Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")
En aritmetisk progression er en række tal, hvor hvert tal er større (eller mindre) end det foregående med samme mængde.
Dette emne virker ofte komplekst og uforståeligt. Indekserne for bogstaverne, det n'te led af progressionen, forskellen på progressionen - alt dette er på en eller anden måde forvirrende, ja... Lad os finde ud af betydningen af den aritmetiske progression, og alt vil blive bedre med det samme.)
Begrebet aritmetisk progression.
Aritmetisk progression er et meget enkelt og klart koncept. Er du i tvivl? Forgæves.) Se selv.
Jeg vil skrive en ufærdig række tal:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Kan du forlænge denne serie? Hvilke tal kommer dernæst efter de fem? Alle... øh..., kort sagt, alle vil indse, at tallene 6, 7, 8, 9 osv. kommer næste gang.
Lad os komplicere opgaven. Jeg giver dig en ufærdig række af tal:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Du vil være i stand til at fange mønsteret, udvide serien og navngive syvende rækkenummer?
Hvis du indså, at dette tal er 20, tillykke! Ikke kun følte du nøglepunkter i aritmetisk progression, men også med succes brugt dem i erhvervslivet! Hvis du ikke har fundet ud af det, så læs videre.
Lad os nu oversætte nøglepunkterne fra sansninger til matematik.)
Første nøglepunkt.
Aritmetisk progression omhandler talrækker. Dette er forvirrende i starten. Vi er vant til at løse ligninger, tegne grafer og alt det der... Men her forlænger vi rækken, finder rækkens nummer...
Det er ok. Det er bare, at progressioner er det første bekendtskab med en ny gren af matematik. Afsnittet hedder "Serie" og arbejder specifikt med rækker af tal og udtryk. Bliv vant til det.)
Andet nøglepunkt.
I en aritmetisk progression er ethvert tal anderledes end det foregående med samme beløb.
I det første eksempel er denne forskel én. Uanset hvilket nummer du tager, er det et mere end det forrige. I den anden - tre. Ethvert tal er tre mere end det foregående. Faktisk er det dette øjeblik, der giver os mulighed for at forstå mønsteret og beregne efterfølgende tal.
Tredje nøglepunkt.
Dette øjeblik er ikke slående, ja... Men det er meget, meget vigtigt. Her er han: Hvert progressionsnummer er på sin plads. Der er det første tal, der er det syvende, der er det femogfyrre osv. Hvis du blander dem tilfældigt, forsvinder mønsteret. Aritmetisk progression vil også forsvinde. Det, der er tilbage, er kun en række tal.
Det er hele pointen.
Naturligvis dukker der nye termer og betegnelser op i et nyt emne. Du skal kende dem. Ellers forstår du ikke opgaven. For eksempel bliver du nødt til at beslutte noget som:
Skriv de første seks led ned i den aritmetiske progression (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.
Inspirerende?) Breve, nogle indekser... Og opgaven kunne i øvrigt ikke være enklere. Du skal blot forstå betydningen af begreberne og betegnelserne. Nu vil vi mestre denne sag og vende tilbage til opgaven.
Vilkår og betegnelser.
Aritmetisk progression er en række tal, hvor hvert tal er forskelligt fra det foregående med samme beløb.
Denne mængde kaldes . Lad os se på dette koncept mere detaljeret.
Aritmetisk progressionsforskel.
Aritmetisk progressionsforskel er det beløb, som ethvert progressionsnummer med mere forrige.
En vigtig pointe. Vær venligst opmærksom på ordet "mere". Matematisk betyder det, at hvert progressionsnummer er ved at tilføje forskellen i aritmetisk progression til det foregående tal.
For at beregne, lad os sige anden numre i serien, skal du først nummer tilføje netop denne forskel på en aritmetisk progression. Til beregning femte- forskellen er nødvendig tilføje Til fjerde, godt osv.
Aritmetisk progressionsforskel Måske positiv, så vil hvert tal i serien vise sig at være ægte mere end den forrige. Denne progression kaldes stigende. For eksempel:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Her fås hvert nummer ved at tilføje positivt tal, +5 til det forrige.
Forskellen kan være negativ, så vil hvert tal i serien være mindre end den forrige. Denne progression kaldes (du vil ikke tro det!) faldende.
For eksempel:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Her fås også hvert nummer ved at tilføje til den forrige, men allerede et negativt tal, -5.
Forresten, når man arbejder med progression, er det meget nyttigt straks at bestemme dens karakter - om det er stigende eller faldende. Dette hjælper meget med at navigere i beslutningen, opdage dine fejl og rette dem, før det er for sent.
Aritmetisk progressionsforskel normalt angivet med bogstavet d.
Sådan finder du d? Meget simpelt. Det er nødvendigt at trække fra ethvert tal i serien Tidligere nummer. Trække fra. Forresten kaldes resultatet af subtraktion "forskel".)
Lad os definere f.eks. d for at øge aritmetisk progression:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Vi tager et hvilket som helst tal i rækken, som vi ønsker, for eksempel 11. Vi trækker fra det tidligere nummer de der. 8:
Dette er det rigtige svar. For denne aritmetiske progression er forskellen tre.
Du kan tage det ethvert progressionsnummer, fordi for en bestemt progression d-altid den samme. I hvert fald et sted i begyndelsen af rækken, i hvert fald i midten, i hvert fald hvor som helst. Du kan ikke kun tage det allerførste tal. Simpelthen fordi det allerførste nummer ingen tidligere.)
Forresten, ved det d=3, at finde det syvende tal i denne progression er meget simpelt. Lad os lægge 3 til det femte tal - vi får det sjette tal, det bliver 17. Lad os lægge tre til det sjette tal, vi får det syvende tal - tyve.
Lad os definere d for faldende aritmetisk progression:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Jeg minder dig om, at uanset tegnene, at bestemme d behov fra et hvilket som helst nummer fjerne den forrige. Vælg et hvilket som helst progressionsnummer, for eksempel -7. Hans tidligere tal er -2. Derefter:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Forskellen på en aritmetisk progression kan være et hvilket som helst tal: heltal, brøk, irrationel, et hvilket som helst tal.
Andre udtryk og betegnelser.
Hvert tal i serien kaldes medlem af en aritmetisk progression.
Hvert medlem af progressionen har sit eget nummer. Tallene er strengt i orden, uden nogen tricks. Første, anden, tredje, fjerde osv. For eksempel, i forløbet 2, 5, 8, 11, 14, ... to er det første led, fem er det andet, elleve er det fjerde, ja, du forstår...) Forstå venligst tydeligt - selve tallene kan være absolut hvad som helst, hel, brøkdel, negativ, hvad som helst, men nummerering af numre- strengt taget i orden!
Hvordan skriver man en progression i generel form? Intet problem! Hvert tal i en serie skrives som et bogstav. For at betegne en aritmetisk progression bruges bogstavet normalt -en. Medlemsnummeret er angivet med et indeks nederst til højre. Vi skriver termer adskilt af kommaer (eller semikolon), som dette:
en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....
en 1- dette er det første nummer, en 3- tredje osv. Ikke noget fancy. Denne serie kan kort skrives sådan: (en n).
Der sker fremskridt endelig og uendelig.
Ultimativt progressionen har et begrænset antal medlemmer. Fem, otteogtredive, hvad som helst. Men det er et begrænset antal.
Uendelig progression - har et uendeligt antal medlemmer, som du måske kan gætte.)
Du kan skrive den endelige progression gennem en serie som denne, alle udtryk og en prik til sidst:
en 1, en 2, en 3, en 4, en 5.
Eller sådan her, hvis der er mange medlemmer:
en 1, en 2, ... en 14, en 15.
I den korte post skal du desuden angive antallet af medlemmer. For eksempel (for tyve medlemmer), sådan her:
(a n), n = 20
En uendelig progression kan genkendes af ellipsen i slutningen af rækken, som i eksemplerne i denne lektion.
Nu kan du løse opgaverne. Opgaverne er enkle, udelukkende for at forstå betydningen af en aritmetisk progression.
Eksempler på opgaver om aritmetisk progression.
Lad os se nærmere på opgaven ovenfor:
1. Skriv de første seks led af den aritmetiske progression (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.
Vi oversætter opgaven til et forståeligt sprog. Der er givet en uendelig aritmetisk progression. Det andet nummer af denne progression er kendt: a 2 = 5. Progressionsforskellen er kendt: d = -2,5. Vi skal finde det første, tredje, fjerde, femte og sjette led i denne progression.
For klarhedens skyld vil jeg skrive en serie ned i henhold til problemets betingelser. De første seks termer, hvor den anden term er fem:
en 1, 5, en 3, en 4, en 5, en 6,....
en 3 = en 2 + d
Erstatning til udtryk a 2 = 5 Og d = -2,5. Glem ikke minus!
en 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Den tredje periode viste sig at være mindre end den anden. Alt er logisk. Hvis tallet er større end det foregående negativ værdi, hvilket betyder, at selve tallet vil være mindre end det foregående. Progressionen er aftagende. Okay, lad os tage det i betragtning.) Vi tæller den fjerde term i vores serie:
en 4 = en 3 + d
en 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
en 5 = en 4 + d
en 5=0+(-2,5)= - 2,5
en 6 = en 5 + d
en 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Så termer fra den tredje til den sjette blev beregnet. Resultatet er følgende serie:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Det er tilbage at finde det første udtryk en 1 ifølge den velkendte anden. Dette er et skridt i den anden retning, til venstre.) Altså forskellen i den aritmetiske progression d skal ikke tilføjes en 2, A tag væk:
en 1 = en 2 - d
en 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Det er det. Opgavebesvarelse:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
I forbifarten vil jeg bemærke, at vi løste denne opgave tilbagevendende vej. Dette forfærdelige ord betyder kun søgningen efter et medlem af progressionen ifølge det foregående (tilstødende) nummer. Vi vil se på andre måder at arbejde med progression nedenfor.
En vigtig konklusion kan drages af denne enkle opgave.
Husk:
Hvis vi kender mindst et led og forskellen på en aritmetisk progression, kan vi finde et hvilket som helst led i denne progression.
Kan du huske? Denne enkle konklusion giver dig mulighed for at løse de fleste problemer i skoleforløbet om dette emne. Alle opgaver kredser om tre hovedparametre: medlem af en aritmetisk progression, forskel på en progression, nummer på et medlem af progressionen. Alle.
Selvfølgelig er al tidligere algebra ikke annulleret.) Uligheder, ligninger og andre ting er knyttet til progression. Men i henhold til selve progressionen- alt drejer sig om tre parametre.
Lad os som et eksempel se på nogle populære opgaver om dette emne.
2. Skriv den endelige aritmetiske progression som en række, hvis n=5, d = 0,4 og a 1 = 3,6.
Alt er enkelt her. Alt er allerede givet. Du skal huske, hvordan medlemmerne af en aritmetisk progression tælles, tælle dem og skrive dem ned. Det er tilrådeligt ikke at gå glip af ordene i opgavebetingelserne: "endelig" og " n=5". For ikke at tælle før du er helt blå i ansigtet.) Der er kun 5 (fem) medlemmer i denne progression:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
en 4 = en 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
en 5 = en 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Det er tilbage at skrive svaret ned:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
En anden opgave:
3. Bestem, om tallet 7 vil være et medlem af den aritmetiske progression (a n), hvis a1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Hvem ved? Hvordan bestemmer man noget?
Hvordan-hvordan... Skriv forløbet ned i form af en serie og se, om der kommer en syv der eller ej! Vi tæller:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
en 4 = en 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Nu er det tydeligt at se, at vi kun er syv slap igennem mellem 6,5 og 7,7! Syv faldt ikke ind i vores talrække, og derfor vil syv ikke være medlem af den givne progression.
Svar: nej.
Og her er et problem baseret på en rigtig version af GIA:
4. Flere på hinanden følgende led i den aritmetiske progression er skrevet ud:
...; 15; X; 9; 6; ...
Her er en serie skrevet uden ende og begyndelse. Ingen medlemsnumre, ingen forskel d. Det er ok. For at løse problemet er det nok at forstå betydningen af en aritmetisk progression. Lad os se og se, hvad der er muligt at vide fra denne serie? Hvad er de tre hovedparametre?
Medlemstal? Der er ikke et eneste tal her.
Men der er tre tal og - opmærksomhed! - ord "konsekvent" i stand. Det betyder, at tallene er strengt i orden, uden huller. Er der to i denne række? nabo kendte tal? Ja jeg har! Disse er 9 og 6. Derfor kan vi beregne forskellen på den aritmetiske progression! Træk fra seks Tidligere nummer, dvs. ni:
Der er kun småting tilbage. Hvilket tal vil være det forrige for X? Femten. Det betyder, at X let kan findes ved simpel addition. Tilføj forskellen mellem den aritmetiske progression til 15:
Det er alt. Svar: x=12
Vi løser selv følgende problemer. Bemærk: disse problemer er ikke baseret på formler. Rent for at forstå betydningen af en aritmetisk progression.) Vi skriver bare en række tal og bogstaver ned, ser og finder ud af det.
5. Find det første positive led i den aritmetiske progression, hvis a 5 = -3; d = 1,1.
6. Det er kendt, at tallet 5,5 er et medlem af den aritmetiske progression (a n), hvor a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestem tallet n for dette medlem.
7. Det er kendt, at i aritmetisk progression a 2 = 4; a 5 = 15,1. Find en 3.
8. Flere på hinanden følgende led i den aritmetiske progression er skrevet ud:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Find leddet for progressionen angivet med bogstavet x.
9. Toget begyndte at bevæge sig fra stationen og øgede ensartet hastigheden med 30 meter i minuttet. Hvad bliver togets hastighed om fem minutter? Giv dit svar i km/time.
10. Det er kendt, at i aritmetisk progression a 2 = 5; a 6 = -5. Find en 1.
Svar (i uorden): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Alt fungerede? Fantastiske! Du kan mestre aritmetisk progression på et højere niveau i de følgende lektioner.
Gik alting ikke? Intet problem. I specialafsnit 555 er alle disse problemer sorteret fra stykke for stykke.) Og selvfølgelig beskrives en simpel praktisk teknik, der straks fremhæver løsningen på sådanne opgaver klart, klart, med et blik!
I togpuslespillet er der i øvrigt to problemer, som folk ofte snubler over. Den ene er udelukkende med hensyn til progression, og den anden er generel for alle problemer i matematik og fysik også. Dette er en oversættelse af dimensioner fra den ene til den anden. Det viser, hvordan disse problemer skal løses.
I denne lektion så vi på den elementære betydning af en aritmetisk progression og dens hovedparametre. Dette er nok til at løse næsten alle problemer om dette emne. Tilføje d til tallene, skriv en serie, alt vil blive løst.
Fingeropløsningen fungerer godt til meget korte stykker af en række, som i eksemplerne i denne lektion. Hvis serien er længere, bliver beregningerne mere komplicerede. For eksempel, hvis vi i opgave 9 i spørgsmålet erstatter "fem minutter" på "femogtredive minutter" problemet vil blive væsentligt værre.)
Og der er også opgaver, der i bund og grund er enkle, men absurde med hensyn til beregninger, for eksempel:
Der gives en aritmetisk progression (a n). Find en 121, hvis a 1 =3 og d=1/6.
Så hvad, skal vi tilføje 1/6 mange, mange gange?! Du kan slå dig selv ihjel!?
Det kan du.) Hvis du ikke kender en simpel formel, hvormed du kan løse sådanne opgaver på et minut. Denne formel vil være i næste lektion. Og dette problem er løst der. Lige om lidt.)
Hvis du kan lide denne side...
Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)
Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)
Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.
Ja, ja: aritmetisk progression er ikke et stykke legetøj for dig :) Nå, venner, hvis du læser denne tekst, så fortæller de interne cap-beviser mig, at du endnu ikke ved, hvad en aritmetisk progression er, men du vil virkelig (nej, sådan: SÅÅÅÅ!) vide det. Derfor vil jeg ikke plage dig med lange introduktioner og kommer lige til sagen.
Først et par eksempler. Lad os se på flere sæt tal:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Hvad har alle disse sæt til fælles? Ved første øjekast ingenting. Men faktisk er der noget. Nemlig: hvert næste element adskiller sig fra det foregående med samme tal.
Døm selv. Det første sæt er simpelthen fortløbende tal, hvor hver næste er et mere end det foregående. I det andet tilfælde er forskellen mellem tilstødende tal allerede fem, men denne forskel er stadig konstant. I det tredje tilfælde er der rødder helt. Dog $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, og $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. og i dette tilfælde stiger hvert næste element simpelthen med $\sqrt(2)$ (og vær ikke bange for, at dette tal er irrationelt).
Altså: alle sådanne sekvenser kaldes aritmetiske progressioner. Lad os give en streng definition:
Definition. En talfølge, hvor hver næste adskiller sig fra den foregående med nøjagtig samme mængde, kaldes en aritmetisk progression. Selve mængden, som tallene adskiller sig med, kaldes progressionsforskellen og betegnes oftest med bogstavet $d$.
Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ er selve progressionen, $d$ er dens forskel.
Og lige et par vigtige bemærkninger. For det første overvejes kun progression bestilt talrække: de må læses strengt i den rækkefølge, de er skrevet i - og intet andet. Numre kan ikke omarrangeres eller ombyttes.
For det andet kan sekvensen i sig selv enten være endelig eller uendelig. For eksempel er mængden (1; 2; 3) åbenbart en finit aritmetisk progression. Men hvis du skriver noget i ånden (1; 2; 3; 4; ...) - er dette allerede en uendelig progression. Ellipsen efter de fire synes at antyde, at der er en del flere numre på vej. Uendeligt mange f.eks. :)
Jeg vil også gerne bemærke, at progressioner kan være stigende eller faldende. Vi har allerede set stigende - det samme sæt (1; 2; 3; 4; ...). Her er eksempler på faldende progressioner:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Okay, okay: Det sidste eksempel kan virke alt for kompliceret. Men resten, tror jeg, du forstår. Derfor introducerer vi nye definitioner:
Definition. En aritmetisk progression kaldes:
- stigende, hvis hvert næste element er større end det foregående;
- faldende, hvis hvert efterfølgende element derimod er mindre end det foregående.
Derudover er der såkaldte "stationære" sekvenser - de består af det samme gentagne nummer. For eksempel (3; 3; 3; ...).
Der er kun ét spørgsmål tilbage: hvordan skelner man en stigende progression fra en aftagende? Heldigvis afhænger alt her kun af tegnet for tallet $d$, dvs. progressionsforskelle:
- Hvis $d \gt 0$, så stiger progressionen;
- Hvis $d \lt 0$, så er progressionen åbenbart faldende;
- Endelig er der tilfældet $d=0$ - i dette tilfælde er hele progressionen reduceret til en stationær sekvens af identiske tal: (1; 1; 1; 1; ...), osv.
Lad os prøve at beregne forskellen $d$ for de tre faldende progressioner givet ovenfor. For at gøre dette er det nok at tage to tilstødende elementer (for eksempel den første og anden) og trække tallet til venstre fra tallet til højre. Det vil se sådan ud:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Som vi kan se, viste forskellen sig faktisk at være negativ i alle tre tilfælde. Og nu hvor vi mere eller mindre har fundet ud af definitionerne, er det tid til at finde ud af, hvordan progressioner beskrives, og hvilke egenskaber de har.
Progressionsvilkår og gentagelsesformel
Da elementerne i vores sekvenser ikke kan ombyttes, kan de nummereres:
\[\venstre(((a)_(n)) \højre)=\venstre\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \højre\)\]
De enkelte elementer i dette sæt kaldes medlemmer af en progression. De er angivet med et nummer: første medlem, andet medlem osv.
Derudover, som vi allerede ved, er tilstødende vilkår for progressionen forbundet med formlen:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Højrepil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Kort sagt, for at finde $n$th led af en progression, skal du kende $n-1$th led og forskellen $d$. Denne formel kaldes tilbagevendende, fordi du med dens hjælp kun kan finde et hvilket som helst tal ved at kende den forrige (og faktisk alle de foregående). Dette er meget ubelejligt, så der er en mere snedig formel, der reducerer eventuelle beregninger til det første led og forskellen:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \højre)d\]
Du har sikkert allerede stødt på denne formel. De giver det gerne i alle mulige opslagsbøger og løsningsbøger. Og i enhver fornuftig matematik lærebog er den en af de første.
Jeg foreslår dog, at du øver dig lidt.
Opgave nr. 1. Skriv de første tre led ned i regneforløbet $\left(((a)_(n)) \right)$ hvis $((a)_(1))=8,d=-5$.
Løsning. Så vi kender det første led $((a)_(1))=8$ og forskellen på progressionen $d=-5$. Lad os bruge den netop angivne formel og erstatte $n=1$, $n=2$ og $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\venstre(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\venstre(2-1 \højre)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\venstre(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Svar: (8; 3; −2)
Det er alt! Bemærk venligst: vores progression er faldende.
Selvfølgelig kunne $n=1$ ikke erstattes - det første led er allerede kendt af os. Men ved at erstatte enhed, var vi overbevist om, at selv i den første periode virker vores formel. I andre tilfælde faldt alt til banal aritmetik.
Opgave nr. 2. Skriv de første tre led i en aritmetisk progression ned, hvis dens syvende led er lig med -40 og dens syttende led er lig med -50.
Løsning. Lad os skrive problemtilstanden i velkendte termer:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \højre.\]
Jeg sætter systemtegnet, fordi disse krav skal opfyldes samtidigt. Lad os nu bemærke, at hvis vi trækker den første fra den anden ligning (vi har ret til at gøre dette, da vi har et system), får vi dette:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\venstre(((a)_(1))+6d \right)=-50-\venstre(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Så nemt er det at finde progressionsforskellen! Tilbage er blot at erstatte det fundne tal i en hvilken som helst af systemets ligninger. For eksempel i den første:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]
Nu, når man kender det første led og forskellen, er det tilbage at finde det andet og tredje udtryk:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Parat! Problemet er løst.
Svar: (−34; −35; −36)
Læg mærke til den interessante egenskab ved progression, som vi opdagede: hvis vi tager $n$th og $m$th led og trækker dem fra hinanden, får vi forskellen på progressionen ganget med $n-m$ tallet:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \venstre(n-m \højre)\]
En enkel, men meget nyttig egenskab, som du helt sikkert har brug for at kende - med dens hjælp kan du markant fremskynde løsningen af mange progressionsproblemer. Her er et tydeligt eksempel på dette:
Opgave nr. 3. Det femte led i en aritmetisk progression er 8,4, og dets tiende led er 14,4. Find det femtende led i denne progression.
Løsning. Da $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, og vi skal finde $((a)_(15))$, bemærker vi følgende:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Men efter betingelse $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, derfor $5d=6$, hvorfra vi har:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Svar: 20.4
Det er alt! Vi behøvede ikke oprette nogen ligningssystemer og beregne det første led og forskellen - alt blev løst på blot et par linjer.
Lad os nu se på en anden type problem – at søge efter negative og positive udtryk for en progression. Det er ingen hemmelighed, at hvis en progression stiger, og dens første term er negativ, så vil der før eller senere vises positive udtryk i den. Og omvendt: Vilkårene for en faldende progression vil før eller siden blive negative.
Samtidig er det ikke altid muligt at finde dette øjeblik "head-on" ved sekventielt at gennemgå elementerne. Ofte er problemer skrevet på en sådan måde, at uden at kende formlerne, ville beregningerne tage flere ark papir – vi ville simpelthen falde i søvn, mens vi fandt svaret. Lad os derfor prøve at løse disse problemer på en hurtigere måde.
Opgave nr. 4. Hvor mange negative led er der i den aritmetiske progression −38,5; −35,8; ...?
Løsning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, hvorfra vi straks finder forskellen:
Bemærk, at forskellen er positiv, så progressionen øges. Det første led er negativt, så på et tidspunkt vil vi faktisk støde på positive tal. Spørgsmålet er bare, hvornår det sker.
Lad os prøve at finde ud af, hvor længe (dvs. op til hvilket naturligt tal $n$) negativiteten af vilkårene forbliver:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Højrepil ((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\venstre(n-1 \højre)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \venstre| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \venstre(n-1 \højre) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Højrepil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Den sidste linje kræver lidt forklaring. Så vi ved, at $n \lt 15\frac(7)(27)$. På den anden side er vi kun tilfredse med heltalsværdier af tallet (i øvrigt: $n\in \mathbb(N)$), så det største tilladte tal er netop $n=15$, og i intet tilfælde 16 .
Opgave nr. 5. I aritmetisk progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Find tallet på det første positive led i denne progression.
Dette ville være nøjagtig det samme problem som det forrige, men vi kender ikke $((a)_(1))$. Men naboleddene er kendt: $((a)_(5))$ og $((a)_(6))$, så vi kan nemt finde forskellen på progressionen:
Lad os desuden prøve at udtrykke det femte led gennem det første og forskellen ved hjælp af standardformlen:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Nu fortsætter vi analogt med den foregående opgave. Lad os finde ud af, på hvilket tidspunkt i vores rækkefølge positive tal vises:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\venstre(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Højrepil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Minimumsheltalsløsningen til denne ulighed er tallet 56.
Bemærk venligst: i den sidste opgave kom alt ned til streng ulighed, så muligheden $n=55$ vil ikke passe os.
Nu hvor vi har lært at løse simple problemer, lad os gå videre til mere komplekse. Men lad os først studere en anden meget nyttig egenskab ved aritmetiske progressioner, som vil spare os for en masse tid og ulige celler i fremtiden. :)
Aritmetisk middelværdi og lige store fordybninger
Lad os betragte flere på hinanden følgende led i den stigende aritmetiske progression $\left(((a)_(n)) \right)$. Lad os prøve at markere dem på tallinjen:
Vilkår for en aritmetisk progression på tallinjenJeg markerede specifikt vilkårlige udtryk $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, og ikke nogle $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ osv. Fordi reglen, som jeg vil fortælle dig om nu, fungerer på samme måde for alle "segmenter".
Og reglen er meget enkel. Lad os huske den tilbagevendende formel og skrive den ned for alle markerede udtryk:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Disse ligheder kan dog omskrives anderledes:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Nå, hvad så? Og det faktum, at termerne $((a)_(n-1))$ og $((a)_(n+1))$ ligger i samme afstand fra $((a)_(n)) $ . Og denne afstand er lig med $d$. Det samme kan siges om begreberne $((a)_(n-2))$ og $((a)_(n+2))$ - de er også fjernet fra $((a)_(n) )$ i samme afstand lig med $2d$. Vi kan fortsætte i det uendelige, men betydningen illustreres godt af billedet
Vilkårene for progressionen ligger i samme afstand fra centrum Hvad betyder det for os? Det betyder, at $((a)_(n))$ kan findes, hvis nabotallene er kendt:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Vi har udledt et fremragende udsagn: hvert led i en aritmetisk progression er lig med det aritmetiske middelværdi af dens naboled! Desuden: vi kan træde tilbage fra vores $((a)_(n))$ til venstre og til højre ikke med et trin, men med $k$ trin - og formlen vil stadig være korrekt:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]
De der. vi kan nemt finde nogle $((a)_(150))$, hvis vi kender $((a)_(100))$ og $((a)_(200))$, fordi $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ved første øjekast kan det se ud til, at dette faktum ikke giver os noget nyttigt. Men i praksis er mange problemer specielt skræddersyet til at bruge det aritmetiske gennemsnit. Tag et kig:
Opgave nr. 6. Find alle værdier af $x$, for hvilke tallene $-6((x)^(2))$, $x+1$ og $14+4((x)^(2))$ er på hinanden følgende led af en aritmetisk progression (i den angivne rækkefølge).
Løsning. Da disse tal er medlemmer af en progression, er den aritmetiske middel-betingelse opfyldt for dem: det centrale element $x+1$ kan udtrykkes i form af naboelementer:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Resultatet er en klassisk andengradsligning. Dens rødder: $x=2$ og $x=-3$ er svarene.
Svar: −3; 2.
Opgave nr. 7. Find værdierne af $$, for hvilke tallene $-1;4-3;(()^(2))+1$ danner en aritmetisk progression (i nævnte rækkefølge).
Løsning. Lad os igen udtrykke mellemleddet gennem det aritmetiske middelværdi af naboled:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \venstre| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Andengradsligning igen. Og igen er der to rødder: $x=6$ og $x=1$.
Svar: 1; 6.
Hvis du i færd med at løse et problem kommer med nogle brutale tal, eller du ikke er helt sikker på rigtigheden af de fundne svar, så er der en vidunderlig teknik, der giver dig mulighed for at tjekke: har vi løst problemet korrekt?
Lad os sige, at vi i opgave nr. 6 modtog svar −3 og 2. Hvordan kan vi kontrollere, at disse svar er rigtige? Lad os bare sætte dem i den originale tilstand og se, hvad der sker. Lad mig minde dig om, at vi har tre tal ($-6(()^(2))$, $+1$ og $14+4(()^(2))$), som skal danne en aritmetisk progression. Lad os erstatte $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Højrepil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Vi fik tallene -54; −2; 50, der adskiller sig med 52, er uden tvivl en aritmetisk progression. Det samme sker for $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Højrepil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Igen en progression, men med en forskel på 27. Dermed var problemet løst korrekt. De, der ønsker det, kan kontrollere det andet problem på egen hånd, men jeg vil sige med det samme: alt er også korrekt der.
Generelt, mens vi løste de sidste problemer, stødte vi på et andet interessant faktum, som også skal huskes:
Hvis tre tal er sådan, at det andet er det aritmetiske middelværdi af det første og det sidste, danner disse tal en aritmetisk progression.
I fremtiden vil forståelsen af denne erklæring give os mulighed for bogstaveligt talt at "konstruere" de nødvendige progressioner baseret på betingelserne for problemet. Men før vi engagerer os i en sådan "konstruktion", bør vi være opmærksomme på endnu et faktum, som direkte følger af det, der allerede er blevet diskuteret.
Gruppering og summering af elementer
Lad os vende tilbage til talaksen igen. Lad os der bemærke flere medlemmer af progressionen, mellem hvilke evt. er værd for mange andre medlemmer:
Der er 6 elementer markeret på tallinjenLad os prøve at udtrykke "venstre hale" gennem $((a)_(n))$ og $d$, og den "højre hale" gennem $((a)_(k))$ og $d$. Det er meget enkelt:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Bemærk nu, at følgende beløb er ens:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Kort sagt, hvis vi som en start betragter to elementer af progressionen, som i alt er lig med et eller andet tal $S$, og derefter begynder at træde fra disse elementer i modsatte retninger (mod hinanden eller omvendt for at bevæge sig væk), derefter summen af de elementer, som vi vil snuble over, vil også være lige store$S$. Dette kan tydeligst repræsenteres grafisk:
Lige fordybninger giver lige store mængder At forstå denne kendsgerning vil give os mulighed for at løse problemer med et fundamentalt højere kompleksitetsniveau end dem, vi betragtede ovenfor. For eksempel disse:
Opgave nr. 8. Bestem forskellen på en aritmetisk progression, hvor det første led er 66, og produktet af det andet og tolvte led er det mindst mulige.
Løsning. Lad os skrive alt, hvad vi ved:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]
Så vi kender ikke progressionsforskellen $d$. Faktisk vil hele løsningen være bygget op omkring forskellen, da produktet $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan omskrives som følger:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \venstre(d+66 \højre)\cdot \venstre(d+6 \højre). \end(align)\]
For dem i tanken: Jeg tog den samlede multiplikator på 11 ud af den anden beslag. Det ønskede produkt er således en kvadratisk funktion i forhold til variablen $d$. Overvej derfor funktionen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - dens graf vil være en parabel med forgreninger op, fordi hvis vi udvider parenteserne, får vi:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Som du kan se, er koefficienten for det højeste led 11 - dette er et positivt tal, så vi har virkelig at gøre med en parabel med opadgående grene:
graf af en kvadratisk funktion - parabel
Bemærk venligst: denne parabel tager sin minimumsværdi ved sit toppunkt med abscissen $((d)_(0))$. Selvfølgelig kan vi beregne denne abscisse ved hjælp af standardskemaet (der er formlen $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det ville være meget mere rimeligt at bemærke at det ønskede toppunkt ligger på parablens aksesymmetri, derfor er punktet $((d)_(0))$ ækvidistant fra rødderne af ligningen $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Derfor havde jeg ikke særlig travlt med at åbne beslagene: i deres oprindelige form var rødderne meget, meget nemme at finde. Derfor er abscissen lig med det aritmetiske middelværdi af tallene -66 og -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Hvad giver det opdagede tal os? Med det får det påkrævede produkt den mindste værdi (i øvrigt har vi aldrig beregnet $((y)_(\min ))$ - dette kræves ikke af os). Samtidig er dette tal forskellen på den oprindelige progression, dvs. vi fandt svaret :)
Svar: -36
Opgave nr. 9. Mellem tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac(1)(6)$ indsættes tre tal, så de sammen med disse tal danner en aritmetisk progression.
Løsning. Grundlæggende skal vi lave en sekvens af fem tal, hvor det første og sidste tal allerede er kendt. Lad os betegne de manglende tal med variablerne $x$, $y$ og $z$:
\[\venstre(((a)_(n)) \right)=\venstre\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Bemærk, at tallet $y$ er "midten" af vores sekvens - det er lige langt fra tallene $x$ og $z$, og fra tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac (1)(6)$. Og hvis vi i øjeblikket ikke kan få $y$ fra tallene $x$ og $z$, så er situationen anderledes med enderne af progressionen. Lad os huske det aritmetiske middelværdi:
Nu, ved at kende $y$, vil vi finde de resterende tal. Bemærk, at $x$ ligger mellem tallene $-\frac(1)(2)$ og $y=-\frac(1)(3)$ vi lige har fundet. Derfor
Ved at bruge lignende ræsonnement finder vi det resterende tal:
Parat! Vi fandt alle tre numre. Lad os skrive dem i svaret i den rækkefølge, de skal indsættes mellem de oprindelige tal.
Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Opgave nr. 10. Mellem tallene 2 og 42 skal du indsætte flere tal, der sammen med disse tal danner en aritmetisk progression, hvis du ved, at summen af det første, andet og sidste af de indsatte tal er 56.
Løsning. Et endnu mere komplekst problem, som dog løses efter samme skema som de foregående - gennem det aritmetiske middelværdi. Problemet er, at vi ikke ved præcis, hvor mange tal der skal indsættes. Lad os derfor antage, at efter at have indsat alt, vil der være nøjagtige $n$-tal, og det første af dem er 2, og det sidste er 42. I dette tilfælde kan den nødvendige aritmetiske progression repræsenteres i formen:
\[\venstre(((a)_(n)) \højre)=\venstre\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Bemærk dog, at tallene $((a)_(2))$ og $((a)_(n-1))$ fås fra tallene 2 og 42 ved kanterne med et skridt mod hinanden, dvs. til midten af sekvensen. Og det betyder det
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Men så kan udtrykket skrevet ovenfor omskrives som følger:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \venstre(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Når vi kender $((a)_(3))$ og $((a)_(1))$, kan vi nemt finde forskellen på progressionen:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\venstre(3-1 \højre)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Højrepil d=5. \\ \end(align)\]
Tilbage er blot at finde de resterende udtryk:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Således vil vi allerede på 9. trin ankomme til venstre ende af sekvensen - tallet 42. I alt skulle der kun indsættes 7 tal: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Ordproblemer med progressioner
Afslutningsvis vil jeg gerne overveje et par relativt simple problemer. Nå, så simpelt er det: For de fleste elever, der læser matematik i skolen og ikke har læst det, der står ovenfor, kan disse problemer virke svære. Ikke desto mindre er disse typer problemer, der optræder i OGE og Unified State Examen i matematik, så jeg anbefaler, at du sætter dig ind i dem.
Opgave nr. 11. Holdet producerede 62 dele i januar, og i hver efterfølgende måned producerede de 14 flere dele end i den foregående måned. Hvor mange dele producerede holdet i november?
Løsning. Det er klart, at antallet af dele opført efter måned vil repræsentere en stigende aritmetisk progression. I øvrigt:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\venstre(n-1 \højre)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November er den 11. måned i året, så vi skal finde $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Derfor bliver der produceret 202 dele i november.
Opgave nr. 12. Bogbinderværkstedet har i januar indbundet 216 bøger og i hver efterfølgende måned indbundet 4 flere bøger end den foregående måned. Hvor mange bøger bandt workshoppen i december?
Løsning. Alt det samme:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\venstre(n-1 \højre)\cdot 4. \\ \end(align)$
December er årets sidste 12. måned, så vi leder efter $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Dette er svaret - 260 bøger bliver indbundet i december.
Nå, hvis du har læst så langt, skynder jeg mig at lykønske dig: du har gennemført "unge kæmperkurset" i aritmetiske progressioner. Du kan roligt gå videre til næste lektion, hvor vi vil studere formlen for summen af progression, samt vigtige og meget nyttige konsekvenser af den.
Lektion og oplæg om emnet: "Talsekvenser. Aritmetisk progression"
Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.
Pædagogiske hjælpemidler i netbutikken "Integral" til 9. klasses lærebøger
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.
Så hvad er aritmetisk progression?
En numerisk rækkefølge, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med summen af det foregående, og et eller andet fast tal kaldes en aritmetisk progression.
En aritmetisk progression er en tilbagevendende defineret numerisk progression.
Lad os nedskrive den tilbagevendende form: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, tal d – progressionsforskel. a og d er visse givne tal.
Eksempel. 1,4,7,10,13,16... En aritmetisk progression med $a=1, d=3$.
Eksempel. 3,0,-3,-6,-9... En aritmetisk progression med $a=3, d=-3$.
Eksempel. 5,5,5,5,5... En aritmetisk progression med $a=5, d=0$.
En aritmetisk progression har monotoniske egenskaber: hvis forskellen i progressionen er større end nul, så er sekvensen stigende, hvis forskellen i progressionen er mindre end nul, så er sekvensen aftagende.
Hvis en aritmetisk progression har et begrænset antal elementer, så kaldes progressionen en endelig aritmetisk progression.
Hvis en sekvens $a_(n)$ er givet, og det er en aritmetisk progression, så er det sædvanligt at betegne: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
Formel for det n. led i en aritmetisk progression
En aritmetisk progression kan også angives i analytisk form. Lad os se, hvordan du gør dette:$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Vi bemærker let mønsteret: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Vores formel kaldes formlen for det n'te led i en aritmetisk progression.
Lad os gå tilbage til vores eksempler og skrive vores formel ned for hvert eksempel.
Eksempel. 1,4,7,10,13,16... Aritmetisk progression, hvor a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.
Eksempel. 3,0,-3,-6,-9... Aritmetisk progression, hvor a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.
Eksempel. Givet en aritmetisk progression: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Det er kendt, at $a_(1)=5$, $d=3$. Find $a_(23)$.
b) Det er kendt, at $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Find n.
c) Det er kendt, at $d=-1$, $a_(22)=15$. Find $a_(1)$.
d) Det er kendt, at $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Find d.
Løsning.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.
Eksempel. Når man dividerer det niende led i en aritmetisk progression med det andet led, forbliver kvotienten 7, og når man dividerer det niende led med femte, er kvotienten 2, og resten er 5. Find det tredivte led i progressionen.
Løsning.
Lad os skrive sekventielt formlerne 2, 5 og 9 led i vores progression.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Vi ved også fra tilstanden:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Eller:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Lad os lave et ligningssystem:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
Efter at have løst systemet får vi: $d=6, a_(1)=1$.
Lad os finde $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.
Summen af endelig aritmetisk progression
Lad os have en endelig aritmetisk progression. Spørgsmålet opstår: er det muligt at beregne summen af alle dets medlemmer?Lad os prøve at forstå dette problem.
Lad en endelig aritmetisk progression gives: $a_(1),a_(2),...a_(n-1),a_(n)$.
Lad os introducere notationen for summen af dens led: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Lad os se på et konkret eksempel på, hvad beløbet er lig med.
Lad os få den aritmetiske progression 1,2,3,4,5...100.
Lad os så præsentere summen af dets medlemmer således:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Men en lignende formel er anvendelig for enhver aritmetisk progression:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Lad os skrive vores formel i det generelle tilfælde: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, hvor $k<1$.
Lad os udlede en formel til at beregne summen af led i en aritmetisk progression, skriv formlen to gange i forskellige rækkefølger:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Lad os lægge disse formler sammen:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Der er n led på højre side af vores lighed, og vi ved, at hver af dem er lig med $a_(1)+a_(n)$.
Derefter:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Vores formel kan også omskrives i formen: da $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
derefter $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Oftest er det mere praktisk at bruge denne særlige formel, så det er godt at huske det!
Eksempel. Der er givet en endelig aritmetisk progression.
Find:
a) $s_(22),hvis a_(1)=7, d=2$.
b) d,hvis $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Løsning.
a) Lad os bruge den anden sumformel $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 USD.
b) I dette eksempel vil vi bruge den første formel: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.
Eksempel. Find summen af alle ulige tocifrede tal.
Løsning.
Vilkårene for vores progression er: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Lad os finde nummeret på det sidste led i progressionen:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Lad os nu finde summen: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.
Eksempel. Fyrene gik på vandretur. Man ved, at de i den første time gik 500 m, hvorefter de begyndte at gå 25 meter mindre end i den første time. Hvor mange timer vil det tage dem at tilbagelægge 2975 meter?
Løsning.
Stien tilbagelagt i hver time kan repræsenteres som en aritmetisk progression:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450...$.
Forskellen i den aritmetiske progression er $d=-25$.
Afstanden tilbagelagt i 2975 meter er summen af vilkårene for en aritmetisk progression.
$S_(n)=2975$, hvor n er antallet af timer brugt på rejsen.
Derefter:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=$5950.
Divider begge sider med 25.
$40n-(n-1)n=$238.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Det er naturligvis mere logisk at vælge $n=7$.
Svar. Fyrene var på vejen i 7 timer.
Karakteristisk egenskab for en aritmetisk progression
Gutter, givet en aritmetisk progression, lad os overveje vilkårlige tre på hinanden følgende led af progressionen: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.Vi ved det:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Lad os sætte vores udtryk sammen:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Hvis progressionen er endelig, gælder denne lighed for alle led undtagen den første og den sidste.
Hvis det ikke er kendt på forhånd, hvilken form sekvensen har, men det vides at: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Så kan vi roligt sige, at der er tale om en aritmetisk progression.
En numerisk sekvens er en aritmetisk progression, når hvert medlem af denne progression er lig med det aritmetiske gennemsnit af to nabomedlemmer af vores progression (glem ikke, at for en endelig progression er denne betingelse ikke opfyldt for det første og sidste medlem af progressionen) .
Eksempel. Find x sådan, at $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – tre på hinanden følgende led af en aritmetisk progression.
Løsning. Lad os bruge vores formel:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Lad os tjekke, vores udtryk vil have formen: -2,2; -2,4; -2.6.
Det er klart, at disse er udtryk for en aritmetisk progression og $d=-0,2$.
Problemer, der skal løses selvstændigt
1. Find det enogtyvende led i den aritmetiske progression 38;30;22...2. Find det femtende led i den aritmetiske progression 10,21,32...
3. Det er kendt, at $a_(1)=7$, $d=8$. Find $a_(31)$.
4. Det er kendt, at $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Find n.
5. Find summen af de første sytten led i den aritmetiske progression 3;12;21….
6. Find x sådan, at $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – tre på hinanden følgende led af en aritmetisk progression.
Aritmetisk progression navngiv en talfølge (udtryk for en progression)
Hvor hvert efterfølgende led adskiller sig fra det foregående ved et nyt udtryk, som også kaldes trin eller progressionsforskel.
Ved at angive progressionstrinnet og dets første led kan du således finde et hvilket som helst af dets elementer ved hjælp af formlen
Egenskaber for en aritmetisk progression
1) Hvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra det andet tal, er det aritmetiske gennemsnit af de foregående og næste medlemmer af progressionen
Det modsatte er også sandt. Hvis det aritmetiske middelværdi af tilstødende ulige (lige) led i en progression er lig med det led, der står mellem dem, så er denne talfølge en aritmetisk progression. Ved at bruge denne erklæring er det meget nemt at kontrollere enhver sekvens.
Også ved egenskaben for aritmetisk progression kan ovenstående formel generaliseres til følgende
Dette er nemt at verificere, hvis du skriver vilkårene til højre for lighedstegnet
Det bruges ofte i praksis til at forenkle beregninger i opgaver.
2) Summen af de første n led i en aritmetisk progression beregnes ved hjælp af formlen
Husk godt formlen for summen af en aritmetisk progression; den er uundværlig i beregninger og findes ret ofte i simple livssituationer.
3) Hvis du ikke har brug for at finde hele summen, men en del af sekvensen fra dens k. led, så vil følgende sumformel være nyttig for dig
4) Af praktisk interesse er at finde summen af n led af en aritmetisk progression startende fra det k'te tal. For at gøre dette skal du bruge formlen
Dette afslutter det teoretiske materiale og går videre til at løse almindelige problemer i praksis.
Eksempel 1. Find det fyrretyvende led i den aritmetiske progression 4;7;...
Løsning:
Efter den tilstand vi har
Lad os bestemme progressionstrinnet
Ved hjælp af en velkendt formel finder vi det fyrretyvende led af progressionen
Eksempel 2. En aritmetisk progression er givet ved dens tredje og syvende led. Find det første led i progressionen og summen af ti.
Løsning:
Lad os nedskrive de givne elementer i progressionen ved hjælp af formlerne
Vi trækker den første fra den anden ligning, som følge heraf finder vi progressionstrinnet
Vi erstatter den fundne værdi i en af ligningerne for at finde det første led i den aritmetiske progression
Vi beregner summen af de første ti led i progressionen
Uden at bruge komplekse beregninger fandt vi alle de nødvendige mængder.
Eksempel 3. En aritmetisk progression er givet af nævneren og en af dens led. Find det første led i progressionen, summen af dets 50 led fra 50 og summen af de første 100.
Løsning:
Lad os nedskrive formlen for det hundrede element i progressionen
og find den første
Ud fra den første finder vi progressionens 50. led
Finde summen af delen af progressionen
og summen af de første 100
Progressionsbeløbet er 250.
Eksempel 4.
Find antallet af led i en aritmetisk progression, hvis:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Løsning:
Lad os skrive ligningerne i form af det første led og progressionstrinnet og bestemme dem
Vi erstatter de opnåede værdier i sumformlen for at bestemme antallet af led i summen
Vi udfører forenklinger
og løse andengradsligningen
Af de to fundne værdier passer kun tallet 8 til problemforholdene. Således er summen af de første otte led i progressionen 111.
Eksempel 5.
Løs ligningen
1+3+5+...+x=307.
Løsning: Denne ligning er summen af en aritmetisk progression. Lad os skrive dets første led og finde forskellen i progression