

k = ១

មេគុណ λ ik ត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបដែលធាតុ f 1 , f 2 , ... ជាគូរាងពងក្រពើ។ អនុញ្ញាតឱ្យមេគុណ λ ik សម្រាប់ធាតុ f 1 , f 2 , ... , f n- 1 ត្រូវបានរកឃើញរួចហើយ។ បន្ទាប់មកនៅពេលដែលខ្ញុំ

n− ១		n− ១
(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k , f i ) = (g n ,f i ) –∑ λ nk (f k , f i ).
k = ១		k = ១
ចាប់តាំងពី f 1 , f 2 , ... , f n- 1 រួចហើយ	មានរាងមូល បន្ទាប់មក (f k , f i ) = 0 សម្រាប់		k ≠ ខ្ញុំ,
យើងទទួលបាន	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 ។
(fn	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 ។
ចាប់តាំងពីធាតុនីមួយៗ		គឺជាការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរ
ធាតុឯករាជ្យ g 1,	g 2 , ... ,g n , និងមេគុណ		នៅ g n

ឯកភាព បន្ទាប់មក f n ≠ 0. ដើម្បីឱ្យលក្ខខណ្ឌ (f n , f i ) = 0 ពេញចិត្ត មេគុណ λ ni ត្រូវតែកំណត់ដោយរូបមន្ត

λni=	g n,	f i)

យើងបានសាងសង់ប្រព័ន្ធអ័រតូហ្គោន f 1 , f 2 , .... ឥឡូវនេះសូមដាក់

h n=

ធាតុ h 1 ,h 2 , ... are pairwise orthogonal, ||h n || = 1 ហើយធាតុនីមួយៗ h n គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃធាតុ g 1 ,g 2 , ... ,g n ដូច្នេះមានទម្រង់ដែលត្រូវការ (5.9) ។ ម៉្យាងទៀតពីរូបមន្ត (5.11) វាច្បាស់ណាស់ថា g n នីមួយៗគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃធាតុ f 1, f 2, ..., f n ហើយដូច្នេះធាតុ h 1, h 2, ..., h n , i.e. មានទម្រង់ (5.10) ។ ដូច្នេះ យើងបានទទួលប្រព័ន្ធ orthonormal ដែលត្រូវការ។

លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើប្រព័ន្ធដើម (gn) គឺគ្មានកំណត់ នោះដំណើរការ orthogonalization មានចំនួនមិនកំណត់ ហើយប្រព័ន្ធ (hn) ក៏នឹងគ្មានកំណត់ដែរ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធដើមមានធាតុ m នោះប្រព័ន្ធលទ្ធផលនឹងមានលេខដូចគ្នា។

ចំណាំថាពីលក្ខខណ្ឌ (5.9) និង (5.10) វាធ្វើតាមដែលសែលលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនៃធាតុ (gn) និង (hn) ស្របគ្នា។

ប្រសិនបើ L គឺជាផ្នែករងនៃទំហំកំណត់នៃលំហ H ហើយ g 1 ,g 2 , ...,g n គឺជាមូលដ្ឋានបំពានរបស់វា នោះដោយអនុវត្តដំណើរការ orthogonalization ទៅប្រព័ន្ធ (g n) យើងនឹងបង្កើតមូលដ្ឋាន orthonormal នៃ ចន្លោះរង

Isomorphism នៃលំហ Hilbert ដែលអាចបំបែកបានដោយបំពានជាមួយលំហ l²

ទ្រឹស្តីបទ ៥.១០។ នៅក្នុងលំហ Hilbert ដែលអាចបំបែកបាន H ដែលមានធាតុមិនសូន្យ មានមូលដ្ឋានអ័រថូនិកកំណត់ ឬអាចរាប់បាន។

ភស្តុតាង។

តាមនិយមន័យនៃភាពដាច់ពីគ្នា មានសំណុំក្រាស់ A ក្នុង H ។ ចូរយើងរាប់ធាតុទាំងអស់នៃសំណុំ A ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសពី A ប្រព័ន្ធកំណត់ឬរាប់បាន B នៃធាតុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ វិសាលភាពលីនេអ៊ែរដែលស្របគ្នានឹងវិសាលភាពលីនេអ៊ែរនៃសំណុំ A ។ ក្នុងករណីនេះ ធាតុទាំងអស់ដែលបោះចេញពី A គឺជាការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃធាតុនៃប្រព័ន្ធ B ។ យើងនឹងដាក់ប្រធានបទប្រព័ន្ធ B ទៅនឹងដំណើរការនៃ orthogonalization និងសាងសង់ប្រព័ន្ធ orthonormal កំណត់ ឬរាប់បាននៃធាតុ h n ។ សូមបញ្ជាក់

ថាវាពេញហើយ។

អនុញ្ញាតឱ្យ x H មានរាងមូលចំពោះ h n ។ ដោយសារធាតុនៃប្រព័ន្ធ B គឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃធាតុ h n ជាតិពុលគឺរាងពងក្រពើទៅនឹងធាតុទាំងអស់

ប្រព័ន្ធ ខ. កំណត់ A ខុសពី B ដែលវាមានធាតុមួយចំនួនទៀតដែលត្រូវបានតំណាងថាជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃធាតុនៃប្រព័ន្ធ B ។ ដូច្នេះ x គឺរាងមូលទៅនឹងធាតុទាំងអស់នៃសំណុំ A ។ ប៉ុន្តែដោយសារ A មានក្រាស់នៅគ្រប់ទីកន្លែងក្នុង H បន្ទាប់មក x = 0 ដោយទ្រព្យសម្បត្តិ 5) សម្រាប់ធាតុ orthogonal ។ ដូច្នេះភាពពេញលេញនៃប្រព័ន្ធនៃធាតុ h n ត្រូវបានបញ្ជាក់។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទេរនិយមន័យនៃ isomorphism ពិជគណិត និង isometry សម្រាប់លំហ Euclidean ទៅកាន់លំហធម្មតាណាមួយ។

និយមន័យ 5.12 ។ ចន្លោះធម្មតាពីរ E និង E 1 ត្រូវបានគេហៅថា

ពិជគណិត isomorphic និង isometric ប្រសិនបើការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងធាតុរបស់ពួកគេ ដូច្នេះ៖

ក) ប្រតិបត្តិការពិជគណិតលើធាតុពី E ត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រតិបត្តិការដូចគ្នានៅលើរូបភាពរបស់ពួកគេនៅក្នុង E 1 ;

ខ) បទដ្ឋាននៃធាតុដែលត្រូវគ្នាពី E និងពី E 1 គឺស្មើគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.១១។ រាល់លំហ Hilbert space H ដែលអាចបំបែកបានគ្មានកំណត់គឺជាពិជគណិត isomorphic និង isometric ទៅនឹងលំហ l 2 ។

ភស្តុតាង។

តាមទ្រឹស្តីបទ 5.10 មានមូលដ្ឋានអ័រថូនិកដែលអាចរាប់បាននៅក្នុង H: h 1 ,h 2 , ... , h n , .... ដោយទ្រឹស្តីបទ 5.5 សម្រាប់ x H ការពង្រីកទៅជា

x = ∑ α n hn ។

ប្រៀបធៀប

n=១

លំដាប់នៃមេគុណរបស់វា។

(α n) ឧ.

n=១

វ៉ិចទ័រ a ហើយនឹងត្រូវបានគេហៅថារូបភាពនៃធាតុ។

ប្រសិនបើ α n គឺជាមេគុណ Fourier នៃធាតុ ហើយ β n គឺជាមេគុណ

ផលបូកនៃរូបភាពនៃធាតុ x និង y ។ ដូចគ្នានេះដែរ វាត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ថា ប្រសិនបើ a ជារូបភាពនៃធាតុ នោះ λ a គឺជារូបភាពនៃធាតុ λ x ។ នេះមានន័យថាប្រតិបត្តិការពិជគណិតលើធាតុពី H ត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រតិបត្តិការដូចគ្នានៅលើរូបភាពរបស់ពួកគេ inl 2 ។

ចូរយើងបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រនីមួយៗ a = (α n )l 2 គឺជារូបភាពមួយចំនួន

x ហ. ដើម្បីធ្វើដូចនេះ ដោយបានផ្តល់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឲ្យ យើងតែងស៊េរី ∑ α n h n ។ ចាប់តាំងពីសមាជិកនៃស៊េរី

មានរាងជាគូ និង		n=១
មានរាងជាគូ និង

∑ \|\|α n h n \|\|2 =	∑ α n ២< +∞,
n=១	n=១

បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទ 5.2 ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។ ប្រសិនបើយើងសម្គាល់ផលបូករបស់វាដោយ x នោះតាមទ្រឹស្តីបទ 5.4α n នឹងជាមេគុណ Fourier នៃនេះ ដូច្នេះហើយ

វ៉ិចទ័រ a នឹងជារូបភាពរបស់វា។

ឥឡូវនេះសូមពិនិត្យមើលថាការឆ្លើយឆ្លងដែលបានបង្កើតឡើងរវាងធាតុពី H និងវ៉ិចទ័រពី l 2 គឺមួយទៅមួយ។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a និង b គឺជារូបភាពនៃធាតុនៅក្នុង y រៀងគ្នានោះ តាមអ្វីដែលបានបង្ហាញឱ្យឃើញនោះ a – b គឺជារូបភាពនៃធាតុ – y និង ដោយ (5.12) a − b = x − y ។ ដូច្នេះ ifx ≠ y បន្ទាប់មក ia ≠ ខ។

ម៉្យាងទៀត ប្រសិនបើប្រព័ន្ធអ័រថូនិកពេញលេញ ហើយធាតុពីរ x និង y មានមេគុណ Fourier ដូចគ្នា នោះ x = y ។ នេះមិនមែនជាការពិតសម្រាប់ប្រព័ន្ធមិនពេញលេញនោះទេ។

ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងគ្នារវាងធាតុពី H និងវ៉ិចទ័រពី l 2 ដែលតំណាងឱ្យ algebraic isomorphism និងយោងទៅតាម (5.12) isometric ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថា isomorphism រវាង H និង l 2 ត្រូវបានបង្កើតឡើងផងដែរ។

រក្សាតម្លៃនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.១២។ ជាមួយនឹង isomorphism រវាងចន្លោះ H និង l 2 ដែលបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទ 5.11 ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃធាតុទាំងពីរនៃ H ។ គឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃរូបភាពរបស់ពួកគេនៅក្នុង l 2 ។

ភស្តុតាង។ សូមឱ្យវ៉ិចទ័រ a និង b ជារូបភាពនៃធាតុ uy,


តាមនោះ a=(α n),b=(β n)។ បន្ទាប់មក៖ x = ∑ α n h n , y = ∑ β n h n ។
n=១	n=១

ដោយគិតពីទ្រឹស្តីបទ 5.7 និងនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៅក្នុង l 2 យើងរកឃើញ