យន្តហោះពីរដែលរលូនឥតខ្ចោះបង្កើតជាមុំ dihedral ។ មេរៀន​ «​មុំ​ជ្រុង​»

មេរៀននេះត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ការសិក្សាឯករាជ្យលើប្រធានបទ "មុំឌីអេឌ្រីត"។ នៅក្នុងមេរៀននេះ សិស្សនឹងស្គាល់ពីរាងធរណីមាត្រដ៏សំខាន់បំផុតមួយ គឺមុំ dihedral ។ ផងដែរនៅក្នុងមេរៀនយើងនឹងរៀនពីរបៀបដើម្បីកំណត់មុំលីនេអ៊ែរនៃតួលេខធរណីមាត្រនៅក្នុងសំណួរនិងអ្វីដែលមុំ dihedral គឺនៅមូលដ្ឋាននៃតួលេខនេះ។

ចូរយើងនិយាយឡើងវិញអំពីមុំនៅលើយន្តហោះ និងរបៀបដែលវាត្រូវបានវាស់។

អង្ករ។ 1. យន្តហោះ

ចូរយើងពិចារណាលើយន្តហោះ α (រូបភាពទី 1) ។ ពីចំណុច អំពីកាំរស្មីពីរបានលេចចេញមក - OBនិង អូអេ.

និយមន័យ. រូបដែលបង្កើតឡើងដោយកាំរស្មីពីរដែលចេញពីចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថាមុំ។

មុំត្រូវបានវាស់ជាដឺក្រេ និងរ៉ាដ្យង់។

ចូរយើងចងចាំថាតើរ៉ាដ្យង់គឺជាអ្វី។

អង្ករ។ 2. រ៉ាដ្យង់

ប្រសិនបើយើងមានមុំកណ្តាលដែលប្រវែងធ្នូស្មើនឹងកាំ នោះមុំកណ្តាលបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាមុំ 1 រ៉ាដ្យង់។ ,∠ AOB= 1 rad (រូបទី 2) ។

ទំនាក់ទំនងរវាងរ៉ាដ្យង់ និងដឺក្រេ។

រីករាយ។

យើងទទួលបានវា ខ្ញុំរីករាយ។ ( ). បន្ទាប់មក

និយមន័យ. មុំ Dihedralតួលេខដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា កនិងយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលមានព្រំដែនរួម កមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះតែមួយទេ។

អង្ករ។ 3. យន្តហោះពាក់កណ្តាល

ចូរយើងពិចារណាពីរពាក់កណ្តាលយន្តហោះ α និង β (រូបភាពទី 3) ។ ព្រំដែនរួមរបស់ពួកគេគឺ ក. តួលេខនេះត្រូវបានគេហៅថាមុំ dihedral ។

វាក្យសព្ទ

ពាក់កណ្តាលយន្តហោះ α និង β គឺជាមុខនៃមុំ dihedral ។

ត្រង់ កគឺជាគែមនៃមុំ dihedral មួយ។

នៅលើគែមរួម កមុំ dihedral ជ្រើសរើសចំណុចបំពាន អំពី(រូបទី 4) ។ នៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះαពីចំណុច អំពីស្តារការកាត់កែង អូអេទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ក. ពីចំណុចដូចគ្នា។ អំពីនៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះទីពីរ β យើងសាងសង់កាត់កែង OBទៅគែម ក. ទទួលបានមុំមួយ។ AOBដែលត្រូវបានគេហៅថាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ។

អង្ករ។ 4. ការវាស់មុំ Dihedral

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីសមភាពនៃមុំលីនេអ៊ែរទាំងអស់សម្រាប់មុំ dihedral ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សូមឱ្យយើងមានមុំ dihedral (រូបភាព 5) ។ ចូរយើងជ្រើសរើសចំណុចមួយ។ អំពីនិងរយៈពេល អូរ ១នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ក. ចូរយើងបង្កើតមុំលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុច អំពីឧ. យើងគូរកាត់កែងពីរ អូអេនិង OBនៅក្នុងយន្តហោះ α និង β រៀងគ្នាទៅគែម ក. យើងទទួលបានមុំ AOB- មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ។

អង្ករ។ 5. រូបភាពនៃភស្តុតាង

ពីចំណុច អូរ ១តោះគូរកាត់កែងពីរ OA ១និង OB ១ទៅគែម កនៅក្នុងប្លង់ α និង β រៀងគ្នា ហើយយើងទទួលបានមុំលីនេអ៊ែរទីពីរ A 1 O 1 B 1.

កាំរស្មី O 1 A 1និង អូអេ codirectional ចាប់តាំងពីពួកវាស្ថិតនៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះដូចគ្នា ហើយស្របគ្នានឹងគ្នាដូចជា កាត់កែងពីរទៅបន្ទាត់ដូចគ្នា ក.

ដូចគ្នានេះដែរកាំរស្មី ប្រហែល 1 ក្នុង 1និង OBត្រូវបានដឹកនាំរួមគ្នា ដែលមានន័យថា ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1ជាមុំដែលមានជ្រុង codirectional ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

ប្លង់នៃមុំលីនេអ៊ែរគឺកាត់កែងទៅនឹងគែមនៃមុំ dihedral ។

បញ្ជាក់: ក ⊥ AOB

អង្ករ។ 6. រូបភាពនៃភស្តុតាង

ភស្តុតាង:

អូអេ ⊥ កដោយការសាងសង់, OB ⊥ កដោយការសាងសង់ (រូបភាពទី 6) ។

យើងរកឃើញបន្ទាត់នោះ។ កកាត់កែងទៅបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ អូអេនិង OBចេញពីយន្តហោះ AOBដែលមានន័យថាវាត្រង់ កកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ OAVដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

មុំ dihedral ត្រូវបានវាស់ដោយមុំលីនេអ៊ែររបស់វា។ នេះមានន័យថា កាលណារ៉ាដ្យង់ដឺក្រេជាច្រើនត្រូវបានផ្ទុកក្នុងមុំលីនេអ៊ែរ នោះចំនួនដឺក្រេរ៉ាដ្យង់ដូចគ្នាត្រូវបានផ្ទុកនៅក្នុងមុំឌីអេឌ្រីតរបស់វា។ អនុលោមតាមនេះប្រភេទនៃមុំ dihedral ខាងក្រោមត្រូវបានសម្គាល់។

ស្រួចស្រាវ (រូបភាព ៦)

មុំ dihedral គឺស្រួចប្រសិនបើមុំលីនេអ៊ែររបស់វាគឺស្រួច, i.e. .

ត្រង់ (រូបភាព 7)

មុំ dihedral គឺត្រឹមត្រូវនៅពេលដែលមុំលីនេអ៊ែររបស់វាគឺ 90 ° - Obtuse (រូបភាព 8)

មុំ dihedral គឺ obtuse នៅពេលដែលមុំលីនេអ៊ែររបស់វាគឺ obtuse, i.e. .

អង្ករ។ 7. មុំខាងស្តាំ

អង្ករ។ 8. មុំ Obtuse

ឧទាហរណ៍នៃការសាងសង់មុំលីនេអ៊ែរនៅក្នុងតួលេខពិត

ABCឃ- tetrahedron ។

1. សង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ជាមួយគែមមួយ។ AB.

អង្ករ។ 9. រូបភាពសម្រាប់បញ្ហា

សំណង់:

យើងកំពុងនិយាយអំពីមុំ dihedral ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគែមមួយ។ ABនិងគែម ABឃនិង ABC(រូបភាពទី 9) ។

តោះធ្វើផ្ទាល់ ឃនកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ABC, ន- មូលដ្ឋានកាត់កែង។ តោះគូរទំនោរ ឃមកាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ AB,ម- មូលដ្ឋានទំនោរ។ ដោយទ្រឹស្តីបទនៃបីកាត់កែង យើងសន្និដ្ឋានថាការព្យាករនៃ oblique មួយ។ NMកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ផងដែរ។ AB.

នោះគឺពីចំណុច មកាត់កែងពីរទៅគែមត្រូវបានស្តារឡើងវិញ ABនៅលើភាគីទាំងពីរ ABឃនិង ABC. យើងទទួលបានមុំលីនេអ៊ែរ ឃMN.

ចំណាំថា ABគែមនៃមុំ dihedral កាត់កែងទៅនឹងប្លង់នៃមុំលីនេអ៊ែរ ពោលគឺ យន្តហោះ ឃMN. បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

មតិយោបល់. មុំ dihedral អាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម: ឃABC, កន្លែងណា

AB- គែមនិងចំណុច ឃនិង ជាមួយដេកនៅលើជ្រុងផ្សេងគ្នានៃមុំ។

2. សង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ជាមួយគែមមួយ។ AC.

តោះគូរកាត់កែង ឃនទៅយន្តហោះ ABCនិងទំនោរ ឃនកាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ ACដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី យើងរកឃើញនោះ។ អិន- ការព្យាករ oblique ឃនទៅយន្តហោះ ABC,កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ផងដែរ។ ACឃNH- មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ជាមួយគែមមួយ។ AC.

នៅក្នុង tetrahedron មួយ។ ឃABCគែមទាំងអស់គឺស្មើគ្នា។ ចំណុច ម- ពាក់កណ្តាលឆ្អឹងជំនី AC. បង្ហាញថាមុំ ឃMV- មុំ dihedral លីនេអ៊ែរ អ្នកឃពោលគឺ មុំ dihedral ជាមួយគែមមួយ។ AC. មួយនៃមុខរបស់វាគឺ ACឃ, ទីពីរ - ឌីអេ(រូបភាព 10) ។

អង្ករ។ 10. រូបភាពសម្រាប់បញ្ហា

ដំណោះស្រាយ:

ត្រីកោណ ADC- សមភាព, DM- មធ្យម ហើយដូច្នេះកម្ពស់។ មានន័យថា ឃម ⊥ ACដូចគ្នានេះដែរត្រីកោណ កINគ- សមភាព, INម- មធ្យម ហើយដូច្នេះកម្ពស់។ មានន័យថា VM ⊥ AC

ដូច្នេះពីចំណុច មឆ្អឹងជំនី ACមុំ dihedral បានស្ដារឡើងវិញកាត់កែងពីរ DMនិង VMទៅគែមនេះនៅមុខមុំ dihedral ។

ដូច្នេះ ∠ DMINគឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

ដូច្នេះ​យើង​បាន​កំណត់​មុំ dihedral មុំ​លីនេអ៊ែរ​នៃ​មុំ dihedral ។

នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងពិនិត្យមើលការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ និងប្លង់ បន្ទាប់មកយើងនឹងរៀនពីអ្វីដែលមុំ dihedral ស្ថិតនៅលើមូលដ្ឋាននៃតួលេខ។

បញ្ជីនៃឯកសារយោងលើប្រធានបទ "មុំ Dihedral", "Dihedral angle នៅមូលដ្ឋាននៃតួលេខធរណីមាត្រ"

1. ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី 10-11: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់គ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ill.
2. ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី១០៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់គ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ ដែលមានការសិក្សាស៊ីជម្រៅ និងឯកទេសគណិតវិទ្យា/E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich ។ - ការបោះពុម្ពលើកទី ៦ គំរូ។ - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: ill.

1. Yaklass.ru () ។
2. អ៊ី-science.ru () ។
3. Webmath.exponenta.ru () ។
4. Tutoronline.ru () ។

កិច្ចការផ្ទះលើប្រធានបទ "មុំ dihedral" កំណត់មុំ dihedral នៅមូលដ្ឋាននៃតួលេខ

ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី 10-11: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ (កម្រិតមូលដ្ឋាន និងឯកទេស) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov ។ - ការបោះពុម្ពលើកទី 5 កែតម្រូវនិងពង្រីក - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

កិច្ចការ 2, 3 ទំ 67 ។

តើមុំ dihedral លីនេអ៊ែរគឺជាអ្វី? តើត្រូវសាងសង់ដោយរបៀបណា?

ABCឃ- tetrahedron ។ សង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ជាមួយគែមមួយ៖

ក) INឃខ) ឃជាមួយ។

ABCដា 1 ខ 1 គ 1 ឃ 1 - គូប សង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំឌីហឺរ A 1 ABCជាមួយឆ្អឹងជំនី AB. កំណត់រង្វាស់ដឺក្រេរបស់វា។

គំនិតនៃមុំ dihedral

ដើម្បីណែនាំពីគោលគំនិតនៃមុំ dihedral ជាដំបូង ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវ axioms នៃ stereometry ។

យន្តហោះណាមួយអាចបែងចែកជាពីរយន្តហោះពាក់កណ្តាលនៃបន្ទាត់ $a$ ដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ ក្នុងករណីនេះ ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលដូចគ្នាគឺនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ត្រង់ $a$ ហើយចំនុចដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលផ្សេងគ្នាគឺនៅសងខាងនៃបន្ទាត់ត្រង់ $a$ (រូបភាពទី 1)។

រូបភាពទី 1 ។

គោលការណ៍នៃការសាងសង់មុំ dihedral គឺផ្អែកលើ axiom នេះ។

និយមន័យ ១

តួលេខត្រូវបានគេហៅថា មុំ dihedralប្រសិនបើវាមានបន្ទាត់មួយ និងយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរនៃបន្ទាត់នេះ ដែលមិនមែនជារបស់យន្តហោះតែមួយ។

ក្នុងករណីនេះ, យន្តហោះពាក់កណ្តាលនៃមុំ dihedral ត្រូវបានគេហៅថា គែមហើយបន្ទាត់ត្រង់បំបែកយន្តហោះពាក់កណ្តាលគឺ គែម dihedral(រូបទី 1) ។

រូបភាពទី 2. មុំ Dihedral

រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំ dihedral

និយមន័យ ២

អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសចំណុចបំពាន $A$ នៅលើគែម។ មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលស្ថិតនៅពាក់កណ្តាលប្លង់ផ្សេងគ្នា កាត់កែងទៅគែម និងប្រសព្វគ្នានៅចំណុច $A$ ត្រូវបានគេហៅថា មុំ dihedral លីនេអ៊ែរ(រូបទី 3) ។

រូបភាពទី 3 ។

ជាក់ស្តែង រាល់មុំ dihedral មានចំនួនមិនកំណត់នៃមុំលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ១

មុំលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៃមុំ dihedral មួយគឺស្មើគ្នា។

ភស្តុតាង។

ចូរយើងពិចារណាមុំលីនេអ៊ែរពីរ $AOB$ និង $A_1(OB)_1$ (រូបទី 4)។

រូបភាពទី 4 ។

ដោយសារកាំរស្មី $OA$ និង $(OA)_1$ ស្ថិតនៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះដូចគ្នា $\alpha $ ហើយកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា នោះពួកវាជា codirectional ។ ដោយសារកាំរស្មី $OB$ និង $(OB)_1$ ស្ថិតនៅពាក់កណ្តាលយន្តហោះដូចគ្នា $\beta $ ហើយកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា នោះពួកវាជា codirectional ។ ដូច្នេះ

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

ដោយសារតែការបំពាននៃជម្រើសនៃមុំលីនេអ៊ែរ។ មុំលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៃមុំ dihedral មួយគឺស្មើគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

និយមន័យ ៣

រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំ dihedral គឺជារង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral មួយ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហា

ឧទាហរណ៍ ១

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានប្លង់មិនកាត់កែងចំនួនពីរ $\alpha $ និង $\beta $ ដែលប្រសព្វគ្នាតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ $m$ ។ ចំណុច $A$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ $\beta$ ។ $AB$ គឺកាត់កែងទៅបន្ទាត់ $m$។ $AC$ គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ $\alpha $ (ចំណុច $C$ ជារបស់ $\alpha $)។ បង្ហាញថាមុំ $ABC$ គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral មួយ។

ភស្តុតាង។

ចូរយើងគូររូបភាពមួយតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា (រូបភាពទី 5)។

រូបភាពទី 5 ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ សូមរំលឹកទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម

ទ្រឹស្តីបទ ២៖បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់មូលដ្ឋាននៃទំនោរមួយគឺកាត់កែងទៅវា កាត់កែងទៅនឹងការព្យាកររបស់វា។

ដោយសារ $AC$ កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ $\alpha $ នោះចំនុច $C$ គឺជាការព្យាករនៃចំនុច $A$ ទៅលើយន្តហោះ $\alpha $។ ដូច្នេះ $BC$ គឺជាការព្យាករនៃ $AB$ oblique ។ តាមទ្រឹស្តីបទ 2 $BC$ កាត់កែងទៅគែមនៃមុំ dihedral ។

បន្ទាប់មក មុំ $ABC$ បំពេញតម្រូវការទាំងអស់សម្រាប់ការកំណត់មុំ dihedral លីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ ២

មុំ dihedral គឺ $30^\circ$។ នៅលើមុខមួយស្ថិតនៅចំនុច $A$ ដែលស្ថិតនៅចំងាយ $4$ cm ពីមុខម្ខាងទៀត រកចំងាយពីចំនុច $A$ ទៅគែមនៃមុំ dihedral។

ដំណោះស្រាយ។

សូមក្រឡេកមើលរូបភាពទី 5 ។

តាមលក្ខខណ្ឌ យើងមាន $AC=4\cm$។

តាមនិយមន័យនៃរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំ dihedral យើងមានមុំ $ABC$ ស្មើនឹង $30^\circ$ ។

ត្រីកោណ $ABC$ គឺជាត្រីកោណកែង។ តាមនិយមន័យនៃស៊ីនុសនៃមុំស្រួច

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \\

អត្ថបទចម្លងនៃមេរៀន៖

នៅក្នុង Planimetry វត្ថុសំខាន់គឺបន្ទាត់ ចម្រៀក កាំរស្មី និងចំណុច។ កាំរស្មីដែលបញ្ចេញចេញពីចំណុចមួយបង្កើតបានជារាងធរណីមាត្ររបស់ពួកគេ - មុំមួយ។

យើងដឹងថាមុំលីនេអ៊ែរត្រូវបានវាស់ជាដឺក្រេ និងរ៉ាដ្យង់។

នៅក្នុង stereometric យន្តហោះមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅវត្ថុ។ តួរលេខដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប្លង់ពាក់កណ្តាលពីរដែលមានព្រំប្រទល់រួម a ដែលមិនមែនជារបស់យន្តហោះដូចគ្នានៅក្នុងធរណីមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថាមុំ dihedral ។ យន្តហោះពាក់កណ្តាលគឺជាមុខនៃមុំ dihedral ។ បន្ទាត់ត្រង់ a គឺជាគែមនៃមុំ dihedral មួយ។

មុំ dihedral ដូចជាមុំលីនេអ៊ែរ អាចត្រូវបានដាក់ឈ្មោះ វាស់ និងសាងសង់។ នេះជាអ្វីដែលយើងត្រូវស្វែងយល់នៅក្នុងមេរៀននេះ។

ចូរយើងស្វែងរកមុំ dihedral នៅលើគំរូ tetrahedron ABCD ។

មុំ dihedral ដែលមានគែម AB ត្រូវបានគេហៅថា CABD ដែលចំនុច C និង D ជារបស់មុខផ្សេងគ្នានៃមុំ ហើយគែម AB ត្រូវបានគេហៅថានៅកណ្តាល

មានវត្ថុជាច្រើននៅជុំវិញយើងដែលមានធាតុនៅក្នុងទម្រង់នៃមុំ dihedral ។

នៅក្នុងទីក្រុងជាច្រើន កៅអីពិសេសសម្រាប់ការផ្សះផ្សាត្រូវបានដំឡើងនៅក្នុងឧទ្យាន។ លេងជាកីឡាករបម្រុងត្រូវបានធ្វើឡើងជាទម្រង់នៃយន្តហោះទំនោរពីរដែលប៉ះគ្នាឆ្ពោះទៅកណ្តាល។

នៅពេលសាងសង់ផ្ទះអ្វីដែលគេហៅថាដំបូល gable ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។ នៅលើផ្ទះនេះដំបូលត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងទម្រង់ជាមុំ dihedral 90 ដឺក្រេ។

មុំ Dihedral ក៏ត្រូវបានវាស់ជាដឺក្រេ ឬរ៉ាដ្យង់ដែរ ប៉ុន្តែរបៀបវាស់វា។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាដំបូលផ្ទះសម្រាកនៅលើក្បូនឈើ។ ហើយកម្រាលដំបូលបង្កើតជាជម្រាលដំបូលពីរនៅមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

តោះផ្ទេររូបភាពទៅគំនូរ។ នៅក្នុងគំនូរ ដើម្បីស្វែងរកមុំ dihedral ចំណុច B ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើគែមរបស់វា ពីចំណុចនេះ កាំរស្មីពីរ BA និង BC ត្រូវបានគូរកាត់កែងទៅគែមនៃមុំ។ មុំ ABC ដែលបង្កើតឡើងដោយកាំរស្មីទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាមុំ dihedral លីនេអ៊ែរ។

រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំ dihedral គឺស្មើនឹងរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំលីនេអ៊ែររបស់វា។

តោះវាស់មុំ AOB ។

រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំ dihedral ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺហុកសិបដឺក្រេ។

ចំនួនមិនកំណត់នៃមុំលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានគូរសម្រាប់មុំ dihedral វាជាការសំខាន់ដើម្បីដឹងថាពួកវាទាំងអស់ស្មើគ្នា។

ចូរយើងពិចារណាមុំលីនេអ៊ែរពីរ AOB និង A1O1B1 ។ កាំរស្មី OA និង O1A1 ស្ថិតនៅលើមុខតែមួយ ហើយកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ OO1 ដូច្នេះពួកវាមានទិសដៅស្របគ្នា។ Beams OB និង O1B1 ក៏ត្រូវបានដឹកនាំរួមគ្នាផងដែរ។ ដូច្នេះមុំ AOB គឺស្មើនឹងមុំ A1O1B1 ជាមុំដែលមានជ្រុងរួម។

ដូច្នេះមុំ dihedral ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយមុំលីនេអ៊ែរ ហើយមុំលីនេអ៊ែរគឺស្រួច ស្រួច និងស្តាំ។ ចូរយើងពិចារណាគំរូនៃមុំ dihedral ។

មុំ obtuse គឺប្រសិនបើមុំលីនេអ៊ែររបស់វាស្ថិតនៅចន្លោះពី 90 ទៅ 180 ដឺក្រេ។

មុំខាងស្តាំប្រសិនបើមុំលីនេអ៊ែររបស់វាគឺ 90 ដឺក្រេ។

មុំស្រួច ប្រសិនបើមុំលីនេអ៊ែររបស់វាគឺពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ។

ចូរយើងបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃមុំលីនេអ៊ែរ។

ប្លង់នៃមុំលីនេអ៊ែរគឺកាត់កែងទៅនឹងគែមនៃមុំ dihedral ។

ទុកមុំ AOB ជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តាមការសាងសង់ កាំរស្មី AO និង OB កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ a ។

យន្តហោះ AOB ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប្រសព្វពីរ AO និង OB តាមទ្រឹស្តីបទ៖ យន្តហោះមួយឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ ហើយមានតែមួយ។

បន្ទាត់ a គឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ ដែលមានន័យថា ដោយផ្អែកលើការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ និងប្លង់ បន្ទាត់ត្រង់ a គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ AOB ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា វាជារឿងសំខាន់ដើម្បីអាចសង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ជាមួយគែម AB សម្រាប់ tetrahedron ABCD ។

យើងកំពុងនិយាយអំពីមុំ dihedral ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដំបូងដោយគែម AB មុខមួយ ABD និងមុខទីពីរ ABC ។

នេះជាវិធីមួយដើម្បីសាងសង់វា។

ចូរ​គូរ​កាត់​កែង​ពី​ចំណុច D ទៅ​ប្លង់ ABC សម្គាល់​ចំណុច M ជា​មូលដ្ឋាន​កាត់​កែង។ សូមចាំថានៅក្នុង tetrahedron មូលដ្ឋាននៃកាត់កែងស្របគ្នាជាមួយនឹងកណ្តាលនៃរង្វង់ចារឹកនៅមូលដ្ឋាននៃ tetrahedron នេះ។

ចូរគូរបន្ទាត់ទំនោរពីចំណុច D កាត់កែងទៅគែម AB សម្គាល់ចំណុច N ជាមូលដ្ឋាននៃបន្ទាត់ទំនោរ។

នៅក្នុងត្រីកោណ DMN ផ្នែក NM នឹងក្លាយជាការព្យាករនៃ DN ទំនោរទៅលើយន្តហោះ ABC ។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទនៃកាត់កែងបី គែម AB នឹងកាត់កែងទៅនឹងការព្យាករ NM ។

នេះមានន័យថាជ្រុងនៃមុំ DNM គឺកាត់កែងទៅនឹងគែម AB ដែលមានន័យថាមុំដែលបានសាងសង់ DNM គឺជាមុំលីនេអ៊ែរដែលចង់បាន។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការគណនាមុំ dihedral មួយ។

ត្រីកោណ Isosceles ABC និងត្រីកោណធម្មតា ADB មិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយទេ។ ស៊ីឌីផ្នែកគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ADB ។ រកមុំ dihedral DABC ប្រសិនបើ AC=CB=2 cm, AB=4 cm។

មុំ dihedral នៃ DABC គឺស្មើនឹងមុំលីនេអ៊ែររបស់វា។ ចូរយើងបង្កើតមុំនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងគូរ CM ដែលមានទំនោរកាត់កែងទៅនឹងគែម AB ដោយហេតុថាត្រីកោណ ACB គឺជា isosceles បន្ទាប់មកចំនុច M នឹងស្របគ្នាជាមួយពាក់កណ្តាលគែម AB ។

ស៊ីឌីបន្ទាត់ត្រង់គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ADB ដែលមានន័យថាវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ DM ដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ ហើយផ្នែក MD គឺជាការព្យាករណ៍នៃទំនោរ CM ទៅលើយន្តហោះ ADV ។

បន្ទាត់ត្រង់ AB គឺកាត់កែងទៅនឹងទំនោរ CM ដោយការសាងសង់ ដែលមានន័យថា ដោយទ្រឹស្តីបទនៃកាត់កែងបី គឺកាត់កែងទៅនឹងការព្យាករ MD ។

ដូច្នេះ កាត់កែងពីរ CM និង DM ត្រូវបានរកឃើញនៅគែម AB ។ នេះមានន័យថាពួកវាបង្កើតជាមុំលីនេអ៊ែរ CMD នៃមុំ dihedral DABC ។ ហើយអ្វីដែលយើងត្រូវធ្វើគឺស្វែងរកវាពី CDM ត្រីកោណកែង។

ដូច្នេះផ្នែក SM គឺជាមធ្យម និងកម្ពស់នៃត្រីកោណ isosceles ACB បន្ទាប់មកយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ ជើង SM គឺស្មើនឹង 4 សង់ទីម៉ែត្រ។

ពីត្រីកោណខាងស្តាំ DMB យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ ជើង DM គឺស្មើនឹងឫសពីរនៃបី។

កូស៊ីនុសនៃមុំមួយពីត្រីកោណកែងគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់ MD ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស CM និងស្មើនឹងឫសបីនៃបីដងពីរ។ នេះមានន័យថាមុំ CMD គឺ 30 ដឺក្រេ។

ដើម្បីប្រើការមើលការបង្ហាញជាមុន បង្កើតគណនី Google ហើយចូលទៅវា៖ https://accounts.google.com

ចំណងជើងស្លាយ៖

DIHEDRAL ANGLE គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៃគ្រឹះស្ថានអប់រំរដ្ឋ អនុវិទ្យាល័យលេខ១០ Eremenko M.A.

គោលបំណងសំខាន់នៃមេរៀន៖ ណែនាំគោលគំនិតនៃមុំ dihedral និងមុំលីនេអ៊ែររបស់វា ពិចារណាកិច្ចការសម្រាប់ការអនុវត្តគោលគំនិតទាំងនេះ។

និយមន័យ៖ មុំ dihedral គឺ​ជា​រូប​ដែល​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​យន្តហោះ​ពាក់​ក​ណ្តា​ល​ពីរ​ដែល​មាន​បន្ទាត់​ព្រំដែន​រួម​។

ទំហំនៃមុំ dihedral គឺជាទំហំនៃមុំលីនេអ៊ែររបស់វា។ AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - មុំ dihedral លីនេអ៊ែរ ACD B

ចូរយើងបង្ហាញថាមុំលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៃមុំ dihedral គឺស្មើគ្នា។ ចូរយើងពិចារណាមុំលីនេអ៊ែរពីរ AOB និង A 1 OB 1 ។ កាំរស្មី OA និង OA 1 ស្ថិតនៅលើមុខតែមួយ ហើយកាត់កែងទៅនឹង OO 1 ដូច្នេះពួកវាមានទិសដៅស្របគ្នា។ Beams OB និង OB 1 ក៏ត្រូវបានដឹកនាំរួមគ្នាផងដែរ។ ដូេចនះ ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (ដូចមុំជាមួយជ្រុងសហដឹកនាំ)។

ឧទាហរណ៍នៃមុំ dihedral៖

និយមន័យ៖ មុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរគឺតូចបំផុតនៃមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះទាំងនេះ។

កិច្ចការទី 1: ក្នុងគូប A ... D 1 រកមុំរវាងយន្តហោះ ABC និង CDD 1 ។ ចម្លើយ៖ ៩០ អូ។

បញ្ហាទី 2: ក្នុងគូប A ... D 1 រកមុំរវាងយន្តហោះ ABC និង CDA 1 ។ ចម្លើយ៖ ៤៥ អូ។

បញ្ហាទី 3: ក្នុងគូប A ... D 1 រកមុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BDD 1 ។ ចម្លើយ៖ ៩០ អូ។

បញ្ហាទី 4: ក្នុងគូប A ... D 1 រកមុំរវាងយន្តហោះ ACC 1 និង BDD 1 ។ ចម្លើយ៖ ៩០ អូ។

បញ្ហាទី 5: ក្នុងគូប A ... D 1 រកមុំរវាងយន្តហោះ BC 1 D និង BA 1 D ។ ដំណោះស្រាយ៖ សូមឲ្យ O ជាចំណុចកណ្តាលនៃ B D. A 1 OC 1 – មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral A 1 B D C 1 ។

បញ្ហាទី 6: នៅក្នុង tetrahedron DABC គែមទាំងអស់គឺស្មើគ្នា ចំណុច M គឺពាក់កណ្តាលគែម AC ។ បង្ហាញថា ∠ DMB គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral BACD ។

ដំណោះស្រាយ៖ ត្រីកោណ ABC និង ADC គឺទៀងទាត់ ដូច្នេះ BM ⊥ AC និង DM ⊥ AC ហេតុដូច្នេះហើយ ∠ DMB គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral DACB ។

បញ្ហាទី 7៖ ពីចំនុចកំពូល B នៃត្រីកោណ ABC ផ្នែកខាង AC ដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ α កាត់កែង BB 1 ត្រូវបានទាញទៅកាន់យន្តហោះនេះ។ រកចំងាយពីចំនុច B ទៅបន្ទាត់ត្រង់ AC និងទៅប្លង់ α ប្រសិនបើ AB=2, ∠ВАС=150 0 និងមុំ dihedral ВАСВ 1 ស្មើនឹង 45 0។

ដំណោះស្រាយ៖ ABC គឺជាត្រីកោណ obtuse ជាមួយមុំ obtuse A ដូច្នេះមូលដ្ឋាននៃកម្ពស់ BC ស្ថិតនៅលើផ្នែកបន្ថែមនៃចំហៀង AC ។ VK - ចម្ងាយពីចំណុច B ទៅ AC ។ BB 1 - ចំងាយពីចំណុច B ទៅយន្តហោះ α

2) ចាប់តាំងពី AC ⊥BK បន្ទាប់មក AC⊥KB 1 (ដោយទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទប្រហែលបីកាត់កែង) ។ ដូច្នេះ ∠VKV 1 គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral BASV 1 និង ∠VKV 1 = 45 0 ។ 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· sin 30 0, VK =1។ ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0, ВВ 1 =

មុំ Dihedral ។ មុំ dihedral លីនេអ៊ែរ។ មុំ dihedral គឺជាតួលេខដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលមិនមែនជារបស់យន្តហោះដូចគ្នានិងមានព្រំដែនរួម - បន្ទាត់ត្រង់ a ។ ប្លង់ពាក់កណ្តាលដែលបង្កើតជាមុំ dihedral ត្រូវបានគេហៅថាមុខរបស់វា ហើយព្រំដែនទូទៅនៃពាក់កណ្តាលយន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថាគែមនៃ dihedral angle។ មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral គឺជាមុំមួយដែលជ្រុងរបស់វាជាកាំរស្មីដែលនៅតាមបណ្តោយមុខនៃមុំ dihedral ត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះកាត់កែងទៅគែមនៃមុំ dihedral ។ មុំ dihedral នីមួយៗមានមុំលីនេអ៊ែរមួយចំនួន៖ តាមរយៈចំណុចនីមួយៗនៃគែមមួយអាចគូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងគែមនេះ។ កាំរស្មីនៅតាមបណ្តោយដែលយន្តហោះនេះកាត់មុខនៃមុំ dihedral បង្កើតជាមុំលីនេអ៊ែរ។

មុំលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៃមុំ dihedral គឺស្មើគ្នា។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់នៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីត KABC និងប្លង់នៃមុខក្រោយរបស់វាស្មើគ្នា នោះមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលដកចេញពី vertex K គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ចារឹកជាត្រីកោណ ABC ។

ភស្តុតាង។ ជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ស្មើគ្នា។ តាមនិយមន័យ ប្លង់នៃមុំលីនេអ៊ែរត្រូវតែកាត់កែងទៅនឹងគែមនៃមុំ dihedral ។ ដូច្នេះគែមនៃមុំ dihedral ត្រូវតែកាត់កែងទៅជ្រុងនៃមុំលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើ KO កាត់កែងទៅនឹងប្លង់គោល នោះយើងអាចគូរ OR កាត់កែង AC, OR កាត់កែង SV, OQ កាត់កែង AB ហើយបន្ទាប់មកភ្ជាប់ចំនុច P, Q, R ជាមួយចំនុច K. ដូច្នេះយើងនឹងបង្កើតការព្យាករណ៍នៃទំនោរ RK, QK , RK ដូច្នេះគែម AC, NE, AB កាត់កែងទៅនឹងការព្យាករទាំងនេះ។ អាស្រ័យហេតុនេះ គែមទាំងនេះគឺកាត់កែងទៅនឹងទំនោរខ្លួនឯង។ ដូច្នេះហើយ ប្លង់នៃត្រីកោណ ROK, QOK, ROK គឺកាត់កែងទៅនឹងគែមដែលត្រូវគ្នានៃមុំ dihedral ហើយបង្កើតជាមុំលីនេអ៊ែរស្មើគ្នាដែលត្រូវបានរៀបរាប់ក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ ត្រីកោណកែង ROK, QOK, ROK គឺស្របគ្នា (ចាប់តាំងពីពួកគេមានជើងធម្មតា OK ហើយមុំទល់មុខនឹងជើងនេះគឺស្មើគ្នា)។ ដូច្នេះ OR = OR = OQ ។ ប្រសិនបើយើងគូររង្វង់ដោយកណ្តាល O និងកាំ OP នោះជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC កាត់កែងទៅនឹងកាំ OP, OR និង OQ ដូច្នេះហើយតង់សង់ទៅរង្វង់នេះ។

ភាពកាត់កែងនៃយន្តហោះ។ ប្លង់អាល់ហ្វា និងបេតាត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែង ប្រសិនបើមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំឌីអេឌ្រីតមួយដែលបានបង្កើតនៅចំនុចប្រសព្វរបស់វាស្មើនឹង 90។ សញ្ញានៃការកាត់កែងនៃយន្តហោះទាំងពីរ ប្រសិនបើមុំមួយក្នុងចំនោមយន្តហោះទាំងពីរឆ្លងកាត់បន្ទាត់កាត់កែងទៅប្លង់មួយទៀត។ បន្ទាប់មកយន្តហោះទាំងនេះគឺកាត់កែង។

តួលេខបង្ហាញពីរាងចតុកោណកែងប៉ារ៉ាឡែល។ មូលដ្ឋានរបស់វាគឺចតុកោណកែង ABCD និង A1B1C1D1 ។ ហើយឆ្អឹងជំនីរចំហៀង AA1 BB1, CC1, DD1 កាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន។ វាធ្វើតាមថា AA1 កាត់កែងទៅនឹង AB ពោលគឺមុខចំហៀងគឺជាចតុកោណ។ ដូច្នេះ យើងអាចបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ parallelepiped ចតុកោណៈ នៅក្នុងរាងចតុកោណ parallelepiped មុខទាំងប្រាំមួយគឺជាចតុកោណ។ នៅក្នុងរាងចតុកោណកែងប៉ារ៉ាឡែល មុខទាំងប្រាំមួយគឺជាចតុកោណ។ មុំ dihedral ទាំងអស់នៃ parallelepiped ចតុកោណគឺជាមុំខាងស្តាំ។ មុំ dihedral ទាំងអស់នៃ parallelepiped ចតុកោណគឺជាមុំខាងស្តាំ។

ទ្រឹស្តីបទ ការេនៃអង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ parallelepiped គឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃវិមាត្រទាំងបីរបស់វា។ ចូរយើងបង្វែររូបម្តងទៀត ហើយបង្ហាញថា AC12 = AB2 + AD2 + AA12 ដោយសារគែម CC1 កាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន ABCD មុំ ACC1 គឺត្រឹមត្រូវ។ ពីត្រីកោណកែង ACC1 ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ យើងទទួលបាន AC12 = AC2 + CC12 ។ ប៉ុន្តែ AC គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែង ABCD ដូច្នេះ AC2 = AB2 + AD2 ។ លើសពីនេះទៀត CC1 = AA1 ។ ដូច្នេះ AC12 = AB2 + AD2 + AA12 ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។