Vaatleme trigonomeetriliste võrratuste lahendust kujul tgx>a ja tgx üksuse ring.
Lahendamiseks vajame ühikringi joonist ja. Ühikringi raadius on võrdne 1-ga, seetõttu joonistades puutujate joonele lõigud, mille pikkus on raadiusega võrdne, saame vastavalt punktid, kus puutuja on võrdne 1, 2, 3 jne, ja allapoole - -1, -2, -3 jne.
Puutuja joonel vastavad puutuja väärtused, mis on suuremad kui a, punkti a kohal asuvale osale. Varjutage vastav kiir. Nüüd tõmbame sirge läbi punkti O – alguspunkti – ja punkti a puutujajoonele. See lõikub ringiga punktis arctan a. Vastavalt sellele vastab ringjoonel võrratuse tgx>a lahend kaarele punktist arctg a kuni n/2. Võtta arvesse kõiki lahendusi (ja puutuja perioodilisust - lõpmatu hulk), lisame intervalli igasse otsa nn, kus n on täisarv (n kuulub Z-sse).
Võrratuse tgx>a lahendamiseks piisab täiesti poolringist vahemikust -n/2 kuni n/2. Aga kui teil on vaja leida lahendus näiteks puutuja ja siinusega võrratuste süsteemile, siis on vaja kogu ringi.
Kui ebavõrdsus ei ole range, kaasame vastusesse punkti, millel on arctan a (varjutame selle joonisel ja kirjutame vastusesse nurksuluga). Punkti n/2 ei ole vastuses kunagi kaasatud, kuna see ei sisaldu puutuja määratluse alas (punkt on torgatud, sulg on ümmargune).
Võrratuse tgx>-a lahendamiseks arutleme samamoodi nagu võrratuse tgx>a puhul. Kuna arctg (-a)=-arctg a, on see ainus erinevus vastuses.
Sel juhul on ebavõrdsuse tgx lahendus
Tgx võrratuse lahendamine<-a аналогично решению неравенства tgx
Vaatleme konkreetset näidet puutujaga ebavõrdsuse lahendamisest. Lahenda ebavõrdsus tgx<-1
Seega on ebavõrdsuse tgx lahendus<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn). Trigonomeetriliste võrratuste lahendamine ühikringi abil Vormi trigonomeetriliste võrratuste lahendamisel, kus --- üks trigonomeetrilistest funktsioonidest, on mugav kasutada trigonomeetrilist ringi, et võrratuse lahendeid kõige selgemini esitada ja vastus kirja panna. Peamine meetod trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks on nende taandamine kõige lihtsamate tüüpvõrratusteni. Vaatame näidet, kuidas selliseid ebavõrdsusi lahendada. Näide Lahenda ebavõrdsus. Lahendus. Joonistame trigonomeetrilise ringi ja märgime sellele punktid, mille puhul ordinaat on parem. Selle ebavõrdsuse lahendamiseks tuleb. Samuti on selge, et kui teatud arv erineb mis tahes arvust määratud intervalli võrra, siis ei ole see ka väiksem. Seetõttu peate lihtsalt leitud segmendi otstesse lahendusi lisama. Lõpuks leiame, et kõik algse ebavõrdsuse lahendused on. Puutuja ja kotangensiga ebavõrdsuste lahendamiseks on kasulik puutujate ja kotangentide rea mõiste. Need on sirgjooned ja vastavalt (joonisel (1) ja (2)) puudutavad trigonomeetriline ring. On lihtne näha, et kui konstrueerida kiir, mille alguspunkt on koordinaatide alguspunktis, moodustades nurga abstsisstelje positiivse suunaga, siis lõigu pikkus punktist selle kiire lõikepunktini puutuja on täpselt võrdne selle nurga puutujaga, mille see kiir moodustab abstsissteljega. Sarnane tähelepanek toimub kotangensi puhul. Näide Lahenda ebavõrdsus. Lahendus. Tähistame, siis on ebavõrdsus kõige lihtsam: . Vaatleme intervalli pikkusega, mis on võrdne puutuja väikseima positiivse perioodiga (LPP). Sellel lõigul, kasutades puutujate rida, tuvastame selle. Tuletagem nüüd meelde, mida on vaja lisada, kuna tuumaelektrijaam töötab. Niisiis, . Tulles tagasi muutuja juurde, saame selle Pöördtrigonomeetriliste funktsioonidega on mugav lahendada võrratusi pöördtrigonomeetriliste funktsioonide graafikute abil. Näitame näitega, kuidas seda tehakse. Trigonomeetriliste võrratuste graafiline lahendamine Pange tähele, et kui --- perioodiline funktsioon, siis ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja leida selle lahendus lõigul, mille pikkus on võrdne funktsiooni perioodiga. Kõik algse võrratuse lahendused koosnevad leitud väärtustest, aga ka kõigist neist, mis erinevad funktsiooni mis tahes täisarvu perioodide arvu poolest leitud väärtustest Vaatleme ebavõrdsuse lahendust (). Sellest ajast peale pole ebavõrdsusel lahendusi. Kui, siis on võrratuse lahendite hulk kõigi reaalarvude hulk. Las olla. Siinusfunktsioonil on kõige väiksem positiivne periood, seega saab ebavõrdsuse lahendada kõigepealt pikkuse segmendil, nt. Koostame funktsioonide ja () graafikud. Segmendil siinusfunktsioon suureneb ja võrrandil, kus on üks juur. Segmendil siinusfunktsioon väheneb ja võrrandil on juur. Numbrilisel intervallil asub funktsiooni graafik funktsiooni graafiku kohal. Seetõttu kehtib kõigi jaoks intervallist) ebavõrdsus, kui. Siinusfunktsiooni perioodilisuse tõttu on kõik võrratuse lahendid antud vormi võrratustega: . Lahendame puutujaga võrratused ühikringi abil. Näide 1: Lahenda ebavõrdsus: $(\rm tg)(x) \leq 1.$ Seega on lahendus järgmine: $x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$ Tähtis! Punktid $-\frac(\pi)(2)$ ja $\frac(\pi)(2)$ puutujale alati (olenemata ebavõrdsuse märgist) välja kaevatud! Näide 2: Lahenda ebavõrdsus: $(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$ Märgime puutuja joonele punkti $- \sqrt(3)$ ja tõmbame selle alguspunktist sirge. Selle sirge ja poolringi lõikepunkti ei varjutata, kuna ebavõrdsus on range. Ala asub sirgjoone kohal ja kuni ringini, kuna ebavõrdsuse märk on $>$. leiame ristumispunkti: $x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$ $t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$ Pöördume tagasi algse muutuja juurde: $\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$ Viimane on samaväärne ebavõrdsuse süsteemiga $\left\(\begin(massiiv)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$ mille lahendanud saame vastuse. Tõesti, $\left\(\begin(massiiv)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$ $\left\(\begin(massiiv)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $ Ja lõpuks saame: $x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\right), \n \in Z.$ Ebavõrdsused on relatsioonid kujul a › b, kus a ja b on avaldised, mis sisaldavad vähemalt ühte muutujat. Ebavõrdsused võivad olla ranged - ‹, › ja mitteranged - ≥, ≤. Trigonomeetrilised võrratused on avaldised kujul: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, milles F(x) on esindatud ühe või mitme trigonomeetrilise funktsiooniga . Lihtsaima trigonomeetrilise võrratuse näide on: sin x ‹ 1/2. Otsustama sarnased ülesanded graafiliselt aktsepteeritud, on selleks välja töötatud kaks meetodit. Et leida intervalli, mis vastab ebavõrdsuse sin x ‹ 1/2 tingimustele, peate tegema järgmised toimingud: Kui avaldises on ranged märgid, ei ole lõikepunktid lahendused. Kuna sinusoidi väikseim positiivne periood on 2π, kirjutame vastuse järgmiselt: Kui avaldise märgid ei ole ranged, tuleb sisestada lahendusvahemik nurksulud—. Ülesande vastuse võib kirjutada ka järgmise ebavõrdsusena: Sarnaseid probleeme saab hõlpsasti lahendada trigonomeetrilise ringi abil. Vastuste leidmise algoritm on väga lihtne: Vaatame näite abil lahenduse samme ebavõrdsused patt x › 1/2. Ringjoonele on märgitud punktid α ja β – väärtused Kaare punktid, mis asuvad α ja β kohal, on intervall antud võrratuse lahendamiseks. Kui teil on vaja lahendada cos-i näide, siis asub vastusekaar sümmeetriliselt OX-telje, mitte OY suhtes. Võite kaaluda erinevust sin ja cos lahendusvahemike vahel teksti allolevatel diagrammidel. Tangensi ja kotangentsi võrratuste graafilised lahendused erinevad nii siinusest kui ka koosinusest. See on tingitud funktsioonide omadustest. Arktangens ja arkotangens on trigonomeetrilise ringi puutujad ja mõlema funktsiooni minimaalne positiivne periood on π. Teise meetodi kiireks ja korrektseks kasutamiseks peate meeles pidama, millisel teljel patuväärtused, cos, tg ja ctg. Tangens puutuja kulgeb paralleelselt OY-teljega. Kui joonistada arctaani a väärtus ühikringkonnale, siis teine vajalik punkt asub diagonaalveerandis. Nurgad Need on funktsiooni murdepunktid, kuna graafik kaldub nende poole, kuid ei jõua nendeni. Kootangensi korral kulgeb puutuja paralleelselt OX-teljega ning funktsioon katkeb punktides π ja 2π. Kui ebavõrdsusfunktsiooni argumenti esindab mitte ainult muutuja, vaid terve avaldis, mis sisaldab tundmatut, siis räägime juba kompleksne ebavõrdsus. Selle lahendamise protsess ja protseduur erinevad mõnevõrra ülalkirjeldatud meetoditest. Oletame, et peame leidma lahenduse järgmisele ebavõrdsusele: Graafiline lahendus hõlmab tavalise sinusoidi y = sin x konstrueerimist, kasutades suvaliselt valitud x väärtusi. Arvutame graafiku kontrollpunktide koordinaatidega tabeli: Tulemuseks peaks olema ilus kõver. Lahenduse leidmise hõlbustamiseks asendame keeruline argument funktsioonid Enamik õpilasi trigonomeetrilised ebavõrdsused ei meeldinud. Aga asjata. Nagu üks tegelane ütles, "Sa lihtsalt ei tea, kuidas neid süüa teha" Niisiis, kuidas "küpsetada" ja millega siinuse ebavõrdsust esitada, selgitame välja selles artiklis. Meie otsustame lihtsal viisil– ühikringi kasutamine. Niisiis, kõigepealt vajame järgmist algoritmi. Tähtis: d antud algoritm ei tööta ebavõrdsustele kujul $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$. Samuti on oluline märkida järgmised juhtumid, mida on palju mugavam lahendada loogiliselt ilma ülaltoodud algoritmi kasutamata. Erijuhtum 1.
Lahenda ebavõrdsus: $\sin(x)\leq 1.$ Tulenevalt asjaolust, et väärtuste vahemik trigonomeetriline funktsioon$y=\sin(x)$ ei ole suurem kui moodul $1$, siis vasak pool ebavõrdsused igal juhul$x$ definitsioonipiirkonnast (ja siinuse määratluspiirkond on kõik reaalarvud) mitte rohkem kui 1 dollar. Ja seetõttu kirjutame vastuses: $x \in R$. Tagajärg: $\sin(x)\geq -1.$ Erijuhtum 2. Lahenda ebavõrdsus: $\sin(x)< 1.$ Rakendades 1. erijuhtumiga sarnaseid argumente, leiame, et ebavõrdsuse vasak pool on väiksem kui $1$ kõigi $x \in R$ puhul, välja arvatud punktid, mis on võrrandi $\sin(x) = 1$ lahendid. Selle võrrandi lahendamisel saame: $x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$ Ja seetõttu kirjutame vastuses: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$. Tagajärg: ebavõrdsus lahendatakse sarnaselt $\sin(x) > -1.$ Näide 1: Lahenda ebavõrdsus: $\sin(x) \geq \frac(1)(2).$ Seega on lahendus järgmine: $x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$ Näide 2: Lahenda ebavõrdsus: $\sin(x)< -\frac{1}{2}$ Märgime siinusteljele koordinaadi $-\frac(1)(2)$ ja joonestame koosinusteljega paralleelse ja seda punkti läbiva sirge. Märgime ristumiskohad. Neid ei varjutata, kuna ebavõrdsus on range. Ebavõrdsuse märk $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin(x)=-\frac(1)(2)$ $x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$. Lisaks eeldades, et $n=0$, leiame esimese lõikepunkti: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Meie ala läheb esimesest punktist negatiivses suunas, mis tähendab, et määrame $n$ väärtuseks $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$. $x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$ Näide 3: Lahenda ebavõrdsus: $1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$ Seda näidet ei saa algoritmi abil kohe lahendada. Kõigepealt peate selle ümber muutma. Teeme täpselt sama, mida teeksime võrrandiga, kuid ärge unustage märki. Negatiivse arvuga jagamine või korrutamine muudab selle vastupidiseks! Niisiis, liigutame kõik, mis ei sisalda trigonomeetrilist funktsiooni, paremale poole. Saame: $- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$ Jagame vasaku ja parema külje $-2$-ga (ärge unustage märki!). Saab: $\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$ Jällegi on meil ebavõrdsus, mida me ei saa algoritmi kasutades lahendada. Kuid siin piisab muutuja muutmisest: $t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$ Saame trigonomeetrilise võrratuse, mille saab lahendada algoritmi abil: $\sin(t) \geq \frac(1)(2).$ See ebavõrdsus lahendati näites 1, seega laename vastuse sealt: $t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$ Otsus pole aga veel lõppenud. Peame tagasi pöörduma algse muutuja juurde. $(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$ Kujutagem ette intervalli süsteemina: $\left\(\begin(massiivi)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(massiivi) \right.$ Süsteemi vasakus servas on avaldis ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), mis kuulub intervalli. Intervalli vasakpoolne piir vastutab esimese ebavõrdsuse eest ja parem piir teise eest. Veelgi enam, sulgudel on oluline roll: kui sulg on ruudukujuline, leevendatakse ebavõrdsust ja kui see on ümmargune, on see range. meie ülesanne on saada vasakult $x$ mõlemas ebavõrdsuses. Liigutame $\frac(\pi)(6)$ vasakult küljelt paremale, saame: $\left\(\begin(massiivi)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(massiivi) \right.$ Lihtsustades on meil: $\left\(\begin(massiivi)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(massiiv) \right.$ Korrutades vasaku ja parema külje 4 dollariga, saame: $\left\(\begin(massiivi)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(massiivi) \right. $ Süsteemi intervallisse koondades saame vastuse: $x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$
Algoritm puutujaga võrratuste lahendamiseks:
Näited võrratuste lahendamisest algoritmi abil.
1. meetod – võrratuste lahendamine funktsiooni graafiku abil
2. meetod – trigonomeetriliste võrratuste lahendamine ühikringi abil
Keerulised trigonomeetrilised võrratused
Siinuse võrratuste lahendamise algoritm:
Algoritmi piirang
Erijuhud siinuse võrratuste lahendamisel
Näited võrratuste lahendamisest algoritmi abil.
Seega on selle ebavõrdsuse lahendus intervall: