Defineerige monoom. Monoomi taandamine standardvormile, näited, lahendused

Definitsioon 3.3. Monoomne nimetatakse avaldiseks, mis on arvude, muutujate ja astmete korrutis loomulik näitaja.

Näiteks iga väljend,
,
on monoom.

Nad ütlevad, et monomial on standardvaade , kui see sisaldab ainult ühte arvulist tegurit ja iga selles sisalduvate identsete muutujate korrutis on esitatud astmega. Standardkujul kirjutatud monomi numbrilist tegurit nimetatakse monoomi koefitsient . Monoomiaali jõul nimetatakse kõigi selle muutujate eksponentide summaks.

Definitsioon 3.4. Polünoom nimetatakse monomiaalide summaks. Monoome, millest polünoom koosneb, nimetataksepolünoomi liikmed .

Sarnaseid termineid - polünoomi monoomiid - nimetatakse polünoomi sarnased terminid .

Definitsioon 3.5. Standardkuju polünoom nimetatakse polünoomiks, milles kõik terminid on kirjutatud standardkujul ja sarnased terminid on antud.Tüüpkujulise polünoomi aste nimetatakse selles sisalduvate monomialide suurimaks võimsuseks.

Näiteks on neljanda astme standardvormi polünoom.

Toimingud mono- ja polünoomidele

Polünoomide summa ja erinevuse saab teisendada standardkujuliseks polünoomiks. Kahe polünoomi liitmisel kirjutatakse üles kõik nende liikmed ja antakse sarnased terminid. Lahutamisel pööratakse lahutatava polünoomi kõigi liikmete märgid ümber.

Näiteks:

Polünoomi liikmed võib jagada rühmadesse ja panna sulgudesse. Kuna tegemist on identse teisendusega, mis on pöördsulgude avamisega, siis tehakse kindlaks järgmine sulgumise reegel: kui sulgude ette on pandud plussmärk, siis kirjutatakse kõik sulgudes olevad terminid koos nende märkidega; Kui sulgude ette on pandud miinusmärk, kirjutatakse kõik sulgudes olevad terminid vastandmärkidega.

Näiteks,

Polünoomi polünoomiga korrutamise reegel: Polünoomi polünoomiga korrutamiseks piisab, kui korrutada ühe polünoomi iga liige teise polünoomi iga liikmega ja liita saadud korrutised.

Näiteks,

Definitsioon 3.6. Polünoom ühes muutujas kraadid nimetatakse vormi väljenduseks

Kus
- kõik numbrid, millele helistatakse polünoomkoefitsiendid , ja
,– mittenegatiivne täisarv.

Kui
, siis koefitsient helistas polünoomi juhtiv koefitsient
, monomiaalne
- tema vanem liige , koefitsient – vaba liige .

Kui muutuja asemel polünoomiks
asendusreaalarv , siis on tulemuseks reaalarv
mida nimetatakse polünoomi väärtus
juures
.

Definitsioon 3.7. Number helistaspolünoomi juur
, Kui
.

Kaaluge polünoomi jagamist polünoomiga, kus
Ja - täisarvud. Jagamine on võimalik, kui polünoomi dividendi määr on
Mitte vähem kraadi jagaja polünoom
, see on
.

Polünoomi jagamine
polünoomiks
,
, tähendab kahe sellise polünoomi leidmist
Ja
, kuni

Sel juhul polünoom
kraadid
helistas polünoom-jagatis ,
– Meeldetuletus ,
.

Märkus 3.2. Kui jagaja
–ei ole nullpolünoom, siis jagamine
peal
,
, on alati teostatav ning jagatis ja jääk on üheselt määratud.

Märkus 3.3. Juhul kui
kõigi ees , see on

nad ütlevad, et see on polünoom
täielikult jagatud(või aktsiaid)polünoomiks
.

Polünoomide jagamine toimub sarnaselt mitmekohaliste arvude jagamisele: esiteks jagatakse dividendipolünoomi juhtliige jagajapolünoomi juhtliikmega, seejärel nende liikmete jagamise jagatis, mis saadakse jagatispolünoomi juhtliige korrutatakse jagajapolünoomiga ja saadud korrutis lahutatakse dividendipolünoomist . Selle tulemusena saadakse polünoom - esimene jääk, mis jagatakse sarnasel viisil jagajapolünoomiga ja leitakse jagatispolünoomi teine liige. Seda protsessi jätkatakse seni, kuni saadakse nulljääk või jäägi polünoomi aste on väiksem kui jagajapolünoomi aste.

Polünoomi jagamisel binoomiga saab kasutada Horneri skeemi.

Horneri skeem

Oletame, et tahame polünoomi jagada

binoomi järgi
. Tähistame jagamise jagatist polünoomina

ja ülejäänud - . Tähendus , polünoomkoefitsiendid
,
ja ülejäänud Kirjutame selle järgmisel kujul:

Selles skeemis on iga koefitsient
,
,
, …,saadud eelmine kuupäev alumine rida korrutatud arvuga ja lisades saadud tulemusele vastava arvu soovitud koefitsiendi kohal ülemisel real. Kui mingi kraad polünoomil puudub, siis vastav koefitsient võrdne nulliga. Olles määranud koefitsiendid antud skeemi järgi, kirjutame jagatise

ja jagamise tulemus, kui
,

või ,

Kui
,

Teoreem 3.1. Et taandamatu murd (

,

)oli polünoomi juur
täisarvu koefitsientidega on vajalik, et arv oli vaba termini jagaja ja number - juhtiva koefitsiendi jagaja .

Teoreem 3.2. (Bezouti teoreem ) Ülejäänud polünoomi jagamisest
binoomi järgi
võrdne polünoomi väärtusega
juures
, see on
.

Polünoomi jagamisel
binoomi järgi
meil on võrdsus

See kehtib eriti siis, kui
, see on
.

Näide 3.2. Jagage poolt
.

Lahendus. Rakendame Horneri skeemi:

Seega

Näide 3.3. Jagage poolt
.

Lahendus. Rakendame Horneri skeemi:

Seega

Näide 3.4. Jagage poolt
.

Lahendus.

Selle tulemusena saame

Näide 3.5. Jaga
peal
.

Lahendus. Jagame polünoomid veeruga:

Siis saame

Mõnikord on kasulik esitada polünoomi kahe või enama polünoomi võrdsuskorrutis. Sellist identiteedi teisendust nimetatakse polünoomi faktoriseerimine . Vaatleme sellise lagunemise peamisi meetodeid.

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest. Polünoomi faktoriseerimiseks, võttes sulgudest välja ühisteguri, peate:

1) leidke ühistegur. Selleks, kui kõik polünoomi koefitsiendid on täisarvud, loetakse polünoomi kõigi koefitsientide suurim mooduli ühisjagaja ühisteguri koefitsiendiks ja iga polünoomi kõigis osades sisalduv muutuja võetakse suurimaga. astendaja, mis sellel polünoomil on;

2) leida jagamise jagatis antud polünoomühise teguri järgi;

3) kirjutab üles üldteguri ja saadud jagatise korrutis.

Liikmete rühmitamine. Polünoomi faktoriseerimisel rühmitusmeetodil jagatakse selle liikmed kaheks või enamaks rühmaks, nii et igaüks neist saab teisendada korrutiseks ning saadud korrutistel oleks ühine tegur. Pärast seda kasutatakse äsja teisendatud terminite ühisteguri sulgude sulgemise meetodit.

Lühendatud korrutusvalemite rakendamine. Juhtudel, kui laiendatav polünoom teguriteks, on mis tahes lühendatud korrutusvalemi parempoolse külje kujuline; selle faktoriseerimine saavutatakse erinevas järjekorras kirjutatud vastava valemi abil.

Lase

, siis alljärgnev on tõsi lühendatud korrutusvalemid:





Sest :
Kui kummaline ( ):
Newtoni binoom: Kus – kombinatsioonide arv Kõrval .

Uute abiliikmete tutvustus. See meetod seisneb polünoomi asendamises teise polünoomiga, mis on sellega identselt võrdne, kuid sisaldab erinevat arvu liikmeid, sisestades kaks vastandlikku liiget või asendades mis tahes liikme samalaadsete monomialide identselt võrdse summaga. Asendus tehakse nii, et saadud polünoomile saab rakendada terminite rühmitamise meetodit.

Näide 3.6..

Lahendus. Kõik polünoomi liikmed sisaldavad ühistegurit
. Seega,.

Vastus: .

Näide 3.7.

Lahendus. Eraldi rühmitame koefitsienti sisaldavad terminid ja termineid, mis sisaldavad . Bracketing ühised tegurid rühmad, saame:

Vastus:
.

Näide 3.8. Polünoomi kordamine
.

Lahendus. Kasutades sobivat lühendatud korrutamisvalemit, saame:

Vastus: .

Näide 3.9. Polünoomi kordamine
.

Lahendus. Kasutades rühmitusmeetodit ja vastavat lühendatud korrutamisvalemit, saame:

Vastus: .

Näide 3.10. Polünoomi kordamine
.

Lahendus. Me asendame peal
, rühmitage terminid, rakendage lühendatud korrutusvalemeid:

Vastus:
.

Näide 3.11. Polünoomi kordamine

Lahendus. sest ,
,
, See

Tund teemal: "Monoomi standardvorm. Definitsioon. Näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 7. klassile
Elektrooniline õpik "Arusaadav geomeetria" 7.-9.klassile
Multimeedia õpik "Geomeetria 10 minutiga" 7.-9.klassile

Monoomne. Definitsioon

Monoomne- See matemaatiline avaldis, mis on toode peamine tegur ja üks või mitu muutujat.

Monoomid sisaldavad kõiki numbreid, muutujaid ja nende astmeid koos naturaalse astendajaga:
42; 3; 0; 6 2; 2 3 ; b 3; kirves 4 ; 4x 3; 5a 2; 12xyz 3 .

Üsna sageli on raske kindlaks teha, kas antud matemaatiline avaldis viitab monoomile või mitte. Näiteks $\frac(4a^3)(5)$. Kas see on monoom või mitte? Sellele küsimusele vastamiseks peame väljendit lihtsustama, st. esinevad kujul: $\frac(4)(5)*a^3$.
Seda võime kindlalt öelda see väljend- monomiaalne

Monoomi standardvorm

Arvutamisel on soovitav monoomi vähendada standardvaade. See on monoomi kõige ülevaatlikum ja arusaadavam salvestus.

Monoomia standardvormiks redutseerimise protseduur on järgmine:
1. Korrutage monomiaalsete (või arvuliste tegurite) koefitsiendid ja asetage saadud tulemus esikohale.
2. Valige kõik sama tähepõhjaga astmed ja korrutage need.
3. Korrake punkti 2 kõigi muutujate jaoks.

Näited.
I. Vähendage antud monoom $3x^2zy^3*5y^2z^4$ standardvormile.

Lahendus.
1. Korrutage monoomi $15x^2y^3z * y^2z^4$ koefitsiendid.
2. Nüüd anname sarnased terminid 15х^2y^5z^5$.

II. Vähendage antud monoom $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ standardkujule.

Lahendus.
1. Korrutage monoomi $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$ koefitsiendid.
2. Nüüd esitame sarnased terminid $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Monoomi võimsus

Monoomial on selle astme mõiste. Mõtleme välja, mis see on.

Definitsioon.

Monoomi võimsus standardvorm on kõigi selle kirjes sisalduvate muutujate eksponentide summa; kui monoomi tähistuses pole muutujaid ja see erineb nullist, siis loetakse selle aste võrdne nulliga; arvu null loetakse monoomiks, mille aste on määratlemata.

Monoomi astme määramine võimaldab tuua näiteid. Monoomi a aste on võrdne ühega, kuna a on 1. Monoomia 5 võimsus on null, kuna see on nullist erinev ja selle tähistus ei sisalda muutujaid. Ja korrutis 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 on kaheksanda astme monoom, kuna kõigi muutujate a, x ja y eksponentide summa on võrdne 2+1+3+2=8.

Muide, standardkujul kirjutamata monomiumi aste on võrdne vastava standardvormi monomiumi astmega. Selle illustreerimiseks arvutame monoomi astme 3 x 2 a 3 x (−2) x 5 a. See standardkujul monoom on kujul −6·x 8 ·y 4, selle aste on 8+4=12. Seega on algse monoomi aste 12.

Monoomkoefitsient

Standardkujul olev monoom, mille tähistuses on vähemalt üks muutuja, on ühe arvulise teguriga korrutis - arvuline koefitsient. Seda koefitsienti nimetatakse monomiaalkoefitsiendiks. Sõnastame ülaltoodud argumendid definitsiooni kujul.

Definitsioon.

Monoomkoefitsient on standardkujul kirjutatud monomi numbriline tegur.

Nüüd saame tuua näiteid erinevate monomialide koefitsientide kohta. Arv 5 on definitsiooni järgi monoomi 5·a 3 koefitsient, samamoodi on monoomi (−2,3)·x·y·z koefitsient −2,3.

Erilist tähelepanu väärivad monomialide koefitsiendid, mis on võrdsed 1 ja −1. Asi on selles, et tavaliselt ei ole need salvestusel selgesõnaliselt olemas. Arvatakse, et standardvormi monomialide koefitsient, mille tähistuses pole numbrilist tegurit, võrdne ühega. Näiteks monomialid a, x·z 3, a·t·x jne. koefitsient on 1, kuna a võib pidada 1·a, x·z 3 - 1·x·z 3 jne.

Samamoodi loetakse miinus üheks monomialide koefitsient, mille standardkujul kirjetel ei ole arvulist tegurit ja mis algavad miinusmärgiga. Näiteks monomiaalid −x, −x 3 y z 3 jne. on koefitsient −1, kuna −x=(−1) x, −x 3 y z 3 = (−1) x 3 y z 3 ja nii edasi.

Muide, monoomi koefitsiendi mõistet nimetatakse sageli standardkujulisteks monomideks, mis on arvud ilma tähtteguriteta. Nendeks arvudeks loetakse selliste monomialarvude koefitsiente. Nii näiteks loetakse monoomi koefitsient 7 võrdseks 7-ga.

Bibliograafia.

Algebra:õpik 7. klassi jaoks Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. Kell 14 1. osa Õpik õpilastele õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 17. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 lk.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Märkasime, et iga monoom võib olla viia standardvormi. Selles artiklis mõistame, mida nimetatakse monomiaali standardvormi viimiseks, millised toimingud võimaldavad seda protsessi läbi viia, ja kaalume üksikasjalike selgitustega näidete lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Mida tähendab monoomi taandamine standardvormile?

Monoomidega on mugav töötada, kui need on kirjutatud standardvormis. Üsna sageli on monomiaalid aga määratud tavalisest erineval kujul. Sellistel juhtudel saate identiteedi teisendusi tehes alati algselt monoomilt standardvormi monomile üle minna. Selliste teisenduste läbiviimise protsessi nimetatakse monomiaali taandamiseks standardvormiks.

Võtame ülaltoodud argumendid kokku. Vähendage monomiat standardvormile- see tähendab temaga järgmist identiteedi transformatsioonid nii et see võtab standardvormi.

Kuidas viia monoom standardvormi?

On aeg välja mõelda, kuidas taandada monoomid standardvormile.

Definitsioonist on teada, et mittestandardse kujuga monomiaalid on arvude, muutujate ja nende astmete ning võimalusel ka korduvate korrutised. Ja tüüpvormi monoom võib oma tähistuses sisaldada ainult ühte arvu ja mittekorduvaid muutujaid või nende astmeid. Nüüd jääb üle mõista, kuidas viia esimest tüüpi tooted teise tüübi alla?

Selleks peate kasutama järgmist monoomi standardvormiks taandamise reegel koosneb kahest etapist:

Esiteks viiakse läbi arvuliste tegurite rühmitamine, samuti identsed muutujad ja nende võimsused;
Teiseks arvutatakse ja rakendatakse arvude korrutis.

Nimetatud reegli rakendamise tulemusena taandatakse iga monoom standardvormile.

Näited, lahendused

Jääb üle vaid õppida, kuidas reeglit rakendada eelmine lõik näidete lahendamisel.

Näide.

Vähendage monomilist 3 x 2 x 2 standardvormile.

Lahendus.

Rühmitame arvulised tegurid ja tegurid muutujaga x. Pärast rühmitamist saab algne monoom kuju (3·2)·(x·x 2) . Esimeste sulgude arvude korrutis on 6 ja reegel astmete korrutamiseks samadel alustel võimaldab teises sulgudes olevat avaldist esitada kujul x 1 +2=x 3. Selle tulemusena saame polünoomi standardkujul 6 x 3.

Siin on lahenduse lühikokkuvõte: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Vastus:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Seega, et viia monomial standardvormile, peate suutma tegureid rühmitada, arve korrutada ja töötada astmetega.

Materjali koondamiseks lahendame veel ühe näite.

Näide.

Esitage monoom standardkujul ja märkige selle koefitsient.

Lahendus.

Algse monoomi tähistuses on üks arvutegur −1, liigutame selle algusesse. Pärast seda rühmitame tegurid eraldi muutujaga a, eraldi muutujaga b ja muutujat m pole millegagi grupeerida, jätame selle nii nagu on, meil on . Pärast sulgudes olevate astmetega toimingute sooritamist saab monomial meile vajaliku standardvormi, millest näeme monoomi koefitsienti, mis on võrdne -1. Miinus ühe saab asendada miinusmärgiga: .