Sætning. Volumenet af en pyramide er lig med produktet af arealet af dens base og en tredjedel af dens højde.
Først beviser vi denne sætning for en trekantet pyramide, og derefter for en polygonal.
1) Ud fra den trekantede pyramide SABC (Fig. 102) vil vi konstruere et prisme SABCDE, hvis højde er lig med pyramidens højde, og den ene sidekant falder sammen med kanten SB. Lad os bevise, at pyramidens rumfang er en tredjedel af dette prismes rumfang. Lad os adskille denne pyramide fra prismet. Hvad der så bliver tilbage er den firkantede pyramide SADEC (som er vist separat for tydelighedens skyld). Lad os tegne et skæreplan i det gennem toppunktet S og diagonalen af basen DC. De resulterende to trekantede pyramider har et fælles toppunkt S og lige store baser DEC og DAC, liggende i samme plan; Det betyder, at ifølge pyramidelemmaet, der er bevist ovenfor, er disse lige store. Lad os sammenligne en af dem, nemlig SDEC, med denne pyramide. Basen af SDEC-pyramiden kan tages som \(\Delta\)SDE; så vil dens top være i punkt C, og dens højde vil være lig med højden af den givne pyramide. Da \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, så er pyramiderne SDEC og SABC ifølge samme lemma lige store.
Vi opdelte ABCDES-prismet i tre lige store pyramider: SABC, SDEC og SDAC. (Selvfølgelig kan ethvert trekantet prisme udsættes for en sådan opdeling. Dette er en af de vigtige egenskaber ved et trekantet prisme.) Summen af volumen af tre pyramider, der er lige stor med denne, udgør således prismets rumfang; derfor,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
hvor H er pyramidens højde.
2) Gennem noget toppunkt E (fig. 103) af bunden af den polygonale pyramide SABCDE tegner vi diagonalerne EB og EC.
Derefter tegner vi skæreplaner gennem kanten SE og hver af disse diagonaler. Derefter vil den polygonale pyramide blive opdelt i flere trekantede, der har en højde, der er fælles med den givne pyramide. Betegner områderne af baserne af trekantede pyramider ved b 1 ,b 2 ,b 3 og højde gennem H, vil vi have:
SABCDE volumen = 1/3 b 1H + 1/3 b 2H + 1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3 =
= (areal ABCDE) H/3.
Følge. Hvis V, B og H betyder tal, der i de tilsvarende enheder udtrykker volumen, basisareal og højde af enhver pyramide, så
Sætning. Rumfanget af en afkortet pyramide er lig med summen af rumfanget af tre pyramider, der har samme højde som højden af den afkortede pyramide, og baserne: den ene er den nederste base af denne pyramide, den anden er den øverste base, og arealet af bunden af den tredje pyramide er lig med det geometriske middelværdi af områderne af de øvre og nedre baser.
Lad arealerne af baserne i den afkortede pyramide (fig. 104) være B og b, højde H og volumen V (en afkortet pyramide kan være trekantet eller polygonal - det er ligegyldigt).
Det er påkrævet at bevise det
V = 1/3 BH + 1/3 b H+1/3H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
hvor √B b er den geometriske middelværdi mellem B og b.
For at bevise dette, lad os placere en lille pyramide på en mindre base, der komplementerer denne afkortede pyramide til en komplet. Så kan vi betragte volumenet af den afkortede pyramide V som forskellen mellem to volumener - den fulde pyramide og den øverste yderligere.
Efter at have angivet højden af den ekstra pyramide med bogstavet x, det finder vi ud af
V = 1/3 V (H+ x) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH+ (В - b)x].
For at finde højden x Lad os bruge sætningen fra , hvorefter vi kan skrive ligningen:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
For at forenkle denne ligning tager vi den aritmetiske kvadratrod af begge sider:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Fra denne ligning (som kan opfattes som en proportion) får vi:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
og derfor
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Ved at erstatte dette udtryk med formlen, vi udledte for volumen V, finder vi:
$$ V = \frac(1)(3)\venstre $$
Siden B - b= (√B + √ b) (√B - √ b), derefter ved at reducere brøken med forskellen √B - √ b vi får:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
dvs. vi får den formel, der skulle bevises.
Andre materialerDet vigtigste kendetegn ved enhver geometrisk figur i rummet er dens volumen. I denne artikel vil vi se på, hvad en pyramide med en trekant i bunden er, og vi vil også vise, hvordan man finder volumen af en trekantet pyramide - regulær fuld og afkortet.
Hvad er dette - en trekantet pyramide?
Alle har hørt om de gamle egyptiske pyramider, men de er regelmæssige firkantede, ikke trekantede. Lad os forklare, hvordan man får en trekantet pyramide.
Lad os tage en vilkårlig trekant og forbinde alle dens hjørner med et enkelt punkt placeret uden for denne trekants plan. Den resulterende figur vil blive kaldt en trekantet pyramide. Det er vist på figuren nedenfor.
Som du kan se, er den pågældende figur dannet af fire trekanter, som generelt er forskellige. Hver trekant er siderne af pyramiden eller dens ansigt. Denne pyramide kaldes ofte et tetraeder, det vil sige en tetraedrisk tredimensionel figur.
Ud over siderne har pyramiden også kanter (der er 6 af dem) og hjørner (af 4).
med trekantet bund
En figur, der er opnået ved hjælp af en vilkårlig trekant og et punkt i rummet, vil være en uregelmæssig skrå pyramide i det generelle tilfælde. Forestil dig nu, at den oprindelige trekant har identiske sider, og et punkt i rummet er placeret nøjagtigt over dets geometriske centrum i en afstand h fra trekantens plan. Pyramiden konstrueret ved hjælp af disse indledende data vil være korrekt.
Det er klart, at antallet af kanter, sider og toppunkter i en regulær trekantet pyramide vil være det samme som for en pyramide bygget af en vilkårlig trekant.
Den korrekte figur har dog nogle karakteristiske træk:
- dens højde trukket fra toppunktet vil nøjagtigt skære basen i det geometriske centrum (skæringspunktet for medianerne);
- den laterale overflade af en sådan pyramide er dannet af tre identiske trekanter, som er ligebenede eller ligesidede.
En regulær trekantet pyramide er ikke kun et rent teoretisk geometrisk objekt. Nogle strukturer i naturen har sin form, for eksempel diamantkrystalgitteret, hvor et kulstofatom er forbundet med fire af de samme atomer ved kovalente bindinger, eller et metanmolekyle, hvor pyramidens hjørner er dannet af brintatomer.
trekantet pyramide
Du kan bestemme volumenet af absolut enhver pyramide med en vilkårlig n-gon i bunden ved hjælp af følgende udtryk:
Her betegner symbolet So arealet af basen, h er højden af figuren tegnet til den markerede base fra toppen af pyramiden.
Da arealet af en vilkårlig trekant er lig med halvdelen af produktet af længden af dens side a og apotemet h a faldet på denne side, kan formlen for volumen af en trekantet pyramide skrives på følgende form:
V = 1/6 × a × h a × h
For den generelle type er det ikke en let opgave at bestemme højden. For at løse det er den nemmeste måde at bruge formlen for afstanden mellem et punkt (toppunkt) og en plan (trekantbase), repræsenteret ved en generel ligning.
For den rigtige har den et bestemt udseende. Arealet af bunden (af en ligesidet trekant) for det er lig med:
Hvis vi erstatter det med det generelle udtryk for V, får vi:
V = √3/12 × a 2 × h
Et særligt tilfælde er situationen, hvor alle sider af et tetraeder viser sig at være identiske ligesidede trekanter. I dette tilfælde kan dens volumen kun bestemmes baseret på viden om parameteren for dens kant a. Det tilsvarende udtryk ser sådan ud:
Afkortet pyramide
Hvis den øverste del, der indeholder toppunktet, er afskåret fra en regulær trekantet pyramide, får du en afkortet figur. I modsætning til den originale vil den bestå af to ligesidede trekantede baser og tre ligebenede trapezoider.
Billedet nedenfor viser, hvordan en almindelig afkortet trekantet pyramide lavet af papir ser ud.
For at bestemme volumenet af en afkortet trekantet pyramide skal du kende dens tre lineære karakteristika: hver af siderne af baserne og højden af figuren, svarende til afstanden mellem de øvre og nedre baser. Den tilsvarende formel for volumen er skrevet som følger:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Her er h højden på figuren, A og a er længderne af siderne af henholdsvis den store (nedre) og den lille (øverste) ligesidede trekant.
Løsningen af problemet
For at gøre informationen i artiklen mere overskuelig for læseren, vil vi med et tydeligt eksempel vise, hvordan man bruger nogle af de skrevne formler.
Lad volumen af den trekantede pyramide være 15 cm 3 . Det er kendt, at figuren er korrekt. Det er nødvendigt at finde apotemet a b af sidekanten, hvis man ved, at pyramidens højde er 4 cm.
Da figurens volumen og højde er kendt, kan du bruge den passende formel til at beregne længden af siden af dens base. Vi har:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Den beregnede længde af figurens apotem viste sig at være større end dens højde, hvilket er sandt for enhver type pyramide.
Sætning.
Pyramidens volumen er lig med en tredjedel af produktet af bundens areal og højden.
Bevis:
Først beviser vi sætningen for en trekantet pyramide, derefter for en vilkårlig.1. Overvej en trekantet pyramideOABCmed volumen V, grundarealS og højde h. Lad os tegne aksen åh (OM2- højde), overvej sektionenA1 B1 C1pyramide med et plan vinkelret på aksenÅhog derfor parallelt med basens plan. Lad os betegne medx abscisse punkt M1 skæring af dette plan med x-aksen, og igennemS(x)- Tværsnitsareal. Lad os udtrykke S(x) igennem S, h Og x. Bemærk at trekanter A1 I1 MED1 Og ABC'er ligner hinanden. Faktisk A1 I1 II AB, altså trekant OA 1 I 1 ligner trekant OAB. MED derfor, EN1 I1 : ENB= OA 1: OA .
retvinklede trekanter OA 1 I 1 og OAV er også ens (de har en fælles spids vinkel med toppunktet O). Derfor, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Dermed EN 1 I 1 : A B = x: h.På samme måde er det bevistB1 C1:Sol = X: h Og A1 C1:AC = X: h.Altså trekantA1 B1 C1 Og ABClignende med lighedskoefficient X: h.Derfor, S(x): S = (x: h)², eller S(x) = S x²/ h².
Lad os nu anvende den grundlæggende formel til at beregne volumen af legemer ved-en= 0, b =h vi får
Således er volumen af den oprindelige pyramide 1/3Sh. Sætningen er blevet bevist.
Følge:
Bind V af en afkortet pyramide, hvis højde er h, og hvis grundarealer er S og S1 , beregnes ved formlen
h - højden af pyramiden
Hold op - område af den øvre base
Langsommere - område af den nederste base
En pyramide er et polyeder med en polygon i bunden. Alle flader danner til gengæld trekanter, der konvergerer i et toppunkt. Pyramider er trekantede, firkantede og så videre. For at bestemme, hvilken pyramide der er foran dig, er det nok at tælle antallet af vinkler ved dens base. Definitionen af "højde på en pyramide" findes meget ofte i geometriproblemer i skolens læseplan. I denne artikel vil vi prøve at se på forskellige måder at finde det på.
Dele af pyramiden
Hver pyramide består af følgende elementer:
- sideflader, som har tre hjørner og konvergerer i spidsen;
- apotemet repræsenterer højden, der går ned fra dets top;
- toppen af pyramiden er et punkt, der forbinder sideribberne, men ligger ikke i bundens plan;
- basen er en polygon, hvorpå toppunktet ikke ligger;
- højden af en pyramide er et segment, der skærer toppen af pyramiden og danner en ret vinkel med dens base.
Hvordan man finder højden af en pyramide, hvis dens volumen er kendt
Gennem formlen V = (S*h)/3 (i formlen er V volumen, S er arealet af basen, h er pyramidens højde) finder vi, at h = (3*V)/ S. For at konsolidere materialet, lad os straks løse problemet. Den trekantede base er 50 cm 2 , mens dens volumen er 125 cm 3 . Højden af den trekantede pyramide er ukendt, og det er det, vi skal finde. Alt er enkelt her: vi indsætter dataene i vores formel. Vi får h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Hvordan finder man højden af en pyramide, hvis længden af diagonalen og dens kanter er kendt
Som vi husker, danner højden af pyramiden en ret vinkel med dens base. Det betyder, at højden, kanten og halvdelen af diagonalen tilsammen danner Mange husker selvfølgelig Pythagoras sætning. Når man kender to dimensioner, vil det ikke være svært at finde den tredje mængde. Lad os huske den velkendte sætning a² = b² + c², hvor a er hypotenusen og i vores tilfælde kanten af pyramiden; b - det første ben eller halvdelen af diagonalen og c - henholdsvis det andet ben eller højden af pyramiden. Fra denne formel c² = a² - b².
Nu er problemet: i en almindelig pyramide er diagonalen 20 cm, når kantens længde er 30 cm. Du skal finde højden. Vi løser: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Derfor c = √ 500 = omkring 22,4.
Sådan finder du højden af en afkortet pyramide
Det er en polygon med et tværsnit parallelt med sin base. Højden af en afkortet pyramide er det segment, der forbinder dens to baser. Højden kan findes for en regulær pyramide, hvis længden af diagonalerne på begge baser, samt pyramidens kant, er kendt. Lad diagonalen på den større base være d1, mens diagonalen på den mindre base er d2, og kanten har længden l. For at finde højden kan du sænke højderne fra de to øverste modstående punkter i diagrammet til dets base. Vi ser, at vi har to rette trekanter; det eneste, der er tilbage, er at finde længden af deres ben. For at gøre dette skal du trække den mindre fra den større diagonal og dividere med 2. Så vi finder det ene ben: a = (d1-d2)/2. Hvorefter vi ifølge Pythagoras sætning kun skal finde det andet ben, som er pyramidens højde.
Lad os nu se på det hele i praksis. Vi har en opgave foran os. En afkortet pyramide har en firkant i bunden, diagonallængden af den større base er 10 cm, mens den mindre er 6 cm, og kanten er 4 cm. Du skal finde højden. Først finder vi et ben: a = (10-6)/2 = 2 cm. Et ben er lig med 2 cm, og hypotenusen er 4 cm. Det viser sig, at det andet ben eller højde vil være lig med 16- 4 = 12, det vil sige h = √12 = ca. 3,5 cm.
Pyramide kaldet et polyeder, hvis basis er en vilkårlig polygon, og alle flader er trekanter med et fælles toppunkt, som er toppen af pyramiden.
En pyramide er en tredimensionel figur. Derfor er det ofte nødvendigt at finde ikke kun dets område, men også dets volumen. Formlen for volumen af en pyramide er meget enkel:
hvor S er arealet af basen, og h er højden af pyramiden.
Højde pyramiden kaldes en lige linje, der går ned fra toppen til bunden i en ret vinkel. For at finde volumen af en pyramide er det derfor nødvendigt at bestemme, hvilken polygon der ligger ved bunden, beregne dens areal, finde ud af pyramidens højde og finde dens volumen. Lad os overveje et eksempel på beregning af volumen af en pyramide.
Problem: givet en regulær firkantet pyramide. 
Basens sider er a = 3 cm, alle sidekanter er b = 4 cm Find pyramidens rumfang.
Først skal du huske, at for at beregne volumenet skal du bruge pyramidens højde. Vi kan finde det ved hjælp af Pythagoras sætning. For at gøre dette har vi brug for længden af diagonalen eller rettere halvdelen af den. Når vi så kender to af siderne i en retvinklet trekant, kan vi finde højden. Find først diagonalen: 
Lad os erstatte værdierne i formlen: 
Vi finder højden h ved at bruge d og kant b: 
Lad os nu finde